初中培优竞赛 第11讲 统计与概率

作 OC1⊥A1A2 于 Cl，交 B1B2 于 C2，则 ClC2= 所以 而
小正六边形的面积 正六边形的面积
cm. 因为 又因为
， ， 所以
， 则小正六边形的边长为 24cm. 故所求
概率 P
答案：
.
小正六边形的面积 正六边形的面积
技巧：理解本题中几何图形落点的概率求法 P
.
易错点：本题在求概率的时候容易理解成求圆碟的面积与正六边形地砖的面积之比而致错.
易错点：这类题容易被题目大量的数据所困惑，放弃理性思考数据的规律而致错。
第 11 讲
一、 选择题
统计与概率
1、 （2、3） （数学、初中数学竞赛、选择题、统计） 一个样本为 1，3，2，2，a，b，c. 已知这个样本的众数为 3，平均数为 2，那么这个样 本的方差为 ( )
解析： 已知样本平均数为 2， 得
， 所以
c = 6. 又
因为样本众数为 3，所以 a，b，c 三数中至少有两个 3，则另一个为 0. 所以样本方差
答案：C . 技巧：理解平均数、众数、方差、标准差等统计术语的意义才能正确的求出这些数值。 易错点：这类题容易混淆平均数与众数、方差与标准差等概念而致错。
2、 （4、5） （数学、初中数学竞赛、选择题、概率） 六个面上分别标有 1，1，2，3，3，5 六个数字的均匀立方体的表面展开图如下图所示， 掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为 该点的纵坐标，按照这样的规定，每掷一次该小立方体，就得到平面内一个点的坐标，已知 小明前两次掷得的两个点能确定一条直线 l，且这条直线 l 经过点 P(4，7)，那么他第三次掷 得的点也在直线 l 上的概率是 ( )
二、 填空题 4、 （2、3） （数学、初中数学竞赛、填空题、统计） 五次测验的平均成绩是 90， 中位数 （即 5 个成绩按大小次序排列， 居中的那个数） 是 91， 众数（即 5 个成绩中出现次数最多的那个数）是 94 ，则最低两次测验的成绩之和是 ___________ . 解析： 比 中 位 数 91 大 的数 至 多 2 个 ， 众 数 94 至少 出 现 2 次 ， 所 以 94 恰好 出 现 2 次 . 最低 2 次测验成绩之和是 答案：171. 技巧：把握题意，理解平均数、众数和中位数的概念，弄清要求的是什么。 易错点：容易混淆平均数、众数和中位数的概念而致错。
(1)这次参加测试的总人数为多少？ (2)在 76.5～84.5 这一小组内的人数为多少？ (3)这次测试成绩的中位数落在哪个小组内？ (4)成绩在 84.5～89.5 之间的人数为多少？ 分析：通过观察图表即可得出所需要的数据。 详解：(1)因为 ，所以这次参加测试的总人数为 45.
(2)在 76.5～84.5 这一小组内的人数为 45-3-7-10-8-5= 12. (3)这次测试成绩的中位数落 76.5～84.5 这一小组内. (4) 89.5 分以上为 8 人， 92.5 分以上为 5 人， 则 89.5 分到 92.5 分的有 8-5=3 人； 又 84.5～ 92.5 之间的人数为 8 人，所以成绩在 84.5～89.5 之间的人数为 8-3=5 人.
9、 （4、5） （数学、初中数学竞赛、解答题、统计） 某学生为了描点作出函数 且
1 2 3 4
的图象，取了自变量的 7 个值： ，分别算出对应的 y 的值，列出下表：
5 6 7
51
107
185
285
407
549
717
但由于粗心算错了其中一个 y 值，请指出算错的是哪一个值？正确的值是多少？并说明理 由. 分析：根据 规律。 详解：设 则 ，且 i 对应的函数值为 i. ，找出 与 之间的联系，然后对照表格来发现
5、 （3、4） （数学、初中数学竞赛、填空题、统计）
有甲、乙、丙、丁四人，每三人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为 29 岁、23 岁、21 岁和 17 岁，则这四个人中最大年龄与最小年龄的差是____ 岁. 解析：设年龄最大的 a 岁，年龄最小的 d 岁，另外两人的年龄为 b 岁和 c 岁，则有 , ① ② 由①一②得 即所求的差是 18. 答案：18. 技巧： 根据题意设参数列出等式，然后通过变形来整体求值。 易错点：等式变形过程中容易出现计算失误。
6、 （4、5） （数学、初中数学竞赛、填空题、概率） 某广场地面铺满了边长为 36cm 的正六边形地砖. 现在向上抛掷半径为 圆碟落地后与地砖边缘不相交的概率大约是__ __. cm 的圆碟，
解析：欲使圆碟不压地砖间的间隙，则圆碟的圆心必须落在与地砖同中心、且边与地砖边彼 此平行、距离为 cm 的小正六边形内（见下图）.
故
（常数）.
由给出的数据 i：51 107 185 285 407 549 717 得 ：56 78 100 122 142 168 : 22 22 22 20 26
由此可见， 6=549 是被算错的 y 值，其正确值应该是 407+(122+22)=551. 技巧：通过研究 与 之间的关系来对照表格是解答本题的关键所在。
3、 （3、4） （数学、初中数学竞赛、选择题、概率） 平面直角坐标系内任选一点，它的坐标都是绝对值小于或等于 4 的整数，且所有这样的 点被选中的概率相等，则所选的点到原点的距离至多是 2 个单位的概率是(
π
)
解析：坐标是绝对值小于或等于 4 的整数的点，构成以原点为中心的 9× 9 的点阵列. 而这些 点中有 13 个点到原点的距离小于或等于 2 个单位，所以所求概率为 答案：A 技巧：理解题意，分析清楚该事件发生的所有可能情况，不能遗漏。 易错点：求概率时容易遗漏可能发生的情况而致错。
三、解答题 7、 （2、3） （数学、初中数学竞赛、解答题、统计） 某校为了了解学生环保情况，对部分学生进行了一次环保知识测试（分数为整数，满 分 100 分） ，根据测试成绩（最低分 53 分）分别绘制如下统计表和统计图，请你根据统 计表和统计图回答下列问题：
分数 人数 59.5 分以下 3 59.5 分以上 42 69.5 分以上 32 79.5 分以上 20 89.5 分以上 8
8、 （3、4） （数学、初中数学竞赛、解答题、统计） 某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击 10 次. 在第 6 次、第 7 次、第 8 次、第 9 次射击中，分别得到 9.O 环、8.4 环、8.1 环、9.3 环，他的前 9 次射击所得的平均环数高
于前 5 次射击所得的平均环数， 如果要使 10 次射击的平均环数超过 8.8 环， 那么他在第 10 次射击中至少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到 0.1 环） 分析： 由于每次射击所得环数都精确到 0.1 环， 故前 9 次射击的总环数至多为 要使 10 次射击的平均环数超过 8.8 环，则第 10 次最少要得 详解：前 9 次射击的总环数至多为 （环）. 答：第 10 次射击至少要得 9.9 环. 技巧：理解平均数的概念，以及“精确到 0.1 环” 和“高于” 、 “至少”等关键词之间的联 系才能正确解答本题。 易错点：容易忽视“精确到 0.1 环”和“高于” 、 “至少”等关键词之间的联系而致错。 ，故第 10 次射击至少得 环。 环；
解析： 每掷一次可能得到 ， ，
个点的坐标是 其中有两个点是重合的 ： ， ，
，
，
，
，通过描点和计算可以发现，经过
三点中的任意两点
所确定的直线都经过点
，所以小明第三次掷得的点也在直线 上的概源自文库是
答案：A. 技巧：求事件发生的概率，要分析清楚该事件发生的所有可能情况，不能遗漏。 易错点：求概率时容易遗漏可能发生的情况而致错。