不定积分的换元积分法.ppt
不定积分凑微分法和换元法(课堂PPT)
1 cos 2x C; 2
解（二） sin 2xdx 2 sin x cos xdx 2 sin xd(sin x)
sin x2 C;
已知
udu
1 2
u2
C
解（三） sin 2xdx 2 sin x cos xdx 2 cos xd(cos x)
cos x2 C.
已知
udu
1 2
7.2 不定积分的计算
巴马水具有四个显著特征: 一是弱碱性离子水。 二是还原水。 三是小分子团水。 四是营养水。
1
1、第一换元积分法
问题 cos2xdx sin 2x C,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t 2x dx 1 dt, 2
cos
2
xdx
1 2
cos
tdt
1 2
x 2
1 tan
x 2
d
tan
x 2
ln tan x C ln(csc x cot x) C. 2
（使用了三角函数恒等变形）
16
解（二） csc
xdx
1 sin
x
dx
sin x sin2 x
dx
1
1 cos2 x d(cos x) u cos x
1
1 u2
du
1 2
由此可得换元法定理
3
定理7.2.1 设u ( x)在[a,b]可导，(x)[, ]，
g(u) 在[, ]上有原函数G(u) ，则有换元积分公式
g[( x)]( x)dx g(u)du G(( x)) C
第一类换元公式（凑微分法） 说明: 使用此公式的关键在于将
f [( x)]( x)dx 化为 g(u)du.
不定积分的换元积分法
csc xdx ln csc x cot x C ．
21
应用第一类换元法的常见的积分类型如下：
1.
2. x
1 f (ax b)dx f (ax b)d(ax b) ； a
n 1
f (axn b)dx
1 f (axn b)d(axn b) ； na
这类求不定积分的方法，称为第二换元 法．
32
例11 解
dx 求 1 3 - x ．
设 t 3 x，则 x 3 t 2 ， dx 2tdt ．
dx 2t dt 2 1 t 1 dt 1 t 1 t 1 3 x 1 2 (1 )dt 1 t
8
例1 解 所以
求 sin 2 xdx ．
1 设 t 2 x ，则 dt 2dx ，即 dx dt ． 2
1 1 sin 2 xdx sin tdt cos t C ， 2 2
再将 t 2 x 代入，得
1 sin 2 xdx cos 2 x C ． 2
2
x 1 (9) cos xdx sin 2 x C 2 4
28
1 1 C (10) dx 2 2(2 x 3) (2 x 3)
(11)
x 1 ( x 2 2 x 3)
2 1 4
2 2 dx ( x 2 x 3) C 3
3 2 2
3 4
于是
利用复合函数求导公式，可以验证(4.3.1) 的正确性．
3
实际上，由 d F ( ( x)) C F ( x) ( x) dx f ( x) ( x) ， 可知公式(4.3.1)成立．利用公式(4.3.1)来计 算不定积分，就是第一换元法，亦称为凑微分 法．
《微积分》第二节 不定积分的第一类换元积分法
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C .
3
5
7
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.
例17 . 求
解: cos4 x (cos2 x)2 (1 cos 2x)2
2
1 4
(1
2
例4. 求 解:
d x
a
1
(
x a
)2
d(
x a
)
1
(
x a
)
2
想到
du 1u2
arcsin u
C
f [ ( x)] ( x)dx f ( (x))d (x)
(直接配元)
例5. 求 解:
sin cos
xdx x
dcos x cos x
类似地,
cos x dx sin x
d sin x sin x
2a xa
例7. 求
解: 原式 =
1
dln x 2 ln
x
1 2
d(1 2 ln x 1 2 ln x
)
例8. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 x d x 2 e3 x d(3 x) 3
2 e3 x C
3
例9 求
(1
1 x2
x 1
)e xdx.
解
x
1 x
1
1 x2
解
(1
x x
)3
dx
x 1 (1 x)
31dx
[ (1
1 x)2
(1
1 x)3
]d (1
课件：2 第一换元积分法(1)
1du u
1 ln u C 2
1 ln 3 2x C.
2
1
(1)
f (ax b)dx a
d(ax b)
例3 计算
x(1
1 2ln
x
dx. )
解
x(1
1 2
ln
dx x)
1
1 2ln
d x
(ln
x)
1 2
1
1 2ln
d x
(1
2ln
x)
u 1 2 ln x
1 2
1 du u
1 2
1 [ln x a ln x a ] C 2a
1 ln x a C. 2a x a
例8 计算
1
1 e
x
dx.
解
1
1 e
x dx
1
ex 1
e ex
x
dx
1
1
e
x
e
x
dx
ex
dx 1 e xdx
dx
1
1 e
x
d
(1
e
x
)
x ln(1 e x ) C.
(11) f (ex ) exdx f (ex )dex
dx
1 sin2
x
dx
cos sin2
x x
dx
1 sin2
x
dx
1 sin2
x
d (sin
x)
cot x 1 C. sin x
例12 计算 sin2 x cos5 xdx.
解 sin2 x cos5 xdx sin 2 x cos4 xd (sin x )
sin2 x (1 sin2 x)2d(sin x)
第三讲不定积分的计算方法演示文稿
方法:拆出个正\余弦的1次幂,再凑微分
第7页，共38页。
3.被积函数都是正\余弦函数的偶数次幂时:
• 目标:利用三角公式(半角公式)把次数降低! 具体方法(公式):
cos2 x 1 cos x .
2
2
sin 2 x 1 cos x .
2
2
等式左边是三角函数的2次,右边只有1次,次数降低了!
sin2 t cos2 t 1
变形: 1 sin2 t cos2 t
tan2 t 1 sec2 t
或变形: sec2 t 1 tan2 t
第33页，共38页。
例求20
a2 x2 dx (a 0) .
解: 令
x a sin t ,
t
(
2
,
2
)
,
则
1 sin2 t cos2 t
a2 x2 a2 a2 sin2 t a cost
第8页，共38页。
三、 有理函数的积分
1. 有理函数:
R(x) P(x) a0xn a1xn1 an Q(x)
m n 时,
为假分式; m n 时,
为真分式
有理函数
相除 多项式 + 真分 式
分解
若干部分分式之和
例如整数的除法 : 5 1 2 33
第9页，共38页。
之前的引
入例: 例1
令 x a sect，0 t ，则 d x a sect tan t d t，故
2
d x a sect tan t d t
x2 a2
a tan t
x x2 a2
t a
sect d t
ln | sect tan t | C1 ln | x x2 a2 | C. ( C＝C1 ln a )
第2讲不定积分的换元积分法
2 x 3 3 x 6 6 x 6 l6 n x 1 ) ( C .
p1
pn
一般说 , 被 来积函数 x, 由 xq1, , xqn 通过
四则运算构 , 可成作时变量t代 k 换 x.
这里 k为分母 q1, q2, , qn 的最小公. 倍数
例6 计算x4(dx2x1).
dx asettcatd nt
x2a2
atatn
x
t a
x2 a2
sect dt
l|n ste tc a t| n C 1 l|x n x 2 a 2 | C . ( C ＝ C 1 la n )
(2)x (, a)时 x0
令 x a ste ， c t ， d x 则 a ste ta tc d t， n 故 2
一、 不定积分的第一换元法 首先看复合函数的导 公数 式:
设可 y 微 F (u ),u 函 (x )可 数构 I上 成
可微的复y合 F(函 (x)数 )则 ,
( F (( x ) ) ) F (( x ) ( ) x ),
它的微分形式为 d F (( ( x ) ) F ( ) ( x ) ( ) x ) d x
.
解
令 utax， n d则 ucdo x 2xs ,于是
c d x 4 x o s c 1 2 x o c 1 s 2 x o d x ss2 e x c c 1 2 x o d x s
(1ta2nx)cdox2sx (1u2)du
u 1 u 3 C tax n 1 ta 3xn C .
f(ek)xexdx f(uk)du (uex).
不定积分的换元积分法
有时计算复杂：在某些情况下，换元后需要进行的计算可 能较为复杂，需要较高的计算能力。
不定积分换元法的发展趋势
理论研究不断深入
随着数学理论的发展，不定积分换元法 的理论体系不断完善，研究不断深入。
VS
应用领域不断拓展
随着科技的发展，不定积分换元法的应用 领域越来越广泛，不仅在数学、物理等领 域得到广泛应用，也逐渐拓展到工程、经 济等领域。
不定积分的换元积分法
2023-12-23
CONTENTS 目录
• 不定积分的概念 • 换元积分法的基本思想 • 常用的换元积分法 • 换元积分法的应用实例 • 总结与展望
CHAPTER 01
不定积分的概念
定义与性质
定义
不定积分是微分的逆运算，即求一个 函数的原函数或不定积分。
性质
不定积分具有线性性质、积分常数性 质和积分区间可加性。
第二类换元积分法（变量替换法）
总结词
通过引入新的变量替换原函数中的部分变量，将不定积分转化为容易求解的形式。
详细描述
第二类换元积分法也称为变量替换法。这种方法适用于被积函数中含有根号或分母中含有变量的不定 积分。通过引入新的变量进行替换，可以将不定积分转化为容易求解的形式。常用的替换方法包括三 角函数替换、指数函数替换等。
换元积分法不仅在不定积分和解决实际问题中有应用，在其他数学领域也有广泛的应用。例如，在求 解微分方程、变分法、复变函数等领域中，换元积分法都是一种重要的工具。
通过引入适当的变量替换，可以将复杂的问题转化为更易于处理的形式，从而简化计算或求解过程。
CHAPTER 05
总结与展望
不定积分换元法的优缺点
在不定积分中，如果一个函数可以表示为另一个函数的复合函数，那么可 以通过引入新的变量来简化计算。
第3-1不定积分的第一类换元积分法
sin
3
xdx sin x sin xdx (1 cos x)d cos x
2 2
1 3 cos x cos x C 3
sec 6 xdx . 例10.求
解: 原式 = (tan 2 x 1) 2 d tan x d x sec 2
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x
2
x a
2
2
ln |
x2 a2 x a | C1
t a
(C C1 ln a)
x
公式15：
ln x x a C (a 0)
2 2
例17. 求
解:
1 x2 2x 2
dx .
原式
1 ( x 1) 1
2 2
d (x 1)
(由公式2)
1 ln a x ln a x 2a
1 ax C ln C 2a a x
例7. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
dx . 例8. 求 x 1 e 解法1 (1 e x ) e x d(1 e x ) dx dx x x 1 e 1 e x ln(1 e x ) C
2 3 1 5 tan x tan x tan x C 3 5
例12. 求 sin 4 x cos 3xdx
1 解: 利用公式 sin cos [sin( ) sin( )] 2 1 原式= (sin 7 x sin x)dx 2 1 1 cos 7 x cos x C 14 2
高等数学 课件 PPT 第四章 不定积分
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.
换元法求不定积分 ppt课件
(a23t2a2 1)23 C (a32a2xx23)23 C
当 x < 0 时, 类似可得同样结果 .
小结:
1. 第二类换元法常见类型:
(1 ) f(x,na x b )d x,令 tnaxb
(2)
f(x,nc ax x d b)dx,
令
t
n
axb cxd
(3 ) f(x, a 2 x 2)d x,令 xasitn或 x a ctos
解: 令 x a sti,tn ( 2 , 2 ),则
a 2 x 2a 2 a 2 s2 it n aco t s
dxaco tdts
ax
∴ 原式 acotsacotdsta2 co2tsdt
a 2t sin2t C
t
a2 x2
24 s2 it n 2 sti cn to 2 s x
5
3
例9.
求
dx 1 ex
.
解法1
dx
1 ex
(1ex)ex 1ex
dx
dx
d(1ex) 1ex
xln1 (ex)C
解法2
dx
1 ex
ex 1ex
dx
d(1ex) 1ex
ln 1 (ex)C
l1 n e x ( ) le n x ( e x [ 1 )] 两法结果一样
例10. 求secxdx.
∴
原式
asettcatndt atant
setcdt
ln ste tc a t n C 1
ln ax
x2a2 a
C 1
x x2 a2
t
a
lnxx2a2C(C C 1 ln a )
当 xa时 ,令 xu,则ua,于是
第二节 不定积分的换元积分法
例22 求
∫
1
2
1 x 4 − x arcsin 2
2
dx .
解
∫
x 4 − x arcsin 2 1
dx = ∫
1
2
x 1− arcsin 2 2
x d x 2
x x d (arcsin ) = ln arcsin + C . =∫ x 2 2 arcsin 2
例23. 求
(x +1)e 1 1 dx = ∫( x − )d(xex ) 解: 原式= ∫ x x xe (1+ xex ) xe 1+ xe
x
= ln xex −ln 1+ xex +C = x +ln x −ln 1+ xex +C
1 1+ xex − xex 分析: 分析 x x = xe (1+ xe ) xex (1+ xex )
(x +1 exdx = xexdx +exdx )
例24. 求
f (x) f ′′(x) f (x) 1− dx 解: 原式 = ∫ 2 f ′(x) f ′ (x)
d(x + a) 1 d(x −a) −∫ = ∫ x +a 2a x −a
1 x −a 1 +C = [ ln x−a −ln x+ a ] +C = ln 2a x +a 2a
常用的几种配元形式:
1 1 ∫ f (ax +b)dx = ) a 1 n n− 1 2) ∫ f (x ) x dx = n 1 n 1 3) ∫ f (x ) d x = n x
1 1 2 = ( 2 x + 3) − ( 2 x − 1) 2 + C . 12 12
4(2)不定积分的换元积分法
34
换元积分法
例15
求
I x
dx 4 x2
解法一: 三角变换 x 2sin t
解法二: 解法三: 解法四:
根式变换 4 x2 t 倒变换 x 1
t
4 x2 tx
35
换元积分法
注 一些情况下(如被积函数是分式,分母的方幂
较高时), 倒代换 x 1 可用来消去分母中的变量.
例16 求
回 代
sectdt ln | sect tan t | C1
辅助三角形
ln
x2 a2 a
x a
C1
x2 a2
x
ln | x x2 a2 | C1 lna ln | x x2 a2 | C
t a
28
换元积分法
相仿地, 通过变换 x a secx可算出
1
x2 a2dx ln | x
(1) 2xex2 dx
(2)
x11 dx
1 x8
dx
(3) xaxn b
总结三
u axn b
f (axn b)xn1dx
1 na
f
(u)du
10
换元积分法
例5 求
(1) tan xdx
dx
(3) 1 ex
总结四
u(x) u(x)
dx
du(x) u(x)
(2) cot xdx
1 a
F (ax
b)
C
6
换元积分法
例3 求 (1) ex cos ex dx
(2)
arctan
x 1
xdx
x
arcsin xdx
(3) 1 x2
7
换元积分法
不定积分的计算ppt课件
1
1 (ex )2
dex
arctan ex C.
dex exdx
1
1 u
2
du
arctan u C
一般地, 有
ex f (ex )dx f (ex )dex.
13
例9 求
dx 2x ln
x
.
解
dx 2x ln
x
2
1 ln
x
d
(ln
x)
1 ln ln x C. 2
d ln x 1 dx x
解: 令 u ln x , v x
则 du 1 dx , v 1 x2
x
2
原式
=
1 2
x2
ln
x
1 2
x dx
1 x2 ln x 1 x2 C
2
4
30
例2 求积分 x cos xdx . uvdx uv uvdx
分析：被积函数 xcosx 是幂函数与三角函数的乘积,
采用分部积分.d(1x2 Nhomakorabea)
x arccos x 1 x2 C
34
例4 求 x arctan xdx.
解 设 u = arctanx, v′= x, 则
x
arctan
xdx
arctan
xd
(
1 2
x
2
)
du
1 1 x2
dx, v
1 2
x2
1 x2 arctan x 1
2
2
x2 1 x2 dx
1 x2 arctan x 1
不定积分的计算
一、第一换元积分法 二、第二换元积分法 三、分部积分法
1
不定积分换元积分和分部积分
1 1 x x 2 dx a x 2 d a 1 1 a a
(公式)
1
1 x arctan C 。 a a
例11． 当a>0时， 1 1 a 2 x 2 dx a
1 x 1 a
2
dx
x d 2 a x 1 a
(例2)
1 1 1 1 x(1 2 ln x) dx 1 2 ln x ( x dx ) 1 2 ln x d (ln x) 1 1 1 ln | 1 2 ln x | C d (1 2 ln x) 2 2 1 2 ln x
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f [ ( x)] ( x)dx f [ ( x)]d ( x ) f (u )du f (u)C f [(x)]C。
x2
1 1 x2 x2 2 例4 ． xe dx e dx e C 。 4 2 2 2 3 x 2 3 e3 x 3 x dx 2 e d x e d 3 x e 例5 5 ． 3 3 x
4 4 2 2 2 2
3 1 31 1 1 3 1 1 n 4x )C x sin 2 x sin 4 x C 。 sin 4x )C ( xsin 2x x sin 2x si 8 4 24 32 8 8 4 32
1 1 例 ． (cos 例16 16 16 cos 3 3x x cos cos 2 2x x dx dx (cos x x cos cos 5 5x x) )dx dx cos 2 2 1 1 sin x sin 5x C。 2 10
1 2 1 3 5 7 sin x sin x sin x C。 3 5 7 1 1 1 11 例14 ． 2x C 14 x sin sin 2x C。 cos x dx 2 (1cos 2x) dx 2 44 2
不定积分的换元积分法
第四节 不定积分的换元积分法不定积分时若凑微分法、分部法均解决不了问题，且被积函数中含有复杂的量arcsin x 、()nax b +等），则可以考虑使用换元积分法.一、换元积分法例6．4．1 求不定积分.解 这里主要障碍是 t = 此时2x t =t ”则211dt t=+⎰ 21t dt t=+⎰ 1121t dt t+-=+⎰ 12(1)1dt t =-+⎰ 22ln 1t t C =-++(2ln 1C =+. 例6．4．2 求不定积分11x dx e+⎰. 解 同样令主要障碍x e t =，此时ln x t = 则11x dx e +⎰1ln 1d t t =+⎰()11dt t t=+⎰ 11()1dt t t=-+⎰ ln ln 1t t C =-++ln(1)x x e C =-++.例6．4．3 求不定积分arcsin xdx ⎰.解 令arcsin x t =，此时sin x t =，则 arcsin xdx ⎰sin td t =⎰sin sin t t tdt =-⎰sin cos t t t C =++arcsin x x C =.例6．4．4 求不定积分()2101x dx x +⎰.解 令()1x t +=，此时1x t =-，则()2101x dx x +⎰ ()()21011t d t t -=-⎰21021t t dt t-+=⎰ 8910(2)t t t dt ---=-+⎰789111749C t t t=-+-+ ()()()789111714191C x x x =-+-++++.从以上例题可见，换元可使复杂积分变得简单，可关键是怎么换.二、换元积分举例例6．4．5 用换元法求下列不定积分：（1）； （2）⎰； （3）；（4）⎰； （5）；（6）. 解（1）21t dt t +221t dt t =+⎰21121t dt t -+=+⎰1211t dt t ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎰ =222ln 1t t t C -+++=(2ln 1x C -++；（2）⎰2t e dt2t te dt =⎰22t t te e dt =-⎰()21t e t C =-+=)21C +；（3） ()2111t d t t --+ 221t t dt t -=+⎰ 22221t t dt t --+=+⎰ 2221t dt t ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎰ ()244ln 1t t t C =-+++=)14ln1x C +-+；（4）⎰ 2222()55t t td -- 422425t t dt -=⎰ 532412575t t C =-+=532412575C -+；（5）⎰()63211dt t t + 226t 661dt t+-=+⎰ 66arctan t t C =-+=C ；（6）21ln(1)d t t- 2121dt t =-⎰ 1111dt t t ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭⎰ 1ln 1t C t -=++ln C =+.t =”也就行了.“2x ”项，问题就不是那么简单了.例6．4．6cos t =（,22t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦）换元，求积分. 解sin cos sin x t td t =⎰2cos tdt =⎰1cos 22t dt +=⎰ 11cos 2224dt td t =+⎰⎰ 11sin 224t t C =++ 11sin cos 22t t t C =++ ()11arcsin cos arcsin 22x x x C =++. 例6．4．7sec t =（,22t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦）换元，求积分.解12tan 2tan 2sec x t d t t=⎰sec tdt =⎰ ln sec tan t t C =++ln sec arctan 22x x C ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.例6．4．8 tan t =（0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）换元，求积分. 解33sec 3sec 27sec 3tan d t x t t t =⋅⎰ 21127sec dt t=⎰ 21cos 27tdt =⎰ 1(1cos 2)54t dt =+⎰ 11sin 254108t t C =++ 11sin cos 5454t t t C =++ 1313arccos sin arccos 5418C x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 例6．4．9 求下列不定积分：（1）sin sin cos x dx x x +⎰；（2）；（3）⎰. 解（1）sin sin cos x dx x x +⎰11cot dx x=+⎰cot x t =1cot 1darc t t +⎰21111dt t t =-++⎰ 2111211t dt t t -⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭⎰ 211112121t dt dt t t-=-+++⎰⎰ 2211111212121t dt dt dt t t t =-+-+++⎰⎰⎰ ()2111ln 1ln 1cot 242t t arc t C =-+++++ =()2111ln 1cot ln 1cot 242x x x C -+++++；（2）dx222= 222dt =+22=-+ 查《积分表》（见文献文献×）12arcsin 2arcsin 2t t C ⎛=-++ ⎝arcsin t C =-+=(C -；（3）⎰t22sec tan t tdt =2tan tan td t =3t C =+3arc s co C x ⎛=+ ⎝⎭； 此题还可以用另一个很简单的解法：⎰212= ()()12221332x d x =--⎰ ()322133x C =-+； 可见换元积分法不是一个很好的方法，凑微分法、分部法均解决不了，再考虑用它. 思考题6.41．本节介绍的换元积分法中，换元的根本目的是什么？应注意什么问题？2．总结一下利用三角公式换元积分法（三角代换法）的三种类型.3．思考凑微分法、分部法及换元法三种积分方法的优先次序，如何选用？ 练习题6.41. 用换元法求下列不定积分：（1）； （2）； （3）()31x dx x -⎰. 2. 利用三角代换求下列不定积分：（1）()0a >； （2）； （3）()0a >．练习题6.4答案1.解（1）()2211t d t t-- ()221t dt =-⎰3223t t C =-+C -； （2）()3121d t t -+ 231t dt t=+⎰ 21131t dt t-+=+⎰ 1311t dt t ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎰ =2333ln 12t t t C -+++=233ln 12C -+； （3）()31xdx x -⎰()3111t d t t--⎰-x=t 31t dt t-=⎰ 2311dt t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ 212C t t=-++=()21211C x x ++--.2. 解（1）()0a > sin cos (sin )x a t a td a t =⎰ 22cos a tdt =⎰()21cos 22a t dt =+⎰22sin 224a a t t C =++=2arcsin 2a x C a ； （2）21x 2tan 2tan 4tan 2sec t d t t t =⎰ 21cos 4sin t dt t=⎰ 211sin 4sin d t t=⎰ 14sin C t =-+ 1csc arctan 42x C ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭； （3）()0a >1x sec sec sec tan a t da t a ta t =⎰ 1dt a =⎰ 1t C a=+ 1arccos a C a x =+．。
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类似有
f (cos x)sin x d x (u cos x)
csc xd x
1 sin
x
d
x
1 sin2
xsinxdx11 cos
2
x
ds(icnoxs
dx
)x
1
1 u2
d
u
(u cos x)
1 2
( 1
1
u
1 )du 1 u
1 2
ln
1 1
u u
C
1 ln 1 cos x C. 2 1 cos x
(10) sinm xcosn xdx
m(或n) : 奇数，设u cos x(或u sin x) m, n均为偶数，用倍角公式 特别地，当m n 时，设u sin 2x
例8
原式
sin cos
x x
dx
dcos x cos x
f (cos x)sin x d x (u cos x)
u(nax1bC)n n1
1 a
（ ax b）n（ax b）d x
u
du ?
1 a
(ax
b)n
d(ax
b)
1 a
un
du
1 a
un1 . n1
C
（令u ax b）
（ax b）n1 C a(n 1)
(u ax b代入)
2. 定理1(第一换元积分法)
设 f (u)具有原函数, u ( x)可导, 则
u 3x 2
1 3
cos ud u
1 sin u C 3
u 3x 2 1 sin（3x 2） C. 3
例2
1 dx
3 2x
解
u 3 2x
1 2
1 u
du
1 ln u 2
C
u 3 2x 1 ln 3 2x C 2
例3 x 1 x2 d x
解
联
想
公式： uα
d
x
uα1 α1
1 cos3 x 1 cos5 x C .
3
5
（2） cos4 x d x
(1 cos 2x)2 d x （降次） 2
（3）
sin2 x cos2 x d x
1 4
sin
2
2
x
d
x
1 1 cos 4x d x 1 ( x 1 sin 4x) C.
42
84
常见的选 u= (x) 规律(续1)
例11 求 cos 3x cos 2x d x.
分析 当被积函数为sinax cosbx,sinax sinbx,
或cos ax cos bx的形式时，常用积化和差
公式将被积函数化简后再积分.
(5) f (sin x)cos x d x (u sin x)
(6) f (arcsin x)d x 1 x2
(u arcsin x)
(7)
f
(arctan 1 x2
x
)
d
x
(u arctan x)
(8) f (tan x)sec2 x d x (u tan x)
(9) f (sec x)sec x tan x d x (u sec x)
f (sec x)sec x tan x d x (u secx)
（sec2 x 1）2 sec2 x dsec x
常见的选 u= (x) 规律(续2)
(12) tanm x secn x d x
n : 偶数，设 u tan x
m
:
奇数，设
u
sec
x
cotm x cscn x d x
例10（1） tan2 x sec6 x d x tan2 x(1 tan2 x)2 sec2 x d x
f (tan x)sec2 x d x (u tan x)
tan2 x（1 tan2 x）2dtan x
（2） tan5 x sec3 x d x tan4 x sec2 x dsec x
2
2
例5
原式
1 a
d( x )
1
a (x
)
2
a
1
d
u u2
arctan
u
C
u x a
例6 (1)
log a x
x
d
x
(log a
x)
1 ln a
x
ln a loga x d(loga x)
u loga x
(loga x)2 ln a C 2
(2)
x(1
1 ln
x
)2
d
x
(1 ln x) 1 x
类似地，有 cot xdx ln sin x C
例9 sec x d x
解
sec x d x
cos x cos2 x
dx
dsin x
1 sin2 x
1 2
1
1 sin
x
1
1 sin
x
d sin
x
1 ln 1 sin x ln 1 sin x C
2
1 ln 1 sin x C 2 1 sin x
C
原式
1 2
1 x2 d(1 x2 )
3
u 1 x2 1 u d u 1 . 2 u2 C
2
23
u
1
x2
1（1
3
x 2）2
C.
3
例4
xex2 d x
解 联想公式： eu d u eu C
xe x2 d x
1 2
e
x2
d
x2
u x2 1 eu d u 1 e x2 C
u 1 ln x
d (1 ln x) （1 ln x）2
1 1 ln x
C
常见的选 u= (x) 规律
(1)
f (ax b)d x 1[ a
f (u)d u]uaxb
(2) f ( x1)x d x (u x1, 1)
(3)
f
(ln x
x)d
x
(u ln x)
(4) f (cos x)sin x d x (u cos x)
f (u)d u u ( x) 令u ( x)
即
f [( x)]( x)dx f [( x)]d( x)
—— 换元公式
换元思想: 设变换 u ( x),
化积分为易于求解的形式.
关键： 如何选择 u= (x) ?
例1 cos(3x 2)d x
解 联想公式 cos ud u sin u C
……
例7 求下列不定积分：
(1) sin3 x cos2 x d x
f (cos x)sin x d x (u cos x)
(1 cos2 x) cos2 x sin x d x
（1 cos2 x）cos2 x d(cos x)
(cos2 x cos4 x)d(cos x)
第4章
第23讲 不定积分的换元积分法
一、第一类换元积分法（凑积分法） 二 、第二类换元积分法 三 、基本积分表（ Ⅱ ）
一、第一类换元积分法 —— 凑微分法
1. 引例 求 （ax b）n d x ( a 0, n为自然数）
解 （ ax b）n d x
验联证想：公(式aax(：nub1)nn)d1u