含有绝对值的不等式·典型例题分析

含有绝对值的不等式·典型例题分析

例1 求下列函数的定义域和值域：

分析利用绝对值的基本概念．

解 (1)x+|x|≠0，即|x|≠-x．∴x＞0．

∴定义域为(0，+∞)，值域为(0，+∞)．

(2)|x|≥x，x∈R．|x|-x≥0，∴y∈[0，+∞)．

(3)x+|x|＞0，x∈R+．y∈R．

画出函数图象如图5-17所示．不难看出，x∈R，y∈[-1，1]．

说明本例中前三个易错，第四个要分析写出函数表达式，并画出函数图象，此法在求值域时常用．

例2 解不等式|x+1|＞|2x-3|-2．

将不等式中的绝对值符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式(组)，再去求解．去绝对值符号的关键是找零点(使绝对值等于零的那个数所对应的点)，将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．

(1)当x≤-1时原不等式化为-(x+1)＞-(2x-3)-2．

∴x＞2与条件矛盾，无解．

综上，原不等式的解为{x|0＜x＜6}．

注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏．

例3 解不等式|x2-4|＜x+2．

分析解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：

二是根据绝对值的性质：|x|＜a⇔-a＜x＜a，|x|＞a⇔x＞a或x＜-a，因此本题有如下两种解法．

∴2≤x＜3或1＜x＜2

故原不等式的解集为{x|1＜x＜3}．

解法二原不等式等价于-(x+2)＜x2-4＜x+2

例4 求使不等式|x-4|+|x-3|＜a有解的a的取值范围．

分析此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便．

解法一将数轴分为(-∞，3]，[3，4]，(4，+∞)三个区间

当3≤x≤4 时，得(4-x)+(x-3)＜a，即a＞1；

∴a＞1．

以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a＞1．

解法二设数x，3，4在数轴上对应的点分别为P，A，B，如图，由绝对值的几何定义，原不等式|PA|+|PB|＜a的意义是P到A、B的距离之和小于a．

因为|AB|=1，故数轴上任一点到 A、B距离之和大于(等于)1，即

|x-4|+|x-3|≥1，故当a＞1时，|x-4|+|x-3|＜a有解．

ε．

分析根据条件凑x-a，y-b．

证明 |xy-ab|=|xy-ya+ya-ab|

说明这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法．

分析使用分析法．

证明∵|a|＞0，∴只需证明|a2-b2|≥|a|2-|a||b|，两边同除|b|2，即只需证明

说明有关绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也可以一开始就用

定理2：

|a|-|b|，∴原不等式也成立．