不定积分的换元积分法.ppt

u(nax1bC)n n1
1 a
（ ax b）n（ax b）d x
u
du ?
1 a
(ax
b)n
d(ax
b)
1 a
un
du
1 a
un1 . n1
C
（令u ax b）
（ax b）n1 C a(n 1)
(u ax b代入)
2. 定理1(第一换元积分法)
设 f (u)具有原函数, u ( x)可导, 则
u 1 ln x
d (1 ln x) （1 ln x）2
1 1 ln x
C
常见的选 u= (x) 规律
(1)
f (ax b)d x 1[ a
f (u)d u]uaxb
(2) f ( x1)x d x (u x1, 1)
(3)
f
(ln x
x)d
x
(u ln x)
(4) f (cos x)sin x d x (u cos x)
类似有
f (cos x)sin x d x (u cos x)
csc xd x
1 sin
x
d
x
1 sin2
x
sin
x
d
x
1
1 cos
2
x
ds(icnoxs
dx
)x
1
1 u2
d
u
(u cos x)
1 2
( 1
1
u
1 )du 1 u
1 2
ln
1 1
u u
C
1 ln 1 cos x C. 2 1 cos x
C
原式
1 2
1 x2 d(1 x2 )
3
u 1 x2 1 u d u 1 . 2 u2 C
2
23
u
1
x2
1（1
3
x 2）2
C.
3
例4
xex2 d x
解 联想公式： eu d u eu C
xe x2 d x
1 2
e
x2
d
x2
u x2 1 eu d u 1 e x2 C
u 3x 2
1 3
cos ud u
1 sin u C 3
u 3x 2 1 sin（3x 2） C. 3
例2
1 dx
3 2x
解
u 3 2x
1 2
1 u
du
1 ln u 2
C
u 3 2x 1 ln 3 2x C 2
例3 x 1 x2 d x
解
联
想
公式： uα
d
x
uα1 α1
f (sec x)sec x tan x d x (u secx)
（sec2 x 1）2 sec2 x dsec x
常见的选 u= (x) 规律(续2)
(12) tanm x secn x d x
n : 偶数，设 u tan x
m
:
奇数，设
u
sec
x
cotm x cscn x d x
2
2
例5
原式
1 a
d( x )
1
a (x
)
2
a
1
d
u u2
arctan
u
C
u x a
例6 (1)
log a x
x
d
x
(log a
x)
1 ln a
x
ln a loga x d(loga x)
u loga x
(loga x)2 ln a C 2
(2)
x(1
1 ln
x
)2
d
x
(1 ln x) 1 x
(5) f (sin x)cos x d x (u sin x)
(6) f (arcsin x)d x 1 x2
(u arcsin x)
(7)
f
(arctan 1 x2
x
)
d
x
(u arctan x)
(8) f (tan x)sec2 x d x (u tan x)
(9) f (sec x)sec x tan x d x (u sec x)
1 cos3 x 1 cos5 x C .
3
5
（2） cos4 x d x
(1 cos 2x)2 d x （降次） 2
（3）
sin2 x cos2 x d x
1 4
sin
2
2
x
d
x
1 1 cos 4x d x 1 ( x 1 sin 4x) C.
42
84
常见的选 u= (x) 规律(续1)
第4章
第23讲 不定积分的换元积分法
一、第一类换元积分法（凑积分法） 二 、第二类换元积分法 三 、基本积分表（ Ⅱ ）
一、第一类换元积分法 —— 凑微分法
1. 引例 求 （ax b）n d x ( a 0, n为自然数）
解 （ ax b）n d x
验联证想：公(式aax(：nub1)nn)d1u
例11 求 cos 3x cos 2x d x.
分析 当被积函数为sinax cosbx,sinax sinbx,
或cos ax cos bx的形式时，常用积化和差
公式将被积函数化简后再积分.
……
例7 求下列不定积分：
(1) sin3 x cos2 x d x
f (cos x)sin x d x (u cos x)
(1 cos2 x) cos2 百度文库 sin x d x
（1 cos2 x）cos2 x d(cos x)
(cos2 x cos4 x)d(cos x)
f (u)d u u ( x) 令u ( x)
即
f [( x)]( x)dx f [( x)]d( x)
—— 换元公式
换元思想: 设变换 u ( x),
化积分为易于求解的形式.
关键： 如何选择 u= (x) ?
例1 cos(3x 2)d x
解 联想公式 cos ud u sin u C
(10) sinm xcosn xdx
m(或n) : 奇数，设u cos x(或u sin x) m, n均为偶数，用倍角公式 特别地，当m n 时，设u sin 2x
例8
原式
sin cos
x x
dx
dcos x cos x
f (cos x)sin x d x (u cos x)
类似地，有 cot xdx ln sin x C
例9 sec x d x
解
sec x d x
cos x cos2 x
dx
dsin x
1 sin2 x
1 2
1
1 sin
x
1
1 sin
x
d sin
x
1 ln 1 sin x ln 1 sin x C
2
1 ln 1 sin x C 2 1 sin x
例10（1） tan2 x sec6 x d x tan2 x(1 tan2 x)2 sec2 x d x
f (tan x)sec2 x d x (u tan x)
tan2 x（1 tan2 x）2dtan x
（2） tan5 x sec3 x d x tan4 x sec2 x dsec x