运筹学重点习题及答案

综合习题二

1、自己选用适当的方法，对下图求最小(生成)树。(12分)

解：（1）最小树为图中双线所示

（2）最小树长14

2、用破圈法求下面网络的最短树

解：最小树如下图所示

由于q=5，p=6，则q=p-1，故已得最短树。 最小树长为12

2、用标号法求下列网络V1→V7的最短路径及路长。（12分）

V 1

2

3

3

5

2

4

5

5

6

V 3

V 2

V 4

V 5

V 6

5 6

V 1

V 2 V 4

4

3

5

3

V 3

V 5

V 6 5 2

2

V 1 V 7

V 5

V 6

V 4

V 3

V 2

5

4 3

5 3 1

7

6

1

7

3

1

解：

最短路径：v 1→v 3→v 5→v 6→v 7 L=10 4、解：

第一轮：

（1） 在G 中找到一个回路{v 1，v 2，v 3，v 1}；

（2） 此回路上的边[v 1，v 3]的权数6为最大，去掉[v 1，v 3]。 第二轮：

（1）在划掉[v 1，v 3]的图中找到一个回路{v 2，v 3，v 5，v 2}；

（2）去掉其中权数最大的边[v 2，v 5]。 第三轮：

（1）在划掉[v 1，v 3]，[v 2，v 5]的图中找到一个回路{v 2，v 3，v 5，v 4，v 2} （2）去掉其中权数最大的边[v 3，v 5]。 第四轮：

（1）在划掉[v 1，v 3]，[v 2，v 5]，[v 3，v 5]的图中找到一个回路{ v 4，v 5，v 6，v 4} （2）去掉其中权数最大的边[v 5，v 6]（或可以去掉边[v 4，v 6]，这两条边的权数都为最大）。 （2分）

在余下的图中已找不到任何一个回路了，此时所得图就是最小树，这个最小树的所有边

v 1

v 5

4

3

4

v 6

v 3

v 5

V 2 7 V 4 V 1 (v 1(v 1, 4) (v , 6) 1, 13) 5(v 1, 5)

的总权数为5+4+2+3+4=18，结果如下图所示，即按照下图设计网络路线，可使总的线路长度达到最短。

5、求下图的网络最大流，并写出最小割集。（12分）

V 1 4 V 4

8 7 6 4 5 V s 9 V 2 3 V 5 3 V t

15 5 2 8 7

V 3 7 V 6

解：找增广链：

t s V V V V →→→41 41=f t s V V V V →→→52 32=f

t s V V V V →→→63 73=f （6分）

(V s ,4)

V 1 (4,4) V 4

(8,4) 7 6 4 (5,4) V s ( 9,3) V 2 (V 1,4) (3,3) V 5 (3,3) V t

(15,7) 5 2 8 (7,7)

V 3 (7,7) V 6

(V s ,8) （3分）

最小割集为：V *

={（V 3，V 6），（V 2，V 5），（V 1，V 4）} （1分） C *

（V ，V ）=14 （1分） 且V *

（f ）=14 5、如下图，（1）求v 1到v 10的最大流及最大流量；（2）求最小割集和最小割量。

图6－44

15

【解】给出初始流如下

15

第一轮标号：得到一条增广链，调整量等于5，如下图所示

15

调整流量。

第二轮标号：得到一条增广链，调整量等于2，如下图所示

15

调整流量。

第三轮标号：得到一条增广链，调整量等于3，如下图所示

调整流量。

第四轮标号：不存在增广链，最大流量等于45，如下图所示

取 1123456817910{,,,,,,},{,,}V v v v v v v v V v v v ==，最小截集{(3,7),(4,7),(6,9),(8,10)，最小截量等于45。

6、用狄克斯拉算法求解下图所示最短路问题。

解：先将图的网络用矩阵形式表示出来:

15

15

反向追踪，得到最优路线：

7、某蛋糕店有一服务员，顾客到达服从λ=30人/小时的Poisson 分布，当店里只有一个顾客时，平均服务时间为1.5分钟，当店里有2个或2个以上顾客时，平均服务时间缩减至1分钟。两种服务时间均服从负指数分布。试求： （1）此排队系统的状态转移图； （2）稳态下的概率转移平衡方程组； （3）店内有2个顾客的概率； （4）该系统的其它数量指标。 【解】（1）此系统为]//[:]1//[FCFS M M ∞∞排队模型，该系统的状态转移图如下：

（2）由转移图可得稳态下的差分方程组如下：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧+=++=++=+=+-n

n n P P P P P P P P P P P )()()(2121223211

12201

10λμμλλμμλλμμλμλ