广西南宁三中2019-2020学年下学期高二期末考试(普通班)文科数学试题(PDF版,无答案)
南宁市2019-2020学年数学高二下期末达标测试试题含解析
南宁市2019-2020学年数学高二下期末达标测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()12ln 1xf x x x =-+的定义域（ ）A ．()0,∞+B ．()1,-+∞C ．()0,1D ．()()0,11,+∞【答案】A 【解析】 【分析】解不等式010xx x ⎧>⎪+⎨⎪≥⎩即得函数的定义域.【详解】由题得010,0100xx x x x x x ⎧><->⎧⎪∴∴>+⎨⎨≥⎩⎪≥⎩或 所以函数的定义域为()0,∞+. 故选A 【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法，考查对数函数和幂函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．函数2(21)x y x -=-≤<的值域是 A ．1(,4]2B ．1[,2)2C ．1[,9]3D ．1[,4)2【答案】A 【解析】分析：由于函数122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭在R 上是减函数，且21x -≤<，利用单调性求得函数的值域 详解：函数122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭在R 上是减函数，且21x -≤<， ∴当1x =时，函数取得最小值为12当2x =-时，函数取得最大值为4故函数的值域为142⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选A点睛：本题主要考查的是指数函数的单调性，求函数的值域，较为基础。
3．集合{|22},{|13}A x x B x x =-<<=-≤<，那么A B =（ ）A ．{|23}x x -<<B ．{|-12}x x ≤<C ．{|21}x x -<≤D ．{|-23}x x <<【答案】D 【解析】 【分析】把两个集合的解集表示在数轴上，可得集合A 与B 的并集． 【详解】把集合A 和集合B 中的解集表示在数轴上，如图所示，则A ∪B={x|-2＜x ＜3}故选A ．【点睛】本题考查学生理解并集的定义掌握并集的运算法则，灵活运用数形结合的数学思想解决数学问题，属基础题．4．设函数()e x f x x a +-（a R e ∈，为自然对数的底数），若曲线31010y x x =上存在点00()x y ，使得00()f y y =，则a 的取值范围是 A ．1e[1]e-, B ．1e[e 1]e-+， C ．[1e 1]+， D ．[1,e]【答案】D 【解析】 【分析】法一：考查四个选项，发现有两个特殊值区分开了四个选项，0出现在了A ，B 两个选项的范围中，1e +出现在了B ，C 两个选项的范围中，故通过验证参数为0与1e +时是否符合题意判断出正确选项。
2019-2020学年南宁市数学高二第二学期期末达标测试试题含解析
2019-2020学年南宁市数学高二第二学期期末达标测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，点1F 关于渐近线的对称点恰好落在以2F 为圆心，2OF 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】设点1F 关于渐近线的对称点为点G ，该渐近线与1F G 交点为H ，由平面几何的性质可得2OF G ∆为等边三角形，设1F OH α∠=，则有tan b a α=；又223F OG ππα∠=-=，可得3πα=，代入离心率21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即可得出结果.【详解】设点1F 关于渐近线的对称点为点G ，该渐近线与1F G 交点为H ，所以OH 为线段1F G 的中垂线，故122OF OG OF F G ===，所以2OF G ∆为等边三角形，设1F OH α∠=，则有tan b a α=；又223F OG ππα∠=-=，可得3πα=， 所以离心率2211tan 23b e a π⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选:C 【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质以及渐近线和离心率，考查了学生逻辑推理与运算求解能力. 2．从a 、b 、c 中任取两个字母排成一列，则不同的排列种数为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】D 【解析】【分析】从a 、b 、c 中任取两个字母排成一列，直接利用排列数公式可得出结果. 【详解】由排列数的定义可知，从a 、b 、c 中任取两个字母排成一列，则不同的排列种数为236A =.故选：D. 【点睛】本题考查排列数的应用，考查计算能力，属于基础题.3．某县城中学安排4位教师去3所不同的村小支教，每位教师只能支教一所村小，且每所村小有老师支教．甲老师主动要求去最偏远的村小A ，则不同的安排有（ ） A ．6 B ．12 C ．18 D ．24【答案】B 【解析】 【分析】按照村小A 安排一个人和安排两个人两种情况分类讨论，按先分组后排序的方法，计算出不同的安排总数. 【详解】村小A 安排一人，则有2232C A ；村小A 若安排2人，则有1232C A .故共有1212323212C A C A +=.选B.【点睛】本小题主要考查分类加法计算原理，考查简单的排列组合计算问题，属于基础题. 4．如图，向量OZ uuu r对应的复数为Z ，则复数2z的共轭复数是（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】B 【解析】 【分析】由已知求得z ，代入2z，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：由图可知，1z i =-，∴222(1)11(1)(1)i i z i i i +===+--+， ∴复数2z的共轭复数是1i -． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 5．求函数2y x =- ）A ．[0，+∞）B ．[178，+∞） C ．[54，+∞） D ．[158，+∞） 【答案】D 【解析】 【分析】=t ，t ≥0，则x ＝t 2+1，y ＝2t 2﹣t+2，由此再利用配方法能求出函数y ＝2x【详解】=t ，t ≥0，则x ＝t 2+1， ∴y ＝2t 2﹣t+2＝2（t 14-）2151588+≥， 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的值域的求法，是基础题，解题时要注意换元法的合理运用． 6．已知随机变量X 满足条件X ～(),B n p ，且()()12125E X ,D X ==，那么n 与p 的值分别为 A ．4165, B ．2205,C ．4155,D ．3125,【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的均值与方差公式列方程组解出n 与p 的值． 【详解】∵X ～B （n ，p ）且()()12125E X D X ==，， ∴()121215np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得n ＝15，p 45=故选C ． 【点睛】本题考查了二项分布的均值与方差公式的应用，考查了运算能力，属于基础题． 7．若，则不等式的解集为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】由绝对值三角不等式的性质得出，由，得出，借助正弦函数图象可得出答案。
2019-2020学年南宁市名校数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析
2019-2020学年南宁市名校数学高二第二学期期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知a r ，b r 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足()()0a c b c -⋅-=r r r r，则c r 的最大值是( )A ．1B ．2C ．D ．2．如图所示，程序框图输出的某一实数y 中，若32y =，则菱形框中应填入( )A ．11i ≤B ．11i ≥C ．13i ≥D ．13i ≤3．请观察这些数的排列规律，数字1位置在第一行第一列表示为（1,1），数字14位置在第四行第三列表示为（4,3），根据特点推算出数字2019的位置A ．（45,44）B ．（45,43）C ．（45,42）D ．该数不会出现4． “0x =”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知复数z 满足2z zi i +=-（i 为虚数单位），则z =（ ）A 5B ．2C 10D ．16．已知二次函数2()f x x ax b =--在区间[1,1]-内有两个零点，则22H a b =+的取值范围为（ ） A ．(0,2]B ．2]C ．(0,1]D ．(3⎤⎦7． “3a =”是“圆O ：222x y +=与圆C ：()()228x a y a -+-=外切”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分条件也不必要条件8．已知函数()()()10xf x eax ax a a =--+≥，若有且仅有两个整数()1,2i x i =，使得()0i f x <，则a的取值范围为（ ）A ．1,121e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭B ．21,12e -⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．211,22e -⎛⎤⎥-⎝⎦D ．11,212e ⎛⎤⎥-⎝⎦ 9．某批零件的尺寸X 服从正态分布()210,N σ，且满足()198P x <=，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n 件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n 的最小值为（ ） A ．7 B ．6C ．5D ．410．已知21zi i=++，则复数z =（ ）AB ．2C ．13i -D ．13i +11．已知单位向量,OA OB u u u r u u u r 的夹角为60o ，若2OC OA OB u u u r u u u r u u u r=+，则ABC ∆为（ ） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形12．给出以下四个说法：①残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好；③在回归直线方程0.212ˆy x =+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位；④对分类变量X 与Y ，若它们的随机变量2K 的观测值k 越小，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大．其中正确的说法是()A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知曲线1xe y x a=+在1x =处的切线l 与直线230x y +=垂直，则实数a 的值为______.14．已知复数z ＝(m ＋1)＋(m ﹣2)i 是纯虚数（i 为虚数单位），则实数m 的值为_______． 15．已知随机变量X 服从正态分布()24,N σ，()60.78P X <=，则()2P X ≤=__________．16．()()2221z m m i m R =-+-∈，其共轭复数z 对应复平面内的点在第二象限，则实数m 的范围是____．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()f x 2x a x 1,a R =-+-∈．（1）若不等式()f x 4x 1≤--无解,求实数a 的取值范围； （2）当a 2<时，函数()f x 的最小值为2,求实数a 的值．18．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知sin 0,2A A a b +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积.19．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为325425x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），它与曲线C ：（y －2）2－x 2＝1交于A 、B 两点． （1）求|AB|的长；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为32,4π⎛⎫⎪⎝⎭，求点P 到线段AB 中点M 的距离．20．（6分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数，0a >），已知直线l 的方程为40x y -+=.（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值； （2）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围.21．（6分）已知数列{}n a 满足12a =，()12n n a a n N *+=∈，设()23log 2n n b a n N *=-∈，数列{}n c 满足n n n c a b =.（1）求证：数列{}n b 为等差数列； （2）求数列{}n c 的前n 项和n S .22．（8分）若展开式66nx x 中第二、三、四项的二项式系数成等差数列. （1）求n 的值及展开式中二项式系数最大的项； （2）此展开式中是否有常数项，为什么？参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，，表示到原点的距离，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C ．考点：平面向量数量积的运算． 2．B 【解析】分析：由已知中的程序语句可知，该程序功能是利用循环结构计算并输出实数对(,)x y ，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量的变化情况，可得答案． 详解：由题意，当1,1i y ==时， 第1次循环，不满足条件，3,2i y ==； 第2次循环，不满足条件，5,4i y ==； 第3次循环，不满足条件，7,8i y ==； 第4次循环，不满足条件，9,16i y ==；第5次循环，不满足条件，11,32i y ==，此时输出结果32y =， 所以判断框填写的条件应为11i ≥，故选B ．点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图的判断条件的添加问题，其中极大中应模拟程序框图的运行过程，把握程序框图的运算功能是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 3．C 【解析】 【分析】由所给数的排列规律得到第n 行的最后一个数为2n ，然后根据2452025=可推测2019所在的位置． 【详解】由所给数表可得，每一行最后一个数为2221,2,3,L ， 由于22441936,452025==，2244201945<<， 所以故2019是第45行的倒数第4个数， 所以数字2019的位置为（45,42）． 故选C ． 【点睛】（1）数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识． （2）解决归纳推理问题的基本步骤①发现共性，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)； ②归纳推理，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)． 4．C 【解析】分析：首先求得复数z 为纯虚数时x 是值，然后确定充分性和必要性即可. 详解：复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数，则：2010x x x ⎧-=⎨-≠⎩，即：011x x x ==⎧⎨≠⎩或，据此可知0x =， 则“0x =”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的充要条件本题选择C 选项.点睛：本题主要考查充分必要条件的判断，已知复数类型求参数的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5．C 【解析】 【分析】 整理得到21iz i-=+，根据模长的运算可求得结果. 【详解】由2z zi i +=-得：21iz i -=+21i z i -∴===+ 本题正确选项：C 【点睛】本题考查向量模长的求解，属于基础题. 6．A【解析】 【分析】先求出二次函数2()f x x ax b =--在区间[1,1]-内有两个零点，所需要的条件，然后再平面直角坐标系内，画出可行解域，然后分析得出22H a b =+的取值范围. 【详解】因为二次函数2()f x x ax b =--在区间[1,1]-内有两个零点，所以有：2(1)010(1)010*********f a b f a b a aa b ≥+-⎧⎧⎪⎪-≥--⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨-<-<-<-<⎪⎪⎪⎪∆>+>⎪⎪⎩⎩……，对应的平面区域为下图所示：则令2211120102222m a b b a m m m =+∴=-+∴<≤∴<≤，则22H a b =+的取值范围为(0,2]，故本题选A. 【点睛】本题考查了一元二次方程零点分布问题，正确画出可行解域是解题的关键. 7．B 【解析】 【分析】由圆O ：222x y +=与圆C ：()()228x a y a -+-=外切可得，圆心(0,0)O 到圆心(,)C a a 的距离是3 2. 求出a 的值，然后判断两个命题之间的关系。
2019年下学期广西省南宁市第三中学高二期中考试文科数学试卷(附答案)
2019年下学期广西省南宁市第三中学高二期中考试文科数学试卷（附答案）第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写在．．．．．．答题卷上．．．．） 1．已知集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =（ ） A ．{}1,3 B ．{}3,5 C ．{}5,7 D ．{}1,7 2．复数12i=2i+-（ ） A ．1i + B ．1i - C ．i D ．i -3．AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI 指数值的统计数据，图中点A 表示4月1日的AQI 指数值为201，则下列叙述不正确的是（ ）A ．这12天中有6天空气质量为“优良”B ．这12天中空气质量最好的是4月9日C ．从4日到9日，空气质量越来越好D ．这12天的AQI 指数值的中位数是904．设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 5．已知2sin 5α=，则cos 2=α（ ）A ．725 B ．725- C ．1725 D ．1725- 6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）A ．10-B ．6C ．14D ．187．已知向量(1,2)a m =-，(,3)b m =-，若a b ⊥，则实数m 等于（ ） A ．2-或3 B ．2或3- C ．3 D ．358． 已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若::1:1:4A B C =，则::a b c = （ ）A ．1:1:．2:2．1:1:2 D ．1:1:49．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．2 B．23D．10．在直角坐标系xOy 中，过点()1,2P 的直线lt 为参数)，直线l 与曲线22:(2)4C x y +-=交于,A B 两点，则PA PB ⋅的值是（ ） A ．1 B ．3 C．411．抛物线px y 22=与直线04=-+y ax 交于A ，B 两点，其中A 点的坐标是)2,1(．该抛物线的焦点为F ，则=+||||FB FA （ ） A ．5 B ．6 C．．712．已知方程23ln ||02x ax -+=有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2(,)3e -∞ B ．2)2e ∞(-， C ．2(0,)3e D ．2(0,)2e第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．）13．若变量,x y 满足约束条件102800x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =+的最小值为________．14．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若5116124,8a a a a ==，则89a a =_________15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若22()+6c a b =-，=3C π，则ABC∆的面积为_________．16．定义在R 上的函数()f x 满足(1)1f =，且对任意x R ∈都有1()2f x '<，则不等式221()2x f x +>的解集为_________．三、解答题（本题共6个小题，第17小题10分，其余小题各12分，共70分．解答应写出．．．．．必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．） 17．在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为cos()6πρθ+=（1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标．18．在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S ．19．某校100名学生期末考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100。
2019-2020学年南宁市名校数学高二下期末学业质量监测试题含解析
2019-2020学年南宁市名校数学高二(下)期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知x ，0y >，21x y +=，若21x y+>234m m ++恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．1m ≥-或4m ≤- B ．4m ≥或1m ≤- C ．41m -<<D ．14-<<m2．已知有相同两焦点F 1、F 2的椭圆25x + y 2=1和双曲线23x - y 2=1，P 是它们的一个交点，则ΔF 1PF 2的形状是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝有三角形D ．等腰三角形3．2018年6月14日，世界杯足球赛在俄罗斯拉开帷幕.通过随机调查某小区100名性别不同的居民是否观看世界杯比赛，得到以下列联表：经计算2K 的观测值8.249k ≈. 附表：参照附表，所得结论正确的是（ ）A ．有99.9%以上的把握认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”B ．有99.9%以上的把握认为“该小区居民是否观看世界杯与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别无关” 4．已知()3223f x x ax bx a =+++在1x =-处有极值0，且函数()321233g x x x =+-在区间(),5c c +上存在最大值，则a b c -+的最大值为（ ） A ．-6B ．-9C ．-11D ．-45．从A ，B ，C ，D ，E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( ) A ．24 B ．48 C ．72D ．1206．从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，分别派到西部的三个不同地区，要求3人中既有男公务员又有女公务员，则不同的选派议程种数是（ ） A ．70B ．140C ．420D ．8407．已知空间向量(3,a =r 1，0)，(),3,1b x =-r ，且a b ⊥r r ，则(x = )A ．3-B ．1-C ．1D ．28．已知()xae f x x=，[]1,3x ∈且()()12122f x f x x x -<-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．28(,]e -∞ B ．39[,)e +∞ C ．28[,)e +∞ D ．39 ,e ⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦9．某次运动会中，主委会将甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到三个不同比赛项目中担任服务工作，每个项目至少1人，若甲、乙两人不能到同一个项目，则不同的安排方式有（ ） A ．24种B ．30种C ．36种D ．72种10．设随机变量X 服从正态分布()2N 3, σ，若P(X 4)0.7<=，则P(x 2)<=A ．0.3B ．0.6C ．0.7D ．0.8511．在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为 A ．B ．C ．D ．12．已知()3f x x x =+是定义在R 上的函数，且对于任意()0x π∈，，不等式()()sin 1cos 0f x x f x a -+-≤恒成立，则整数a 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知2i 1-是方程220x px q ++=(,)p q ∈R 的一个根，则p q +=________14．ABC ∆中，1,2AB AB AC =⋅=u u u r u u u r，则tan ACB ∠的最大值为____________.15．甲、乙两名运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为23，乙胜的概率为13．如果比赛采用“五局三胜”制，求甲以3:1获胜的概率P =______ 16．函数y x =与函数12y x =在第一象限的图象所围成封闭图形的面积是_____．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．足球是世界普及率最高的运动，我国大力发展校园足球.为了解本地区足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据： 年份x2014 2015 2016 20172018 足球特色学校y （百个）0.300.601.001.401.70（1）根据上表数据，计算y 与x 的相关系数r ，并说明y 与x 的线性相关性强弱.（已知：0.75||1r ≤≤，则认为y 与x 线性相关性很强；0.3||0.75r ≤<，则认为y 与x 线性相关性一般；||0.25r ≤，则认为y 与x 线性相关性较）：（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测A 地区2020年足球特色学校的个数（精确到个）.参考公式和数据：()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑，()2110,ni i x x =-=∑()211.3,ni i y y =-=∑13 3.6056≈，()()()121ˆ,niii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑ˆˆa y bx=-. 18．已知椭圆()222:220C x y b b +=>.（1）求椭圆C 的离心率e ；（2）若1b =，斜率为1的直线与椭圆交于A 、B 两点，且211AB =，求AOB ∆的面积. 19．（6分）设函数()1f x x x a =++-． （1）当1a =时，解不等式()4f x ≤；（2）若关于x 的不等式()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．20．（6分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD ⊥底面ABCD ．（1）证明：PA ⊥BD ；（2）若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值．21．（6分）用数学归纳法证明：()()()2222*24(2)221335212121n n n n N n n n +++⋯+=∈⋅⋅-++． 22．（8分）为促进全面健身运动，某地跑步团体对本团内的跑友每周的跑步千米数进行统计，随机抽取的100名跑友，分别统计他们一周跑步的千米数，并绘制了如图频率分布直方图.（1）由频率分布直方图计算跑步千米数不小于70千米的人数； （2）已知跑步千米数在[20,30)的人数是跑步千米数在[60,70)的110，跑步千米数在[40,50)的人数是跑步千米数在[50,60)的12，现在从跑步千米数在[20,40)的跑友中抽取3名代表发言，用ξ表示所选的3人中跑步千米数在[20,30)的人数，求ξ的分布列及数学期望.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】分析：用“1”的替换先解21x y+的最小值，再解m 的取值范围。
南宁市2019-2020学年新高考高二数学下学期期末达标测试试题
同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC l ⊥，BD l ⊥且1AB AC ==，2BD =，则CD 的长为 A ．1B ．3C ．2D ．52．已知函数()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程是210x y -+=，若()()f x h x x=，则()2h '=（ ） A ．12B ．12-C ．18- D ．583．已知定义在上的函数的导函数为，若， 则不等式的解集为（ ） A ．B ．C ．D ．4．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元） 8.28.610.011.311.9支出y （万元） 6.27.5 8.0 8.5 9.8根据表中数据可得回归直线方程0.76y x a =+，据此估计，该社区一户年收入为20万元家庭的年支出约为( ) A ．15.2B ．15.4C ．15.6D ．15.85．甲乙两人有三个不同的学习小组A ， B ， C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．166．已知集合{}21,A x x =+，{}1,2,3B =，且A B ⊆，则实数x 的值是（ ）A ．1-B ．1C ．3D ．47．复数21i-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知ABC ∆中，2AB =，4B π=，6C π=，点P 是边BC 的中点，则AP BC ⋅等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．给出以下命题，其中真命题的个数是( )①若“p ⌝或q ”是假命题，则“p 且q ⌝”是真命题 ②命题“若a b 5+≠，则a 2≠或b 3≠”为真命题③已知空间任意一点O 和不共线的三点,,A B C ，若111OP OA OB OC 632=++，则,,,P A B C 四点共面； ④直线()y k x 3=-与双曲线22x y 145-=交于,A B 两点，若AB 5=，则这样的直线有3条；A ．1B ．2C ．3D ．410．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f ，…，可推出(10)f =（ ） A ．271B ．272C ．273D ．27411．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A ．至少有一个红球与都是红球 B ．至少有一个红球与都是白球 C ．恰有一个红球与恰有二个红球 D ．至少有一个红球与至少有一个白球12．已知函数()sin x x f x e e x x -=-+-（其中e 为自然对数的底数），则不等式()2(3)f x x f x -<+的解集为（ ） A ．(1,3)-B ．(3,1)-C ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞D ．(,1)(3,)-∞-+∞二、填空题：本题共4小题13．求函数()xe f x x=的单调增区间是__________．14．函数()2ln 2f x x x =+-的零点个数为__________.15．把6个学生分配到3个班去，每班2人，其中甲必须分到一班，乙和丙不能分到三班，不同的分法共有__________种.16．球的半径为5cm ，被两个相互平行的平面所截得圆的直径分别为6cm 和8cm ，则这两个平面之间的距离是_______cm .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
南宁市第三中学2019_2020学年高二数学下学期月考试题三文含解析
广西南宁市第三中学2019-2020学年高二数学下学期月考试题（三)文(含解析）一、选择题(本题共12小题,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1。
已知集合{}{}|32,,|24A x x n n Z B x x ==+∈=-<<，则A B =（)A 。
∅B 。
{}1,2- C. {}1- D 。
{}2【答案】B 【解析】 【分析】先计算集合A ,再计算A B 得到答案。
【详解】{}{}|32,=...,4,1,2,5,...A x x n n Z ==+∈--，{}|24B x x =-<< 故{}1,2AB =-。
故选B【点睛】本题考查了集合的交集运算,属于基础题型. 2.i 为虚数单位，复数11z i =-在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限 C 。
第三象限 D 。
第四象限【答案】A 【解析】 【分析】 化简得到1122z i =+，得到对应象限. 【详解】由11z i=-，则111(1)(1)22+==+-+i z i i i ，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，即复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选：A 。
【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数对应象限，属于简单题。
3。
函数[]22,0,3y x x x =-∈的值域为（ ）A 。
[]0,3B 。
[]1,3C 。
[]1,0-D. []1,3-【答案】D 【解析】分析：利用二次函数的性质即可得出答案。
解析：()22211y x x x =-=--，∴对称轴为1x =，抛物线开口向上，03x ≤≤,∴当1x =时，min1y=-，1-距离对称轴远，∴当3x =时，max3y=,∴13y -≤≤.故选：D 。
点睛：二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键都是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论4.函数43y x =的图像大致是( ）A 。
2019-2020学年广西壮族自治区南宁市第三中学高二12月月考数学(文)试题(解析版)
2019-2020学年广西壮族自治区南宁市第三中学高二12月月考数学（文）试题一、单选题 1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】依题意得：，所以，故，故选C.2．若双曲线()222213x y a o a -=>的离心率为2，则a 等于( )A ．2B 3C ．32D ．1【答案】D【解析】由222231323x y c a b e a a 可知虚轴，而离心率+-=====，解得a=1或a=3，参照选项知而应选D.3．若实数x ，y 满足2211y x y x y x ≥-⎧⎪≥-+⎨⎪≤+⎩，则3z x y =-的最大值是A ．2-B ．1-C ．5D ．3【答案】C【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点()3,4处取得最大值为5.4．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A．1 B．13C．12D．14【答案】B【解析】首先由三视图得到几何体为四棱锥，根据图中数据明确底面和高，即可求得该几何体的体积．【详解】由已知三视图得到几何体是四棱锥，底面是两边分别为12的平行四边形，高为1，如图所示：∴该几何体的体积为111211323V =⨯⨯⨯⨯= 故选B. 【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.5．“x a >”是“x a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确选项. 【详解】当“x a >”时，如1,1x a ==-，x a =，故不能推出“x a >” .当“x a >”时，必然有“x a >”.故“x a >”是“x a >”的必要不充分条件. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查含有绝对值的不等式，属于基础题. 6．已知22log 3a =，4logb π=，30.6c -=a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b c a >> B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B【解析】采用“0,1”分段法，找到小于0、在0~1之间和大于1的数，由此判断出三者的大小关系. 【详解】因为010.6c >=，401log 4b <<=，0a <，所以c b a >>.故选B. 【点睛】本题考查指数与对数值的大小比较，考查运算求解能力，属于基础题.7．某校高一年级从815名学生中选取30名学生参加庆祝建党98周年的大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从 815 人中剔除5人，剩下的810人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（ ） A ．不全相等 B ．均不相等C ．都相等，且为6163D ．都相等，且为127【答案】C【解析】抽样要保证机会均等，由此得出正确选项. 【详解】抽样要保证机会均等，故从815名学生中抽取30名，概率为306815163=，故选C. 【点睛】本小题主要考查简单随机抽样、系统抽样等抽样方法的概念，属于基础题.8．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a ，b]上的两个函数，若函数y=f(x)- g(x)在x ∈[a ，b]上有两个不同的解，则称f(x)和g(x)在[a ，b]上是“关联函数”，区间[a ，b]称为“关联区间”．若f(x)=x 2-3x+4与g(x)=2x+m 在[0，3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为（ ）． A ．9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦B ．[]1,0-C ．(],2-∞-D ．9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【详解】∵2()34f x x x =-+与()2g x x m =+在[0,3]上是“关联函数”∴函数2()()()54y h x f x g x x x m ==-=-+-在[0,3]上有两个不同零点∴(0)40(3)20525()4024h m h m h m ⎧⎪=-≥⎪=--≥⎨⎪⎪=-+-<⎩，解得924m -<≤-.故选A.9．已知数列{}n a 满足11a =，*12()n n n a a n N +⋅=∈，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）A ．201820182a =B ．10092018323S =⋅- C ．数列21{}n a -是等差数列 D ．数列{}n a 是等比数列【答案】B【解析】分析：由11a =，()*12n n n a a n N +⋅=∈可知数列{}n a 隔项成等比，再结合等比的有关性质即可作出判断.详解：数列{}n a 满足11a =，()*12n n n a a n N +⋅=∈， 当n 2≥时，112n n n a a --⋅=两式作商可得：112n n a a +-=， ∴数列{}n a 的奇数项135a a a L ，，，，成等比， 偶数项246a a a L ，，，，成等比， 对于A 来说，20181100810092201822222aa -=⨯=⨯=，错误；对于B 来说，()()2018132017242018S a a a a a a L L =+++++++()()1009100910091122123231212⨯-⨯-=+=⋅---，正确；对于C 来说，数列{}21n a -是等比数列 ，错误； 对于D 来说，数列{}n a 不是等比数列，错误， 故选：B点睛：本题考查了由递推关系求通项，常用方法有：累加法，累乘法，构造等比数列法，取倒数法，取对数法等等，本题考查的是隔项成等比数列的方法，注意偶数项的首项与原数列首项的关系.10．已知 12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF 2 |>| PF 1 |，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，112||||PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A ．4 B ．6C．D ．8【答案】D【解析】由题意可得112||||2PF F F c ==，再设椭圆和双曲线得方程，再利用椭圆和双曲线的定义和离心率可得2133e e +的表达式，化简后再用均值不等式即可求解. 【详解】由题意得：112||||2PF F F c ==，设椭圆方程为221122111(0)x y a b a b +=>>，双曲线方程为222222221(0,0)x y a b a b -=>>，又∵121212||||2,||||2PF PF a PF PF a +=-=.∴2122||+22,||22PF c a PF c a =-=，∴122a a c -=，则22112122393333e a a a c c e a c ca ++=+= 2222229(2)3633c a a c a c ca c a ++==++2236683a c c a =++≥=，当且仅当2233a c c a =，即23e =时等号成立.则2133e e +的最小值为8. 故答案为：8. 【点睛】考查椭圆和双曲的定义,焦半径公式以及离心率，其中将2133e e +化为22911(18)18)833a c c a ++≥=为解题关键，注意取等号. 11．设棱锥M ABCD -的底面是正方形，且,MA MD MA AB =⊥,AMD △的面积为1，则能够放入这个棱锥的最大球的半径为 A．2 B1C．12-D．1-【答案】B【解析】设球O 是与平面MAD 、平面AC 、平面MBC 都相切的球，然后找出球心所在的三角形，设AD EF a ==，求出内切圆半径然后利用基本不等式即可求出最大值． 【详解】解：AB AD ⊥Q ，AB MA ⊥，AB ∴⊥平面MAD ，由此，面MAD ⊥面ABCD ． 记E 是AD 的中点，从而ME AD ⊥．ME ∴⊥平面ABCD ，ME EF ⊥．设球O 是与平面MAD 、平面ABCD 、平面MBC 都相切的球． 不妨设O ∈平面MEF ，于是O 是MEF V 的内心． 设球O 的半径为r ，则2MEFS r EF EM MF=++V设AD EF a ==，1AMD S =V Q所以2ME a ∴=，222MF a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以222122222r a a a a =≤=-+⎛⎫+++ ⎪⎝⎭.当且仅当2a a=，即2a =时，等号成立. ∴当2AD ME ==时，满足条件的最大半径为21-.【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，注意多边形内切圆半径与面积和周长间的关系；多面体内切球半径与体积和表面积间的关系，属于中档题．12．定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：由已知条件知函数为奇函数且在上为减函数,由有,所以，,若以为横坐标,为纵坐标,建立平面直角坐标系,如图所示,阴影部分为不等式表示的平面区域,即及其内部,,令,则,求出,所以,解得,∴的取值范围是,选D.【考点】1.函数的基本性质；2.线性规划.【方法点睛】本题主要考查了函数的性质:单调性和奇偶性,以及线性规划的相关知识,属于中档题. 利用已知条件得出函数是上的减函数,由函数的图象关于成中心对称，根据图象的平移,得出的图象关于原点成中心对称,所以为奇函数,解不等式,得出,画出不等式组表示的平面区域,,则,通过图形求关于的一次函数的斜率得出的范围,从而求出的范围.二、填空题13．已知x，y满足方程（x﹣2）2+y2＝1，则yx的最大值为__________3【解析】求出圆的圆心坐标，圆的半径，利用圆心到直线的距离等于半径求出k的值即可．【详解】x，y满足方程（x﹣2）2+y2＝1，圆的圆心（2，0），半径为1，设ykx=，即kx ﹣y＝0，要求x，y满足方程（x﹣2）2+y 2＝1，yx的最大值，就是求圆的圆心到直线的距离等于半径，即：2211kk=+，解得k3=±，所求yx的最大值为：3．故答案为3．【点睛】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查了表达式yx的几何意义，考查计算能力．14．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为__★__【答案】【解析】根据椭圆的标准方程及焦点在轴上，可得k的不等式组，解不等式组即可得k的取值范围。
2019-2020学年广西南宁三中高二下学期 期中数学试卷(文科) (解析版)
2019-2020学年高二第二学期期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知复数z满足：zi＝1+i（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣i B．i C．1D．﹣12．观察数列1，ln2，sin3，4，ln5，sin6，7，ln8，sin9……，则该数列的第11项等于（）A．1111B．11C．ln11D．sin113．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝3a5，则一定成立的是（）A．a4＝0B．a5＝0C．a6＝0D．a9＝04．函数f（x）＝﹣2x+lnx的图象在x＝1处的切线方程为（）A．x+y+1＝0B．x﹣y+1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y﹣1＝05．已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是（）A．x216+y27=1B．x27+y216=1C．x264+y228=1D．x228+y264=16．为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农民户籍各50人；男性60人，女性40人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（）A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B．是否倾向选择生育二胎与性别无关C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F依次是A1D1和B1C1的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为（ ）A ．35B ．45C ．2√55D ．08．某企业有2个分厂生产某种零件，为了研究两个分厂生产零件的质量是否有差异，随机从2个分厂生产的零件中各抽取了500件，具体数据如表所示：甲厂 乙厂 总计 优质品 360 320 680 非优质品 140 180 320 总计5005001000根据表中数据得K 2=1000×(360×180−320×140)2680×320×500×500≈7.353，从而断定两个分厂生产零件的质量有差异，那么这种判断出错的最大可能性为（ ） 附表： P （k 2≥k 0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 2.7063.8415.0246.6357.87910.828A ．0.1B ．0.01C ．0.05D ．0.0019．已知直线2mx +ny ＝2（m ＞0，n ＞0）过圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5的圆心，则1m+1n的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．函数y =lnx 2x的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数f （x ）={x 2−x ，x ≤0ln(x +1)，x ＞0，若存在x 0∈R 使得f （x 0）≤ax 0﹣1，则实数a的取值范围是（ ） A ．（0，+∞）B ．[﹣3，0]C ．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）D ．（﹣∞，﹣3]∪（0，+∞）12．定义方程f （x ）＝f '（x ）的实根x 0叫做函数f （x ）的“新驻点”，若函数g （x ）＝xe x +1，h （x ）＝lnx +1，φ（x ）＝x 3﹣1的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数f （x ）=13x 3+x 2﹣3x ﹣1的极小值是 ．14．已知函数f （x ）定义域为R ，f （1）＝2，f （x ）在R 上的导数f ′（x ）满足f ′（x ）﹣3＞0，则不等式f （x ）＜3x ﹣1的解集为 ．15．关于x 的不等式x 2lnx ﹣kx +x ≥0恒成立，实数k 的取值范围是 ． 16．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1作圆x 2+y 2＝a 2的切线交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2=π4，则双曲线的离心率为 ． 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△BC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 已知√3b cos C ＝c sin B ． （Ⅰ）求角C 的大小（Ⅱ）若c ＝2√7，△ABC 的面积为6√3，求△ABC 的周长．18．长沙某公司对其主推产品在过去5个月的月广告投入x i （百万元）和相应的销售额y i（百万元）进行了统计，其中i ＝1，2，3，4，5，对所得数据进行整理，绘制散点图并计算出一些统计量如下：∑ 5i=1x i ∑ 5i=1w i ∑ 5i=1y i ∑ 5i=1(x i −x)(y i −y)∑ 5i=1(w i −w)(y i −y) ∑ 5i=1(x i −x)2 ∑ 5i=1(w i −w)6810.315.8﹣192.121.6020.46 3.56其中w i ＝x i 2，i ＝1，2，3，4，5．（1）根据散点图判断，y ＝bx +a 与y ＝cx 2+d 哪一个适宜作为月销售额关于月广告投入x i 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及题中所给数据，建立y 关于x 的回归方程，并据此估计月广告投入200万元时的月销售额．附：对于一组数据（u 1，v 1），（u 2，v 2），…，（u n ，v n ），其回归直线v ＝α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=∑ n i=1(u i −u)(v i −v)∑ ni=1(u i −u)2，α=v −βu ．19．如图所示，四棱锥S ﹣ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AB ＝AD ＝SA ＝1，BC ＝2，M 为SB 的中点． （1）求证：AM ∥平面SCD ； （2）求点B 到平面SCD 的距离．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√63，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为√2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设与圆O ：x 2+y 2=34相切的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点（O为坐标原点），求△AOB 面积的最大值．21．已知函数f(x)=ae x +a+1x−2(a +1)． （1）讨论当a =1，x ≥√2时，函数f （x ）的单调性；（2）当f （x ）≥0对任意的x ∈（0，+∞）恒成立，其中a ＞0．求a 的取值范围． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4极坐标与参数方程]22．已知直线l 的参数方程为{x =12+√32t y =12t （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P （12，0），直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AP |+|PB |的值．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +2| （1）解不等式f （x ）＞5；（2）若不等式f （x ）＜a （a ∈R ）的解集为空集，求a 的取值范围．参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z满足：zi＝1+i（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣i B．i C．1D．﹣1【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由zi＝1+i，得z=1+ii=(1+i)(−i)−i2=1−i，∴z的虚部为﹣1．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．观察数列1，ln2，sin3，4，ln5，sin6，7，ln8，sin9……，则该数列的第11项等于（）A．1111B．11C．ln11D．sin11【分析】通过观察数列得出规律，数列中的项是按正整数顺序排列，且以3为循环节，由此判断第11项是哪个数．解：由数列得出规律，按照1，ln2，sin3，…，是按正整数的顺序排列，且以3为循环节，由11÷3＝3余2，所以该数列的第11项为ln11．故选：C．【点评】本题考查了归纳推理的应用问题，是基础题．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝3a5，则一定成立的是（）A．a4＝0B．a5＝0C．a6＝0D．a9＝0【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质进行转化即可得出．解：因为S9＝9a5＝3a5，所以a5＝0．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．函数f（x）＝﹣2x+lnx的图象在x＝1处的切线方程为（）A．x+y+1＝0B．x﹣y+1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y﹣1＝0【分析】求出函数的导数，得到切线的斜率，即可判断选项的正误；解：函数f（x）＝﹣2x+lnx，可得f′（x）＝﹣2+1 x，函数f（x）＝﹣2x+lnx的图象在x＝1处的切线的斜率为：f′（1）＝﹣1．切点坐标为：（1，﹣2），函数f（x）＝﹣2x+lnx的图象在x＝1处的切线方程为y+2＝﹣（x﹣1）即x+y+1＝0．故选：A．【点评】本题考查曲线的曲线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．5．已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是（）A．x216+y27=1B．x27+y216=1C．x264+y228=1D．x228+y264=1【分析】由题意求出a、c和b2，根据焦点在x轴上写出椭圆的标准方程．解：由题意知，2a＝8，解得a＝4；又e=34，即c4=34，解得c＝3；所以b2＝a2﹣c2＝7；又椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的方程为x216+y27=1．故选：A．【点评】本题考查了椭圆的标准方程计算问题，是基础题．6．为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农民户籍各50人；男性60人，女性40人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（）A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B．是否倾向选择生育二胎与性别无关C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数【分析】利用柱形图的性质直接求解．解：由不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，知：在A中，城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为40%，农村户籍倾向选择生育二胎的比例为80%，∴是否倾向选择生育二胎与户籍有关，故A正确；在B中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，∴是否倾向选择生育二胎与性别无关，故B正确；在C中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为60×60%＝36人，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为40×60%＝24人，∴倾向选择生育二胎的人员中，男性人数比女性人数多，故C错误；在D中，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数为50×（1﹣80%）＝10人，城镇户籍人数为50×（1﹣40%）＝30人，∴倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，故D正确．故选：C．【点评】本题考查柱形图的应用，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题．7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F依次是A1D1和B1C1的中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值为（）A ．35B ．45C ．2√55D ．0【分析】由两异面直线所成角的作法得：连接ED ，则ED ∥FC ，则∠AED （或其补角）为异面直线AE 与CF 所成角，由余弦定理得：cos ∠AED =AE 2+DE 2−AD 22×AE×DE =35，即异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为35，得解．解：连接ED ，则ED ∥FC ，则∠AED （或其补角）为异面直线AE 与CF 所成角， 在△ADE 中，设D 1E ＝a ，则AE ＝DE =√5a ，AD ＝2a ， 由余弦定理得：cos ∠AED =AE 2+DE 2−AD 22×AE×DE =35， 即异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为35，故选：A ．【点评】本题考查了两异面直线所成角的作法及余弦定理，属中档题．8．某企业有2个分厂生产某种零件，为了研究两个分厂生产零件的质量是否有差异，随机从2个分厂生产的零件中各抽取了500件，具体数据如表所示：甲厂 乙厂 总计 优质品 360 320 680 非优质品140180320总计 500500 1000根据表中数据得K 2=1000×(360×180−320×140)2680×320×500×500≈7.353，从而断定两个分厂生产零件的质量有差异，那么这种判断出错的最大可能性为（ ） 附表： P （k 2≥k 0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 2.7063.8415.0246.6357.87910.828A ．0.1B ．0.01C ．0.05D ．0.001【分析】根据观测值K 2，对照临界值得出结论． 解：由题意知，K 2≈7.353＞6.635，根据附表可得判断秃发与患有心脏病有关出错的可能性为0.01． 故选：B ．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．9．已知直线2mx +ny ＝2（m ＞0，n ＞0）过圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5的圆心，则1m+1n的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】圆心（1，2），代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值．解：圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5的圆心为（1，2）， 由题意可得2m +2n ＝2，即m +n ＝1，m ，n ＞0， 则1m+1n=（1m +1n）（m +n ）＝2+n m +mn ≥4，当且仅当n m =mn 且m +n ＝1即m ＝n =12时取等号， 故选：D ．【点评】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题． 10．函数y =lnx 2x的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性可以排除A 、B ，在分析函数在（0，1）上的符号，排除C ，即可得答案．解：根据题意，函数定义域为{x |x ≠0}，又由f （﹣x ）=−lnx 2x=−f （x ），则f （x ）为奇函数，排除A 、B ，又由在（0，1）上，lnx 2＜0而x ＞0，则y =lnx 2x ＜0，排除C ；故选：D ．【点评】本题考查函数的图象，注意分析函数的定义域、奇偶性．11．已知函数f （x ）={x 2−x ，x ≤0ln(x +1)，x ＞0，若存在x 0∈R 使得f （x 0）≤ax 0﹣1，则实数a的取值范围是（ ） A ．（0，+∞）B ．[﹣3，0]C ．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）D ．（﹣∞，﹣3]∪（0，+∞）【分析】根据题意，作出函数f （x ）的图象草图，而直线y ＝ax ﹣1恒过定点（0，﹣1），分析可得若存在x 0∈R 使得f （x 0）≤ax 0﹣1，则函数f （x ）的图象在直线y ＝ax ﹣1下方有图象或有交点，据此分情况讨论a 的取值范围，综合即可得答案． 解：根据题意，函数f （x ）={x 2−x ，x ≤0ln(x +1)，x ＞0，其图象如图：直线y ＝ax ﹣1恒过定点（0，﹣1），若存在x 0∈R 使得f （x 0）≤ax 0﹣1，则函数f （x ）的图象在直线y ＝ax ﹣1下方有图象或有交点，则直线y ＝ax ﹣1与函数f （x ）的图象必定有交点，分析可得：当a ＞0时，直线y ＝ax ﹣1经过第一三四象限，与函数f （x ）的图象必有交点，符合题意，当a ＜0时，直线y ＝ax ﹣1经过第二三四象限，若直线y ＝ax ﹣1与f （x ）的有交点，必然相交于第二象限，则有{y =x 2−x y =ax −1，即ax ﹣1＝x 2﹣x ，变形可得x 2﹣（a +1）x +1＝0，令△＝0，解可得a＝﹣3或1（舍），则有a≤﹣3，综合可得：a的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪（0，+∞）；故选：D．【点评】本题考查分段函数的解析式，关键是分析函数f（x）的图象．12．定义方程f（x）＝f'（x）的实根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）＝xe x+1，h（x）＝lnx+1，φ（x）＝x3﹣1的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．b＞c＞a【分析】求出函数的导数，结合新定义，求出函数的零点，然后判断大小即可．解：由题意：函数g（x）＝xe x+1，g'（x）＝xe x+e x，所以a为xe x+1＝xe x+e x的根，解得x＝0，即a＝0．h（x）＝lnx+1，h′(x)=1x，b为lnx+1=1x的根，可得x＝1，即可b＝1；φ（x）＝x3﹣1，φ'（x）＝3x2，c为x3﹣1＝3x2的根，即函数φ1(x)=x3−1−3x2的零点，又因为：φ1（2）＜0，φ1（4）＝15＞0，c∈（2，4）；所以：c＞b＞a．故选：B．【点评】本题考查函数的极值的求法，函数的零点的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数f（x）=13x3+x2﹣3x﹣1的极小值是−83．【分析】先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解函数的极小值．解：f'（x）＝x2+2x﹣3，由x2+2x﹣3＝0得x＝﹣3或1所以函数f(x)=13x3+x2−3x−1在（﹣∞，﹣3）上为增函数，（﹣3，1）上为减函数，（1，+∞）上为增函数，故f（x）在x＝1处有极小值，极小值为−8 3．故答案为：−8 3【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的极值，属于基础试题．14．已知函数f（x）定义域为R，f（1）＝2，f（x）在R上的导数f′（x）满足f′（x）﹣3＞0，则不等式f（x）＜3x﹣1的解集为（﹣∞，1）．【分析】构造函数F（x）＝f（x）﹣3x，求出函数的导数，根据函数的单调性得到F（x）＜F（1），求出x的范围即可．解：构造函数F（x）＝f（x）﹣3x，则F'（x）＝f'（x）﹣3＞0，F（x）在R上是增函数，且F（1）＝f（1）﹣3＝﹣1．又不等式f（x）＜3x﹣1可化为f（x）﹣3x＜﹣1，即F（x）＜F（1），∴x＜1．故答案为：（﹣∞，1）．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．15．关于x的不等式x2lnx﹣kx+x≥0恒成立，实数k的取值范围是(−∞，1−1e]．【分析】由题意可得xlnx﹣k+1≥0恒成立，即k≤xlnx+1，令g（x）＝xlnx+1，求得导数和单调性，可得g（x）的最小值，即可得到所求k的范围．解：x2lnx﹣kx+x≥0在（0，+∞）恒成立，即xlnx﹣k+1≥0恒成立，即k≤xlnx+1，令g（x）＝xlnx+1，则g'（x）＝lnx+1，当g'（x）≥0，即lnx+1≥0，解得x≥1e，当g'（x）＜0，即lnx+1＜0，解得0＜x＜1e，所以g（x）在(0，1e)上为减函数，在[1e，+∞)上增函数，所以g(x)min=g(1e)=1e ln1e+1=1−1e ， 所以k ≤1−1e．故答案为：（﹣∞，1−1e]．【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，考查构造函数法，以及导数的运用：求单调性和最值，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 16．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1作圆x 2+y 2＝a 2的切线交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2=π4，则双曲线的离心率为 √3 ． 【分析】如图：|MF 1|﹣|MF 2|＝2a ，设|MF 2|＝t ，则|MF 1|＝2a +t ，∵sin ∠MF 1F 2=|ON||OF 1|=ac ，然后在三角形MF 1F 2中由正余弦定理列方程可解得离心率． 解：如图：|MF 1|﹣|MF 2|＝2a ，设|MF 2|＝t ，则|MF 1|＝2a +t ， ∵sin ∠MF 1F 2=|ON||OF 1|=ac ，在△MF 1F 2中，由正弦定理得|MF 2|sin∠MF 1F 2=|F 1F 2|sin∠F 1MF 2，即tac=√22， ∴t ＝2√2a ，∴|MF 2|＝2√2a ，|MF 1|＝（2√2+2）a ，由余弦定理得4c 2＝8a 2+（12+8√2）a 2﹣2×2√2a ×(2√2+2）a ×√224c 2＝12a 2，∴c 2＝3a 2，∴e =√3． 故答案为：√3．【点评】本题考查了双曲线的离心率，属中档题．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△BC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知√3b cos C＝c sin B．（Ⅰ）求角C的大小（Ⅱ）若c＝2√7，△ABC的面积为6√3，求△ABC的周长．【分析】（Ⅰ）由正弦定理可得√3sin B cos C＝sin C sin B，结合sin B≠0，可求tan C=√3，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（Ⅱ）由已知利用三角形面积公式可求ab＝24，根据余弦定理可解得a+b＝10，即可解得△ABC的周长．解：（Ⅰ）∵√3b cos C＝c sin B．∴由正弦定理可得：√3sin B cos C＝sin C sin B，∵sin B≠0，∴可得：tan C=√3，∵C∈（0，π），∴C=π3．（Ⅱ）∵C=π3，c＝2√7，△ABC的面积为6√3=12ab sin C=√34ab，∴解得：ab＝24，∵由余弦定理可得：28＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝（a+b）2﹣3×24，∴解得：a+b＝10，∴△ABC的周长a+b+c＝10+2√7．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．18．长沙某公司对其主推产品在过去5个月的月广告投入x i（百万元）和相应的销售额y i （百万元）进行了统计，其中i＝1，2，3，4，5，对所得数据进行整理，绘制散点图并计算出一些统计量如下：∑5i=1x i∑5i=1w i∑5i=1y i∑5i=1(x i−x)(y i−y)∑5i=1(w i−w)(y i−y)∑5i=1(x i−x)2∑5i=1(w i−w)6810.315.8﹣192.12 1.6020.46 3.56其中w i＝x i2，i＝1，2，3，4，5．（1）根据散点图判断，y＝bx+a与y＝cx2+d哪一个适宜作为月销售额关于月广告投入x i的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及题中所给数据，建立y关于x的回归方程，并据此估计月广告投入200万元时的月销售额．附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=∑n i=1(u i−u)(v i−v)∑n i=1(u i−u)2，α=v−βu．【分析】（1）由散点图可知，选择y＝cx2+d作为回归方程；（2）令w＝x2，则y＝cw+d，分别求出c与d的值，则回归方程可求，进一步得到y关于x的回归方程，取x＝200求得y值，即可得到月广告投入200万元时的月销售额．解：（1）根据散点图可知，选择y＝cx2+d作为回归方程；（2）令w＝x2，则y＝cw+d，w=15∑5i=1w i=2.06，y=15∑5i=1y i=3.16，c=∑5i=1(w i−w)(y i−y)∑5i=1(w i−w)2=1.6023.56=0.45，d=y−c w=3.16−0.45×2.06=2.233，故回归方程为y^=0.45x2+2.233，当月广告投入为200万元时，月销售额为y^=0.45×2002+2.233=18002.233（万元）．答：选择y＝cx2+d作为回归方程，当月广告投入为200万元时，月销售额约18002.233万元．【点评】查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．19．如图所示，四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD ＝SA＝1，BC＝2，M为SB的中点．（1）求证：AM∥平面SCD；（2）求点B到平面SCD的距离．【分析】（1）取SC的中点N，连结MN和DN，可证明得到四边形AMND是平行四边形，进而AM∥平面SCD；（2）先证明得到AM⊥平面SBC，进而得到平面SCD⊥平面SBC，作BE⊥SC交SC于E，则BE⊥平面SCD，在直角三角形中利用等面积法即可求出距离解：（1）取SC的中点N，连结MN和DN，∵M为SB的中点，∴MN∥BC，且MN=12BC，∵∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝1，BC＝2，∴AD∥BC，且AD=12BC，∴AD平行且等于MN，∴四边形AMND是平行四边形，∴AM∥DN，∵AM⊄平面SCD，DN⊂平面SCD，∴AM∥平面SCD．（2）∵AB＝AS＝1，M为SB中点，∴AM⊥SB，∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC，∵∠ABC＝∠BAD＝90°，∴BC⊥AB，∴BC ⊥平面SAB ， ∴BC ⊥AM ， ∴AM ⊥平面SBC ， 由（1）可知AM ∥DN ， ∴DN ⊥平面SBC ， ∵DN ⊂平面SCD ， ∴平面SCD ⊥平面SBC ，作BE ⊥SC 交SC 于E ，则BE ⊥平面SCD ， 在直角三角形SBC 中，12SB •BC =12SC •BE ，∴BE =SB⋅BC SC =2√26=2√33， 即点B 到平面SCD 的距离为2√33．【点评】本题考查线面平行的证明，考查求点到平面距离，数形结合思想，转化思想，等面积法，属于中档题 20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√63，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为√2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设与圆O ：x 2+y 2=34相切的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点（O 为坐标原点），求△AOB 面积的最大值．【分析】（1）由已知可得关于a ，b ，c 的方程组，求解可得a ，b ，c 的值，则椭圆方程可求；（2）当k 不存在时，求出△AOB 的面积；当k 存在时，设直线为y ＝kx +m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线y ＝kx +m 代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件得m 与k 的关系，结合基本不等式即可得到所求面积的最大值和直线l 的方程．解：（1）由题意可得，e =c a =√63，a 2﹣b 2＝c 2，bc =√2，解得a =√3，b ＝1，c =√2， 即有椭圆的方程为x 23+y 2＝1；（2）当k 不存在时，x ＝±√32，可得y ＝±√32，S △OAB =12×√3×√32=34；当k 存在时，设直线为y ＝kx +m （k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 将直线y ＝kx +m 代入椭圆方程可得（1+3k 2）x 2+6kmx +3m 2﹣3＝0， x 1+x 2=−6km 1+3k2，x 1x 2=3m 2−31+3k 2，由直线l 与圆O ：x 2+y 2=34相切，可得√1+k 2=√32， 即有4m 2＝3（1+k 2），|AB |=√1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2•√(−6km 1+3k2)2−12(m 2−1)1+3k2=√3•√1+10k 2+9k 41+6k 2+9k4=√3•√1+4k21+6k 2+9k4=√3•√1+49k 2+1k 2+6≤√3•√142√9+6=2，当且仅当9k 2=1k2，即k ＝±√33时等号成立， 可得S △OAB =12|AB |•r ≤12×2×√32=√32，即有△OAB 面积的最大值为√32．此时直线方程y ＝±√33x ±1．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，属于中档题．21．已知函数f(x)=ae x +a+1x−2(a +1)． （1）讨论当a =1，x ≥√2时，函数f （x ）的单调性；（2）当f （x ）≥0对任意的x ∈（0，+∞）恒成立，其中a ＞0．求a 的取值范围． 【分析】（1）当a =1，x ≥√2时，f′(x)=e x −2x 2，当x ≥√2，f′(x)为单调递增函数，然后判断函数的单调性即可．（2）由已知有f （x ）min ≥0，其中x ＞0，a ＞0．求出导函数，令g （x ）＝ax 2e x ﹣（a +1），其中x ＞0，a ＞0．利用函数的导数，判断函数的最值，f （x ）min ＝f （x 0）=ae x 0+a+1x 0−2(a +1)．通过令a+1x 0+a+1x 0−2(a +1)≥0，转化求解a 的范围即可．解：（1）当a =1，x ≥√2时，f′(x)=e x −2x 2， 当x ≥√2时，y ＝e x 是增函数，y =−2x 2是增函数， 所以，当x ≥√2，f′(x)为单调递增函数，∴f′(x)≥e √2−1＞0，f （x ）在[√2，+∞)为增函数（2）由已知有f （x ）min ≥0，其中x ＞0，a ＞0.f /(x)=ae x −a+1x2=ax 2e x −(a+1)x2． 令g （x ）＝ax 2e x ﹣（a +1），其中x ＞0，a ＞0．由g '（x ）＝a （2x +x 2）e x ＞0得g （x ）在（0，+∞）上单调递增． 又g （0）＝﹣（a +1）＜0，当x →+∞时，g （x ）→+∞， 故存在x 0∈（0，+∞），使得g （x 0）＝0．当x ∈（0，x 0）时，g （x ）＜0，f '（x ）＜0，f （x ）在（0，x 0）上单调递减； 当x ∈（x 0，+∞）时，g （x ）＞0，f '（x ）＞0，f （x ）在（x 0，+∞）上单调递增． 故f （x ）min ＝f （x 0）=ae x 0+a+1x 0−2(a +1)．由g （x 0）＝0得，ax 02e x 0−(a +1)=0，即ae x 0=a+1x 02．则f （x 0）=ae x 0+a+1x 0−2(a +1)=a+1x 02+a+1x 0−2(a +1)．令a+1x 02+a+1x 0−2(a +1)≥0，由x 0＞0，a ＞0，解得0＜x 0≤1．因为g （x ）＝ax 2e x ﹣（a +1）在（0，+∞）上单调递增，0＜x 0≤1，所以g （1）≥g （x 0）＝0．故g （1）≥0，即ae ﹣（a +1）≥0，解得a ≥1e−1【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．一、选择题22．已知直线l 的参数方程为{x =12+√32t y =12t（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P （12，0），直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AP |+|PB |的值． 【分析】（1）由代入法可得直线l 的普通方程；由极坐标和直角坐标的关系：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2+y 2＝ρ2，可得曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，可得t 的二次方程，再由参数的几何意义和韦达定理，即可得到所求值．解：（1）直线l 的参数方程为{x =12+√32t y =12t （t 为参数）， 消去t ，可得2x ﹣2√3y ﹣1＝0；曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ．由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2+y 2＝ρ2，可得x 2+y 2＝2x ，即曲线C 的直角坐标方程为（x ﹣1）2+y 2＝1；（2）将直线l 的参数方程{x =12+√32t y =12t （t 为参数）代入C 的方程（x ﹣1）2+y 2＝1， 可得t 2−√32t −34=0，△=34+3＞0， 设t 1，t 2是点A ，B 对应的参数值，t 1+t 2=√32，t 1t 2=−34，则|PA |+|PB |＝|t 1﹣t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√34+3=√152． 【点评】本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，以及直线的参数方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +2|（1）解不等式f （x ）＞5；（2）若不等式f （x ）＜a （a ∈R ）的解集为空集，求a 的取值范围．【分析】（1）根据函数f （x ）={−3x −1，x ＜−1x +3，−1≤x ≤13x +1，x ＞1，分类讨论求得不等式f （x ）＞5的解集．（2）由（1）可得函数f （x ）的最小值为f （﹣1）＝2，结合题意求得a 的取值范围．解：（1）函数f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +2|={−3x −1，x ＜−1x +3，−1≤x ≤13x +1，x ＞1，当x ＜﹣1时，由﹣3x ﹣1＞5，求得x ＜﹣2．显然，当﹣1≤x ≤1时，不等式f （x ）＞5无解，当x ＞1时，由3x +1＞5，求得x ＞43．综上可得，不等式的解集为{x |x ＜﹣2或x ＞43}．（2）由（1）可得f （x ）={−3x −1，x ＜−1x +3，−1≤x ≤13x +1，x ＞1，函数f （x ）的最小值为f （﹣1）＝2，故当a ≤2时，不等式f （x ）＜a （a ∈R ）的解集为空集．【点评】本题主要考查队友绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．。
广西南宁市高二下学期期末考试文科数学试题 有答案
春季学期期考试题高二数学(文科)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 复数(1)z i i =+(i 为虚数单位)的共轭复数是( ).A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i + 2. 命题“对任意R x ∈，都有02≥x ”的否定为( ).A ．对任意R x ∈，使得02<xB ．不存在R x ∈，使得02<xC ．存在R x ∈0， 都有020≥xD ．存在R x ∈0， 都有020<x3．“(21)0x x -=”是“0x =”的( ).A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4. 设z 是复数， 则下列命题中的假命题是( ).A ．若20z ≥， 则z 是实数B ．若20z <， 则z 是虚数C ．若z 是虚数， 则20z ≥D ．若z 是纯虚数， 则20z < 5. 椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为( ).A ．2B ．3C ．5D ．76. 若2)(x x f =，则)(x f 在x ＝1处的导数为( ).A ．2xB ．2C ．3D ．47． 已知双曲线15222=-y a x 的右焦点为)0,3(，则该双曲线的离心率等于( ).A．14 B．4 C ．32 D ．438. 曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1，3)处的切线的倾斜角为( ).A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°9. 设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ).A ．6B ．7C ．8D ．1210．若双曲线22221x y a b -=则其渐近线方程为( ). A ．x y 2±=B ．x y 2±=C ．12y x=± D．2y x=± 11．已知函数y ＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( ).A ．(2，3)B ．(3，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，3)12．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝( )．A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13．设复数z ＝1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝________. 14．曲线2x y =在点)1,1(处的切线方程为_______. 15. 已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆1422=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．16. 已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为6π的直线交椭圆于A 、B 两点，则弦AB 的长为__________.三、解答题：(本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算: (1) 2)21()1)(1(i i i ++-+；(2) (3－2i )2－3(1－i )2＋i；18. (本小题满分12分)设F 1和F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线右支上，且满足∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的面积为S .19．(本小题满分12分)已知直线x ＋y －1＝0与椭圆x 2＋by 2＝34相交于两个不同点，求实数b 的取值范围．20.(本小题满分12分)设x ＝－2，x ＝4是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点．(1) 求常数a ，b ；(2) 判断x ＝－2，x ＝4是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．21. (本小题满分12分)已知某工厂生产x 件产品的成本为C ＝25 000＋200x ＋140x 2 (元)．(1) 要使平均成本．．．．最低应生产多少件产品？ (2) 若产品以每件500元出售，要使利润最大，应生产多少件产品？22. (本小题满分12分)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．春季学期期考试题高二数学(文科)----答案一、1~6 AABCDB 7~12 CBABBC13． 5 14． 12-=x y 15. 8 16. 217．解： (1) (1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2＝1－i 2＋1＋4i ＋4i 2 ＝1－(－1)＋1＋4i ＋(－4)＝－1＋4i. ………………………………5分(2) (3－2i )2－3(1－i )2＋i ＝9－12i ＋4i 2－3＋3i 2＋i＝9－12i －4－3＋3i 2＋i ＝2－9i 2＋i ＝(2－9i )(2－i )(2＋i )(2－i ) ＝4－2i －18i ＋9i 25＝4－2i －18i －95＝－5－20i 5＝－1－4i.………………………………10分 18.解： 由题设知⎩⎨⎧|PF 1|－|PF 2|＝4， ①|PF 1|2＋|PF 2|2＝20. ②………………4分 ②－①2得|PF 1|·|PF 2|＝2. …………………8分 ∴△F 1PF 2的面积S ＝12|PF 1|·|PF 2|＝1. ……………………12分 19．解： 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x 2＋by 2＝34，得(4b ＋4)y 2－8y ＋1＝0. …………………4分因为直线与椭圆相交于不同的两点，所以⎩⎨⎧4b ＋4≠0Δ＝64－4(4b ＋4)＞0，……………………8分 解得b ＜3，且b ≠－1.又方程x 2＋by 2＝34表示椭圆，所以b ＞0，且b ≠1.综上，实数b 的取值范围是{b |0＜b ＜3且b ≠1}．……………………12分20.解： (1) f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由极值点的必要条件可知，x ＝－2，x ＝4是方程f ′(x )＝0的两根． ∴a ＝－3，b ＝－24. ……………………6分 (2) f ′(x )＝3x 2－6x －24＝3(x ＋2)(x －4)当x <－2时，f ′(x )>0， 当－2<x <4时，f ′(x )<0， 当x >4时，f ′(x )>0，∴x ＝－2是f (x )的极大值点，x ＝4是f (x )的极小值点．………………12分21.解： (1)设平均成本为y ，则y ＝25 000＋200x ＋140x 2x ＝25 000x ＋x 40＋200， y ′＝－25 000x 2＋140.令y ′＝0，得x ＝1 000. 当x <1 000时，y ′<0； 当x >1 000时，y ′>0.∴当x ＝1 000时，y 取得极小值，也是最小值．因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品．………………6分(2)设利润为L (x )，则L (x )＝500x －⎝ ⎛⎭⎪⎫25 000＋200x ＋x 240＝300x －25 000－x 240，L ′(x )＝300－x20. 令L ′(x )＝0，得x ＝6 000.当x <6 000时，L ′(x )>0；当x >6 000时，L ′(x )<0， ∴当x ＝6 000时，L (x )取得极大值，也是最大值．因此，要使利润最大，应生产6 000件产品． ……………………12分22.解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，则a 2－4a ＝32，解得a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1. ……………………5分(2) 设点A ，B 的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2. 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2. 由OB →＝2OA →，得x 2 B ＝4x 2 A ，即164＋k 2＝161＋4k 2，解得k ＝±1， 故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . ……………………12分。
2019-2020学年南宁市数学高二第二学期期末达标测试试题含解析
2019-2020学年南宁市数学高二第二学期期末达标测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减，()2log 3a f =，()4log 5b f =，232c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c满足（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<2．设随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，若(2)0.1P ξ<-=，则函数3221()23f x x x x ξ=++有极值点的概率为（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.53．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由半圆及矩形组成，俯视图由正方形及其内切圆组成，则该几何体的表面积等于（ ）A ．488π+B ．484π+C ．648π+D ．644π+4．设2{|430}A x x x =-+…，{|(32)0}B x ln x =-<，则(A B =I)A ．3(1,)2B ．(1，3]C ．3(,)2-∞D ．3(2，3]5．在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（ ） A ．30B ．36C ．60D ．726．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．7．已知x ，y 取值如下表：x0 1 4 5 6 8y1.3 1.8 5.66.17.4 9.3从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且0.95y x a =+，则a 等于（ ） A ．1.30B ．1.45C ．1.65D ．1.808．已知高为 H 的正三棱锥 P ABC -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，若二面角 P AB C --的正切值为 4 ，则RH=（ ） A ．37B ．35C ．59D ．589．已知12P(B|A)=,P(A)=35,则()P AB 等于( ) A ．56B ．910C ．215D ．11510．已知集合{}2|160A x x =-<，{}5,0,1B =-，则( )A ．AB =∅I B ．B A ⊆C ．{}0,1A B =ID ．A B ⊆11．图1和图2中所有的正方形都全等，将图1中的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．12．命题:p 若0x <，则ln(1)0x +<，q 是p 的逆命题，则（ ） A ．p 真，q 真B ．p 真，q 假C ．p 假，q 真D ．p 假，q 假二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．函数22,1()log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩的值域为____________．14．正方体1111A B C D ABCD -的边长为3，P 是正方体表面上任意一点，集合{|2}P PA Ω=≤，满足Ω的点P 在正方体表面覆盖的面积为_________；15．已知等比数列{}n a 是递减数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若12,a a 是方程22310x x -+=的两个根，则5S =__________．16．若901(1)x a a x =+-+2929(1)(1)a x a x -++-L ，则3a 的值为__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．观察下列等式:311=； 33123+=；3331236++=； 3333123410+++=； 333331234515++++=；(1)猜想第n(n ∈N *)个等式; (2)用数学归纳法证明你的猜想.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，60ABC ∠=o ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．(Ⅰ)证明：AE PD ⊥；(Ⅱ)设H 为线段PD 上的动点，若线段EH 长的最小值为5，求直线PD 与平面AEF 所成的角的余弦值．19．（6分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a =，()211324222n n S S n n n -=+-+≥. （1）求2a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.20．（6分）已知函数22()3ln ()f x x ax a x a R =-+∈.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的2x e ≥（e 为自然对数的底数），()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 21．（6分）已知圆C 经过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且圆心C 在直线x ＋y －1＝0上． (1)求圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B 且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程． 22．（8分）已知函数()sin xxf x e =（1）求函数()f x 在点()()0,0M f 处的切线方程；（2）若()0f x k -≤在[]0,x π∈时恒成立，求k 的取值范围。
2019-2020学年南宁市数学高二下期末达标测试试题含解析
2019-2020学年南宁市数学高二下期末达标测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()f x ，满足()y f x =-和(2)y f x =+均为偶函数，且(1)2f π=，设()g x()()f x f x =+-，则(2019)g =A ．2π B ．23π C ．πD ．43π 【答案】C 【解析】分析：根据函数的奇偶性和周期性求出()()201921g f =，然后即可得到答案 详解：由题意可得：()()f x f x -=()()()222f x f x f x +=-+=- 故()()4f x f x =+，周期为4 ()()()()()()()()2019?20192019331121?g f f f f f f f π=+-=+-=-+==故选C点睛：本题考查了函数的奇偶性和周期性，运用周期性进行化简，结合已知条件求出结果，本题的解题方法需要掌握。
2．已知1232727272727S C C C C =++++，则S 除以9所得的余数是A ．2B ．3C ．5D ．7【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数的性质，将1232727272727S C C C C =++++化简为()9911--，再展开即可得出结果.【详解】()9123272799081827272727999C C C C 21819119C 9C 9C 2S =++++=-=-=--=-++-，所以除以9的余数为1．选D. 【点睛】本题考查组合数的性质，考查二项式定理的应用，属于基础题.3．若数列{}n a 是等比数列，则“首项10a >，且公比1q >”是“数列{}n a 单调递增”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．非充分非必要条件【答案】B 【解析】 【分析】证明由10a >，1q >可以得到数列{}n a 单调递增，而由数列{}n a 单调递增，不一定得到10a >，1q >，从而做出判断，得到答案. 【详解】数列{}n a 是等比数列，首项10a >，且公比1q >，所以数列110n n a a q -=>，且1n n n a a q a +=>，所以得到数列{}n a 单调递增； 因为数列{}n a 单调递增，可以得到首项10a >，且公比1q >， 也可以得到10a <，且公比01q <<.所以“首项10a >，且公比1q >”是“数列{}n a 单调递增”的充分不必要条件. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列为递增数列的判定和性质，考查充分不不必要条件，属于简单题. 4．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处取极值10，则a =（ ）A ．4或3-B ．4或11-C ．4D ．3-【答案】C 【解析】分析：根据函数的极值点和极值得到关于,a b 的方程组，解方程组并进行验证可得所求． 详解：∵322()f x x ax bx a =+++， ∴2()32f x x ax b '=++．由题意得2(1)320(1)110f a b f a b a =++=⎧⎨=+++='⎩， 即2239a b a b a +=-⎧⎨++=⎩，解得33a b =-⎧⎨=⎩或411a b =⎧⎨=-⎩．当33ab=-⎧⎨=⎩时，22()3633(1)0f x x x x'=-+=-≥，故函数()f x单调递增，无极值．不符合题意．∴4a=．故选C．点睛：（1）导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．（2）对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件，因此在根据函数的极值点或极值求得参数的值后需要进行验证，舍掉不符合题意的值．5．设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα⊂．“mβ”是“αβ”的（）A ．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.6．读下面的程序：上面的程序在执行时如果输入6，那么输出的结果为()A．6 B．720 C．120 D．5040【答案】B【解析】 【分析】执行程序，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解输出的结果，得到答案. 【详解】由题意，执行程序，可得：第1次循环：满足判断条件，1,2S i ==； 第2次循环：满足判断条件，2,3S i ==； 第3次循环：满足判断条件，6,4S i ==； 第4次循环：满足判断条件，24,5S i ==； 第5次循环：满足判断条件，120,6S i ==； 第6次循环：满足判断条件，720,7S i ==； 不满足判断条件，终止循环，输出720S =，故选B. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算输出，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．在极坐标系中，已知圆C 经过点6P π⎛⎫⎪⎝⎭，，圆心为直线sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与极轴的交点，则圆C 的极坐标方程为A ．4cos ρθ=B ．4sin ρθ=C ．2cos ρθ=D ．2sin ρθ=【答案】A 【解析】 【分析】求出圆C 的圆心坐标为（2，0），由圆C 经过点6P π⎛⎫⎪⎝⎭，得到圆C 过极点，由此能求出圆C 的极坐标方程． 【详解】在sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭中，令0θ=，得2ρ=， 所以圆C 的圆心坐标为（2，0）. 因为圆C 经过点6P π⎛⎫⎪⎝⎭，，所以圆C 的半径()222322223cos26r π=+-⨯⨯=，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=. 故选A 【点睛】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．8．已知空间向量(1,1,0)a =-， (3,2,1)b =-，则a b +=（ ） A ．5 B ．6C ．5D ．26【答案】D 【解析】 【分析】先求a b +，再求模． 【详解】∵(1,1,0)a =-， (3,2,1)b =-， ∴a b +(4,3,1)=-，∴2224(3)126a b +=+-+=．故选：D ． 【点睛】本题考查空间向量模的坐标运算，掌握空间向量模的坐标运算公式是解题基础． 9．命题“任意[]21,2,0x x a ∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．4a ≥ B ．4a ≤C ．5a ≥D ．3a ≥【答案】C 【解析】试题分析：对此任意性问题转化为恒成立，当，即，，若是原命题为真命题的一个充分不必要条件，那应是的真子集，故选C.考点：1.集合；2.充分必要条件.10．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”,某高中学校为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识竞赛，现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐,规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为,,a b c ()a b c >>且,,a b c N *∈；选手最后得分为各场得分之和，在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都是11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，下列说法正确的是( ) A ．乙有四场比赛获得第三名 B ．每场比赛第一名得分a 为4 C ．甲可能有一场比赛获得第二名 D ．丙可能有一场比赛获得第一名 【答案】A 【解析】 【分析】先计算总分，推断出5a =，再根据正整数把,,a b c 计算出来，最后推断出每个人的得分情况，得到答案. 【详解】由题可知()626111148a b c ++⨯=++=,且,,a b c 都是正整数=8a b c ++当4a ≤时，甲最多可以得到24分，不符合题意 当6a ≥时，2b c +≤，不满足 推断出，a=5, b=2, c=1 最后得出结论:甲5个项目得第一,1个项目得第三乙1个项目得第一,1个项目得第二，4个项目得第三 丙5个项目得第二,1个项目得第三, 所以A 选项是正确的. 【点睛】本题考查了逻辑推理,通过大小关系首先确定a 的值是解题的关键,意在考查学生的逻辑推断能力.11．已知定义在R 上的增函数f(x)，满足f(－x)＋f(x)＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f(x 1)＋f(x 2)＋f(x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0 D ．正负都有可能【答案】A 【解析】因为f(x) 在R 上的单调增,所以由x 2＋x 1>0，得x 2>-x 1,所以21121()()()()()0f x f x f x f x f x >-=-⇒+> 同理得2313()()0,()()0,f x f x f x f x +>+>即f(x 1)＋f(x 2)＋f(x 3)>0,选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行 12．如图，设区域，向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落到由曲线与所围成阴影区域内的概率是（）A. B. C.D.【答案】B 【解析】试题分析：图中阴影面积可以用定积分计算求出，即)1312320211333x dx x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰，正方形OABC的面积为1，所以根据几何概型面积计算公式可知，点落到阴影区域内的概率为13P =。
广西南宁三中2019-2020学年下学期高二期末考试(重点班)文科数学试题(原卷版)
南宁三中2019~2020学年度下学期高二期考文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{}1|21x B x +=>，则C B A =（ ）A. [3,)+∞B. (3,)+∞C. (,1][3,)-∞-⋃+∞D. (,1)(3,)-∞-+∞2.设i 为虚数单位，复数z 满足()25z i -=，则在复平面内，z 对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：“我没有偷”；乙：“丙是小偷”；丙：“丁是小偷”；丁：“我没有偷”．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（ ） A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁4.已经知道函数32()2f x x x =-在[1,3]-上，则下列说法不正确．．．的是( ) A. 最大值为9B. 最小值为3-C. 函数()f x 在区间[1,3]上单调递增D. 0x =是它的极大值点5.函数()f x x =的值域是（ ）A. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. (0,)+∞D. [1,)+∞6.以下四个命题：①若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题；②对于命题2000:,10,R p x x x ∈∃++<则⌝p 为：2,10;R x x x ++∀∉；③2a =是函数()log a f x x =在区间0,上为增函数的充分不必要条件；④()()sin f x x ωϕ=+为偶函数的充要条件是2ϕπ= 其中真命题的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 47.已知函数53()8f x x px qx =++-（其中p ，q 为常数）满足(2)10f -=，则(2)f 的值为（ ）A . 10B. 10-C. 26-D. 18-8.已知()21ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是（ ） A. (]0,1B. ()1,+∞C. ()0,1D. [)1,+∞ 9.已知函数3()23f x x x =-.若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，则t 的取值范围为( )A. (3)-∞-，B. ()3,1--C. (1,)-+∞D. ()0,110.定义在R 上的奇函数()f x 满足33()()88f x f x +=-，并且当308x ≤≤时，()161xf x =-，则(100)f =（ ）A. 12-B. 1-C. 32-D. 2-11.已知函数满足()()22f x f x +=，且[]1,1x ∈-时，()1f x x =-+，则当[]10,10x ∈-时，与()4log g x x =的图象的交点个数为( ) A. 13B. 12C. 11D. 1012.已知函数()31f x x a =-++，1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与()3ln g x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A .30,4e ⎡⎤-⎣⎦B. 310,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C. 3312,4e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D. 34,e ⎡⎤-+∞⎣⎦二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.计算:2log 33722log 13log 73ln1+-+=___________.14.函数()219ln 2f x x x =-的单调减区间为_______ ． 15.若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a = ．16.已知函数()2e 2ln xf x k x kx x=-+，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值集合是________．三、解答题（解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，第17-21题每题12分，选做题10分，共70分）17.如图，ABC 中，2AC =，4B π∠=，D 是边BC 上一点.（1）若2BAD π∠=，2BD =，求C ∠；（2）若3BD CD =，求ACD △面积的最大值. 18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，D 是AB 的中点.（1）证明：1//BC 平面1A CD ；（2）若ABC 是边长为2的正三角形，且1BC BB =，160CBB ∠=︒，平面ABC ⊥平面11BB C C ，求三棱锥1A DCA -的体积.19.近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积x （单位：亩） 1 2345管理时间y （单位：月） 8 10 13 25 24并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:愿意参与管理 不愿意参与管理男性村民15050（1）求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x,求x的分布列及数学期望．参考公式：1()()nix x y yr--=∑22(),()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++其中n a b c d=+++．临界值表：25.2≈20.已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的右焦点为F，上顶点为M，直线FM的斜率为2-，且原点到直线FM.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若不经过点F的直线l：(0,0)y kx m k m=+<>与椭圆C交于,A B两点，且与圆221x y+=相切.试探究ABF∆的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.21.已知函数()2ln2f x x x ax x=-+，a∈R．（Ⅰ）若()f x在()0,∞+内单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数()f x有两个极值点分别为1x，2x，证明：1212x xa+>．选做题：考生需从第22题和第23题中选一道作答22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上且满足||||8,OA OB ⋅=点B 的轨迹为2C .（1）求曲线12,C C 的极坐标方程； （2）设点M 的极坐标为32,2π⎛⎫⎪⎝⎭，求ABM ∆面积的最小值. 23.设函数()212f x x x a =-+-，x ∈R ． （1）当4a =时，求不等式()9f x >的解集；（2）对任意x ∈R ，恒有()5f x a ≥-，求实数a 的取值范围。
2019-2020学年南宁三中重点班高二下学期期末数学试卷(文科)(含答案解析)
2019-2020学年南宁三中重点班高二下学期期末数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.设全集U ={(x,y)|x ∈R ，y ∈R}，A ={(x,y)|(x −1)cosa +ysina =2}，则集合∁U A 对应的封闭图形面积是( )A. 2πB. 4πC. 6πD. 8π2.复数，则实数a 的值是( ) A.B.C.D. −3.观察等式由此得出以下推广命题不正确的是A.B.C.D.4.函数f(x)={2x 3+3x 2 x ≤0ax ex ,x >0在[−2,2]上的最大值为1，则实数a 的取值范围是( )A. [0,+∞)B. [0,e]C. (−∞,0]D. (−∞,e]5.已知函数y =f(n)，满足f(1)=8，且f(n +1)=f(n)+7，n ∈N +.则f(3)=( )A. 7B. 15C. 22D. 286.设函数f(x)的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意x ∈M(M ⊆D)，有x +l ∈D ，且f(x +l)≥f(x)，则称f(x)为M 上的l 高调函数．现给出下列命题：①函数f(x)=2−x 为R 上的1高调函数；②函数f(x)=sin2x 为R 上的π高调函数；③如果定义域为[−1,+∞)的函数f(x)=x 2为[−1,+∞)上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是[2,+∞)；④函数f(x)=lg(|x −2|+1)为[1,+∞)上的2高调函数．其中真命题的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 37.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,+∞)上单调递增，若实数a 满足f(lga)+f(lg 1a )≤2f(1)，则a 的取值范围是( )A. (−∞,10]B. [110,10]C. (0,10]D. [110,1]8.若曲线f(x)=ax 2−lnx 在点M(1,a)处的切线平行于x 轴，则a 的值为( )A. −2B. 2C. −12D. 129.点P 在曲线y =x 3−x +23上移动时，过点P 的切线的倾斜角的取值范围是( )A. [0,π)B. (0,π2)∪[3π4,π)C. [0,π2)∪(π2,3π4]D. [0,π2)∪[3π4,π)10. 若函数f(x)在R 上是单调递减的奇函数，则下列关系式成立的是( )A. f(3)<f(4)B. f(3)<−f(−4)C. −f(−3)<f(−4)D. f(−3)>f(−4)11. 已知函数f(x)={7x−32x+2,x ∈(12,1]−13x +16,x ∈[0,12]函数g(x)=asin(π6x)−2a +2(a >0)，若存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则实数a 的取值范围是( )A. [12,43]B. (0,12]C. [23,43]D. [12,1]12. 函数f(x)=sinx 在区间(0,2π)上可找到n 个不同数x 1，x 2，…，x n ，使得f(x 1)x 1=f(x 2)x 2=⋯=f(x n )x n，则n 的最大值等于( )A. 1B. 2C. 4D. 6二、单空题（本大题共3小题，共15.0分） 13. 14、．14. 内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱的高为______ ．15. 已知函数f(x)=ax 3−x 2+1在(0,1)上有增区间，则a 的取值范围是______ ． 三、解答题（本大题共8小题，共87.0分）16. 已知函数f(x)=x 3+ax +b 的图象关于坐标原点对称，且与x 轴相切． (1)求实数a ，b 的值．(2)是否存在正实数m ，n ，使函数g(x)=3−|f(x)|在区间[m,n]上的值域仍为[m,n]？若存在，求出m ，n 的值，若不存在，说明理由．17. 已知向量m ⃗⃗⃗ =(√3cosx,1),n ⃗ =(sinx,cos 2x −1)，函数f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ +12， (1)若x ∈[0,π4],f(x)=√33，求cos2x 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，且满足2bcosA ≤2c −√3a ，当B 取最大值时，a =1，△ABC 面积为√34，求a+csinA+sinC 的值．18. 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC =BC =AB =2，AA 1=3，D 点是AB 的中点(1)求证：BC 1//平面CA 1D . (2)求三棱锥B −A 1DC 的体积．19. 某校推行选修数学校本课程，每位同学可以从甲、乙两个科目中人选一个．已知某班第一小组和第二小组个六位同学的选课情况如下表：科目甲 科目乙 第一小组 1 5 第二小组24现从第一小组、第二小组中各选2人进行课程交流． (Ⅰ)求选出的4人均选修科目乙的概率；(Ⅱ)选出的4人中选修科目甲的人数记为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√22，且过点(√22,√32)． (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线AB ，DE 分别交椭圆于A ，B ，D ，E ，且M ，N 分别为AB ，DE 的中点，若AB 的斜率为2，求△MNF 面积．21. 已知函数f(x)=e a−x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R ． (Ⅰ)求函数g(x)=xf(x)的单调区间；(Ⅱ)试确定函数ℎ(x)=f(x)+x 的零点个数，并说明理由．22. 已知曲线C ：{x =4cosθy =3sinθ(θ为参数)． (1)将C 的方程化为普通方程；(2)若点P(x,y)是曲线C 上的动点，求3x +4y 的取值范围．23. 设函数f(x)=|x −1|，g(x)=|x −2|． (Ⅰ)解不等式f(x)+g(x)<2；(Ⅱ)对于实数x ，y ，若f(x)≤1，g(y)≤1，求证|x −2y +3|≤3．【答案与解析】1.答案：B=2，解析：解：∵点(1,0)到直线(x−1)cosa+ysina=2的距离d=√cos2a+sin2a∴直线(x−1)cosa+ysina=2始终与圆(x−1)2+y2=4相切，∴集合A表示除圆(x−1)2+y2=4上以外所有的点组成的集合，∴对应的封闭图形面积为π×22=4π．故选：B．根据点(1,0)到直线(x−1)cosa+ysina=2的距离恒为2，判断集合A表示的平面区域，从而得集合∁U A对应的封闭图形，利用面积公式求解．本题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：试题分析：，选B．考点：复数．3.答案：A解析：试题分析：观察，照此规律，可以得到的一般结果应该是，sin2α+cos2(30°+α)+sinαcos(30°+α)右边的式子：故得出的推广命题为：sin2α+cos2(30°+α)+sinαcos(30°+α)=对照选项得：不正确的是A.故答案为A．考点：归纳推理点评：本题主要考查了归纳推理，解题的关键是发现两角之间的关系，同时考查了分析问题的能力，属于基础题4.答案：D解析：分别讨论x≤0，x>0时的情况，x≤0时，通过求导得到f(x)max=f(−1)=1，x>0时，讨论①a> 0时，②a≤0时a的范围，综合得出结论．本题考察了函数的单调性，导数的应用，求函数的最值问题，求参数的范围，是一道基础题．解：x≤0时，f′(x)=6x(x+1)，令f′(x)=0，解得：x=−1，x=0，∴f(x)在(−∞,−1)递增，在(−1,0)递减，∴f(x)max=f(−1)=1，x>0时，f′(x)=ae x(1−x)，e2x①a>0时，若f′(x)>0，则0<x<1，若f′(x)<0，则x>1，≤1，∴f(x)max=f(1)=ae解得：a≤e，②a≤0时，f(x)≤0，符合题意，综上：a≤e，故选D．5.答案：C解析：解：∵f(1)=8，且f(n+1)=f(n)+7，n∈N+，∴f(2)=f(1)+7=8+7=15，f(3)=15+7=22．故选：C．由题设条件，利用递推思想能求出f(3)．本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用．6.答案：D解析：解：因为f(x)=2−x为R上的减函数，显然不满足对于任意x∈R，有x+l∈R，且f(x+l)≥f(x)，所以①错误；因为函数f(x)=sin2x的最小正周期为π，对于任意x∈R，有x+π∈R，且f(x+π)=f(x)，所以②正确；根据函数f(x)=x2在[−1,+∞)上图象，结合高调函数的定义可知，m≥2，因此实数m的取值范围是[2,+∞)，③正确；根据函数f(x)=|x−2|+1的图象关于直线x=2对称，从高调函数的定义出发，可知函数f(x)= lg(|x−2|+1)为[1,+∞)上的2高调函数，④正确；故选：D．从高调函数的定义出发，对每个命题进行分析、判断．本题考查新概念函数，需要从函数的定义进行分析、判断，属于中档题目．7.答案：B解析：解：∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(lga)+f(lg1)≤2f(1)，等价为f(lga)+f(−lga)=2f(lga)≤2f(1)，a即f(lga)≤f(1)．∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0,+∞)单调递增，∴f(lga)≤f(1)等价为f(|lga|)≤f(1)．即|lga|≤1，∴−1≤lga≤1，≤a≤10，解得110故选：B．根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化即可得到结论．本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用．8.答案：D解析：解：∵f(x)=ax2−lnx，∴f′(x)=2ax−1，x则曲线f(x)=ax2−lnx在点M(1,a)处的切线的斜率k=f′(1)=2a−1=0，．解得：a=12故选：D．求出原函数的导函数，得到函数f(x)=ax2−lnx在点M(1,a)处的导数，由切线平行于x轴得到导数值等于0，由此列式求得a的值．本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，曲线过某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．9.答案：D解析：解：设点P处切线的倾斜角为α，∵tanα=3x2−1，∴tanα∈[−1,+∞)．当tanα∈[0,+∞)时，α∈[0,π2)；当tanα∈[−1,0)时，α∈[3π4,π)．∴α∈[0,π2)∪[3π4，π)．故选D．根据导数的几何意义可知切线的斜率即为该点处的导数，再根据导数的取值范围求出斜率的范围，最后再根据斜率与倾斜角之间的关系k=tanα，求出α的范围即可．此题考查了利用导数研究曲线上某点切线的方程，直线倾斜角与斜率的关系，以及正切函数的图象与性质．要求学生掌握导函数在某点的函数值即为过这点切线方程的斜率，且直线的斜率为倾斜角的正切值，掌握正切函数的图象与性质．10.答案：C解析：解：∵函数f(x)在R上是单调递减的奇函数，∴f(3)>f(4)，故A错误，f(3)>f(4)=−f(−4)，故B错误，−f(−3)=f(3)<f(−4)，故C正确，f(−3)<f(−4)，故D错误，故选：C根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．11.答案：A解析：解：x∈[0,12]时，f(x)=−13x+16为单调减函数，∴f(x)∈[0,16]；x∈(12,1]时，f(x)=7x−32x+2=72−102x+2为单调增函数，∴f(x)∈(16,1]，∴函数f(x)的值域为[0,1]；函数g(x)=asin(π6x)−2a+2(a>0)，x∈[0,1]时，值域是[2−2a,2−3a2]∵存在x1、x2∈[0,1]使得f(x1)=g(x2)成立，∴[0,1]∩[2−2a,2−3a2]≠⌀若[0,1]∩[2−2a,2−3a2]=⌀，则2−2a>1或2−3a2<0，即a<12或a>43∴[0,1]∩[2−2a,2−3a2]≠⌀时，实数a的取值范围是[12,43]故选A根据x的范围确定函数f(x)的值域和g(x)的值域，进而根据f(x1)=g(x2)成立，推出值域的交集非空，先求当二者的交集为空集时，a的范围，进而可求得当集合的交集非空时a的范围．本题主要考查了三角函数的最值，函数的值域问题，不等式的应用，解题的关键是通过看两函数值域之间的关系来确定a的范围．12.答案：B解析：解：设f(x1)x1=f(x2)x2=⋯=f(x n)x n=k，则条件等价为f(x)=kx在区间(0,2π)上的根的个数，作出函数f(x)和y=kx的图象，由图象可知y=kx与函数f(x)在区间(0,2π)上的交点个数最多为2，故选：B．设f(x1)x1=f(x2)x2=⋯=f(x n)x n=k，则条件等价为f(x)=kx在区间(0,2π)上的根的个数，作出函数f(x)和y=kx的图象，数形结合可得结论．本题主要考查函数交点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于基础题．13.答案：3解析：本题考查了对数和指数幂的运算解：故原式=故答案为3．14.答案：2√3R3解析：解：设球内接圆柱的高为h，圆柱底面半径为r则ℎ2+(2r)2=(2R)2，得r2=R2−14ℎ2.(0<ℎ<2R)∴圆柱的体积为V(ℎ)=πr2ℎ=πℎ(R2−14ℎ2)=πR2ℎ−14πℎ3.(0<ℎ<2R)求导数，得V′(ℎ)=πR 2−34πℎ2=π(R +√3ℎ2)(R −√3ℎ2)∴0<ℎ<2√3R3时，V′(ℎ)>0；2√3R 3<ℎ<2R 时，V′(ℎ)<0由此可得：V(ℎ)在区间(0,2√3R 3)上是增函数；在区间(2√3R3,2R)上是减函数 ∴当ℎ=2√3R3时，V(ℎ)取得最大值． 故答案为：2√3R3． 设球内接圆柱的高为h ，圆柱底面半径为r ，得圆柱体积V 关于h 的函数表达式：V(ℎ)=πR 2ℎ−14πℎ3(0<ℎ<2R).利用求导数的方法，讨论函数V(ℎ)的单调性，可得当ℎ=2√3R 3时，V(ℎ)取得最大值，得到本题的答案．本题主要考查了球和圆柱的有关知识以及函数建模以及用导数这一工具求最值的方法，属于中档题．15.答案：(23,+∞)解析：解：函数f(x)=ax 3−x 2+1． 可得f′(x)=3ax 2−2x ．函数f(x)=ax 3−x 2+1在(0,1)上有增区间，可知导函数在(0,1)上有极值点， 导函数在(0,1)上有解，或a =0时，3ax 2−2x ≥0恒成立(显然不成立)． 可得23a ∈(0,1)，解得：a >23， 故答案为：(23 , +∞)．求出函数的导数，利用导函数在(0,1)上有极值点，导函数有零点，或导函数非负，求解a 的范围即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及单调区间的求法，考查计算能力．16.答案：解：(1)由f(x)的图象关于坐标原点对称，即有f(−x)=−f(x)可得b =0， 设曲线C 与x 轴切于T(t,0)，则{f(t)=0f′(t)=0⇒{t 3+at =03t 2+a =0⇒a =t =0⇒f(x)=x 3． (2)假设存在正实数m ，n 满足题意． 因g(x)=3−x 3在区间[m,n]上是减函数，故{g(m)=n g(n)=m ⇒{m 3+n =3n 3+m =3，两式相减可得m 2+mn +n 2=1⇒(m +n)2−mn =1， 由于mn <(m+n)24⇒(m +n)2−(m+n)24<1⇒m +n <√3．由0<m <n ，⇒m <3，n <3⇒m 3+n <33<3，与条件矛盾， 此时m ，n 不存在．解析：(1)利用已知条件，说明函数是奇函数，求出b 的值，利用函数与x 轴相切，求出a 的值即可； (2)假设存在正实数m ，n 满足题意，因g(x)=3−x 3在区间[m,n]上是减函数，利用{g(m)=n g(n)=m⇒{m 3+n =3n 3+m =3，两式相减，结合基本不等式，即可得到与条件矛盾，此时m ，n 不存在． 本题考查函数的导数与曲线的切线方程的求法，函数的零点，函数的值域的应用，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．17.答案：解：(1)向量m ⃗⃗⃗ =(√3cosx,1),n ⃗ =(sinx,cos 2x −1)，则：函数f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ +12， =√3sinxcosx +cos 2x −1+12， =√32sin2x +12cos2x ，=sin(2x +π6)，由于：x ∈[0,π4],f(x)=√33，则：sin(2x +π6)=√33，由于：2x +π6∈[π6,2π3]，解得：cos(2x +π6)=√63， cos2x =cos[(2x +π6)−π6]，=cos(2x +π6)cos π6+sin(2x +π6)sin π6， =√22+√36， (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ， 且满足2bcosA ≤2c −√3a ， 整理得：2b ⋅b 2+c 2−a 22bc≤2c −√3a ，整理得：cosB=a2+c2−b22ac ≥√32，所以：0<B≤π6，当B=π6时，a=1，△ABC面积为√34，则：12acsinB=√34，解得：c=√3，利用余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB，解得：b=1所以：a+csinA+sinC =bsinB=2解析：(1)首先利用向量数量积的坐标运算把三角函数关系式变形成正弦型函数，进一步利用角的恒等变换求出结果．(2)利用余弦定理对关系式进行变换求出B的范围，再利用三角形的面积公式和正弦定理，求出结果．本题考查的知识点：向量数量积的坐标运算，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，角的恒等变换，余弦定理和正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题型．18.答案：证明：(1)连接A C1交AC于E点，连接DE，∵ABC−A1B1C1为直三棱柱，故AA 1C1C为矩形，∴E是AB的中点，又∵D点是AB的中点，∴DE//BC1，又DE在平面CA1D内，∴BC1//平面CA1D.(2)三棱锥B−A1DC的体积即为三棱锥A1−BDC的体积．由题易得三棱锥A1−BDC的高ℎ=A A1=3，又∵AB=BC=AC=2，D为AB的中点，∴三角形ABC的面积S=12×AB×CD×12=√32，∴三棱锥A1−BDC的体积V=13Sℎ=√32．解析：(1)连接A C1交AC于E点，连接DE，推导出E是AB的中点，从而DE//BC1，由此能证明BC1//平面CA1D.(2)三棱锥B −A 1DC 的体积即为三棱锥A 1−BDC 的体积．由此能求出三棱锥A 1−BDC 的体积． 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：(本小题满分13分)解：(Ⅰ)从第一小组、第二小组中各选2人进行课程交流，选出的4人均选修科目乙的概率P =C 52C 62×C 42C 62=415；(Ⅱ)X 可能的取值为0，1，2，3，P(X =0)=C 52C 42C 62C 62=415，P(X =1)=C 52C 21C 41+C 51C 42C 62C 62=2245，P(X =2)=C 51C 21C 41+C 52C 22C 62C 62=29，P(X =3)=C 51C 62C 62=145∴X 的分布列为：∴E(X)=0×415+1×2245+2×29+3×145=1．解析：(Ⅰ)直接利用古典概型的概率求解即可．(Ⅱ)判断X 可能的取值为0，1，2，3，求出概率，列出分布列，然后求解期望即可． 本题考查古典概型的概率的求法，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力． 20.答案：解：(1)由题意可得{e =ca =√2212a 2+14b 2=1，解得a 2=2，b 2=1， 所以椭圆的方程为x 22+y 2=1；(2)由题意知，直线的方程为y =2x −2，设点A(x 1,y 1)，B(x 1,y 2)， 直线AB 与椭圆C 联立，可得9x 2−16x +6=0， 根据韦达定理得：x 1+x 2=169，y 2+y 2=−49，M 为AB 的中点， 所以M(89,−29)，又F(1,0)，所以|MF|=√59，同理可得|NF|=√53，所以△MNF 面积S △MNF =12|MF|⋅|NF|=12×√59×√53=554．解析：本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及中点坐标公式的应用，考查转化思想，属于中档题．(1)根据椭圆的离心率公式及待定系数法求得a 和b 的值，求得椭圆方程；(2)求得直线AB的方程，代入椭圆方程，根据韦达定理求得M点坐标，求得|MF|，同理求得|NF|，即可求得△MNF面积．21.答案：解：(Ⅰ)∵g(x)=xe a−x，x∈R，∴g′(x)=(1−x)e a−x.令g′(x)=0，得x=1．当x变化时，g(x)和g′(x)的变化情况如下：故g(x)的单调递减区间为(1,+∞)；单调递增区间为(−∞,1).(Ⅱ)∵ℎ(x)=e a−x+x，∴ℎ′(x)=1−e a−x．令ℎ′(x)=0，得x=a．当x变化时，ℎ(x)和ℎ′(x)的变化情况如下：即ℎ(x)的单调递增区间为(a,+∞)；单调递减区间为(−∞,a).∴ℎ(x)的最小值为ℎ(a)=1+a．①当1+a>0，即a>−1时，函数ℎ(x)不存在零点．②当1+a=0，即a=−1时，函数ℎ(x)有一个零点．③当1+a<0，即a<−1时，ℎ(0)=e a>0，下证：ℎ(2a)>0．令m(x)=e x−2x，则m′(x)=e x−2．解m′(x)=e x−2=0得x=ln2．当x>ln2时，m′(x)>0，∴函数m(x)在[ln2,+∞)上是增函数．取x=−a>1>ln2，得：m(−a)=e−a+2a>e ln2−2ln2=2−2ln2>0．∴ℎ(2a)=e −a +2a =m(−a)>0． 结合函数ℎ(x)的单调性可知， 此时函数ℎ(x)有两个零点．综上，当a >−1时，函数ℎ(x)不存在零点； a =−1时，函数ℎ(x)有一个零点； 当a <−1时，函数ℎ(x)有两个零点．解析：(Ⅰ)由g(x)=xe a−x ，x ∈R ，得g′(x)=(1−x)e a−x ，令g′(x)=0，得x =1.从而求出函数的单调区间；(Ⅱ)由ℎ(x)=e a−x +x ，得ℎ′(x)=1−e a−x .令ℎ′(x)=0，得x =a.求出函数的单调区间，得到ℎ(x)的最小值为ℎ(a)=1+a.再通过讨论a 的范围，综合得出函数的零点个数．本题考察了利用导数研究函数的单调性，函数的最值问题，函数的零点的判断问题，渗透了分类讨论思想，是一道中档题．22.答案：解：(1)∵{x =4cosθy =3sinθ，∴{cosθ=x4sinθ=y 3，∴曲线C 的普通方程为x 216+y 29=1． (2)∵3x +4y =12cosθ+12sinθ=12√2sin(θ+π4).∴当sin(θ+π4)=1时，3x +4y 取得最大值12√2， 当sin(θ+π4)=−1时，3x +4y 取得最小值−12√2． ∴3x +4y 的取值范围是[−12√2,12√2].解析：(1)根据参数得平方和等于1消去参数得到普通方程；(2)把参数方程代入3x +4y 得到关于θ的三角函数，根据三角函数的性质求出最值． 本题考查了参数方程与普通方程的转化，参数方程的应用，属于基础题． 23.答案：解：(1)令y =|x −1|+|x −2|，则y ={3−2x , x ≤11 , 1<x <22x −3 , x ≥2，作出函数y =|x −1|+|x −2|的图象，它与直线y =2的交点为(12,2)和(52,2)． 所以f(x)+g(x)<2的解集为(12,52).------------(5分)(Ⅱ)因为|x −2y +3|=|(x −1)−2(y −2)|≤|x −1|+2|y −2|=f(x)+2g(y)≤3， 所以|x −2y +3|≤3成立．--------(10分)解析：(1)令y=|x−1|+|x−2|，则y={3−2x , x≤11 , 1<x<22x−3 , x≥2，作出函数y=|x−1|+|x−2|的图象，它与直线y=2的交点为(12,2)和(52,2)，由此得到不等式的解集．(Ⅱ)因为|x−2y+3|=|(x−1)−2(y−2)|≤|x−1|+2|y−2|=f(x)+2g(y)，再根据f(x)≤1，g(y)≤1证得结论．本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的性质应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．。
南宁市2019-2020学年数学高二第二学期期末达标测试试题含解析
南宁市2019-2020学年数学高二第二学期期末达标测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，那么在五次测试中恰有三次测到正品的概率是（ ） A ．33534C ⎛⎫⎪⎝⎭B ．22514C ⎛⎫⎪⎝⎭C ．23253144C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．32353144C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2．展开式中的常数项为（ ）A ．第5项B ．第5项或第6项C ．第6项D ．不存在3．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，将数据制成茎叶图如图，若用样本估计总体，年龄在(,)x s x s -+内的人数占公司总人数的百分比是（精确到1%）（ ）A ．56%B ．14%C ．25%D ．67%4．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，则BD u u u r等于（ ）A ．1122a b c -+r r rB ．a b c +-r r rC ．a b c -+r r rD ．1122a b c -+-r r r5．设复数（是虚数单位），则复数的虚部是（ ）A ．B ．C ．D ．6．有7名女同学和9名男同学，组成班级乒乓球混合双打代表队，共可组成（ ） A ．7队B ．8队C ．15队D ．63队7．若函数()2ln f x ax x x =+-存在增区间，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭8．角α的终边与单位圆交于点525⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,则cos2=α（ ） A ．15B ．-15 C ．35D ．35-9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，()121n n S S n N ++=-∈，则10a =（ ） A ．128 B ．256C ．512D ．102410．若展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．12011．已知函数()()()10xf x e ax ax a a =--+≥，若有且仅有两个整数()1,2i x i =，使得()0i f x <，则a 的取值范围为（ ）A ．1,121e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭B ．21,12e -⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．211,22e -⎛⎤ ⎥-⎝⎦D ．11,212e ⎛⎤⎥-⎝⎦ 12．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ）A ．12E E ξξ<，12D D ξξ<B ．12E E ξξ=，12D D ξξ>C ．12E E ξξ=，12D D ξξ<D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知双曲线22132x y m m +=--的焦距为3__________．14．若曲线3()y x ax a R =-∈在点01x =处的切线斜率为1，则该切线方程为__________．15．设x ，y 满足约束条件1124x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪-⎩……„，则()222z x y =++的最小值为_______. 16．集合{}2{0,2},1,A B a ==，若{0,1,2,4}A B ⋃=，则实数a 的值为__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知二项式332nx x ⋅的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.（1）求正整数n 的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中系数最大的项.18．已知抛物线C ：2y =2px （p>0）的准线方程为x=-12,F 为抛物线的焦点 （I ）求抛物线C 的方程；（II ）若P 是抛物线C 上一点，点A 的坐标为（72,2）,求PA PF +的最小值； （III ）若过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于M ，N 两点，求线段MN 的中点坐标．19．（6分）设不等式()()0x y x y +-<表示的平面区别为D ．区域D 内的动点P 到直线0x y +=和直线0x y -=的距离之积为1．记点P 的轨迹为曲线C ．过点()F 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．（1）求曲线C 的方程；（1）若l 垂直于x 轴，Q 为曲线C 上一点，求QA QB ⋅u u u v u u u v的取值范围；（3）若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求直线l 的斜率．20．（6分）某大型工厂有5台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为12．已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损3万元．该工厂每月需支付给每名维修工人1.5万元的工资．（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行．若该厂只有2名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率； （2）已知该厂现有4名维修工人．（ⅰ）记该厂每月获利为X 万元，求X 的分布列与数学期望；（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？21．（6分）证明：当[0,1]x ∈sin x x x ≤≤. 22．（8分）等差数列{}n a 的前n 项和为46,62,75n S S S =-=-，求数列{||}n a 前n 项和.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．D 【解析】 【分析】根据二项分布独立重复试验的概率求出所求事件的概率。
广西南宁市第三中学2019-2020学年高二下学期期中段考数学(文科)试题 (解析版)
2019-2020学年高二第二学期期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知复数z满足：zi＝1+i（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣i B．i C．1D．﹣12．观察数列1，ln2，sin3，4，ln5，sin6，7，ln8，sin9……，则该数列的第11项等于（）A．1111B．11C．ln11D．sin113．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝3a5，则一定成立的是（）A．a4＝0B．a5＝0C．a6＝0D．a9＝04．函数f（x）＝﹣2x+lnx的图象在x＝1处的切线方程为（）A．x+y+1＝0B．x﹣y+1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y﹣1＝05．已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是（）A．x216+y27=1B．x27+y216=1C．x264+y228=1D．x228+y264=16．为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农民户籍各50人；男性60人，女性40人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（）A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B．是否倾向选择生育二胎与性别无关C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F依次是A1D1和B1C1的中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值为（）A．35B．45C．2√55D．08．某企业有2个分厂生产某种零件，为了研究两个分厂生产零件的质量是否有差异，随机从2个分厂生产的零件中各抽取了500件，具体数据如表所示：甲厂乙厂总计优质品360320680非优质品140180320总计5005001000根据表中数据得K 2=1000×(360×180−320×140)2680×320×500×500≈7.353，从而断定两个分厂生产零件的质量有差异，那么这种判断出错的最大可能性为（ ） 附表： P （k 2≥k 0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 2.7063.8415.0246.6357.87910.828A ．0.1B ．0.01C ．0.05D ．0.0019．已知直线2mx +ny ＝2（m ＞0，n ＞0）过圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5的圆心，则1m+1n的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．函数y =lnx 2x的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数f （x ）={x 2−x ，x ≤0ln(x +1)，x ＞0，若存在x 0∈R 使得f （x 0）≤ax 0﹣1，则实数a的取值范围是（ ） A ．（0，+∞）B ．[﹣3，0]C ．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）D ．（﹣∞，﹣3]∪（0，+∞）12．定义方程f （x ）＝f '（x ）的实根x 0叫做函数f （x ）的“新驻点”，若函数g （x ）＝xe x +1，h （x ）＝lnx +1，φ（x ）＝x 3﹣1的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数f （x ）=13x 3+x 2﹣3x ﹣1的极小值是 ．14．已知函数f （x ）定义域为R ，f （1）＝2，f （x ）在R 上的导数f ′（x ）满足f ′（x ）﹣3＞0，则不等式f （x ）＜3x ﹣1的解集为 ．15．关于x 的不等式x 2lnx ﹣kx +x ≥0恒成立，实数k 的取值范围是 ． 16．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1作圆x 2+y 2＝a 2的切线交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2=π4，则双曲线的离心率为 ． 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△BC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 已知√3b cos C ＝c sin B ． （Ⅰ）求角C 的大小（Ⅱ）若c ＝2√7，△ABC 的面积为6√3，求△ABC 的周长．18．长沙某公司对其主推产品在过去5个月的月广告投入x i （百万元）和相应的销售额y i（百万元）进行了统计，其中i ＝1，2，3，4，5，对所得数据进行整理，绘制散点图并计算出一些统计量如下：∑ 5i=1x i ∑ 5i=1w i ∑ 5i=1y i ∑ 5i=1(x i −x)(y i −y)∑ 5i=1(w i −w)(y i −y) ∑ 5i=1(x i −x)2 ∑ 5i=1(w i −w)6810.315.8﹣192.121.6020.46 3.56其中w i ＝x i 2，i ＝1，2，3，4，5．（1）根据散点图判断，y ＝bx +a 与y ＝cx 2+d 哪一个适宜作为月销售额关于月广告投入x i 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及题中所给数据，建立y 关于x 的回归方程，并据此估计月广告投入200万元时的月销售额．附：对于一组数据（u 1，v 1），（u 2，v 2），…，（u n ，v n ），其回归直线v ＝α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=∑ n i=1(u i −u)(v i −v)∑ ni=1(u i −u)2，α=v −βu ．19．如图所示，四棱锥S ﹣ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AB ＝AD ＝SA ＝1，BC ＝2，M 为SB 的中点． （1）求证：AM ∥平面SCD ； （2）求点B 到平面SCD 的距离．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√63，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为√2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设与圆O ：x 2+y 2=34相切的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点（O 为坐标原点），求△AOB 面积的最大值．21．已知函数f(x)=ae x +a+1x−2(a +1)． （1）讨论当a =1，x ≥√2时，函数f （x ）的单调性；（2）当f （x ）≥0对任意的x ∈（0，+∞）恒成立，其中a ＞0．求a 的取值范围． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4极坐标与参数方程]22．已知直线l 的参数方程为{x =12+√32ty =12t （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P （12，0），直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AP |+|PB |的值．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +2| （1）解不等式f （x ）＞5；（2）若不等式f （x ）＜a （a ∈R ）的解集为空集，求a 的取值范围．参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z满足：zi＝1+i（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣i B．i C．1D．﹣1【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由zi＝1+i，得z=1+ii=(1+i)(−i)−i2=1−i，∴z的虚部为﹣1．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．观察数列1，ln2，sin3，4，ln5，sin6，7，ln8，sin9……，则该数列的第11项等于（）A．1111B．11C．ln11D．sin11【分析】通过观察数列得出规律，数列中的项是按正整数顺序排列，且以3为循环节，由此判断第11项是哪个数．解：由数列得出规律，按照1，ln2，sin3，…，是按正整数的顺序排列，且以3为循环节，由11÷3＝3余2，所以该数列的第11项为ln11．故选：C．【点评】本题考查了归纳推理的应用问题，是基础题．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝3a5，则一定成立的是（）A．a4＝0B．a5＝0C．a6＝0D．a9＝0【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质进行转化即可得出．解：因为S9＝9a5＝3a5，所以a5＝0．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．函数f（x）＝﹣2x+lnx的图象在x＝1处的切线方程为（）A．x+y+1＝0B．x﹣y+1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y﹣1＝0【分析】求出函数的导数，得到切线的斜率，即可判断选项的正误；解：函数f（x）＝﹣2x+lnx，可得f′（x）＝﹣2+1 x，函数f（x）＝﹣2x+lnx的图象在x＝1处的切线的斜率为：f′（1）＝﹣1．切点坐标为：（1，﹣2），函数f（x）＝﹣2x+lnx的图象在x＝1处的切线方程为y+2＝﹣（x﹣1）即x+y+1＝0．故选：A．【点评】本题考查曲线的曲线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．5．已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是（）A．x216+y27=1B．x27+y216=1C．x264+y228=1D．x228+y264=1【分析】由题意求出a、c和b2，根据焦点在x轴上写出椭圆的标准方程．解：由题意知，2a＝8，解得a＝4；又e=34，即c4=34，解得c＝3；所以b2＝a2﹣c2＝7；又椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的方程为x216+y27=1．故选：A．【点评】本题考查了椭圆的标准方程计算问题，是基础题．6．为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农民户籍各50人；男性60人，女性40人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（）A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B．是否倾向选择生育二胎与性别无关C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数【分析】利用柱形图的性质直接求解．解：由不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，知：在A中，城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为40%，农村户籍倾向选择生育二胎的比例为80%，∴是否倾向选择生育二胎与户籍有关，故A正确；在B中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，∴是否倾向选择生育二胎与性别无关，故B正确；在C中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为60×60%＝36人，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为40×60%＝24人，∴倾向选择生育二胎的人员中，男性人数比女性人数多，故C错误；在D中，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数为50×（1﹣80%）＝10人，城镇户籍人数为50×（1﹣40%）＝30人，∴倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，故D正确．故选：C．【点评】本题考查柱形图的应用，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题．7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F依次是A1D1和B1C1的中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值为（）A．35B．45C．2√55D．0【分析】由两异面直线所成角的作法得：连接ED，则ED∥FC，则∠AED（或其补角）为异面直线AE与CF所成角，由余弦定理得：cos ∠AED =AE 2+DE 2−AD 22×AE×DE =35，即异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为35，得解．解：连接ED ，则ED ∥FC ，则∠AED （或其补角）为异面直线AE 与CF 所成角， 在△ADE 中，设D 1E ＝a ，则AE ＝DE =√5a ，AD ＝2a ， 由余弦定理得：cos ∠AED =AE 2+DE 2−AD 22×AE×DE =35，即异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为35，故选：A ．【点评】本题考查了两异面直线所成角的作法及余弦定理，属中档题．8．某企业有2个分厂生产某种零件，为了研究两个分厂生产零件的质量是否有差异，随机从2个分厂生产的零件中各抽取了500件，具体数据如表所示：甲厂 乙厂 总计 优质品 360 320 680 非优质品 140 180 320 总计5005001000根据表中数据得K 2=1000×(360×180−320×140)2680×320×500×500≈7.353，从而断定两个分厂生产零件的质量有差异，那么这种判断出错的最大可能性为（ ） 附表： P （k 2≥k 0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 2.7063.8415.0246.6357.87910.828A ．0.1B ．0.01C ．0.05D ．0.001【分析】根据观测值K 2，对照临界值得出结论． 解：由题意知，K 2≈7.353＞6.635，根据附表可得判断秃发与患有心脏病有关出错的可能性为0.01． 故选：B ．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．9．已知直线2mx +ny ＝2（m ＞0，n ＞0）过圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5的圆心，则1m+1n的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】圆心（1，2），代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值．解：圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5的圆心为（1，2）， 由题意可得2m +2n ＝2，即m +n ＝1，m ，n ＞0，则1m+1n=（1m +1n）（m +n ）＝2+n m +mn ≥4，当且仅当n m =mn 且m +n ＝1即m ＝n =12时取等号， 故选：D ．【点评】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题． 10．函数y =lnx 2x的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性可以排除A 、B ，在分析函数在（0，1）上的符号，排除C ，即可得答案．解：根据题意，函数定义域为{x |x ≠0}，又由f （﹣x ）=−lnx 2x =−f （x ），则f （x ）为奇函数，排除A 、B ，又由在（0，1）上，lnx 2＜0而x ＞0，则y =lnx 2x ＜0，排除C ；故选：D ．【点评】本题考查函数的图象，注意分析函数的定义域、奇偶性．11．已知函数f （x ）={x 2−x ，x ≤0ln(x +1)，x ＞0，若存在x 0∈R 使得f （x 0）≤ax 0﹣1，则实数a的取值范围是（ ） A ．（0，+∞）B ．[﹣3，0]C ．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）D ．（﹣∞，﹣3]∪（0，+∞）【分析】根据题意，作出函数f （x ）的图象草图，而直线y ＝ax ﹣1恒过定点（0，﹣1），分析可得若存在x 0∈R 使得f （x 0）≤ax 0﹣1，则函数f （x ）的图象在直线y ＝ax ﹣1下方有图象或有交点，据此分情况讨论a 的取值范围，综合即可得答案． 解：根据题意，函数f （x ）={x 2−x ，x ≤0ln(x +1)，x ＞0，其图象如图：直线y ＝ax ﹣1恒过定点（0，﹣1），若存在x 0∈R 使得f （x 0）≤ax 0﹣1，则函数f （x ）的图象在直线y ＝ax ﹣1下方有图象或有交点，则直线y ＝ax ﹣1与函数f （x ）的图象必定有交点，分析可得：当a ＞0时，直线y ＝ax ﹣1经过第一三四象限，与函数f （x ）的图象必有交点，符合题意，当a ＜0时，直线y ＝ax ﹣1经过第二三四象限，若直线y ＝ax ﹣1与f （x ）的有交点，必然相交于第二象限，则有{y =x 2−x y =ax −1，即ax ﹣1＝x 2﹣x ，变形可得x 2﹣（a +1）x +1＝0，令△＝0，解可得a ＝﹣3或1（舍）， 则有a ≤﹣3，综合可得：a 的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪（0，+∞）； 故选：D ．【点评】本题考查分段函数的解析式，关键是分析函数f（x）的图象．12．定义方程f（x）＝f'（x）的实根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）＝xe x+1，h（x）＝lnx+1，φ（x）＝x3﹣1的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．b＞c＞a【分析】求出函数的导数，结合新定义，求出函数的零点，然后判断大小即可．解：由题意：函数g（x）＝xe x+1，g'（x）＝xe x+e x，所以a为xe x+1＝xe x+e x的根，解得x＝0，即a＝0．h（x）＝lnx+1，h′(x)=1x，b为lnx+1=1x的根，可得x＝1，即可b＝1；φ（x）＝x3﹣1，φ'（x）＝3x2，c为x3﹣1＝3x2的根，即函数φ1(x)=x3−1−3x2的零点，又因为：φ1（2）＜0，φ1（4）＝15＞0，c∈（2，4）；所以：c＞b＞a．故选：B．【点评】本题考查函数的极值的求法，函数的零点的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数f（x）=13x3+x2﹣3x﹣1的极小值是−83．【分析】先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解函数的极小值．解：f'（x）＝x2+2x﹣3，由x2+2x﹣3＝0得x＝﹣3或1所以函数f(x)=13x3+x2−3x−1在（﹣∞，﹣3）上为增函数，（﹣3，1）上为减函数，（1，+∞）上为增函数，故f（x）在x＝1处有极小值，极小值为−8 3．故答案为：−8 3【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的极值，属于基础试题．14．已知函数f（x）定义域为R，f（1）＝2，f（x）在R上的导数f′（x）满足f′（x）﹣3＞0，则不等式f（x）＜3x﹣1的解集为（﹣∞，1）．【分析】构造函数F（x）＝f（x）﹣3x，求出函数的导数，根据函数的单调性得到F（x）＜F（1），求出x的范围即可．解：构造函数F（x）＝f（x）﹣3x，则F'（x）＝f'（x）﹣3＞0，F（x）在R上是增函数，且F（1）＝f（1）﹣3＝﹣1．又不等式f（x）＜3x﹣1可化为f（x）﹣3x＜﹣1，即F（x）＜F（1），∴x＜1．故答案为：（﹣∞，1）．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．15．关于x的不等式x2lnx﹣kx+x≥0恒成立，实数k的取值范围是(−∞，1−1e]．【分析】由题意可得xlnx﹣k+1≥0恒成立，即k≤xlnx+1，令g（x）＝xlnx+1，求得导数和单调性，可得g（x）的最小值，即可得到所求k的范围．解：x2lnx﹣kx+x≥0在（0，+∞）恒成立，即xlnx﹣k+1≥0恒成立，即k≤xlnx+1，令g（x）＝xlnx+1，则g'（x）＝lnx+1，当g'（x）≥0，即lnx+1≥0，解得x≥1e，当g'（x）＜0，即lnx+1＜0，解得0＜x＜1e，所以g （x ）在(0，1e )上为减函数，在[1e ，+∞)上增函数，所以g(x)min =g(1e )=1e ln 1e +1=1−1e，所以k ≤1−1e．故答案为：（﹣∞，1−1e]．【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，考查构造函数法，以及导数的运用：求单调性和最值，考查运算能力和推理能力，属于中档题．16．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1作圆x 2+y 2＝a 2的切线交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2=π4，则双曲线的离心率为 √3 ． 【分析】如图：|MF 1|﹣|MF 2|＝2a ，设|MF 2|＝t ，则|MF 1|＝2a +t ，∵sin ∠MF 1F 2=|ON||OF 1|=ac ，然后在三角形MF 1F 2中由正余弦定理列方程可解得离心率． 解：如图：|MF 1|﹣|MF 2|＝2a ，设|MF 2|＝t ，则|MF 1|＝2a +t ， ∵sin ∠MF 1F 2=|ON||OF 1|=ac ，在△MF 1F 2中，由正弦定理得|MF 2|sin∠MF 1F 2=|F 1F 2|sin∠F 1MF 2，即tac=√22， ∴t ＝2√2a ，∴|MF 2|＝2√2a ，|MF 1|＝（2√2+2）a ，由余弦定理得4c 2＝8a 2+（12+8√2）a 2﹣2×2√2a ×(2√2+2）a ×√224c 2＝12a 2，∴c 2＝3a 2，∴e =√3． 故答案为：√3．【点评】本题考查了双曲线的离心率，属中档题．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△BC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知√3b cos C＝c sin B．（Ⅰ）求角C的大小（Ⅱ）若c＝2√7，△ABC的面积为6√3，求△ABC的周长．【分析】（Ⅰ）由正弦定理可得√3sin B cos C＝sin C sin B，结合sin B≠0，可求tan C=√3，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（Ⅱ）由已知利用三角形面积公式可求ab＝24，根据余弦定理可解得a+b＝10，即可解得△ABC的周长．解：（Ⅰ）∵√3b cos C＝c sin B．∴由正弦定理可得：√3sin B cos C＝sin C sin B，∵sin B≠0，∴可得：tan C=√3，∵C∈（0，π），∴C=π3．（Ⅱ）∵C=π3，c＝2√7，△ABC的面积为6√3=12ab sin C=√34ab，∴解得：ab＝24，∵由余弦定理可得：28＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝（a+b）2﹣3×24，∴解得：a+b＝10，∴△ABC的周长a+b+c＝10+2√7．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．18．长沙某公司对其主推产品在过去5个月的月广告投入x i（百万元）和相应的销售额y i （百万元）进行了统计，其中i＝1，2，3，4，5，对所得数据进行整理，绘制散点图并计算出一些统计量如下：∑5i=1x i∑5i=1w i∑5i=1y i∑5i=1(x i−x)(y i−y)∑5i=1(w i−w)(y i−y)∑5i=1(x i−x)2∑5i=1(w i−w)6810.315.8﹣192.12 1.6020.46 3.56其中w i＝x i2，i＝1，2，3，4，5．（1）根据散点图判断，y＝bx+a与y＝cx2+d哪一个适宜作为月销售额关于月广告投入x i的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及题中所给数据，建立y关于x的回归方程，并据此估计月广告投入200万元时的月销售额．附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=∑n i=1(u i−u)(v i−v)∑n i=1(u i−u)2，α=v−βu．【分析】（1）由散点图可知，选择y＝cx2+d作为回归方程；（2）令w＝x2，则y＝cw+d，分别求出c与d的值，则回归方程可求，进一步得到y关于x的回归方程，取x＝200求得y值，即可得到月广告投入200万元时的月销售额．解：（1）根据散点图可知，选择y＝cx2+d作为回归方程；（2）令w＝x2，则y＝cw+d，w=15∑5i=1w i=2.06，y=15∑5i=1y i=3.16，c=∑5i=1(w i−w)(y i−y)∑5i=1(w i−w)2=1.6023.56=0.45，d=y−c w=3.16−0.45×2.06=2.233，故回归方程为y^=0.45x2+2.233，当月广告投入为200万元时，月销售额为y^=0.45×2002+2.233=18002.233（万元）．答：选择y＝cx2+d作为回归方程，当月广告投入为200万元时，月销售额约18002.233万元．【点评】查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．19．如图所示，四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD ＝SA＝1，BC＝2，M为SB的中点．（1）求证：AM∥平面SCD；（2）求点B到平面SCD的距离．【分析】（1）取SC的中点N，连结MN和DN，可证明得到四边形AMND是平行四边形，进而AM∥平面SCD；（2）先证明得到AM⊥平面SBC，进而得到平面SCD⊥平面SBC，作BE⊥SC交SC于E，则BE⊥平面SCD，在直角三角形中利用等面积法即可求出距离解：（1）取SC的中点N，连结MN和DN，∵M为SB的中点，∴MN∥BC，且MN=12BC，∵∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝1，BC＝2，∴AD∥BC，且AD=12BC，∴AD平行且等于MN，∴四边形AMND是平行四边形，∴AM∥DN，∵AM⊄平面SCD，DN⊂平面SCD，∴AM∥平面SCD．（2）∵AB＝AS＝1，M为SB中点，∴AM ⊥SB ，∵SA ⊥平面ABCD ，∴SA ⊥BC ， ∵∠ABC ＝∠BAD ＝90°， ∴BC ⊥AB ， ∴BC ⊥平面SAB ， ∴BC ⊥AM ， ∴AM ⊥平面SBC ， 由（1）可知AM ∥DN ， ∴DN ⊥平面SBC ， ∵DN ⊂平面SCD ， ∴平面SCD ⊥平面SBC ，作BE ⊥SC 交SC 于E ，则BE ⊥平面SCD ，在直角三角形SBC 中，12SB •BC =12SC •BE ，∴BE =SB⋅BC SC =2√2√6=2√33， 即点B 到平面SCD 的距离为2√33．【点评】本题考查线面平行的证明，考查求点到平面距离，数形结合思想，转化思想，等面积法，属于中档题20．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为√63，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为√2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设与圆O ：x 2+y 2=34相切的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点（O 为坐标原点），求△AOB 面积的最大值．【分析】（1）由已知可得关于a ，b ，c 的方程组，求解可得a ，b ，c 的值，则椭圆方程可求；（2）当k 不存在时，求出△AOB 的面积；当k 存在时，设直线为y ＝kx +m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线y ＝kx +m 代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件得m 与k 的关系，结合基本不等式即可得到所求面积的最大值和直线l 的方程．解：（1）由题意可得，e =c a =√63，a 2﹣b 2＝c 2，bc =√2，解得a =√3，b ＝1，c =√2， 即有椭圆的方程为x 23+y 2＝1；（2）当k 不存在时，x ＝±√32，可得y ＝±√32， S △OAB =12×√3×√32=34；当k 存在时，设直线为y ＝kx +m （k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 将直线y ＝kx +m 代入椭圆方程可得（1+3k 2）x 2+6kmx +3m 2﹣3＝0， x 1+x 2=−6km 1+3k2，x 1x 2=3m 2−31+3k 2，由直线l 与圆O ：x 2+y 2=34相切，可得√1+k 2=√32， 即有4m 2＝3（1+k 2），|AB|=√1+k2•√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2•√(−6km1+3k2)2−12(m2−1)1+3k2=√3•√1+10k 2+9k41+6k2+9k4=√3•√1+4k21+6k2+9k4=√3•√1+49k2+1k2+6≤√3•√1429+6=2，当且仅当9k2=1k2，即k＝±√33时等号成立，可得S△OAB=12|AB|•r≤12×2×√32=√32，即有△OAB面积的最大值为√3 2．此时直线方程y＝±√33x±1．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，属于中档题．21．已知函数f(x)=ae x+a+1x−2(a+1)．（1）讨论当a=1，x≥√2时，函数f（x）的单调性；（2）当f（x）≥0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，其中a＞0．求a的取值范围．【分析】（1）当a=1，x≥√2时，f′(x)=e x−2x2，当x≥√2，f′(x)为单调递增函数，然后判断函数的单调性即可．（2）由已知有f （x ）min ≥0，其中x ＞0，a ＞0．求出导函数，令g （x ）＝ax 2e x ﹣（a +1），其中x ＞0，a ＞0．利用函数的导数，判断函数的最值，f （x ）min ＝f （x 0）=ae x 0+a+1x 0−2(a +1)．通过令a+1x 0+a+1x 0−2(a +1)≥0，转化求解a 的范围即可．解：（1）当a =1，x ≥√2时，f′(x)=e x −2x 2， 当x ≥√2时，y ＝e x 是增函数，y =−2x 2是增函数， 所以，当x ≥√2，f′(x)为单调递增函数，∴f′(x)≥e √2−1＞0，f （x ）在[√2，+∞)为增函数（2）由已知有f （x ）min ≥0，其中x ＞0，a ＞0.f /(x)=ae x −a+1x2=ax 2e x −(a+1)x2． 令g （x ）＝ax 2e x ﹣（a +1），其中x ＞0，a ＞0．由g '（x ）＝a （2x +x 2）e x ＞0得g （x ）在（0，+∞）上单调递增． 又g （0）＝﹣（a +1）＜0，当x →+∞时，g （x ）→+∞， 故存在x 0∈（0，+∞），使得g （x 0）＝0．当x ∈（0，x 0）时，g （x ）＜0，f '（x ）＜0，f （x ）在（0，x 0）上单调递减； 当x ∈（x 0，+∞）时，g （x ）＞0，f '（x ）＞0，f （x ）在（x 0，+∞）上单调递增． 故f （x ）min ＝f （x 0）=ae x 0+a+1x 0−2(a +1)．由g （x 0）＝0得，ax 02e x 0−(a +1)=0，即ae x 0=a+1x 02． 则f （x 0）=ae x 0+a+1x 0−2(a +1)=a+1x 02+a+1x 0−2(a +1)．令a+1x 02+a+1x 0−2(a +1)≥0，由x 0＞0，a ＞0，解得0＜x 0≤1．因为g （x ）＝ax 2e x ﹣（a +1）在（0，+∞）上单调递增，0＜x 0≤1，所以g （1）≥g （x 0）＝0．故g （1）≥0，即ae ﹣（a +1）≥0，解得a ≥1e−1【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题． 一、选择题22．已知直线l 的参数方程为{x =12+√32ty =12t（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P （12，0），直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AP |+|PB |的值．【分析】（1）由代入法可得直线l 的普通方程；由极坐标和直角坐标的关系：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2+y 2＝ρ2，可得曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，可得t 的二次方程，再由参数的几何意义和韦达定理，即可得到所求值．解：（1）直线l 的参数方程为{x =12+√32ty =12t （t 为参数）， 消去t ，可得2x ﹣2√3y ﹣1＝0； 曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ． 由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2+y 2＝ρ2，可得x 2+y 2＝2x ，即曲线C 的直角坐标方程为（x ﹣1）2+y 2＝1；（2）将直线l 的参数方程{x =12+√32ty =12t（t 为参数）代入C 的方程（x ﹣1）2+y 2＝1，可得t 2−√32t −34=0，△=34+3＞0，设t 1，t 2是点A ，B 对应的参数值，t 1+t 2=√32，t 1t 2=−34，则|PA |+|PB |＝|t 1﹣t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√34+3=√152．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，以及直线的参数方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题． [选修4-5不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +2| （1）解不等式f （x ）＞5；（2）若不等式f （x ）＜a （a ∈R ）的解集为空集，求a 的取值范围．【分析】（1）根据函数f （x ）={−3x −1，x ＜−1x +3，−1≤x ≤13x +1，x ＞1，分类讨论求得不等式f （x ）＞5的解集．（2）由（1）可得函数f （x ）的最小值为f （﹣1）＝2，结合题意求得a 的取值范围．解：（1）函数f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +2|={−3x −1，x ＜−1x +3，−1≤x ≤13x +1，x ＞1，当x ＜﹣1时，由﹣3x ﹣1＞5，求得x ＜﹣2． 显然，当﹣1≤x ≤1时，不等式f （x ）＞5无解，当x ＞1时，由3x +1＞5，求得x ＞43．综上可得，不等式的解集为{x |x ＜﹣2或x ＞43}．（2）由（1）可得f （x ）={−3x −1，x ＜−1x +3，−1≤x ≤13x +1，x ＞1，函数f （x ）的最小值为f （﹣1）＝2，故当a≤2时，不等式f（x）＜a（a∈R）的解集为空集．【点评】本题主要考查队友绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．。
2020年广西省南宁市数学高二第二学期期末考试试题含解析
2020年广西省南宁市数学高二第二学期期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A ．34B ．55C ．78D ．892．已知x ，()0,y ∈+∞，1x y +=，则xy 的最大值为（ ） A ．1B ．12C ．13D ．143．将偶函数()()()sin 30πf x x ϕϕ=+<<的图象向右平移π12个单位长度后，得到的曲线的对称中心为（ ） A ．()π7π,0336k k ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z B ．()ππ,0312k k ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z C ．()ππ,0336k k ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z D ．()ππ,034k k ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z 4．双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交曲线左支于A ，B 两点，△F 2AB是以A 为直角顶点的直角三角形，且∠AF 2B ＝30°．若该双曲线的离心率为e ，则e 2＝（ ） A ．113+B ．1353+C ．163-D ．19103-5．设sin1a =,12sin 2b =，13sin 3c =，则（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<6．定积分()1xx e +⎰的值为( )A ．eB ．12e +C ．12e -D ．1e +7．若函数()f x 的定义域为[2,8]，则函数(2)()ln(2)f xg x x =-的定义域为（）8．已知11a =，1()n n n a n a a +=-（*n N ∈），则数列{}n a 的通项公式是 （ ） A ．21n -B ．11()n n n-+ C ．nD ．2n9．二项式12展开式中，3x 的系数是（ ）A ．495-B ．220-C ． 495D ．22010．在54(1)(1)x y -+的展开式中，记m n x y 项的系数为(,)f m n ，则(1,0)(2,1)f f ++(3,2)(4,3)f f +=（） A ．125B ．5C ．5-D ．15-11．将函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图形向左平移ϕ个单位后得到的图像关于y 轴对称，则正数ϕ的最小正值是（） A ．3π B ．12πC ．56π D ．512π 12．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(0)(2)P P a ξξ<=>-，则a =（ ） A ．-2B ．2C ．4D ．6二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．把6个学生分配到3个班去，每班2人，其中甲必须分到一班，乙和丙不能分到三班，不同的分法共有__________种.14．用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数是_____人. 15．设121(3sin )m x x dx -=+⎰，则6()m x x-的展开式中的常数项为__________． 16．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX =____________． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数322()1f x x x x =-++.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的极值. 18．设(),f x x a a R =-∈.（1）当13x -≤≤时，()3f x ≤，求a 的取值范围；（2）若对任意x R ∈，()()12f x a f x a a -++≥-恒成立，求实数a 的最小值.19．（6分）旅游业作为一个第三产业，时间性和季节性非常强，每年11月份来临，全国各地就相继进入旅游淡季，很多旅游景区就变得门庭冷落.为改变这种局面，某旅游公司借助一自媒体平台做宣传推广，销售特惠旅游产品.该公司统计了活动刚推出一周内产品的销售数量，用x 表示活动推出的天数，用y 表示产品的销售数量（单位：百件），统计数据如下表所示.根据以上数据，绘制了如图所示的散点图，根据已有的函数知识，发现样本点分布在某一条指数型函数ˆˆbx ay e +=的周围.为求出该回归方程，相关人员确定的研究方案是：先用其中5个数据建立y 关于x 的回归方程，再用剩下的2组数据进行检验.试回答下列问题： （1）现令ln t y =，若选取的是1,2,3,4,5x =这5组数据，已知518ln 26ln 3ii t==+∑，5126ln 222ln 3i ii x t==+∑，请求出t 关于x 的线性回归方程（结果保留一位有效数字）；（2）若由回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过10，则认为得到的回归方程是可靠的，试问（1）中所得的回归方程是否可靠？参考公式及数据：对于一组数据1122()()()n n x y x y x y L ，，，，，，，其回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为1211221()()ˆ()n iii nni ii ni i i i x y n x x y y bx x x yx nx====----==-∑∑∑∑， ˆˆay bx =-；ln 20.69,ln 3 1.10≈≈；45 1.22e e ≈≈．20．（6分）对一批产品的内径进行抽查，已知被抽查的产品的数量为200，所得内径大小统计如表所示：（Ⅰ）以频率估计概率，若从所有的这批产品中随机抽取3个，记内径在[)26,28的产品个数为X ，X 的分布列及数学期望()E X ；（Ⅱ）已知被抽查的产品是由甲、乙两类机器生产，根据如下表所示的相关统计数据，是否有99%的把握认为生产产品的机器种类与产品的内径大小具有相关性．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，（其中n a b c d =+++为样本容量）．()2P K k ≥0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82821．（6分）一个多面体的三视图如图：主视图和左视图均为一个正方形上加一个等腰直角三角形，正方形的边长为a ，俯视图中正方形的边长也为a .主视图和左视图 俯视图 （1）画出实物的大致直观图形； （2）求此物体的表面积；（3）若2a =，一个蚂蚁从该物体的最上面的顶点开始爬，要爬到此物体下底面四个项点中的任意一个顶点，最短距离是多少?（精确到0.1个单位）22．（8分）已知函数()()()ln f x mx x m m R =-+∈. （1）求()f x 的单调区间；（2）设121m x x >，，为函数()f x 的两个零点，求证：122ln mx x m+<-.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】试题分析：由题意，①1,1,2x y z ===⇒②1,2,3x y y z z =====⇒③2,3,5x y z ===⇒④3,5,8x y z ===⇒⑤5,8,13x y z ===⇒⑥8,13,21x y z ===⇒⑦13,21,34x y z ===⇒⑧21,34,5550x y z ===>，从而输出55z =，故选B.考点：1.程序框图的应用. 2．D 【解析】 【分析】直接使用基本不等式，可以求出xy 的最大值. 【详解】因为x ，()0,y ∈+∞，1x y +=，所以有2111()24x y xy =+≥⇒≤=，当且仅当12x y ==时取等号，故本题选D. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，掌握公式的特征是解题的关键. 3．D 【解析】 【分析】根据函数为偶函数求出函数解析式，根据余弦函数的图象和性质求对称轴即可. 【详解】∵()()()sin 30πf x x ϕϕ=+<<为偶函数， ∴()cos3f x x =±， ∴ππcos 3124f x x ⎛⎫⎛⎫-=±- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 令()ππ3π42x k k -=+∈Z ，得()ππ34k x k =+∈Z ． 故选：D本题主要考查了诱导公式和余弦函数的图象与性质，属于中档题. 4．D 【解析】 【分析】设22BF m =，根据2F AB ∆是以A 为直角顶点的直角三角形，且230AF B ∠=o，以及双曲线的性质可得212(33),2(23)AF a AF a =-=-，再根据勾股定理求得,a c 的关系式，即可求解.【详解】由题意，设22BF m =，如图所示，因为2F AB ∆是以A 为直角顶点的直角三角形，且230AF B ∠=o， 由212AF AF a -=，所以132AF m a =-， 由212BF BF a -=，所以122BF m a =-，所以11AF BF AB +=，即3222m a m a m -+-=， 所以2(31)m a =-，所以232(31)2(33)AF a a =⋅-=-，12(33)22(23)AF a a a =--=-， 在直角12F AF ∆中，222124AF AF c +=，即222224(33)4(23)4a a c -+-=，整理得22(19103)a c -=，所以22219103c e a==-，故选D.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．.【分析】 先研究函数sin xy x=单调性，再比较大小. 【详解】2sin cos sin x x x xy y x x-'=∴=Q ,令cos sin t x x x =-，则sin t x x '=- 因此当(0,)2x π∈时0,0,0t t y ''<<<，即sin y x x =在(0,)2π上单调递减，因为11123>>，所以a b c <<，选A. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题. 6．C 【解析】 【分析】根据微积分基本定理()()()()bba af x F x F b F a ==-⎰，可知()112012xx x e x e ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎰求解，即可. 【详解】()11210001111110122222xx x e x e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⨯+-⨯+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰故选：C 【点睛】本题考查微积分基本定理，属于较易题. 7．B 【解析】 【分析】由抽象函数的定义域，对数的真数大于零，分母不为零，列出不等式，从而求出()g x 的定义域。
广西省南宁市2019-2020学年数学高二下期末预测试题含解析
广西省南宁市2019-2020学年数学高二下期末预测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．设函数133,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()3f x ≤的x 的取值范围是（ ）A ．[0,)+∞B ．1,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[0,3]D ．1,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】讨论1x ≤和1x >两种情况，分别解不等式得到答案. 【详解】当1x ≤时，1()33xf x -=≤，故0x ≥，即[]0,1x ∈；当1x >时，3()1log 3f x x =-≤，解得19≥x ，即()1,x ∈+∞. 综上所述：[0,)x ∈+∞. 故选：A . 【点睛】本题考查了分段函数不等式，分类讨论是常用的数学技巧，需要熟练掌握. 2．执行如图所示的程序框图，若输入的a 为2，则输出的a 值是（ ）A ．2B ．1C ．12D ．-1【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的程序框图，执行循环体，逐次计算、判断，即可得到输出的结果，得到答案．【详解】由题意，执行如图所示的程序框图，可得： 第一次循环：1112a ==--，满足判断条件，1k =； 第二次循环：111(1)2a ==--，满足判断条件，2k =；第三次循环：12112a ==-，满足判断条件，3k =； 第四次循环：1112a ==--，满足判断条件，4k =； 第五次循环：111(1)2a ==--，满足判断条件，5k =；第六次循环：2a =，不满足判断条件，输出结果2a =，故选A ． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 3．已知m 是实数，函数()()2f x x x m =-，若()11f '-=-，则函数()f x 的单调递增区间是（ ）A ．()4,,0,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B ．()4,0,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ C ．4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】A 【解析】分析：根据函数f （x ）=x 2（x ﹣m ），求导，把f′（﹣1）=﹣1代入导数f′（x ）求得m 的值，再令f′（x ）>0，解不等式即得函数f （x ）的单调增区间． 详解：f′（x ）=2x （x ﹣m ）+x 2 ∵f′（﹣1）=﹣1 ∴﹣2（﹣1﹣m ）+1=﹣1 解得m=﹣2，∴令2x （x +2）+x 2>0，解得4x 3<-,或x>0， ∴函数f （x ）的单调减区间是()4,,0,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭． 故选：A ．点睛：求函数的单调区间的方法(1)确定函数y ＝f(x)的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x)；(3)解不等式f ′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 4．由直线2y x =+与曲线2y x =围成的封闭图形的面积是（ ）A ．4B ．92C ．5D ．112【答案】B 【解析】分析：先求曲线交点，再确定被积上下限，最后根据定积分求面积. 详解：因为22{y x y x =+=，所以21{,{41x x y y ==-== 所以由直线2y x =+与曲线2y x =围成的封闭图形的面积是23221218119(2)(2)|2421233232x x x dx x x -+-=+-=+--+-=-⎰, 选B.点睛：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论． 5．若函数()()2e xf x a xa =-∈R 有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,eD ．()0,2e【答案】A 【解析】 【分析】令()0f x =分离常数2e x x a =，构造函数()2ex x g x =，利用导数研究()g x 的单调性和极值，结合y a =与()g x 有三个交点，求得a 的取值范围.【详解】方程()0f x =可化为2e x x a =，令()2ex x g x =，有()()2e x x x g x -'=，令()0g x '>可知函数()g x 的增区间为()0,2，减区间为(),0-∞、()2,+∞，则()()00f x f ==极小值，()()242ef x f ==大值极， 当0x >时，()0g x >，则若函数()f x 有3个零点，实数a 的取值范围为240,e ⎛⎫⎪⎝⎭．故选A. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 6．设圆 截轴和轴所得的弦分别为和，则四边形的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．8【答案】C 【解析】 【分析】先求出|AB|,|CD|,再求四边形的面积.【详解】可化为，令y=0得x=,则， 令x=0得，所以，四边形的面积.故答案为：C 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7．在直角坐标系中，若角α的终边经过点22(sin,cos )33P ππ，则sin()πα-=（ ） A ．12B ．32C ．12-D ．3 【答案】C 【解析】分析：由题意角α的终边经过点22(sin ,cos )33P ππ，即点31)2P -，利用三角函数的定义及诱导公式，即可求解结果.详解：由题意，角α的终边经过点22(sin,cos )33P ππ，即点1,)22P -，则1r OP ===， 由三角函数的定义和诱导公式得1sin()sin 2y r παα-===-，故选C. 点睛：本题主要考查了三角函数的定义和三角函数诱导公式的应用，其中熟记三角函数的定义和三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 8．定义在R 上的函数1()()12x mf x -=-为偶函数，记0.52(log 2),(log 1.5)a f b f ==，()c f m =，则（ ） A ．c a b << B ．a c b << C ．a b c << D ．c b a <<【答案】C 【解析】分析：根据f （x ）为偶函数便可求出m=0，从而f （x ）=1()12x-，这样便知道f （x ）在[0，+∞）上单调递减，根据f （x ）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：0.5(|log 2|)a f =，()2log 1.5b f =，()0c f =，然后再比较自变量的值，根据f （x ）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a ，b ，c 的大小．详解：∵f （x ）为偶函数，∴f （﹣x ）=f （x ）.∴11()1()122x mx m----=-，∴|﹣x ﹣m|=|x ﹣m|，∴（﹣x ﹣m ）2=（x ﹣m ）2， ∴mx=0， ∴m=0. ∴f （x ）=1()12x-∴f （x ）在[0，+∞）上单调递减，并且0.5(|log 2|)a f ==2(log 2)(1)f f =,()2log 1.5b f = ,c=f （0）,∵0＜log 21.5＜1 ∴a b c <<,故答案为C点睛：（1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查对数函数的性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是分析出函数f （x ）=1()12x-的单调性，此处利用了复合函数的单调性，当x>0时，u x =是增函数，1()2u v =是减函数，1t v =-是增函数，所以函数1()()12xf x =-是(0,)+∞上的减函数.9．用指数模型kx y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z ＝㏑y ，变换后得到线性回归直线方程0.34z x =+，则常数c 的值为（ ） A ．4e B ．0.3eC ．0.3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】我们根据对数的运算性质：log a （MN ）=log a M+log a N ，log a N n =nlog a N ，即可得出lny=ln （ce kx ）=lnc+lne kx =lnc+kx ，可得z=lnc+kx ，对应常数为1= lnc ，c=e 1. 【详解】 ∵y=ce kx ，∴两边取对数，可得lny=ln （ce kx ）=lnc+lne kx =lnc+kx ， 令z=lny ，可得z=lnc+kx ， ∵z=0.3x+1， ∴l n c=1， ∴c=e 1． 故选A ． 【点睛】本题考查的知识点是线性回归方程，其中熟练掌握对数的运算性质，是解答此类问题的关键．线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值. 10．若复数z 满足(12)2i z i -=--，则1z i +-=（ ）．A ．1 BC D【答案】D 【解析】 【分析】先解出复数z ，求得1z i +-，然后计算其模长即可. 【详解】解：因为()122i z i -=--，所以()()()()2122121212i i i z i i i i --+--===---+所以112z i i +-=-所以()221125z i +-=+-=故选D. 【点睛】本题考查了复数的综合运算，复数的模长，属于基础题.11．设211~(,)X N μσ，222~(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是A ．12μμ>，12σσ>B ．12()()P X P X μμ><>C ．12μμ<，12σσ>D ．12()()P Y P X μμ≤<≤【答案】D 【解析】 【分析】由正态分布的性质，结合图像依次分析选项即可得到答案。
广西省南宁市2020年高二第二学期数学期末经典试题含解析
广西省南宁市2020年高二第二学期数学期末经典试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．幂函数的图象过点(14,2) ，那么(8)f 的值为（ ）A ．24B ．64C ．22D ．164【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】设幂函数的解析式为f x x α=（）， ∵幂函数f x （）的图象过点1(4)2，，12112488228f αα-∴=∴=-∴===，．（）. 选A2．设随机变量()X B n, p ～，若EX 3,DX 2==，则n= A ．3 B ．6C ．8D ．9【答案】D 【解析】 【分析】根据随机变量()X B n, p ～，EX 3,DX 2==得到方程组，解得答案. 【详解】随机变量()X B n, p ～，EX 3,DX (1)2np np p ===-= 解得1,93p n == 故答案选D 【点睛】本题考查了二项分布的期望和方差，属于常考基础题型. 3．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度【答案】B由三角函数的诱导公式可得sin 2cos(2)cos 2()6623y x x x ππππ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，再结合三角函数图像的平移变换即可得解. 【详解】解：由sin 2cos(2)cos 2()6623y x x x ππππ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭， 即为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象向右平移3π个单位长度， 故选：B. 【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及三角函数的诱导公式，属基础题. 4．设35z i =-，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】先求出z ，再判断得解. 【详解】35z i =+，所以复数z 对应的点为（3,5）， 故复数z 表示的点位于第一象限. 故选A 【点睛】本题主要考查共轭复数的计算和复数的几何意义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 5．一个几何体的三视图如图所示，若主视图是上底为2，下底为4，高为1的等腰梯形，左视图是底边为2的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）A ．103B ．113C ．2D ．4由三视图可知，该几何体是一个三棱柱截掉两个三棱锥，利用所给数据，求出三棱柱与三棱锥的体积，从而可得结果. 【详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱柱截掉两个三棱锥， 画出几何体的直观图，如图，把几何体补形为一个直三棱柱ABG DCH -， 由三视图的性质可知三棱柱的底面面积12112ABG S ∆=⨯⨯=，高4BC =， 所以4ABG DCH ABG V S BC -∆=⋅=，13E DCH F ABG ABG V V S --∆==13FG ⋅=,所以，几何体的体积为11104333--=.故选A.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 6．函数2y ax a =+与(0)ay a x=≠在同一坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C由二次函数2y ax a =+中一次项系数为0，我们易得函数2y ax a =+的图象关于y 轴对称，然后分当0a >时和0a <时两种情况，讨论函数2y ax a =+的图象与函数(0)ay a x=≠的图象位置、形状、顶点位置，可用排除法进行解答． 【详解】由函数2y ax a =+中一次项系数为0，我们易得函数2y ax a =+的图象关于y 轴对称，可排除D ；当0a <时，函数2y ax a =+的图象开口方向朝下，顶点(0,)a 点在x 轴下方，函数(0)ay a x=≠的图象位于第二、四象限，可排除B ；0a >时，函数2y ax a =+的图象开口方向朝上，顶点(0,)a 点在x 轴上方，可排除A ；故选C ． 【点睛】本题考查的知识点是函数的表示方法(图象法)，熟练掌握二次函数及反比例函数图象形状与系数的关系是解答本题的关键．7．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．$0.4 2.3y x =+ B ．$2 2.4y x =- C ．$29.5y x =-+ D ．$0.3 4.4y x =-+【答案】A 【解析】试题分析：因为与正相关，排除选项C 、D ，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B ；故选A ． 考点：线性回归直线.8．某人考试，共有5题，至少解对4题为及格，若他解一道题正确的概率为0.6，则他及格的概率为（ ） A ．8125B ．81625C ．10533125D ．242625【答案】C 【解析】 【分析】由题，得他及格的情况包含答对4题和5题，根据独立重复试验的概率公式，即可得到本题答案.由题，得他及格的情况包括答对4题和5题， 所以对应的概率44553231053()()5553125P C =⨯⨯+=. 故选：C 【点睛】本题主要考查独立重复试验的概率问题，属基础题.9．已知m ＞0，n ＞0，向量(,1),(1,1),a m b n a b ==-⊥r rr r 且 则12m n+ 的最小值是（ ）A．B ．2C ．3+D ．4+【答案】C 【解析】分析：利用向量的数量积为0，求出m ，n 的方程，然后利用基本不等式求解表达式的最小值即可.详解：m ＞0，n ＞0，向量()(),1,1,1,a m b n a b ==-⊥r rr r 且，可得1m n +=，则()12122333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当1,m n n +==时，表达式取得最小值3+.故选：C.点睛：条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．10．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（2π,π）单调递增 ③f(x)在[,]-ππ有4个零点 ④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④C ．①④D ．①③【答案】C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．11．为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节五个中国传统节日中，随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节恰有一个被选中的概率是（ ） A ．310B ．25C ．35D ．710【答案】C 【解析】分析：先根据组合数确定随机选取两个节日总事件数，再求春节和端午节恰有一个被选中的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：因为五个中国传统节日中，随机选取两个节日共有2510C =种，春节和端午节恰有一个被选中的选法有11236C C =,所以所求概率为63.105= 选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.12．某随机变量ξ服从正态分布2(1,)(0)N σσ>,若在(0,2)内取值的概率为0.6则ξ在(0,1)内取值的概率为( ) A ．0.2 B ．0.4C ．0.6D ．0.3【答案】D 【解析】分析：由正态分布曲线图，()0,2内取值的概率为0.6，区间关于x 1=对称，得解。
广西南宁三中2019-2020学年高二下学期期末考试(普通班)文科数学试题 Word版含解析
广西南宁三中2021届高二下学期期末考试卷文科数学一、选择题1. 设集合{}22,,A x x =，若1A ∈,则x 的值为 （ ）A. 1-B. ±1C. 1D. 0【答案】A 【解析】2111A x orx ∈∴== ，若211x x =⇒= ，不满足集合元素的互异性，故21x =， 1.x =- 故结果选A.2. 设i 为虚数单位，复数z =41i-，则|z －i|=（ ）A.B.C. 2D.【答案】D 【解析】 【分析】先对复数进行化简，求出z i -的值，再利用复数z a bi =+的模长计算公式z =算可得答案.【详解】解：z =41i-=4(1)(1)(1)i i i ++-=2(1+i )，所以|z －i |=|2＋i 故选：D .【点睛】本题主要考查复数的四则运算及复数模的求解，考查学生的计算能力，属于基础题. 3. 设a ，b 都是不等于1的正数，则“log 0a b <”是“()()110a b --<”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】分析：先判断p ⇒q 与q ⇒p 的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．然后判断“log a b ＜0”⇒“（a-1）（b-1）＜0”与“（a-1）（b-1）＜0”⇒“log a b ＜0”的真假即可得到答案．详解：由前提条件log a b 有意义， 则a >0，a ≠1，b >0则若log a b <0，则“(a −1)(b −1)<0 若“(a −1)(b −1)<0”，则“log a b <0” 故“log a b ”是“(a −1)(b −1)<0”的充要条件 故选：C点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ， q ⇒ p 与非p ⇒非q ， p ⇔ q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． 3．集合法：若A ⊆ B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．4. 已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且是增函数，若()11f =，则不等式()1f x <的解集为（ ） A. ()1,1-B. ()1,0-C. ()0,1D.(,1)(1,)-∞-+∞【答案】A 【解析】 【分析】由不等式()1f x <得()11f x -<<，利用()11f =，()()111f f -=-=-转化，然后利用单调性即可求解.【详解】由不等式()1f x <得()11f x -<<，()f x 是奇函数，∴()()111f f -=-=-， ()(1)(1)f f x f ∴-<<，()f x 在R 上是增函数，11x ∴-<<，∴不等式()1f x <的解集为()1,1-.故答案为：A.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，解题的关键是转化对应的函数值. 5. 已知向量(),2(31),,a m b ==，若向量a 在向量b 方向上的投影为2-，则向量a 与向量b 的夹角是（ ） A. 30° B. 60°C. 120°D. 150°【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合向量数量积的定义可求m ，然后根据向量夹角公式即可求解．【详解】解：由数量积的定义知向量a 在向量b 方向上的投影为3||cos ,2||a b m a a b b ⋅+⋅〈〉===-，所以m =-，所以621cos ,422||||a b a b a b ⋅-+〈〉===-⨯，所以夹角,120a b ︒〈〉=.故选：C.【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义及性质的简单应用，属于基础题． 6. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 命题“若1x >，则21x >”的否命题 B. 命题“x R ∀∈，2230x x ++≥”的否定 C. 命题“若11x>，则1x >”的逆否命题 D. 命题“若x y >，则x y >”的逆命题【答案】D 【解析】 【分析】根据四种命题真假性之间的关系，以及四种命题的概念，命题否定的概念，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，命题“若1x >，则21x >”的否命题是：“若1x ≤，则21x ≤”，因为21-<，但()2221->，故“若1x ≤，则21x ≤”为假命题；B 选项，因为()2223120x x x ++=++>，x R ∀∈恒成立，所以命题“x R ∀∈，2230x x ++≥”为真命题，其否为假命题；C 选项，若11x >，则01x <<；所以命题“若11x>，则1x >”是假命题，其逆否命题也是假命题；D 选项，命题“若x y >，则x y >”的逆命题为：“若x y >，则x y >”，显然是真命题； 故选：D.【点睛】本题主要考查四种命题真假的判定，以及命题否定的判定，属于基础题型. 7. 函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数在()f x '在(),a b 的图象如图所示，则函数()f x 在(),a b 内极值点有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】C 【解析】【详解】分析：根据极值的定义，观察图象知导数值变化的个数，即为极值点的个数． 详解：∵函数极值点满足导数为0，且左右两侧导数一正一负，观察导函数图象，可得，满足条件的点为c ，d ，e ，f 共4个 故选C点睛：本题主要是通过导函数的图象研究函数的极值问题．如果是导函数，则需要看导数值的正负变化，如果是原函数，则看的是函数的单调性的变化．8. 己知函数()1,0,0x x f x x e x ⎧<⎪=⎨⎪≥⎩，若函数()()F x f x kx =-有且仅有2个零点，则实数k 的值为（ ） A. e B. 1-C. e -D. 1【答案】A 【解析】 【分析】先画出函数()1,0,0x x f x x e x ⎧<⎪=⎨⎪≥⎩的大致图像，由题意，得到函数()f x 与直线y kx =的图像有且仅有两个交点，结合图像，得到直线y kx =与()()0xf x e x =≥相切，与曲线()()10f x x x=<相交，根据导数的几何意义，即可求出结果. 【详解】画出函数()1,0,0x x f x x e x ⎧<⎪=⎨⎪≥⎩的大致图像如下，因为函数()()F x f x kx =-有且仅有2个零点， 所以方程()f x kx =有两不等实根，即函数()f x 与直线y kx =的图像有且仅有两个交点， 由图像可得，只需直线y kx =与()()0xf x e x =≥相切，与曲线()()10f x x x=<相交， 设直线y kx =与()()0xf x ex =≥相切于点()00,P x y ，因为()xf x e '=，所以()00x f x e '=，因此曲线()()0xf x ex =≥在点()00,P x y 处的切线方程为：()000-=-xx y e e x x ，即()0001xxy e x x e =+-， 因为y kx =即为该切线方程，所以()00001xx k e x e⎧=⎪⎨=-⎪⎩，解得01x k e =⎧⎨=⎩. 故选：A.【点睛】本题主要考查由函数零点个数求参数，考查导数的几何意义，属于常考题型.9. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，实轴的两个端点分别为1A 、2A ，虚轴的两个端点分别为1B 、2B .以坐标原点O 为圆心，12||B B 为直径的圆()O b a >与双曲线交于点M （位于第二象限），若过点M 作圆的切线恰过左焦点1F ，则双曲线的离心率是（ ） A.3 B. 2C.6D.7【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，利用勾股定理得出1MF a =，利用双曲线的定义得出23MF a =，计算出1cos MFO ∠，然后在12MF F △中，利用余弦定理可得出关于a 、c 的齐次等式，进而可求得该双曲线的离心率的值.【详解】由题意作出草图，如下：1F M 与圆O 切于M ，1F M OM ∴⊥，且1OF c =，OM b =，故2211MF OF OMa =-=.由双曲线的定义知2123MF MF a a =+=.在1Rt F MO 中，1cos aMFO c∠=， 在12MF F △中，由余弦定理，得()()2221223cos 22a c a a MF F a cc+-∠==⨯⨯，即22412c a =，故离心率3e =故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，同时也考查了利用双曲线的定义处理焦点三角形的问题，涉及了余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 10. 锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且2sin 2tan C a b B b-=，则ba 的取值范围为（ ） A. 1(,)2+∞ B. ()0,2C. 1(,2)2D. (0,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】先将原等式变形为2sin 2tan tan b C a B b B =-，再结合同角三角函数的商数关系和正弦定理，将角化为边，可得2cos 2c B a b =-；由余弦定理可推出3C π=，23A B π+=；结合锐角ABC ∆，可解得(6A π∈，)2π，从而有1tan A∈，而2sin()sin 3sin sin A b B a A Aπ-==，根据正弦的两角差公式展开化简后即可得解． 【详解】2sin 2tan C a bB b -=，2sin 2tan tan bC a B b B ∴=-， sin tan cos BB B=，2sin cos 2sin sin b C B a B b B ∴=-，由正弦定理知，sin sin sin a b cA B C==， 22cos 2bc B ab b ∴=-，即2cos 2c B a b =-，由余弦定理知，2222cos 22a c b a bB ac c+--==，整理得222a b c ab +-=，2221cos 222a b c ab C ab ab +-∴===，(0,)C π∈，3C π∴=，23A B π+=． 锐角ABC ∆，A ∴、(0,)2B π∈，2(0,)32B A ππ∴=-∈，解得(6A π∈，)2π，tan )A ∴∈+∞，1tan A ∈，∴21sin()sin sin 3111322(,2)sin sin sin tan 22A A AbB aAA A A π-+====+∈． 故选：C ．【点睛】本题考查解三角形中的正弦定理和余弦定理的综合应用，还涉及正弦的两角差公式、同角三角函数的商数关系等，利用正弦定理将角化边是解题的突破口，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11. 已知函数2()sin cos cos =+f x x x x ，x ∈R ，则下列命题中：①()f x 的最小正周期是π，；②()f x 的单调增区问是3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；③()()1sin 22f x f x x π+-=+；④将()f x 的图象向右平移4π个单位可得函数2sin sin cos y x x x =+的图象；其中正确个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】先将()f x 化为1()sin 2242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用周期公式和正弦函数的图象和性质可判断①②④正确与否，利用同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角变换公式可证③正确，从而可得正确的选项.【详解】111()sin 2(1cos2)22242f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，所以最小正周期为T π=，故①正确； 令222242k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，则3+88k x k ππππ-≤≤， 故单调增区间为3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，所以②正确；22()sin cos cos sin cos cos 2222f x f x x x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222sin cos sin cos 1sin2x x x x x =++=+.故③正确；将()f x 的图象向右平移4π个单位后，所得图象对应的解析式为：2sin cos cos 444y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即cos2+1111sin 24sin 2cos222222x x y x x ππ⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭=-+=-+ ⎪⎝⎭ ()22112sin cos 12sin sin cos sin 22x x x x x x +=--+=+， 故④正确. 故选：D.【点睛】形如()22sinsin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为()()sin 2'f x A x B ωϕ'=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．与三角函数图象有关的平移中，注意利用“左加右减”（注意仅对x 作变换）来帮助记忆.12. 定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且在区间[]3,2--上是增函数，若A ，B 是锐角三角形的两个内角，则（ ）A. ()()sin cos f A f B >B. ()()sin cos f A f B <C. ()()sin sin f A f B >D. ()()cos cos f A f B >【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先得到()f x 是周期为2的函数，再由函数单调性和奇偶性，得出()f x 在区间[]0,1上是减函数；根据三角形是锐角三角，得到022B A ππ<-<<，得出0sin sin 12B A π⎛⎫<-<< ⎪⎝⎭，从而可得出结果.【详解】因为偶函数()f x 满足()()2f x f x +=-，所以()()()2f x f x f x +=-=， 即函数()f x 是周期为2的函数，又()f x 在区间[]3,2--上是增函数，所以()f x 在区间[]1,0-上是增函数， 因为偶函数关于y 轴对称，所以()f x 在区间[]0,1上是减函数；又A ，B 是锐角三角形的两个内角， 所以20202A B A B πππ⎧+>⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即022B A ππ<-<<，因此0sin sin 12B A π⎛⎫<-<< ⎪⎝⎭， 即0cos sin 1B A <<<，所以()()sin cos f A f B <.故选：B.【点睛】本题主要考查由函数的基本性质比较大小，涉及正弦函数的单调性，属于常考题型.二、填空题13. 若4tan 3α=，则cos2=α___________. 【答案】725-【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式以及“1”的灵活变换，求得所给式子的值. 【详解】4tan 3α=， 222222161cos sin 1tan 9cos 216cos sin 1tan 19ααααααα---===+++ 725=-， 故答案为：725- 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式，属于中档题.14. 已知实数x ，y 满足约束条件02020x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩，则13z x y =-+的最大值为___________. 【答案】1【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数13z x y =-+对应的直线进行平移并观察z 的变化，即可得到最大值． 【详解】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影部分，将目标函数13z x y =-+对应的直线进行平移并观察z 的变化， 通过观察发现，当直线经过42,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，z 取得最大值， max 4211333z ∴=-+=. 故答案为：1.【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．15. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为__________．【答案】58.【解析】分析：由题意结合几何关系计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合几何概型计算公式可知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率： 401525540408p -===. 点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．16. 已知函数()ln()x f x e ax a =+-的值域为R ，其中0a <，则a 的最大值为___________.【答案】﹣e 2【解析】【分析】设g （x ）＝x e ax a +-，由题意得g （x ）能取到一切的正实数，即存在x ，使得g （x ）≤0，原问题转化为g （x ）min ≤0，然后利用导数求出函数g （x ）的单调性，进而得最小值，列出关于a 的不等式即可得解．【详解】设g （x ）＝x e ax a +-，若f （x ）的值域为R ，则g （x ）能取到一切的正实数，即存在x ，使得g （x ）≤0，原问题转化为g （x ）min ≤0．令g '（x ）＝e x +a ＝0，0a <，解得x ＝ln （﹣a ），当x ＜ln （﹣a ）时，g '（x ）＜0，g （x ）单调递减；当x ＞ln （﹣a ）时，g '（x ）＞0，g （x ）单调递增．∴g （x ）min ＝g （ln （﹣a ））＝()()ln ln a e a a a -+--＝a [ln （﹣a ）﹣2]≤0， ∵a ＜0，∴ln （﹣a ）﹣2≥0，解得a ≤﹣e 2． ∴a 的最大值为﹣e 2．故答案为：﹣e 2．【点睛】本题考查对数函数的值域，还涉及利用导数研究函数的单调性与最值问题，构造新函数，将原问题转化为新函数的最值问题是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 三、解答题17. 设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知33S =-，77S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设42n an b n =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）3n a n =-（2）(1)212n n n +-+ 【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a的公差为d，由条件建立方程组解出1a和d即可；（2）31422n nnb n n--=⋅+=+，利用等差等比数列的前n项和公式计算即可.【详解】（1）设等差数列{}n a的公差为d，∵33S=-，77S=，∴11133232177672a da d⎧+⨯⨯=-⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩，解得121ad=-⎧⎨=⎩，∴2(1)13na n n=-+-⨯=-；（2）由（1）得31422n nnb n n--=⋅+=+，∴()01112222(123)nn nT b b b n-=++⋯+⋅=++⋯+++++⋯+12(1)(1)211222nnn n n n-++=+=-+-.【点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法.18. 2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为研究学生网上学习的情况，某校社团对男女各10名学生进行了网上在线学习的问卷调查，每名学生给出评分（满分100分），得到如图所示的茎叶图.（1）根据茎叶图判断男生组和女生组哪个组对网课的评价更高？并说明理由；（2）如图是按该20名学生的评分绘制的频率分布直方图，求a的值并估计这20名学生评分的平均值（同一组中的数据用该组区间中点值作为代表）；（3）求该20名学生评分的中位数m，并将评分超过m和不超过m的学生数填入下面的列联表：超过m不超过m男生女生根据列联表，能否有85%的把握认为男生和女生的评分有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()2P K k0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024【答案】（1）男生对网课的评价更高，详见解析（2）0.045a=；平均值为74（3）中位数为74.5，填表见解析；没有【解析】【分析】（1）男生对网课的评价更高，可以根据中位数，平均值，不低于70分的人数得到答案.（2）根据比例关系得到0.045a =，再计算平均值得到答案.（3）计算中位数，完善列联表，计算20.8 2.072K =<，对比临界值表得到答案.【详解】（1）男生对网课的评价更高，理由如下：①由茎叶图可知，评价分数不低于70分的男生比女生多2人（或33.3%），因此男生对网课的评价更高.②由茎叶图可知，男生评分的中位数为77，女生评分的中位数为72，因此男生对网课的评价更高. ③由茎叶图可知，男生评分的平均分数为686970747778798386967810+++++++++=， 女生评分的平均分数为5558636471737576818670.210+++++++++=，因此男生对网课的评价更高.以上给出了3种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.（2）由茎叶图知这20名学生评分在[70,80)内的有9人，则9100.04520a =÷=， 这20名学生评分的平均值为： (550.01650.02750.045850.02950.005)1074⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.（3）由茎叶图知该20名学生评分的中位数为747574.52m +==，222()20(3616)0.8 2.072()()()()10101010n ad bc K a b c d a c b d --===<++++⨯⨯⨯. 所以没有85%的把握认为男生和女生的评分有差异.【点睛】本题考查了茎叶图，根据茎叶图计算平均值，独立性检验，意在考查学生计算能力和综合应用能力.19. 图1是直角梯形ABCD ，//AB DC ，90D ∠=︒，2AB =，3DC =，3AD =，点E 在DC 上，2CE ED =，以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C 的位置，且16AC =，如图2.()1证明：平面1BC E ⊥平面ABED ；()2求点B 到平面1AC D 的距离.【答案】()1证明见解析；()2477. 【解析】【分析】 ()1在图1中，连接AE ，由已知得四边形ABCE 为菱形，连接AC 交BE 于点F ，得CF BE ⊥，证明1C F AF ⊥，再由线面垂直的判定可得1C F ⊥平面ABED ，从而得到平面1BC E ⊥平面ABED ；()2取AD 的中点N ，连接FN ，1C N 和BD ，设B 到平面1AC D 的距离为h ，在三棱锥1C ABD ﹣中，利用11C ABDB ACD V V --=，求解点B 到平面1AC D 的距离. 【详解】解：()1证明：在图1中，连接AE ，由已知得2AE =，//CE BA ，且CE BA AE ==，∴四边形ABCE 为菱形，连接AC 交BE 于点F ，∴CF BE ⊥，在Rt ACD △中，()223323AC =+=∴3AF CF ==图2中，16AC =22211AF C F AC +=，∴1C F AF ⊥.由题意知，1C F BE ⊥，且AF BE F ⋂=，∴1C F ⊥平面ABED ，又1C F ⊂平面1BC E ，∴平面1BC E ⊥平面ABED ；()2如图，取AD 的中点N ，连接FN ，1C N 和BD ，设B 到平面1AC D 的距离为h ， 在直角梯形ABED 中，FN 为中位线，则FN AD ⊥，32FN =， 由()1得1C F ⊥平面ABED ，AD ⊂平面ABED ， ∴1C F AD ⊥，又1FN C F F ⋂=，得AD ⊥平面1C FN ，又1C N ⊂平面1C FN ，∴1C N AD ⊥，且2211921342C N FN C F =+=+=. 在三棱锥1C ABD ﹣中，11C ABDB ACD V V --=， 即1111113232AB AD C F AD C N h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯， ∴112347212AB C F h C N ⨯⨯===. 即点B 到平面1AC D 的距离为477.【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，利用等体积法的思想，属于中档题.20. 已知函数()()ln 1,f x x x k x k R =-+∈（1）若1k =-，求()f x 的最值；（2）对于任意2[2,]x e ∈，都有()2f x x k >--成立，求整数k 的最大值.【答案】（1）最小值为1e-，没有最大值；（2）3. 【解析】【分析】 （1）当1k =-时，利用导数求得()f x 的最值.（2）利用分离常数法化简不等式()2f x x k >--，通过构造函数法，结合导数求得k 的范围，由此求得整数k 的最大值.【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+.()'1ln f x x =+，令'0f x 解得1=x e ， 所以()f x 在区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()'0f x <，()f x 递减；在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上()'0f x >，()f x 递增， 所以()f x 在1=x e 处取得极小值也即是最小值为1111ln f e ee e ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，无最大值. （2）依题意对于任意2[2,]x e ∈，都有()2f x x k >--成立，即对于任意2[2,]x e ∈，都有()ln 12x x k x x k -+>--， 即对于任意2[2,]x e ∈，都有ln 1x x x k x +<-成立. 令()2,[2,]ln 1x x x g x x x e ∈+=-，则 ()()()()()'221ln 11ln ln 211x x x x x x x x x g x x x ⎛⎫+⋅+--+ ⎪-+-⎝⎭==--. 令()2]ln 2,[2,h x x x e x =-∈+-， ()'111x h x x x-=-+=，所以当2[2,]x e ∈时()'0h x >，()h x 递增. ()2ln 222ln 20h =-+-=-<，()2222ln 240h e e e e =-+-=->，所以存在202,x e ⎡⎤∈⎣⎦，使得()00h x =，即00ln 20x x -+-=，即00ln 2x x =-①，()3ln332ln310h =-+-=-+<，()4ln 442ln 420h =-+-=-+>，所以()03,4x ∈.所以在区间()02,x 上，()0h x <，()'0g x <，()g x 递减， 在区间()20,x e 上，()0h x >，()'0g x >，()g x 递增， 所以()()0000min 0ln 1x x x g x g x x +==-，将①代入上式得 ()()()()20000000000min 0002ln 3,4111x x x x x x x x g x g x x x x x -++-=====∈---， 所以()()0min 3,4k g x x <=∈，所以整数k 的最大值为3.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究不等式恒成立问题，属于难题.21. 如图，椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：经过点P （1.），离心率e=，直线l 的方程为x=4.（1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为123,,k k k .问：是否存在常数λ，使得123+=k k k λ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在 【解析】2231911124Pa b+=（）由（，）在椭圆上得：① 222,3a cb c=∴=②②代入①得222221,4,3, 1.43x yc a b C===∴+=椭圆：考点：本题主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，直线与圆锥曲线的交点等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，考查逻辑推理能力，推理论证能力和计算能力.请考生在（22）、（23）两题中任选一题做答.注意：只能做所选定题目.如果多做，则按所做第一题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑.22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2515xyθθ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若点P的极坐标为()1,π，过P的直线与曲线C交于A，B两点，求11PA PB+的最大值．【答案】（1）4cos2sinρθθ=-（2）2105【解析】【分析】（1）先将2515xyθθ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩中的θ消去得普通方程，再利用cos sinx yρθρθ==，可得极坐标方程；（2）先求出AB 的参数方程，代入曲线C 的普通方程，利用韦达定理及三角函数的性质可得11PA PB+的最大值. 【详解】解：（1）由21x y θθ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，得()()22215x y -++=， 即2242x y x y +=-，所以24cos 2sin ρρθρθ=-，即4cos 2sin ρθθ=-，故曲线C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=-.（2）因为P 的极坐标为()1,π，所以P 的直角坐标为()1,0-， 故可设AB 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）. 将1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入()()22215x y -++=，得()22sin 6cos 50t t αα+-+=， 设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则122sin 6cos t t αα+=-+，1250t t =>， 所以1112122sin 6cos 11115t t PA PB t t t t αα+-+=+===， 故11PA PB +. 【点睛】本题考查普通方程，参数方程，极坐标方程之间的互化，考查直线参数方程中参数几何意义的应用，是中档题. 23. 已知函数()3f x x x a =-++．（1）当2a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()5f x x ≤-的解集包含[]1,3，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{}14x x x ≤≥或（2）[]3,1a ∈--【解析】【分析】（1）利用分类讨论法，求得不等式的解集．（2）（2）原命题等价于35x x a x -++≤-在[]1,3上恒成立，即22x a x --≤≤-+在[]1,3上恒成立，由此求得a 的范围．【详解】解：（1）当2a =-时，()3f x ≥，323x x ∴-+-≥2523x x ≤⎧∴⎨-≥⎩或2313x <<⎧⎨≥⎩或3253x x ≥⎧⎨-≥⎩1x ∴≤或x ∈∅或4x ≥， 所以不等式的解集为{1x x ≤或4}x ≥．（2）()5f x x ≤-，35x x a x ∴-++≤-由于[]1,3x ∈，所以上式2x a ⇔+≤，所以22x a x --≤≤-+在区间[]1,3上恒成立，所以[]3,1a ∈--．【点睛】本题主要考查分类讨论法解绝对值不等式，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．。
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D. f (cos A) f (cos B)
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．若 t u ，则 t u________．
x y 0
14．已知实数 x, y 满足约束条件 x y 2 0 ，则 z x y 1 的最大值为________．
x 2 y 0
A. (1,1)
B． (1,0)
C． (0,1)
D. (, 1) (1, )
5．已知向量 a =（m，2），b =（ 3 ，1），若向量 a 在向量 b 方向上的投影为－2，则向量 a 与向量 b 的夹角是( )
A．30°
B．60°
6.下列命题中为真命题的是( )
A．命题“若 x 1 ，则 x2 1 ”的否命题
)
A．1
B．2
C．3
D．4
12. 定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足 f (x 2) f (x) ，且在区间[3,2]上是增函数，若 A, B 是锐角三角形的两
个内角，则（ ）
A. f (sin A) f (cos B)
B. f (sin A) f (cos B)C.Βιβλιοθήκη f (sin A) f (sin B)
3
15.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒 若一名行人来到该路口遇到红灯，则至 少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为________. 16．已知函数 f (x) ln(ex ax a) 的值域为 R ，其中 a 0 ，则 a 的最大值为________.
4
21．如图，椭圆 C： x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 经过点 P(1, 3) ，离心率 e 2
1 2
，直线 l 的方程为 x 4 ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）AB 是经过右焦点 F 的任一弦（不经过点 P），设直线 AB 与直线 l 相交于点 M ， 记 PA, PB, PM 的斜率分别为 k1, k2 , k3 ．问：是否存在常数 ，使得 k1 k2 k3 ？ 若存在，求的值 ；若不存在，说明理由．
（1）根据茎叶图判断男生组和女生组哪个组对网课的评价更高？并说明理由；
（2）如图是按该 20 名学生的评分绘制的频率分布直方图，求 a 的值并估计这
20 名学生评分的平均值（同一组中的数据用该组区间中点值作为代表）；
（3）由茎叶图求该 20 名学生评分的中位数 m ，并将评分超过 m 和不超过 m 的 学生数填入下面的列联表：根据列联表，能否有 85% 的把握认为男生和女生的评
2
三、解答题（本大题 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程）
17．设an 为等差数列， Sn 为数列an 的前 n 项和，已知 S3 3 ， S7 7 . （1）求数列an 的通项公式； （2）设 bn 4 2an n ，求数列bn 的前 n 项和 Tn .
18．2020 年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为研究学生网上学习的情况，某校 社团对男女各 10 名学生进行了网上在线学习的问卷调查，每名学生给出评分（满分 100 分），得到如图所示的茎叶 图.
A． 2 个
B． 3 个
C. 4 个
D． 5 个
8.已知函数
f
x
1
,
x
x
0
，若函数 F x
f
x kx 有且仅有
2
个零点，则实数 k
的值为(
)
ex , x 0
A. e
B. 1
C． e
D. 1
x2
9.已知双曲线
a2
y2 b2
1(a＞0,b＞0)的左、右焦点分别为 F1, F2 ，实轴的两个端点分别为
u
，则 ꄈࣳ
ꄈ ࣳ =(
)
A．
B．
C．2
D．
3.设 a ， b 都是不等于1的正数，则“ loga b 0 ”是“ a 1 b 1 0 ”的( )
A．充分不必要条件 C.必要不充分条件
B．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4.已知定义在 R 上的函数 f (x) 是奇函数且是增函数，若 f (1) 1 ，则不等式 f (x) 1 的解集为( )
3
1 证明：平面 BC1E 平面 ABED ； 2 求点 B 到平面 AC1D 的距离.
20．已知函数 f (x) x ln x (k 1)x, k R ． （1）若 k 1 ，求 f (x) 的最值； （2）对于任意 x 2, e2 ，都有 f (x) 2 x k 成立，求整数 k 的最大值．
请考生在（22）、（23）两题中任选一题做答。注意：只能做所选定题目。如果多做，则按所做第一题目计分，作答
时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑。
x 2 22．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
5 cos
（ 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴的正
y 1 5 sin
半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线 C 的极坐标方程；
（2）若点 P 的极坐标为 1, ，过
P 的直线与曲线 C 交于
A，B 两点，求
1 PA
1 PB
的最大值．
23．已知函数 f x x 3 x a ．
（1）当 a 2 时，求不等式 f x 3 的解集；
（2）若 f x x 5 的解集包含1,3 ，求实数 a 的取值范围．
C．120°
D．150°
B. 命题“ x R ， x2 2x 3 0 ”的否定 C．命题“若 1 1 ，则 x 1 ”的逆否命题
x D．命题“若 x y ，则 x y ”的逆命题
7.函数 f x 的定义域为 a,b ，导函数在 f x 在 a,b 的图象如图所示，则函数
f x 在 a,b 内极值点有( )
)
tan B b
a
A. (1 , )
B． (0, 2)
(0, )
C． (1 , 2)
D.
2
2
11．已知函数 u ࣳ t
t ，x∈R，则下列命题中：
① 的最小正周期是 ，最大值是 ；
② 的单调增区问是 ꄈ ′
′ （k∈Z）；
③
ꄈu
ࣳ；
④将 的图象向右平移 个单位可得函数 u ࣳ
ࣳ t 的图象，
其中正确个数为(
A1, A2 ，虚轴的两个端点
1
分别为 B1, B2 ．以坐标原点 O 为圆心， B1B2 为直径的圆 O （ b＞a ）与双曲线交于点 M （位于第二象限），若过
点 M 作圆的切线恰过左焦点 F1 ，则双曲线的离心率是(
)
A．
B．2
C． 6
D． 7
10．锐角 ABC 中，内角 A, B,C 所对边分别为 a,b,c ,且 2sin C 2a b ,则 b 的取值范围为(
分有差异？
超过 m 不超过 m 男生 女生
附： K2
n(ad bc)2
，
(a b)(c d)(a c)(b d)
P(K 2 k0 ) 0.50
k0
0.455
0.40 0.708
0.25 1.323
0.15 2.072
0.10 2.706
0.05 3.841
0.025 5.024
19．图1是直角梯形 ABCD ，AB / /DC ，D 90 ，AB 2 ，DC 3 ，AD 3 ，点 E 在 DC 上，CE 2ED ， 以 BE 为折痕将 BCE 折起，使点 C 到达 C1 的位置，且 AC1 6 ，如图 2 .
广西南宁三中 2021 届高二下学期期末考试卷
文科数学
命题人：王洋洋 黄小妹 审题人：王洋洋 黄小妹
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每题只有一个正确选项）
1．已知集合 A 2, x, x2 ，若1 A ，则 x 的值为(
)
A. 1 B. 1 C． 1
D. 0
2．设 i 为虚数单位，复数