因动点产生的相似三角形问题(学生版李佳颐)

因动点产生的相似三角形
【做题方法】
1、观察两三角形是否为特殊三角形，找出两三角形相等的角。

2、一般两个三角形会有一个角是相等的，另外两组对应角不确定，找出相等的角，多为直角和钝角，再利用分类讨论。

3、设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后运用相似对应边成比例来列方程求解。

2（a≠0）交x轴于A、1.(2014.市中区一模)（9分）如图，抛物线c
=2
-
y+
ax
ax
B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；
（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由。

2.(2014.历城区二模)（9分）如图,直线221+=
x y 分别与x 轴、y 轴相交于A 、B,与双曲线x
k y =(其中（x>0）相交于第一象限内的点P(2,0y ),作轴于x PC ⊥轴于C.
(1)求双曲线的解析式;
(2)观察图象直接写出不等式22
1+=x y 的解集; (3)在(1)中所求的双曲线上是否存在点Q(m,n)(其中m>0),作x QH ⊥轴于H,使得QCH ∆与AOB ∆相似?若存在,请求出Q 点坐标;若不存在,请说明理由.
3.（201
4.历城区二模）已知抛物线4
7-32x x y -=的顶点为点D ，并与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C 。

（1）求点A 、B 、C 、D 的坐标;
（2）在y 轴的正半轴上是否存在点P ，使以点P 、O 、A 为顶点的三角形与AOB ∆相似?若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由;
(3)取点)0,23(-E 和点)4
3,0(-F ，直线l 经过E 、F 两点，点G 是线段BD 的中点。

①点G 是否在直线l 上，请说明理由;
②在抛物线上是否存在点M ，使点M 关于直线l 的对称点在x 轴上?若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由。

4.（2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题）如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．
（1）求k与m的值；
（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；
（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．
图1
5.（2012年苏州市中考第29题）如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．
（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
6.（2012年黄冈市中考模拟第25题）如图1，已知抛物线的方程C1：
1
=-+- (m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C y x x m
(2)()
m
的左侧．
（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
图1
7.（2009年临沂市中考第26题）如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C （0，－2）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
图1
8、（直角三角形相似的问题）如图，抛物线经过(40)(10)(02)
，，，，，三点．
A B C-
（1）求出抛物线的解析式；
⊥轴，垂足为M，是否存在P点，使得（2）P是抛物线上一动点，过P作PM x
△相似？若存在，请求出符合条件的点P的以A，P，M为顶点的三角形与OAC
坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标
【同类练习】如图所示，已知抛物线21
=-与x轴交于A、B两点，与y轴交
y x
于点C．（1）求A、B、C三点的坐标．
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与∆PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
9、（存在公共角的两三角形相似问题）如图，在平面指教坐标系内，已知A（0，6），B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向O移动，同时动点Q从B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向A移动，设点P、Q移动的时间为t秒。

（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ于△AOB相似？
（3）当t为何值时，△APQ的面积为24/5个平方单位？
【同类练习】已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC △是直角三角形，
90ACB ∠= ，点A C ，的坐标分别为(30)A -，，(10)C ，，3tan 4
BAC ∠=． （1）求过点A B ，的直线的函数表达式；点(30)A -，，(10)C ，，B (13)，，3944
y x =+ （2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得ADB △与ABC △相似（不包括全等），并求点D 的坐标；
（3）在（2）的条件下，如P Q ，分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设AP DQ m ==，问是否存在这样的m 使得APQ △与ADB △相似，如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．
A C
O B x y
10、（由平行得出角相等的三角形相似问题）Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如
图1所示，反比例函数(0)k y k x
=≠在第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．
（1）求m 与n 的数量关系；
（2）当tan ∠A ＝12
时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△
AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．
【同类练习】设抛物线22
=+-与x轴交与两个不同的点A（-1，0）、B
y ax bx
（m，0），与y轴交与点C，且∠ACB=90°
（1）求m的值和抛物线的解析式
（2）已知点D（1，n）在抛物线上，过点A的直线1
=+交抛物线于另一点E。

y x
若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标
11、(通过等腰推导相似三角形角相等)如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上．
（1）求m 、n ；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．
【同类练习】直线y x b =+与双曲线(0)m y x x
=<交与点A （-1，-5）并分别与x 轴、y 轴交与点C 、B
（1） 求b 、m 的值
（2） 点D 在x 轴的正半轴上，若以点D 、C 、B 组成的三角形和△OAB 相似，试
求点D 的坐标。