解三角形大题专练(2020更新)

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解三角形大题专练

1.(2018·北京)在△ABC 中,a =7,b =8,cos B =-1

7.

(1)求∠A ; (2)求AC 边上的高.

解 (1)在△ABC 中,因为cos B =-1

7,

所以sin B =1-cos 2

B =43

7

. 由正弦定理得sin A =

a sin B

b =3

2

. 由题设知π2<∠B <π,所以0<∠A <π

2,

所以∠A =π

3.

(2)在△ABC 中,

因为sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =33

14

, 所以AC 边上的高为a sin C =7×3314=33

2

.

2.在△ABC 中,∠A =60°,c =3

7

a .

①求sin C 的值;

②若a =7,求△ABC 的面积.

[解析](2)(文)①在△ABC 中,因为∠A =60°,c =3

7a ,

所以由正弦定理得sin C =

c sin A a =37×32=33

14

. ②因为a =7,所以c =3

7

×7=3.

由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A 得72=b 2+32

-2b ×3×12,

解得b =8或b =-5(舍).

所以△ABC 的面积S =12bc sin A =12×8×3×3

2

=6 3.

3.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin(A +C )=8sin 2

B

2

.

①求cos B ;

②若a +c =6,△ABC 的面积为2,求b . (理)①解法一:∵sin(A +C )=8sin 2

B

2,

∴sin B =8sin 2

B 2,即2sin B 2·cos B

2=8sin 2

B

2,

∵sin B 2>0,∴cos B 2=4sin B

2

∴cos 2B 2=1-sin 2B 2=16sin 2B 2,∴sin 2B 2=117 ∴cos B =1-2sin 2B 2=1517

.

解法二:由题设及A +B +C =π得sin B =8sin 2

B

2,故sin B =4(1-cos B ).

上式两边平方,整理得17cos 2

B -32cos B +15=0, 解得cos B =1(舍去),cos B =15

17

.

②由cos B =1517得sin B =817,故S △ABC =12ac sin B =4

17ac .

又S △ABC =2,则ac =17

2.

由余弦定理及a +c =6得,

b 2=a 2+

c 2-2ac cos B =(a +c )2-2ac (1+cos B )

=36-17×32

17

=4,∴b =2.

4.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知. (1)求tanC 的值;

(2)若△ABC 的面积为3,求b 的值。 【答案】(1)2;(2)3.

【思路分析】(1)根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系,再将式子作三角恒等变形即可求解;(2)根据条件首先求得sinB 的值,再结合正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求解.

2221

,42

A b a c π

=-=

【解析】(1)由22

212b a c -=

及正弦定理得2211

sin sin 22B C -=,∴-cos2B=sin 2C , 又由4

A π

=

,即34

B C π

+=

,得-cos2B=sin2C=2sinCcosC ,解得tanC=2;

(2)由tanC=2,C ∈(0,π)得sin 55

C C =

=

sin sin()sin(),sin 4B A C C B π=+=+∴=3c =

1

,sin 3,42

A bc A bc π=

=∴=b=3.

5.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且b cos A -a cos B =2c . (1)证明:tan B =-3tan A ;

(2)若b 2

+c 2

=a 2

+3bc ,且△ABC 的面积为3,求a . (1)证明 根据正弦定理,由已知得

sin B cos A -cos B sin A =2sin C =2sin(A +B ),

展开得sin B cos A -cos B sin A =2(sin B cos A +cos B sin A ), 整理得sin B cos A =-3cos B sin A , 所以tan B =-3tan A .

(2)解 由已知得b 2

+c 2

-a 2

=3bc ,

所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =3bc 2bc =3

2

由0

3,∴tan B =-3,

由0

6,a =c ,

由S =12ac sin 2π3=12×32

a 2

=3,得a =2.

6.ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =

(I )求C ;

(II )若c ABC △=ABC △的周长. 【答案】