含有绝对值的不等式·典型例题分析
绝对值不等式(高考版)(含经典例题+答案)
绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。
b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。
x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。
分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a ≤3.例2：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。
高二数学绝对值不等式试题答案及解析
高二数学绝对值不等式试题答案及解析1.设函数（1）解不等式；（2）求函数的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）解含绝对值的不等式，关键是去掉绝对值符号，其方法有三种：①定义法；②平方法；③分区间讨论法，这里用的是分区间讨论法，遇到多个绝对值时常用此方法；（2）求绝对值函数的值域，通常是通过分区间讨论，去掉绝对值符号，将绝对值函数改写成分段函数，然后就每段求的范围，最后再将每段求得的范围求并集，注意不是求交集，从而得到绝对值函数的值域.试题解析：（1）不等式等价于：①；②；③，综合①②③得不等式的解集为：（2）①当时，；②当时，③当时，综合①②③得函数的值域为，因此求函数的最小值为.【考点】1.含绝对值的不等式的解法；2.绝对值函数的值域的求法；3.分类讨论思想.2.已知定义在R上的函数的最小值为.（1）求的值；（2）若为正实数，且，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】解题思路：（1）利用求得的最小值；（2）利用证明即可.规律总结：不等式选讲内容，一般难度不大，主要涉及绝对值不等式和不等式的证明，证明或求最值，要灵活选用有关定理或公式.试题解析：（1）因为,当且仅当时,等号成立,所以的最小值等于3,即.（2）由（1）知,又因为是正数,所以,即.【考点】1.绝对值不等式；2.重要不等式.3.设函数(1)求不等式的解集；(2)若不等式（，，）恒成立，求实数的范围．【答案】（1）;(2).【解析】(1)欲解不等式，需去掉绝对值，考虑到含有两个绝对值，因此分三段去，然后解.（2）要使不等式恒成立，则,考虑到不等式性质,不等式右侧可化简.试题解析：去绝对值，函数可化为,分三段解不等式，可得解集为：.由, 可得, 由（1）可解得：【考点】（1）含绝对不等会的解法；（2）恒成立问题（一般采用分离常数）.4.已知函数（1）解关于的不等式；（2）若存在，使得的不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）;（2）【解析】（1）先去掉绝对值得到，然后遂个求解不等式最终可得解集；（2）利用含参不等式的求解方法先确定因为所以则．试题解析：（1）原不等式等价于①： 1分或②： 2分或③： 3分解不等式组①无解； 4分解不等式组②得： 5分解不等式组③得： 6分所以原不等式的解集为 7分；（2）依题意 9分因为，所以 11分所以， 12分所以实数的取值范围为 13分．【考点】1，分段函数2，含参函数不等式的求解．5.对于实数，若，则的最大值为（）A．4B．6C．8D．10【答案】B【解析】因为又因为，可得，故选B.【考点】绝对值不等式.6.不等式的解集为A．[-5.7]B．[-4,6]C．D．【答案】C【解析】本题利用绝对值的几何意义，结合数轴求解。
含有绝对值的不等式案例
含有绝对值的不等式案例一、主题与背景不等式是中职数学学习的重要内容之一。
本节课是中职数学基础模块（人教版）第二章不等式第四节的第一课时。
解含绝对值的不等式的基本思想是:去掉绝对值符号，化归为不含绝对值符号的不等式。
含有绝对值不等式的学习，是在初中一元一次不等式的基础上进行的，是集合知识的应用和巩固，对培养学生分析问题、解决问题的能力、理解能力、培育思维的灵活性有很大的帮助，同时能使学生养成多角度认识事物的习惯；并通过不等式变换的等价性培养思维的可容性。
本节体现了数形结合、等价转化、整体代换等重要的数学思想，对学生的数学核心素养的培养有重要作用。
二、情景再现（一）创设情景，引入新课，提出问题师：（拿出一包小吃，展示出来，观察它的质量）按商品质量规定，商店出售的标明50g这个袋装食品，其实际数与所标数相差不能超过5g，这包小吃的质量在哪个范围内呢？生：45--55g师：如何表达实际数与所标数的关系呢？实际数是多少我们不知道，所以可以设为x g,所标的数有50和5，怎样表示他们的关系呢？生：50-x≤5,生：x-50≤5；师：咦!怎么得出两种关系了呢？生：如果实际数比50大，则用x-50≤5,如果实际数比50小，就用50-x≤5师：很好！所以综合起来就是|x-50|≤5，像这种含有绝对值的不等式怎么解呢？这就是我们这节课要解决的问题。
（二）复习旧知，数形结合，分析问题师：我们先来看|x|=5？x=?生：5或-5师：绝对值的几何意义是什么？生：x的绝对值表示数x这个点到原点的距离。
师：|x|=5的几何意义是什么？并在数轴上表示出来。
生：x这个点到原点的距离是5个单位，表示在数轴上是5和-5。
师:很好！我们知道了|x|=5，那么如何解绝对值不等式|x|≤5呢？生：（思考）师：看我们画的数轴，根据绝对值的几何意义我们知道：到原点的距离为5的点是5和-5，那么到原点的距离比5小的是哪部分呢？到原点的距离比5大的又是哪部分呢？我叫一个同学在数轴上指出来。
绝对值不等式的解法例题
绝对值不等式的解法例题
绝对值不等式的解法一般有两种，一种是利用数轴的方法，另一种是利用定义式进行分析。
下面我们来看一道绝对值不等式的解法例题。
例题：求解|2x-3|<5。
解法一：数轴法
首先我们可以画出数轴，然后在数轴上标出2x-3的位置。
接着我们需要找出满足绝对值小于5的所有x的可能位置。
由于绝对值的定义是非负数，所以|2x-3|<5等价于-5 < 2x-3 < 5，即-2 < x < 4。
最后我们将答案标在数轴上即可。
解法二：定义式法
我们可以将绝对值的定义式进行分析，即|a|<b等价于-b<a<b。
将该式代入原不等式中，得到-5<2x-3<5。
接着我们可以将不等式两边加上3，得到-2<2x<8，再将不等式两边除以2，得到-1<x<4。
最后我们得到了和解法一相同的答案。
综上所述，绝对值不等式的解法可以通过数轴法和定义式法两种方法进行。
对于不同的题目，我们可以根据实际情况选择适合的解法。
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(整理版)含绝对值的不等式的解法·例题
含绝对值的不等式的解法·例题例5-3-13解以下不等式：(1)|2-3x|-1＜2(2)|3x+5|+1＞6解(1)原不等式同解于(2)原不等式可化为|3x+5|＞5 3x+5＞5或3x+5＜-5注解含绝对值的不等式，关键在于正确地根据绝对值的定义去掉绝对值符号。
解5-3-14解不等式4＜|x2-5x|≤6。
解原不等式同解于不等式组不等式(i)同解于x2-5x＜-4或x2-5x＞4不等式(ii)同解于-6≤x2-5x≤6取不等式(i)，(ii)的解的交集，即得原不等式的解集其解集可用数轴标根法表示如下：注本例的难点是正确区别解集的交、并关系。
“数轴标根法〞是确定解集并防止出错的有效辅助方法。
例5-3-15解不等式|x+2|-|x-1|≥0。
解原不等式同解于|x+2|≥|x-1| (x+2)2≥(x-1)2注解形如|ax+b|-|cx+d|≥0的不等式，适合于用移项后两边平方脱去绝对值符号的方法。
但对其他含多项绝对值的情形，采用此法一般较繁，不可取。
例5-3-16解以下不等式：解(1)原不等式同解于不等式组左边不等式同解于右边不等式同解于取(i)，(ii)的交集，得原不等式的解集为{x|1＜x＜2} (2)原不等式同解于取(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)的并集，得原不等式的解集为例5-3-17解不等式||x+1|-|x-1||＜x+2。
分析要使不等式有解，必须x+2＞0即x＞-2。
又|x+1|，|x-1|的零点分别为-1，1，故可在区间(-2，-1)，[-1，1]，[1，+∞)内分别求解。
解原不等式同解于注解含多个绝对值项的不等式，常采用分段脱号法。
其步骤是：找出零点，确定分段区间；分段求解，确定各段解集；综合取并，确定所求解集。
例5-3-18 a＞0，b＞0，解不等式|ax-b|＜x。
解显然x＞0，故原不等式同解于注含绝对值的不等式中，假设含有参数，那么先去掉绝对值符号并化简，再根据具体情况对参数进行分类讨论。
高中数学典型例题--含绝对值的不等式解法
例1 不等式|8－3x|＞0的解集是[ ]A B R C {x|x } D {83}．．．≠．83分析∵－＞，∴－≠，即≠．|83x|083x 0x 83答选C ．例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是[] A ．3B ．2C ．－2D ．－5分析列出不等式．解根据题意得2＜|x|≤5．从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5，答选D ．例3不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________．分析利用所学知识对不等式实施同解变形．解原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为－≤＜－或＜≤．3x 14x 2x 1{x|2x 1x }53835383例4已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ．分析转化为解绝对值不等式．解∵2＜|6－2x|＜5可化为2＜|2x －6|＜5即－＜－＜，－＞或－＜－，52x 652x 622x 62即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4解之得＜＜或＜＜．4x x 211212因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}．说明：注意元素的限制条件．例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么[] A ．|a －b|＜|a|＋|b|B ．|a ＋b|＞|a －b|C ．|a ＋b|＜|a －b|D ．|a －b|＜||a|＋|b||分析根据符号法则及绝对值的意义．解∵a 、b 异号，∴|a ＋b|＜|a －b|．答选C ．例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为[] A ．a ＝1，b ＝3B ．a ＝－1，b ＝3C ．a ＝－1，b ＝－3D a b ．＝，＝1232分析解不等式后比较区间的端点．解由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得．a b 1a b 2a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．1232答选D ．说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组．例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R)分析分类讨论．解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等2m 10m |2x 1|2m 112式的解集为；若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 12x ＜m ．综上所述得：当≤时原不等式解集为；当＞时，原不等式的解集为m m 1212{x|1－m ＜x ＜m}．说明：分类讨论时要预先确定分类的标准．例解不等式－＋≥．8 3212||||x x 分析一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母．解注意到分母|x|＋2＞0，所以原不等式转化为2(3－|x|)≥|x|＋2，整理得|x|x {x|x }≤，从而可以解得－≤≤，解集为－≤≤．4343434343说明：分式不等式常常可以先判定一下分子或者分母的符号，使过程简便．例9 解不等式|6－|2x ＋1||＞1．分析以通过变形化简，把该不等式化归为|ax ＋b|＜c 或|ax ＋b|＞c 型的不等式来解．解事实上原不等式可化为6－|2x ＋1|＞1①或6－|2x ＋1|＜－1②由①得|2x ＋1|＜5，解之得－3＜x ＜2；由②得|2x ＋1|＞7，解之得x ＞3或x ＜－4．从而得到原不等式的解集为{x|x ＜－4或－3＜x ＜2或x ＞3}．说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论．例10已知关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －3|＜a 的解集是非空集合，则实数a 的取值范围是________．分析可以根据对|x ＋2|＋|x －3|的意义的不同理解，获得多种方法．解法一当x ≤－2时，不等式化为－x －2－x ＋3＜a 即－2x ＋1＜a 有解，而－2x ＋1≥5，∴a ＞5．当－2＜x ≤3时，不等式化为x ＋2－x ＋3＜a 即a ＞5．当x ＞3是，不等式化为x ＋2＋x －3＜a 即2x －1＜a 有解，而2x －1＞5，∴a ＞5．综上所述：a ＞5时不等式有解，从而解集非空．解法二|x ＋2|＋|x －3|表示数轴上的点到表示－2和3的两点的距离之和，显然最小值为3－(－2)＝5．故可求a 的取值范围为a ＞5．解法三利用|m|＋|n|＞|m ±n|得|x ＋2|＋|x －3|≥|(x ＋2)－(x －3)|＝5．所以a ＞5时不等式有解．说明：通过多种解法锻炼思维的发散性．例11 解不等式|x ＋1|＞2－x ．分析一对2－x 的取值分类讨论解之．解法一原不等式等价于：①－≥＋＞－或＋＜－2x 0x 12x x 1x 2或②－＜∈2x 0x R由①得≤＞或＜－x 2x 1212即≤＞，所以＜≤；x 2x x 21212由②得x ＞2．综合①②得＞．所以不等式的解集为＞．x {x|x }1212分析二利用绝对值的定义对|x ＋1|进行分类讨论解之．解法二因为|x 1| x 1x 1x 1x 1＋＝＋，≥－－－，＜－原不等式等价于：①≥＞或②＜＞xx x x x x 10121012由①得≥＞即＞；x x 11212x 由②得＜－－＞即∈．x 112x 所以不等式的解集为＞．{x|x }12例12 解不等式|x －5|－|2x ＋3|＜1．分析设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分区间讨论，事实上，由于＝时，－＝，＝－时＋＝．x 5|x 5|0x |2x 3|032所以我们可以通过－，将轴分成三段分别讨论．325x 解当≤－时，－＜，＋≤所以不等式转化为x x 502x 3032－(x －5)＋(2x ＋3)＜1，得x ＜－7，所以x ＜－7；当－＜≤时，同理不等式化为32x 5－(x －5)－(2x ＋3)＜1，解之得＞，所以＜≤；x x 51313当x ＞5时，原不等式可化为x －5－(2x ＋3)＜1，解之得x ＞－9，所以x ＞5．综上所述得原不等式的解集为＞或＜－．{x|x x 7}13说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值”是基本策略．例13 解不等式|2x －1|＞|2x －3|．分析本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝对值，但这样比较复杂．如果采取两边平方，即根据＞＞解|a||b|a b 22之，则更显得流畅，简捷．解原不等式同解于(2x －1)2＞(2x －3)2，即4x 2－4x ＋1＞4x 2－12x ＋9，即8x ＞8，得x ＞1．所以原不等式的解集为{x|x ＞1}．说明：本题中，如果把2x 当作数轴上的动坐标，则|2x －1|＞|2x －3|表示2x 到1的距离大于2x 到3的距离，则2x 应当在2的右边，从而2x ＞2即x ＞1．。
含绝对值不等式的解法文字版
由 A∪B=R， a 4 1 得 ， a 4 5
∴1<a<3 .
做这种题目时，除了注意数形结合外，还应当 注意“等号”取得到取不到.如果没把握，最好的办 法就是把由“等号”取得的 a 值代入到条件中看是 否符合题意.
例 3．解不等式 |x-2|<5.
分析与解答： 设 x-2 为一个整体，根据绝对值的几何意义，
x 2 5 可得-5<x-2<5，也可写成 ， x 2 5
∴ -3<x<7, ∴ 原不等式的解集为(-3, 7).
例 4．解关于 x 的不等式：|x-2m|>n(n>0).
分析与解答： x-2m>n 或 x-2m<-n, ∴ x>2m+n 或 x<2m-n. ∴ 原不等式的解集为{x|x>2m+n 或 x<2m-n}. 也可写成(-∞,2m-n)∪(2m+n,+∞). 解的时候仍应将 x-2m 看成一个整体， 并利用绝 对值的几何意义.
但∵a∈R，∴还应考虑 a=0 和 a<0. 当 a<0 时， 不等式 |x|<a 的解集应为. 我们只需从绝对值的定义考虑，不等式即可有 答案： 因为|x|是非负数，即|x|≥0， ∴|x|不可能小于负数，当然不等式|x|<a(a<0)解 集为. 当 a=0 时，同理可知|x|<a 的解集为.
和 -4（由 3-2x=0 和
，将(-∞,+∞)分成三段，然后分别在这 x+4=0 找到） 三段内对绝对值符号内的式子的正负进行讨论，从 而去掉绝对值符号，达到解出不等式的目的. 原不等式即|2x-3|<|x+4|+5 (1)当 x≤-4 时，原不等式化为 3-2x<-x-4+5,即 x>2. 此时不等式无解（或为）.
高一数学-含绝对值的不等式解法·例题剖析 精品
含绝对值的不等式解法·例题剖析【例1】解不等式1＜|x－2|≤3．分析(一)列式不等式a＜|f(x)|＜b的解法是把列式不等式化为不等系是“且”，因此要把得到的两个解集再求交集，而不是并集，这也是初学时最容易混淆的．由(1)得：x－2＞1或x－2＜－1即：x＜1或x＞3由(2)得：－3≤x－2≤3即－1≤x≤5，如图1．4－3所示∴原不等式解集为{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}分析(二)此绝对值不等式也可用分类讨论的数学思想，把|x－2|用绝对值的意义分类讨论，将原不等式化为两个不等式组，特别注意此时两个不等式组得到的解集要求并集而不是交集，一般地，分类讨论得到的若干情况都要求并集而不是交集．解(二)由原不等式可得：(Ⅰ)的解集是{x|3＜x≤5}(Ⅱ)的解集是{x|－1≤x＜1}∴原不等式的解集为{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}，如图1．4－4所示．【例2】解不等式|x＋3|＞|x－5|分析(一)此题无法像例1一样直接脱去两个绝对值，而可用例1的解法(二)的技巧，按每个取绝对值的解析式的值的正、负(和零)分段求解，也就是解决绝对值问题的常用手段——零点分段法．解法(一)原不等式的解集可以化为下列四个不等式组的并集．可分别求出：(Ⅰ)的解集为{x|x≥5}(Ⅱ)的解集为{x|1＜x＜5}(Ⅲ)(Ⅳ)∴原不等式的解集为{x|x＞1}．分析(二)显然解法(一)的办法虽然通用但比较繁琐，而此类问题最好的解决办法是不等式两边平方，可将含绝对值的不等式一次化为不含绝对值的不等式．解法(二)∵不等式两边非负∴两边平方得x2＋6x＋9＞x2－10x＋25∴x＞1 ∴原不等式的解集为{x|x＞1}注意此方法要注意不等式两边平方的等价问题．分析(一)此不等式比起例1、例2又复杂了，但零点分段法仍然适用，而且也是解决这类题目普遍采用的方法．分析(二)此题的两个含绝对值的解析式是同一个“零点”为解法(二)由原不等式得：【例4】解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1．(m∈R)解析此题的难点在于不知道2m－1的符号是“＋”还是“－”，因此应分类讨论来求解．|2x－1|＜2m－1恒不成立，此时原不等式无解．∴1－m＜x＜m注意此题的分类讨论与例2中解法一的分类讨论不同，那是对x的讨论，因此最后的解集是各种情况的并集，而此题是解关于x的不等式，讨论的是参数m，因此最后的解集要按m的分类情况一一写出而不能把它们求并集．【例5】对任意实数x，若不等式|x＋1|－|x－2|＞k恒成立，则k的取值范围是[ ] A．k＜3B．k＜－3C．k≤3D．k≤－3分析(一)此题也可用分类讨论的思想零点分段去掉绝对值．解法(一)由1)得k＜－3 由2)得－1＜x＜2时k＜2x－1而2x－1∈(－3，3)由3)得k＜3依题意，要对任意x都使该不等式成立∴k＜－3时，1)2)3)都可以满足，故选B．分析(二)显然解法一通俗但繁琐，而此类题也可以根据绝对值的几何意义来求解，方法很巧妙也具有一般性，要注意|x－a|可以看作在数轴上点x到点a的距离．解法(二)根据绝对值的几何意义：|x＋1|可看作点x到点－1的距离，|x－2|可以看作点x到点2的距离，因此|x＋1|－|x－2|即为数轴上任一点x到点－1的距离与到点2的距离的差记作(*)，要使它大于k恒成立就要讨论点x在哪：1)当点x在点－1左侧时，如图中点R，则(*)恒为－3．2)当点x在点2右侧时，如图中点T，则(*)恒为3．3)当点－1≤x≤2时，如图中点S，则－3≤(*)≤3．由1)2)3)可知，无论x为任何实数，(*)的范围是－3≤(*)≤3．因此若使|x＋1|－|x－2|＞k，只需k＜－3．注当k=－3时，若|x＋1|－|x－2|=－3则无法取“＞”号．分析(三)此题也可用函数图像的方法来解，而这部分知识下一章就要介绍，这种方法也是今后学习函数后经常用到的．解法(三)令y=|x＋1|－|x－2|，在直角坐标系下作出其图像如图1．4－7所示：由图1．4－7得到－3≤y=|x＋1|－|x－2|≤3以下同解法(二)．【例6】解不等式|2x＋1|＜－x分析(一)此题形式与例4相似，因此可对不等式右边的x进行分类讨论，注意它不是数字而是含未知数的代数式，因此不能像例1一样直接按绝对值的意义展开．②当x＜0时，－x＞0，原不等式转化为不等式组：x＜2x＋1＜－x分析(二)此不等式也可以先考虑利用绝对值的意义，对绝对值内部的2x＋1进行分类讨论，从而先去掉绝对值变为整式不等式，再求它的解集．解法(二)原不等式等价于：参见图1．4－8．分析(三)通过解这样的不等式，使我们联想推广到解不等式|f(x)|＜g(x)，其中f(x)、g(x)都是含x的代数式．1)当f(x)≥0时，0≤f(x)＜g(x)；2)当f(x)＜0时，－f(x)＜g(x)，即－g(x)＜f(x)＜0；∴－g(x)＜f(x)＜g(x)∴我们得到重要结论：从而解上述不等式|2x＋1|＜－x时我们可以不必担心分析(一)所述的“不等式右边是含未知数x 的代数式，而不能直接展开”，而可以“稀里糊涂”地解不等式：x＜2x＋1＜－x即可．解法(三)由原不等式得x＜2x＋1＜－x基础练习(一)选择题1．设集合A={x|－2＜x＜3}，集合B={x||x＋1|＞2，x∈R}，则A∪B=[ ] A．{x|1＜x＜3}B．{x|－3＜x＜3}C．{x|－2＜x＜1}D．{x|x＜－3，或x＞－2}2．不等式|x－2|＋1＜0的解集是[ ] A．{x|1＜x＜3}B．{x|x＜1，或x＞3}C．R3．集合{x∈N|0＜|x－1|＜3}的真子集个数为[ ] A．16个B．15个C．8个D．7个4．与不等式|1－3x|＜－2x解集相同的不等式是[ ] A．－2x＜1－3x＜2xB．2x ＜3x－1＜－2xC．－2x＜3x－1＜2xD．以上答案都不对5．已知关于x的不等式|x－a|＜b的解集为{x|－3＜x＜9}，则a，b的值分别为[ ] A．－3，9B．3，6C．3，9D．－3，6(二)填空题1．|x|＜a(a＞0)的解集是集合A={x|x＜a}与集合B={x|x＞－a}的________集；|x|＞a(a＞0)的解集是集合A={x|x＞a}与集合B={x|x＜－a}的________集．2．不等式|x|＞x的解集是________．4．不等式|x－1|＋|x＋2|＜5的解集是________．5．已知关于x的不等式|x＋2|＋|x－3|＜k的解集是非空集合，则实数k的取值范围是________ 6．已知A={x||2－x＞3}，B={x||x＋3|＜5}，则A∩B=________．(三)解答题1．解关于x的不等式(2)|2x－1|＞|2x＋3|(3)|x－2|＋|x－3|＞2(4)|2x－1|＜2－3x(5)|ax＋2|＞1(a∈R)2．已知|x－2|＋|x－3|＞a的解集是R，求a的取值范围．3．已知方程|x＋b|=7的解是x=－10或x=4，求|x＋b|＜7的解集．*4．已知a＞b＞0，全集I=R，A={x||x－b|＜a＝，B={x||x－a|＞b}，求(CI A)∩(C I B)．参考答案(一)选择题∴A∪B={x＜－3或x＞－2})2．D(由|x－2|＋1＜0得|x－2|＜－1 又∵|x－2|≥0 ∴解故该集合子集为23=8个，真子集为7个)4．B(解此类不等式可以直接由绝对值的意义展开，见本节例六，因此排除(D)，另外要注意(A)中－2x不是负数，此时－2x＞0，又排除(A)(C)，而(B)选项似乎与直接展开的2x＜1－3x＜－2x不同，但实质是一样的，因为|1－3x|=|3x－1|．)5．B(由|x－a|＜b得－b＜x－a＜b ∴a－b＜x＜a＋b 与(二)填空题1．交；并3．{x|－7≤x≤7} (先求|x|的范围，3|x|－1≤2|x|＋6 ∴|x|≤7 ∴－7≤x≤7即{x|－7≤x ≤7})4．{x|－3＜x＜2}(解：点－3到点－2与到点1的距离的和等于点2到点－2与到点1的距离的和为5，因此当－3＜x＜2时，点x到点－2到点1的距离的和小于5，故满足|x－1|＋|x＋2|＜5的解集为{x|－3＜x＜2}．注：本题也可零点分段去讨论．)5．k＞5(如图可知当x＜－2时或当x＞3时，点x到－2与3的距离之和大于5，当－2≤x≤3时，点x到－2与到3的距离之和等于5，所以|x＋2|＋|x－3|≥5，要使|x＋2|＋|x－3|＜k的解集非空则k＞5．)6．{x|－8＜x＜－1｝(解：A={x|x－2＜－3，或x－2＞3}={x|x＞5，或x＜－1} B={x|－8＜x＜2}∴A∩B={x|－8＜x＜－1}．(三)解答题(解：由原不等式得(解：不等式两边平方得4x2－4x＋1＞4x2＋12x＋9 即16x2．a＜1(由绝对值的几何意义知|x－2|＋|x－3|≥3－2＝1∴a＜13．{x|－10＜x＜4}(解：由已知点－10与点4到点－b的距离相等为7，所以－b=－3 ∴b=3 ∴|x＋b|＜7的解集为{x|－10＜x＜4}4．{a＋b}(解：A={x|b－a＜x＜a＋b} B={x|x＜a－b，或x＜a＋b} ∵全集I＝R ∴C I A={x|x ≤b－a，或x≥a＋b} C I B＝{x|a－b≤x≤a＋b} ∵a＞b＞0 ∴b－a＜a－b＜a＋b ∴(C I A)∩(C I B)={a＋b}。
含绝对值的不等式解法典型例题
含绝对值的不等式解法•典型例题能力素质例1不等式|8—3x|> 0的解集是[ ]A •B • R8 8C - {x|x 丰-3D・{?8 分析V |8—3x| > 0,二8—3x H 0,即X H3答选C •例2绝对值大于2且不大于5的最小整数是[ ]A • 3B • 2C • —2D • —5分析列出不等式•解根据题意得2< |x|< 5 •从而—5W x< —2或2< x w 5，其中最小整数为—5,答选D •例3不等式4< |1 —3x|< 7的解集为_____________ •分析利用所学知识对不等式实施同解变形•解原不等式可化为4< |3x—1|w 7,即4< 3x —1 w 7或—75 8w 3x—1<—4解之得5<x< 8或—2w x<—1,即所求不等式解集为3 3.5 8{x| —2 w x<—1 或< x w -} •1 1 3 3;例4 已知集合A = {x|2 < |6 —2x| < 5, x € N}，求A •分析转化为解绝对值不等式•解V 2< |6—2x|< 5可化为2< |2x —6|< 5即—5< 2x —6< 5,2x —6> 2 或2x—6<—2 , 即1< 2x< 11,2x> 8或2x< 4,11 1解之得4 v x v 或—v x v 2 .2 2因为 x € N ，所以 A = ｛0, 1, 5｝. 说明：注意元素的限制条件. 例5实数a , b 满足ab v 0，那么[ ]A . |a - b|v |a|+ |b|B . |a + b|> |a - b|C . |a + b| v |a — b|D . |a — b|v ||a|+ |b||分析根据符号法则及绝对值的意义. 解 T a 、b 异号，|a + b| v |a — b| .答选C .例6设不等式|x — a|v b 的解集为｛x| — 1v x v 2｝，贝U a , b 的值为[ ]A . a = 1, b = 3B . a =— 1, b = 3C . a = — 1, b = — 3D . a =分析 解不等式后比较区间的端点.解 由题意知，b > 0,原不等式的解集为｛x|a — b v x v a + b ｝，由于解集又 为｛x| — 1 v x v 2｝所以比较可得.答选D. 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组. 例7 解关于x 的不等式|2x — 1|v 2m — 1(m € R) 分析分类讨论.1解 若2m — K 0即m W 孑，则|2x — 1| v 2m — 1恒不成立，此时原不等 式的解集为1右 2m — 1 > 0即 m > —，则一(2m — 1) v 2x — 1 v 2m — 1,所以 1 — m v2a —b =—1a +b = 2 ，解之得 a = b=x v m .1综上所述得：当m W-时原不等式解集为；21当m>-时，原不等式的解集为2{x|1 —m v x v m}.说明：分类讨论时要预先确定分类的标准.点击思维例8解不等式> -.|x| + 2 2分析一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母.解注意到分母|x汁2 > 0,所以原不等式转化为2(3 —|x|) >凶+ 2,整理得4 4 4 4 4|x| W -，从而可以解得— 3 W x W -，解集为{x| —- W x W -}.3 3 3 3 3说明：分式不等式常常可以先判定一下分子或者分母的符号，使过程简便.例9 解不等式|6—|2x+ 1||> 1.分析以通过变形化简，把该不等式化归为|ax+ b|v c或|ax+ b|>c型的不等式来解.解事实上原不等式可化为6—|2x+ 1|> 1① 或6—|2x + 1|v—1② 由①得|2x+ 1|v 5，解之得一3v x v 2;由②得|2x+ 1|>7,解之得x>3或x v —4.从而得到原不等式的解集为{x|x v—4或一3v x v 2或x > 3}.说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论.例10已知关于x的不等式|x+ 2|+ |x—3|v a的解集是非空集合，则实数a的取值范围是 ____________________ .分析可以根据对|x + 2|+ |x —3|的意义的不同理解，获得多种方法.解法一当x W —2时，不等式化为一x—2—x+ 3 v a即一2x + 1 v a有解，而一2x+ 1 >5,••• a> 5.当一2v x W 3时，不等式化为x + 2—x+ 3v a即a>5.当x>3是，不等式化为x+ 2 + x—3v a即2x—1 v a有解，而2x—1 > 5, •- a>5.综上所述：a> 5时不等式有解，从而解集非空.解法二 |x + 2|+ |x — 3|表示数轴上的点到表示一 2和3的两点的距离之和，显然最小值为 3 — (— 2) = 5.故可求a 的取值范围为a > 5.解法三 利用|m 汁|n|> |m ± n|得|x + 2|+ |x — 3|> |(x + 2) — (x — 3)|= 5. 所以a > 5时不等式有解.说明：通过多种解法锻炼思维的发散性. 例11 分析一 解法一解不等式|x + 1|>2 — x . 对2 — x 的取值分类讨论解之. 原不等式等价于：①2"-X 》0 x + 1> 2 — x 或x + 1 v x — 22 — x v 0 x € Rx < 2由①得 1亠x > —或 1 v — 22x < 2 即 1x > 2由②得x >2.1 、 1综合①②得x > —.所以不等式的解集为{x|x > —}.2 2分析二利用绝对值的定义对|x + 1|进行分类讨论解之. 解法二因为x + 1 , x >— 1—x — 1 , x V — 1原不等式等价于:1> 0或② X1V 01> 2 xx 1> 2 x1即 x > ；所以不等式的解集为{x|x > -} •|x + 1| =由①得 由②得x V — 1即 x € —1> 2学科渗透例12 解不等式|x- 5| - |2x + 3|< 1.分析设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分3区间讨论，事实上，由于x = 5时，|x —5| = 0, x = — ?时|2x+ 3| = 0.3所以我们可以通过- 3, 5将x轴分成三段分别讨论.2Hi-143解当x<—3时，x —5< 0, 2x+ 3< 0所以不等式转化为2—(x —5) + (2x + 3) < 1，得x< —7，所以x< —7;3当一—< x< 5时，同理不等式化为2—(x —5) —(2x + 3) < 1，1 1解之得x> -，所以丄< x< 5;3 3当x>5时，原不等式可化为x —5 —(2x + 3) < 1，解之得x>—9,所以x>5.1综上所述得原不等式的解集为{x|x > 1或x<—7}.3说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值”是基本策略.例13 解不等式|2x—1|> |2x—3|.分析本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝对值，但这样比较复杂.如果采取两边平方，即根据|a| > |b| a2> b2解之，则更显得流畅，简捷.解原不等式同解于2 2(2x —1) > (2x —3),即4x2—4x + 1 > 4x2—12x + 9,即8x>8,得x> 1.所以原不等式的解集为{x|x > 1}.说明：本题中，如果把2x当作数轴上的动坐标，则|2x —1|> |2x—3|表示2x到1的距离大于2x到3的距离，则2x应当在2的右边，从而2x> 2即x> 1.2 2K图1—15。
含有绝对值不等式的解法-典型例题
含绝对值不等式的解法例1? 解绝对值不等式｜x+3｜>｜x-5｜．解：由不等式｜x+3｜>｜x-5｜两边平方得｜x+3｜2>｜x-5｜2，即（x+3）2>（x-5）2,x>1．∴? 原不等式的解集为｛x｜x>1｝．评析? 对于两边都含“单项”绝对值的不等式依据｜x｜2＝x2，可在两边平方脱去绝对值符号．当然，此例可按绝对值定义讨论脱去绝对值符号，但解题繁琐．例2? 对任意实数x，若不等式｜x+1｜-｜x-2｜>k恒成立，则实数k的取值范围是（??? ）A．k<3????? ???? B．k<-3????? ??????? C．k≤3????? ??????? D．k≤-3分析? 要使｜x+1｜-｜x-2｜>k对任意实数x恒成立，只要｜x+1｜-｜x-2｜的最小值大于k．因｜x+1｜的几何意义为数轴上点x到-1的距离，｜x-2｜的几何意义为点x到2的距离，｜x+1｜-｜x-2｜的几何意义为数轴上点x到-1与2的距离的差，其最小值为-3，∴? k<-3,∴? 选B．评析? 此例利用绝对值的几何意义使问题迅速得解，若采用其他方法则解答过程冗长．例3? 解不等式｜3x-1｜>x+3．分析? 解此类不等式，要分x+3≥0和x+3<0两种情况讨论．解：当x+3≥0，即x≥-3时，原不等式又要分-3≤x< 和x≥ 两种情况求解：当-3≤x< 时，-3x+1>x+3，即x<- ，此时不等式的解为-3≤x<- ;①当x≥ 时，3x-1>x+3，即x>2，此时不等式的解为x>2．②又当x+3<0，即x<-3时，不等式是绝对不等式．③取①、②、③并集知不等式的解集为｛x｜x<- ，或x>2｝．例4? 解不等式? ｜x-5｜-｜2x+3｜<1解：x＝5和x＝- 分别使上式两个绝对值中代数式的值为零，它们将数轴分成三段：于是，原不等式变为（Ⅰ）?或（Ⅱ）或（Ⅲ）解（Ⅰ）得? x<-7，解（Ⅱ）得<x≤5，解（Ⅲ）得? x>5；（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的并集｛x｜x<-7或x> ｝即为原不等式的解集．说明? 解这类绝对值不等式（仅限绝对值符号里面是一次式）可分如下几个步骤：第一步令每个绝对值号里的一次因式等于零求出相应的根；第二步把这些根按从小到大的顺序排号并把数轴分成相应的若干个区间；第三步根据所分区间去掉绝对值符号，组成若干个不等式组，最后分别解每个不等式组，取结果的并集就是原不等式的解．例5? 解不等式1≤｜2x-1｜<5．解法一：原不等式等价于① 或②解①得? 1≤x<3;解②得? -2<x≤0．∴? 原不等式的解集为｛x｜-2<x≤0或1≤x<3｝．解法二：原不等式等价于1≤2x-1<5，? 或? -5<2x-1≤-1，即? 2≤2x<6，? 或? -4<2x≤0，解得? 1≤x<3，? 或? -2<x≤0．∴? 原不等式的解集为｛x｜-2<x≤0，或1≤x<3｝．评析? 比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的依据是a≤｜x｜≤b a≤x≤b，或-b≤x≤-a（a≥0）．这一规律对我们今后解题很有作用，要在理解的基础上加以记忆．本例亦可用图像法求解，不妨一试．例6 解不等式｜x+3｜+｜x-3｜>8．分析? 这是一个含有两个绝对值符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论．解法一：由代数式｜x+3｜、｜x-3｜知，-3和3把实数集分为三个区间：x<-3,-3≤x<3，x≥3．当x<-3时，-x-3-x+3>8，即x<-4，此时不等式的解为x<-4；①当-3≤x<3时，x+3-x+3>8，此时无解；②当x≥3时，x+3+x-3>8，即x>4，此时不等式的解为x>4．③取①、②、③的并集得原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．点评? 解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：（1）令每个绝对值符号里的一次式为零，并求出相应的根；（2）把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；（3）由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；（4）取这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．模仿例1，我们还有解法二：不等式｜x+3｜+｜x-3｜>8表示数轴上与A（-3），B（3）两点距离之和大于8的点，而A，B两点距离为6．因此线段AB上每一点到A、B的距离之和都等于6．如下图，要找到A，B距离之和为8的点，只须由点B向右移1个单位（这时距离之和增加2个单位），即移到点B1（4），或由点A向左移1个单位，即移到点A1（-4）．可以看出，数轴上点B1（4）向右的点或者点A1（-4）向左的点到A、B两点的距离之和均大于8．∴? 原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．解法三：分别画出函数y1＝｜x+3｜+｜x-3｜和y2＝8的图像，如下图．y1＝不难看出，要使y1>y2，只须x<-4，或x>4．∴? 原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．点评? 对于形如｜x-a｜+｜x-b｜>c，或｜x-a｜-｜x-b｜<c的不等式，利用不等式的几何意义或者画出左、右两边函数的图像去解不等式，更为直观、简捷．这又一次体现了数形结合思想方法的优越性!。
含有绝对值不等式的解法典型例题
含绝对值不等式的解法例1 解绝对值不等式｜x+3｜>｜x-5｜．解：由不等式｜x+3｜>｜x-5｜两边平方得>｜x-5｜｜x+3｜22,x-5）即（x+3）>（．x>1x>1｝．原不等式的解集为｛∴ x｜22，可在22，两边平方脱去绝对于两边都含“单项”绝对值的不等式依据｜x｜＝x评析对值符号．当然，此例可按绝对值定义讨论脱去绝对值符号，但解题繁琐．的取值范围是｜x-2｜>k恒成立，则实数k例2 对任意实数x，若不等式｜x+1｜-）（ C．k≤3 A．k<3 B．k<-3．k≤-3 D｜的最小值x-2x>k对任意实数恒成立，只要｜x+1｜-｜x+1分析要使｜｜-｜x-2｜2-1x到的距离，｜x-2｜的几何意义为点x到大于k．因｜x+1｜的几何意义为数轴上点-3，与2的距离的差，其最小值为-1x+1的距离，｜｜-｜x-2｜的几何意义为数轴上点x到．选B ∴ k<-3,∴此例利用绝对值的几何意义使问题迅速得解，若采用其他方法则解答过程冗评析长．>x+3．3例解不等式｜3x-1｜两种情况讨论．分析解此类不等式，要分x+3≥0和x+3<0x≥两种情况求解：和x+3≥0，即x≥-3时，原不等式又要分-3≤x< 解：当- ;①-，此时不等式的解为3≤x<，即当-3≤x< 时，-3x+1>x+3x<-x≥时，3x-1>x+3，即x>2，此时不等式的解为x>2．②当又当x+3<0，即x<-3时，不等式是绝对不等式．③取①、②、③并集知不等式的解集为x<-，或x>2｝．x｛｜2x+3｜-｜｜<1解不等式例4｜x-5- 分别使上式两个绝对值中代数式的值为零，它们将数轴分成三段：5和x＝解：x＝于是，原不等式变为（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ）<x≤5， x<-7，解（Ⅱ）得解（Ⅰ）得x>5；解（Ⅲ）得x> ｝即为原不等式的解集．x｜x<-7或（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的并集｛说明解这类绝对值不等式（仅限绝对值符号里面是一次式）可分如下几个步骤：第一步令每个绝对值号里的一次因式等于零求出相应的根；第二步把这些根按从小到大的顺序排号并把数轴分成相应的若干个区间；第三步根据所分区间去掉绝对值符号，组成若干个不等式组，最后分别解每个不等式组，取结果的并集就是原不等式的解．例5解不等式1≤｜2x-1｜<5．原不等式等价于解法一：或②①1≤x<3;解①得 -2<x≤0．解②得原不等式的解集为∴｛x｜-2<x≤0或1≤x<3｝．解法二：原不等式等价于1≤2x-1<5，或 -5<2x-1≤-1，即 2≤2x<6，或 -4<2x≤0，解得 1≤x<3，或 -2<x≤0．∴原不等式的解集为｛x｜-2<x≤0，或1≤x<3｝．评析比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的依据是｜≤ba≤x≤b，或-b≤x≤-a（a≥0）．a≤｜x这一规律对我们今后解题很有作用，要在理解的基础上加以记忆．本例亦可用图像法求解，不妨一试．例6 解不等式｜x+3｜+｜x-3｜>8．分析这是一个含有两个绝对值符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论．解法一：由代数式｜x+3｜、｜x-3｜知，-3和3把实数集分为三个区间：x<-3,-3≤x<3，x≥3．当x<-3时，-x-3-x+3>8，即x<-4，此时不等式的解为x<-4；①当-3≤x<3时，x+3-x+3>8，此时无解；②当x≥3时，x+3+x-3>8，即x>4，此时不等式的解为x>4．③取①、②、③的并集得原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．点评解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：（1）令每个绝对值符号里的一次式为零，并求出相应的根；（2）把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；求出它们的解集；解这些不等式，由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，）3（．（4）取这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．模仿例1，我们还有解法二：不等式｜x+3｜+｜x-3｜>8表示数轴上与A（-3），B（3）两点距离之和大于8的点，而A，B两点距离为6．因此线段AB上每一点到A、B的距离之和都等于6．如下图，要找到A，B距离之和为8的点，只须由点B向右移1个单位（这时距离之和增加2个单位），即移到点B（4），或由点A向左移1个单位，即移到点A（-4）．11可以看出，数轴上点B（4）向右的点或者点A（-4）向左的点到A、B两点的距离之11和均大于8．∴原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．解法三：分别画出函数y＝｜x+3｜+｜x-3｜和y＝8的图像，如下图．21＝y1不难看出，要使y>y，只须x<-4，或x>4．21∴原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．点评对于形如｜x-a｜+｜x-b｜>c，或｜x-a｜-｜x-b｜<c的不等式，利用不等式的几何意义或者画出左、右两边函数的图像去解不等式，更为直观、简捷．这又一次体现了数!形结合思想方法的优越性．。
含绝对值不等式的解法
4.重要绝对值不等式 ||a|-|b||≤|ab|≤|a|+|b|. 使用时(特别是求最值)要注意等号成立的条件, 即: |a+b|=|a|+|b|ab≥0; |a-b|=|a|+|b|ab≤0; |a|-|b|=|a+b|b(a+b)≤0; |a|-|b|=|a-b|b(a-b)≥0. 注: |a|-|b|=|a+b||a|=|a+b|+|b| |(a+b)-b|=|a+b|+|b| b(a+b)≤0. 同理可得 |a|-|b|=|a-b|b(a-b)≥0.
典型例题 2 解不等式 ||x+3|-|x-3||>3.
解法一 零点分区间讨论 原不等式等价于: x<-3, -3≤x≤3, x>3, |-x-3+x-3|>3, 或 |x+3+x-3|>3, 或 |x+3-x+3|>3. 3 <x≤3 或 x>3. 即 x<-3 或 -3≤x<- 3 或 2 2 3 3 ∴x<- 2 或 x> 2 . 3 3 ∴原不等式的解集为 (-∞, - 2 )∪( 2 , +∞). 解法二 两边平方 原不等式等价于 (|x+3|-|x-3|)2>9. 即 2x2+9>2|x2-9|( 2x2+9)2>(2|x2-9|)2. 3 3 2 即 4x -9>0. ∴x<- 2 或 x> 2 . 3 3 ∴原不等式的解集为 (-∞, - 2 )∪( 2 , +∞).
备选题 4 已知函数 f(x)=x3+ax+b 定义在区间 [-1, 1] 上, 且 f(0)=f(1), 又 P(x1, y1), Q(x2, y2) 是其图象上任意两点(x1x2). (1)设直线 PQ 的斜率为k, 求证: |k|<2; (2)若 0≤x1<x2≤1, 求证: |y1-y2|<1. 解: (1)∵f(0)=f(1), ∴b=1+a+b. ∴a=-1. ∴f(x)=x3-x+b. y 2- y 1 1 则 k= x -x = x -x [(x23-x2+b)-(x13-x1+b)] 2 1 2 1 1 = x -x [(x23-x13)-(x2-x1)] =x22+x1x2+x12-1. 2 1 ∵x1, x2[-1, 1] 且 x1x2, ∴0<x22+x1x2+x12<3. ∴-1<x22+x1x2+x12-1<2. ∴|x22+x1x2+x12-1|<2. 即 |k|<2. (2)∵0≤x1<x2≤1, ∴由(1)知 |y2-y1|<2|x2-x1|=2(x2-x1). ① 又 |y2-y1|=|f(x1)-f(x2)|=|f(x1)-f(0)+f(1)-f(x2)| ≤|f(x1)-f(0)|+|f(1)-f(x2)|<2|x1-0|+2|1-x2|=2(x1-x2)+2
高中数学绝对值不等式的解题思路与举例
高中数学绝对值不等式的解题思路与举例数学中，绝对值不等式是高中阶段的重要知识点之一。
在解决数学问题时，我们经常会遇到含有绝对值的不等式，因此掌握解决这类问题的思路和方法是非常重要的。
本文将介绍高中数学绝对值不等式的解题思路，并通过具体的例子进行说明，帮助高中学生和家长更好地理解和应用这一知识点。
一、绝对值不等式的基本性质在解决绝对值不等式问题之前，我们首先需要了解绝对值的基本性质。
对于任意实数a，有以下性质成立：1. |a| ≥ 0，即绝对值的值始终大于等于0；2. |a| = 0 当且仅当 a = 0；3. |a| > b 当且仅当 a > b 或 a < -b。
这些基本性质为我们解决绝对值不等式提供了重要的依据和思路。
二、绝对值不等式的解题思路对于一般形式的绝对值不等式|f(x)| < g(x)，我们可以采用以下步骤来解决问题：步骤一：将绝对值不等式转化为两个简单的不等式。
我们可以根据绝对值的定义，将 |f(x)| < g(x) 转化为以下两个不等式：1. f(x) < g(x)；2. -f(x) < g(x)。
步骤二：分别解决两个简单的不等式。
对于不等式 f(x) < g(x)，我们可以直接求解得到x的取值范围；对于不等式 -f(x) < g(x)，我们可以将其转化为 f(x) > -g(x)，然后再求解得到x的取值范围。
步骤三：求解两个不等式的交集。
最后，我们需要求解两个不等式的交集，得到绝对值不等式的解集。
三、绝对值不等式的应用举例为了更好地理解和应用绝对值不等式，我们通过具体的例子来说明。
例题一：求解不等式 |2x - 3| < 5。
解题思路：1. 将绝对值不等式转化为两个简单的不等式：2x - 3 < 5 以及 -(2x - 3) < 5；2. 分别解决两个简单的不等式：2x < 8 以及 2x - 3 > -5；3. 求解两个不等式的交集：得到 x < 4 以及 x > -1；综合起来，解集为 -1 < x < 4。
专题 解含绝对值符号的不等式(解析版)
专题解含绝对值符号的不等式1．阅读：我们知道，00a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩于是要解不等式|3|4x -≤，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：解：（1）当30x -≥，即3x ≥时：34x -≤解这个不等式，得：7x ≤由条件3x ≥，有：37x ≤≤（2）当30x -<，即3x <时，(3)4x --≤解这个不等式，得：1x ≥-由条件3x <，有：13x -≤<∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为17x -≤≤根据以上思想，请探究完成下列2个小题：（1）|1|2x +≤；（2）|2|1x -≥． 【答案】（1）-3≤x≤1；（2）x≥3或x≤1．【分析】（1）分①x+1≥0，即x≥-1，②x+1＜0，即x ＜-1，两种情况分别求解可得；（2）分①x -2≥0，即x≥2，②x -2＜0，即x ＜2，两种情况分别求解可得．【详解】解：（1）|x+1|≤2，①当x+1≥0，即x≥-1时：x+1≤2，解这个不等式，得：x≤1由条件x≥-1，有：-1≤x≤1；②当x+1＜0，即 x ＜-1时：-（x+1）≤2解这个不等式，得：x≥-3由条件x ＜-1，有：-3≤x ＜-1∴综合①、②，原不等式的解为：-3≤x≤1．（2）|x-2|≥1①当x-2≥0，即x≥2时：x-2≥1解这个不等式，得：x≥3由条件x≥2，有：x≥3；②当x-2＜0，即 x ＜2时：-（x-2）≥1，解这个不等式，得：x≤1，对于含绝对值的不等式3x <，从图1的数轴上看：大于－3而小于3的数的绝对值小于3，所以3x <的解集为33x -<<；对于含绝对值的不等式3x >，从图2的数轴上看：小于－3或大于3的数的绝对值大于3，所以3x >的解集为3x <-或3x >．(1)含绝对值的不等式2x 的解集为______；(2)已知含绝对值的不等式1x a -<的解集为3b x <<，求实数a ，b 的值；(3)已知关于x ，y 的二元一次方程1x y m +=--的解满足2x y +≤，其中m 是正数，求m 的取值范围．【答案】11x -<<##11x >>-【答案】3x >或3x <-【分析】首先算出|x |=3的解，然后根据“大于取两边”的口诀得解 ．【详解】解：由绝对值的意义可得：x =3或x =-3时，|x |=3，∴根据“大于取两边”即可得到｜x ｜＞3的解集为：x >3或 x <−3（如图），故答案为：x >3或 x <−3．【点睛】本题考查绝对值的意义及不等式的求解，熟练掌握有关不等式的求解方法是解题关键．5．若|2a﹣6|＞6﹣2a，则实数a的取值范围是_____．__________.8．不等式组25x ⎧⎨-≤⎩的解集是（ ） A ．52x >- B ．37x -≤≤ C ．572x -<≤ D ．572x -≤≤ 【答案】x ＜0或x ＞4【详解】试题分析：此题是一个带绝对值的复合不等式，应分为x≤1，1＜x≤3，x ＞3，三种情况，再根据绝对值的性质化简原式，解不等式即可.试题解析：当x≤1时，原式可变形为1－x ＋3－x ＝4－2x ＞4，解得x ＜0.注意最后要合并解集．11．解不等式：（1）||2x <（2）|21|3x -≥ 【答案】（1）22x -<<；（2）2x ≥或1x ≤-．【分析】（1）根据绝对值的意义，即可求出不等式的解集；（2）根据绝对值的意义，即可求出不等式的解集.【详解】解：（1）∵||2x <，∴22x -<<．（2）∵|21|3x -≥，原不等式变形为：213x -≥或213x -≤-，解得：2x ≥或1x ≤-．【点睛】本题考查了解不等式，解题的关键是掌握绝对值的意义进行解题.12．解下列不等式：（1）|2|30x +->（2）35572x -+<问题的重要思想方法.例如，代数式2x -的几何意义是数轴上x 所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为()+=--x 1x 1，所以1x +的几何意义就是数轴上x 所对应的点与1-所对应的点之间的距离．⑴. 发现问题：代数式12x x ++-的最小值是多少？⑵. 探究问题：如图，点,,A B P 分别表示的是-1,2,x ，3AB =．∵12x x ++-的几何意义是线段PA 与PB 的长度之和∴当点P 在线段AB 上时，+=PA PB 3;当点点P 在点A 的左侧或点B 的右侧时 +>PA PB 3 ∴12x x ++-的最小值是3．⑶.解决问题：①.-++x 4x 2的最小值是 ；②.利用上述思想方法解不等式：314x x ++->③.当a 为何值时，代数式++-x a x 3的最小值是2． 【答案】①6；②3x <-或1x >；③1a =-或5a =-【分析】(3)①根据绝对值的几何意义可知，变成数轴上的点到-2的距离和到4的距离之和的最小值；②根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可；③根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可．【详解】解：(3)①设A 表示的数为4，B 表示的数为-2，P 表示的数为x ，∴|4|x -表示数轴上的点P 到4的距离，用线段PA 表示，|2||(2)|+=--x x 表示数轴上的点P 到-2的距离，用线段PB 表示，∴|4||2|x x -++的几何意义表示为PA+PB ，当P 在线段AB 上时取得最小值为AB ， 且线段AB 的长度为6，∴|4||2|x x -++的最小值为6.故答案为：6.②设A 表示-3，B 表示1，P 表示x ，小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式（含有不等号的式子）中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式.求绝对值不等式3x >的解集（满足不等式的所有解）.小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出x 恰好是3时x 的值，并在数轴上表示为点A ，B ，如图所示.观察数轴发现，以点A ，B 为分界点把数轴分为三部分：点A 左边的点表示的数的绝对值大于3；点A ，B 之间的点表示的数的绝对值小于3；点B 右边的点表示的数的绝对值大于3.因此，小明得出结论，绝对值不等式3x >的解集为：3x <-或3x >.参照小明的思路，解决下列问题：（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集.①1x >的解集是；x<的解集是.② 2.5x-+>的解集. （2）求绝对值不等式359（3）直接写出不等式24x>的解集是．∴|x|＞1的解集是x＞1或x＜-1；∴|x|＜2.5的解集是-2.5＜x＜2.5；x-+>的解集为：x＞7或x＜-1；可知：359可知：不等式x2＞4的解集是x＞2或x＜-2．对于绝对值不等式||3x <，从图1的数轴上看：大于3-而小于3的数的绝对值小于3，所以||3x <的解集为33x -<<；对于绝对值不等式||3x >，从图2的数轴上看：小于3-或大于3的数的绝对值大于3，所以||3x >的解集为3x <-或3x >．(1)求绝对值不等式|3|2x ->的解集；(2)已知绝对值不等式|21|x a -<的解集为3b x <<，求2a b -的值；|21|x -<2a x ∴-<解得12a -解集为1a -⎧我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离：0x x =-，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为12x x -表示在数轴上数1x 和数2x 对应的点之间的距离；例1解方程2x =，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为2±，即该方程的解为2x =±．例2解不等式12x ->，如图，在数轴上找出12x -=的解，即到1的距离为2的点对应的数为1-，3，则12x ->的解集为1x <-或3x >．例3解方程125x x -++=由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和2-的距离之和为5的对应的x 的值.在数轴上，1和2-的距离为3，满足方程的x 对应的点在1的右边或2-的左边，若x 对应的点在1的右边，由下图可以看出2x =；同理，若x 对应的点在2-的左边，可得3x =-，故原方程的解是2x =或3x =-．回答问题：（只需直接写出答案）①解方程34x +=②解不等式34x -≥③解方程328x x -++=③328x x -++=，。
高二数学典型例题分析：含有绝对值的不等式
含有绝对值的不等式·典型例题分析例1 求下列函数的定义域和值域：分析利用绝对值的基本概念．解 (1)x+|x|≠0，即|x|≠-x．∴x＞0．∴定义域为(0，+∞)，值域为(0，+∞)．(2)|x|≥x，x∈R．|x|-x≥0，∴y∈[0，+∞)．(3)x+|x|＞0，x∈R+．y∈R．画出函数图象如图5-17所示．不难看出，x∈R，y∈[-1，1]．说明本例中前三个易错，第四个要分析写出函数表达式，并画出函数图象，此法在求值域时常用．例2 解不等式|x+1|＞|2x-3|-2．将不等式中的绝对值符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式(组)，再去求解．去绝对值符号的关键是找零点(使绝对值等于零的那个数所对应的点)，将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．(1)当x≤-1时原不等式化为-(x+1)＞-(2x-3)-2．∴x＞2与条件矛盾，无解．综上，原不等式的解为{x|0＜x＜6}．注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏．例3 解不等式|x2-4|＜x+2．分析解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：二是根据绝对值的性质：|x|＜a⇔-a＜x＜a，|x|＞a⇔x＞a或x＜-a，因此本题有如下两种解法．∴2≤x＜3或1＜x＜2故原不等式的解集为{x|1＜x＜3}．解法二原不等式等价于-(x+2)＜x2-4＜x+2例4 求使不等式|x-4|+|x-3|＜a有解的a的取值范围．分析此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便．解法一将数轴分为(-∞，3]，[3，4]，(4，+∞)三个区间当3≤x≤4 时，得(4-x)+(x-3)＜a，即a＞1；∴a＞1．以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a＞1．解法二设数x，3，4在数轴上对应的点分别为P，A，B，如图，由绝对值的几何定义，原不等式|PA|+|PB|＜a的意义是P到A、B的距离之和小于a．因为|AB|=1，故数轴上任一点到 A、B距离之和大于(等于)1，即|x-4|+|x-3|≥1，故当a＞1时，|x-4|+|x-3|＜a有解．ε．分析根据条件凑x-a，y-b．证明 |xy-ab|=|xy-ya+ya-ab|说明这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法．分析使用分析法．证明∵|a|＞0，∴只需证明|a2-b2|≥|a|2-|a||b|，两边同除|b|2，即只需证明说明有关绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也可以一开始就用定理2：|a|-|b|，∴原不等式也成立．。
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含有绝对值的不等式·典型例题分析
例1 求下列函数的定义域和值域：
分析利用绝对值的基本概念．
解 (1)x+|x|≠0，即|x|≠-x．∴x＞0．
∴定义域为(0，+∞)，值域为(0，+∞)．
(2)|x|≥x，x∈R．|x|-x≥0，∴y∈[0，+∞)．
(3)x+|x|＞0，x∈R+．y∈R．
画出函数图象如图5-17所示．不难看出，x∈R，y∈[-1，1]．
说明本例中前三个易错，第四个要分析写出函数表达式，并画出函数图象，此法在求值域时常用．
例2 解不等式|x+1|＞|2x-3|-2．
将不等式中的绝对值符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式(组)，再去求解．去绝对值符号的关键是找零点(使绝对值等于零的那个数所对应的点)，将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．
(1)当x≤-1时原不等式化为-(x+1)＞-(2x-3)-2．
∴x＞2与条件矛盾，无解．
综上，原不等式的解为{x|0＜x＜6}．
注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏．
例3 解不等式|x2-4|＜x+2．
分析解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：
二是根据绝对值的性质：|x|＜a⇔-a＜x＜a，|x|＞a⇔x＞a或x＜-a，因此本题有如下两种解法．
∴2≤x＜3或1＜x＜2
故原不等式的解集为{x|1＜x＜3}．
解法二原不等式等价于-(x+2)＜x2-4＜x+2
例4 求使不等式|x-4|+|x-3|＜a有解的a的取值范围．
分析此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便．
解法一将数轴分为(-∞，3]，[3，4]，(4，+∞)三个区间
当3≤x≤4 时，得(4-x)+(x-3)＜a，即a＞1；
∴a＞1．
以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a＞1．
解法二设数x，3，4在数轴上对应的点分别为P，A，B，如图，由绝对值的几何定义，原不等式|PA|+|PB|＜a的意义是P到A、B的距离之和小于a．
因为|AB|=1，故数轴上任一点到 A、B距离之和大于(等于)1，即
|x-4|+|x-3|≥1，故当a＞1时，|x-4|+|x-3|＜a有解．
ε．
分析根据条件凑x-a，y-b．
证明 |xy-ab|=|xy-ya+ya-ab|
说明这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法．
分析使用分析法．
证明∵|a|＞0，∴只需证明|a2-b2|≥|a|2-|a||b|，两边同除|b|2，即只需证明
说明有关绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也可以一开始就用
定理2：
|a|-|b|，∴原不等式也成立．。