高等代数消元法
高等代数第三章思维导图
用一非零的数乘某一个方程把一个方程的倍数加到另一个方程互换两个方程的位置用初等变换将线性方程组化成阶梯形方程组把最后的一些恒等式如果剩下的是一些在齐次线性方程组中，如果s<n，那么必有非零解所谓数域P上一个n维向量就是由数域P个数组成的有序数组（），称为向量（对应分量相等，则向量相等向量可相加减加法交换律，结合律k(a+b)=ka+kb(k+l)a=ka+lak(la1a=a向量a称为向量组的一个线性组合，如果有数域（维向量都是向量组的一个线性组合，因为，向量称为自反性对称性传递性如果向量组（称为线性相关任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的三个向量线性相关的几何意义就是他们共面向量组（s³1）称为线性相关，如果有数域使部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关两个成比例的向量是线性相关向量组n维单位向量组成的向量组是线性无关的向量组线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组只有零解设与是两个向量组，推论：如果向量组可以经线可以经线性表出性表出，且向量组线性无关，那么必线性相关任意两个线性无关的等价的向量组，必含有相同的个数的向量A矩阵的初等列变换和初等行变换皆不改变该矩阵的秩，列秩和行秩矩阵设，则关的充分必要条件是|A|=0，线性无关的充分必要条件是线性方程组（件为它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩两个解的和还是方程组的解一个解的倍数还是方程组的解）奇次线性方程组的任一个解都能表成的线性组合）线性无关如果是线性方程组（以表成线解线解。
高等代数04线性方程组
最后一个矩阵所对应的线性方程组为 x1+ 7x3 = 1 , x26x3 = 1 . 它与原方程组同解，取 x3 = C, 得 x1 = 17C, x2 = 1+6C, x 1= 1 7C , 即原方程组解为 x2 = 1+ 6C, 其中 C 为任意实数. x3 = C , 将解写成向量形式 ( x1, x2, x3 )T = (17C , 1+6C, C )T.
定义1 定义1 由st个数cij 排成的一个 行t列的表 个数 排成的一个s行 列的表
c11 c12 L c21 c22 L L L cs1 cs 2 L c1t c2t L cst
叫作一个s行 列矩阵 c 列矩阵。 叫作一个 行t列矩阵。 ij 叫作这个矩阵的元素
注意： 注意：矩阵和行列式虽然形式上有些类似，但有完全不同的意义。 一个行列式是一些数的代数和，而一个矩阵仅仅是一个表。
例2
解
x1 – x2 + 5x3 – x4 = 0 , x + x2 – 2x3 + 3x4 = 0 , 求下列线性方程组的解： 1 3x1 – x2 + 8x3 + x4 = 0 , x1 + 3x2 – 9x3 + 7x4 = 0 .
1 1 1 1 1 5 0 2 7 4 3 → 0 → 0 0 2 7 4 1 7 0 4 14 8 0
并且用B表示 B 的前n列作成的矩阵。那么由定理4.2.1得： 秩A=秩B= r，秩A =秩B 现在设线性方程组（1）有解。那么或者r = m，或者r < m，而
dr+1 =L= dm = 0，这两种情形都有秩B=0，于是由（4）得，
B 反过来，设秩 A =秩B 。那么由（4）得， 的秩也是 r。由此得，或 者r = m，或者r < m 而 dr+1 =L= dm = 0 ，因而方程组（1）有解。
消元法的基本步骤-概述说明以及解释
消元法的基本步骤-概述说明以及解释1.引言1.1 概述消元法是一种常用的数学求解方法，用于解决代数方程组或方程的问题。
通过使用代数运算，消元法能够将复杂的方程组转化为简单的形式，从而得到其解或者简化问题的求解过程。
消元法作为解决方程问题的经典方法，在数学和工程领域得到广泛应用。
本文将介绍消元法的基本步骤，包括定义、具体操作步骤以及应用领域。
通过了解消元法的原理和应用，读者可以更好地理解和运用这一方法来解决各类数学问题。
在接下来的章节中，我们将详细介绍消元法的定义和基本步骤。
首先，我们将通过对消元法的概述，了解其基本原理和工作方式。
接着，我们将介绍本文的结构和组织方式，以便读者能够更好地理解和阅读后续内容。
本文的目的是为读者提供一个清晰的消元法概述，并将其应用于实际问题中。
通过掌握消元法的基本步骤，读者将能够更加灵活地运用这一方法解决各种数学问题，并深入了解其在实际领域中的应用价值。
在下一章中，我们将详细介绍消元法的定义，包括其基本原理和使用方法。
请继续阅读下一章节，以了解更多有关消元法的知识。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以从以下几个方面进行阐述：1. 文章框架概述：在本节中，将对整篇文章的结构进行概括性的介绍，包括引言、正文和结论三个主要部分的内容以及各自的目的。
2. 引言部分：本部分主要用于引入文章的主题，并对消元法的基本概念进行简要阐述。
同时，说明为何对消元法进行研究和探讨的必要性。
3. 正文部分：本部分是文章的核心，详细讲解了消元法的基本步骤及其应用领域。
在对消元法的基本步骤进行阐述时，可以按照具体的操作流程进行分步骤的描述，并且可以配以图表进行说明，以便读者更好地理解和掌握。
在讲解消元法的应用领域时，可以列举一些常见或重要的实际案例并进行具体分析，说明消元法在不同领域的重要性和实用性。
4. 结论部分：本部分用于对全文进行总结和归纳。
首先，对消元法的重要性进行总结，强调其在实际问题求解中的作用和意义。
高教社2024高等数学第五版教学课件-10.1 消元法
1 3
−1
8
−7
+
2
14
−13
2
0
0
0
1
2 2
4
−1
1
1 −1
2
1
4
7
−2 −7 −13
0 9 27 54 0
0 −1 −3 −6 0
1 −2 −7 −13 0
0
0
92
+
1 −22
1 ↔3
+
1 0
0 1
0 0
3
0
0
1
−1
3
0
0
0
0
−1 −3 −6
0 −1 −1
0
0
0
−2
0
0
）的一般步骤为：
首先写出增广矩阵 | （或系数矩阵），并用初
等行变换将其化成阶梯形矩阵，然后判断方程组是否有
解．若方程组有解，则继续用初等行变换将阶梯形矩阵
化成行简化阶梯形矩阵，写求出方程组的一般解．
或简称Gauss消元法．下面举例说明用消元法求一般线性方
程组解的方法与步骤．
例1 解线性方程组
1 + 32 + 3 = 5
ቐ1 + 2 + 53 = −7
21 + 32 − 33 = 14
解 下面我们用定理10.1的方法来求解本题：
1 3
= 1 1
2 3
1
− 2
2
1 3
0 1
则方程组 = 与 = 是同解方程组．
由定理10.1可知，求线性方程组(1)的解，可以利用初等
行变换将其增广矩阵 | 化简成行阶梯形矩阵，再写出该
高等代数--第二章 线性方程组
• 用初等变换化方程组为阶梯形方程组就 相当于用初等行变换化增广矩阵为阶梯 形矩阵. 所以，解方程组一般用增广矩阵 化简.
x1 2 x2 x3 2 x4 1 • 例 2 2 x1 4 x2 x3 x4 5 x 2 x 2 x x 4 2 3 4 1
答案：当 1 时，方程组无解 当 1 时，方程组有解
§2 n维向量空间 R
n
消元法是解方程组的一个行之有效的算 法。但有时需要直接从原方程来判是否 有解？并且，消元法化为阶梯形方程组 的过程中，最后剩下来的方程个数是否 是唯一的？这些问题都需要用向量的知 识来解决。
n维向量及其线性运算
2 x1 x2 3 x3 1 4 x2 x3 2 x2 x3 5
方程组的解为（9，-1，-6）。
其中用到
1、互换两个方程的位置(位置变换)； 2、用一个非零数乘某一个方程(倍法变换)； 3、把一个方程的倍数加到另一个方程上 (消法变换). 定义1 变换1、2、3称为线性方程组的 初等变换.
答案
例5
x1 2 x2 x3 x4 x5 1 2 x x 3x 2 x x 0 1 2 3 4 5 x1 3x2 2 x3 2 x4 3x5 2 3x1 11x2 2 x3 2 x4 x5 2
（7）
这时，有无穷多组解。由（7）式，我们可以把
x1, x2 ,, xr 通过 xr 1,, xn 表示出来，这样一
组表达式称为方程组（1）的一般解， 而
xr 1,, xn 称为一组自由未知量。
• r>n，是不可能的 • 总之：首先将方程组化为阶梯形的方程组， 若
高等代数第3章线性方程组
3.1 消元法
线性方程组
3.1.1 高斯消元法及矩阵表示 3.1.2 矩阵表示 3.1.3 一般情形
3.1.1 高斯消元法
分析：用消元法解下列方程组的过程． 分析：用消元法解下列方程组的过程． 引例 求解线性方程组
2 x1 − x2 − x3 + x4 = 2, x + x − 2 x + x = 4, 1 2 3 4 4 x1 − 6 x2 + 2 x3 − 2 x4 = 4, 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9,
1 2
3
4 1 2
3
3
4
↔4 −23
4
用“回代”的方法求出解： 回代”的方法求出解：
x1 = x3 + 4 x2 = x3 + 3 其中 为任意取值 . 其中x3 于是解得 x = −3 4
或令x3 = c , 方程组的解可记作
x1 = c + 4 x = c + 3 2 x3 = c x 4 = −3
阶 矩 : 行 梯 阵
（1）元素全为0的行全在下方； 元素全为0的行全在下方； 行的第一个非0元素的 （2）对于非零行，第i+1行的第一个非 元素的 对于非零行， 行的第一个非 列标大于第i行的第一个非 行的第一个非0元素的列标 列标大于第 行的第一个非 元素的列标
1 0 0 0 1 −2 1 4 1 −1 1 0 0 0 1 − 3 0 0 0 0
3.1.3 一般情形
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组 LLLLLLLLLLLL a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm
消元法求解技巧
消元法求解技巧消元法是一种数学问题求解的重要技巧，主要运用于代数方程或代数式的求解过程中。
它通过对方程或式子进行变换、简化，去除难以处理的项，最终将问题转化为更加简单和易于求解的形式。
下面将介绍一些常用的消元法求解技巧，帮助你更好地理解和应用消元法。
1. 代入消元法：代入消元法是一种常见的消元法求解技巧。
它的基本思想是将一个变量表示为另一个变量的函数，然后将其代入方程中，从而消去该变量。
例如，对于方程组：```2x + 3y = 103x - 2y = 4```可以通过将第一个方程中的 x 表示为 y 的函数，如 x = (10 - 3y) / 2，然后将其代入第二个方程中，消去 x。
这样就可以得到一个只含有y 的方程，进而求解出y 的值，再代入第一个方程求解 x 的值。
2. 相减消元法：相减消元法是一种利用两个方程相减来消除某个变量的消元法求解技巧。
它适用于方程组中两个方程的系数具有相反数的情况。
例如，对于方程组：2x + 3y = 104x + 6y = 20```可以通过将第一个方程乘以2，然后与第二个方程相减，消去 x，从而得到一个只含有 y 的方程，进而求解出 y 的值，再代入方程求解 x 的值。
3. 等式转化消元法：等式转化消元法是一种通过等式的变化来进行消元的求解技巧。
它利用等式的性质和运算规则，将方程组中的某个变量或式子进行转化，使得消元更加方便。
例如，对于方程组：```x + 2y + 3z = 102x + 3y + z = 83x + y + 2z = 13```可以通过将第一个方程乘以2，第二个方程乘以3，第三个方程乘以 1，然后将它们相加，消去 y 和 z，从而得到一个只含有x 的方程，进而求解出x 的值，再代入方程求解 y 和 z 的值。
4. 因式分解消元法：因式分解消元法是一种通过因式分解来实现消元的求解技巧。
它利用因式分解的性质和公式，将方程或式子进行因式分解，从而得到一个更简单的形式。
数学消元法
数学消元法
数学消元法，也叫做高斯消元法，是一种求解线性方程组的有效方法。
线性方程组是一组由线性方程组成的方程组，其中每个方程的未知量都是线性的，形如：a1x1 + a2x2 + … + anxn = b。
这种方程组在实际应用中非常常见，如经济学、物理学和工程学等领域。
消元法的基本思路是将方程组中的未知量逐一消去，从而达到求解的目的。
方法是通过“初等变换”来使方程组变换成一种容易求解的形式。
初等变换包括以下三种操作：
1. 交换任意两行或任意两列；
2. 用一个非零常数乘任意一行或任意一列；
3. 用一个非零数乘任意一行或一列，加到另外一行或一列上。
经过这些初等变换，原方程组将变换成形如三角形的方程组，易于求解。
这个过程被称为高斯消元法。
高斯消元法不仅可以用于解决线性方程组的问题，还可以用于求矩阵的逆、求解线性方程组的解空间等。
同时，消元法还具有一定的数值稳定性和误差小的特点，也是数值线性代数中的重要内容。
总之，消元法是解决线性方程组和相关问题的一种基本方法，它在实际应用中有着广泛的应用。
高等代数方法总结
高等代数方法总结高等代数方法总结一、线性代数方法1.矩阵分解与运算：（1）LU分解法：将n阶矩阵A拆解为下三角矩阵L和上三角矩阵U，LU分解的思想就是计算LU矩阵，并利用LU矩阵求普通方程组的解，LU分解法可以将求解多元一次线性方程组的问题看成求解n次一元方程组的问题。
（2）QR分解法：基本思想是将m阶矩阵A拆解为正交矩阵Q和上三角矩阵R，QR 分解法可以用来求多元一次线性方程组的解，可以将求解多元一次线性方程组的问题看成求解n次一元方程组的问题。
（3）特征值分解法：特征值分解法是一种常用的数值分解法，它利用特征值与特征向量之间的关系，将一个非对称实矩阵分解为三个实对称矩阵的乘积，利用特征值分解法可以快速求解矩阵的迹、行列式、逆矩阵等。
2.矩阵求解：（1）追赶法：追赶法是一种求解线性方程组的常用数值方法，它利用矩阵的上三角部分和下三角部分的特点，将多元一次线性方程组拆分成n次一元方程，由上至下迭代求解。
（2）高斯消元法：高斯消元法是指一种利用矩阵运算求解n元一次方程组的方法，它通过将线性方程组中的变量一个接一个消元，把原来的多元一次方程组转变成只有一个未知数的一元方程组，采用逐个消元的方法来求解线性方程组的解。
（3）Cholesky分解法：Cholesky分解法是一种应用广泛的数值分解法，它将一个实(或者复)对称正定矩阵分解为下三角矩阵乘上其转置的乘积，由此可以利用Cholesky分解法来快速求解线性方程组的解。
3.矩阵运算：（1）矩阵的加法、减法：矩阵相加(减)是指两个矩阵同位置元素相加(减)，可以将矩阵加减运算看作是两个一维数组的加减运算。
（2）矩阵的乘法：矩阵相乘是指两个矩阵的乘积，可以看作是两个一维数组的乘积。
（3）矩阵的幂运算：矩阵的乘方是指将一个矩阵乘以自身一次或多次，可以用来求解方程组的迭代解，也可以用来计算矩阵的特征值和特征向量。
二、拓扑学方法1.网络拓扑：网络拓扑是指网络元素的相互位置关系，即描述一个网络的链路结构。
01 第一节 消 元 法
第三章 线性方程组在第一章里我们已经研究过线性方程组的一种特殊情形，即线性方程组所含方程的个数等于未知量的个数，且方程组的系数行列式不等于零的情形. 求解线性方程组是线性代数最主要的任务，此类问题在科学技术与经济管理领域有着相当广泛的应用，因而有必要从更普遍的角度来讨论线性方程组的一般理论. 本章主要讨论一般线性方程组的解法，线性方程组解的存在性和线性方程组解的结构等内容.第一节 消 元 法分布图示★ 引例★ 线性方程组★ 线性方程组解的判定定理★ 例1 ★ 例2★ n 元线性方程组的求解★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题9-1内容要点引例 用消元法求解下列线性方程组: ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=-+2875342622321321321x x x x x x x x x通常把过程①-④称为消元过程，矩阵④就是行阶梯形矩阵，与之对应的方程组④则称为行阶梯方程组.从上述解题过程可以看出,用消元法求解线性方程组的具体作法就是对方程组反复实施以下三种变换:(1)交换某两个方程的位置;(2)用一个非零数乘某一个方程的两边; (3)将一个方程的倍数加到另一个方程上去.以上这三种变换称为线性方程组的初等变换. 而消元法的目的就是利用方程组的初等变换将原方程组化为阶梯形方程组, 显然这个阶梯形方程组与原线性方程组同解, 解这个阶梯形方程组得原方程组的解. 如果用矩阵表示其系数及常数项, 则将原方程组化为行阶梯形方程组的过程就是将对应矩阵化为行阶梯形矩阵的过程.将一个方程组化为行阶梯形方程组的步骤并不是唯一的, 所以，同一个方程组的行行阶梯形方程组也不是唯一的. 特别地，我们还可以将一个一般的行阶梯形方程组化为行最简形方程组, 从而使我们能直接“读”出该线性方程组的解.通常把过程⑤-⑧称为回代过程.从引例我们可得到如下启示: 用消元法解三元线性方程组的过程, 相当于对该方程组的增广矩阵作初等行变换.对一般线性方程组(1)是否有同样的结论? 答案是肯定的. 以下就一般线性方程组求解的问题进行讨论.设有线性方程组)1(22112222212*********⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 其矩阵形式为 b AX = (2)其中 ,,,2121212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m n mn m m n n b b b b x x x X a a a a a a a a a A 称矩阵)(b A （有时记为A ~）为线性方程组(1)的增广矩阵.当m i b i ,,2,1,0 ==时, 线性方程组(1)称为齐次的; 否则称为非齐次的. 显然，齐次线性方程组的矩阵形式为0=AX (3)定理1 设n a A n m ij ,)(⨯=元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充要条件是系数矩阵的秩.)(n A r <定理2 设n a A n m ij ,)(⨯=元非齐次线性方程组b Ax =有解的充要条件是系数矩阵A 的秩等于增广矩阵)(~b A A =的秩, 即 ).~()(A r A r =注：记)(b A =A ~，则上述定理的结果，可简要总结如下:(1) 有唯一解；b Ax n A r A r =⇔==)~()((2) 有无穷多解；b Ax n A r A r =⇔<=)~()((3) 无解；b Ax A r A r =⇔≠)~()((4) .0)(只有零解=⇔=Ax n A r(5) .0)(有非零解=⇔<Ax n A r而定理的证明实际上给出了求解线性方程组(1)的方法:对非齐次线性方程组，将增广矩阵A ~化为行阶梯形矩阵，便可直接判断其是否有解，若有解，化为行最简形矩阵，便可直接写出其全部解. 其中要注意，当n r A r A r <==)~()(时，A ~的行阶梯形矩阵中含有r 个非零行，把这r 行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由量，其余r n -个作为自由未知量.对齐次线性方程组, 将其系数矩阵化为行最简形矩阵，便可直接写出其全部解.例题选讲例1 判断下列方程组是否有解? 如有解, 是否有唯一的一组解? ⎩⎨⎧=+++=+-+.0,13243214321x x x x x x x x解 方程组的系数矩阵=A ,11111321⎪⎪⎭⎫⎝⎛- 显然A 有一个2阶子式1121,01≠-=，因此.2)(=A r 增广矩阵=A ~,0111111321⎪⎪⎭⎫⎝⎛-显然,2)~(=A r 因此该方程组有解. 但方程组的未知数个数为4，因此应有无穷多组解.例2 判断方程组是否有解?⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-=++=++-.02,12,0,14332131321321x x x x x x x x x x x解 利用初等变换法求增广矩阵A ~的秩.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----021111020111141321r r ↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----0211110214130111 14131223r r r r r r -++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---030013201740011132r r ↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0300174013200111232r r - ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0300110013200111343r r +.3000110013200111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-因此.4)~(,3)(==A r A r 由于),~()(A r A r ≠故原方程组无解.例3 (E01) 求解齐次线性方程组 .0340222022432143214321⎪⎩⎪⎨⎧=---=--+=+++x x x x x x x x x x x x解 对系数矩阵A 施行初等行变换.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=341122121221A 13122r r r r -- ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------463046301221)3(223-÷-r r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000042101221 212r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00003421035201 即得与原方程同解的方程组 ⎩⎨⎧--=-=432431)4(2)5(2x x x x x x (43,x x 可任意取值).令,,2413c x c x ==把它写成向量形式为.1034350122214321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴c c x x x x 它表达了方程组的全部解.例4 (E02) 解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=++--=--+7739183332154321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解 对增广矩阵)(b A 施以初等变换，化为阶梯形矩阵： )(b A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=77391111833312111151⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------884140442704427011151⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=00000000004427011151⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------00000000007/47/47/21011151,42)()(<==A r b A r 故方程组有无穷多解. 利用上式回代回代,00000000007/47/47/2107/137/137/301⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=--=43243174727471373713x x x x x x取212413,(,c c c x c x ==为任意常数），由方程组的全部解为.747274713737132413212211⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==++-=--=cx c x cc x c c x例5 解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--+=-++=-+=+++63243214132432143214324321x x x x x x x x x x x x x x x .解 =)(b A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----61132413211411013211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----87510341101411013211⎪⎪⎭⎫⎝⎛----93600200001411013211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20000936001411013211因为,3)(=A r ,4)(=b A r ),()(A r b A r ≠ 所以原方程组无解.例 6 证明方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-=-515454343232121a x x ax x a x x a x x a x x 有解的充要条件是054321=++++a a a a a .在有解的情况下, 求出它的全部解.证 对增广矩阵A ~进行初等变换:=A ~⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----543211000111000011000011000011a a a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----∑=5143210000011000011000011000011i i a a a a a ~()(A r A r =∑==51,0i ia∴方程组有解的充要条件是∑==51.0i ia在有解的情况下，原方程组等价于方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-454343232121a x x a x x a x x a x x故所求全部解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+++=++++=544543354322543211a a x a a a x a a a a x a a a a a x )(5为任意实数x例7(E03) 讨论线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=+++=+++t x x x x x px x x x x x x x x x x 432143214321432112105,3153,363,132 当t p ,取何值时, 方程组无解? 有唯一解? 有无穷多解? 在方程组有无穷多解的情况下, 求出全部解.解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=t p B 121051315133163113211 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------191260066402242013211t p ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--53000422001121013211t p (1) 当2≠p 时，,4)()(==B r A r 方程组有唯一解； (2) 当2=p 时，有B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-53000420001121013211t ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10000210001121013211－t 当1≠t 时，,4)(3)(=<=B r A r 方程组无解； 当1=t 时，,3)()(==B r A r 方程组有无穷多解.B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10000210001121013211－t ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000210001121013211 ，－⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000210003021080001 即 ,23284321⎪⎩⎪⎨⎧==+-=x x x x 故原方程组的全部解为).(203801204321R k k x x x x ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛例8（E04）假使你是一个建筑师，某小区要建设一栋公寓，现在有一个模块构造计划方案需要你来设计，根据基本建筑面积每个楼层可以有三种设置户型的方案是否唯一呢?解：设公寓的每层采用同一种方案，有1x 层采用方案A ，2x 层采用方案B ，3x 层采用方案C ， 根据条件可得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++6654374347136988321321321x x x x x x x x x ()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==00006021340410266543410212013806654382041369886654374347136988~b A A因为()()32~<==A r A r ，故方程组有无穷多解.利用上面最后一个矩阵进行回代得到()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→000060213404102b A该矩阵对应的方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=323181315212x x x x 取c x =3(其中c 为正整数数)，则方程组的全部解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+=c x c x c x 32181315212 又由题意可知321,,x x x 都为正整数，则方程组有唯一解6,2,8123===x x x .所以设计案可行且唯一，设计方案为：6层采用方案A ，2层采用方案B ，8层采用方案C.例9（E05）在一个原始部落，农田耕作记为F ，农具及工具的制作记为M ，织物的编织记为C 。
线性方程组的解法学会利用消元法解决线性方程组
线性方程组的解法学会利用消元法解决线性方程组线性方程组的解法——学会利用消元法解决线性方程组线性方程组是数学中常见的问题之一，解决线性方程组的方法有很多种，而消元法是其中最常用的一种解法。
本文将详细介绍线性方程组的消元法解法及其应用。
一、线性方程组的基本概念在介绍消元法之前，我们首先需要了解线性方程组的基本概念。
线性方程组由多个线性方程组成，每个线性方程可以写成如下形式：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为系数，x₁, x₂, ..., xₙ为未知数，b₁,b₂, ..., bₙ为常数项，m为方程组的数量，n为未知数的数量。
二、消元法的原理消元法的基本思想是通过变换线性方程组的等价形式，将未知数的系数化为0，使得方程组具备易解性。
具体来说，消元法通过一系列的行变换和列变换，将线性方程组化为最简形式，也即阶梯形式。
三、消元法的步骤1. 第一步：将线性方程组写成增广矩阵的形式将线性方程组转化为矩阵形式，如下所示：⎡ a₁₁ a₁₂ ... a₁ₙ | b₁⎤⎢ a₂₁ a₂₂ ... a₂ₙ | b₂⎥⎢ ... ... ... ... | ... ⎥⎢ aₙ₁ aₙ₂ ... aₙₙ | bₙ ⎥⎣以矩阵的形式更方便进行行变换和列变换。
2. 第二步：选主元在进行消元操作前，需要选取主元。
主元是指每一行首个不为0的元素，它将作为该行进行消元的依据。
3. 第三步：消元操作通过行变换和列变换，将主元下方的元素化为0。
行变换包括以下几种操作：- 交换两行位置- 将某行乘以一个非零常数- 将某行的倍数加到另一行上4. 第四步：重复进行消元操作重复进行消元操作，直到将所有非主元下方的元素全部化为0。
5. 第五步：回代求解未知数消元完成后，可得到一个阶梯形矩阵。
高等代数课件--第三章 线性方程组§3.1 消元法
增广矩阵
a11 a 21 A a s1
a12 a 22 as 2
a1 n b1 a 2 n b2 a sn bs
二、消元法
1．引例 解线性方程组
2 x1 x 2 3 x 3 1 4 x1 2 x 2 5 x 3 4 2x x 2x 5 1 2 3
三、齐次线性方程组的解
定理1 在齐次线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a s1 x1 a s 2 x 2 a sn x n 0
第三章 线性方程组
——解决一般的线性方程组的解的 相关问题，解的结构问题
§3.1 消元法
一、一般线性方程组
1．一般线性方程组是指形式为
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a s1 x1 a s 2 x 2 a sn x n bs
成恒等式，则称有序数组(k1, k2,…, kn)是(1)的
一个解．
解集合 方程组(1)的解的全体所成集合称 为它的解集合．
解集合是空集时就称方程组(1)无解．
3．同解方程组
如果两个线性方程组有相同的解集合， 则称它们是同解的
4．方程组的系数矩阵与增广矩阵
系数矩阵
a11 a 21 A a s1 a12 a 22 as 2 a1 n a2 n a sn
方程．于是(1)就变成
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n b1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a s 2 x 2 a sn x n bs
高等代数消元法典型应用案例
高等代数消元法典型应用案例在高等代数学习中，消元法是一种非常重要的技巧。
它可以帮助我们解决各种各样的代数方程，从而推导出更加深刻的数学结论。
下面，我们来看几个典型的应用案例：1. 解线性方程组线性方程组是代数学中最基本的问题之一。
通过消元法，我们可以将线性方程组转化成简单的形式，从而求解出未知变量的值。
例如，考虑以下的线性方程组：2x + 3y - z = 7x - y + z = 33x + 2y + z = 1通过消元法，我们可以将其转化为以下形式：2x + 3y - z = 7-7y + 3z = -13-3y - 5z = -19然后，我们可以使用高斯消元法或者高斯-约旦消元法求解出未知变量的值。
2. 求矩阵的逆矩阵矩阵的逆矩阵是一个非常重要的概念。
通过求解逆矩阵，我们可以求解线性方程组、计算行列式等等。
例如，考虑以下的2×2矩阵：A = [ 1 2 ][ 3 4 ]我们可以使用消元法来求解其逆矩阵。
具体地，我们可以将其表示为增广矩阵形式：[ 1 2 | 1 0 ][ 3 4 | 0 1 ]然后，我们可以通过行变换将其转化为如下形式：[ 1 0 | -2/5 1/5 ][ 0 1 | 3/5 -1/5 ]因此，矩阵A的逆矩阵为：A^-1 = [ -2/5 1/5 ][ 3/5 -1/5 ]3. 求多项式的根多项式的根是代数学中一个非常重要的概念。
通过求解多项式的根，我们可以计算出多项式的系数、确定多项式的性质等等。
例如，考虑以下的二次多项式：f(x) = 2x^2 + 5x + 3我们可以使用消元法来求解其根。
具体地，我们可以将其表示为如下形式：2x^2 + 5x + 3 = 0然后，我们可以使用公式求出其根：x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / 2a其中，a、b、c分别为二次多项式的系数。
代入对应的值即可求解出多项式的根。
通过以上几个典型的应用案例，我们可以看到，消元法在代数学习中具有非常重要的作用。
高等代数§3.1 消元法
ai 1 对任意 2 i s, 将 1 ( ) i ,得 a11 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a22 x2 a2 n xn b2 a 2 x2 a xn bs s sn
解集合是空集时方程组的解平面直线的交点方程组的解集空间平面的交集直线平行相交重合解的个数01无穷平面平行相交重合解的个数0无穷无穷4同解的线性方程组定义如果两个线性方程组有相同的解集则称它们是同解的
§3.1 消元法
一、一般线性方程组的基本概念 1、一般线性方程组 定义 一般线性方程组是指形式为
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 (1) a s1 x1 a s 2 x2 a sn xn bs 的方程组，其中 x1 , x2 , , xn代表 n 个未知量；
1 2
(1)
s
(1) 若 ai 1 0( i 1, , s ), 则原方程组对 x1无限制,
即 x1可取任意值.从而方程组可以看作是 x2 , , x s 的方程组来解．
(2) 若 a11 , a21 , , as1 不全为0, 利用互换变换可使 第一个方程中 x1 的系数不为0.
可不妨设 a11 0.
小结：
1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换
（1）交换方程次序；
（2）以不等于0的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍．
3．上述三种变换都是可逆的．
若( A) 若( A) 若( A)
i i i
j
高等代数消元法
对于方程组 (3)，首先检查 x1 的系数. 如果 x1 的系数 a11, a21,
· · · , as1 全为零，那么方程组 (3) 对 x1 没有任何限制，就可以取
任何值，而方程组 (3) 可以看作 x2, · · · , xn 的方程组来解. 如果
x1 的系数不全为零，那么利用初等变换 3，可以设 a11 ̸= 0 . 利
A = aa12... 11
a12
a22 ...
··· ···
aa12... nn
as1 as2 · · · asn
称为线性方程组 (1) 的系数矩阵.
实际上，有了 (2) 之后，除去代表未知量的文字外线性方程组
(1) 就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
消元法
解 第二个方程减去第一个方程的 2 倍，第三个方程减去第一个
方程，就变成
2x1−x2
4x2 2x2
+3x3 = 1, − x3 = 2, − x3 = 4.
故 (c1, c2, · · · , cn) 又满足 (4) 的第一个方程，因而是 (4) 的解. 这就证明了 (3) 和 (4) 是同解的.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
初等变换求线性方程组的解
下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组.
+
(a12 +··
+ ka22)x2 · + a2nxn
消元法的几何解释
消元法的几何解释以3 元线性方程组为例.设有3 元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323122322211131211,,b z a y a x a b z a y a x a b z a y a x a 并设其有唯一解x = a , y = b , z = c.我们知道，3 元线性方程在几何上表示一个平面，因此，上述线性方程组的几何意义是：这三个个平面交于一点P(a, b, c).从另外一个角度来说，也就是，过空间点P(a, b, c) 可以作无穷多个平面，从这无穷多个平面中任选三个就可以确定空间点P.而在这些平面中以平面x= a, y= b, z= c 的方程最简单，它们的位置也最特殊，因为它们平行于三个坐标面.由此可看出消元法的几何意义是：从给定平面出发，逐步用过点P(a, b, c) 的位置较特殊的平面的方程取代方程组中的方程，直到方程组中的方程是过点P(a, b, c) 所作的所有平面中方程最简单的三个为止.例如)1(,22,22,3⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++z y x z y x z y x 显然,该方程组有唯一解, 且为x = y = z = 1. P (1,1,1). 方程组的几何意义是这三个平面交于一点方程组中的每一个方程表示一个空间平面, 故该上述设有三元线性方程组如图3 -1 .P(1,1,1)L图3 -1⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++,22,22,3z y x z y x z y x 方程组的解⎪⎩⎪⎨⎧===111z y x 所表示的点如图3 -2图3 -2P (1,1,1)所示.P (1,1,1)图3 -1L 导出图3 -2P (1,1,1)消元法的几何意义的动态演示消元的过程即为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++,22,22,3z y x z y x z y x ⎪⎩⎪⎨⎧===111z y x 也即导出。
第 06 讲 消元法(高中版)
第 6 讲 消元法（高中版）（第课时）消元法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧降次消元法整体消元法加减消元法代入消元法重点：1．；2．；3．。
难点：1．；2．；3．；。
（代数恒等式或三角恒等式），通过适当的变形，消去一部分变数，使问题得以解决，这种解题方法，通常称为消元法。
在分析、解决各种数学问题时，消元法是一种具有普遍适用性的方法.消元法是一种重要的数学方法。
消元法是解方程组的基本方法，在推证条件等式和把参数方程化成普通方程等问题中，也有着重要的应用。
消元法包括代入消元法、加减消元法、整体消元法、降次消元法等等。
1．代入消元法2．加减消元法例.（高一）已知C x A sin cos cos =，C x B sin sin cos =，求 C B A 222sin sin sin ++的值。
解：由已知得 x C A 222cos sin cos = ，x C B 222sin sin cos =， 两式相加得 1sin cos sin cos 2222=+C B C A ，即C B A 222sin cos cos =+ ， ∴ C B A 222sin sin 1sin 1=-+- ，即 2sin sin sin 222=++C B A 。
点评：当条件中的角多于一个，而结论中的角只有一个时，需要利用同角三角函数的关系进行消元。
3．整体消元法4．降次消元法2 3 4 5 6 7 8 √ √ √ √1. (初二)解方程组⎩⎨⎧=+=-)2(12)1(5422y x y x解：由（2）得 y x 21-= （3）把（3）代入（1）经化简整理得 1-=y ， 把1-=y 代入（3）得 3=x ，所以方程组的解是 ⎩⎨⎧-==13y x 。
点评：本题使用代入消元法解方程组。
2. (初三)等腰三角形的周长是8，如果底边长X ，腰长Y ，试写出Y 与X 之间的函数关系式，并求出定义域。
解：Y 与X 之间的函数关系式为 28xy -=， ⎪⎩⎪⎨⎧>+>>x y y y x 00⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->->xx x x 80280 ⎪⎩⎪⎨⎧<<>480x x x 故所求定义域为 40<<x 。
高等代数线性方程组
高等代数线性方程组一、消元法顾名思义，就是不断通过消去未知量求得方程组的解消元法的三种基本变换（初等变换）：1）用一非零的数乘某一方程2）把一个方程的倍数加到另一个方程3）互换两个方程的位置是不是感觉矩阵变换的性质类似哈哈哈，没错消元法的过程就是反复施行初等变换的过程，初等变换总是把方程组变成同解方程。
1.当 r=n ,此时阶梯形方程组为其中 c_{ii}\ne0,i=1,2,···,n，从最后一个方程开始求解， x_{n},x_{n-1},···,x_{1}确定，方程有唯一解。
2. r<n ,此时阶梯形方程为显然，给定一组值x_{r+1},···,x_{n}就可以唯一确定x_{1},x_{2},···,x_{r}的值将x_{r+1},···,x_{n}称为自由未知量，方程有无穷个解。
3. r>n 情况不可能出现定理1：在齐次线性方程组中，如果 s<n ，那么它必有非零解。
增广矩阵：矩阵称为线性方程组的增广矩阵。
用初等变换化方程组成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵成阶梯形矩阵,从而解线性方程组的第一步可通过矩阵进行。
二、n维向量空间向量的性质：和： \gamma=\alpha + \beta交换律： \alpha+\beta=\beta+\alpha结合律： \alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma 定义6 \alpha-\beta=\alpha+(-\beta)定义7（数乘运算）：k\alpha=(ka_{1}+ka_{2},···,ka_{n})k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta(k+l)\alpha=k\alpha+l\alphak(l\alpha)=(kl)\alpha定义8 以数域P中的数作为分量的n维向量的全体，同时考虑到定义在他们上的加法和数量乘法，称为数域P上的n维向量空间。
1.1 消元法解线性方程组及其矩阵表示
1 1
2 a
当2 aa 3 0 即a 2且a -3 有唯一解
当22
aa a
0
3
0
即a 2
有无穷个解
当22
a a
a
0
3
0
即a 3
无解
注： r2 r3 a1 此变换是错的
§1.1 消元法解线性方程组及其矩阵表示
一、消元法解线性方程组 二、用矩阵表示消元的过程 三、线性方程组解的情况
一、消元法解线性方程组及几何意义
例1 解二元线性方程组
xy3 2x y 0
（1.1）
解: 用高斯消元法
（1.1） + 2
（1.2）÷ 3
0 0
2 0
6 0
主元：每行第一个 非零元素
x1 x2 x4 ——非自由未知量
x3
——自由未知量
x1 c 4
令
x3=任意值c，得xx32
c c
3
x4 3
x1 x2 5x3 x4 0,
例3
求解齐次线性方程组
x1 x2 2x3 3x4 3x1 x2 8x3 x4
二、用矩阵表示消元的过程
回顾上述化简消元的过程，我们发现只对方程组进行 了三种变换： （1）交换两个方程的次序； （2）用非零数乘以某个方程； （3）用一个数乘某个方程后加到另一个方程上。 这三个变换称为初等变换。
而且只对方程组的系数和常数项进行运算，而未知量、 ‘+’、‘=’没有变化，故省去。那求解的过程可用 相应的数表表示出来：