高级宏观经济学之索罗增长模型
宏观经济学 索洛增长模型名词解释
宏观经济学索洛增长模型名词解释
宏观经济学是研究整个经济体系的产出、就业、价格和政策等方面的学科。
它主要关注国民经济总体运行规律和政府应对宏观经济波动的政策。
索洛增长模型是一种描述经济增长的数学模型，由美国经济学家罗伯特·索洛于1956年提出。
该模型认为，技术进步是推动经济增长的主要因素。
在该模型中，技术进步被视为一种外生变量，即与其他因素无关，对于经济增长有直接而持续的影响。
同时，该模型还考虑了人口增长、资本积累等因素对于经济增长的影响。
在索洛增长模型中，经济增长被分解为两个部分：一个是由技术进步所带来的效应，另一个则是由资本积累所带来的效应。
其中，技术进步所带来的效应可以通过提高生产率来实现，而资本积累则可以通过投资来实现。
总之，宏观经济学和索洛增长模型都是研究整个经济体系运行规律和推动经济发展的重要学科和理论。
它们对于经济政策制定和实践具有重要的指导意义。
高级宏观经济学之索罗增长模型
9
边际产出
资本的边际产出
MPK
F(K, AL) K
ALf (K / K
AL)
f (k)
有效劳动的边际产出
MPAL
F(K, AL) AL
f
(k) kf
(k)
劳动的边际产出
MPL
F ( K , L
AL)
A[
f
(k)
kf
(k )]
如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，资本获得其边际产出 每单位有效劳动的资本获得的总产出是kf’(k)
k
2020/10/28
k*
k
16
3、稳态时的增长：平衡增长
在稳态，k收敛于k*，单位有效劳动的产出也不变： y* f (k*)
根据单位有效
y* Y / AL Y y * AL
结论：索罗模
工人产出的定
义可以计算出 ln Y ln y * ln A ln L
总产出的增长 速度：
资本增长率 k*
Y Y
K / AL
L
L
K
A A
k*
n
2020/10/28
2
一、索罗模型简评
几乎对所有有关增长的分析，索罗模型是起点。 索罗模型的主要结论：
长期人均产出惟一来源于技术进步； 实物资本的积累既不能解释不同时间上人均产出的巨 大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。 主要缺陷： 模型把收入差异的其他潜在来源或者当作外生，因而 无法用模型解释（如技术进步）；或者当作不存在 （如资本产生正的外部性）。
k(t) 0 k下降 k(t) 0 k不变
2020/10/28
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2、稳态
稳态： 如果所有变量都以某一固定不变的速度增长或者均为零增长的
高级宏观经济学索洛斯旺模型ppt课件
contents
目录
• 索洛-斯旺模型概述 • 索洛-斯旺模型中的经济增长 • 储蓄、投资与资本积累 • 劳动生产率、技术进步与经济增长 • 政策因素对索洛-斯旺模型的影响 • 索洛-斯旺模型在现实世界的应用 • 总结与展望
01 索洛-斯旺模型概述
模型背景与意义
03 储蓄、投资与资本积累
储蓄函数及影响因素
01
储蓄函数的定义与性质
02
储蓄是可支配收入减去消费的部分
储蓄函数描述了储蓄与可支配收入之间的关系
03
储蓄函数及影响因素
收入越高，储蓄倾向越大
收入水平
影响因素
01
03 02
储蓄函数及影响因素
利率水平 利率上升，储蓄增加；利率下降，储蓄减少
储蓄函数及影响因素
经济增长路径的特点
经济增长路径具有收敛性、稳定性和 动态性等特点。其中收敛性是指不同 经济体在长期中趋向于相同的稳态均 衡状态；稳定性是指经济增长路径在 受到外部冲击时能够保持相对稳定； 动态性是指经济增长路径随着技术进 步和制度变迁等因素的变化而不断调 整。
经济增长路径的政策 含义
经济增长路径的政策含义在于，政府 可以通过调整经济政策来影响经济增 长的路径和速度。例如，通过提高投 资率、促进技术进步、优化产业结构 等措施来加快经济增长；同时，也需 要关注经济增长带来的资源环境压力 和社会公平问题，实现可持续发展。
03
加强教育和科技创新投入，提高人力资本 积累水平。
04
推进产业结构调整和升级，优化资源配置 效率。
04 劳动生产率、技术进步与 经济增长
劳动生产率提升途径
教育和培训
通过提高劳动者的知识和技能水平，提升劳动 生产率。
5-罗默高级宏观经济学
我们在求导的时候注意 是一个常数， 表示的是家庭在两个时期转换消费的消费意愿， 越小，随着消费的上升边际效用下降的越慢，家庭越愿意跨期消费。
2.2企业行为和家庭行为
资本要素完全竞争---利率=资本的边际产出
工资=劳动的边际产出
宏观经济学的起点——凯恩斯1936年的通论
高级宏观经济学的起点——将我们的动态最优的分析方法，1928年开始提出，196几年的时候才开始运用，现在宏观经济学运用最多的就是这个模型
这样的争论是，资本的所有者是否应该
资本存量的增长率先是增加，然后增加的逐渐下降，
资本存量的变化率
资本存量本身是一定是往上走的，是递减的增加
和资本存量的增长率相对应
劳均资本的增长率和资本存量的增长率是同步的
变动，因为技术进步率是不变的
劳军产出的对数值
每单位劳动的平均消费是怎么变化
取决于产出怎么变
也取决于劳动怎么变
投资先快速下滑，然后回归到新的均衡
我们经济学是先提出假定，然后在这个基础上发展框架
政治经济学中资本对劳动的剥削，只要你进行劳动，就有剩余
资本对劳动存在剥削，
因为只有劳动创造价值，其他因素不占有价值，其他要素获取剩余价值，所以就有对劳动的剥削
劳动者得到工资L——w
资本所有者得到利息K——r(一定是来自于劳动者的贡献)—所以这就应该是剥削
考虑一个变量对另一个变量的影响，
最基本的方式就是求导；
还有一个是弹性的概念总产出增加2%，储蓄增加X%。
有一个基本的方程，如果卡住了，把那个公式写到一遍，就一定能得到启发
如果储蓄率一定的话，经济会收敛到唯一的一个均衡点
考察经济收敛的速度，核心的变量就是资本存量
索洛增长模型名词解释
索洛增长模型名词解释
一、概念
索洛增长模型，又称作新古典经济增长模型或外生经济增长模型，是 Solow 于 1956 年首次创立的经济增长模型。
该模型旨在说明储蓄、资本积累和经济增长之间的关系，是分析以上三个变量关系的主要理论框架。
二、原理
索洛模型对经济总体的增长贡献被设定为由劳动、资本和技术进步三者组成。
该模型假设边际生产递减的一次齐次的总生产函数，满足稻田条件，储蓄率一定，技术进步为外生等条件。
在此基础上，得出了政府政策对于经济增长的作用是无效的结论。
三、应用
索洛模型的应用十分广泛，可以用于分析国家和地区的经济增长情况，为企业和政府制定经济政策提供理论依据。
例如，通过索洛模型可以分析资本积累、技术进步、劳动力等因素对经济增长的贡献，以及各种政策对经济增长的影响。
四、影响
索洛模型的创立对经济增长理论产生了深远的影响。
一方面，该模型提出了储蓄、资本积累和技术进步是经济增长的重要因素，为经济增长理论研究提供了新的视角和思路。
另一方面，该模型得出的政府政策无效论使人们意识到，政府政策并非万能，经济增长还需要依靠市场机制和内在动力。
然而，需要注意的是，索洛模型存在诸多假设条件，如边际生产递减、储蓄率一定等，这些假设条件在现实经济中并不完全符合。
因此，在应用索洛模型进行分析时，需要结合实际情况进行调整和改进，以更好地解释和预测经济增长。
总之，索洛增长模型作为一种重要的经济增长理论框架，对于分析和理解经济增长的基本原理和机制具有重要意义。
罗默《高级宏观经济学》第版课后习题详解第章索洛增长模型
罗默《高级宏观经济学》（第3版）第1章 索洛增长模型跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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增长率的基本性质。
利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明：（a ）两个变量乘积的增长率等于其增长率的和，即若()()()Z t X t Y t =，则（b ）两变量的比率的增长率等于其增长率的差，即若()()()Z t X t t =，则（c ）如果()()Z t X t α=，则()()()()//Z t Z t X t X t α=证明：（a ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式： 再简化为下面的结果：则得到（a ）的结果。
（b ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：再简化为下面的结果:则得到（b ）的结果。
（c ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：又由于()()ln ln X t X t αα⎡⎤=⎣⎦，其中α是常数，有下面的结果： 则得到（c ）的结果。
假设某变量X 的增长率为常数且在10~t 时刻等于0a >，在1t 时刻下降为0，在12~t t 时刻逐渐由0上升到a ，在2t 时刻之后不变且等于a 。
（a ）画出作为时间函数的X 的增长率的图形。
（b ）画出作为时间函数的ln X 的图形。
答：（a ）根据题目的规定，X 的增长率的图形如图1-1所示。
宏观经济学之运用索洛增长模型
知识溢出
引入知识溢出效应，以解释技术进步的外部性。
考虑资源环境因素
自然资源
将自然资源作为经济增长的约束 条件，研究资源环境对经济增长
的影响。
环境污染
将环境污染作为经济增长的成本， 研究环境质量与经济增长的关系。
可持续发展
将可持续发展理念引入模型，以实 现经济、社会和环境的协调发展。
政策制定中的运用
03
索洛增长模型的局限性
假设条件的局限性
假设条件过于简化
索洛增长模型建立在一些简化的假设基础上，如完全竞争市场、规模收益不变 等，这些假设在现实中很难完全满足。
忽略制度、政策和人力资本因素
模型中没有考虑制度、政策和人力资本等因素对经济增长的影响，而这些因素 在现实中对于经济增长至关重要。
长期经济增长的不可预测性
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政府可以制定相关政策，如提供创新奖励、减税等措施，鼓 励企业进行技术创新，同时加强知识产权保护，保障创新者 的利益。
优化资源配置和提高效率
索洛增长模型指出，通过优化资源配置和提高效率，可以 实现更快的经济增长。在未来的经济发展中，应更加注重 资源的优化配置，提高生产效率。
企业应加强内部管理，提高生产效率，政府可以通过改革 市场机制、加强监管等措施，促进资源的合理配置。同时 ，加强教育和培训，提高劳动力素质，也是优化资源配置 和提高效率的重要途径。
03
不受经济系统内部因素影响。
模型公式
01
(Y=AF(K,L))
02
(Y)代表总产出，(A)代表技术水平，(K)代表资本投入，(L) 代表劳动投入。
03
(F)表示生产函数，描述了资本和劳动的投入与总产出之间 的关系。
简述索洛经济增长模型
索洛经济增长模型1. 引言索洛经济增长模型是20世纪50年代由美国经济学家罗伯特·索洛提出的一种描述经济增长的理论模型。
该模型旨在解释为什么一些国家或地区的经济能够持续增长，而其他国家或地区却陷入停滞。
索洛经济增长模型以其简洁而有力的理论框架成为经济学研究中的重要工具。
2. 模型概述索洛经济增长模型基于几个核心假设，包括：•技术进步是经济增长的主要驱动力；•储蓄和投资在经济增长中起到关键作用；•经济体存在着递减边际回报。
根据这些假设，索洛将一个国家或地区的产出（Output）表示为劳动力（Labor）和资本（Capital）两个要素的函数。
具体而言，产出可以写作：Y=F(K,AL)其中，Y表示产出，K表示资本存量，A表示技术水平，L表示劳动力。
函数F()则代表了技术进步、资本和劳动力的相互作用。
3. 技术进步在索洛经济增长模型中，技术进步被视为经济增长的主要推动力。
技术进步可以通过提高生产函数F()中的A来体现。
技术进步可以带来多种形式的效应，包括：•生产效率提高：同样的劳动力和资本投入可以创造更多的产出；•新产品和服务：技术进步可以带来新产品和服务，从而刺激需求和投资；•创新能力提升：技术进步可以促使企业和个人创新，推动经济发展。
索洛经济增长模型认为，技术进步是累积性的，并且受到储蓄和投资水平的影响。
高储蓄率和投资率有助于积累更多的资本存量，从而促进技术进步和经济增长。
4. 储蓄与投资储蓄与投资在索洛经济增长模型中扮演着至关重要的角色。
储蓄是指个人、企业或政府将当前收入留存下来以供未来使用的行为。
投资是指将储蓄用于购买资本品或其他生产要素的行为。
索洛经济增长模型认为，储蓄和投资水平对经济增长有着直接的影响。
较高的储蓄率可以提供更多的资金用于投资，从而促进经济增长。
投资可以带来新的生产设备、技术创新和人力资源培训，从而提高生产效率和产出水平。
然而，索洛经济增长模型也指出，储蓄和投资存在递减边际回报的问题。
高宏第一章 索洛增长
高级宏观经济学第一章索洛增长第一节经济增长的事实与研究的主要问题一、典型事实（Stylized facts）经济学的研究是“实事求是”的。
卡尔多（Kaldor，1963）列出了经济增长的程式化事实：1、人均产出持续增长，且增长率未出现下降趋势；2、人均物质资本持续增长；3、资本回报率近乎稳定；4、物质资本一产出比近乎稳定；5、劳动和物质资本在产出中所占的份额近乎稳定；6、人均产出增长率在各国间差距很大。
相对于人类历史而言，持续的、快速增长（现代增长）只是最近一两百年才有的事。
事实6与跨国数据基本吻合。
事实1、2、4、5与发达国家的数据基本一致，但并不适合于更广大的发展中国家，事实3描述的似乎主要是英国的经历。
其它大部分国家真实收益率是下降的。
值得注意的是，在不同的时代，人们关注的主要事实是不同的。
卡尔多事实主要是为稳态增长（或平衡增长）提供事实依据。
当前，跨国与跨地区收入差异这一事实受到经济学家们的重视。
二、经济增长研究的主要问题增长理论要’解释世界各国的贫富差距；各国差距是否有缩小的趋势；经济增长速度的差异；决定一个国家经济增长速度的主要因素；穷国如何才能追上富国。
Romer(2006,p1)指出，现代经济增长理论主要解决如下两个问题：1、什么解释了经济的增长，或经济长期增长的驱动因素是什么？2、为什么一些国家如此之富裕，而另一些则如此之贫穷？经济增长理论研究的是长期中的经济问题。
长期与短期的主要差别在于：价格是否可以灵活变动；资源是否充分利用。
研究长期问题，很多在短期中有重要影响的因素可以忽略：需求波动、货币。
第二节 Solow 模型的基本假定Solow 模型与Ramsey 模型主要探讨储蓄在经济增长中的作用，即：仅仅s 的提高能不能推动长期的增长？s 的跨国差异能不能解释人均产出的差异？然而，我们的基本结论是：s 只能解释部分事实，而不能解释全部（甚至是大部分）事实。
理论的不成功促进了其它模型，特别是内生增长模型的发展（实际上，新古典增长理论的不成功使得经济增长研究几乎停滞了20年，而后才有了新的或内生增长理论的发展）。
《索洛增长模型高宏》课件
人口增长率
总结词
人口增长率是影响经济增长的重要参数，它表示人口数量的变化率。
详细描述
人口增长率对经济增长的影响主要体现在劳动力供给方面。如果人口增长率较高，劳动力供给增加，会促进经济 增长；反之，如果人口增长率较低或为负数，劳动力供给减少，会制约经济增长。在索洛增长模型中，人口增长 率被视为外生变量。
VS
详细描述
折旧率对经济增长的影响主要体现在资本 投入方面。如果折旧率较高，表明固定资 产损耗较快，需要更多的投资来维持生产 能力；如果折旧率较低，则表明固定资产 可以使用较长时间，减少了资本投入的需 求。在索洛增长模型中，折旧率被视为外 生变量。
03
索洛增长模型的应用
对经济增长的预测
总结词
索洛增长模型可以用来预测经济增长，通过 分析影响经济增长的因素，如资本、劳动力 和技术进步，可以预测未来经济增长的趋势 和水平。
的影响而发生波动。
与新经济理论的比较
要点一
内生增长理论
与索洛模型相比，内生增长理论更注重企业内部生产活动 对技术进步和经济增长的影响。内生增长理论认为技术进 步是内生的，即由企业内部的研发投入、人力资本积累等 因素所驱动。这种理论能够更好地解释现实世界中技术进 步和经济增长的复杂关系。
要点二
新古典综合理论
详细描述
索洛增长模型是现代经济增长理论的 重要组成部分，通过比较模型预测的 经济增长率和实际经济增长率，可以 检验经济理论的正确性和可靠性，从 而为经济研究提供支持。
04
索洛增长模型的局限性
假设条件的局限性
技术进步外生
索洛模型假设技术进步是外生的，即技术进步是由市场外部因素决定的，而不是由企业内 部生产活动所驱动。这种假设限制了模型对现实世界中技术进步的描述和预测能力。
【精品】索洛经济增长模型概述
索洛经济增长模型概述索洛经济增长模型（SolowGrowthModel）是罗伯特·索洛所提出的发展经济学中著名的模型，又称作新古典经济增长模型、外生经济增长模型，是在新古典经济学框架内的经济增长模型。
正当1987年世界股票市场暴跌之时，瑞典皇家科学院宣布该年度诺贝尔经济学奖授于一直与里根政府的经济政策唱反调，主张政府必须有效地干预市场经济的美国麻省理工学院教授罗伯特·索洛（RobertM·Solow）许多经济学界人士认为，纽约股票市场的这场大动荡，恰恰证实了索洛坚持的理论，使他的经济增长理论成为当今世界热门研究课题之一。
可是，他的这一理论———表明各种不同因素是如何对经济增长和发展产生影响的长期经济增长模型，早在30年前他在一篇题为《对经济增长理论的贡献》的论文中就提出来了。
[1][编辑]索洛模型变量外生变量：储蓄率、人口增长率、技术进步率内生变量：投资[编辑]索洛模型的数学公式[编辑]模型的基本假定[1]索洛在构建他的经济增长模型时，既汲取了哈罗德—多马经济增长模型的优点，又屏弃了后者的那些令人疑惑的假设条件。
索洛认为，哈罗德—多马模型只不过是一种长期经济体系中的“刀刃平衡”，其中，储蓄率、资本—产出比率和劳动力增长率是主要参数。
这些参数值若稍有偏离，其结果不是增加失业，就是导致长期通货彭胀。
用哈罗德的话来说，这种“刀刃平衡”是以保证增长率（用Gw表示，它取决于家庭和企业的储蓄与投资的习惯）和自然增长率（用Gn表示，在技术不变的情况下，它取决于劳动力的增加）的相等来支撑的。
索洛指出，Gw和Gn之间的这种脆弱的平衡，关健在于哈罗德—多马模型的劳动力不能取代资本，生产中的劳动力与资本比例是固定的假设。
倘若放弃这种假设，Gw和Gn之间的“刀刃平衡”也就随之消失。
基于这一思路，索洛建立了一种没有固定生产比例假设的长期增长模型。
该模型的假设条件包括：1.只生产一种产品，此产品既可用于消费也可用于投资。
高级宏观经济学之索罗增长模型
在稳态，k收敛于k*，单位有效劳动的产出也不变： y*f(k*)
根据单位有效 y*Y/A LYy*AL结论：索罗模
工人产出的定 义可以计算出
lY n ly n * lA n lL n
型意味着，无 论起点在何处，
总产出的增长 速度：
YLAng
资本增长率 k*K /A Y L K LkA*AL KK n g
k*
k
A
31
五、绝对收敛与条件收敛
绝对收敛图示
增长率>0 增长率<0
k*
k
这表明k离k*越远，其增长
率（正或负）越大，λk <0。 可以证明索洛模型中的其他
变量X的非均衡动态增长率 （ λX ）与λk保持比例或线 形关系，例如
(n g )
•
•
y/ y f '(k)k/ f(k)
y
sf (k) / k
绝对收敛：穷国有着更快的人均增长率，因 此穷国趋于追上富国。
条件收敛：一个经济离其自身的稳态值越远， 增长越快。
巴罗认为索洛模型预测了条件收敛。
02.07.2020
A
30
五、绝对收敛与条件收敛
非稳态图示
(ng)k(t)
02.07.2020
增长率>0
f (k (t))
增长率<0
sf(k(t))
k1* k2*
k
A
24
黄金律和动态无效率
过度储蓄的经济被
称为动态无效率，
因为降低储蓄率不
仅提高了稳态消费，
也提高了转移过程
中的消费，即原来
的人均消费路径在
所有时点都位于另
一条可行的路径之 下。
0
高级宏观经济学之索罗增长模型
当资本和劳动力投入同时增加相同倍数时，产出也会增加相同的倍数。
资本积累方程与劳动力动态变化
资本积累方程
索罗增长模型中的资本积累方程为ΔK=sY-δK，其中ΔK代表资 本存量的变化量，s代表储蓄率，Y代表产出水平，δ代表资本折 旧率。该方程表明，资本存量的变化量等于储蓄与投资之差。
劳动力动态变化
分析教育水平提高对人力资本积累和经济增长的贡献，以及教育公 平对缩小收入差距的作用。
其他可能改进方向探讨
环境因素与可持续发展
将环境因素纳入索罗增长模型，分析经济增长与环境保护之间的平衡问题，探讨可持续发展的路 径和政策选择。
制度因素与经济增长
考虑制度因素对经济增长的影响，如产权保护、市场竞争、政府治理等，以及如何通过制度改革 促进经济发展。
宏观经济学与微观经济学关系
两者相互补充，共同构成经济学完整体系。
3
宏观经济学重要性
为政府制定经济政策提供理论依据和指导。
索罗增长模型简介
01
02
03
索罗增长模型定义
由美国经济学家罗伯特·索 罗提出，用于分析经济增 长的理论模型。
模型基本假设
储蓄率、人口增长率、技 术进步率等外生变量保持 不变。
模型核心方程
实证结果解读及启示意义
经济增长收敛性
索罗增长模型预测，在资本边际收益递减的作用下，穷国将比富国增长更快，最终实现经济收敛。然而，现 实世界中存在许多导致经济差异持续存在的因素，如技术进步、人力资本积累等。
政策含义
索罗增长模型强调了储蓄率、人口增长率和技术进步对经济增长的重要性。因此，政府可以通过调整税收政 策、教育政策和创新政策等手段来影响这些变量，从而促进经济增长。
索洛增长模型公式
索洛增长模型公式
索洛增长模型（Solow growth model）是经济学家罗伯特·索洛（Robert Solow）在20世纪50年代提出的一种经济增长模型。
该模型旨在解释一个国家或地区的长期经济增长率是如何由劳动力、资本积累和技术进步共同决定的。
索洛增长模型的基本公式如下：
Y = A * F(K, L)
其中，Y代表国内生产总值（Gross Domestic Product，GDP），A代表全要素生产率（Total Factor Productivity，TFP），K代表资本存量，L代表劳动力。
公式中的F(K, L)代表生产函数，描述了劳动力和资本如何组合产生产出。
生产函数通常假设具有递增边际产出递减的性质，即增加资本或劳动力对产出的贡献越来越小。
索洛增长模型的核心假设是资本和劳动力的增长率均保持恒定。
在这种情况下，索洛模型分析了长期经济增长率随技术进步的变化情况。
模型还引入了储蓄率和资本边际产出率的概念。
储蓄率表示国家或地
区的储蓄行为，即将一部分收入用于储蓄或投资。
资本边际产出率则表示每新增一单位资本对产出的贡献。
通过对索洛增长模型进行数学推导和经济分析，经济学家可以研究技术进步、储蓄率和资本积累对经济增长的影响。
这个模型为经济政策提供了理论框架，帮助决策者制定增长战略和政策。
需要注意的是，索洛增长模型是一个简化的经济模型，假设非常理想化，忽略了很多现实经济中的复杂因素。
实际经济增长往往受到政治、制度、自然资源等多种因素的影响。
因此，在实际应用中，索洛增长模型仅作为一种参考工具使用，并不完全能够解释现实经济增长的复杂性。
第一章索洛增长模型
1.2 索罗增长模型的假设
1、 生产函数
Yt F K t , At Lt
（1.1）
特征：
（1）时间不直接引入生产函数，而是通过K、 L A 引 入， 即仅当生产投入变化时，产出也随时间变化。 （2） A和L以乘积的形式引入。AL被称为有效劳动。
3
关于生产函数的假设
KcK , cAL cF ( K , AL）
d ln X (t ) d ln X (t ) dX (t ) 1 X (t ) dt dX (t ) dt X (t )
（1.10）
11
变量以指数增长
◆将一个变量的增长率等于其对数的变化率的结论应 用于（1.8）、（1.9），则 L 与A 的对数的变化率 不变且分别等于n 和g.因而：
最后利用Y/AL由f(k)给定，可以得到：
(t ) sf (k（t） k ) (n g )k (t )
（1.18）
15
◆方程（1.18）是索罗模型的重要方程。它表明了每
单位有效劳动的资本存量的变化率为实际投资和持 平投资的差。 ◆方程右边第一项sf (k)为每单位有效劳动的实际投资： 每单位有效劳动的产出为f(k)并且该产出的投资份额 为s。
由于由由的的y??k???kk00??k?k储蓄的变动在长期内对产出的影响31????gnskgngnsksf????skgnkfskkfs??????????????s?s?122对上式两边关于s求导可得
高级宏观经济学
主讲人： 项本武
1
第一章 索罗增长模型
◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 索罗模型的假设 模型的动态学分析 储蓄率变化的影响 定量的含义 索罗模型与增长理论的核心问题 经验性应用
罗默《高级宏观经济学》(第3版)课后习题详解(第1章 索洛增长模型)
罗默《高级宏观经济学》（第3版）第1章 索洛增长模型跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1.1 增长率的基本性质。
利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明： （a ）两个变量乘积的增长率等于其增长率的和，即若()()()Z t X t Y t =，则（b ）两变量的比率的增长率等于其增长率的差，即若()()()Z t X t Y t =，则（c ）如果()()Z t X t α=，则()()()()//Z t Z t X t X t α=证明：（a ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式：再简化为下面的结果：则得到（a ）的结果。
（b ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：再简化为下面的结果:则得到（b ）的结果。
（c ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：又由于()()ln ln X t X t αα⎡⎤=⎣⎦，其中α是常数，有下面的结果：则得到（c ）的结果。
1.2 假设某变量X 的增长率为常数且在10~t 时刻等于0a >，在1t 时刻下降为0，在12~t t 时刻逐渐由0上升到a ，在2t 时刻之后不变且等于a 。
（a ）画出作为时间函数的X 的增长率的图形。
（b ）画出作为时间函数的ln X 的图形。
答：（a ）根据题目的规定，X 的增长率的图形如图1-1所示。
索洛增长模型高宏
含义 资本存量 劳动力 知识或技术 有效劳动 总产出
平衡增长速度 n+g n g n+g
备注证明 k=K/AL
F(cK,cAL)=cF(K,AL) n+g n+g 0 g 0 g 0 g 0 c=(1-s)f(k) y=f(k)=Y/AL C=(1-s)Y
总消费 有效劳动的平均资本 人均资本 有效劳动的人均产出 人均产出 有效劳动的人均消费 人均消费 资本产出比
k=k*时各变量比例的变动：
Y / K：不变； Y / L：以速率 g增长； K / L：以速率 g增长。
证明
K的增长率：
(t ) (t ) (t ) L (t ) A (t ) k K K (n g ) k (t ) K (t ) L(t ) A(t ) K (t )
lim FK lim FL
满足这三个条件的 生产函数被称为新 古典生产函数。 因此，索洛增长模 型又被称为新古典 增长模型。
K 0 L 0 K
lim FK lim FL 0
L
（一）模型的基本假定
通常使用CD生产函数（索洛）：
Q AL K A0 0 1 0 1
（三）参数变化的影响
索洛模型中，主要参数有：
ห้องสมุดไป่ตู้
n, g , , s
政策最有可能影响的是储蓄率
（三）参数变化的影响
1.储蓄率增加的影响方向分析（定性）； 2.最优储蓄率——资本的黄金规则水平； 3.储蓄率增加的影响程度分析（定量）。
1.储蓄率增加的影响方向分析
y
y
new
(n g )k
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f(k) sf(k)
0
k
新古典生产函数
曲线的斜率即为资本的边际产出。递减的斜率反映了递减的
资本边际报酬。（假定外生不变的储蓄率s，c表示消费）
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3、生产投入的演化
资本、劳动和知识的存量随时间的变化而变化。
瞬时增长率的定义：
dx / dt x d ln x
折旧率为δ。资本变化＝投资－折旧。
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三、模型的动态学
1、k的动态学
在索罗模型中，劳动和技术是外生的，因此，我们重 点分析资本的变化。
单位有效劳动资本存量的变化：
k(t) sf (k(t)) (n g )k(t)
每单位有效劳动 的实际投资
MPAL
F(K, AL) AL
f
(k) kf
(k)
劳动的边际产出
MPL
F(K, AL) L
A[
f
(k)
kf
(k )]
如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，资本获得其边际产出 每单位有效劳动的资本获得的总产出是kf’(k)
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图形表示
f(k) f(k)
而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中 性），结果会有何不同？ 可以证明只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在 相一致
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2、关于生产函数的假设
第一，每种投入的边际产品为正且递减。 第二，规模报酬不变。F(λK,λAL)= λ F(K,AL) 第三，稻田条件：
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以后所介绍的增长模型都有相同的一般均衡 结构：
家庭拥有经济中的所有投入和资产，家庭自 主决策。
企业雇佣投入品进行生产。
家庭出售投入品，企业出售产品，形成市场。
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二、索罗模型的假设
1、投入与产出
索罗模型关注四个变量：产出Y、资本K、劳动L，以及知识 或劳动的有效性A。 生产函数：
lim
K 0
FK
lim
L0
FL
lim
K
FK
lim
L
FL
0
满足这三个条件的生产函数被称为新古典生产函数。因
此，索罗增长模型又被称为新古典增长模型。
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模型的集约形式
根据规模报酬不变假设可以得到
F(K, AL) AL F(K / AL,1) AL f (K / AL)
gx
x
x dt
劳动增长率为n： L(t) n t时劳动力： L(t)
L(t) L(0)ent
技术进步率为g： A (t) g t时技术存量： A(t )
A(t) A(0)egt
产出在消费和投资之间分割，那么储蓄 等于投资。储蓄率s为外生且不变，资本
K (t) sY (t) K (t)
于是生产函数可以写出以下集约形式（intensive form)：
y=f(k)
其中y=Y/AL单位有效劳动的产出，k=K/AL 单位有 效劳动的资本
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假设的含义
稻田条件意味着，在资本存量充分小时资本的边际
产出十分大，当资本存量很大时，其会变得很小。
其作用在于确保经济的路径不发散。即
lim f (k)
k 0
根据假设1得到：
lim f (k) 0
k
f (0) 0 f (k ) 0 f (k ) 0
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边际产出
资本的边际产出
MPK
F(K, AL) K
ALf (K / K
AL)
f
(k )
有效劳动的边际产出
Y(t)=F(K(t),A(t)L(t)) 式中t表示时间。
AL被称为有效劳动。以劳动力增加的形式引入的技术进步
被称为劳动增加型技术进步，或者被称为哈罗德中性。
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二、索罗模型的假设
1、投入与产出
思考： 如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性），
k*
索洛－斯旺模型
c*＝f(k*)-sf(k*) =f(k*)(n+g+δ）k*
k
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2、稳态
稳态均衡图示
因为
பைடு நூலகம்
d[sf (k) / k] s d[ f (k) / k]
dk
dk
s
f (k) kf '(k) k2
s
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一国若想从最低级的野蛮状态 过渡到最高程度的丰饶，所需要的 仅仅是和平、轻松的税收和可以容 忍的公正原则的执行，其他一切都 可以从事物的自然进程中产生。
——亚当.斯密
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问题提出
什么因素决定了经济增长？ 经济增长的一般趋势是什么？ 为什么国家或地区之间存在着收入差异？ 穷国能否赶上富国？
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2、稳态
单位有效劳动资 本存量的变化：
k(t) sf (k(t)) (n g )k(t)
f(k)
k 0
(n＋g+δ)k f(k) sf(k)
A
在A点，实际投资与有 效折旧相等，资本存量 不变，经济达到稳态： 单位有效劳动的k*, y*, c*固定不变。消费为：
有效折旧：为保持 k在现有水平所必 须进行的投资。
k(t) 0 k(t) 0 k(t) 0
k增加 k下降 k不变
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2、稳态
稳态： 如果所有变量都以某一固定不变的速度增长或者均为零增长的
状况，即 k(t) 0 平衡增长（balanced growth): 如果各主要的总量指标彼此间保持相同的比例，这样的经济增 长成为平衡增长。在我们讨论的大多数增长模型中，稳定状态 的路径也是平衡增长的路径。
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一、索罗模型简评
几乎对所有有关增长的分析，索罗模型是起点。 索罗模型的主要结论：
长期人均产出惟一来源于技术进步； 实物资本的积累既不能解释不同时间上人均产出的巨大 增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。 主要缺陷： 模型把收入差异的其他潜在来源或者当作外生，因而无 法用模型解释（如技术进步）；或者当作不存在（如 资本产生正的外部性）。