解三角形大题专练(2020更新)
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解三角形大题专练
1.(2018·北京)在△ABC 中,a =7,b =8,cos B =-1
7.
(1)求∠A ; (2)求AC 边上的高.
解 (1)在△ABC 中,因为cos B =-1
7,
所以sin B =1-cos 2
B =43
7
. 由正弦定理得sin A =
a sin B
b =3
2
. 由题设知π2<∠B <π,所以0<∠A <π
2,
所以∠A =π
3.
(2)在△ABC 中,
因为sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =33
14
, 所以AC 边上的高为a sin C =7×3314=33
2
.
2.在△ABC 中,∠A =60°,c =3
7
a .
①求sin C 的值;
②若a =7,求△ABC 的面积.
[解析](2)(文)①在△ABC 中,因为∠A =60°,c =3
7a ,
所以由正弦定理得sin C =
c sin A a =37×32=33
14
. ②因为a =7,所以c =3
7
×7=3.
由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A 得72=b 2+32
-2b ×3×12,
解得b =8或b =-5(舍).
所以△ABC 的面积S =12bc sin A =12×8×3×3
2
=6 3.
3.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin(A +C )=8sin 2
B
2
.
①求cos B ;
②若a +c =6,△ABC 的面积为2,求b . (理)①解法一:∵sin(A +C )=8sin 2
B
2,
∴sin B =8sin 2
B 2,即2sin B 2·cos B
2=8sin 2
B
2,
∵sin B 2>0,∴cos B 2=4sin B
2
,
∴cos 2B 2=1-sin 2B 2=16sin 2B 2,∴sin 2B 2=117 ∴cos B =1-2sin 2B 2=1517
.
解法二:由题设及A +B +C =π得sin B =8sin 2
B
2,故sin B =4(1-cos B ).
上式两边平方,整理得17cos 2
B -32cos B +15=0, 解得cos B =1(舍去),cos B =15
17
.
②由cos B =1517得sin B =817,故S △ABC =12ac sin B =4
17ac .
又S △ABC =2,则ac =17
2.
由余弦定理及a +c =6得,
b 2=a 2+
c 2-2ac cos B =(a +c )2-2ac (1+cos B )
=36-17×32
17
=4,∴b =2.
4.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知. (1)求tanC 的值;
(2)若△ABC 的面积为3,求b 的值。 【答案】(1)2;(2)3.
【思路分析】(1)根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系,再将式子作三角恒等变形即可求解;(2)根据条件首先求得sinB 的值,再结合正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求解.
2221
,42
A b a c π
=-=
【解析】(1)由22
212b a c -=
及正弦定理得2211
sin sin 22B C -=,∴-cos2B=sin 2C , 又由4
A π
=
,即34
B C π
+=
,得-cos2B=sin2C=2sinCcosC ,解得tanC=2;
(2)由tanC=2,C ∈(0,π)得sin 55
C C =
=
又
sin sin()sin(),sin 4B A C C B π=+=+∴=3c =
,
又
1
,sin 3,42
A bc A bc π=
=∴=b=3.
5.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且b cos A -a cos B =2c . (1)证明:tan B =-3tan A ;
(2)若b 2
+c 2
=a 2
+3bc ,且△ABC 的面积为3,求a . (1)证明 根据正弦定理,由已知得
sin B cos A -cos B sin A =2sin C =2sin(A +B ),
展开得sin B cos A -cos B sin A =2(sin B cos A +cos B sin A ), 整理得sin B cos A =-3cos B sin A , 所以tan B =-3tan A .
(2)解 由已知得b 2
+c 2
-a 2
=3bc ,
所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =3bc 2bc =3
2
,