高考数学一轮复习排列与组合练习含答案

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高考第一轮复习数学单元测试卷排列、组合、二项式定理参考答案-数学试题

高考第一轮复习数学单元测试卷排列、组合、二项式定理参考答案-数学试题
一、选择题：（每题5分，共60分）
1、C
2、C
3、B
4、D
5、B
6、B
7、C8、D9、C10、C
11、C12、B
二、填空题：（每题4分，共16分
13、14、1415、17916、96
三、解答题（共六个小题，满分74分）
17、（10分）设原来站在第i个位置的人是（i=1，2，3，4，5）。

重新站队时，站在第2个位置的站法有种，其中不符合要求的有：站第3位的种，站第4位的种，但有的站法在考虑的情形时已经减去了，故只应再算（）种，同理，站第5位的应再算[]种。

站在第3，4，5位的情形与站在第2位的情形时对等的，故所有符合要求的站法有：
=44（种）
18、（12分）设取个红球，个白球，于是：
，其中，
因此所求的取法种数是：=186（种）
19、（12分）假设满足要求的等差数列存在，由于所给等式对一切自然数n均成立，故当n=1，2，3时等式成立，从而可解得=1，=2，=3，因此若满足要求的等差数列存在，则必须是=n。

.然后再证明当=n时所给等式确实成立即可。

答案是肯定的。

20、（12分）注意到即可。

21、（14分）由已知得：。

注意到，从而等差数列的通项公式是：，设其前k项之和最大，则
，解得k=25或k=26，故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，。

22（14分）先求出的常数项是27，从而可得中n=7，对于由二项展开式的通项公式知，含的项是第4项，其二项式系数是35。

高考数学一轮复习排列与组合专题练习及答案

高考数学一轮复习排列与组合专题练习及答案高考数学一轮复习排列与组合专题练习及答案一、填空题1.市内某公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是________.[解析] 由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共322=12种;如果是第二种偶奇奇的情况，个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0,1种情况)，共321=6种，因此总共12+6=18种情况.[答案] 182.若从1,2,3，，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种.[解析] 满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C=5(种);二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有CC=60(种);三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的`取法共有5+60+1=66(种).[答案] 663.(2014福州调研)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，称这个数为伞数.现从1,2,3,4,5,6这六个数字中取3个数，组成无重复数字的三位数，其中伞数有________个.[解析] 分类讨论：若十位数为6时，有A=20(个);若十位数为5时，有A=12(个);若十位数为4时，有A=6(个);若十位数为3时，有A=2(个).因此一共有40个.[答案] 404.一个平面内的8个点，若只有4个点共圆，其余任何4点不共圆，那么这8个点最多确定的圆的个数为________.[解析] 从8个点中任选3个点有选法C种，因为有4点共圆所以减去C种再加1种，共有圆C-C+1=53个.[答案] 535.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有________种.[解析] 分两种情况：选2本画册，2本集邮册送给4位朋友有C=6(种)方法;选1本画册，3本集邮册送给4位朋友有C=4(种)方法，不同的赠送方法共有6+4=10(种).[答案] 106.用数字1,2,3,4,5,6六个数字组成一个六位数，要求数字1,2都不与数字3相邻，且该数字能被5整除，则这样的五位数有________个.[解析] 由题可知，数字5一定在个位上，先排数字4和6，排法有2种，再往排好的数字4和6形成的3个空位中插入数字1和3，插法有6种，最后再插入数字2，插法有3种，根据分步乘法计数原理，可得这样的六位数有263=36个.[答案] 367.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法有________种.[解析] 第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法CC=264(种);第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C-3C=220-12=208(种).由分类计数原理知不同的取法有264+208=472(种).[答案] 4728.在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的三位数共有________个.[解析] 在1,2,3,4,5这五个数字中有3个奇数，2个偶数，要求三位数各位数字之和为偶数，则两个奇数一个偶数，符合条件的三位数共有CCA=36(个).[答案] 36二、解答题9.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是多少?(用数字作答).[解] 分三类：选1名骨科医生，则有C(CC+CC+CC)=360(种);选2名骨科医生，则有C(CC+CC)=210(种);选3名骨科医生，则有CCC=20(种).骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是360+210+20=590种.10.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.(1)若每个盒子放一球，则有多少种不同的放法?(2)恰有一个空盒的放法共有多少种?[解] (1)每个盒子放一球，共有A=24(种)不同的放法;(2)法一先选后排，分三步完成.第一步：四个盒子中选一只为空盒，有4种选法;第二步：选两球为一个元素，有C种选法;第三步：三个元素放入三个盒中，有A种放法.故共有4CA=144(种)放法.法二先分组后排列，看作分配问题.第一步：在四个盒子中选三个，有C种选法;第二步：将四个球分成2,1,1三组，有C种放法;第三步：将三组分到选定的三个盒子中，有A种放法.故共有CCA=144种放法.。

高考数学一轮复习考点题型课下层级训练53排列与组合(含解析)

课下层级训练(五十三) 排列与组合[A 级基础强化训练]1．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A ．24B ．48C ．60D ．72 【答案】D [第一步，先排个位，有C 13种选择；第二步，排前4位，有A 44种选择．由分步乘法计数原理，知有C 13·A 44＝72(个)．]2．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A ．85B ．56C ．49D ．28 【答案】C [分两类：甲、乙中只有1人入选且丙没有入选；甲、乙均入选且丙没有入选，计算可得所求选法种数为C 12C 27＋C 22C 17＝49.]3．(2019·山东淄博检测)从A ，B ，C ，D ，E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( )A ．24B ．48C ．72D ．120 【答案】C [A 参加时参赛方案有C 34A 12A 33＝48(种)；A 不参加时参赛方案有A 44＝24(种)，所以不同的参赛方案共72种．]4．(2019·山东日照检测)大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的A ，B ，C ，D 四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置)，其中A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )A ．18种B ．24种C ．36种D ．48种【答案】B [当A 户家庭的孪生姐妹乘坐甲车或乙车时，则另两个小孩，是另外两个家庭的一个小孩，有2×C 23×22＝24种方法．]5．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种【答案】D [由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C 13·C 24·A 22＝36(种)，或列式为C 13·C 24·C 12＝3×4×32×2＝36(种)．]6．如图，用五种不同颜色给A 、B 、C 、D 涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域涂色不同，共有____________种涂法．【答案】260 [共有7．若C m －18>3C m8，则m ＝____________.【答案】7或8 [原不等式可化为 8！m －！－m ！>3×8！m ！－m ！，解得m >274． ∵0≤m －1≤8，且0≤m ≤8，∴1≤m ≤8．又m 是整数，∴m ＝7或m ＝8.]8．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有____________种．(用数字填写答案)【答案】16 [方法一按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C 12C 24种，有2位女生参加有C 22C 14种．故共有C 12C 24＋C 22C 14＝2×6＋4＝16(种)．方法二间接法．从2位女生，4位男生中选3人，共有C 36种情况，没有女生参加的情况有C 34种，故共有C 36－C 34＝20－4＝16(种)．]9．(2019·河北衡水模拟)把20个不加区别的小球放入1号，2号，3号的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为____________．【答案】120 [先在编号为2,3的盒内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共有C 216＝120种方法．]10．(2018·浙江卷)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成 ____________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)【答案】1 260 [不选0时，有C 25C 23A 44＝720(个)．选0时， 0不能排在首位，有C 25C 13C 13A 33＝540(个)．由分类加法计数原理，共有720＋540＝1 260(个)四位数．][B 级能力提升训练]11．(2019·山东潍坊检测)从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为( )A ．C 210A 48B ．C 19A 59 C ．C 18A 59D ．C 18A 58【答案】C [先排第1号瓶，从除甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1种有C 18种方法，再排剩余的瓶子，有A 59种方法，故不同的放法共C 18A 59种．]12．(2019·山东淄博检测)第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，为了保护各国元首的安全，将5个安保小组全部安排到指定三个区域内工作，且这三个区域每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有( )A ．96种B ．100种C ．124种D ．150种【答案】D [因为三个区域每个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，有两种分组的情况：一种是1,1,3，另一种是1,2,2.当按照1,1,3来分时，共有N 1＝C 15C 14C 33A 22·A 33＝60(种)，当按照1,2,2来分时，共有N 2＝C 25C 23C 11A 22·A 33＝90(种)，根据分类加法计数原理知N ＝N 1＋N 2＝150种．] 13．某班组织文艺晚会，准备从A ，B 等8个节目中选出4个节目演出，要求A ，B 两个节目至少有一个选中，且A ，B 同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为( )A ．1 860B ．1 320C ．1 140D ．1 020【答案】C [当A ，B 节目中只选一个时，共有C 12C 36A 44＝960种演出顺序；当A ，B 节目都被选中时，由插空法得共有C 26A 22A 23＝180种演出顺序．所以一共有1 140种演出顺序．]14．(2019·山东临沂检测)有编号为1,2,3,4,5,6的六辆货车排队出发，要求1号车必须在3号车前出发，共有____________种出发顺序．【答案】360 [编号为1,2,3,4,5,6的六辆货车排队出发，共有A 66出发顺序，要求1号车必须在3号车前出发，所以有A 66A 22＝6×5×4×3＝360(种)出发顺序．] 15．(2017·天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有____________个．(用数字作答)【答案】1 080 [①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C 35·C 14·A 44＝960．②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A 45＝120．故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．]16. (2017·浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有____________种不同的选法．(用数字作答)．【答案】660 [方法一只有1名女生时，先选1名女生，有C 12种方法；再选3名男生，有C 36种方法；然后排队长、副队长位置，有A 24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C 12C 36A 24＝480(种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有C 26种方法；然后排队长、副队长位置，有A 24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C 26A 24＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知共有480＋180＝660(种)不同的选法．方法二不考虑限制条件，共有A 28C 26种不同的选法，而没有女生的选法有A 26C 24种，故至少有1名女生的选法有A 28C 26－A 26C 24＝840－180＝660(种)．]。

高中数学一轮复习梯级练六十七排列与组合理含解析

课时作业梯级练六十七排列与组合【基础落实练】（30分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分）1.一个工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成,从中选出1人来完成这个工作，则不同的选法种数是 ()A。

9 B.10 C.20 D。

40【解析】选 A.利用第一种方法有:=5(种)，利用第二种方法有:=4种方法.故共有：5+4=9（种）不同的选法来完成工作.2。

某校教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，一学生由一层到五层的走法有（)A。

10种B。

25种C。

52种D。

24种【解析】选D.共分4步:一层到二层2种走法，二层到三层2种走法,三层到四层2种走法,四层到五层2种走法，一共24=16种走法.3.从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 (）A。

8种 B.12种 C.16种D。

20种【解析】选B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,选取3个面有2个不相邻，则必选相对的2个面，所以分3类.若选ABCD和A1B1C1D1两个面，另一个面可以是ABB1A1,BCC1B1，CDD1C1和ADD1A1中的一个,有4种。

同理选另外相对的2个面也有4种.所以共有4×3=12（种）.4。

某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴,3人会小号,从中选出会钢琴和会小号的各1人,则不同的选法有（)A。

8种B。

12种C。

16种D。

20种【解析】选D。

由题意知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(称为“多面手”），只会钢琴的有6人,只会小号的有2人.按“多面手”的选法分为两类:（1)“多面手”入选，则有6+2=8(种）选法；(2)“多面手”不入选，则有6×2=12(种)选法。

因此选法共有8+12=20（种）. 5.(2020·新高考全国Ⅰ卷）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(）A。

2024年高考数学一轮复习第10章第2讲：排列与组合(附答案解析)

第1页共21页2024年高考数学一轮复习第10章第2讲：排列与组合学生版考试要求 1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利
用排列、组合解决简单的实际问题．知识梳理
1．排列与组合的概念名称
定义排列
从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素按照一定的顺序排成一列组合作为一组
2.排列数与组合数
(1)排列数：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数，用符号A m n 表示．
(2)组合数：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，用符号C m n 表示．
3．排列数、组合数的公式及性质公式(1)A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝
n ！(n －m )！
(n ，m ∈N *，且m ≤n )．(2)C m n ＝A m n A m m ＝n ！m ！(n －m )！
(n ，m ∈N *，且m ≤n )．特别地，C 0n ＝1性质
(1)0！＝1；A n n ＝n ！.
(2)C m n ＝C n －m n ；C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n 常用结论
1．排列数、组合数常用公式
(1)A m n ＝(n －m ＋1)A m －
1n .(2)A m n ＝n A m －
1n －1.(3)(n ＋1)！－n ！＝n ·n ！.
(4)k C k n ＝n C k －
1n －1.(5)C m n ＋C m n －1＋…＋C m m ＋1＋C m m ＝C m ＋
1n ＋1.2．解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排．
(2)合理分类与准确分步．。

高考数学一轮复习第11章第2讲排列与组合训练含解析

第十一章第2讲[A 级根底达标]1．计算2C 57＋3A 25的值是( )A ．72B ．102C ．5 070D ．5 100【答案】B2．(2021杭州月考)假设从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，那么不同的取法共( )A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种【答案】D3．(2022年衡水月考)“学习强国〞学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP ，该款软件主要设有“阅读文章〞“视听学习〞两个学习板块和“每日答题〞“每周答题〞“专项答题〞“挑战答题〞四个答题板块．某人在学习所有板块的过程中，“阅读文章〞与“视听学习〞两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有( )A ．192种B ．240种C ．432种D ．528种【答案】C4．(2022年延边模拟)某次演出共有6位演员参加，规定甲只能排在第一个或最后一个出场，乙和丙必须排在相邻的顺序出场，那么不同的演出顺序共有( )A ．24种B ．144种C ．48种D ．96种【答案】D5．(2022年安徽模拟)在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A ，B ，C 三个小区的志愿者中各选取1人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作．假设每个小区安排1人，那么每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为( )A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】B【解析】由题意，根本领件总数n ＝A 33＝6，每位志愿者不安排在自己居住小区包含的根本领件个数m ＝C 12C 11C 11＝2，所以每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为p ＝m n ＝26＝13. 6．(2022年衡水二模)疫情防控期间，衡水市某医院从3名呼吸科、3名重症科和3名急诊科医生中选派5人组成一个医疗专家小组跟本市其他医院的援助医疗队一同支援武汉，那么该院呼吸科、重症科和急诊科医生都至少有1人的概率为( )A ．89B ．23C ．67D ．13【答案】C【解析】从9人中选5人有C 59＝126种选法，三科医生都至少有1人，那么按人数分为311,221，选派方法数为C 13C 13C 13＋C 13C 13C 23C 23＝108，所以所求概率为P ＝108126＝67. 7．某高一学生将来准备报考医学专业．该同学已有两所心仪大学A 和B ，其中A 大学报考医学专业时要求同时选考物理和化学，B 大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门．假设该同学将来想报考这两所大学中的其中一所，那么该同学“六选三〞选考科目的选择方案有( )A ．12种B ．15种C ．16种D ．20种【答案】C【解析】同时选考物理和化学时，必定也能报考B 大学，故只需求能报考B 大学的选择方案即可，共有C 12C 24＋C 22C 14＝16种．8．(2022年湖南模拟)算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档〞，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上局部叫上珠，梁下局部叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，那么表示数字65.假设在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，那么所拨数字大于200的概率为( )A ．38B ．12C ．23D ．34【答案】D【解析】依题意得所拨数字共有C 14C 24＝24种可能．要使所拨数字大于200，假设上珠拨的是千位档或百位档，那么所拨数字一定大于200，有C 12C 24＝12种；假设上珠拨的是个位档或十位档，那么下珠一定要拨千位，再从个、十、百里选一个下珠，有C 12C 13＝6种，那么所拨数字大于200的概率为12＋624＝34.9．(2022年天津二模)从0,1,2,3,4,5共6个数中任取三个组成无重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数的个数为________．【答案】36【解析】根据题意，要求三位数能被5整除，那么三位数的个位数字必须为0或5.假设个位数字为0，在1,2,3,4,5这5个数字中任选2个，安排在百位与十位，有A 25＝20种情况；假设个位数字为5，在百位数字的选法有4种，十位数字也有4种，那么此时有4×4＝16种情况．所以一共有20＋16＝36种情况，即有36个能被5整除的三位数．10．1C m 5－1C m 6＝710C m 7，那么m ＝________.【答案】2【解析】由组合数公式化简，得m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或m ＝21(舍去)． 11．在一展览会上，要展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，那么该次展出这5件作品不同的摆放方案共有________种(用数字作答)．【答案】24【解析】将2件必须相邻的书法作品看作一个整体，与1件建筑设计展品全排列，再将2件不能相邻的绘画作品插空，故共有A 22A 22A 23＝24种不同的展出方案．[B 组能力提升]12．在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生、2位男生，如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为________(用数字作答)．【答案】60【解析】假设第一个出场是男生，那么第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有C 12C 13A 33＝36(种)；假设第一个出场的是女生(不是女生甲)，那么剩余的2个女生排列好，2个男生插空，方法有C 12A 22A 23＝24(种)．故所有出场顺序的排法种数为36＋24＝60(种)．13．安排甲、乙、丙、丁、戊五名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践活动，每个城市至少安排一人，那么不同的安排方式有( )A ．100种B ．120种C ．150种D ．180种【答案】C【解析】由题意，按五名同学分组的不同分2种情况讨论：①五人分为2、2、1的三组，有C 25C 23C 11A 22＝15种分组方法，对应三个城市，有15×A 33＝90种安排方案；②五人分为3、1、1的三组，有C 35C 12C 11A 22＝10种分组方法，对应三个城市，有10×A 33＝60种安排方案．所以共有90＋60＝150种不同的安排方案．14．(2022年广州天河区一模)中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根相同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：3可表示为“≡〞，26可表示为“＝⊥〞．现有6根算筹，据此表示方法，假设算筹不能剩余，那么可以用1～9这9个数字表示两位数的个数为( )A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】D【解析】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5,1、9,2、4,2、8,3、3,3、7,4、6,6、8,7、7；数字组合1、5,1、9,2、4,2、8,3、7,4、6,6、8中，每组可以表示A 22个两位数，那么可以表示7A 22＝14个两位数；数字组合3、3,7、7，每组可以表示1个两位数，那么可以表示2×1＝2个两位数．那么一共可以表示14＋2＝16个两位数．15．(2022年浙江期末)在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A 、B 、C 三个工程的志愿者工作，因工作需要，每个工程仅需1名志愿者，且甲不能参加A 、B 工程，乙不能参加B 、C 工程，那么共有________种不同的志愿者分配方案(用数字作答)．【答案】21【解析】假设甲、乙都参加，那么甲只能参加C 工程，乙只能参加A 工程，B 工程有3种方法；假设甲参加，乙不参加，那么甲只能参加C 工程，A 、B 工程有A 23＝6种方法；假设甲不参加，乙参加，那么乙只能参加A 工程，B 、C 工程有A 23＝6种方法；假设甲不参加，乙不参加，有A 33＝6种方法．根据分类计数原理，共有3＋6＋6＋6＝21种．16．(2022年江苏三模)今年我国中医药选出的“三药三方〞对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药〞分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方〞分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宣肺败毒方．假设某医生从“三药三方〞中随机选出2种，那么恰好选出1药1方的概率是________．【答案】35【解析】从“三药三方〞中随机选出2种共C 26＝15个根本领件，其中1药1方的事件数有C 13C 13＝9个．故概率p ＝915＝35. [C 级创新突破]17．(多项选择)假设C m －18＞3C m 8，那么m 的取值可能是( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】BC【解析】根据题意，对于C m －18和3C m 8，有0≤m －1≤8且0≤m ≤8，那么有1≤m ≤8.假设C m －18＞3C m 8，那么有8！(m －1)！(9－m )！＞3×8！m ！(8－m )！，得m ＞27－3m ，解得m ＞274.所以274＜m ≤8，那么m ＝7或8.18．(一题两空)(2022年道里区校级模拟)集合A ＝{x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6}，函数f (x )定义于A 并取值于A ．(用数字作答)(1)假设f (x )≠x 对于任意的x ∈A 成立，那么这样的函数f (x )有________个； (2)假设至少存在一个x ∈A ，使f (f (f (x )))≠x ，那么这样的函数f (x )有________个．【答案】(1)15 625 (2)46 575【解析】(1)假设f (x )≠x 对于任意的x ∈A 成立，那么每一个x ，可以对应除它本身之外5个元素之中的一个，利用分步乘法原理，每一个x ，都有5种结果可以与它对应，故这样的函数有5×5×5×5×5×5＝56＝15 625(个)．(2)假设对任意x ∈A ，使f (f (f (x ))＝x ，当f (x i )＝x i 时，符合f (f (f (x )))＝x ，有1个；当f (x i )＝x j ，f (x j )＝x k ，f (x k )＝x i ，i ，j ，k 两两不等时，符合题意，此时有2C 36×2＝80个，故假设对任意x ∈A ，使f (f (f (x )))＝x ，这样的函数有81个．假设至少存在一个x ∈A ，使f (f (f (x )))≠x ，那么这样的函数f (x )有66－81＝46 575(个)．。

高考数学一轮复习点点练36排列与组合(含解析)理

第十一单元概率与统计考情分析本单元在全国卷中占据重要地位，注意“一表、三图、五数”的理解与应用，其中概率、离散型随机变量的分布列、期望等知识的综合运用是高考命题的热点．其中抽样方法与样本估计总体数字特征的求解，多以选择题或填空题的形式出现，统计图表与概率的综合多以解答题的形式出现，线性回归分析及独立性检验有时也以解答题的形式出现．主要考查学生的数据分析、数学运算及逻辑推理的核心素养．点点练36排列与组合一基础小题练透篇1.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A．60种B．70种C．75种D．150种2．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )A．48B．18C．24D．363．若原来站成一排的4个人重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则不同的站法种数为( )A．4B．8C．12D．244．将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A．12种B．10种C．9种D．8种5．旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小明可选的旅游路线数为( )A．24B．18C．16D．106．第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导．工作过程中的任务划分为“负重扛机”“对象采访”“文稿编写”“编制剪辑”四项工作，每项工作至少一人参加，但2名女记者不参加“负重扛机”工作，则不同的安排方案数为( )A．150B．126C．90D．547．从3名骨科，4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答).8．寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有________种．(用数字作答)二能力小题提升篇1.[2022·河北省唐县月考]7个人站成一排准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有( )A．400种B．720种C．960种D．1200种2．[2022·广东省深圳市月考]某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有( )A．120种B．80种C．20种D．48种3．[2022·福建省福州质检]某市近几年大力改善城市环境，全面实现创建生态园林城市计划，现省专家组评审该市是否达到“生态园林城市”的标准，从包含甲、乙两位专家在内的8人中选出4人组成评审委员会，若甲、乙两位专家至少一人被邀请，则组成该评审委员会的不同方式共有( )A．70种B．55种C．40种D．25种4．[2022·贵州省贵阳月考]2021年暑假，贵阳一中继续组织学生开展“百行体验”社会实践活动．现高三年级某班有6名学生需要去敬老院、社区医院、儿童福利院三个机构开展活动，要求每个机构去2名学生，且学生甲不去敬老院，则不同的安排共有( ) A．60种B．360种C．15种D．100种5．[2022·江苏省常州市检测]为调查新冠疫苗的接种情况，需从5名志愿者中选取3人到3个社区进行走访调查，每个社区一人．若甲乙两人至少有一人入选，则不同的选派方法有________．6．[2022·四川省成都月考]一条路上有10盏路灯，为节约资源，准备关闭其中的3盏．为安全起见，不能关闭两端的路灯，也不能关闭任意相邻的两盏路灯．则不同的关闭路灯的方法有________种．三高考小题重现篇1．[2021·全国乙卷]将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( )A．60种B．120种C．240种D．480种2．[全国卷Ⅱ]如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A．24B．18C．12D．93．[2020·山东卷]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( ) A．120种B．90种C．60种D．30种4．[四川卷]用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) A．24B．48C．60D．725．[2020·全国卷Ⅱ]4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．6．[全国卷Ⅰ]从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)四经典大题强化篇1.3名女生和5名男生排成一排．(1)若女生全排在一起，有多少种排法？(2)若女生都不相邻，有多少种排法？(3)若女生不站两端，有多少种排法？(4)其中甲必须排在乙左边(可不邻)，有多少种排法？(5)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？2．某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生当选；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选．点点练36 排列与组合一基础小题练透篇1．答案：C解析：共有C26·C15＝75（种）不同的选法．2．答案：D解析：第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24（个）；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36（个）.3．答案：B解析：根据题意，分两步考虑：第一步，先从4个人里选1人，其位置不变，站法有C14＝4（种）；第二步，其他3人都不站在自己原来的位置上，有2种站法．故不同的站法共有4×2＝8（种）.4．答案：A解析：安排人员去甲地可分为两步：第一步安排教师，有C12种方案；第二步安排学生，有C24种方案．其余的教师和学生去乙地，所以不同的安排方案共有C12C24＝12（种）.5．答案：D解析：分两种情况，第一种，最后体验甲景区，则有A 33 种可选的路线；第二种，不在最后体验甲景区，则有C 12 ·A 22 种可选的路线．所以小明可选的旅游路线数为A 33 ＋C 12 ·A 22 ＝10.6．答案：B解析：根据题意，“负重扛机”可由1名男记者或2名男记者参加，当由1名男记者参加“负重扛机”工作时，有C 13 种方案，剩余2男2女记者可分为3组参加其余三项工作，共有C 24 C 12 A 22 ·A 33 种方案，故由1名男记者参加“负重扛机”工作时，有C 13 ·C 24 C 12 A 22 ·A 33 种方案；当由2名男记者参加“负重扛机”工作时，剩余1男2女3名记者各参加一项工作，有C 23·A 33种方案．故满足题意的不同安排方案数为C 13·C 24 C 12 A 22·A 33 ＋C 23 ·A 33 ＝108＋18＝126.7．答案：590解析：方法一 5＝1＋1＋3＝1＋2＋2，故共有选派方法：C 33 C 14 C 15 ＋C 13 C 34 C 15 ＋C 13 C 14 C 35 ＋C 23 C 24 C 15 ＋C 23 C 14 C 25 ＋C 13 C 24 C 25 ＝590种．方法二利用间接法，用C 512 减去这5人从某一科或某两科选出的情形：C 512 －[C 55 ＋C 57 ＋（C 58 －C 55 ）＋（C 59 －C 55 ）]＝590.8．答案：45解析：设5名同学也用A ，B ，C ，D ，E 来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E 同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC ，BDAC ，BCDA ，CADB ，CDAB ，CDBA ，DABC ，DCAB ，DCBA ，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有9×5＝45（种）.二能力小题提升篇1．答案：C解析：根据题意，可知甲、乙要求相邻的排法有A 66 ×2＝1440种，而甲、乙要求相邻且丙、丁也相邻的排法有A 55 ×2×2＝480种，故甲、乙要求相邻，丙、丁分开的排法有1440－480＝960种．2．答案：C解析：方法一在5个位置中选两个安排其它两个节目，还有三个位置按顺序放入甲、乙、丙，方法数为A 25 ＝20.方法二不同的排法有A 55A 33＝20.3．答案：B解析：8人中选4人有C 48 ＝70种，甲、乙均不选有C 46 ＝15种，共有C 48 －C 46 ＝55种． 4．答案：A解析：先将6名学生分为3组，有C 26 C 24 C 22A 33 ＝15种，因为甲所在小组不能去敬老院，所以安排的方法有C 12 A 22 ＝4种，故不同的安排共有15×4＝60种．5．答案：54解析：①若甲乙两人恰有一人入选，志愿者有C 12 C 23 ＝6种选法，再分配到3个社区，有A 33 ＝6种方案，故由分步乘法计数原理知，共有6×6＝36种选派方法；②若甲乙两人都入选，志愿者有C 22 C 13 ＝3种选法，再分配到3个社区，有A 33 ＝6种方案，故由分步乘法计数原理知，共有3×6＝18种选派方法，综上，由分类加法计数原理知，共有36＋18＝54种选派方法． 6．答案：20解析：将关闭后的路灯看作是由7盏亮着的路灯和3盏熄灭的路灯的排列，其中熄灭的路灯不能在两端，也不能相邻．因此，先将7盏亮着的路灯排好，再用3盏熄灭的路灯去插除去两端的6个空，一共有C 36 ＝20种方法．三高考小题重现篇1．答案：C解析：根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C 25 种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有A 44 种安排方法．故满足题意的分配方案共有C 25 ·A 44 ＝240（种）.2．答案：B解析：由E 处到F 处向上和向右各走2段，故有C 24 ＝6种走法，同理从F 处到G 处有C 13 ＝3种走法．由分步乘法计数原理可知，共有6×3＝18条最短路径．3．答案：C解析：C 16 C 25 C 33 ＝60. 4．答案：D解析：由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，个位数为奇数的有C 13 种，其余4个数字全排列，所以奇数的个数为C 13 ·A 44 ＝3×4×3×2×1＝72.5．答案：36解析：因为每个小区至少安排1名同学，所以4名同学的分组方案只能为1，1，2，所以不同的安排方法共有C 14 ·C 13 ·C 22 A 22·A 33 ＝36种． 6．答案：16解析：方法一（直接法） ①选1女2男有C 12 C 24 ＝12种选法，②选2女1男有C 22 ·C 14 ＝4种选法．根据分类加法原理，共12＋4＝16种不同选法．方法二（间接法） 6人中选3人有C 36 种选法，3人全是男生有C 34 种选法，∴符合题意的不同选法有C 36 －C 34 ＝20－4＝16种．四经典大题强化篇1．解析：（1）（捆绑法）由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同5名男生合在一起有6个元素，排成一排有A 66 种排法，而其中每一种排法中，3名女生之间又有A 33 种排法，因此共有A 66 ·A 33 ＝4320种不同排法．（2）（插空法）先排5名男生，有A 55 种排法，这5名男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A 36 种排法，因此共有A 55 ·A 36 ＝14400种不同排法．（3）方法一（位置分析法）因为两端不排女生，只能从5名男生中选2人排，有A 25 种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A 66 种排法，因此共有A 25 ·A 66 ＝14400种不同排法．方法二（元素分析法）从中间6个位置选3个安排女生，有A 36 种排法，其余位置无限制，有A 55 种排法，因此共有A 36 ·A 55 ＝14400种不同排法．（4）8名学生的所有排列共A 88 种，其中甲在乙左边与乙在甲左边的各占12，因此符合要求的排法种数为12A 88 ＝20160.（5）甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．方法一（特殊元素法）甲在最右边时，其他的可全排，有A 77 种不同排法；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A 16 种．而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A 16 种，其余人全排列，共有A 16 ·A 16 ·A 66 种不同排法．由分类加法计数原理知，共有A 77＋A 16 ·A 16 ·A 66 ＝30960种不同排法．方法二（特殊位置法）先排最左边，除去甲外，有A 17 种排法，余下7个位置全排，有A 77 种排法，但应剔除乙在最右边时的排法A 16 ·A 66 种，因此共有A 17 ·A 77 －A 16 ·A 66 ＝30960种排法．方法三（间接法） 8名学生全排列，共A 88 种，其中，不符合条件的有甲在最左边时，有A77种排法，乙在最右边时，有A77种排法，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A66种排法．因此共有A88－2A77＋A66＝30960种排法．2．解析：（1）只有一名女生当选等价于有一名女生和四名男生当选．故共有C15·C48＝350种．（2）两队长当选，共有C22·C311＝165种．（3）至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选，有两名队长当选．故共有C1 2·C411＋C22·C311＝825种．（或采用排除法：C513－C511＝825（种））.（4）至多有两名女生当选含有三类：有两名女生当选，只有一名女生当选，没有女生当选．故选法共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966种．。

2021-2022年上学期高三第一轮复习数学：排列、组合二项式定理(附答案)

2022－2022学年度上学期高中学生学科素质练习高三数学同步测试〔9〕—?排列、组合二项式定理?一、选择题〔此题每题5分,共60分〕1．以下各式中,假设1＜k ＜n , 与C n k 不等的一个是〔〕A ．11++n k C n+1k+1B ．k n C n －1k －1 C ．kn n -C n －1k D ．1--n nk C n －1k+1 2．二项式(x －x2)7展开式的第4项与第5项之和为零,那么x 等于〔〕A ．1B ．2C ．2D ．463．设(1－2x)10＝a 1+a 2x+a 3x 2+…+a 11x 10, 那么a 3+a 5+…+a 7+a 9等于〔〕A ．310－1B ．1－310C ．21(310－1) D ．21(310+1) 4．从10名女学生中选2名,40名男生中选3名,担任五种不同的职务,规定女生不担任其中某种职务,不同的分配方案有〔〕A ．P 102P 403B ．C 102P 31P 44C 103 C ．C 152C 403P 55D ．C 102C 4035．用1,2,3,4,5,6,7七个数字排列组成七位数,使其中偶位数上必定是偶数,那么可得七位数的个数是〔〕A ．P 44B ．P 44P 33C ．6P 33D ．C 152C 403P 556．假设1212221012)23(x a x a x a a x ++++=+ ,那么-++++211531)(a a a a 212420)(a a a a ++++ 的值是〔〕A ．1B ．－1C ．2D ．－27．在某次数学测验中,学号)4,3,2,1(=i i 的四位同学的测试成绩}98,96,93,92,90{)(∈i f ,且满足)4()3()2()1(f f f f <≤<,那么这四位同学的测试成绩的所有可能情况的种数为〔〕A ．9种B ．5种C ．23种D ．15种8．如果一个三位正整数形如“321a a a 〞满足2321a a a a <<且,那么称这样的三位数为凸数〔如120、363、374等〕,那么所有凸数个数为〔〕A ．240B ．204C ．729D ．9209．使得多项式1125410881234++++x x x x 能被5整除的最小自然数为〔〕 A ．1 B ．2C ．3D ．410．假设n xx )2(3+展开式中存在常数项,那么n 的值可以是〔〕A ．8B ．9C ．10D ．1211．在AOB ∠的OA 边上取m 个点,在OB 边上取n 个点〔均除O 点外〕,连同O 点共1m n ++个点,现任取其中三个点为顶点作三角形,可作的三角形有〔〕 A ．211211m n n m C C C C +++ B ．2121m n n m C C C C + C ．112121n m m n n m C C C C C C ++D ．121211n m n m C C C C +++12．假设二项式：)()222(9R x x∈-的展开式的第7项为421,那么)(lim 2n n x x x +++∞→ 的值为〔〕A ．－41 B ．41C ．－43D ．43 二、填空题〔此题每题4分,共16分〕13．二项式〔1－x21〕10的展开式中含51x 的项的系数________〔请用数字作答〕14．某学校要从高三的6个班中派9名同学参加市中学生外语口语演讲,每班至少派1人,那么这9个名额的分配方案共有种.〔用数字作答〕15．在102)1)(1(x x x -++的展开式中,4x 项的系数是 .16．有四个好友A, B, C, D 经常通交流信息, 在通了三次后这四人都得悉某一条高考信息, 那么第一个是 A 打的情形共有种.甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行投篮比赛,决出了第 1至第5名的不同名次,甲、乙两人向裁判询问成绩,根据右图所示裁判的答复,5人的名次排列共有种不同的情况.三、解做题〔本大题共6小题,共74分.解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤〕 17．〔本小题总分值12分〕一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球, 〔1〕从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种？〔2〕假设取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有多少种？18．〔本小题总分值12分〕摸球兑奖,口袋中装有4红4白共8个小球,其大小和手感都无区别,交4元钱摸4个球,具体奖金如下：4红(10元)、3红(5元)、2红(1元)、1红(1包0.2元的葵花籽),试解释其中的奥秘.19．〔本小题总分值12分〕)0,()1()(*212≠∈+++m N n mx m x n n 与的展开式中含x n 项的系数相等,求实数m 的取值范围.20．〔本小题总分值12分〕某市A有四个郊县B、C、D、E.〔如图〕现有5种颜色,假设要使每相邻的两块涂不同颜色,且每块只涂一种颜色,问有多少种不同的涂色方法？21．〔本小题总分值12分〕：*,1,,N n n R b a ∈>∈+求证：nn n b a b a )2(2+≥+22．〔本小题总分值14分〕数列{}n a 满足2n n nS a =(n ∈N *),n S 是{}n a 的前n 项的和,并且21a =．〔1〕求数列{}n a 的前n 项的和；〔2〕证实：23≤11112n a n a ++⎛⎫+ ⎪⎝⎭2<．参考答案〔九〕一、选择题〔每题5分,共60分〕：(1).D (2).C (3).C (4).B (5).B (6).B (7).D (8). A (9).C (10). C (11). C (12).A 二、填空题〔每题4分,共16分〕(13). －863(14). 56 (15). 135 (16). 16 三、解做题〔共74分,按步骤得分〕17．解〔1〕将取出4个球分成三类情况1〕取4个红球,没有白球,有44C 种 2〕取3个红球1个白球,有1634C C 种；3〕取2个红球2个白球,有,2624C C种符合题意的取法种数有或或则个白球个红球设取种186142332)60(72)40(5,,)2(1151644263436242624163444=++∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧≤≤≥+≤≤=+=++∴C C C C C C y x y x y x y y x x y x y x C C C C C18. 解：摸出4球有C 84＝70种可能性,四“红〞只有一种,三“红〞：C 43C 41＝16种,2“红〞：C 42C 42＝36种.1“红〞：C 41C 43＝16种共计：赌70次收参赌费280元,平均奖金1×10+16×5+36×1+16×0.2＝129.2(元).所以,每赌70次,该赌者可净赚150.8元. 19．解：]32,21(3221,32,1,21,),1211(21121:1,12,)(21112111212121112的取值范围是故时又当的减函数为由题意知项的系数为故此展开式中得令则的展开式通项公式为设m m m n m N n n m n n n m mC mC mC x n r n r n m xC T T m x nn nn n n n n n n r rn r n r r n ≤<∴==>∴∈++=++=∴=+==-+⋅=+*++++++-+++++20. 解：符合题意的涂色至少要3种颜色,分类如下种共有不同的涂色方法由分类计数原理种有种颜色涂有种有种颜色涂用种有种颜色涂用42060240120,60,3)3(240,4)2(120,5)1(333522*********5=++=⋅=⋅⋅⋅⋅=A C A C C C C A21．证实n n n n n n n n n n n nn n n n n nb a b a b a b a C b a b a C b a b a C b a C b a b a b a b a b a b a b a b a N n n R b a )2(2)2(2])2()2()2()2(,)2()2([2)22()22(0)2(,02,0,1,,4442220+≥+∴+≥-++-⋅++-+++=--++-++=+≥-≥->≥∈>∈--*+ 故则不妨设22.解：解：(1)由题意2n n n S a =得1112n n n S a +++= 两式相减得()()111211n n n n n a n a na n a na +++=+--=即所以()121n n n a na +++=再相加121222n n n n n n na na na a a a ++++=+=+即所以数列{}n a 是等差数列．又111102a a a =∴= 又21a = 1n a n ∴=-所以数列{}n a 的前n 项的和为()122n n n n n S a -==． 6分 ()()()11201211(2)112211112222111111,2,22!2n a nn rnr n nnn nnrr n r rr a n C C C C C n n n n n n n r C r n n r n ++⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭--+⎛⎫=⋅<= ⎪⎝⎭10分111111112112212242212n nnn n +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴+<++++==-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 12分而011131222nn n C C n n⎛⎫+≥+⋅= ⎪⎝⎭∴ 23≤11112n a n a ++⎛⎫+ ⎪⎝⎭2<. 14分。

高三数学复习排列与组合(含答案)

排列与组合1．排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”。

取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合。

2．排列、组合问题的求解方法与技巧①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题要先选后排；④相邻问题捆绑处理；⑤不相邻问题插空处理；⑥定序问题倍缩法处理；⑦分排问题直排处理；⑧“小集团”排列问题先整体后局部；⑨构造模型；⑩正难则反，等价转化。

一、走进教材1．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()2．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是()A．18 B．24二、走近高考3．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种4．从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数。

(用数字作答)三、走出误区微提醒：①分类不清导致出错；②相邻元素看成一个整体，不相邻问题采用插空法是解决相邻与不相邻问题的基本方法。

5．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装计算机和组装计算机各2台，则不同的取法有________种。

6．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种。

考点一简单的排列问题【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数。

(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻。

【变式训练】(1)某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有()A．A1818种B．A2020种C．A23A318A1010种D．A22A1818种(2)甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有()A．10种B．16种C．20种D．24种考点二组合问题【例2】(1)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种。

高考数学一轮复习学案：10.2 排列与组合(含答案)

高考数学一轮复习学案：10.2 排列与组合（含答案）10.2排列与组合排列与组合最新考纲考情考向分析1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题2.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.以理解和应用排列.组合的概念为主，常常以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考查分析.解决问题的能力，题型以选择.填空为主，难度为中档.1排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出mmn个元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数1排列数的定义从n个不同元素中取出mmn 个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Amn表示2组合数的定义从n个不同元素中取出mmn个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数，用Cmn表示3排列数.组合数的公式及性质公式1Amnnn1n2nm1nnm2CmnAmnAmmnn1n2nm1mnmnm性质301；Annn4CmnCnmn；Cmn1CmnCm1n__题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1所有元素完全相同的两个排列为相同排列2一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序3两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同4n1nnn.5若组合式CxnCmn，则xm成立6kCknnCk1n1.题组二教材改编2P27A组T76把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为A144B120C72D24答案D解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A3443224.3P19例4用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为A8B24C48D120答案C解析末位数字排法有A12种，其他位置排法有A34种，共有A12A3448种排法，所以偶数的个数为48.题组三易错自纠4六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有A192种B216种C240种D288种答案B解析第一类甲在左端，有A5554321120种排法；第二类乙在最左端，甲不在最右端，有4A444432196种排法所以共有12096216种排法5为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国.马来西亚.缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为A180B240C540D630答案C解析依题意，选派方案分为三类一个国家派4名，另两个国家各派1名，有C46C12C11A22A3390种；一个国家派3名，一个国家派2名，一个国家派1名，有C36C23C11A33360种；每个国家各派2名，有C26C24C22A33A3390种，故不同的选派方案种数为9036090540.6寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位一排共五个座位，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______种用数字作答答案45解析设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有9545种.题型一题型一排列问题排列问题1某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言用数字作答答案1560解析由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A24040391560条留言2用1,2,3,4,5,6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1,3,5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为A18B108C216D432答案D解析根据题意，分三步进行第一步，先将1,3,5分成两组，共C23A22种排法；第二步，将2,4,6排成一排，共A33种排法；第三步，将两组奇数插入三个偶数形成的四个空位，共A24种排法综上，共有C23A22A33A2432612432种排法，故选D.3将7个人其中包括甲.乙.丙.丁4人排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙.丁两人必须相邻，则不同的排法共有A1108种B1008种C960种D504种答案B解析将丙.丁两人进行捆绑，看成一人将6人全排列有A22A66种排法；将甲排在排头，有A22A55种排法；乙排在排尾，有A22A55种排法；甲排在排头，乙排在排尾，有A22A44种排法则甲不能在排头，乙不能在排尾，丙.丁两人必须相邻的不同排法共有A22A66A22A55A22A55A22A441008种思维升华排列应用问题的分类与解法1对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法.元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法2对相邻问题采用捆绑法.不相邻问题采用插空法.定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.题型二题型二组合问题组合问题典例某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货现从35种商品中选取3种1其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种2其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种3恰有2种假货在内，不同的取法有多少种4至少有2种假货在内，不同的取法有多少种5至多有2种假货在内，不同的取法有多少种解1从余下的34种商品中，选取2种有C234561种取法，某一种假货必须在内的不同取法有561种2从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335C234C3345984种取法某一种假货不能在内的不同取法有5984种3从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C120C2152100种取法恰有2种假货在内的不同的取法有2100种4选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215C31521004552555种至少有2种假货在内的不同的取法有2555种5方法一间接法选取3种的总数为C335，因此共有选取方式C335C31565454556090种至多有2种假货在内的不同的取法有6090种方法二直接法共有选取方式C320C220C115C120C2156090种至多有2种假货在内的不同的取法有6090种思维升华组合问题常有以下两类题型变化1“含有”或“不含有”某些元素的组合题型“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取2“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型解这类题必须分重视“至少”与“至多”这两个【关键词】的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理跟踪训练1在某校xx年举办的第32届秋季运动会上，甲.乙两位同学从四个不同的运动项目中各选两个项目报名，则甲.乙两位同学所选的项目中至少有1个不相同的选法种数为A30B36C60D72答案A解析因为甲.乙两位同学从四个不同的项目中各选两个项目的选法有C24C24种其中甲.乙所选的项目完全相同的选法有C24种，所以甲.乙所选的项目中至少有1个不相同的选法共有C24C24C2430种故选A.2xx武汉二模若从1,2,3，，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A60种B63种C65种D66种答案D解析共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C45C44C25C2466种题型三题型三排列与组合问题的综合应用排列与组合问题的综合应用命题点1相邻.相间及特殊元素位置问题典例1xx青岛模拟在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________答案60解析2位男生不能连续出场的排法共有N1A33A2472种，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2A22A2312种，所以出场顺序的排法种数为NN1N260.2xx上饶一模大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲.乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名乘同一辆车的4个孩子不考虑位置，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有A18种B24种C36种D48种答案B解析根据题意，分两种情况讨论A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C23C12C1212种乘坐方式；A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C13C12C1212种乘坐方式，故共有121224种乘坐方式，故选B.命题点2分组与分配问题典例1国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法答案90解析先把6个毕业生平均分成3组，有C26C24C22A3315种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A336种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C26C24C22A33A3390种分派方法2xx 广州调研有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲.乙.丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种答案36解析先把4名学生分为2,1,1共3组，有C24C12C11A226种分法，再将3组对应3个学校，有A336种情况，则共有6636种不同的保送方案思维升华1解排列.组合问题要遵循的两个原则按元素位置的性质进行分类；按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列.组合问题常以元素位置为主体，即先满足特殊元素位置，再考虑其他元素位置2分组.分配问题的求解策略对不同元素的分配问题a对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Annn为均分的组数，避免重复计数b对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数c对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”跟踪训练1xx全国安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A12种B18种C24种D36种答案D 解析由题意可知，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C13C24A2236种，或列式为C13C24C123432236种故选D.2xx浙江从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法用数字作答答案660解析方法一只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长.副队长位置，有A24种方法由分步乘法计数原理知，共有C12C36A24480种选法有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长.副队长位置，有A24种方法由分步乘法计数原理知，共有C26A24180种选法所以依据分类加法计数原理知，共有480180660种不同的选法方法二不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26A26C24840180660种3把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有______种答案36解析将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有A22A44种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有A22A33种方法于是符合题意的摆法共有A22A44A22A3336种。

高考数学一轮复习课时规范练58排列与组合(含解析)新人教A版理

课时规范练58 排列与组合基础巩固组1.(2020新高考Ⅰ,3)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有()A.120种B.90种C.60种D.30种2.(2021江苏南京三模)将5名学生分配到A,B,C,D,E这5个社区参加义务劳动,每个社区分配1名学生,且学生甲不能分配到A社区,则不同的分配方法种数是()A.72B.96C.108D.1203.马路上有编号为1,2,3,4,…,9的9只路灯,为节约用电,现要求把其中的3只灯关掉,但不能同时关掉相邻的2只或3只,也不能关掉两端的路灯,则满足条件的关灯方法有()A.7种B.8种C.9种D.10种4.某地实行高考改革,考生除参加语文、数学、英语统一考试外,还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科.学生甲要想报考某高校的法学专业,就要从物理、政治、历史三科中至少选考一科,则学生甲的选考方法种数为()A.6B.12C.18D.195.(2021广东汕头二模)某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研,其中有4名男性党员,3名女性党员,现从中选3人去甲村,若要求这3人中既有男性又有女性,则不同的选法共有()A.35种B.30种C.28种D.25种6.现有10名学生排成一排,其中4名男生,6名女生,若有且只有3名男生相邻排在一起,则不同的排法种数为()A.A62A72B.A43A72C.A33A62A72D.A43A66A727.本次模拟考试结束后,班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表,若化学排在生物前面,数学与物理不相邻且都不排在最后,则不同的排表方法共有()A.72种B.144种C.288种D.360种8.(2021广东茂名二模)国庆节期间,某市举行一项娱乐活动,需要从5名男大学生志愿者及3名女大学生志愿者中选出6名分别参与A,B,C三个服务项目,每个项目需要2人,其中A项目只需要男志愿者,B项目需要1名男志愿者及1名女志愿者,则不同的选派方法种数为.9.(2020全国Ⅱ,理14)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有种.10.今有6个人组成的旅游团,包括4个大人,2个小孩,去庐山旅游,准备同时乘缆车观光,现有三辆不同的缆车可供选择,每辆缆车最多可乘3人,为了安全起见,小孩乘缆车必须要大人陪同,则不同的乘车方式有种.综合提升组11.(2021广东广州一模)如图,洛书(古称龟书)是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有此图像,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数,则选取的3个数之和为奇数的方法数为()A.30B.40C.44D.7012.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有()A.12种B.10种C.9种D.8种13.甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖,要求甲排在乙前面,丙与丁不相邻且均不排在最后,则抽奖的顺序有()A.72种B.144种C.360种D.720种14.(2021浙江台州二模)若排一张有三首歌曲和三支舞蹈的演出节目单,共有种不同的排法,其中恰有两首歌曲相邻的不同的排法共有种.15.某校毕业典礼由6个节目组成,考虑到整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在一起,则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有种.16.用四种不同的颜色为正六边形(如图)中的六块区域涂色,要求有公共边的区域涂不同颜色,一共有种不同的涂色方法.创新应用组17.某电视台派出3名男记者和2名女记者进行采访活动.工作过程中的任务划分为“负重扛机”“对象采访”“文稿编写”“编制剪辑”四项工作,每项工作至少一人参加,但两名女记者不参加“负重扛机”,则不同的安排方案数共有()A.150B.126C.90D.5418.某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲,假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的,且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等,则该停车点的车位数为.答案：课时规范练1.C解析:甲场馆安排1名有C61种方法,乙场馆安排2名有C52种方法,丙场馆安排3名有C33种方法,所以共有C61·C52·C33=60(种)方法,故选C.2.B解析:特殊元素优先考虑,有C41A44=96(种)分配方法.3.D解析:9只路灯关闭3只,有6只亮着的路灯,6只灯除去两边还有5个空,插入3只熄灭的灯,即C53=10(种)关灯的方法.4.D 解析:从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中任选三科的方法有C 63=20(种),从物理、政治、历史三科中至少选考一科的对立事件是一科都不选,即从剩下的三科选三科,共1种方法,所以学生甲的选考方法种数为20-1=19.5.B 解析:(方法1)从7名党员选3名去甲村共有C 73种情况,3名全是男性有C 43种情况,3名全是女性有C 33种情况,所以共有C 73−C 43−C 33=30(种)情况.(方法2)因要求这3人中既有男性又有女性,所以分两种情况,一是两男一女,有C 42·C 31=18(种)情况;二是一男两女,有C 41·C 32=12(种)情况.所以共有18+12=30(种)情况.6.D 解析:采用捆绑法和插空法.从4名男生中选择3名,进而将3个相邻的男生捆在一起,看成1个男生,方法数是A 43种,这样与第4个男生看成是2个男生;然后6个女生任意排的方法数是A 66种;最后在6个女生形成的7个空隙中,插入2个男生,方法数是A 72种.综上所述,不同的排法共有A 43A 66A 72种.故选D .7.B 解析:第一步排语文,英语,化学,生物4科,且化学排在生物前面,有A 44÷2=12(种)排法;第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个,有A 42=12(种)排法,所以不同的排表方法共有12×12=144(种).故选B .8.540 解析:由题意,A 项目选派方法数有C 52种,B 项目选派方法数有C 31C 31种,C 项目选派方法数有C 42种,故不同的选派方法种数为C 52C 31C 31C 42=540.9.36 解析:由题意可知,必有两名同学去同一个小区,故不同的安排方法共有C 42A 33=36(种).10.348 解析:第一类:只用两辆缆车,若两个小孩坐在一块,则有C 32C 41C 22A 22=24(种)乘车方式;若两个小孩不坐在一块,则有C 32C 42C 22A 22C 21A 22=36(种)乘车方式.第二类:用三辆缆车,若两个小孩坐在一块,则有C 41C 22C 32A 33=72(种)乘车方式;若两个小孩不坐在一块,则有C 42C 21C 11A 22A 32A 33=216(种)乘车方式.综上,不同的乘车方式有24+36+72+216=348(种).11.B 解析:由题意可知,阴数为2,4,6,8,阳数为1,3,5,7,9.若选取的3个数的和为奇数,则3个数都为奇数,有C 53=10(种)方法,或是两偶一奇,有C 42C 51=30(种)方法,故共有10+30=40(种)方法.故选B .12.A 解析:将4名学生均分为2个小组共有C 42C 22A 22=3(种)分法,将2个小组的同学分给两名教师有A 22=2(种)分法,最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A 22=2(种)分法,故不同的安排方案共有3×2×2=12(种). 13.B 解析:分两步:第1步先排甲、乙、戊、己,甲排在乙前面,则有A 442种;第2步再将丙与丁插空到第一步排好的序列中,但注意到丙与丁均不排在最后,故有4个空可选,所以有A 42种插空方法.所以根据分步乘法计数原理有A 442·A 42=144(种)抽奖顺序. 14.720 432 解析:排一张有三首歌曲和三支舞蹈的演出节目单,共有A 66=720(种)不同的排法,其中恰有两首歌曲相邻的不同的排法有A 32·A 33·A 42=432(种).15.120 解析:①当甲排在首位,丙丁捆绑,自由排列,共有A 44×A 22=48(种)方案.②当甲排在第二位,首位不能是丙和丁,共有A 31×A 33×A 22=36(种)方案.③当甲排在第三位,前两位分别是丙丁和不是丙丁两种情况,共有A 22×A 33+A 32×A 22×A 22=36(种)方案.因此共有48+36+36=120(种)方案.16.732 解析:如图,考虑A ,C ,E 用同一种颜色,此时共有4×3×3×3=108(种)方法.考虑A ,C ,E 用2种颜色,此时共有C 42×6×3×2×2=432(种)方法.考虑A ,C ,E 用3种颜色,此时共有A 43×2×2×2=192(种)方法.故共有108+432+192=732(种)不同的涂色方法.17.B 解析:记两名女记者为甲、乙,三名男记者为丙、丁、戊.根据题意,分情况讨论,①甲、乙一起参加除了“负重扛机”的三项工作之一:C 31×A 33=18(种);②甲、乙不同时参加一项工作,进而又分为2种小情况:丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作,有A 32×C 32×A 22=36(种);甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作:A 32×C 31×C 21×A 22=72(种).由分类加法计数原理,可得共有18+36+72=126(种).故选B .18.10 解析:设停车位有n 个,这3辆共享汽车都不相邻的种数:相当于先将(n-3)个停车位排放好,再将这3辆共享汽车插入到所成的(n-2)个间隔中,故有A n -23种;恰有2辆相邻的种数:先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素,再和另一个插入到将(n-3)个停车位排放好所成的(n-2)个间隔中,故有A 32A n -22种.因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等,所以A n -23=A 32A n -22,解得n=10.。

2020届高考数学(理)一轮必刷题专题56 排列与组合(解析版)

考点56 排列与组合1．郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,其中小李和小王不在一起,不同的安排方案共有()A.168种B.156种C.172种D.180种【答案】B【解析】分类:(1)小李和小王分别去甲、乙2个展区,共有=12种情况,(2)小王,小李一人去甲或乙,共=96种情况,(3)小王,小李均没有去甲或乙,共=48种情况,总共N=12+96+48=156种情况,故选B.2．若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是()A．540 B．480C．360 D．200【答案】D【解析】由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶，有C15C15A22＝50(种)排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有C14＝4(种)满足题意的选法，故满足题意的三位数共有50×4＝200(个)．3．将7个座位连成一排,安排4个人就座,恰有两个空位相邻的不同坐法有()A.240B.480C.720D.960【答案】B【解析】(1,2)或(6,7)为空时,第三个空位有4种选择;(2,3)或(3,4)或(4,5)或(5,6)为空时,第三个空位有3种选择;因此空位共有2×4+4×3=20种情况相邻,所以不同坐法有20=480种,故选B.4．身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形，则甲丁不相邻的不同的排法共有() A．12 B．14C．16 D．18【答案】B【解析】从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人的身高可记为1,2,3,4,5.要求1,4不相邻．分四类：①先排4,5时，则1只有1种排法，2,3在剩余的两个位上，这样有A22A22＝4(种)排法；②先排3,5时，则4只有1种排法，2,1在剩余的两个位上，这样有A22A22＝4种排法；③先排1,2时，则4只有1种排法，3,5在剩余的两个位上，这样有A22A22＝4(种)排法；④先排1,3时，则这样的数只有两个，即21534,43512，只有两种排法．综上共有4＋4＋4＋2＝14(种)排法，故选B.5．某地环保部门召集6家企业的负责人座谈,其中甲企业有2人到会,其余5家企业各有1人到会,会上有3人发言,则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为()A.15B.30C.35D.42【答案】B【解析】由间接法得可能情况数为-·=35-5=30.6．将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A．18种B．24种C．36种D．72种【答案】C【解析】不同的分配方案可分为以下两种情况：①甲、乙两人在一个路口，其余三人分配在另外的两个路口，其不同的分配方案有C23A33＝18(种)；②甲、乙所在路口分配三人，另外两个路口各分配一个人，其不同的分配方案有C13A33＝18(种)．由分类加法计数原理可知不同的分配方案共有18＋18＝36(种)．7．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案共有() A.30种 B.90种 C.180种 D.270种【答案】B【解析】由每班至少1名,最多2名,知分配名额为1,2,2,所以分配方案有··=90(种).8．甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是()A.258B.306C.336D.296【答案】C【解析】若7级台阶上每一级至多站1人,有种不同的站法;若1级台阶站2人,另一级站1人,共有种不同的站法.所以共有不同的站法种数是+=336.故选C.9．某中学高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现从中任选3人，要求这三人不能全是同一个班的学生，且在三班至多选1人，则不同选法的种数为()A．484 B．472C．252 D．232【答案】B【解析】若三班有1人入选，则另两人从三班以外的12人中选取，共有C14C212＝264(种)选法．若三班没有人入选，则要从三班以外的12人中选3人，又这3人不能全来自同一个班，故有C312－3C34＝208(种)选法．故总共有264＋208＝472(种)不同的选法．10．把7个字符a,a,a,b,b,α,β排成一排,要求三个“a”两两不相邻,且两个“b”也不相邻,则这样的排法共有() A.144种 B.96种C.30种D.12种【答案】B【解析】先排列b,b,α,β,若α,β不相邻,有种排法,若α,β相邻,有种,共有6+6=12种排法,从所形成的5个空档中选3个插入a,a,a,共有12×=120种排法,若b,b相邻时,从所形成的4个空档中选3个插入a,a,a,共有6×=24种排法,所以三个“a”两两不相邻,且两个“b”也不相邻,这样的排法共有120-24=96种,故选B.11．将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有()A.480种B.360种C.240种D.120种【答案】C【解析】第一步:先从4个盒子中选一个盒子准备装两个球,有4种选法;第二步:从5个球里选出两个球放在刚才的盒子里,有种选法;第三步:把剩下的3个球全排列,有种排法,由分步乘法计数原理得不同方法共有4=240种,故选C.12．某城市关系要好的A, B, C, D四个家庭各有两个小孩共8人,分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐4名(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置),其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有()A.18种B.24种C.36种D.48种【答案】B【解析】若A户家庭的孪生姐妹乘坐甲车,即剩下的两个小孩来自其他的2个家庭,有·22=12种不同的方法,若A户家庭的孪生姐妹乘坐乙车,那来自同一家庭的2名小孩来自剩下的3个家庭中的一个,有·22=12种不同的方法.所以共有12+12=24种方法.故选B.13．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的放法共有()A.12种B.18种C.36种D.54种【答案】B【解析】先放标号1,2的卡片,有种放法,再将标号3,4,5,6的卡片平均分成两组再放置,有·种放法,故共有·=18种不同的放法.14．A,B,C,D,E,F六人围坐在一张圆桌周围开会,A是会议的中心发言人,必须坐最北面的椅子,B,C二人必须坐相邻的两把椅子,其余三人坐剩余的三把椅子,则不同的座次有()A.60种B.48种C.30种D.24种【答案】B【解析】由题意知,不同的座次有=48(种),故选B.15．将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三名小朋友,且每名小朋友至少分得一个球的分法种数为()A.15B.21C.18D.24【答案】B【解析】分四类,第一类:两个红球分给其中一个人,有种分法;第二类:白球和黄球分给一个人,有种分法;第三类:白球和一个红球分给一个人,有种分法;第四类:黄球和一个红球分给一个人,有种方法,总共有++2=21种分法,故选B.16．用四种不同的颜色为正六边形(如图)中的六块区域涂色,要求有公共边的区域涂不同颜色,一共有种不同的涂色方法.【答案】732【解析】如图,记六个区域的涂色数为a6,若A,F涂色相同,则相当于5个区域涂色,记5个区域涂色数为a5,同理只有4个区域时涂色数记为a4,易知a4=++=84, a6=4×35-a5=4×35-=4×35-4×34+84=732.17．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务,每天安排一人,每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加,且当甲、乙两人都参加时,他们参加社区服务的日期不相邻,那么不同的安排种数为.(用数字作答)【答案】5 040【解析】分两类,一类是甲、乙都参加,另一类是从甲、乙中选一人,方法数为N=+=1 440+3 600=5 040.填5 040. 18．从2名语文老师、2名数学老师、4名英语老师中选派5人组成一个支教小组,则语文老师、数学老师、英语老师都至少有1名的选派方法种数为.(用数字作答)【答案】44【解析】由题意可知分四类,第一类,2名语文老师,2名数学老师,1名英语老师,有=4种选派方法;第二类,1名语文老师,2名数学老师,2名英语老师,有=12种选派方法;第三类,2名语文老师,1名数学老师,2名英语老师,有=12种选派方法;第四类,1名语文老师,1名数学老师,3名英语老师,有=16种选派方法;则一共有4+12+12+16=44种选派方法.19．设x1,x2,x3,x4∈{-1,0,2},那么满足2≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|≤4的所有有序数组(x1,x2,x3,x4)的组数为. 【答案】45【解析】分类讨论:①|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=2,则这四个数为2,0,0,0或-1,-1,0,0,有+=4+6=10(组);②|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=3,则这四个数为2,-1,0,0或-1,-1,-1,0,有+=12+4=16(组);③|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=4,则这四个数为2,2,0,0或-1,-1,2,0或-1,-1,-1,-1,有++=6+6×2+1=19(组);综上可得,所有有序数组(x1,x2,x3,x4)的组数为10+16+19=45.20．用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)【答案】1 080【解析】分两种情况：第一种：四位数都不是偶数的个数为：A45＝120(个)，第二种：四位数中有一位为偶数的个数为C14C14A35＝960(个)，则共有1 080个．21．设a，b，c∈{1,2,3,4,5,6}，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三角形有________个．【答案】27【解析】由题意知以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，(1)先考虑等边三角形情况则a＝b＝c＝1,2,3,4,5,6，此时有6个．(2)再考虑等腰三角形情况，若a，b是腰，则a＝b，当a＝b＝1时，c＜a＋b＝2，则c＝1，与等边三角形情况重复；当a＝b＝2时，c＜4，则c＝1,3(c＝2的情况等边三角形已经讨论了)，此时有2个；当a＝b＝3时，c＜6，则c＝1,2,4,5，此时有4个；当a＝b＝4时，c＜8，则c＝1,2,3,5,6，此时有5个；当a＝b＝5时，c＜10，有c＝1,2,3,4,6，此时有5个；当a＝b＝6时，c＜12，有c＝1,2,3,4,5，此时有5个；由分类加法计数原理知有2＋4＋5＋5＋5＋6＝27(个)．。

高考数学专题《排列与组合》习题含答案解析

专题11.2 排列与组合1．（2021·福建宁德·高三期中）三名学生报名参加校园文化活动，活动共有三个项目，每人限报其中一项，则恰有两名学生报同一项目的报名方法种数有（）A ．6种B ．9种C ．18种D ．36种【答案】C 【分析】根据题意首先从三名学生中选2名选报同一项目，再从三个项目中选2项项目，全排即可.【详解】由题意可得22233233218C C A ⋅⋅=⨯⨯=，故选：C2．（2021·山东潍坊·高三月考）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说:“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说:“你不会是最差的”，从这两个回答分析，这5人的名次排列所有可能的情况共有（）A ．18种B ．36种C ．54种D ．72种【答案】C 【分析】甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有可能是第二、三、四名3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理即可得到结果．【详解】由题意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有可能是第二、三、四名3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有33A 种排法．故共有33333332154A ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=种不同的情况．故选：C.3．（2021·全国·高三月考（理））某地计划在10月18日至11月18日举办“菊花花会”，如图是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择摆放，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（）练基础A ．240种B ．300种C ．360种D ．420种【答案】D 【分析】先放A ，分B 、D 选则同一种花和不同种花两种情况，再考虑C 、E ，由分步乘法和分类加法原理可得答案.【详解】先放A ，共有5种选择，若B 、D 选则同一种花，有四种选择，剩下的C 、E 均有三种选择，共5433180⨯⨯⨯=种，若B 、D 选则不同种花，有24A 种选择，剩下的C 、E 均有两种选择，共245A 22240⨯⨯⨯=种，故共有180+240=420种.故选：D.4．（2021·全国·高二课时练习）某工程队有卡车､挖掘机､吊车､混凝土搅拌车各一辆，将它们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆，则不同的派法种数是（）A ．18B ．9C ．27D ．36【答案】D 【分析】利用捆绑法，先把4辆车分成3组，再把分好的3组分别派给3个工地，即可得到答案；【详解】先把4辆车分成3组，再把分好的3组分别派给3个工地，则不同的派法共有2343C A 36=（种）.故选：D5．（2021·浙江·模拟预测）若从1,2,3,9, 这个9个整数中取出4个不同的数排成一排，依次记为a b c d ,,,，则使得a b c d ⨯⨯+为偶数的不同排列方法有（）A ．1224B ．1200C ．1080D ．840【答案】A 【分析】考虑d 为偶数和d 为奇数两种情况，判断a b c ⨯⨯的奇偶性，根据,,a b c 中偶数的个数计算得到答案.【详解】d 为偶数，则a b c ⨯⨯为偶数，有11221334353533()1104C C C C C C A ++=；d 为奇数，则a b c ⨯⨯为奇数，四个数均为奇数，有45120A =.故共有1224种．故选：A.6．（2021·福建省漳州第一中学高二月考）将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法种数为（）A ．22B ．25C ．20D ．48【答案】C 【分析】将7个相同的球放入4个不同的盒子中，即把7个相同的球分成4组，不妨将7个球摆成一排，中间形成6个空，只需在这6个空插入3个隔板将它们隔开，即分成4组，据此即可的解.【详解】解：将7个相同的球放入4个不同的盒子中，即把7个相同的球分成4组，因为每个盒子都有球，所以每个盒子至少又一个球，不妨将7个球摆成一排，中间形成6个空，只需在这6个空插入3个隔板将它们隔开，即分成4组，不同插入方法共有3620C =种，所以每个盒子都有球的放法种数为20.故选：C.7.【多选题】（2021·福建省漳州第一中学高二月考）男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有（）A ．1人B ．2人C ．3人D ．4人【答案】BC 【分析】设女生有n 人，则男生有8-n 人，由21830n n C C -⋅=求解.设女生有n 人，则男生有8-n 人，由题意得：21830n n C C -⋅=，即()()87302n n n --⋅=，解得2n =或3n =，故选：BC8．（2021·上海·闵行中学高三期中）从4男2女六名航天员中选出三名作为神舟十四号乘组，则恰好有一名女航天员被选中的选法有______种．（用数字作答）【答案】12【分析】利用组合数来计算出选法数.【详解】依题意可知，选法有214212C C =种.故答案为：129．（2020·新疆·克拉玛依市教育研究所三模（理））新型冠状肺炎疫情发生后，新疆某医院有2名医生，4名护士自愿报名参加援助武汉医疗队，现要将这6名医护人员分成2个小组，分别安排到武汉市的两所方舱医院参加医疗救助活动，每个小组由1名医生和2名护士组成，不同的安排方案共有_________种．（用数字作答）【答案】12【分析】先从2名医生中选1名去一所方舱医院，再从4名护士选2名护士去同一所方舱医院，利用分步乘法计数原理即可求出.【详解】先从2名医生中选1名去一所方舱医院，有122C =种，再从4名护士选2名护士去同一所方舱医院，有246C =种，剩下的1名医生2名护士去另一所方舱医院，则不同的安排方案共有2612⨯=种.故答案为：12.10．（2021·全国·高二课时练习）求下列各式中的正整数n ：（1）33210n n A A =；（2）101098765nA =⨯⨯⨯⨯⨯．【答案】（1）8n =（2）6（1）根据排列数公式列出方程即可求解；（2）根据排列数公式列出方程即可求解；（1）解：因为33210n n A A =，所以()()()()221221012n n n n n n ⨯-⨯-=⨯⨯-⨯-，解得8n =；（2）解：因为101098765nA =⨯⨯⨯⨯⨯，又()10109101n A n =⨯⨯⨯-+ ，所以1015n -+=，解得6n =.1．（2020·上海市沪新中学高三月考）某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为________(结果用数值表示)【答案】180【分析】利用组合和排列的含义分别求出从6名学生中选出四名且甲必须参赛和甲不担任四辩的情况种数，然后按照分步乘法原理计算即可.【详解】首先从6名学生中选出四名且甲必须参赛共有35C 种情况，甲不担任四辩的情况共有333A 种，故不同的安排方法种数为33533180C A ⋅=.故答案为：180.2．（2018·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高三学业考试）为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访.期间工作的任务有A ，B ，C ，D 四项，每项任务至少一人参加，但两名女记者不参加A 任务，则不同的安排方案数共有_______.【答案】126【分析】采用分类计数原理，排列组合进行计算可得.【详解】两名女记者不参加A 任务，由题意分两类情况：①1男参加A 任务；②2男参加A 任务,其余人员再排列;即:①1男参加A 任务，将3男选1排在A 任务，再将剩下4人选两人打捆,再排在其它3项任务，即11233143108C A C A =种.②2男参加A 任务，将3男选2人排在A 任务,再将剩下的人排在其它3项任务,练提升即233318C A =种,所以选出符合条件参加活动的人员共有: 108+18= 126种，故答案为: 126种3．（2021·全国·高三月考）某学校安排甲，乙等5位中层干部深入4个班级进行班级课堂教学调研，每班至少安排一位中层干部，若甲、乙不能安排到同一个班级，则不同的安排方法共有______________________种(用数字作答)．【答案】216【分析】先将5位中层干部分成4组，有1组2人其他3组各1人，除去甲、乙分在一起的情况，所以分组结果有25C 19-=种，再分配到4个班级，由分步乘法计数原理即可求解.【详解】首先把5位中层干部分成4组，有1组2人其他3组各1人．又甲、乙不能分在一起，因此有25C 19-=种，再对分好的4组分配到4个班级有44A 24=种，根据分步乘法原理得：924216⨯=种，故答案为：216.4．利用组合数公式证明111m m m n n n C C C ++++=．【答案】证明见解析【分析】利用组合数公式分别计算等式左右两边即可证明.【详解】证明：因为()11(1)!1!()!m n n C m n m +++=+-，()()()1!11!!!(1)!(1)!!()!(1)!()!(1)!()!m mn n n n m m n n n C C n m m m n m m n m m n m +⎡⎤-+++⎣⎦++==--+-+--=+，所以111m m m nn n C C C ++++=．5．（2021·全国·高二课时练习）把分别标有1，2，3，4号的4个不同的小球放入3个分别标有1号、2号、3号的盒子中，不许有空盒子且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放法共有多少种？【答案】12【分析】由于4号球没有限制，所以以4号球分两类讨论：一类是4号球与1，2，3号球中的一个在一个盒子，另一类是4号球单独放在一个盒子，其他3个球放入两个盒子.【详解】由于4号球没有限制，所以以4号球分类：当4号球与1，2，3号球中的一个在一个盒子时，它们有2个盒子可选，其他两个球只有1种放法，共有11326C C =种放法；当4号球单独放在一个盒子，其他3个球放入两个盒子时，首先在1，2，3号球中先选出两个球占一个盒子有23C 种，再分配剩下那个球与4号球，满足条件的放法种数为22326C A =种，所以共有6612+=种不同放法.6．（2021·福建省漳州第一中学高二月考）为配合国家精准扶贫战略，某省示范性高中安排6名高级教师（不同姓）到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为多少种？（请写出分类过程）【答案】360【分析】根据题意，按甲校安排的人数分4种情况讨论，求出每种情况下安排方案的数目，由加法原理计算可得答案.【详解】分四种情况讨论：甲校安排1名老师，分配方案种数有()11422325542532150C C C A C C A +=，甲校安排2名老师，分配方案种数有()213222543242140C C C A C C +=，甲校安排3名老师，分配方案种数有3122532260C C C A =，甲校安排4名老师，分配方案种数有41152110C C C =所以分配方案共有150+140+60+10=360种.7．（2021·全国·高二课时练习）现有编号分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 的7个不同的小球，将这些小球排成一排（1）若要求A ，B ，C 相邻，则有多少种不同的排法？（2）若要求A 排在正中间，且B ，C ，D 各不相邻，则有多少种不同的排法？【答案】（1）720；（2）216.【分析】（1）利用“捆绑法”可求；（2）分B ，C ，D 中有1个在A 的左侧和有2个在A 的左侧讨论求解.【详解】（1）把A ，B ，C 看成一个整体与剩余的4个球全排列，则不同的排法有3535A A 720=（种）．（2）A 在正中间，所以A 的排法只有1种．因为B ，C ，D 互不相邻，所以B ，C ，D 不可能同时在A 的左侧或右侧．若B ，C ，D 中有1个在A 的左侧，2个在A 的右侧且不相邻，则不同的排法有22133233C A C A 108=（种），若B ，C ，D 中有2个在A 的左侧且不相邻，1个在A 的右侧，则不同的排法有22133233C A C A 108=（种）．故所求的不同排法有108108216+=（种）．8．（2021·河北·藁城新冀明中学高二月考）从1到6的六个数字中取两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数.试问：（1）能组成多少个不同的四位数？（2）四位数中，两个偶数排在一起的有几个？（3）两个偶数不相邻的四位数有几个？（所有结果均用数值表示）【答案】（1）216（2）108（3）108【分析】（1）分三步完成：第一步，取两个偶数，第二步，取两个奇数，第三步，将取出的四个数全排列，最后利用分步计数原理求解；（2）分三步完成：第一步，取两个偶数，第二步，取两个奇数，第三步，将两个偶数看作一个整体与两个奇数排列，最后利用分步计数原理求解；（3分三步完成：第一步，取两个偶数，第二步，取两个奇数，第三步，先将两个奇数排列，再从三个空中选两个空，将两个偶数排列上，最后利用分步计数原理求解.（1）解：分三步完成：第一步，取两个偶数，有23C 种方法，第二步，取两个奇数，有23C 种方法，第三步，将取出的四个数全排列，有44A 种方法，由分步计数原理得：共能组成423422163A C C ⋅=⋅个不同的四位数；（2）解：分三步完成：第一步，取两个偶数，有23C 种方法，第二步，取两个奇数，有23C种方法，第三步，将两个偶数看作一个整体与两个奇数排列，有2323A A⋅种方法，由分步计数原理得：共能组成22232333108C C A A⋅⋅⋅=个不同的四位数；（3）解：分三步完成：第一步，取两个偶数，有23C种方法，第二步，取两个奇数，有23C种方法，第三步，先将两个奇数排列，再从三个空中选两个空，将两个偶数排列上，有2223A A⋅种方法，由分步计数原理得：共能组成22222333108C C A A⋅⋅⋅=个不同的四位数；9．（2021·全国·高二课时练习）甲、乙、丙、丁、戌五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次．甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列共有多少种不同的情况．【答案】54【分析】安排方案可分3步完成，第一步先安排乙，再安排甲，最后安排其他同学完成，由分步乘法原理求满足条件的方案数.【详解】满足要求的方案可分3步完成，第一步先安排乙，乙可以排在第2,3,4位，有3种安排方法，第二步安排甲，有3种安排方法，第三步再安排其他同学，有33A种安排方法，由分步乘法原理满足条件的安排方法有54种.39．（2021·全国·高二课时练习）在3000—7000之间有多少个没有重复数字的5的倍数？【答案】392【分析】分各位数字是0和5两种情况进行讨论即可.【详解】第一类，个位是5时，首位从3，4，6中选，中间两位从0到9的数中，去掉5与首位的数中选2个排列，所以共有1238168C A=个；第二类，个位是0时，首位从3，4，5，6中选，中间两位从0到9的数中，去掉0与首位的数中选2个排列，所以共有1248224C A=个；所以共有168224392+=个.10．（2021·江西·横峰中学高二期中（理））1.如图，已知图形ABCDEF ，内部连有线段.（用数字作答）（1）由点A 沿着图中的线段到达点E 的最近路线有多少条？（2）由点A 沿着图中的线段到达点C 的最近路线有多少条？（3）求出图中总计有多少个矩形？【答案】（1）20（2）175（3）102【分析】（1）由题意转化条件为点A 需向右移动3次、向上移动3次，结合组合的知识即可得解；（2）设出直线DE 上其它格点为G 、H 、P ，按照A E C →→、A G C →→、A H C →→、A P C →→分类，结合分步乘法、组合的知识即可得解；（3）由题意转化条件为从竖线中选出两条、横线中选出两条组成图形，按照矩形的边在不在CD 上分类，利用分步乘法、组合的知识即可得解.（1）由题意点A 沿着图中的线段到达点E 的最近路线需要移动6次：向右移动3次，向上移动3次，故点A 到达点E 的最近路线的条数为336320C C ⋅=；（2）设点G 、H 、P 的位置如图所示：则点A 沿着图中的线段到达点C 的最近路线可分为4种情况：①沿着A E C →→，共有33263360C C C ⋅⋅=条最近路线；②沿着A G C →→，共有3222524260C C C C ⋅⋅⋅=条最近路线；③沿着A H C →→，共有32345340C C C ⋅⋅=条最近路线；④沿着A P C →→，共有246415C C ⋅=条最近路线；故由点A 沿着图中的线段到达点C 的最近路线有60604015175+++=条；（3）由题意，要组成矩形则应从竖线中选出两条、横线中选出两条，可分为两种情况：①矩形的边不在CD 上，共有224690C C ⋅=个矩形；②矩形的一条边在CD 上，共有124312C C ⋅=个矩形；故图中共有9012102+=个矩形.1．（2020·海南省高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种【答案】C【解析】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种.故选：C2.（2021·全国·高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种【答案】C【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志练真题愿者中任选2人，组成一个小组，有25C 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有254!240C ⨯=种不同的分配方案，故选：C.3．（2018·浙江高考真题）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1260.【解析】若不取零，则排列数为224534C C A ,若取零，则排列数为21135333C C A A ,因此一共有22421135345333C C A C C A A 1260+=个没有重复数字的四位数.4．（2017·天津高考真题（理））用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）【答案】1080【解析】41345454A C C A 1080+= 5.（2015·上海高考真题（理））在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．【答案】120【解析】①1男4女，1436C C 45=种；②2男3女，2336C C 60=种；③3男2女，3236C C 15=种；∴一共有456015120++=种．故答案为：120.6.（2020·全国高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.【答案】36【解析】 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学∴先取2名同学看作一组，选法有：246C =现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A =⨯=种根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636故答案为：36.。

高考数学第一轮复习排列与组合专项检测(附答案)

高考数学第一轮复习摆列与组合专项检测（附答案）摆列组合是组合学最基本的观点，以下是摆列与组合专项检测，请考生实时练习。

一、选择题1.201 年春节放假安排：阴历大年夜至正月初六放假，共7 天 .某单位安排7 位职工值班，每人值班 1 天，每日安排 1 人 .若甲不在大年夜值班，乙不在正月初一值班，并且丙和甲在相邻的两天值班，则不一样的安排方案共有()A.1 440 种B.1 360 种C.1 282 种D.1 128 种分析采纳对丙和甲进行捆绑的方法：假如不考虑乙不在正月初一值班，则安排方案有： AA=1 440种，假如乙在正月初一值班，则安排方案有：CAAA=192种，若甲在大年夜值班，则丙在初一值班，则安排方案有：A=120种.则不一样的安排方案共有1 440-192-120=1 128( 种 ).答案D2.A 、 B、 C、D 、E 五人并排站成一排，假如 B 一定站在A 的右侧 (A 、 B 能够不相邻 )，那么不一样的排法共有().24种 60种 90种 120种分析可先排C、D、E三人，共A种排法，节余A、 B 两人只有一种排法，由分步计数原理知足条件的排法共A=60( 种 ).答案3.假如 n 是正偶数，则C+C++C+C=().A.2nB.2n-1C.2n-2D.(n-1)2n-1分析(特例法 )当 n=2 时，代入得C+C=2 ，清除答案 A 、 C;当 n=4 时，代入得 C+C+C=8 ，清除答案 D.应选 B.答案B4.某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增添了两个新节目.假如将这两个节目插入原节目单中，那么不一样插法的种数为 ().42 B.30 C.20 D.12分析可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有 AA=12 种排法 ;若两个节目不相邻，则有A=30 种排法 .由分类计数原理共有 12+30=42 种排法 (或A=42).答案.某校开设 A 类选修课 3 门， B 类选修课 4 门，一位同学从中选 3 门 .若要求两类课程中各起码选一门，则不一样的选法共有 ().A.30 种B.35 种C.42 种D.48 种分析法一可分两种互斥状况：A 类选 1 门， B 类选 2 门或A 类选 2 门，B 类选 1 门，共有 CC+CC=18+12=30( 种 )选法 . 法二总合有 C=35( 种 )选法，减去只选 A 类的 C=1( 种 )，再减去只选 B 类的 C=4( 种 )，共有 30 种选法 . 答案 A.现有 16 张不一样的卡片，此中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张.从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不可以是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张，不一样取法的种数为 ().A.232B.252C.472D.484分析若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不一样色则有 CCC=64 种，若 2 张同色，则有CCCC=144 种;若红色卡片有 1 张，节余 2 张不一样色，则有CCCC=192 种，乘余 2 张同色，则有 CCC=72 种，所以共有64+144+192+72=472 种不一样的取法 .应选 C.答案C二、填空题.从 5 名男医生、 4 名女医生中选 3 名医生构成一个医疗小分队，要求男、女医生都有，则不一样的组队方案共有________种.分析分1名男医生2 名女医生、 2 名男医生 1 名女医生两种状况，或许用间接法.直接法： CC+CC=70.间接法： C-C-C=70.708.有五名男同志去外处出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不一样的住宿安排有 ________种 (用数字作答 ).分析甲、乙住在同一个房间，此时只好把此外三人分为两组，这时的方法总数是CA=18 ，而总的分派方法数是把五人分为三组再进行分派，方法数是A=90 ，故不一样的住宿安排共有 90-18=72 种 .729.某人手中有 5 张扑克牌，此中 2 张为不一样花色的 2,3 张为不一样花色的 A ，有 5 次出牌时机，每次只好出一种点数的牌但张数不限，这人不一样的出牌方法共有________种 .分析出牌的方法可分为以下几类：(1)5 张牌所有分开出，有A 种方法 ;(2)2 张 2 一同出， 3 张 A 一同出，有 A 种方法 ;(3)2 张 2 一同出，3 张 A 分 3 次出，有 A 种方法 ;(4)2 张 2 一同出， 3 张 A 分两次出，有 CA 种方法 ;(5)2 张 2 分开出， 3 张 A 一同出，有 A 种方法 ;(6)2 张 2 分开出， 3 张 A 分两次出，有CA 种方法 .所以，共有不一样的出牌方法A+A+A+CA+A+CA=860( 种 ).答案860.小王在练习电脑编程，此中有一道程序题的要求以下：它由A ，B，C，D，E，F 六个子程序构成，且程序B 一定在程序A 以后，程序 C 一定在程序B 以后，履行程序C 后须立刻履行程序 D ，按此要求，小王的编程方法有__________种 .分析关于地点有特别要求的元素可采纳插空法摆列，把CD 当作整体， A ，B，C， D 产生四个空，所以 E 有 4 种不一样编程方法，而后四个程序又产生 5 个空，所以 F 有 5 种不一样编程方法，所以小王有20 种不一样编程方法.答案20三、解答题. 7 名男生 5 名女生中选用 5 人，分别求切合以下条件的选法总数有多少种 .(1)A ，B 一定当选 ;(2)A ，B 必不当选 ;(3)A ，B 不全当选 ;(4)起码有 2 名女生当选 ;(5)选用 3 名男生和 2 名女生疏别担当班长、体育委员等 5 种不一样的工作，但体育委员一定由男生担当，班长一定由女生担当 .解 (1)因为 A ，B 一定当选，那么从剩下的10 人中选用 3 人即可，故有C=120 种选法 .(2)从除掉的 A ， B 两人的 10 人中选 5 人即可，故有 C=252 种选法 .(3)所有选法有 C 种， A ， B 全当选有 C 种，故 A ， B 不全当选有 C-C=672 种选法 .(4)注意到起码有 2 名女生的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行.所以有 C-CC-C=596 种选法 .(5)分三步进行 ;第 1 步，选 1 男 1 女分别担当两个职务有CC 种选法 .第2步，选 2男1女补足 5人有 CC种选法.第 3 步，为这 3 人安排工作有 A 方法 .由分步乘法计数原理，共有 CCCCA=12 600 种选法 ..要从 5 名女生， 7 名男生中选出 5 名代表，按以下要求，分别有多少种不一样的选法?(1)起码有 1 名女生当选 ;(2) 至多有 2 名女生当选 ;(3) 男生甲和女生乙当选;(4) 男生甲和女生乙不可以同时当选;(5) 男生甲、女生乙起码有一个人当选 .(1)C-C=771;(2)C+CC+CC=546;(3)CC=120;(4)C-CC=672;(5)C-C=540..某医院有内科医生12 名，外科医生8 名，现选派 5 名参加赈灾医疗队，此中：(1)某内科医生甲与某外科医生乙一定参加，共有多少种不一样选法 ?(2)甲、乙均不可以参加，有多少种选法?(3)甲、乙两人起码有一人参加，有多少种选法?(4)队中起码有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法?解 (1)只要从其余18 人中选 3 人即可，共有C=816( 种);(2)只要从其余18 人中选 5 人即可，共有C=8 568( 种 );(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有 CC+C=6 936( 种);(4)方法一(直接法 )：起码有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外 ;二内三外 ;三内二外 ;四内一外，所以共有 CC+CC+CC+CC=14 656( 种 ).方法二(间接法 )：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C-(C+C)=14 656( 种 )..已知 10 件不一样的产品中有4 件次品，现对它们一一测试，直至找到所有 4 件次品为止 .(1)若恰在第 2 次测试时，才测试到第一件次品，第8 次才找到最后一件次品，则共有多少种不一样的测试方法?(2)若至多测试 6 次就能找到所有 4 件次品，则共有多少种不同的测试方法 ?(1)若恰在第 2 次测试时，才测到第一件次品，第8 次才找到最后一件次品，假如不放回的逐一抽取测试.第 2次测到第一件次品有4种抽法;第 8次测到最后一件次品有3种抽法;第 3至第 7 次抽取测到最后两件次品共有 A 种抽法 ;节余 4次抽到的是正品，共有AAA=86 400种抽法.(2)检测 4 次可测出 4 件次品，不一样的测试方法有 A 种，与现在“教师”一称最靠近的“老师”观点，最早也要追忆至宋元期间。

高三数学(理)一轮复习之双基限时训练：排列与组合(人教新课标).pdf

巩固双基,提升能力一、选择题 1．(2012·辽宁)一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A．3×3！ B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9! 解析：三个家庭分别在9个座位中挑选3个连排的座位，然后每个家庭中的三个人再分别进行全排列，故坐法种数为A·A·A·A＝(3！)4. 答案：C 2．(2012·浙江)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A．60种 B．63种 C．65种 D．66种解析：要使所取出的4个数的和为偶数，则对取出的数字是奇数或偶数的个数有要求，所以按照取出的数字是奇、偶数的个数分类.1,2,3，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有3类： 4个都是偶数：1种； 2个偶数，2个奇数：CC＝60种； 4个都是奇数：C＝5种．不同的取法共有66种．答案：D 3．(2012·安徽)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为( ) A．1或3 B．1或4 C．2或3 D．2或4 解析：任意两个同学之间交换纪念品共要交换C＝15次，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是得到5份纪念品，现在6个同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次如果不涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学有4人；如果涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学有2人，答案为D. 答案：D 4．(2012·大纲全国)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( ) A．12种 B．18种 C．24种 D．36种解析：利用分步计数原理，先填写最左上角的数，有C＝3种；再填写右上角的数为2种；再填写第二行第一列的数有2种，一共有3×2×2＝12种．故选A. 答案：A 5．(2012·山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( ) A．232 B．252 C．472 D．484 解析：由题意可知，抽取的三张卡片可以分为两类，一类为不含红色的卡片，一类是含一张红色的卡片，第一类抽取法的种数为C－3C＝208，第二类抽取法的种数为C·C＝264，故而总的种数为208＋264＝472. 答案：C 6．(2012·课标全国)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A．12种 B．10种 C．9种 D．8种解析：因为2名教师和4名学生按要求分成两组共有CC种分法，再分到甲、乙两地有CCA＝12种，所以选A. 答案：A 二、填空题 7．(2013·珠海质检)从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有两人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有__________种．解析：本题可分三步完成．第一步：先从5人中选出2名翻译，共C种选法，第二步：从剩余3人中选1名交通义工，共C种选法，第三步：从剩余两人中选1名礼仪义工，共C种选法，所以不同的选派方法共有CCC＝60(种)．答案：60 8．(2013·陕西调研)有一个不规则的六面体盒子(六个面大小不同)，现要用红、黄、蓝三种颜色刷盒子的六个面，其中一种颜色刷3个面，一种颜色刷两个面，一种颜色刷1个面，则刷这个六面体盒子的刷法有__________种．解析：可先分组后分配，即将6个面分成3,2,1三组共有CCC种分组方法，然后每一组用三种颜色去刷，各有A种，由分步计数原理可知共有CCC·A＝360(种)刷法．答案：360 9．有四位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有__________种(用数字作答)．解析：由题意知，每天只能测八人次，上午不测“握力”，只能从其余四项中任由四人选择，共A＝24种．下午只测“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”四项，此时按步完成，可先让上午测了“台阶”的人先选一项，若选到“握力”，则另外三人只能从“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”中选一项，而上午这三项他们又各测过一次，故共有两种选择．若上午测了“台阶”的人，从“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”中任选一项，有C种选法，比如选到“身高与体重”，此时上午测了“身高与体重”的人可以从“握力”、“立定跳远”、“肺活量”中任选一项，有C种选法，另外两人也就只有一种选择．故A×(1×C＋C×C)＝24×11＝264(种). 答案：264三、解答题 10．(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数有多少种？ (2)有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？ (3)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有一个名额，问：名额分配的方法共有多少种？解析：(1)由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空当插，由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A＝24(种)． (2)总的排法数为A＝120(种)，甲在乙的右边的排法数为A＝60(种)． (3)方法一：每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数．分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；若分配到2所学校有C×2＝42(种)；若分配到3所学校有C＝35(种)．共有7＋42＋35＝84(种)方法．方法二：10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块挡板插在9个间隔中，共有C＝84(种)不同方法．所以名额分配的方法共有84种. 11．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数： (1)能组成多少个五位数？ (2)能组成多少个正整数？ (3)能组成多少个六位奇数？ (4)能组成多少个能被25整除的四位数？解析：(1)因为万位上数字不能是0，所以万位数字的选法有A种，其余四位上的排法有A种，所以共可组成AA＝600(个)五位数．(2)组成的正整数，可以是一位、两位、三位、四位、五位、六位数，相应的排法种数依次为A，AA，AA，AA，AA，AA，所以可组成A＋AA＋AA＋AA＋AA＋AA＝1 630(个)正整数． (3)首位与个位的位置是特殊位置，0,1,3,5是特殊元素，先选个位数字，有A种不同的选法；再考虑首位，有A种不同的选法，其余四个位置的排法有A种．所以能组成AAA＝288(个)六位奇数． (4)能被25整除的四位数的特征是最后两位数字是25或50，这两种形式的四位数依次有A·A和A个，所以，能组成AA＋A＝21(个)能被25整除的四位数.12．(2013·枣庄联考)已知平面αβ，在α内有4个点，在β内有6个点． (1)过这10个点中的3点作一平面，最多可做多少个不同平面？ (2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？ (3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？解析：(1)所作出的平面有三类：α内1点，β内2点确定的平面，有C·C个；α内2点，β内1点确定的平面，有C·C个；α，β本身．所作的平面最多有C·C＋C·C＋2＝98(个)． (2)所作的三棱锥有三类：α内1点，β内3点确定的三棱锥，有C·C个；α内2点，β内2点确定的三棱锥，有C·C个；α内3点，β内1点确定的三棱锥，有C·C个．最多可作出的三棱锥有C·C＋C·C＋C·C＝194(个)． (3)当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等，且平面αβ，体积不相同的三棱锥最多有C＋C＋C·C＝114(个)．。