初中培优竞赛 第11讲 统计与概率
初中数学《统计与概率》讲义及练习
1. 能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题.2. 运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题．3. 理解和运用概率性质进行概率的运算知识点说明在抛掷一枚硬币时，究竟会出现什么样的结果事先是不能确定的，但是当我们在相同的条件下，大量重复地抛掷同一枚均匀硬币时，就会发现“出现正面”或“出现反面”的次数大约各占总抛掷次数的一半左右．这里的“大量重复”是指多少次呢？历史上不少统计学家，例如皮尔逊等人作过成千上万次抛掷硬币的试验，随着试验次数的增加，出现正面的频率波动越来越小，频率在0.5这个定值附近摆动的性质是出现正面这一现象的内在必然性规律的表现，0.5恰恰就是刻画出现正面可能性大小的数值，0.5就是抛掷硬币时出现正面的概率．这就是概率统计定义的思想，这一思想也给出了在实际问题中估算概率的近似值的方法，当试验次数足够大时，可将频率作为概率的近似值．在统计里，我们把所要考察对象的全体叫做总体，其中的每一个考察对象叫做个体。
从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。
样本中个体的数目叫做样本的容量。
总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，把样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。
概率的古典定义：如果一个试验满足两条： ⑴试验只有有限个基本结果：⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的． 这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件A ，它的概率定义为：()mP A n=，n 表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，m 表示事件A 包含的试验基本结果数．小学奥数中，所涉及的问题都属于古典概率．其中的m 和n 需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．相互独立事件：()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件． 公式含义：如果事件A 和B 为独立事件，那么A 和B 都发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之积．举例：⑴明天是否晴天与明天晚餐是否有煎鸡蛋相互没有影响，因此两个事件为相互独立事件.所以明天天晴，并且晚餐有煎鸡蛋的概率等于明天天晴的概率乘以明天晚餐有煎鸡蛋的概率.⑵第一次抛硬币掉下来是正面向上与第二次抛硬币是正面向上是两个相互独立事件．所以第一次、第二次抛硬币掉下来后都是正面向上的概率等于两次分别抛硬币掉下来后是正面向上的概率之积，即111224P =⨯=.⑶掷骰子，骰子是否掉在桌上和骰子的某个数字向上是两个相互独立的事件，如果骰子掉在桌上的概率为0.6，那么骰子掉在桌上且数字“n ”向上的概率为10.60.16⨯=．知识点拨教学目标8-7概率与统计例题精讲【例 1】（2007年“希望杯”二试六年级)气象台预报“本市明天降雨概率是80%”．对此信息，下列说法中正确的是．①本市明天将有80%的地区降水．②本市明天将有80%的时间降水．③明天肯定下雨．④明天降水的可能性比较大．【解析】降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间．80%的概率也不是指肯定下雨，100%的概率才是肯定下雨．80%的概率是说明有比较大的可能性下雨．因此④的说法正确．【巩固】一个小方木块的六个面上分别写有数字2、3、5、6、7、9，小光、小亮两人随意往桌面上扔放这个木块．规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得1分．当小亮扔时，如果朝上的一面写的是奇数，得1分．每人扔100次，______得分高的可能性比较大．【解析】因为2、3、5、6、7、9中奇数有4个，偶数只有2个，所以木块向上一面写着奇数的可能性较大，即小亮得分高的可能性较大．【例 2】在多家商店中调查某商品的价格，所得的数据如下（单位：元）25 21 23 25 27 29 25 28 30 2926 24 25 27 26 22 24 25 26 28请填写下表【解析】：【例 3】在某个池塘中随机捕捞100条鱼，并给鱼作上标记后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕捞200尾，发现其中有25条鱼是被作过标记的，如果两次捕捞之间鱼的数量没有增加或减少，那么请你估计这个池塘中一共有鱼多少尾？【解析】200尾鱼中有25条鱼被标记过，所以池塘中鱼被标记的概率的实验得出值为252000.125÷=，所以池塘中的鱼被标记的概率可以看作是0.125，池塘中鱼的数量约为1000.125800÷=尾．【例 4】有黑桃、红桃、方块、草花这4种花色的扑克牌各2张，从这8张牌中任意取出2张。
小升初数学培优总复习 11 概率的应用
（三）操作题。
1．桌上摆6张数字卡片，分别写着1-6各数。芳芳摸卡片，缓缓猜摸出的是哪一个数。如果缓缓猜对缓缓获胜，如果缓缓猜错了芳芳获胜。
（1）这个游戏规则对双方公平吗？
解析：
出现轿车的可能性为：
出现公共汽车的可能性为：
出现面包车的可能性为：
出现电瓶车的可能性为：
（1）下一辆各种车出现都有可能,因此,A的这种说法是合理的。（2）由于统计到出现各种车的辆数不同，所以下一辆出现任意一种车型的可能性大小不一样，都是25%不正确。（3）由于统计到轿车出现的辆数最多，电瓶车出现的辆数最少，所以下一辆出现轿车的可能性最大正确，下一辆出现电瓶车的可能性最小也是正确的。
概率的应用
一、温故而知新：
（一）判断题。
1．小明抛4次硬币，前3次正面朝上，第4次反面朝上的可能性是 。 （ ）
2．盒子内放着大小相同的3个红球，2个黄球，1个蓝球，摸出红球的可能性是 。（ ）
3．有5瓶牛奶，其中有1瓶过了保质期不能饮用，现从中任取一瓶，能够饮用的可能性是 。
解析：
（1）每抛一次硬币，正面和反面朝上的可能性都是 ，他前3次抛正面朝上，第4次抛反面朝上的可能性还是 。
（1）小明获胜的可能性是多少？小军获胜的可能性是多少？
（2）这个游戏规则公平吗？如果不公平，可以怎样修改规则？
解析：
3的倍数特征：
整数各个位数字和是3的倍数。
5的倍数特征：
整数的末尾是0或5的数。
（1）数字1、0、8所组成的三位数有108、180、801、810，这四个全是3的倍数，5的倍数有180、810这两个。所以小明获胜的可能性是 =1，小军获胜的可能性是 = 。
小升初培优之概率与统计
知识大总结 1、事件： ⑴ 确定、不确定、不可能。 ⑵ 相互独立事件，互斥事件。 2、事件发生概率，0到1： ⑴ 符合分类的，概率相加。 ⑵ 符合分步的，概率相乘。
【今日讲题】 例3，例4，例6, 【讲题心得】 _________________________________________________ ____________________________________. 【家长评价】 ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________.
【例3】 (★★) 一个骰子，分别先后掷3次，恰好有一次是6的概率是多少？
2
【拓展】(★★★☆)小明和小亮做游戏，由小明抛出3枚硬币，如果 抛出的结果中，有2枚或2枚以上的硬币正面朝上，小明就 获胜；否则小亮获胜。请问，这个游戏公平吗？
计数类概率 【例4】 (★★★) 如图所示，将球放在顶部，让它们从顶部沿轨道 落下，每一个小球在交点处有一半的可能向左滑落，有一 半的可能向右滑落。球落到底部5个出口的概率从左至右依 次是___________。
【例5】 (★★★☆)工厂质量检测部门对某一批次的10件产品进行 抽样检测，如果这 10件产品中有两件产品是次品，那么质 检人员随机抽取2件产品，这两件产品恰好都是次品的概率 为多少？这两件产品中有一件是次品的概率为多少？这两 件产品中没有次品的概率为多少？
【例6】 (★★★) 甲、乙两人在靶场射击。甲击中目标的概率是0.6， 乙击中目标的概率是0.7。两人朝着同一个目标各射击一次， 结果目标被击中了。请问：恰好是甲击中目标而乙没有击 中的概率是多少？
初中数学《统计、概率、数据》培优拔高(奥数)专题讲义
初中数学《统计、概率、数据》培优拔高（奥数）专题讲义阅读与思考现代社会是一个数字化的社会，我们每个人每天都要和各种各样的数字打交道，从国民生产总值、人均消费水平、人口自然增长率、股市综合指数，到家庭的水、电、煤气的月平均数，学生的身高、体重、考试成绩，都与数字有关.“用数据说话”已成为从事许多工作的基本要求，能用数据说话的人必须具备一定的统计知识.对数据进行收集、整理、计算、分析，并在此基础上作出科学的推断，这就是数据分析，是统计学研究的基本范畴和方法，收集数据、量化处理的目的在于运用统计结果进行判断和决策.统计学的基本思想就是用样本对总体进行估计、推理，即用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分布规律，是从局部看整体的思想方法.例题与求解【例l 】 在对某班的一次数学测试成绩进行统计分析中，各分数段的人数如图所示（分数取正整数，满分100分）.请观察图形，并回答下列问题： （1）该班有________名学生.（2）69.5~79.5这一组的频数是_________，频率是_________. （3）请估算该班这次测验的平均成绩.（黄冈市中考试题）解题思路：从频率直方图中捕捉相关信息.【例2】 某学生通过先求x 与y 的平均值，再求得数与z 的平均值来计算x ，y ，z 三个数的平均数.当z y x <<时，这个学生的最后得数是（ ）A .正确的B .总小于AC .总大于AD .有时小于A ，有时等于AE .有时大于A ，有时等于A（第二届美国中学生邀请赛试题）解题思路：按不同方法计算平均值，作差比较它们的大小.【例3】 某校九年级学生共有900人，为了解这个年级学生的体能，从中随机抽取部分学生进行1min 的跳绳测试，并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理，下图是这四名同学提供的部分信息：甲：将全体测试数据分成6组绘成直方图（如图）； 乙：跳绳次数不少于105次的同学占96%；丙：第①、②两组频率之和为0.12，且第②组与第⑥组频数都是12； 丁：第②、③、④组的频数之比为4：17：15． 根据这四名同学提供的材料，请解答如下问题：（1）这次跳绳测试共抽取多少名学生？各组有多少人？（2）如果跳绳次数不少于135次为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到跳绳优秀的人数为多少.（3）以每组的组中值（每组的中点对应的数据）作为这组跳绳次数的代表，估计这批学生1min 跳绳次数的平均值．（安徽省中考试题）解题思路：本题考查了频率、频数的概念和对频数直方图的认识，要理解各组频率之和为1，各组频数之和等于总数，掌握好这些知识点，自然可以解决问题.（每组数据含左端点值不含右端点值）【例4】 编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A 和B 中，15号弹珠在篮子A 中，把这个弹珠从篮子A 移至篮子B 中，这时篮子A 中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加41，篮子B 中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加41．问原来在篮子A 中有多少个弹珠？ （第十六届江苏竞赛试题）解题思路：用字母分别表示篮子A ，B 中的弹珠数及相应的平均数，运用方程（组）来求解.【例5】某次数学竞赛共有15道题，下表是对于做对n（n=0，1，2，…，15）道题的人数的一个统计，如果又知其中做对4道题和4道以上的学生每人平均做对6道题，做对10道题和10道题以下的学生每人平均做对4道题，问这个表至少统计了多少人？（全国初中数学联赛试题）解题思路：从统计表中可知做对0~3道题、12~15道题的相应总人数和总题数，结合已知条件，运用方程（组）、不等式（组）等知识方法求解.【例6】一次中考模拟考试中，两班学生数学成绩统计如下：请你根据学过的统计学知识，判断这两个班在这次模拟考试中的数学成绩谁优谁次？并说明理由.解题思路：这是一道开放性试题，看考虑问题是从哪一个侧面入手.本题因未说明从何种角度来考虑，故我们应多想几套方案.能力训练A级1.大连是一个严重缺水的城市，为鼓励市民珍惜每一滴水，某居委会表彰了100个节约用水模范户，5月份这100户节约用水的情况如下表：那么，5月份这100户平均节约用水的吨数为（精确到0.01吨）_________吨.（大连市中考试题）2.某班全体学生进行了一次篮球投篮练习，每人投球10个，每投进一球得1分．得分的部分情况如下表所示：已知该班学生中，至少得3分的人的平均得分为6分，得分不到8分的人的平均得分为3分，那么该班学生有___________人．（江苏竞赛试题）3.甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下： 甲：7 8 6 8 6 5 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 所以应确定_______去参加射击比赛.4.在综合实践课上，六名同学做的作品的数量（单位：件）分别是：5，7，3，x ，6，4，若这组数据 的平均数是5，则这组数据的中位数是_________件.（包头市中考试题）5.如果一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数是x ，则另一组数据1x ，12+x ，23+x ，34+x ，45+x 的平均数是（ ）A .xB .2x +C .52x +D .10x + （天津市中考试题）6.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是45，50，75，50，20，30，50，80，20，30．设这些零件数的平均数为a ，众数为b ，中位数为c ，那么（ ）A . c b a <<B .a c b <<C .b c a <<D .c a b <<（宁夏中考试题）7.为了了解某区九年级7 000名学生，从中抽查了500名学生的体重.就这个问题而言，下列说法正确的 是（ ）A ．7 000名学生是总体B ．每个学生是个体C ．500名学生是样本D ．样本容量为5008.已知1~99中有49个偶数，从这49个偶数中取出48个数，其平均数为12549，则未取的数字是（ ） A ．20 B ．28 C ．72 D ．78（台湾省中考试题）9.甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示： （1）分别求出两人得分的平均数与方差；（2）根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价.第五次第四次第三次第二次16151413121110第一次次数得分甲：乙：（安徽省中考试题）10.某校要从九年级（1）班和（2）班中各选取10名女同学组成礼仪队，选取的女生身高如下：（单位：厘米）（1）班：168 167 170 165 168 166 171 168 167 170 （2）班：165 167 169 170 165 168 170 171 168 167 （1）补充完成下面的统计分析表（2）请选一个合适的统计量作为选择标准，说明哪一个班能被选取.（2013宁夏回族自治区中考试题）11.为估计一次性木质筷子的用量，2011年从某县共600家高、中、低档饭店中抽取10家作样本.这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为：0.6，3.7，2.2，1.5，2.8，1.7，1.2，2.1，3.2，1.0.（1）通过对样本的计算，估计该县1999年消耗多少盒一次性筷子（每年按350个营业日计算）； （2）2013年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查，调查的结果是10个样本饭店每个饭店平均每天使用一次性筷子2.42盒．求该县2012年、2013年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率（2012年该县饭店数、全年营业天数均与2011年相同）； （3）在（2）的条件下，若生产一套中小学生桌椅需木材0.073m ，求该县2013年使用一次性筷子的木材可以生产多少套学生桌椅?计算中需用的有关数据为：每盒筷子100双，每双筷子的质量为5g ，所用木材的密度为0.5×1033/m kg ； （4）假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去做，简要地用文字表述出来．12.由9位裁判给参加健美比赛的12名运动员评分.每位裁判对他认为的第1名运动员给1分，第2名运动员给2分，…，第12名运动员给12分，最后评分结果显示：每个运动员所得的9个分数中高、低之差都不大于3.设各运动员的得分总和分别为1c ，2c ，…，12c ，且1221c c c ≤≤，求1c 的最大值.(第十九届江苏省竞赛试题)B 级1.为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高作调查，现有三种调查方案：A 、测量少体校中180名男子篮球、排球队员的身高；B 、查阅有关外地180名男生身高的统计资料；C 、在本市的市区和郊县各任选一所完全中学、两所初级中学，在这六所学校有关年级的（1）班中，用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高．问：（1）为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理，为什么？答：选________；理由：______________________________________________________________ （2）下表中的数据是使用了某种调查方法获得的：初中男生身高情况抽样调查表（注：每组可含最低值，不含最高值） ①根据表中的数据填写表中的空格； ②根据填写的数据绘制频数分布直方图．193183173163153143（上海市中考试题）2.其中1a ，2a ，3a ，…，8a 是从小到大排列的两位数，且每个两位数与它的反序数（12的反序数是21）之和都为完全平方数，样本的方差是________.（辽宁锦州市竞赛试题）3.五名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a 米，后两名的平均身高为b 米，前两名的平均身高为c ，后三名的平均身高为d ，则2b a +与2dc +比较（ ） A .2b a +大 B .2dc +大 C .两者相等 D .无法确定 （“五羊杯”邀请赛试题）4.已知数据1x ，2x ，3x 的平均数为a ，1y ，2y ，3y 的平均数为b ，则数据1132y x +，2232y x +，3332y x +的平均数为（ ）A .b a 32+B .b a +32C .b a 96+D .b a +2 （全国初中数学竞赛试题）5.小林拟将1，2，…，n 这n 个数输入电脑，求平均数.当他认为输入完毕时，电脑显示只输入)1(-n 个数，平均数为7535，假设这)1(-n 个数输入无误，则漏输入的一个数是（ ） A .10 B .53 C .56 D .67（江苏省竞赛试题）6.如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC =120mm ，高AD =80mm ，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上．设该矩形的长QM =y mm ，宽MN =x mm ． （1）求证：x y 23120-=； （2）当矩形PQMN 的面积最大时，它的长和宽是关于t 的一元二次方程0200102=+-q pt t 的两个根，而p 、q 的值又恰好分别是a ，10，12，13，b 这5个数据的众数与平均数，试求a 与b 的值．（广西壮族自治区中考试题）ENC MD Q B PA7.某班参加一次智力竞赛，共a ，b ，c 三道题，每题或者得满分或者得0分．其中题a 满分20分， b 、c 题满分都为25分，竞赛结果：每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题a 的人数与答对题b 的人数之和为29；答对题a 的人数与答对题c 的人数之和为25；答对题b 的人数与答对题c 的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少.（全国初中数学联赛试题）8.元旦联欢会某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小敏测量了部分彩纸链的长度，她得到的数据如下表：（1）把上表中x 、y 想y 与x 的函数关系，并求出函数关系式；（2）教室天花板对角线长10m ，现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链，则每根彩纸链至少要用多少个纸环？（济南市中考试题）9.某射击运动员在一次比赛中，前6次射击已经得到52环，该项目的记录是89环（10次射击，每次射击环数只取1～10中的正整数）．（1）如果他要打破记录，第7次射击不能少于多少环？（2）如果他第7次射击成绩为8环，那么最后3次射击中要有几次命中10环才能打破记录？（3）如果他第7次射击成绩为10环，那么最后3次射击中是否必须至少有一次命中10环才有可能打破记录？（山东省中考试题）10.“中国梦”关乎每个人的幸福生活.为进一步感知我们身边的幸福，展现成都人追梦的风采，我市某校开展了以“梦想中国，逐梦成都”为主题的摄影大赛，要求参赛学生每人交一件作品．现将参赛的50件作品的成绩（单位：分）进行统计如下：请根据上表提供的信息，解答下列问题：（1）表中的x的值为________，y的值为_______；（2）将本次参赛作品获得A等级的学生依次用A1，A2，A3，…表示，现该校决定从本次参赛作品中获得A等级学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，请用树状图或列表法求恰好抽到学生A1和A2的概率．（2013年成都市中考试题）。
初中数学易考知识点统计与概率的计算
初中数学易考知识点统计与概率的计算在初中数学中，统计与概率是数学中的重要内容之一。
它们不仅在数学课堂上教学内容中占有一席之地，而且在现实生活中也有着广泛的应用。
通过学习统计与概率的计算方法，我们能够更好地理解和应用数学知识，提高解决问题的能力。
本文将为大家介绍初中数学易考的知识点统计与概率的计算方法。
一、频数和频率的计算在统计学中，频数是指某个数据在样本中出现的次数。
频率是指某个数据在样本中出现的次数与样本总量之比。
计算频数和频率的方法是将样本中的每个数据逐一记录，并统计出每个数据的出现次数。
然后，将每个数据的出现次数除以样本总量，即可得到频率。
例如，某班级20名学生的成绩如下：80，85，75，90，80，70，80，95，85，65，70，75，85，90，75，80，85，90，75，85针对以上数据，我们可以统计各个成绩出现的频数，然后计算频率。
接下来，我们进行具体的计算：频数：80出现的次数：4次85出现的次数：5次75出现的次数：4次90出现的次数：3次70出现的次数：2次65出现的次数：1次95出现的次数：1次频率：80的频率：4/20 = 0.285的频率：5/20 = 0.2575的频率：4/20 = 0.290的频率：3/20 = 0.1570的频率：2/20 = 0.165的频率：1/20 = 0.0595的频率：1/20 = 0.05通过以上计算，我们得到了各个成绩的频数和频率。
这些数据可以帮助我们分析班级的成绩分布情况，了解学生在各个成绩段的分布情况。
二、事件与概率的计算在概率的计算中，事件是指某个结果或一组结果组成的集合。
概率是指某个事件在试验中出现的可能性。
计算概率的方法是将事件中符合要求的结果个数除以总的结果个数，即可得到概率。
例如，某班级有30名学生，其中男生20人，女生10人。
现在随机选择一个学生，求该学生是男生的概率。
首先，我们需要计算男生的概率。
男生的个数为20人，总人数为30人，所以男生的概率为20/30 = 2/3。
培优专题：概率与统计
培优资料二：概率与统计 一、知识点1.随机变量ξ的概率分布性质：⑴),i (,P i 210=≥，⑵121=++ P P2.二项分布：记为：()p ,n B ~ξ，概率：()kn k k n q p C k P -==ξ，数学期望：np E =ξ，方差：npq D =ξ 3.几何分布：记为：()p q p ,k g k 1-=，概率：()p q k P k 1-==ξ，数学期望：p E 1=ξ，方差：2pq D =ξ 4.数学期望与方差：⑴ ++++=ξn n p x p x p x E 2211⑵()()() +⋅ξ-++⋅ξ-+⋅ξ-=ξn n p E x p E x p E x D 2222121⑶()b aE b a E +ξ=+ξ，()ξ=+ξD a b a D 2二、例题与练习4、（2009全国Ⅰ）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。
（I ）求甲获得这次比赛胜利的概率；（II ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ得分布列及数学期望。
【解析】记A i 表示事件：第i 局甲获胜，i =3，4，5. B j 表示事件：第j 局乙获胜，i =3,4.（I ）记B 表示事件：甲获得这次比赛的胜利.因前2局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B=A 3•A 4+B 3•A 4•A 5+A 3•B 4•A 5 由于各局比赛结果相互独立，故P(B)=P(A 3•A 4)+ P(B 3•A 4•A 5)+ P(A 3•B 4•A 5) = P(A 3) P(A 4)+ P(B 3)P(A 4)P(A 5)+ P(A 3)P(B 4)P(A 5)=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648（II）ξ的可能取值为2，3.由于各局比赛结果相互独立，所以P(ξ=2)=P(A3•A4+ B3•B4)=P(A3•A4)+ P（B3•B4)=P(A3) P(A4)+ P（B3）P(B4)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52P(ξ=3)=1-P(ξ=2)=1-0.52=0.48.ξ的分布列为Eξ=2× P(ξ=2)+3× P(ξ=3)=2×0.52+3×0.48=2.48.7、（2009全国Ⅱ）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。
初中数学概率统计基础
初中数学概率统计基础在我们的日常生活中，很多事情的结果往往是不确定的。
比如明天是否会下雨，抽奖时能否中奖，投篮是否能命中等等。
而概率统计就是一门帮助我们研究和理解这些不确定性的数学学科。
对于初中生来说，了解概率统计的基础知识，不仅能够培养我们的逻辑思维和分析问题的能力，还能让我们更好地应对生活中的各种可能性。
一、概率的基本概念概率，简单来说，就是用来衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。
这个数值在 0 到 1 之间。
如果一个事件完全不可能发生，那么它的概率就是 0；如果一个事件肯定会发生，那么它的概率就是 1；而对于那些有可能发生也有可能不发生的事件，其概率就在 0 到 1 之间。
举个例子，抛一枚均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率都是 05，因为硬币只有正反两面，而且两面出现的可能性是相等的。
再比如，从一个装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率就是 5/8，摸到白球的概率就是 3/8。
二、事件的分类在概率中，事件可以分为以下几类：1、必然事件：指在一定条件下必然会发生的事件，其概率为 1。
比如太阳从东方升起，就是一个必然事件。
2、不可能事件：指在一定条件下绝对不会发生的事件，其概率为0。
比如月亮从西方升起，就是一个不可能事件。
3、随机事件：指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
前面提到的抛硬币、摸球等都是随机事件。
三、概率的计算方法1、列举法当一个事件发生的可能性比较有限且容易列举时，可以通过列举所有可能的结果来计算概率。
例如，掷一个骰子，求掷出奇数点的概率。
骰子的点数有1、2、3、4、5、6 这 6 种可能，其中奇数点有 1、3、5 这 3 种，所以掷出奇数点的概率就是 3/6 ＝ 05。
2、频率估计法通过大量重复试验，计算某个事件发生的频率，并用频率来估计概率。
比如，抛一枚硬币 1000 次，其中正面朝上 480 次，那么正面朝上的频率就是 480/1000 ＝ 048，可以用这个频率来估计抛硬币正面朝上的概率约为 05。
初中统计与概率问题
初中统计与概率问题在初中数学学科中，统计与概率是一个重要的知识点。
它涵盖了数据收集、整理和分析的过程，以及基于已知数据进行概率计算和预测的方法。
通过学习统计与概率问题，能够培养学生的观察和分析能力，提高他们的问题解决能力。
本文将围绕统计与概率问题展开讨论。
一、统计问题统计是指对数据进行收集、整理、分析和解释的过程。
在初中数学中，统计问题主要包括以下几个方面：1. 数据收集：学生可以通过调查问卷、实地观察等方式收集数据。
收集到的数据可以是数量的，也可以是性质的。
2. 数据整理与描述：将收集到的数据进行整理和分类。
可以使用表格、图表等形式进行展示。
同时，还可以通过计算平均数、中位数、众数等统计量来描述数据的集中趋势。
3. 数据分析与解释：通过对数据的分析，可以发现数据之间的关联和趋势。
例如，通过对一组数据的分析，可以发现某个变量与结果的变化有着一定的关系。
统计问题的解决过程中，需要学生具备一定的数据处理能力和统计分析能力。
通过实际操作和思考，可以加深对统计学的理解和应用。
二、概率问题概率是用来描述某个事件发生的可能性的数值。
初中数学中的概率问题主要包括以下几个方面：1. 实验与样本空间：概率的计算通常需要进行实验，并确定实验的所有可能结果构成的样本空间。
样本空间中的每一个元素代表一个可能的结果。
2. 事件与概率：事件是样本空间的子集，表示一个或多个可能的结果。
概率是事件发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数值来表示。
3. 概率的计算：根据样本空间和事件的定义，可以计算事件发生的概率。
常用的计算方法有等可能性原则、频率方法和几何方法。
通过学习概率问题，学生可以了解事件发生的可能性，培养他们的判断能力和分析思维。
概率问题也与生活实际密切相关，例如在游戏、赌博和保险领域都有概率的应用。
总结起来，初中统计与概率问题作为数学学科的重要组成部分，对于培养学生的观察、分析和解决问题的能力具有重要意义。
通过学习统计和概率，学生可以掌握数据的收集和处理方法，了解概率的计算和应用，为学习更高级的数学知识打下良好的基础。
2021年中考复习数学 尖子生培优训练 统计与概率(含答案)
2021中考数学 尖子生培优训练 统计与概率一、选择题（本大题共10道小题）1. 从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是( )A.23B.12C.13D.142. 从同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为( ) A.16B.13C.12D.233. 在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色不同外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是( ) A ．1B.23C.13D.124. 如图是一个可以自由转动的转盘，该转盘被平均分为8份，每份对应一种颜色，转动这个转盘，转出哪种颜色的可能性最小( )A ．红色B ．黄色C ．绿色D ．不确定5. 在有25名男生和20名女生的班级中，随机抽取1名学生做代表，则下列说法正确的是( )A ．男、女生做代表的可能性一样大B ．男生做代表的可能性大C ．女生做代表的可能性大D ．男、女生做代表的可能性大小不能确定6. 定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V数”，如“947”就是一个“V 数”．若某三位数十位上的数字为5，从4，6，8中任选两数分别作为个位和百位上的数字，则与5组成“V 数”的概率是( ) A.16B.14C.13D.237. 一个不透明的布袋中装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，3个白球，从布袋中随机摸出1个球，摸出红球的概率是( ) A.12B.23C.25D.358. 定义一种“十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大”的三位数叫做“中高数”，如796就是一个“中高数”．若某三位数十位上的数字为7，从3，4，5，6，8，9中任选两数分别作为个位和百位上的数字，则与7组成“中高数”的概率是( ) A.12B.23C.25D.359. 如图，在4×4的正方形网格中，阴影部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂上阴影，使阴影部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是( )A.613 B.513C.413D.31310. 如图，△ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB ＝13，AC ＝5，BC ＝12，阴影部分是△ABC 的内切圆．一只自由飞翔的小鸟随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为( )A.115π B.215π C.415π D.π5二、填空题（本大题共10道小题）11. 某鞋厂调查了商场一个月内不同尺码男鞋的销量，在平均数、中位数、众数和方差这四个统计量中，该鞋厂最关注的是.12. 从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知口袋中有10个黑球和若干个白球，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有个白球.13. 某中学九年级甲、乙两个班参加了一次数学考试，考试人数每班都为40人，每个班的考试成绩分为A，B，C，D，E五个等级，绘制的统计图如下:根据以上统计图提供的信息，则D等级这一组人数较多的班是.14. 在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球，已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数为.15. 一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证.下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据:实验者德·摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数61404040100003600080640出现“正面朝上”的次数3109204849791803139699频率0.5060.5070.4980.5010.492请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为(精确到0.1).16. 从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知口袋中仅有黑球10个和白球若干个，这些球除颜色不同外，其他都一样，由此估计口袋中有________个白球．17. 有五张卡片(形状、大小、质地等均相同)，正面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆．将卡片背面朝上洗匀，从中任取一张，其正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是________．18. 如图所示，一只蚂蚁从点A出发到D，E，F处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都等可能地随机选择一条向左下或右下的路径(比如A岔路口可以向左下到达B处，也可以向右下到达C处，其中A，B，C都是岔路口)．那么蚂蚁从点A 出发到达E处的概率是________．19. 一个不透明的袋中装有除颜色不同外其余均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出1个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球有________个．20. 已知电路AB由如图所示的开关控制，闭合a，b，c，d，e五个开关中的任意两个，则能使电路形成通路的概率是________．三、解答题（本大题共6道小题）21. 某射箭队准备从王方、李明二人中选拔1人参加射箭比赛，在选拔赛中，两人各射箭10次的成绩(单位:环)如下:次12345678910数王7109869971010方李89898898108明(1)根据以上数据，将下面两个表格补充完整:王方10次射箭得分情况环678910数频数频率李明10次射箭得分情况环678910数频数频率(2)分别求出两人10次射箭得分的平均数;(3)从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适.22.△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△(1)△△△△△△△△△△△△△△△△△△△______△△△△△△△△△5△△△△△____△△△△△____△△△△△△△△△△△△△△△△△△__△△__△△(2)△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△3△△△△△△△△△△△△△△△△△△23. 2019·常州将图中的A型(正方形)、B型(菱形)、C型(等腰直角三角形)纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．根据以上信息，解决下列问题：(1)搅匀后从中摸出1个盒子，盒子中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是________；(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回)，再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒子中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率(不重叠、无缝隙拼接)．24. (2019·甘肃天水)天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活动(每人只限一项)进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：(1)在这次调查中，一共抽查了__________名学生．(2)请你补全条形统计图．(3)扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为__________度．(4)请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？25. (2019·浙江台州)安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表．(1)宣传活动前，在抽取的市民中哪一类别的人数最多？占抽取人数的百分之几？(2)该市约有30万人使用电瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数；(3)小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数为178，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法．26. 在学习“二元一次方程组的解”时，张老师设计了一个数学活动．有A，B两组卡片，每组各3张，A组卡片上分别写有0，2，3；B组卡片上分别写有－5，－1，1.每张卡片除正面所写数字不同外，其余均相同．甲从A组卡片中随机抽取1张，将正面的数字记为x，乙从B组卡片中随机抽取1张，将正面的数字记为y.(1)若甲抽出的数字是2，乙抽出的数字是－1，它们恰好是方程ax－y＝5的解，求a的值；(2)在(1)的条件下，求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax－y＝5的解的概率(请用画树状图法或列表法求解)．2021中考数学尖子生培优训练统计与概率-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C[解析] 列表如下：由表可知，共有6种等可能的结果，其中积为正数的有(－1，－2)和(－2，－1)这2种，所以P(积为正数)＝26＝13.2. 【答案】A3. 【答案】C4. 【答案】B5. 【答案】B6. 【答案】C[解析] 根据题意，画树状图如下：共有6种等可能的结果，与5组成“V 数”的结果有2种(即658，856)，所以从4，6，8中任选两数分别作为个位和百位上的数字，与5组成“V 数”的概率为26＝13.7. 【答案】C8. 【答案】C[解析] 画树状图如下：∵共有30种等可能的结果，与7组成“中高数”的结果有12种，∴与7组成“中高数”的概率是1230＝25.9. 【答案】B[解析] 因为根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有13个，共13种情况，而能构成一个轴对称图形的有下列5种情况：所以使图中阴影部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是513.故选B.10. 【答案】B[解析] 因为132＝122＋52，即AB2＝BC2＋AC2，所以△ABC为直角三角形，所以△ABC的内切圆半径＝12×(12＋5－13)＝2.所以S△ABC＝12AC·BC＝12×12×5＝30，S圆＝4π.所以小鸟落在花圃上的概率＝S圆S△ABC＝4π30＝215π.故选B.二、填空题（本大题共10道小题）11. 【答案】众数[解析]出现次数最多的数据叫做众数，鞋厂通过调查销售的情况来决定如何生产，所以鞋厂最关注众数.12. 【答案】20[解析]摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是=，设口袋中大约有x个白球，则=，解得x=20.经检验，x=20是原方程的解，故答案为20.13. 【答案】甲班[解析]本题考查了从频数分布直方图、扇形统计图中获取数学信息的能力，由题意得:甲班D等级的有13人，乙班D等级的人数为40×30%=12(人)，13>12，所以D 等级这一组人数较多的班是甲班.故答案为:甲班.14. 【答案】22[解析]设袋中黑球的个数为x ，则摸出红球的概率为=，所以x=22.15. 【答案】0.516. 【答案】20[解析] 摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是50150＝13.设口袋中有x 个白球，则10x ＋10＝13， 解得x ＝20.经检验，x ＝20是原方程的解， 故答案为20.17. 【答案】25[解析] 五种图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有线段、圆2种，所以所求概率为25.18. 【答案】12 [解析] 画树状图如图所示：由树状图知，共有4种等可能的结果，蚂蚁从点A 出发到达E 处的结果有2种， 所以蚂蚁从点A 出发到达E 处的概率是24＝12.19. 【答案】8[解析] 由题意可得，摸到黑球和白球的频率之和为1－0.4＝0.6，所以球的总个数为(8＋4)÷0.6＝20， 所以红球有20－(8＋4)＝8(个)．20. 【答案】35 [解析] 列表如下：∴一共有20种等可能的结果，使电路形成通路的结果有12种， ∴使电路形成通路的概率是1220＝35.三、解答题（本大题共6道小题）21. 【答案】解:(1)填表如下.王方10次射箭得分情况 环数 6 7 8 9 10频数 1 2 1 3 3频率0.1 0.2 0.1 0.3 0.3李明10次射箭得分情况 环数 6 7 8 9 10频数 0 0 6 3 1频率0 0 0.6 0.3 0.1(2)=6×0.1+7×0.2+8×0.1+9×0.3+10×0.3=8.5，=8×0.6+9×0.3+10×0.1=8.5.(3)=×(6-8.5)2+2×(7-8.5)2+(8-8.5)2+3×(9-8.5)2+3×(10-8.5)2=1.85，=×6×(8-8.5)2+3×(9-8.5)2+(10-8.5)2=0.45，∵>，∴李明的成绩较稳定，∴选派李明参加比赛合适.22. 【答案】△△(1)△4025△45(2)△△△△△△3△△△△△△△△40×(1△20%△30%△40%)△4(△)△全班增加的发言总次数为：40%×40×1＋30%×40×2＋4×3＝16＋24＋12＝52(次)．23. 【答案】解：(1)2 3(2)画树状图如下：由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中“拼成的图形是轴对称图形”的结果有2种，故P(拼成的图形是轴对称图形)＝26＝13.24. 【答案】(1)8÷16%=50，所以在这次调查中，一共抽查了50名学生；(2)喜欢戏曲的人数为50–8–10–12–16=4(人)，条形统计图为：(3)扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数为360°×1650=115.2°；故答案为50；115.2；(4)1200×1250=288，所以估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共288名学生．25. 【答案】(1)宣传活动前，在抽取的市民中偶尔戴的人数最多，占抽取人数：510100%51%1000⨯=； 答：宣传活动前，在抽取的市民中偶尔戴的人数最多，占抽取人数的51%． (2)估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数：30万1771000⨯=5.31万(人)． 答：估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数5.31万人；(3)宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比：178100%896702224178⨯=+++8.9%，活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比：177100%17.7%1000⨯=， 8.9%<17.7%，因此交警部门开展的宣传活动有效果．26. 【答案】解：(1)把x ＝2，y ＝－1代入ax －y ＝5，得2a ＋1＝5，解得a ＝2. (2)由题意，列表如下：由表可知，共有9种等可能的结果，甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax－y ＝5的解的结果有3种，即(0，－5)，(2，－1)，(3，1)，所以甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax－y＝5的解的概率为39＝13.。
初中培优竞赛含详细解析 第11讲 统计与概率
1、（2、3）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、选择题、统计）一个样本为1，3，2，2，a，b，c. 已知这个样本的众数为3，平均数为2，那么这个样本的方差为 ( )A.8B.4C.87 D.47解析：已知样本平均数为2，得1+3+2+2+a+b+c=2×7=14，所以a+b+c = 6. 又因为样本众数为3，所以a，b，c三数中至少有两个3，则另一个为0.所以样本方差s2=17(1+1+0+0+1+1+4)=87⋅答案：C .技巧：理解平均数、众数、方差、标准差等统计术语的意义才能正确的求出这些数值.易错点：容易混淆平均数与众数、方差与标准差等概念而致错.2、（4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、选择题、概率）六个面上分别标有1，1，2，3，3，5六个数字的均匀立方体的表面展开图如下图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标，按照这样的规定，每掷一次该小立方体，就得到平面内一个点的坐标，已知小明前两次掷得的两个点能确定一条直线l，且这条直线l经过点P(4，7)，那么他第三次掷得的点也在直线l上的概率是( )A.23 B.12C.13D.16解析：每掷一次可能得到6个点的坐标是其中有两个点是重合的：1,1，1,1，2,3，3,2，3,5，5,3，通过描点和计算可以发现，经过1,1，2,3，3,5三点中的任意两点所确定的直线都经过点P4,7，所以小明第三次掷得的点也在直线l上的概率是46=23⋅答案：A.技巧：求事件发生的概率，要分析清楚该事件发生的所有可能情况，不能遗漏.易错点：求概率时容易遗漏可能发生的情况而致错.3、（3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、选择题、概率）平面直角坐标系内任选一点，它的坐标都是绝对值小于或等于4的整数，且所有这样的点被选中的概率相等，则所选的点到原点的距离至多是2个单位的概率是( )A.1381 B.1581C.1364D.π16解析：坐标是绝对值小于或等于4的整数的点，构成以原点为中心的9×9的点阵列. 而这些点中有13个点到原点的距离小于或等于2个单位，所以所求概率为1381⋅答案：A技巧：理解题意，分析清楚该事件发生的所有可能情况，不能遗漏.易错点：求概率时容易遗漏可能发生的情况而致错.4、（2、3）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、填空题、统计）五次测验的平均成绩是90，中位数（即5个成绩按大小次序排列，居中的那个数）是91，众数（即5个成绩中出现次数最多的那个数）是94，则最低两次测验的成绩之和是___________ .解析：比中位数91大的数至多2个，众数94至少出现2次，所以94恰好出现2 次.最低2次测验成绩之和是90×5−91−94×2=450−91−188=171.答案：171.技巧：把握题意，理解平均数、众数和中位数的概念，弄清要求的是什么.易错点：容易混淆平均数、众数和中位数的概念而致错.5、（3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、填空题、统计）有甲、乙、丙、丁四人，每三人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为29岁、23岁、21岁和17岁，则这四个人中最大年龄与最小年龄的差是____ 岁.解析：设年龄最大的a岁，年龄最小的d岁，另外两人的年龄为b岁和c岁，则有a +b +c +d 3=23a +a +b +c +d3=29, ①d +a +b +c 3=23d +a +b +c +d3=17,② 由①一②得23(a −d )=12,a −d =12×32=18.即所求的差是18. 答案：18.技巧： 根据题意设参数列出等式，然后通过变形来整体求值. 易错点：等式变形过程中容易出现计算失误.6、（4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、填空题、概率） 某广场地面铺满了边长为36cm 的正六边形地砖. 现在向上抛掷半径为6 3cm 的圆碟，圆碟落地后与地砖边缘不相交的概率大约是__ __.解析：欲使圆碟不压地砖间的间隙，则圆碟的圆心必须落在与地砖同中心、且边与地砖边彼此平行、距离为6 3cm 的小正六边形内（见下图）.作OC 1⊥A 1A 2于C l ，交B 1B 2于C 2，则C l C 2=6 3cm. 因为A 1A 2=A 2O =36,A 2C 1=18，所以C 1O =32A 2O =18 3,C 2O =C 1O −C 1C 2=12 3. 又因为C 2O =32B 2O ，所以B 2O =32O = 3×12 3=24. 而B 1B 2=B 2O ，则小正六边形的边长为24cm. 故所求概率P =小正六边形的面积正六边形的面积=(B 1B 2A 1A 2)2=(2436)2=49⋅答案：49.技巧：理解本题中几何图形落点的概率求法P =小正六边形的面积正六边形的面积.易错点：本题在求概率的时候容易理解成求圆碟的面积与正六边形地砖的面积之比而致错.7、（2、3）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、解答题、统计） 某校为了了解学生环保情况，对部分学生进行了一次环保知识测试（分数为整数，满分100分），根据测试成绩（最低分53分）分别绘制如下统计表和统计图，请你根据统计表和统计图回答下列问题：(1)这次参加测试的总人数为多少？(2)在76.5～84.5这一小组内的人数为多少？ (3)这次测试成绩的中位数落在哪个小组内？ (4)成绩在84.5～89.5之间的人数为多少？ 分析：通过观察图表即可得出所需要的数据.详解：(1)因为3+42=45，所以这次参加测试的总人数为45. (2)在76.5～84.5这一小组内的人数为45-3-7-10-8-5= 12. (3)这次测试成绩的中位数落76.5～84.5这一小组内.(4) 89.5分以上为8人，92.5分以上为5人，则89.5分到92.5分的有8-5=3人；又84.5～92.5之间的人数为8 人，所以成绩在84.5～89.5之间的人数为8-3=5人.8、（3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、解答题、统计） 某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次. 在第6次、第7次、第8次、第9次射击中，分别得到9.O 环、8.4环、8.1环、9.3环，他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数，如果要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他在第10次射击中至少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）分析：由于每次射击所得环数都精确到0.1环，故前9次射击的总环数至多为8.7×9−0.1环；要使10次射击的平均环数超过8.8环，则第10次最少要得(8.8×10+0.1)−78.2环. 详解：前9次射击的总环数至多为8.7×9−0.1=78.2，故第10次射击至少得(8.8×10+0.1)−78.2=9.9（环）.答：第10次射击至少要得9.9环.技巧：理解平均数的概念，以及“精确到0.1环” 和“高于”、“至少”等关键词之间的联系才能正确解答本题.易错点：容易忽视“精确到0.1环”和“高于”、“至少”等关键词之间的联系而致错.9、（4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、解答题、统计） 某学生为了描点作出函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象，取了自变量的7个值： x 1<x 2<⋯<x 7,且x 2−x 1=x 3−x 2=⋯=x 7−x 6，分别算出对应的y 的值，列出下表：但由于粗心算错了其中一个y 值，请指出算错的是哪一个值？正确的值是多少？并说明理由.分析：根据x 2−x 1=x 3−x 2=⋯=x 7−x 6，找出y k +1与y k 之间的联系，然后对照表格来发现规律.详解：设x 2−x 1=x 3−x 2−⋯=x 7−x 6=d >0，且x i 对应的函数值为y i . 则Δk =y k +1−y k = ax k +12+bx k +1+c − ax k 2+bx k +c =a (x k +d )2−x k 2 +b x k +d −x k =2adx k + ad 2+bd ,故Δk +1−Δk =2ad (x k +1−x k )=2ad 2（常数）. 由给出的数据y i ：51 107 185 285 407 549 717 得Δk ：56 78 100 122 142 168 Δk +1-Δk : 22 22 22 20 26由此可见，x 6=549是被算错的y 值，其正确值应该是407+(122+22)=551. 技巧：通过研究Δk +1与Δk 之间的关系来对照表格是解答本题的关键所在. 易错点：这类题容易被题目大量的数据所困惑，放弃理性思考数据的规律而致错.。
【中考冲刺】初三数学培优专题 11 是偶然还是必然—概率初步(含答案)(难)
是偶然还是必然—概率初步阅读与思考统计学是一门研究如何收集、整理、分析数据，并在此基础上作出推断的学科．在自然界和人类社会中，严格确定性的现象十分有限，不确定性现象却是大量存在的，而概率正是对随机现象的一种数学描述．数学中用概率来表示事件发生的机会大小，概率是一个比值，用字母P 表示，计算公式是：事件发生的概率P =所有可能结果结果该事件发生的所有可能在具体的计算中，常用到树形图、列表、穷举等方法．统计与概率互为基础，概率这一概念是建立在概率这一统计量稳定性的基础上的，而推断、估计等统计方法的科学性有赖于概率理论的严密性． 例题与求解【例1】一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8．同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是 ．（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）解题思路：用列表法列出所有情形．【例2】一项“过关游戏”规定：在第n 关要掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于43n ，则算过关；否则不算过关．现有下列说法：①过第一关是必然事件；②过第二关的概率是3635； ③可以过第四关；④过第五关的概率大于0．其中，正确说法的个数为（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解题思路：对于（2），在理解“过关”意义的基础上，逐步计算相关概率．【例3】如图，用红、蓝、黄三色将图中区域A ，B ，C ，D 染色，要求有公共边界的相邻区域不能染相 同的颜色，则满足区域A 恰好染蓝色的概率为 ． 解题思路：用树形图列出所有可能情形，或从整体考虑．【例4】小明准备给小陈打电话，由于保管不善，电话本上的小陈手机号码中，有两个数字已模糊不清．如果用x ，y 表示这两个看不清的数字，那么小陈的手机号码为139x 370y 580（手机号码由11个数字组成），小明记得这11个数字之和是20的整数倍．求小明一次拨对小陈手机号码的概率． 解题思路：建立关于x ，y 的不定方程，由此可得x ，y 可能的对应值的所有情况．【例5】杨华与李红用五张相同规格的硬币纸片做拼图游戏．硬纸片正面如下图1所示，背面完全一致．将它们背面朝上洗匀后，同时抽出两张．图2图1小山房子小人点灯规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得1分； 当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，李红得1分；问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？解题思路：游戏对双方公平是指双方积分相同．解题的关键是分别求出杨华、李红的得分．【例6】一个正三角形ABC 的每一个角各有一只蚂蚁，每只蚂蚁开始朝另一只蚂蚁做直线运动，目标角是随机选择．求蚂蚁不相撞的概率．（微软公司招聘面试试题）解题思路：三只蚂蚁在每个角上都有两种选择的方向（顺时针或逆时针），因每只蚂蚁选择的不确定性，故组成的各种情形似乎繁杂．出题用意就在于考查应试者摒除习惯因素的干扰、切中要害、化繁为简的能力．能力训练A 级1．如图1，图中有一个黑球，图2有3个同样大小的球叠成的图形，最下一层的2个球为黑色，其余为白色；图3为6个同样大小的球叠成德图形，最下一层的3个球为黑色，其余为白色；…则从第n 个图中随机取一个球，是黑球的概率为 ．（株洲市中考试题）2．有四张正面分别标有数字-3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将他们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，则使关于x 的分式方程xx ax -=+--21221有正整数解的概率为 ．（重庆市中考试题）3．小丁、小明、小倩在一起做游戏时，需要确定做游戏的先后顺序．他们约定用“剪刀、布、锤子”的方式确定．那么，在一个回合中三个人都出“布”的概率是 ．（海南省中考试题）4．对于平面内任意一个凸四边形ABCD ，现从以下四个关系式①AB=CD ；②AD=BC ；③AB//CD ；④ ∠A=∠C 中任取两个作为条件，能够得出这个四边形ABCD 是平行四边形的概率是 ．（广州市中考试题）5．在0，1，2三个数中任取两个，组成两位数，则在组成的两位数中是奇数的概率为（ ） A ．41 B ．61 C ．21 D ．43（泰安市中考试题）6．从分别写有数字1，2，3，4，5的五张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率为（ ） A ．51 B ．103 C ．52 D ．21（全国初中数学联赛试题）7．经过某十字路口的汽车，可能继续直行，也可能向左或向右转．若这三种可能性大小相同，则两汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为（ ） A ．31 B ．32 C ．91 D ．21（呼和浩特市中考试题）8．盒子里有十个球，每个球上写有1～10中的一个数字，不同的球上数字不同，其中两个球上的数字之和可能是3，4，…，19．现从盒中随意取两个球，这两个球上的数之和最有可能出现的是（ ） A ．2B ．10C ．11D ．209．一个口袋中有三个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，……不断重复上诉过程．小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（ ） A ．18个B ．15个C ．12个D ．10个（青岛市中考试题）10．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮同学随机地在大正方形及其内部区域投针．若直角三角形的两条直角边长分别是2和1，则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是（ ） A ．31B ．41 C ．51 D ．55（临沂市中考试题）11．有四张卡片（背面完全相同），分别写有数字1，2，-1，-2．把它们背面朝上洗匀后，甲同学抽取一张，记下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数字．用字母b ，c 分别表示甲、乙两同学抽出的数字．（1）用列表法求关于x 的方程02=++c bx x 有实数解的概率； （2）求（1）中方程有两个相同实数解的概率．12．将背面完全相同，正面分别写有数字1，2，3，4的四张卡片混合后，小明从中随机地抽取一张，把卡片上的数字作为被减数；将形状、大小完全相同，分别标有数字1，2，3的三个小球混合后，小华从中随机地抽取一个，把小球上的数字作为减数，然后计算出这两个数的差． （1）请你用画树形图或列表的方法，求这两个数差为0的概率；（2）小明与小华做游戏，规则是：若这两数的差为非负数，则小明赢；否则，小华赢．你认为该游戏公平吗？请说明理由．如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平．（重庆市中考试题）B 级1．一只盒子中有红球m 个，白球10个，黑球n 个，每个球除颜色外都相同．从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同．那么，m 与n 的关系是 ．（山东省竞赛试题）2．某广场地面铺满了边长为36cm 的正六边形地砖．现在向上抛掷半径为36cm 的圆碟，圆碟落地后与地砖间的间隙不相交的概率大约是 ．（太原市竞赛试题）3．甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100m 接力跑比赛．如果任意安排四位同学的跑步顺序，那么，恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（ ） A ．41B ．61 C ．81 D ．121（浙江省竞赛试题）4．一条绳子被任意割成两段，较长的一段至少是较短的一段的x 倍的概率为（ ） A ．21 B ．x 2 C ．11+x D ．x 1 E ．12+x （美国高中数学考试题）5．把一颗六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数n mx x y ++=2的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ） A ．125B ．94 C ．3617 D ．21（全国初中数学竞赛试题）6．长为1，2，3，4，5的线段各一条，从这五条线段中任取三条，能构成钝角三角形的概率为（ ） A ．101B ．107 C ． 51 D ．527．一张数学游戏在两个同学甲、乙之间进行．裁判在黑板上先写出正整数2，3，…，2006，然后随意擦去一个数，接下来由乙、甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中的一个数，然后甲再擦去另一个数，如此下去）．若最后剩下的两个数互质，则判甲胜；否则，判乙胜．按照这种游戏规则，求甲获胜的概率．（四川省竞赛试题）8．任意选择一对有序整数(b ，c )，其中每一个整数的绝对值小于或等于5，每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的．求方程02=++c bx x 没有相异正实根的概率．（美国高中数学考试题）9．袋中有数字卡片九张，其数字分别为1～9．若随机一次抽出三张，求被抽出的卡的数字全是奇数的概率．（香港中学数学竞赛试题）10．将20个球放入两个袋中，每袋10个球，各袋中的球分别标上自然数1～10，其中一袋中的球全是白色，另一袋中的球全为黑色．若从两个袋中任意各取一个球，求白球上的数比黑球上的数大的概率．（香港中学生数学竞赛试题）11．如图，将三枚相同的硬币依次放入一个4×4的正方形格子中（每个正方形格子只能放一枚硬币）．求所放的三枚硬币中，任意两个都不同行且不同列的概率．（四川省竞赛试题）12．在一个口袋中有n 个小球，其中两个是白球，其余为红球，这些球的形状、大小、质地完全相同．在看不到球的情况下，从袋中随机地取出一个球． （1）若取出的是红球的概率为53，求n 的值； （2）在（1）的条件下，把这n 个球中的两个标号为1，其余分别标号为2，3，…，n-1，随机地取出一个小球后不放回，再随机地取出一个小球，请用列表法或树形图求第二次取出的小球标号大于第一次取出的小球标号的概率；（3）若第（2）问去掉“在（1）的条件下”，且第二次取出的小球标号大于第一次取出的小球标号的概率为4522，求n 的值．。
初中数学概率与统计知识点详解与提高策略
初中数学概率与统计知识点详解与提高策略概率与统计是数学中重要的分支之一，它涉及到我们日常生活中的各种可能性和数据的分析与处理。
在初中阶段，概率与统计的学习内容主要包括概率的基本概念、事件的概率、频率与概率的关系、统计图表等。
本文将对这些知识点进行详解，并提供提高策略，帮助学生更好地掌握和应用概率与统计知识。
一、概率的基本概念概率是指事件发生的可能性大小，常用0到1之间的数表示。
在初中阶段，我们主要研究随机事件的概率以及如何计算概率。
随机事件是指结果不确定的事件，可以发生也可以不发生。
在概率的计算中，我们将期望事件发生的次数与试验总次数之比定义为概率。
例如，一个公平的骰子投掷试验中，投出1的次数与试验总次数之比为1/6。
二、事件的概率事件是由一个或多个结果组成的集合，事件的概率是指事件发生的可能性大小。
在初中数学中，我们常常通过列举样本空间、确定事件和使用频率来估计事件的概率。
样本空间是指随机试验所有可能结果的集合，事件是样本空间的一个子集。
通过统计频率来估计概率时，我们可以将事件发生的次数与试验总次数之比作为估计值。
例如，一个降雨的概率可以通过观察相同条件下的降雨次数与总次数之比来估计。
三、频率与概率的关系频率是指事件在大量试验中发生的次数，而概率是指在无限次试验中事件发生的可能性大小。
根据大数定律，当试验次数足够多时，事件的频率将趋近于概率。
因此，我们可以使用频率来估计概率。
例如，一个均匀硬币被抛掷100次，出现正面的次数为55次，那么我们可以估计正面出现的概率为55/100=0.55。
四、统计图表统计图表是用来展示数据分布规律的图形工具，常见的统计图表有直方图、条形图、折线图和饼图等。
初中阶段，我们需要学习如何制作和解读这些统计图表。
例如，通过制作折线图可以观察一个变量随时间的变化趋势；通过制作直方图可以观察一个变量的分布情况。
为了更好地掌握和应用概率与统计知识，我们可以采取以下提高策略：1. 理论与实践结合：学习概率与统计时，理论知识的学习是重要的一部分，但更重要的是将理论知识与实际问题相结合。
(精)中考数学专题复习之《统计与概率》说课教案
中考数学专题复习之《统计与概率》说课教案红安县典明中学陶汉桥尊敬的各位领导，老师们：大家好！我说课的内容是九年级数学专题复习课――统计与概率。
下面就本节课教学内容，教学设计意图和教学方法做一说明。
一、说教材(一)地位与作用统计与概率是初中数学教学的一个难点，也是中考时数学测试的一个重点。
(二)学情分析对九年级学生而言，他们已经具备了归纳的能力但是他们全面深入探究问题能力较弱，通过本节课的学习使学生在自主探索和合作交流的过程中将感性认识升华到理性认识，充分锻炼他们的思维能力。
(三)教学重难点:1．指导学生掌握解决有关《统计与概率》题目的方法。
2．引导学生分析解决有关《统计与概率》题目的思路。
(四)三维目标知识与技能:1、让学生认识常见《统计与概率》题型。
2、让学生掌握解决有关《统计与概率》题目的方法。
过程与方法：通过引用实例培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。
情感态度与价值观：使学生发现数学来源于生活而又应用于生活，激发学生的学习兴趣。
二、说教法依据《数学课程标准》中“变注重知识获得的结果为知识获得的过程”的教育理念，我以学生发展为立足点，以自主探索为主线，以求异创新为宗旨，采用多媒体辅助教学，运用直观演示，实际练习等教学方法，引导学生认真分析、自主探究、具体练习，让全体学生全程地参与到每个教学环节中，充分调动学生学习的积极性，培养学生的自主学习、解决实际问题的能力。
【设计意图】提高学生学习数学的兴趣，体现知识的层次与深度，有力的突出重点，突破难点。
三、说学法学生可采用"启发探究--观察发现--课堂讨论"的学习方法【设计意图】让学生经历规律的形成过程，加深对知识的理解四、说教学过程（一）知识要点复习(知识点陈列略)【设计意图】让学生再次重温教材，回归课本.加深对知识点的记忆理解。
（二）中考题型再现例1.(2012年武汉市)为了了解某区九年级7000名学生的体重情况，从中抽查了500名学生的体重，就这个问题来说，下面说法正确的是（）A. 7000名学生是总体B. 每个学生是个体C. 500名学生是所抽取的一个样本D. 样本容量为500【设计意图】 这个问题主要考查学生对总体、个体、样本、样本容量概念的理解。
统计与概率讲练北师大版九年级上市公开课一等奖省优质课获奖课件
下册阶段综合测试五(月考)┃ 试卷讲练
数学·新课标（BS） 第14页
下册阶段综合测试五(月考)┃ 试卷讲练
解：(1)如图 JD5－4 所示，两圆外切．
图 JD5－4 (2)劣弧 AB 和弦 AB 围成的图形的面积 S＝41π·4－12×2×2＝π－ 2.
数学·新课标（BS） 第15页
数学·新课标（BS） 第30页
九年级下册综合测试 ┃ 试卷讲练
图 QJ－7 (3)要使运动过程中出现 PQ∥DC，a 的取值范围是 a≥1＋34 2.
数学·新课标（BS） 第31页
初中总复习基础测试
数学·新课标（BS） 第32页
初中总复习基础测试┃ 试卷讲练
• 本卷考查初中数学全部重点内容，以基本知
九年级下册综合测试
数学·新课标（BS） 第16页
九年级下册综合测试 ┃ 试卷讲练
• 本卷综合考查九年级整年内容，共10个章节， 考查 其中代数部分占40%，几何部分占40%，统计 意图 与概率占20%，重点在于考查学生对于九年级
所学内容了解能力和应用能力．
易
难易 度
中
难
1、2、3、4、5、6、11、12、13、17、18、19、20 7、8、9、14、15、21、22 10、16、23、24
考查 意图
识点把握为主，其中基础题占60%，能力题占
25%，提升题占15%.
易
难易 度
中
难
1、2、3、4、5、6、11、12、13、17、18、19、20 7、8、9、14、15、21、22、23 10、16、24
知识 与
技能
数与代数 图形与几何 统计与概率
综合
1、2、6、9、11、12、13、14、17、21 3、5、8、15、16、18、19、22、23 4、7、20 10、24
七下数学培优第11讲概率初步
P(停在黑砖上)=
4 16
=
1 4
１．小猫在同样的地板上 走来走去，它最终停留在 白色方砖上的概率是多少？
12 P(停在白砖上)=
16 3 =4 （2）小明认为(1)的结果与下 面发生的概率相等:袋中装有 12个黑球和4个白球,这些球除 颜色外都相同，从中任意摸出 一球是黑球.你是同意吗?
第11讲 概率初步
知识要点
1、认识三种事件； （1）必然事件； （2）不可能事件； （3）不确定事件.
2、频率的稳定性； 用稳定的频率估计概率
3、等可能事件的概率计算 .
知识点1、认识三种事件
你猜你想
思考下列事件（一）： 如果随机投掷一枚均匀的骰子，那么 ⒈ 掷出的点数会是10吗？
⒉ 掷出的点数一定不超过6吗？ ⒊ 掷出的点数一定是1吗？
可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数 为奇数时乙胜.
课堂小结
1.确定事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一
定发生，这些事情称为必然事件．有些事情我们 事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可 能事件．必然事件与不可能事件统称为确定事件. 2.不确定事件
也有许多事情我们事先无法肯定它会不会发生， 这些事情称为不确定事件，也称为随机事件.
思考下列事件（三）：
⒈ 从商店买的饮料中奖 ⒉ 掷一枚硬币，有国徽的一面朝上。 ⒊ 买彩票恰好中奖 ⒋ 通过点名器找同学回答问题，
“××”被选中
★ 这件事情我们事先无法肯 定它会不会发生，这样的事件称 为不确定事件，也称为随机事件。
游戏: 摸球
甲袋中有10个白球，乙袋中有10个红球， 丙袋中有红球、白球共10个，且三个袋中 所有的球除颜色外，完全相同；
（1）摸到几号卡片的可能性最大？摸到几号卡
初中数学考点统计与概率.docx
统计初步与概率初步考点一、平均数1、平均数的概念（1）平均数：一般地，如果有 n 个数x1, x2, , x n,那么，1( x1 x2x n ) 叫xn做 n 个数的平均数，x作“x拔”。
（2）加平均数：如果 n 个数中，x1出f1次，x2出 f 2次，⋯， x k出 f k次（里 f1 f 2 f k n ），那么，根据平均数的定，n 个数的平均数可以表示x x1 f 1x2 f2x k fk，求得的平均数 x 叫做加平均数，其中 f1 , f 2 ,, fk叫做n。
2、平均数的算方法（1）定法当所数据 x1 , x2 , , x n , 比分散，一般用定公式：x 1( x1x2x n ) n（2）加平均数法：当所数据重复出，一般用加平均数公式：x x1 f1x2 f 2x k f k，其n中 f 1 f 2f k n 。
（3）新数据法：当所数据都在某一常数 a 的上下波，一般用化公式：x x' a 。
其中，常数 a 通常取接近数据平均数的“整”的数，x'1x1 a ，x' 2x2 a ，⋯，x'n x n a 。
x'1n( x'1x'2x'n) 是新数据的平均数（通常把x1, x2 ,, x n , 叫做原数据，x'1, x' 2 ,, x'n, 叫做新数据）。
考点二、学中的几个基本概念1、体所有考察象的全体叫做体。
2、个体总体中每一个考察对象叫做个体。
3、样本从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。
4、样本容量样本中个体的数目叫做样本容量。
5、样本平均数样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。
6、总体平均数总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。
考点三、众数、中位数1、众数在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
2、中位数将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
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1 2 3 4
的图象，取了自变量的 7 个值： ，分别算出对应的 y 的值，列出下表：
5 6 7
51
107
185
285
407
549
717
但由于粗心算错了其中一个 y 值，请指出算错的是哪一个值？正确的值是多少？并说明理 由. 分析：根据 规律。 详解：设 则 ，且 i 对应的函数值为 i. ，找出 与 之间的联系，然后对照表格来发现
故
（常数）.
由给出的数据 i：51 107 185 285 407 549 717 得 ：56 78 100 122 142 168 : 22 22 22 20 26
由此可见， 6=549 是被算错的 y 值，其正确值应该是 407+(122+22)=551. 技巧：通过研究 与 之间的关系来对照表格是解答本题的关键所在。
6、 （4、5） （数学、初中数学竞赛、填空题、概率） 某广场地面铺满了边长为 36cm 的正六边形地砖. 现在向上抛掷半径为 圆碟落地后与地砖边缘不相交的概率大约是__ __. cm 的圆碟，
解析：欲使圆碟不压地砖间的间隙，则圆碟的圆心必须落在与地砖同中心、且边与地砖边彼 此平行、距离为 cm 的小正六边形内（见下图）.
5、 （3、4） （数学、初中数学竞赛、填空题、统计）
有甲、乙、丙、丁四人，每三人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为 29 岁、23 岁、21 岁和 17 岁，则这四个人中最大年龄与最小年龄的差是____ 岁. 解析：设年龄最大的 a 岁，年龄最小的 d 岁，另外两人的年龄为 b 岁和 c 岁，则有 , ① ② 由①一②得 即所求的差是 18. 答案：18. 技巧： 根据题意设参数列出等式，然后通过变形来整体求值。 易错点：等式变形过程中容易出现计算失误。
解析： 每掷一次可能得到 ， ，
个点的坐标是 其中有两个点是重合的 ： ， ，
，
，
，
，通过描点和计算可以发现，经过
三点中的任意两点
所确定的直线都经过点
，所以小明第三次掷得的点也在直线 上的概率是
答案：A. 技巧：求事件发生的概率，要分析清楚该事件发生的所有可能情况，不能遗漏。 易错点：求概率时容易遗漏可能发生的情况而致错。
答案：C . 技巧：理解平均数、众数、方差、标准差等统计术语的意义才能正确的求出这些数值。 易错点：这类题容易混淆平均数与众数、方差与标准差等概念而致错。
2、 （4、5） （数学、初中数学竞赛、选择题、概率） 六个面上分别标有 1，1，2，3，3，5 六个数字的均匀立方体的表面展开图如下图所示， 掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为 该点的纵坐标，按照这样的规定，每掷一次该小立方体，就得到平面内一个点的坐标，已知 小明前两次掷得的两个点能确定一条直线 l，且这条直线 l 经过点 P(4，7)，那么他第三次掷 得的点也在直线 l 上的概率是 ( )
8、 （3、4） （数学、初中数学竞赛、解答题、统计） 某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击 10 次. 在第 6 次、第 7 次、第 8 次、第 9 次射击中，分别得到 9.O 环、8.4 环、8.1 环、9.3 环，他的前 9 次射击所得的平均环数高
于前 5 次射击所得的平均环数， 如果要使 10 次射击的平均环数超过 8.8 环， 那么他在第 10 次射击中至少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到 0.1 环） 分析： 由于每次射击所得环数都精确到 0.1 环， 故前 9 次射击的总环数至多为 要使 10 次射击的平均环数超过 8.8 环，则第 10 次最少要得 详解：前 9 次射击的总环数至多为 （环）. 答：第 10 次射击至少要得 9.9 环. 技巧：理解平均数的概念，以及“精确到 0.1 环” 和“高于” 、 “至少”等关键词之间的联 系才能正确解答本题。 易错点：容易忽视“精确到 0.1 环”和“高于” 、 “至少”等关键词之间的联系而致错。 ，故第 10 次射击至少得 环。 环；
(1)这次参加测试的总人数为多少？ (2)在 76.5～84.5 这一小组内的人数为多少？ (3)这次测试成绩的中位数落在哪个小组内？ (4)成绩在 84.5～89.5 之间的人数为多少？ 分析：通过观察图表即可得出所需要的数据。 详解：(1)因为 ，所以这次参加测试的总人数为 45.
(2)在 76.5～84.5 这一小组内的人数为 45-3-7-10-8-5= 12. (3)这次测试成绩的中位数落 76.5～84.5 这一小组内. (4) 89.5 分以上为 8 人， 92.5 分以上为 5 人， 则 89.5 分到 92.5 分的有 8-5=3 人； 又 84.5～ 92.5 之间的人数为 8 人，所以成绩在 84.5～89.5 之间的人数为 8-3=5 人.
易错点：这类题容易被题目大量的数据所困惑，放弃理性思考数据的规律而致错。
作 OC1⊥A1A2 于 Cl，交 B1B2 于 C2，则 ClC2= 所以 而
小正六边形的面积 正六边形的面积
cm. 因为 又因为
， ， 所以
， 则小正六边形的边长为 24cm. 故所求
概率 P
答案：
.
小正六边形的面积 正六边形的面积
技巧：理解本题中几何图形落点的概率求法 P
.
易错点：本题在求概率的时候容易理解成求圆碟的面积与正六边形地砖的面积之比而致错.
二、 填空题 4、 （2、3） （数学、初中数学竞赛、填空题、统计） 五次测验的平均成绩是 90， 中位数 （即 5 个成绩按大小次序排列， 居中的那个数） 是 91， 众数（即 5 个成绩中出现次数最多的那个数）是 94 ，则最低两次测验的成绩之和是 ___________ . 解析： 比 中 位 数 91 大 的数 至 多 2 个 ， 众 数 94 至少 出 现 2 次 ， 所 以 94 恰好 出 现 2 次 . 最低 2 次测验成绩之和是 答案：171. 技巧：把握题意，理解平均数、众数和中位数的概念，弄清要求的是什么。 易错点：容易混淆平均数、众数和中位数的概念而致错。
第 11 讲
一、 选择题
统计与概率
1、 （2、3） （数学、初中数学竞赛、选择题、统计） 一个样本为 1，3，2，2，a，b，c. 已知这个样本的众数为 3，平均数为 2，那么这个样 本的方差为 ( )
解析： 已知样本平均数为 2， 得
， 所以
c = 6. 又
因为样本众数为 3，所以 a，b，c 三数中至少有两个 3，则另一个为 0. 所以样本方差
3、 （3、4） （数学、初中数学竞赛、选择题、概率） 平面直角坐标系内任选一点，它的坐标都是绝对值小于或等于 4 的整数，且所有这样的 点被选中的概率相等，则所选的点到原点的距离至多是 2 个单位的概率是(
π
)
解析：坐标是绝对值小于或等于 4 的整数的点，构成以原点为中心的 9× 9 的点阵列. 而这些 点中有 13 个点到原点的距离小于或等于 2 个单位，所以所求概率为 答案：A 技巧：理解题意，分析清楚该事件发生的所有可能情况，不能遗漏。 易错点：求概率时容易遗漏可能发生的情况而致错。
三、解答题 7、 （2、3） （数学、初中数学竞赛、解答题、统计） 某校为了了解学生环保情况，对部分学生进行了一次环保知识测试（分数为整数，满 分 100 分） ，根据测试成绩（最低分 53 分）分别绘制如下统计表和统计图，请你根据统 计表和统计图回答下列问题：
分数 人数 59.5 分以下 3 59.5 分以上 42 69.5 分以上 32 79.5 分以上 20 89.5 分以上 8