运筹学重点习题及答案
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综合习题二
1、自己选用适当的方法,对下图求最小(生成)树。(12分)
解:(1)最小树为图中双线所示
(2)最小树长14
2、用破圈法求下面网络的最短树
解:最小树如下图所示
由于q=5,p=6,则q=p-1,故已得最短树。 最小树长为12
2、用标号法求下列网络V1→V7的最短路径及路长。(12分)
V 1
2
3
3
5
2
4
5
5
6
V 3
V 2
V 4
V 5
V 6
5 6
V 1
V 2 V 4
4
3
5
3
V 3
V 5
V 6 5 2
2
V 1 V 7
V 5
V 6
V 4
V 3
V 2
5
4 3
5 3 1
7
6
1
7
3
1
解:
最短路径:v 1→v 3→v 5→v 6→v 7 L=10 4、解:
第一轮:
(1) 在G 中找到一个回路{v 1,v 2,v 3,v 1};
(2) 此回路上的边[v 1,v 3]的权数6为最大,去掉[v 1,v 3]。 第二轮:
(1)在划掉[v 1,v 3]的图中找到一个回路{v 2,v 3,v 5,v 2};
(2)去掉其中权数最大的边[v 2,v 5]。 第三轮:
(1)在划掉[v 1,v 3],[v 2,v 5]的图中找到一个回路{v 2,v 3,v 5,v 4,v 2} (2)去掉其中权数最大的边[v 3,v 5]。 第四轮:
(1)在划掉[v 1,v 3],[v 2,v 5],[v 3,v 5]的图中找到一个回路{ v 4,v 5,v 6,v 4} (2)去掉其中权数最大的边[v 5,v 6](或可以去掉边[v 4,v 6],这两条边的权数都为最大)。 (2分)
在余下的图中已找不到任何一个回路了,此时所得图就是最小树,这个最小树的所有边
v 1
v 5
4
3
4
v 6
v 3
v 5
V 2 7 V 4 V 1 (v 1(v 1, 4) (v , 6) 1, 13) 5(v 1, 5)
的总权数为5+4+2+3+4=18,结果如下图所示,即按照下图设计网络路线,可使总的线路长度达到最短。
5、求下图的网络最大流,并写出最小割集。(12分)
V 1 4 V 4
8 7 6 4 5 V s 9 V 2 3 V 5 3 V t
15 5 2 8 7
V 3 7 V 6
解:找增广链:
t s V V V V →→→41 41=f t s V V V V →→→52 32=f
t s V V V V →→→63 73=f (6分)
(V s ,4)
V 1 (4,4) V 4
(8,4) 7 6 4 (5,4) V s ( 9,3) V 2 (V 1,4) (3,3) V 5 (3,3) V t
(15,7) 5 2 8 (7,7)
V 3 (7,7) V 6
(V s ,8) (3分)
最小割集为:V *
={(V 3,V 6),(V 2,V 5),(V 1,V 4)} (1分) C *
(V ,V )=14 (1分) 且V *
(f )=14 5、如下图,(1)求v 1到v 10的最大流及最大流量;(2)求最小割集和最小割量。
图6-44
15
【解】给出初始流如下
15
第一轮标号:得到一条增广链,调整量等于5,如下图所示
15
调整流量。
第二轮标号:得到一条增广链,调整量等于2,如下图所示
15
调整流量。
第三轮标号:得到一条增广链,调整量等于3,如下图所示
调整流量。
第四轮标号:不存在增广链,最大流量等于45,如下图所示
取 1123456817910{,,,,,,},{,,}V v v v v v v v V v v v ==,最小截集{(3,7),(4,7),(6,9),(8,10),最小截量等于45。
6、用狄克斯拉算法求解下图所示最短路问题。
解:先将图的网络用矩阵形式表示出来:
15
15
反向追踪,得到最优路线:
7、某蛋糕店有一服务员,顾客到达服从λ=30人/小时的Poisson 分布,当店里只有一个顾客时,平均服务时间为1.5分钟,当店里有2个或2个以上顾客时,平均服务时间缩减至1分钟。两种服务时间均服从负指数分布。试求: (1)此排队系统的状态转移图; (2)稳态下的概率转移平衡方程组; (3)店内有2个顾客的概率; (4)该系统的其它数量指标。 【解】(1)此系统为]//[:]1//[FCFS M M ∞∞排队模型,该系统的状态转移图如下:
(2)由转移图可得稳态下的差分方程组如下:
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+=++=++=+=+-n
n n P P P P P P P P P P P )()()(2121223211
12201
10λμμλλμμλλμμλμλ