上海吴淞初级中学数学几何模型压轴题(培优篇)(Word版 含解析)

上海吴淞初级中学数学几何模型压轴题（培优篇）（Word 版 含解

析）

一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）

1．如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_________，位置关系是

_________；

（2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PMN 面积的最大值．

【答案】（1）PM PN =，PM PN ⊥；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）

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【解析】

【分析】

（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN 与PM 等于DE 或CE 的一半，又△ABC 为等腰直角三角形，AD=AE ，所以得PN=PM ，且互相垂直；

（2）由旋转可推出BAD CAE ∆∆≌，再利用PM 与PN 皆为中位线，得到PM=PN ，再利用角度间关系推导出垂直即可；

（3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM ，且PM ⊥PN ，利用三角形面积公式求解即可．

【详解】

（1）PM PN =，PM PN ⊥；

已知点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，根据三角形的中位线定理可得 12PM EC =，12

PN BD =，//PM EC ，//PN BD 根据平行线性质可得DPM DCE ∠=∠，NPD ADC ∠=∠

在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，AD AE =

可得BD EC =，90DCE ADC ∠+∠=︒

即得PM PN =，PM PN ⊥

故答案为：PM PN =；PM PN ⊥．

（2）等腰直角三角形，理由如下：

由旋转可得BAD CAE ∠=∠，

又AB AC =，AD AE =

∴BAD CAE ∆∆≌

∴BD CE =，ABD ACE ∠=∠，

∵点M ，P 分别为DE ，DC 的中点

∴PM 是DCE ∆的中位线

∴12

PM CE =，且//PM CE ， 同理可证12PN BD =

，且//PN BD ∴PM PN =，MPD ECD ∠=∠，PNC DBC ∠=∠，

∴MPD ECD ACD ACE ACD ABD ∠=∠=∠+∠=∠+∠，

DPN PNC PCN DBC PCN ∠=∠+∠=∠+∠，

∴

90MPN MPD DPN ACD ABD DBC PCN ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒，

即PMN ∆为等腰直角三角形．

（3）把ADE ∆绕点A 旋转的如图的位置，

此时1()72PN AD AB =+=，1()72

PM AE AC =+= 且PN 、PM 的值最长，由（2）可知PM PN =，PM PN ⊥ 所以PMN ∆面积最大值为

1497722⨯⨯=． 【点睛】

本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、旋转的性质等相关知识，解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系．

2．我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

特例感知：

（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．

①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD= BC；

②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为．

猜想论证：

（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．

拓展应用

（3）如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=23，DA=6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．

【答案】（1）①1

2

；②4；（2）AD=

1

2

BC，证明见解析；（3）存在，证明见解析，

39．【解析】【分析】

（1）①首先证明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD=1

2

AB′即可解决问题；

②首先证明△BAC≌△B′AC′，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；

（2）结论：AD=1

2

BC．如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M，首先证

明四边形AC′MB′是平行四边形，再证明△BAC≌△AB′M，即可解决问题；

（3）存在．如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．想办法证明PA=PD，PB=PC，再证明∠APD+∠BPC=180°，即可；

【详解】

解：（1）①如图2中，