数学解题方法换元法详解

二、换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x ＋2x －2≥0，先变形为设2x ＝t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y ＝x ＋1-x 的值域时，易发现x ∈[0,1]，设x ＝sin 2α ，α∈[0,π2

]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x 、y 适合条件x 2＋y 2＝r 2（r>0）

时，则可作三角代换x ＝rcos θ、y ＝rsin θ化为三角问题。

均值换元，如遇到x ＋y ＝S 形式时，设x ＝S 2＋t ，y ＝S 2

－t 等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,π2

]。 例1. 实数x 、y 满足4x 2－5xy ＋4y 2＝5 （ ①式） ，设S ＝x 2＋y 2，求

1S m a x ＋1S min

的值。（93年全国高中数学联赛题） 【分析】 由S ＝x 2＋y 2联想到cos 2α＋sin 2

α＝1,于是进行三角换元，设x S y S ==⎧⎨⎪⎩

⎪cos sin αα代入①式求S max 和S min 的值。 【解】设x S y S ==⎧⎨⎪⎩⎪cos sin αα

代入①式得： 4S －5S ·sin αcos α＝5 解得 S ＝10852-sin α

；

∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴10

13

≤

10

85

-sinα

≤

10

3

∴

1

S

max

＋

1

S

min

＝

3

10

＋

13

10

＝

16

10

＝

8

5

此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝810

S

S

-

的有界性而求，即解不等

式：|810

S

S

-

|≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。

【另解】由S＝x2＋y2，设x2＝S

2

＋t，y2＝

S

2

－t，t∈[－

S

2

，

S

2

]，

则xy＝±S

t

2

2

4

－代入①式得：4S±5

S

t

2

2

4

－=5，

移项平方整理得 100t2+39S2－160S＋100＝0 。

∴ 39S2－160S＋100≤0 解得：10

13

≤S≤

10

3

∴

1

S

max

＋

1

S

min

＝

3

10

＋

13

10

＝

16

10

＝

8

5

【注】此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x2＋y2与三角公式cos2α＋sin2α＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x2＋y2而按照均值换元的思

路，设x2＝S

2＋t、y2＝S

2

－t，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值

域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。

和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x ＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x＝a＋b，y

＝a－b，代入①式整理得3a2＋13b2＝5 ，求得a2∈[0,5

3

]，所以S＝(a－b)2＋(a＋b)2

＝2(a2＋b2)＝10

13

＋

20

13

a2∈[

10

13

,

10

3

]，再求

1

S

max

＋

1

S

min

的值。