晶体空间群

国际符号辨认：
（正交）
正交晶系的空间群符号
Pnma Pmnb Pcmn Pmcn Pnam Pbnm
正交晶系中，一种对称性，最多可用六个空间群符号表示！
正交晶系空间群写书方法： 1，首先，找到1=a，2=b，3＝c对应正交空间群 a，b，c轴上的对称元素。 2，第二步，选择晶轴后，找到“1”，“2”， “3”号位对应的晶轴（a，b，c），确定“1”， “2”，“3”号位上对应的对称元素。 3，书写滑移面时，晶轴旋转后，滑移方向要重 新确定。“1”号位对应“a”滑移，“2”号位 对应“b”滑移，“3”号位对应“c”滑移。 4，对应单面心点阵，点阵的面心符号也可能发 生改变。
矩形 (a≠b, 90°)
平面群： pm, pg, p2mg, p2mm 和 p2gg
平行四边形（a≠b, ≠90°）
平面群：p1和p2
a b
平面群： p4, p4mm 和 p4gm
正方 (a = b, 90°)
平面群：p3, p31m, p3m1, p6 和 p6mm
面心矩形 (a = b)
平面群：cm 和c2mm
正交晶系空间群符号书写时，始终按照 “1”号位对应向下轴的对称元素， “2”号位对应向右轴的对称元素， “3”号位对应投影轴的对称元素。
1= a 2=b 3= c
b
1= b 2=a 3= c
沿c 轴投影 a
1= c 2=b 3= a
1= b 2=c 3= a
沿a轴投影
1= a 2=c 3= b
平移操作
与点阵相应的对称动作是平移。进行平移动作时每一点都动。平移必然为无 限图形所具有，平移是晶体最本质的对称操作。 与点阵相应的对称阶次为无 穷大，
• 点阵任意两个格点连线表示一个平移操作， 即对应一个平移矢量：
Ruvw ua vb wc
因此晶体中平移操作有无限多个， 空间群的对称元素也有无限多个！
230种空间群分布
国际晶体学表介绍 International Tables for crystallography
空间群图表的内容
1. 标题 2. 对称元素配置图 3. 一般等效点配置图 4. 原点 5. 无对称单元 6. 对称操作 7. 选用的生成操作 8. 等效点系（Wyckoff 乌 科夫位置） 9. 。。。
螺旋轴的矩阵表示
Seitz 符号表示空间群[001] = 3[001] t (0,0, ) ý 3 þ
{
滑移面
• 滑移反映面，简称滑移面，其对称操作是沿滑移面进行 镜面反映操作，然后接着进行与平行于滑移面的一个方 向的平移，平移的方向沿晶格平移矢量。 • 点阵的周期性要求重复两次滑移反映后产生的新位置与 起始位置相差一个点阵周期，所以滑移面的平移量等于 该方向点阵平移单位矢量的一半。
14种Bravais格子
螺旋轴，滑移面
230个空间群
空间群内容
• • • • 非点式操作 二维平面群 空间群 国际表简介
微观对称元素
• 晶体点阵的对称元素除了宏观对称元素 （旋转轴，反轴，镜面，反演中心）外， 还要特有的平移操作，螺旋轴和滑移面。 • 宏观对称性只考虑了点阵对称，微观对称 性是考虑晶体中的原子分布，即基元对称 性。
1= c 2=a 3= b
• 写出Cmm2的所有等价空间群符号！
从空间群符号辨认晶系
1.
2.
3. 4. 5. 6.
立方–第2个对称符号： 3 或 3(如： Ia3, Pm3m, Fd3m)
四方–第1个对称符号： 4, 4 , 41, 42 或 43 (如： P41212, I4/m, P4/mcc)
7.
三斜–点阵符号后是1 或( 1 )。
从空间群符号确定点群
• 点群可以从简略H-M符号通过下列变换得出：
1.把所有滑移面全部转换成镜面； 2.把所有螺旋轴全部转换成旋转轴。 例如： • 空间群= Pnma 点群= mmm 空间群= I 4 c2 点群=4 m2 空间群= P42/n 点群= 4/m
3 ，与旋转轴、反映面、对称中心、反轴相应的对称 操作进行时至少有一点不动，我们称其为点操作。这 样的对称元素在有限对称图形如晶体宏观对称性中有， 在无限周期重复对称图形中（如晶体的点阵结构中） 也有。 4，使得对称图形复原的对称动作一共有7种：反映、 倒反（反演）、旋转、旋转倒反（或旋转反映）、平 移、螺旋旋转、滑移反映。其中旋转、平移、螺旋旋 转不能使左右形（手型对称型）重合，只能使相等图 形重合。而反映、倒反（反演）、旋转倒反—反轴（ 或旋转反映—映轴）、滑移反映能使左右形重合 (含 有反映) 。
a±b±c 或者 2
2 2 2
• 金刚石滑移面(n)：沿晶胞面对角线或体对角线方向滑 移，平移分量对角线1/4的对角滑移面。只有在体心或 面心点阵中出现，这时有关对角线的中点也有一个阵点， 所以平移分量仍然是滑移方向点阵平移点阵周期的一半。
滑移矢量分别为 a ± b , b ± c , c ± a 或者 a ± b ± c
4 4 4
4
滑移画操作的矩阵表示
ì æ 1 öü m | t í [100] ç 0, ,0÷ ý r è 2 øþ î
ì æ 1 1 öü m | t í [001] ç , ,0÷ ý r è 2 2 øþ î
金刚石滑移只存在于体心、面心点阵结构中
已知坐标关系求对称操作（类型和 位置）
螺旋轴的国际符号一般写成nm。n为轴次，m为 小于n的自然数。 若沿螺旋轴方向的结点间距标记为T，则质点平 移的距离t应为（m/n）· T，其中t称为螺距。
螺旋轴据其轴次和螺距可分为21；31、32；41、 42、43；61、62、63、64、65共11种。 它们各代表什么意思？ 举例：41 意为按右旋方向旋转90度后移距 1/4 T；而43意为按右旋方向旋转90度后移距 3/4 T。那么， 41和43是什么关系？
空间群推导
点群 点阵
点阵对称性和点群的协调性 点式空间群 能否替换 用对应的非点式操作替换点式操作 非点式空间群 非点操作的位置
平面晶系，点阵，点群
二维平面群中，只存在垂直于平面的对 称轴和垂直于平面的镜面（或滑移线）
MoS2
点阵是二维结构，但实际晶体有一定厚度！
5种平面点阵对应的空间群
滑移反映
不对称单位先经镜面反 射然后沿平行与镜面的 方向平移滑移反映改变 了不对称单位的手性。
滑移面分类
• 轴向滑移面(a,b,c)：沿晶轴(a、b， c)方向滑移;滑移 矢量分别为a/2，b/2，c／2.
• 对角滑移面(n)：沿晶胞面对角线(或体对角线方向滑移， 平移分量为对角线一半;滑移矢量分别为 a ± b , b ± c , c ± a
对称操作总结：
1， 与点阵、螺旋轴、滑移面相应的对称操作进 行时，空间的每一点都动了，动作后整个空间仿 佛没有动，我们称之为空间对称操作，其阶次为∞。 其对称类型称为空间群。 2，与空间操作相应的对称元素分布于整个点阵 空间，它只能存在于无限周期重复图形如晶体微 观结构中而不能存在于有限对称图形如晶体的宏 观对称性中。
六方–第1个对称符号： 6, 6 , 61, 62, 63, 64 或 65 (如： P6mm, P63/mcm) 三方–第1个对称符号： 3, 3，31 或 32 (如： P31m, R3, R3c, P312) 正交–点阵符号后的全部三个符号是镜面，滑移面，2次旋转轴或2次螺旋 轴 (即Pnma, Cmc21, Pnc2） 单斜–点阵符号后有唯一的镜面、滑移面、2次旋转或者螺旋轴，或者轴/ 平面符号(即Cc、P2、P21/n)。
21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，
65。
具有螺旋轴对称性晶体
硒的晶体结构：具有31螺旋轴
螺旋轴限制
1，角度（证明略） 2，平移量
• 为了使螺旋轴不与点阵矛盾，除轴次受点阵限制 为1，2，3，4，6次外，还要使螺旋轴的滑移分 量满足这样的条件：
其中，T是平行于螺旋轴的单位平移矢量，n是螺旋轴
举例1：对于旋转轴我们尽量采用比较对称的写
法，例如I222 =I21212, I2221＝I212121，这两种空间
群我们写成I222和I212121。
空间群的熊夫利斯符号是在同形点群符号右上角
标上一个数字表示序号如 =Aba2 , =Fmm2,
C 218 v
=Fdd2.
符号举例2： 空间群的简略符号与完全符号
第四章 空间群
袁定旺
• 期中考试安排： • 时间：第十一周 周六 12月1号 15:00－－17:00 • 地点：复301（1701-1703） 复302（17041706） • 闭卷，带计算器。 算期末成绩， 不得请假。
从晶系到空间群
7个晶系
（按照晶胞的特征对称元素分类）
旋转，反射，反演
平移
32个点群
3/4
规定： 41为右旋，43则为左旋。但43右旋时移距 应为3/4T。 即螺旋轴的国际符号nm是以右旋为准的。
凡 0<m<n/2 者，为右旋螺旋轴（包括 31 、 41 、 61 、 62 ）；凡 n/2<m<n 者，为左旋螺旋轴（包括 32 、 43 、 64 、 65 ） ； 而 m=n/2 者 ， 为 中 性 螺 旋 轴 （包括21、42、63）。
菱形 或 六边形 (a = b, 120°)
斜交
矩形
正方
16
二维空间群推导： 1,点阵与点群直接组合得到13种二维空间群： P1，P211，P1m1,C1m1, P2mm, C2mm, P4, P4mm, P3, P3m1, P31m, P6, P6mm
2, 非点式二维空间群4种
等价群！
一般等效位置 即：形成晶体结构时原子可能的位置坐标
由此，在晶体结构这样的无限周期重复图形中允许的螺旋轴如下