晶体空间群

平移操作
与点阵相应的对称动作是平移。进行平移动作时每一点都动。平移必然为无 限图形所具有，平移是晶体最本质的对称操作。 与点阵相应的对称阶次为无 穷大，
• 点阵任意两个格点连线表示一个平移操作， 即对应一个平移矢量：
Ruvw ua vb wc
因此晶体中平移操作有无限多个， 空间群的对称元素也有无限多个！
第四章 空间群
袁定旺
• 期中考试安排： • 时间：第十一周 周六 12月1号 15:00－－17:00 • 地点：复301（1701-1703） 复302（17041706） • 闭卷，带计算器。 算期末成绩， 不得请假。
从晶系到空间群
7个晶系
（按照晶胞的特征对称元素分类）
旋转，反射，反演
平移
32个点群
举例1：对于旋转轴我们尽量采用比较对称的写
法，例如I222 =I21212, I2221＝I212121，这两种空间
群我们写成I222和I212121。
空间群的熊夫利斯符号是在同形点群符号右上角
标上一个数字表示序号如 =Aba2 , =Fmm2,
C 218 v
=Fdd2.
符号举例2： 空间群的简略符号与完全符号
矩形 (a≠b, 90°)
平面群： pm, pg, p2mg, p2mm 和 p2gg
平行四边形（a≠b, ≠90°）
平面群：p1和p2
a b
平面群： p4, p4mm 和 p4gm
正方 (a = b, 90°)
平面群：p3, p31m, p3m1, p6 和 p6mm
面心矩形 (a = b)
平面群：cm 和c2mm
独立原子位置
加心产生新的对称操作：滑移线
点对称一样， 空间群不同
滑移线位置确定！
Baidu Nhomakorabea
空间群
230种空间群见P89
空间群符号表示法： 1，在表示对称元素时尽量写滑移面，仅在滑移面 不存在时才写旋转轴。 2，国际符号的3个方向仍按各晶系定向。 3，在按国际符号 3个方向找对称元素时，有时在 同一方向不同位置有几种对称元素。对于反映面， 我们按m，a，b，c，n，d顺序，既有前者又有后 者时尽量写前者。对于旋转轴我们尽量采用比较 对称的写法。 4，空间群的熊夫利斯符（schoenflies’symbol） 是在同一点群符号右上角标上一个数字表示序号。
菱形 或 六边形 (a = b, 120°)
斜交
矩形
正方
16
二维空间群推导： 1,点阵与点群直接组合得到13种二维空间群： P1，P211，P1m1,C1m1, P2mm, C2mm, P4, P4mm, P3, P3m1, P31m, P6, P6mm
2, 非点式二维空间群4种
等价群！
一般等效位置 即：形成晶体结构时原子可能的位置坐标
二次螺旋轴
三次螺旋轴
右手系
左手系
四次螺旋轴
操作四次后，沿轴滑 移一个平移矢量单位 操作四次后，沿轴滑 移两个平移矢量单位
中性螺旋轴 操作四次后，沿轴滑移 三个平移矢量单位
六次螺旋轴
螺旋轴61，62，63，64
螺旋轴总结：
螺旋轴 为一条假想直线，当结构围绕此直线旋转一定 角度，并平行此直线移动一定距离后，结构中 的每一质点都与其相同的质点重合。 举例：
230种空间群分布
国际晶体学表介绍 International Tables for crystallography
空间群图表的内容
1. 标题 2. 对称元素配置图 3. 一般等效点配置图 4. 原点 5. 无对称单元 6. 对称操作 7. 选用的生成操作 8. 等效点系（Wyckoff 乌 科夫位置） 9. 。。。
对称操作总结：
1， 与点阵、螺旋轴、滑移面相应的对称操作进 行时，空间的每一点都动了，动作后整个空间仿 佛没有动，我们称之为空间对称操作，其阶次为∞。 其对称类型称为空间群。 2，与空间操作相应的对称元素分布于整个点阵 空间，它只能存在于无限周期重复图形如晶体微 观结构中而不能存在于有限对称图形如晶体的宏 观对称性中。
国际符号辨认：
（正交）
正交晶系的空间群符号
Pnma Pmnb Pcmn Pmcn Pnam Pbnm
正交晶系中，一种对称性，最多可用六个空间群符号表示！
正交晶系空间群写书方法： 1，首先，找到1=a，2=b，3＝c对应正交空间群 a，b，c轴上的对称元素。 2，第二步，选择晶轴后，找到“1”，“2”， “3”号位对应的晶轴（a，b，c），确定“1”， “2”，“3”号位上对应的对称元素。 3，书写滑移面时，晶轴旋转后，滑移方向要重 新确定。“1”号位对应“a”滑移，“2”号位 对应“b”滑移，“3”号位对应“c”滑移。 4，对应单面心点阵，点阵的面心符号也可能发 生改变。
7.
三斜–点阵符号后是1 或( 1 )。
从空间群符号确定点群
• 点群可以从简略H-M符号通过下列变换得出：
1.把所有滑移面全部转换成镜面； 2.把所有螺旋轴全部转换成旋转轴。 例如： • 空间群= Pnma 点群= mmm 空间群= I 4 c2 点群=4 m2 空间群= P42/n 点群= 4/m
滑移反映
不对称单位先经镜面反 射然后沿平行与镜面的 方向平移滑移反映改变 了不对称单位的手性。
滑移面分类
• 轴向滑移面(a,b,c)：沿晶轴(a、b， c)方向滑移;滑移 矢量分别为a/2，b/2，c／2.
• 对角滑移面(n)：沿晶胞面对角线(或体对角线方向滑移， 平移分量为对角线一半;滑移矢量分别为 a ± b , b ± c , c ± a
21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，
65。
具有螺旋轴对称性晶体
硒的晶体结构：具有31螺旋轴
螺旋轴限制
1，角度（证明略） 2，平移量
• 为了使螺旋轴不与点阵矛盾，除轴次受点阵限制 为1，2，3，4，6次外，还要使螺旋轴的滑移分 量满足这样的条件：
其中，T是平行于螺旋轴的单位平移矢量，n是螺旋轴
由此，在晶体结构这样的无限周期重复图形中允许的螺旋轴如下
m 用nm来 表 示 n次 螺 旋 轴 ， 其 滑 移 分 为 量 T（m n） n 是 螺 旋 轴 的 国 际 符 号在 。螺 旋 轴 中 还 存 在 着样 这 的关系：（右螺旋） nm (左 螺 旋 )nn m
螺旋轴的旋转方向性
3 ，与旋转轴、反映面、对称中心、反轴相应的对称 操作进行时至少有一点不动，我们称其为点操作。这 样的对称元素在有限对称图形如晶体宏观对称性中有， 在无限周期重复对称图形中（如晶体的点阵结构中） 也有。 4，使得对称图形复原的对称动作一共有7种：反映、 倒反（反演）、旋转、旋转倒反（或旋转反映）、平 移、螺旋旋转、滑移反映。其中旋转、平移、螺旋旋 转不能使左右形（手型对称型）重合，只能使相等图 形重合。而反映、倒反（反演）、旋转倒反—反轴（ 或旋转反映—映轴）、滑移反映能使左右形重合 (含 有反映) 。
螺旋轴的国际符号一般写成nm。n为轴次，m为 小于n的自然数。 若沿螺旋轴方向的结点间距标记为T，则质点平 移的距离t应为（m/n）· T，其中t称为螺距。
螺旋轴据其轴次和螺距可分为21；31、32；41、 42、43；61、62、63、64、65共11种。 它们各代表什么意思？ 举例：41 意为按右旋方向旋转90度后移距 1/4 T；而43意为按右旋方向旋转90度后移距 3/4 T。那么， 41和43是什么关系？
1= c 2=a 3= b
• 写出Cmm2的所有等价空间群符号！
从空间群符号辨认晶系
1.
2.
3. 4. 5. 6.
立方–第2个对称符号： 3 或 3(如： Ia3, Pm3m, Fd3m)
四方–第1个对称符号： 4, 4 , 41, 42 或 43 (如： P41212, I4/m, P4/mcc)
六方–第1个对称符号： 6, 6 , 61, 62, 63, 64 或 65 (如： P6mm, P63/mcm) 三方–第1个对称符号： 3, 3，31 或 32 (如： P31m, R3, R3c, P312) 正交–点阵符号后的全部三个符号是镜面，滑移面，2次旋转轴或2次螺旋 轴 (即Pnma, Cmc21, Pnc2） 单斜–点阵符号后有唯一的镜面、滑移面、2次旋转或者螺旋轴，或者轴/ 平面符号(即Cc、P2、P21/n)。
非点式对称操作
• 非点式对称操作：是由点式操作与平移操 作复合后形成的新的对称操作，平移和旋 转复合形成能导出螺旋旋转，平移和反映 复合能导出滑移反映。
螺旋轴
• 螺旋轴：先绕轴进行逆时针方向360/n度的旋转，接着 作平行于该轴的平移，平移量为(m/n) t，这里t是平行 于转轴方向的最短的晶格平移矢量，符号为nm， n称为 螺旋轴的次数， (n可以取值2,3,4,6)，而m只取小于n的 整数。所以可以有以下11种螺旋轴：
æ1 1 1 ö æ1 1 ö + x, + y, - z ÷ ® ç + x, y, + z ÷ ç 4 4 ø è2 2 ø è4
其中 决定R是否为非点操作
对于2次轴（包括螺旋轴）和镜面（包括滑移面） 垂直于轴和镜面的平移 t ^，仅表示轴和镜面的位置 相对于原点移动t 2
^
此关系仅仅对于2次轴和镜面成立
空间群推导
点群 点阵
点阵对称性和点群的协调性 点式空间群 能否替换 用对应的非点式操作替换点式操作 非点式空间群 非点操作的位置
平面晶系，点阵，点群
二维平面群中，只存在垂直于平面的对 称轴和垂直于平面的镜面（或滑移线）
MoS2
点阵是二维结构，但实际晶体有一定厚度！
5种平面点阵对应的空间群
4 4 4
4
滑移画操作的矩阵表示
ì æ 1 öü m | t í [100] ç 0, ,0÷ ý r è 2 øþ î
ì æ 1 1 öü m | t í [001] ç , ,0÷ ý r è 2 2 øþ î
金刚石滑移只存在于体心、面心点阵结构中
已知坐标关系求对称操作（类型和 位置）
3/4
规定： 41为右旋，43则为左旋。但43右旋时移距 应为3/4T。 即螺旋轴的国际符号nm是以右旋为准的。
凡 0<m<n/2 者，为右旋螺旋轴（包括 31 、 41 、 61 、 62 ）；凡 n/2<m<n 者，为左旋螺旋轴（包括 32 、 43 、 64 、 65 ） ； 而 m=n/2 者 ， 为 中 性 螺 旋 轴 （包括21、42、63）。
a±b±c 或者 2
2 2 2
• 金刚石滑移面(n)：沿晶胞面对角线或体对角线方向滑 移，平移分量对角线1/4的对角滑移面。只有在体心或 面心点阵中出现，这时有关对角线的中点也有一个阵点， 所以平移分量仍然是滑移方向点阵平移点阵周期的一半。
滑移矢量分别为 a ± b , b ± c , c ± a 或者 a ± b ± c
43在旋转2个90度后移距2×3/4 T=1T+1/2T，旋转3 个90度后移距3×3/4 T=2T+1/4T。T的整数倍移距相 当于平移轴，可以剔除，所以， 43相当于旋转270 度移距1/4T，也即反向旋转90度移距1/4T 。 所以，41和43是旋向相反的关系。
3/4
1/2
1/4
1/2
1/4 0 41 0 43
螺旋轴的矩阵表示
Seitz 符号表示空间群的对称操作
{R t }
2 ü 32[001] = 3[001] t (0,0, ) ý 3 þ
{
滑移面
• 滑移反映面，简称滑移面，其对称操作是沿滑移面进行 镜面反映操作，然后接着进行与平行于滑移面的一个方 向的平移，平移的方向沿晶格平移矢量。 • 点阵的周期性要求重复两次滑移反映后产生的新位置与 起始位置相差一个点阵周期，所以滑移面的平移量等于 该方向点阵平移单位矢量的一半。
正交晶系空间群符号书写时，始终按照 “1”号位对应向下轴的对称元素， “2”号位对应向右轴的对称元素， “3”号位对应投影轴的对称元素。
1= a 2=b 3= c
b
1= b 2=a 3= c
沿c 轴投影 a
1= c 2=b 3= a
1= b 2=c 3= a
沿a轴投影
1= a 2=c 3= b
14种Bravais格子
螺旋轴，滑移面
230个空间群
空间群内容
• • • • 非点式操作 二维平面群 空间群 国际表简介
微观对称元素
• 晶体点阵的对称元素除了宏观对称元素 （旋转轴，反轴，镜面，反演中心）外， 还要特有的平移操作，螺旋轴和滑移面。 • 宏观对称性只考虑了点阵对称，微观对称 性是考虑晶体中的原子分布，即基元对称 性。