函数的奇偶性及其应用举例
专题04 函数的奇偶性的判断及其应用-学会解题之高三数学万能解题模板(2021版)(解析版)
学习界的x + 3 - 39 -(-x)2(-x)2 -9 9 -x2x2 - 9⎩专题04 函数的奇偶性的判断及其应用【高考地位】函数的奇偶性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明函数的奇偶性，利用函数的奇偶性解决实际问题．类型一函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性：(1) f (x) (2) f (x) = (x +(3) f (x) =.【解析】（1）第一步，确定函数的定义域：⎧⎪9-x2≥0{}由不等式⎨⎪x2-9≥0得x =±3 ，所以函数的定义域为-3，3第二步，判断其定义域是否关于原点对称：因为函数的定义域为{-3，3}，所以定义域关于原点对称第三步，若是，则确定f (x) 与f (-x) 的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；f (-x)=+=+=f (x)4 - x 2⎩ 第四步，得出结论. 所以函数为偶函数。
（2） 第一步，确定函数的定义域：由不等式1- x ≥ 0 得-1 < x ≤ 1 ，所以函数的定义域为(-1，1]1+ x第二步，判断其定义域是否关于原点对称：因为函数的定义域为(-1，1]，所以定义域不关于原点对称第三步，得出结论.所以函数既不是奇函数也不是偶函数；。
（3） 第一步，确定函数的定义域：⎧⎪4 - x 2≥ 0[ ) ( ] 由不等式 ⎨⎪ x + 3 - 3 ≠ 0得- 2 ≤ x < 0 或0 < x ≤ 2 ，所以函数的定义域为 - 2，0 ⋃ 或 0，2第二步，判断其定义域是否关于原点对称：因为函数的定义域为[- 2，0)⋃ 或(0，2]，所以定义域关于原点对称第三步，若是，则确定 f (x ) 与 f (-x ) 的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；f (- x ) = - x= - x = - f (x )第四步，得出结论. 所以函数为寄函数。
【点评】确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再验证 f (-x ) = ± f (x )或其等价形式 f (-x ) ± f (x ) = 0 是否成立．4 - (- x )2【变式演练1】【四川省泸州市2021 届高三第一次教学质量诊断性考试数学（文科）】下列函数中，在定义域上单调递增且为奇函数的是（）A. f (x) =1xB. f ( x) = sin xC. f (x) =x cos x D．f (x) =x + sin x【答案】D【分析】利用初等函数的奇偶性逐一分析选项，利用导数判断含有三角函数的单调性即可.【详解】解：A 选项：f (x) =1为奇函数，在(-∞, 0)和(0, +∞)上单调递减，故A 错误；xB 选项：f ( x) = sin x 定义域为(-∞, +∞)，但在定义域上不单调，故B 错误；C 选项：f (x) =x cos x ，定义域为(-∞, +∞)且为奇函数，取x ∈⎛0,π⎫，f (x)> 0 ，取x ∈⎛π,π⎫，1 2 ⎪ 1 2 2 ⎪⎝⎭⎝⎭ f(x2)<0，x1<x2，f(x1)>f(x2)，在(0,+∞)上不是单调增函数，故C错误；D 选项：f (x) =x + sin x ，定义域为(-∞, +∞)且为奇函数，f '( x) = 1 + cos x ≥ 0 ，故f (x) 在(-∞, +∞)上单调递增，故D 正确.故选：D.【点睛】本题考查判断已知函数的奇偶性和单调性，属于中档题.结论点睛：（1）奇函数加奇函数为奇函数；（2）偶函数加偶函数为偶函数；（3）奇函数乘奇函数为偶函数；（4）偶函数乘偶函数为偶函数；（5）奇函数乘偶函数为奇函数.【变式演练2】【四川省宜宾市2021 届高三上学期第一次诊断考试数学（文）】函数f (x) =-sin x +x cos x 部分图象大致形状为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用奇偶性的定义可证f (x) 是奇函数，在利用导函数研究单调性即可确定函数图象.【详解】由解析式知：f (-x) =-sin(-x) + (-x) cos(-x) = sin x -x cos x =-f (x) ，即f (x) 是奇函数，且f (0) = 0 ，即可排除A、B；因为f '( x) =-x sin x ，所以0 <x <π时f '(x) < 0 有f (x) 单调递减，排除D；2故选：C【变式演练3】已知函数f x = log a x + 1 ，g x = log a1 − x （其中a > 0，且a ≠ 1）.a a a（1） 求函数 f x + g x 的定义域.（2） 判断函数 f x − g x 的奇偶性，并予以证明.（3） 求使 f x + g x < 0 成立的 x 的集合.【答案】（1） x| − 1 < x < 1,x ∈ R ；（2）见解析；（3）{x|0<x<1 或− 1 < x < 0【解析】（I ）由题意得： {x + 1 > 0，1 − x > 0∴− 1 < x < 1，∴所求定义域为 x| − 1 < x < 1,x ∈ R ．（II ） 函数 f x − g x 为奇函数，令 H x = f x − g x ，则 H x = log x + 1 − log 1 − x = log x+1， 1−x∵H − x = log a −x+1 =− log a x+1 =− H x ．1+x1−x∴函数 H x = f x − g x 为奇函数．（III ）∵f x + g x = log a x + 1 + log a 1 − x = log a 1 − x 2 < 0 = log a 1，∴当 a > 1 时， 0 < 1 − x 2 < 1，∴0 < x < 1 或 − 1 < x < 0．当 0 < a < 1 时， 1 − x 2 > 1，不等式无解，综上：当 a > 1 时，使 f x + g x < 0 成立的 x 的集合为{x|0<x<1 或− 1 < x < 0 ．【点睛】本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用，考查函数的奇偶性和单调性的运用，属于中档题．类型二 利用函数的奇偶性求函数的解析式⎨( )x 1- x, 解题模板 第一步 首先设出所求区间的自变量 x ；第二步 运用已知条件将其转化为已知区间满足的 x 的取值范围； 第三步 利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式.例 2 ．已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时， f (x ) =x (1 + x ) ，求出函数 f ( x ) 的解析式.【答案】{x (1+ x ), x ≥ 0x (1- x ), x < 0 .【解析】第一步，首先设出所求区间的自变量 x ： 设 x < 0 则- x > 0 ，第二步，运用已知条件将其转化为已知区间满足的 x 的取值范围： 所以 f (- x ) = -x (1- x )，又因为函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，所以- f (x ) = f (- x ) = -x (1- x )，即 f (x ) = x (1- x )，第三步，利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式：所以函数的解析式为 f (x ) = ⎧x (1+ x )，x ≥ 0⎩【点评】（1）已 知函数的奇偶性求解析式的题目，一般是求哪个区间，则设未知数在哪个区间，然后化为已知区间求解；（2）本题是求函数 f ( x ) 在 R 上的解析式，一定不要忘记 x = 0时，函数 f ( x ) 的值.例 3 若函数 f ( x ) 是奇函数，g ( x ) 是偶函数，且其定义域均为{x x ∈ R , x ≠ ±1} .若 f ( x ) + g (x ) = 求 f ( x ) ， g ( x ) 的解析式.1，x -1【答案】 f (x ) =xx 2-1， g ( x ) = 1x 2 -1 .⎪ 【解析】第一步，首先设出所求区间的自变量 x ：用- x 代换解析式中的 x ，所以 f (- x )+ g (- x ) =1，- x -1第二步，运用已知条件将其转化为已知区间满足的 x 的取值范围：因为函数 f ( x ) 是奇函数， g ( x ) 是偶函数，所以 f (- x )+ g (- x ) = f (x )- g (x ) =1，- x -1第三步，利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式：⎧ f (x )- g (x ) = 联立1 - x -1 ，解之得 f (x ) = x ， g ( x ) = 1 . ⎨ ⎪ f (x )+ g (x ) =⎩1 x -1 x 2-1 x 2 -1【点评】这里运用了构造法，把符合要求的奇函数与偶函数构造出来，问题也就解决了，构造的关键是运用奇、偶函数的概念，并联系方程组的知识.【变式演练 4】已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数,当 x > 0 时, f x = log 2 x + 1（1） 求函数 f x 的解析式;（2） 若 f m <− 2,求实数 m 的取值范围.【答案】（1）f x = log 2 x + 1 ,x〉0 0,x = 0 − log 2 1 − x ,x〈0（2）m <− 3【解析】（1）∵x > 0 时, f x = log 2 x + 1 ),∴当 x < 0 时，− x > 0,∴f − x = log 2 − x + 1 ),∵函数 f x 是定义在 R 上的奇函数,∴f − x =− f x ∴− f x = log 2 − x + 1 即 f x =− log 2 − x + 1 , 又 f 0 = 0,∴f x =log 2 x + 1 ,x〉00,x = 0 ， − log 2 1 − x ,x〈0（2）∵x > 0 时 ：f x = log 2 x + 1 > 0,f 0 = 0,∴f m <− 2⇔− log 1 − m <− 2,∴log 2 1 − m > 2,⎪x ∴1 − m > 4,∴m <− 3.【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，奇函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.【变式演练 5】已知函数 ƒ x = 4x −a 是奇函数．2（1） 求实数 a 的值；（2） 用定义证明函数 ƒ x 在 R 上的单调性；（3） 若对任意的 x ∈ R ，不等式 ƒ(x 2 − x 等+ ƒ(2x 2 − ݇等 > 0 恒成立，求实数 ݇ 的取值范围．【答案】（1）a = 1（2）见解析（3）݇ <− 112【解析】（1）∵函数 ƒ x 的定义域为 R ，且 ƒ x 是奇函数，∴ƒ 0 = 0，解得 a = 1．此时 ƒ x = 2x − 2−x ，满足 ƒ − x =− ƒ x ，即 ƒ x 是奇函数．∴a = 1．（2）任取x 1,x 2 ∈ − œ, + œ ，且x 1 < x 2，则2x 1 < 2x 2 ，( 1 等x 1 > ( 1 等x 2 ，22于是 ƒ(x 1等− ƒ(x 2等 = 2x 1 − 1 − 2x x 2 + 1 = 2x 1 − 2x 2 + ( 1 等x 2 − ( 1 等x 1 < 0，2x 12x 22 2即 ƒ(x 1等 < ƒ(x 2等，故函数 ƒ x 在 − œ, + œ 上是增函数．（3）由 ƒ(x 2 − x 等 >− ƒ(2x 2 − ݇等及 ƒ x 是奇函数，知 ƒ(x 2 − x 等 > ƒ(݇ − 2x 2等，又由 ƒ x 在 − œ, + œ 上是增函数，得x 2 − x > ݇ − 2x 2，即 ݇ < 3x 2 − x 对任意的 x ∈ R 恒成立，∵当 x = 1时，3x 2 − x 取最小值− 1 ，∴݇ <− 1 ．61212考点：函数的简单性质的综合运用．【高考再现】⎨-2 ≤ x -1 ≤ 0或x -1 ≥ 2 ⎩1. 【2020 年高考江苏卷 7】已知 y =2f ( x ) 是奇函数，当 x ≥ 0 时， f (x ) = x 3，则 f (-8) 的值是．【答案】 -422【解析】 y = f ( x ) 是奇函数，当 x ≥ 0 时， f (x ) = x 3，则 f (-8) = - f (8) = -83 = -4 ．【专家解读】本题考查了函数的奇偶性，考查数学运算学科素养．解题关键是正确应用函数的奇偶性．2. 【2020 年高考山东卷 8】若定义在 R 上的奇函数 f (x ) 在(-∞, 0) 单调递减，且 f (2) = 0 ，则满足 xf (x -1) ≥ 0的 x 的取值范围是（ ）A ． [-1 , 1] [3 , + ∞)B ． [-3 , -1] [0 , 1]C ． [-1 , 0] [1 , + ∞)D ． [-1 , 0] [1 , 3]【答案】D【思路导引】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 f (x ) 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果．【解析】因为定义在 R 上的奇函数 f (x ) 在(-∞, 0) 上单调递减，且 f (2) = 0 ，所以 f (x ) 在(0, +∞) 上也是单调递减，且 f (-2) = 0 ， f (0) = 0 ，所以当 x ∈(-∞, -2) ⋃ (0, 2) 时， f (x ) > 0 ，当 x ∈(-2, 0) (2, +∞) 时， f ( x ) < 0 ，所以由 xf (x -1) ≥ 0 可得： ⎧x < 0 ⎩ ⎧x > 0 或⎨0 ≤ x -1 ≤ 2或x -1 ≤ -2 或 x = 0解得-1 ≤ x ≤ 0 或1 ≤ x ≤ 3 ，所以满足 xf (x -1) ≥ 0 的 x 的取值范围是[-1 , 0] [1 , 3]，故选 D ．【专家解读】本题的特点是注重函数性质的应用，本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查抽象不等式的 解法，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想方法，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素 养．解题关键是正确应用函数的性质，转化为不等式组来求解．3. 【2017 全国二文】已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ∈ (-∞, 0) 时， f (x ) = 2x3+ x 2 ,则 f (2) =2【答案】12【解析】 f (2) = - f (-2) = -[2 ⨯ (-8) + 4] = 12【考点】函数奇偶性【名师点睛】(1)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式， 或充分利用奇偶性得出关于 f (x ) 的方程，从而可得 f (x ) 的值或解析式.(2)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据 f ( x ) ± f (- x ) = 0 得到关于待求参数的恒等 式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.4. 【2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学】已知是定义在 R 上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数 满足，则 的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意得a -1a -11a -11 1 3f (-2) > f (- 2 )⇒ -2 > - ⇒ 2< 22⇒ a -1 < ⇒ < a < ，2 2 2故选 C【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：（1） 借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．（2） 借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确 把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．5. 【2018 年全国普通高等学校招生统一考试理数】已知 f(x 等是定义域为( − œ, + œ等的奇函数,满足 f(1 − x 等 =f(1 + x等.若f(1等 = 2，则f(1等+ f(2等+ f(3等+ ⋯ + f(50等 =（）A．− 50 B．0 C．2 D．50【答案】C【解析】因为f(x等是定义域为( − œ, + œ等的奇函数，且f(1 − x等= f(1 + x等，所以f(1 + x等=− f(x − 1等∴ f(3 + x等=− f(x + 1等= f(x − 1等∴ T = 4,因此f(1等+ f(2等+ f(3等+ ⋯ + f(50等 = 12[f(1等+ f(2等+ f(3等+ f(4等] + f(1等+ f(2等，因为f(3等=− f(1等，f(4等=− f(2等，所以f(1等+ f(2等+ f(3等+ f(4等 = 0，∵f(2等=f( −2等=−f(2等∴ f(2等=0，从而f(1等+ f(2等+ f(3等+ ⋯+f(50等=f(1等=2，选 C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．6.【2015 高考广东，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A.y =x +e xB.y =x +1xC.y = 2x +12xD.y =【答案】A ．【考点定位】函数的奇偶性判断．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性判断和常见函数性质问题，但既不是奇函数，也不是偶函数的判断可能较不熟悉，容易无从下手，因此可从熟悉的奇偶性函数进行判断排除，依题易知B 、C 、D 是奇偶函数，排除得出答案，属于容易题．【反馈练习】1+x21．（多选）【海南省2021届高三年级第二次模拟考试】下列函数中是偶函数，且在区间(0,1)上单调递增的是（）A.y =x2 -2B.y =2 xC.y =| x | +1| x |D.y=x 2| x |【答案】AD【分析】利用函数的奇偶性的定义判断奇偶性，根据函数解析式判断单调性.【详解】A，因为f(-x)=(-x)2-2=x2-2=f(x )，y =x2 - 2 是偶函数，在区间(0,1) 上为增函数，符合题意；B，因为f (-x)=2=-2=-f (x)，y =2 是奇函数，且在区间(0,1) 上为减函数，不符合题意；-xC，因为f (-x)=| -x | +x x1=| x | +1=f (x)，y =| x | +1 (x ≠ 0) 是偶函数，当x ∈(0,1) 时，y= x +1 | -x | | x | | x | x单调递减，不符合题意；x2 x2 x2D，因为f (-x )===f (x )，y =| -x | | x | | x |(x ≠ 0) 是偶函数，且在区间(0,1) 上为增函数，符合题意.故选：AD2.【安徽省淮北市2020-2021 学年高三上学期第一次模拟考试文科】设函数g (x)=f (x )+x 2 是定义在R 上的奇函数，且F (x)=f (x)+3x ，若f (1)=1，则F (-1)=（）A.-43B.-73C．-8D．13 3【答案】C【分析】根据g (x)是奇函数，可得f (-x )+f (x )=-2x 2 ，即可求出f (-1)=-3 ，进而可求F (-1).【详解】g (x )是奇函数，∴g (-x)=-g (x)，即f (-x )+x 2 =-f (x )-x 2 ，即f (-x )+f (x )=-2x 2 ， f (1)=1 ，∴f (-1)=-3 ，∴F(-1)= f (-1)+ 3-1 =-3 + 3-1 =-8 .3故选：C.3.【河南省郑州市2020-2021 学年高三上学期第一次质量检测文科】设f (x )是R 上的奇函数且满足f (x-1)=f (x +1)，当0 ≤x ≤1时，f (x)= 5x (1-x )，则f (-2020.6)=（）21 7 A．B．25 10 C.-85D.-65【答案】D【分析】由题意可知，f (x)是以2 为周期的周期函数，进而可得出f (-2020.6)=f (-0.6 )，再利用奇函数的性质可求得结果.【详解】对任意的x ∈R ，f (x -1)=f (x +1)，即f (x)=f (x + 2)，所以，函数f (x )是以2 为周期的周期函数，∴f (-2020.6)=f (-0.6)，由于函数f (x )为R 的奇函数，且当0 ≤x ≤ 1时，f (x )= 5x (1-x )，因此，f (-2020.6)=f (-0.6)=-f (0.6)=-5⨯ 0.6⨯(1- 0.6)=-6 .5故选：D.【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.4.【山东省淄博市2021 届高三上学期教学质量摸底检测（零模）】已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x)=f (2 -x )，且在[-1, 0)上有f (x)= 4x ，则f (2020.5)=（）A．2 B．12C.-2D.-12【答案】D【分析】根据题意可得函数f (x)是周期为4 的周期函数，结合函数为奇函数可得f (2020.5)=-f (-0.5) ，代入函数解析式化简即可.【详解】解：因为定义在R 上的奇函数f (x)满足f (x)=f (2 -x )，所以f (2 +x )=f (-x )=-f (x) ，所以f (2 +(2 +x ))=-f (2 +x) =-(-f (x))= f (x) ，即函数f (x )是周期为4 的周期函数，又x ∈[-1, 0)时有f (x)= 4x ，所以f (2020.5)=f (0.5) =-f (-0.5) =-4-0.5 =-1 2故选：D.【点睛】函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路：(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性；(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f (x1 ) >f (x2 ) 或f (x1 ) <f (x2) 的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响.5.【云南省昆明市官渡区2021 届高三上学期两校联考】若定义在R 上的函数f (x )满足f (-x) =f (x) ，f (2 -x) = f ( x) ，且当x ∈[0,1] 时，f (x) =H (x) =xe x-f (x) 在区间[-5,1] 上的零点个数为（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】先分析函数H (x) =xe x-f (x) 的零点个数，即y = f (x) 与y = xe x在区间[-5,1] 上的交点个数，再分析函数周期性、对称性和单调性画函数图象，看图即得结果.【详解】依题意，函数H (x) =xe x-f (x) 的零点个数，即y = f (x) 与y = xe x在区间[-5,1] 上的交点个数，学习界的007定义在 R 上的函数 f (x )满足 f (−x )=f (x )，f (2−x )=f (x )，∴函数 f (x )是偶函数，且函数的图象关于 x =1 对称，故 x ∈[0,1]， f (x ) =1x 2+ y 2= 1 ，故函 数 f (x )是单位圆的 4，利用周期性和对称性可得函数图像.设 g (x )=xe x ，其定义域为 R ，g ′(x )=(xe x )′=x ′e x +x (e x )′=e x +xe x令 g ′(x )=0，得：x =−1，且 x < -1时 g ′(x )<0， x > -1 时 g ′(x ) >0，故函数 g (x )=xe x 的单调递减区间为(−∞,−1)，单调递增区间为(−1,+∞)，当 x =−1 时，函数 g (x )=xe x 的极小值为 g (-1) = - 1，且 x < 0 时 g (x )<0， x > 0 时 g (x ) >0，故作图如下：e将 x 轴下方部分图像对称到上方，即得 y = xe x图像，要求 y = f (x ) 与 y =xe x在区间 [-5,1] 上的交点个数，则作图如下：1- x 2⎣ ⎦⎩结合图像可知，有 6 个交点，故函数 H (x ) = xe x- f (x ) 有 6 个零点.故选：B.【点睛】“以形助数”是已知两图象交点问题求参数范围常用到的方法，解决此类问题的关键在于准确作出不含参数的 函数的图象，并标清一些关键点，对于含参数的函数图象要注意结合条件去作出符合题意的图形．6【. 2021 届全国著名重点中学新高考冲刺】已知定义在 R 上的函数 y = f (x + 1)- 3 是奇函数，当 x ∈(1, +∞)时， f '(x ) ≥ x + 1- 3 ，则不等式⎡ f ( x ) - 3⎤ ln (x +1) > 0 的解集为（ ）x -1A ． (1, +∞)B ． (-1, 0) ⋃ (e , +∞)C ． (0,1) (e , +∞)D ． (-1, 0) ⋃ (1, +∞ )【答案】D【分析】本题首先可根据题意得出函数 f ( x ) 的图像关于点(1, 3) 中心对称且 f (1) = 3 ，然后根据基本不等式得出f '( x ) ≥ 0 ，则函数 f ( x ) 在 R 上单调递增，最后将不等式⎡ f ( x ) - 3⎤ ln (x +1) > 0 转化为 ⎪⎧ f ( x ) - 3 > 0 或 ⎣ ⎦⎨⎪ln ( x +1) > 0⎩⎧⎪ f ( x ) - 3 < 0⎨⎪ln ( x +1) < 0 ，通过计算即可得出结果.【详解】因为函数 y = f (x + 1)- 3 是定义在 R 上的奇函数，所以函数 f ( x ) 的图像关于点(1, 3) 中心对称，且 f (1) = 3 ，当 x ∈(1, +∞) 时， x -1 > 0 ，则 x +1 x -1 - 3 = (x -1)+ 1 x -1- 2 ≥2 = 0 ，当且仅当 x = 2 时取等号，故 f '(x ) ≥ x + 1x -1- 3 ≥ 0 ，函数 f ( x ) 在(1, +∞) 上单调递增，因为函数 f ( x ) 的图像关于点(1, 3) 中心对称，所以函数 f ( x ) 在 R 上单调递增，⎧⎪ f ( x ) - 3 > 0 ⎧⎪ f ( x ) - 3 < 0不等式 ⎡⎣ f ( x ) - 3⎤⎦ ln (x +1) > 0 可化为⎨ln ( x +1) > 0 或⎨ln ( x +1) < 0 ，⎪⎩ ⎪⎩⎧⎪ f ( x ) - 3 > 0 ⎧x > 1 ⎨ln ( x +1) > 0 ，即⎨x > 0 ，解得 x > 1 ，⎪⎩⎩⎧⎪ f ( x ) - 3 < 0 ⎧x < 1 ⎨ln ( x +1) < 0 ，即⎨-1 < x < 0 ，解得-1 < x < 0 ， ⎩⎪ ⎩故不等式的解集为(-1, 0) ⋃ (1, +∞ ) ，故选：D. 【点睛】关键点点睛：若函数 y = f ( x + a )(a ∈ R ) 是偶函数，则函数 y = f (x ) 的图像关于直线 x = a 对称；若函数y = f ( x + b )(b ∈ R )是奇函数，则函数 y = f (x ) 的图像关于点(b , 0) 中心对称，考查通过基本不等式求最值，考查根据导函数判断函数单调性，是难题.7【. 安徽省安庆市怀宁中学 2020-2021 学年高三上学期第一次质量检测理科】已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ， 对任意的实数 x ，恒有 f ( x + 3) = - f (x ) ，且当x ∈(0, 3] 时， f ( x ) = x 2 - 6x + 8 ，则 2 f (0) + f (1) + f (2) +... + f (2020) = （ ）A ．6B ．3C ．0D ． -3【答案】B【分析】根据函数 f ( x ) 恒有 f ( x + 3) = - f (x ) ，得到函数 f (x ) 的周期是 6，再由 f ( x ) 定义在 R 上的奇函数，得到 f (0) = 0, f (3) = 0 ，然后f (0) + f (1) + f (2) +... + f (2020) = ⎣⎡ f (0) + f (1)+ f (2 )+ ... + f + f (0) + f (1) + f (2) + f (3) + f (4) 求解.【详解】因为函数 f ( x ) 对任意的实数 x ，恒有 f (x + 3) = - f (x ) ， (5 )⎤⎦ ⨯ 336所以 f ( x + 6) = - f (x + 3)= f (x ) ，所以函数 f (x ) 是以 6 为周期的周期函数， 又 f (x ) 定义在 R 上的奇函数， 所以 f (0) = 0, f (3) = - f (0) = 0 ，又当 x ∈(0, 3] 时， f ( x ) = x 2- 6x + 8 ，2所以 f (1) = 3, f (2) = f (-1+ 3) = - f (-1) = f (1) = 3 ，f (4) = f (1+ 3) = - f (1) = -3, f (5) = f (2 + 3) = - f (2) = -3 ， 所以 f (0) + f (1) + f (2) +... + f (2020) ， = ⎣⎡ f (0) + f (1)+ f (2 )+ ... + f (5 )⎦⎤ ⨯ 336+ f (0) + f (1) + f (2) + f (3) + f (4) ，= 0⨯ 336 + 3 = 3 ，故选：Bx 3 + sin x8. 【山东省枣庄三中 2021 届高三 10 月份第二次质检】函数 f ( x )=e x + e- x的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】判断函数为奇函数，由图像可排除 C ，D ；然后利用特殊值，取 x = π，可排除 B.)【详解】定义域为 R ，定义域关于原点对称，f (-x ) = (-x )3+ sin (-x ) e - x + e x= - x 3 + sin x e x + e- xf ( x ) 是奇函数，排除 C ，D ；x = ππ3 + sin ππ3当时， f ( x ) =e π + e -π =e π+ e-π> 0 ，排除 B ；故选：A.9. 【湖北省“荆、荆、襄、宜“四地七校联盟 2020-2021 学年高三上学期期中联考】若函数f (x ) = sin x ⋅ ln(ax 的图象关于 y 轴对称，则实数a 的值为（ ）A ．2B ． ±2C ．4D ． ±4【答案】B【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到 f ( x ) = f (-x ) ，进而得到 ax=立，根据对应项系数相同可得方程求得结果.【详解】f ( x) 图象关于 y 轴对称，即 f ( x) 为偶函数 ∴ f ( x ) = f (-x )即：sin x ⋅ l n (ax += -sin x ⋅ l n ax = sin x ⋅ l n 1ax∴ a x1恒成立，即：1+ 4x 2 - a 2 x 2 = 1ax=，2∴ a 2 = 4 ，解得： a = ±2本题正确选项： B10. 【广西南宁市普通高中 2021 届高三 10 月摸底测试数学（文）】已知函数 f (x ) =2x - a2x+1是 R 上的奇函数，当a ∈(0,π) 时，不等式 f ( x sin x -1) + f (cos x - b ) ≤ 0 恒成立，则整数b 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】由题意有 f (0) = 0 ，即可得 f (x ) = 1-2 2x+1，进而可知其为增函数，由不等式恒成立结合 f (x ) 的单调性 有 x sin x + cos x ≤ b +1 ，令 g (x ) = x sin x + cos x 利用导数研究 g (x ) 的最值，即可求b 的取值范围，可得最小值. 【详解】由题意知： f (0) = 0 ，即1- a = 0 ，所以 a = 1 ，22x -1 2∴函数 f (x ) = 2x +1 = 1- 2x +1为 R 上的增函数，不等式 f (-x ) = - f (x ) ，f ( x sin x -1) + f (cos x - b ) ≤ 0恒成立，又∴ f ( x sin x -1) ≤ - f (cos x - b ) ，得 f (x sin x -1) ≤ f (b - cos x ) ，即 x sin x + cos x ≤ b +1 ，令 g (x ) = x sin x + cos x ， g '(x ) = x cos x ，当 x ∈⎛ 0,π⎫时， g '( x ) > 0 ， g (x ) 单调递增；当 x ∈⎛ π,π⎫2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭时， g '( x ) < 0 ， g (x ) 单调递减，∴当 x = π时， g ( x ) 取极大值也是最大值，最大值为 g⎛ π⎫ = π， ⎪ 2⎝ ⎭ 2即b ≥π-1，又b ∈Z ，有b =1.2 min故选：A。
高考一轮复习函数的奇偶性与周期性课件
常见周期函数的举例
正弦函数和余弦函数是常见的周期函 数。例如，y=sin(x)的最小正周期为 2π，y=cos(x)的最小正周期为2π。
函数y=sin(ax)和y=cos(ax)的周期为 2π/a，其中a是常数。
函数y=tan(x)也是周期函数，它的最 小正周期为π。
函数y=tan(ax)的周期为π/a，其中a 是常数。
举一反三
通过练习多种形式的题目， 提高对奇偶性和周期性问 题的应变能力。
反思提高
反思自己在解题过程中的 不足，针对性地加强薄弱 环节的训练。
THANKS.
02
与性
周期函数的定 义
周期函数的定义
如果存在一个非零常数T，对于函数f(x)的定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)， 则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期。
周期函数的定义还可以表述为
如果存在一个非零常数T，对于函数f(x)的定义域内的任意x，当x增加T时，函数 值重复出现，即f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期。
高考一复函数的奇 偶性与周期性件
• 函数奇偶性的定义与性质 • 函数周期性的定义与性质 • 奇偶性与周期性的应用 • 高考真题解析 • 复习建议与策略
函数奇偶性的定
01
与性
奇函数与偶函数的定 义
奇函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任 意一个$x$，都有$f(-x)=-f(x)$， 则称$f(x)$为奇函数。
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任 意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$， 则称$f(x)$为偶函数。
奇偶函数的性 质
01
奇函数在原点有定义， 即$f(0)=0$。
函数单调性与奇偶性典型例题讲解
解：①当 x＜0 时，－x＞0， ∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1． 又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)． ∴f(x)＝－x3－x＋1.
3 x＞0 x ＋x＋1， ∴f(x)＝ ． 3 －x －x＋1， x＜0
已知 f(x)是 R 上的偶函数， 在区间(0， ＋∞)上是增函数， 若有 f(－2a＋3)＞f(2a－1)成立，求实数 a 的取值范围．
7．已知函数
2 －(x－2) ，x＜2 f(x)＝ (3－a)x＋5a，x≥2
满足对任意 x1≠x2,
f(x1)－f(x2) 都有 ＞0 成立，则实数 a 的取值范围是________． x1－x2
f(x1)－f(x2) 解：对任意 x1≠x2，都有 ＞0 成立f(x)为减函数, x1－x2 3－a＞0 所以 ，解得－2≤a＜3． 2(3－a)＋5a≥0
判断下列函数的奇偶性： 1 (1)f(x)＝x－x；
解：(1)f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称． 1 1 又 f(－x)＝(－x)－ ＝－(x－x)＝－f(x)， －x ∴f(x)是奇函数．
(2)f(x)＝|x＋2|＋|x－2|；
(2)易知 f(x)的定义域为 R，它关于原点对称， 且 f( － x) ＝ |－ x ＋ 2| ＋ |－ x － 2| ＝ |x ＋ 2| ＋ |x － 2|＝ f(x) ， ∴f(x)是偶函数；
对抽象函数奇偶性的判定，若无具体的解析式，则需要 利用给定的函数方程关系式，对变量 a，b 赋值，使其变为含 有 f(x)，f(－x)的式子，再加以判定．
5．已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x＞0 时， f(x)＝x2－2x． (1)求出函数 f(x)在 R 上的解析式； (2)画出函数 f(x)的图象．
7.函数的单调性、奇偶性、函数的图象
例、求下列函数的单调区间，并确定每一单调 区间上的单调性。
1− x (1) y = 1+ x
1 (2) y = 3
x2 − x
1 3 (3)y = x + x 2 − 3x + 6 3
练习(变式一)求下列函数的单调区间:
(1) y =
x2 + 2x − 3
(2) y = log 1
2、判断函数单调性（求单调区间）的方法： （1）从定义入手 （2）从导数入手 （3）从图象入手 （4）从熟悉的函数入手 （5）从复合函数的单调性规律入手
注：先求函数的定义域
题在 上是增函数 证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数 证明函数 例
证明： 证明：
设 x1 ， x2 是 R 上 任 意两 个实 数，且 x1 < x2 则 f ( x1 ) - f ( x2 ) =(3 x1 +2)-(3 x2 +2) =3 x1 +2-3 x2 -2 =3( x1 - x2 ) ∵ x1 < x2 ∴ x1 - x2 <0 ∴ f ( x1 ) - f ( x2 ) =3( x1 - x2 )<0 ∴函数 f(x)=3x+2 在 R 上 是增 函数 函
y +1 2．已知实数x，y满足 y = 3 − x ，则 的最值 x+3
2
三.【课堂小结】 【课堂小结】 1、作函数图象的基本方法有两种： 、作函数图象的基本方法有两种： (1)描点法 描点法 (2) 图象变换法：利用基本初等函数变换作图 图象变换法： 其中掌握好(1)平移变换：(2) 对称变换： (3) 伸缩变换 平移变换： 对称变换： 平移变换 2、图象对称性的证明： 、图象对称性的证明： 有关结论： 3、有关结论： 利用数形结合，求参数问题， 4、利用数形结合，求参数问题，交点个数问题等
函数的奇偶性课件(公开课中职班)
物理学中的应用
电磁学
奇偶性在电磁学中有着广泛的应用， 例如在研究电磁波的传播、电磁场的 分布以及电磁力的作用时，常常需要 利用函数的奇偶性进行分析和计算。
波动方程
在研究波动现象时，如声波、水波等 ，函数的奇偶性可以帮助我们更好地 理解波的传播规律和特性。
经济学中的应用
金融分析
在金融数据分析中，奇偶性可以帮助我们更好地理解和预测股票、债券等金融 产品的价格走势。例如，股票价格的波动可能呈现出一定的周期性，而函数的 奇偶性可以帮助我们判断这种周期性的规律。
非奇非偶函数的定义
既不是奇函数也不是偶函数的函数称为非奇非偶函数。
非奇非偶函数的特性
非奇非偶函数的图像既不关于原点对称，也不关于y轴对称。
非奇非偶函数的例子
正切函数、正弦函数等。
02 奇偶性的判断方法
定义法
判断步骤包括：首先确定函数定义域是否关于原点对 称，然后计算$f(-x)$并与$f(x)$比较，最后根据定义 判断$f(-x)$与$f(x)$的关系得出结论。
函数的奇偶性课件(公开课中职班)
目录
• 函数奇偶性的定义 • 奇偶性的判断方法 • 奇偶性在生活中的应用 • 奇偶性的扩展知识 • 习题与解答
01 函数奇偶性的定义
奇函数
01
02
03
奇函数的定义
如果对于函数$f(x)$的定 义域内任意一个$x$，都 有$f(-x)=-f(x)$，则称 $f(x)$为奇函数。
统计学
在统计学中，数据的分布和变化规律常常可以用函数来描述，而函数的奇偶性 可以帮助我们更好地分析这些数据，例如判断数据的对称性、偏态等。
计算机科学中的应用
图像处理
在图像处理中，奇偶性可以帮助我们分析和处理图像的对称性、翻转等操作。例 如，在图像识别和计算机视觉中，可以利用函数的奇偶性进行特征提取和匹配。
函数的奇偶性及其应用
1/10/2015
三、应用
1、求函数值 2、求具有奇偶性的分段函数的解析式
例2、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=x(2-x), 求函数f(x)的解析式
解 f ( x)是定义在R上的奇函数
f ( x) f ( x), f (0) 0
当x 0时, x 0, 则f ( x) x[2 ( x)] x(2 x)
函数的奇偶性
1/10/2015
一、判断函数的奇偶性 1、定义法
定义域是否关于原点对称 f ( x) (1) 验证 f ( x ) 是否和 f ( x ) 相等， (2) f ( x ) f ( x ) 是否为 0,(3 ) ( f ( x) 0)是否为 1 f ( x) 判断分段函数的奇偶性时，一段一段地判断
3、函数奇偶性与单调性的综合 4、确定参数的值
ax2 1 例1：设f ( x) 是奇函数(a, b, c Z )且f (1) 2, bx c f (2) 3, 求a, b, c的值.
解：由题知，f ( x) f ( x),即b( x) c bx c,
解：由f (1 a ) f (1 a 2 ) 0得f (1 a ) f (1 a 2 ) f ( x) f ( x), x (1 , 1 ) f (1 a ) f (a 2 1) 又 f ( x)在(1 , 1 )上是减函数， 1 1 a 1 1 1 a 2 1 ，解得 0 a 1. 1 a a 2 1 故实数a的取值范围为（ 0， 1） .
1/10/2015
例 已知函数 f (x )，当 x ，y∈R 时，恒有 f (x ＋y)＝f (x )＋f (y)． (1)求证：f (x )是奇函数； (2)若 x>0 时，总有 f(x)<0，求证：f(x)在 R 上是减函数; (3)解不等式 f(2x-1)+f(x+2)<0 1 (4)如果 x>0，f (x )<0，并且 f (1)＝－ ，试求 f (x )在区间[ －2,6] 上的最值． 2
高中数学教案《函数的奇偶性
高中数学教案《函数的奇偶性》章节一：函数奇偶性的概念引入教学目标：1. 理解函数奇偶性的概念；2. 学会判断函数的奇偶性；3. 掌握函数奇偶性的性质。
教学内容：1. 引入奇偶性的概念；2. 举例说明奇偶性的判断方法；3. 总结奇偶性的性质。
教学步骤：1. 引入奇偶性的概念，让学生思考日常生活中遇到的奇偶性例子；2. 给出函数奇偶性的定义，解释奇偶性的判断方法；3. 通过具体例子，让学生学会判断函数的奇偶性；4. 引导学生总结奇偶性的性质。
教学评估：1. 课堂提问，了解学生对奇偶性概念的理解程度；2. 布置练习题，让学生运用奇偶性的判断方法。
章节二：奇函数和偶函数的性质教学目标：1. 理解奇函数和偶函数的性质；2. 学会运用奇偶性解决实际问题。
教学内容：1. 介绍奇函数和偶函数的性质；2. 举例说明奇偶性在实际问题中的应用。
教学步骤：1. 回顾奇偶性的概念，引导学生理解奇函数和偶函数的性质；2. 通过具体例子，让学生学会运用奇偶性解决实际问题；3. 总结奇偶性在实际问题中的应用。
教学评估：1. 课堂提问，了解学生对奇偶性性质的理解程度；2. 布置练习题，让学生运用奇偶性解决实际问题。
章节三：函数奇偶性的判定定理教学目标：1. 理解函数奇偶性的判定定理；2. 学会运用判定定理判断函数的奇偶性。
教学内容：1. 介绍函数奇偶性的判定定理；2. 举例说明判定定理的运用方法。
教学步骤：1. 引导学生理解函数奇偶性的判定定理；2. 通过具体例子，让学生学会运用判定定理判断函数的奇偶性；3. 总结判定定理的运用方法。
教学评估：1. 课堂提问，了解学生对判定定理的理解程度；2. 布置练习题，让学生运用判定定理判断函数的奇偶性。
章节四：函数奇偶性在实际问题中的应用教学目标：1. 理解函数奇偶性在实际问题中的应用；2. 学会运用奇偶性解决实际问题。
教学内容：1. 介绍函数奇偶性在实际问题中的应用；2. 举例说明奇偶性在实际问题中的解决方法。
三角函数的性质-奇偶性
在实际生活中的应用
除了数学和物理学领域，奇偶性在现实生活中也有广泛的 应用。例如，在信号处理、图像处理和通信等领域中，可 以利用奇偶性来分析信号或图像的规律和特征。
在经济学和社会学等学科中，奇偶性也被用来描述和分析 各种数据和现象。通过奇偶性的分析，可以更好地理解数 据和现象的内在规律和特征。
奇函数的导数（如果 存在）为偶函数。
奇函数的图像关于原 点呈中心对称。
偶函数的性质
偶函数在y轴两侧对称，即对于 任意x，有f(-x)=f(x)。
偶函数的图像关于y轴呈轴对称。
偶函数的导数（如果存在）为奇 函数。
奇偶性在三角函数中的应用
利用奇偶性判断函数图像的对 称性。
利用奇偶性简化函数表达式。
利用奇偶性解决一些数学问题， 如求函数值、求函数极值等。
04 三角函数奇偶性的证明
正弦函数和余弦函数的奇偶性证明
正弦函数
$f(x) = sin x$，$f(-x) = sin (-x) = sin x = -f(x)$，因此正弦函数是奇函 数。
余弦函数
$f(x) = cos x$，$f(-x) = cos (-x) = cos x = f(x)$，因此余弦函数是偶函数。
正弦函数是奇函数。
$f(x)=cos x$，满足$f(x)=cos (-x)=f(x)$，所 以余弦函数是偶函数。
$f(x)=tan x$，满足$f(x)=-tan x=-f(x)$，所以
正切函数是奇函数。
偶函数：余切函数、正割函数、余割函数
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偶函数定义
函数奇偶性应用举例
奇偶性应用举例 1、判断奇偶性：2211)(x x x f -+-=2、已知8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，那么=)2(f3、判断函数⎩⎨⎧<≥-=)0()0()(22x x xx x f 的奇偶性。
4.已知判断)21121()(+-=x x x f 的奇偶性5.已知22()21x xa a f x ⋅+-=+是R 上的奇函数，则a =6、若3)3()2()(2+-+-=x k x k x f 是偶函数，讨论函数)(x f 的单调区间？7、已知函数)0()(23≠++=a cx bx ax x f 是偶函数，判cx bx ax x g ++=23)(的奇偶性。
8、定义在R 上的偶函数)(x f 在)0,(-∞是单调递减，若)2()6(a f a f <-，则a 的取值范围是如何？9.定义在（-1，1）上的奇函数f （x ）是减函数，且f(1-a)+f(1-a 2)<0,求a 的取值范围10.已知函数f (x )是定义在(－∞,+∞)上的偶函数.当x ∈(－∞,0)时，f (x )=x -x 4，则 当x ∈(0.+∞)时，f (x )= .11、设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,则()0<x f 的解是 .12.若f (x )为奇函数，且在(-∞,0)上是减函数，又f (-2)=0，则xf (x )<0的解集为________作业1．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围．2．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为多少？为什么？3.已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2—1，求f （x ）在R 上的表达式．。
奇偶函数的性质及其应用
奇偶函数的性质及其应用Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】奇偶函数的性质及其应用一、知识点总结奇偶函数的性质1）若函数f（x）是定义在区间d的奇函数，则具备以下性质：a.定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;b.对于定义域内任意x都有f（-x）=-f（x）；c.图像关于原点（0,0）对称；d.若0∈d则f（0）=0;e.奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性。
2）若函数是定义在区间d的偶函数，则具备以下性质：a.定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;b.对于定义域内任意x都有f（-x）=f（x）=f（|x|）；c.图像关于y轴对称；d.偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性二、奇偶函数性质的应用热点题型一：利用奇偶性求参数的值例1 已知f（x）=ax2+bx是定义在[a-1,2a]的偶函数，那么a+b的值为.解：∵f（x）是定义在[a-1,2a]的偶函数，∴b=0a-1+2a=0，解得b=0,a=故a+b=.点评：对于多项式型的函数f（x）=a1xn+a2xn-1+…+an，若f（x）为奇函数，则应只保留x的奇次项，若为偶函数则应只保留x的偶次项.故b=0，又奇偶函数定义域关于原点对称，故a-1+2a=0.例2 已知函数f（x）=是定义在r上的奇函数，求a的值.解法一：∵f（x）是定义在r上的奇函数∴f（x）=0，即：=0，∴a=1解法二：∵f（x）是定义r在的奇函数∴f（-x）=-f（x）即：=-整理得（2a-2）（2x+1）=0∴2a-2=0解之得a=1点评：对于奇函数f（x），若0∈f（0）定义域，则此性质可大大减少运算量。
故首选f（0）=0，若0埸定义域，再考虑f（-x）=-f（x），利用恒等式求解。
热点题型二：利用奇偶性求函数解析式例3 已知函数f（x）是定义在r上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x （1+x）求出函数的解析式。
函数及其应用函数的奇偶性对称性与周期性课件理ppt
函数可以用不同的方式表示，如表格、图形、数学表达式等。
函数的分类与表示
函数的单调性
函数的基本性质
函数的奇偶性
函数的对称性
函数的周期性
奇偶性对称性
02
对于函数f(x)，如果对于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就是奇函数。
奇函数
对于函数f(x)，如果对于任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就是偶函数。
最小正周期
练习题
05
判断函数奇偶性、判断函数对称性、判断函数周期性、区分函数单调性和凹凸性、求函数的渐近线、判断函数有无界性。
总结词
本题要求考生通过分析函数的表达式和图像，判断函数的奇偶性、对称性、周期性，以及区分函数单调性和凹凸性，求函数的渐近线，判断函数有无界性。
详细描述
判断题
总结词
识别函数图像、应用函数性质解题、应用函数图像解题、求函数定义域和值域、求解函数的极值和最值。
常见函数的对称性
常见函数的周期性
如果存在一个非零常数T，使得对于任意x∈D，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T为它的一个周期。如正弦、余弦、正切等三角函数均为周期函数。
周期函数
如果在区间[a,b]上存在非零常数k，使得对于任意x∈[a,b]，都有f(x+k)=f(x)，则称[a,b]为f(x)的一个周期区间，k为它的一个周期。所有周期区间中最小的那个区间所对应的周期称为最小正周期。如正弦函数的周期区间为[-π,π]，最小正周期为2π。
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最小正周期
对于形如y=A sin(wx+ф)或y=A cos(wx+ф)的函数，其最小正周期为2π/w。
高三数学函数的奇偶性
例2．定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0
①求证：f(0)=1 ②求证：y=f(x)是偶函数
练：定义在R上的函数y=f(x)，对任意x1，x2都有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，判断函数y=f(x)的奇偶性并证明。
①判断f(x)在(,10]上的单调性，并用定义证明，
②若a>0且a≠1， 有 f [(a x 1)2 a x ] f (a 2x 6a x 10) 0 求x的取值范围。
三．小结
１．定义域关于原点对称是函数是奇（偶）函数
的必要不充分条件；
２．y=f(x)是奇（偶）函数 y=f(x)的图象关于原
从性质和图形出 发解题
(书）例4．函数f(x)是定义在D x x 0上的函数，且
f(x)满足对任意 x1, x2 D,有, f (x1.x2 ) f (x1) f (x2 )
①求f(1)的值 ②判断f(x)的奇偶性并证明，
③若 f (4) 1, f (3x 1) f (2x 6) 3且f(x)在 (0,)
从定义出发解题
例3．已知函数f(x)，当x<0时，f(x)=x2+2x-1 ①若f(x)为R上的奇函数，能否确定其解析式？请说明 理由。 ②若f(x)为R上的偶函数，能否确定其解析式？请说明 理由。
(书例1)变式一：已知函数 y f (x)是偶函数，y f (x 2)
在 0,2是单调减函数,则
点（y轴）对称
３．F(x)=f[g(x)]的奇偶性
４．若函数f(x)的定义域关于原点对称，则
f (x) 1 [ f (x) f (x)] 1 [ f (x) f (x)]
浅谈函数奇偶性的判定及其应用
浅谈函数奇偶性的判定及其应用作者：江赛玭来源：《教育界·下旬》2013年第09期奇函数和偶函数是函数的一种特殊性质，也可以说是一种特殊的函数，我们可以利用函数的这一特性解决生产、生活中很多实际问题。
一、奇函数和偶函数的定义与图像特征1. 奇、偶函数的定义：设函数Y=f（x），x∈M，若定义域M是以原点为中心的对称区间，则有对一切x∈M，①有f（-x）= -f（x），则称函数f（x）是奇函数；②有f（-x）=f （x），则称函数f（x）是偶函数。
③函数的定义M不关于原点对称，则这个函数既不是奇函数也不是偶函数。
2. 奇、偶函数的图像特征奇函数的图像特征是关于原点对称；偶函数的图像特征是关于Y轴对称。
二、判断函数奇、偶性的方法1. 利用奇、偶函数的定义判断先检查函数的定义域是否以原点对称，若不是，则函数为非奇非偶函数；若是，再由定义判断其是否是奇、偶函数。
例1：判断下列函数的奇偶性① f（x）=-3x+x-3 ② f（x）=|x-1|解：① f（x）的定义域为R关于原点为称f（-x）=-3（-x）+（-x）-3=-（-3x+x-3）∴f（-x）= - f（x）∴ f（x）奇函数② f（x）的定义域为（-∞，+∞），关于原点对称f（-x）=|-x-1=|x+1|∴f（-x）≠ f（x），f（-x）≠- f（x），∴ f（x）是非奇非偶函数2. 利用奇、偶函数的图像特性判断例2：根据下列图像判断函数奇、偶性图1图2图3图4解：（1）函数的定义域为（-5，5），关于原点对称，图像也关于原点对称，∴函数是奇函数。
（2）函数的定义域为[-5，5]，关于原点对称，但图像不关于原点中心对称，如f（1）≠- f （-1）；也不关于Y轴对称，如 f（-5）≠f（5）∴函数是非奇非偶函数（3）函数的定义域为[-5，5]，关于原点对称，图像关于Y轴对称，∴函数是偶函数。
（4）函数的定义域为[-5，5]，关于原点对称，但图像不关于原点中心对称，如f（1）≠- f （-1）；也不关于Y轴对称，如f（-3）≠f（3）∴函数是非奇非偶函数由此可知，奇函数的图像关于原点对称，反之也成立；偶函数的图像关于Y轴对称，反之也成立。
高中新教材数学必修件第章函数的奇偶性
判断方法：对于分段函数，需要分别在其每个分段区间上 判断奇偶性。具体步骤如下
03
1. 确定分段函数的定义域；
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2. 针对每个分段区间，分别代入$f(-x)$，并与$f(x)$进行 比较；
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3. 根据比较结果，判断该分段区间上的函数是否为奇函 数或偶函数；
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4. 综合所有分段区间的结果，得出整个分段函数的奇偶 性。
$(-x, -y)$也在图像上。
奇函数在$x=0$处的函数值为0 ，即$f(0)=0$。
奇函数的图像通常具有中心对称 性，例如正弦函数$y=sin x$的
图像。
偶函数图像特征
偶函数的图像关于y轴对称，即 如果点$(x, y)$在图像上，则点 $(-x, y)$也在图像上。
偶函数在$x=0$处的函数值通 常为其最大值或最小值，例如 余弦函数$y=cos x$在$x=0$ 处取得最大值1。
THANKS
感谢观看
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总结与拓展
知识点总结回顾
奇函数
对于所有$x$，都有$f(-x) = -f(x)$
偶函数
对于所有$x$，都有$f(-x) = f(x)$
知识点总结回顾
判断奇偶性的方法 通过定义判断
通过图像判断
知识点总结回顾
奇偶性与对称性的关 系
偶函数关于y轴对称
奇函数关于原点对称
拓展内容：非周期函数奇偶性分析
对称性应用
利用函数的奇偶性可以简 化某些数学问题的求解过 程，如对称区间上的定积 分等。
函数性质分析
通过分析函数的奇偶性可 以。
方程求解
在解某些方程时，可以利 用函数的奇偶性来简化方 程或找到方程的解。
02
奇偶性图像特征
高中数学+函数的奇偶性与单调性复习
性质
单调增函数的图像是上升的，随着 $x$的增大，$y$的值也增大。
举例
正比例函数$y = kx$（$k > 0$） 和指数函数$y = a^x$（$a > 1$） 都是单调增函数。
单调减函数
定义
对于函数的定义域内任意两个数 $x_1$和$x_2$，如果$x_1 < x_2$， 都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称函数为 单调减函数。
举例
二次函数$y = ax^2 + bx + c$、三角函数等都是非 单调函数。
03
CATALOGUE
奇偶性与单调性的关系
奇函数单调性关系
奇函数在对称区间上的单调性相反
如果奇函数在区间$(a, b)$上单调递增，则一定在区间$(-b, -a)$上单调递减。
奇函数的图像关于原点对称
这意味着奇函数在正数和负数范围内的单调性是相反的。
偶函数单调性关系
偶函数在对称区间上的单调性相同
如果偶函数在区间$(a, b)$上单调递增，则一定在区间$(-b, -a)$上单调递增。
偶函数的图像关于y轴对称
这意味着偶函数在正数和负数范围内的单调性是相同的。
单调性与奇偶性综合应用
利用奇偶性判断单调性
01
如果一个函数在某个区间内单调递增，且该函数为奇函数，那
利用单调性分析图像趋势
增函数的图像从左到右上升，减函数的图像 从左到右下降。
05
CATALOGUE
习题与解析
经典习题解析
总结词
这些题目是函数的奇偶性与单调 性的基础题目，适合学生巩固基 础知识。
《函数的基本性质》函数的概念与性质(第4课时奇偶性的应用)
•函数的基本概念•函数的奇偶性•奇偶性的应用目录•函数的其他基本性质•函数的应用举例函数的基本概念函数是数学中的一种关系，它接受输入值（称为自变量）并产生输出值（称为因变量）。
函数可以看作是数学模型，它描述了一个变量如何依赖于另一个变量的变化。
函数的定义通常包括定义域和值域两个概念，定义域是指输入值的范围，值域是指输出值的范围。
函数的定义函数的表示方法函数的表示方法通常有三种：解析式、图象和表格。
解析式是一种数学表达式，它描述了输入和输出之间的关系；图象是用图形表示函数的关系；表格则列出了一系列输入值和对应的输出值。
定义域是指输入值的范围，它确定了函数可以接受的输入值的范围。
值域是指输出值的范围，它确定了函数可能的输出值的范围。
定义域和值域一起构成了函数的范围，它们限制了函数的行为。
函数的定义域与值域函数的奇偶性奇函数对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，如果都有$f(-x)=-f(x)$，则$f(x)$称为奇函数。
偶函数对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，如果都有$f(-x)=f(x)$，则$f(x)$称为偶函数。
奇函数的图像关于原点对称。
偶函数的图像关于$y$轴对称。
奇函数在对称区间上的积分为零。
偶函数在对称区间上的积分为偶函数的一半。
01020304定义法图像法性质法根据函数的图像特征来判断。
根据奇函数和偶函数的性质来判断。
030201奇函数与偶函数的判断方法根据奇函数和偶函数的定义来判断。
奇偶性的应用总结词奇偶性是函数中重要的性质之一，利用奇偶性可以简化函数的计算过程。
详细描述如果函数满足$f(-x)=f(x)$，则称函数为偶函数；如果函数满足$f(-x)=-f(x)$，则称函数为奇函数。
在求解函数的值时，可以通过将自变量替换为相反数，利用奇偶性求出函数的值。
例如，若$f(x)$为偶函数，则$f(-x)=f(x)$，即$f(-3)=f(3)$；若$f(x)$为奇函数，则$f(-x)=-f(x)$，即$f(-3)=-f(3)$。
与函数奇偶性有关的结论
【与函数奇偶性有关的结论】1.若一个函数具有奇(偶)性，其定义域必关于原点对称.判断函数的奇偶性的解题步骤：首先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则必为非奇非偶的函数.在定义域关于原点对称的前提下，再看其是否符合奇(偶)函数的定义式.2.奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称;反之，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．3.若奇函数在x=0处有意义，则f(0)=0；偶函数对于定义域内任意a 的值满足f(|a|)=f(a).4.已知函数f(x)是奇函数在某一区间上的解析式，求其在关于原点对称的另一区间上的解析式的方法为，将原函数中的所有自变量x 都用-x 代换,化简后再各项变号（即-f （-x ））,当x=0时若有意义，还要注意f(0)=0.而偶函数只需将所有x 都用-x 代换化简后即可.5.设F(x)=af(x)+b,若f(x)为奇函数，则对于定义域内的任意x 值，都有F(-x)+F(x)=2b.例1.判断下列函数的奇偶性：(1)g(x)=2211x x -+-. (2)h(x)=(x+1)xx +-11. (3)f(x)=|2|212---x x . 解:(1)由于此函数的定义域为{1,-1}关于原点对称，又g(x)=0,∴ 此函数既是奇函数又是偶函数.(2)此函数的定义域为(-1,1]，不关于原点对称，∴ 此函数既不是奇函数又不是偶函数. (3)此函数的定义域由不等式组⎩⎨⎧≠--≥-0|2|2012x x 确定，解得{x|-1≤x ≤1且x ≠0}关于原点对称，化简得f(x)=xx 21-，易知f(x)是奇函数.说明:(1)本例中的(2)易错误地变形为h(x)=21)1)(1(x x x -=+-,从而误认为其为偶函数.(2)例中的(3)易错误地变形为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠<-≠≥--=,0,21,4,241)(22x x xx x x x x x f 从而误认为是非奇非偶的函数. 例2.(1)设函数f(x)= ax 7+bx 5+cx+5，其中a ，b ，c 为非零常数，若f(-7)=7，则f(7)=( ).A.7.B.3.C.-7.D.-17.(2)若定义在R 上的奇函数f(x)满足：当x >0时，f(x)=x 2-x+1，求f(x)的表达式.(3)若f(x)，g(x)的定义域为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数.又11)()(2+-=+x x x g x f ，求f(x)的表达式. (4)已知偶函数f(x)在(-∞，0)上函数值随自变量的增大而减少.若f(a)≥f(2)，求实数a 的取值范围.解:(1)令g(x)= ax 7+bx 5+cx,则易知y=g(x)是奇函数，∴ f(x)=g(x)+5,由上述5的结论知，f(7)+f(-7)=10.又∵ f(-7)=7，∴f(7)=3.故应选B.(2)∵ f(x)是奇函数且当x ＞0时，f(x)= x 2-x+1，∴ 当x <0时，f(x)=-f(x)=-x 2-x-1.由于f(x)的定义域为R ，∴ f(0)=0.故⎪⎩⎪⎨⎧<---=>+-=.0,00,01)(22x x x x x x x x x f(3) ∵ f(x)、g(x)的定义域为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴ f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).又 11)()(2+-=+x x x g x f ，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧++=+-+-=+)2(11)()()1(11)()(22x x x g x f x x x g x f . (1)-(2)得 1)(24++=x x x x f . (4)∵ y=f(x)是偶函数且在(-∞，0)上函数值随自变量的增大而减少，由上述结论2知，y=f(x)在(0，+∞)上函数图像是上升的，又 由上述结论3，由f(a)≥f(2)，⇒≥⇒≥⇒,2||),2(|)(|a f a f a ≥2或a ≤-2.想一想①：1.已知奇函数y=f(x)的定义域为(-3，a 2+2a).求实数a 的值.2.已知函数f(x)=2x -2-x lga 是奇函数，则a 的值是( ).3.已知函数f(x)为偶函数，y=f(x-2)的图像在区间[0，2]上下降，则( ).A.f(0)＜f(-1)＜f(2).B.f(2)＜f(-1)＜f(0).C.f(-1)＜f(0)＜f(2).D.f(-1)＜f(2)＜f(0).例3.已知函数cbx ax x f ++=12）（(a.b.c ∈R ，a ＞0，b ＞0)是奇函数，当x ＞0时，f(x)有最小值2，其中b ∈N +，且f(1)＜25.试求f(x)的解析式. 解：∵ y=f(x)是奇函数，∴ f(x)=-f(-x),即 ,1122cbx ax c bx ax +-+-=++得c=0. ba x axb bx ax x f 2)1(11)(2≥+=+=∴, 又当x ＞0时，f(x)有最小值2，∴ a=b 2. 由 f(1)=,2511<+=+b b b a ∵ b ∈N +，∴a=b=1. 故 f(x)=x+x1. 说明：对于此题，不能用f(0)=0来求出c=0，因为，题目的条件中不能保证y=f(x)在x=0处有意义.故只能由f(x)=-f(-x)再比较系数得出c=0.【与函数的周期性有关的几个结论】(1)对于周期函数，若x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界.即周期函数的定义域不可能是一个有限的数集.(2)周期函数的图像特征为，每隔一定的长度单位(周期长度)其图像将重复出现.(3)函数y=f(x)的图像若既关于直线x=a 对称，又关于直线x=b 对称(a <b)，则这个函数是周期函数，且2(b -a)为其一个周期.如函数y=sinx 的图像既关于直线x=2π-对称，又关于直线x=2π对称，则2[2π-(2π-)]=2π是其一个周期. (4)函数y=f(x)的图像关于点(a ，0)和点(b ，0)都对称(a <b)，则这个函数是以2(b -a)为其一个周期的周期函数. 如函数y=cosx 的图像既关于点（2π-，0）对称，又关于点(2π，0)对称，则2[2π-(2π-)]=2π是其一个周期.(5)函数y=f(x)的图像若既关于直线x=a 对称，又关于点(b ，0)对称(a <b)，则这个函数是以4(b -a)为其一个周期的周期函数.如函数y=sinx 的图像既关于直线x=2π-对称，又关于点(0，0)对称，则4[0-(2π-)]=2π是其一个周期.(6)若函数f(x)是周期为T 的奇函数,当x=2T 有意义时，必有f(2T )=0.(奇函数的半周期现象——若T 是零点，则2T 也是零点). 如函数f(x)=sinx 的周期T=2π，且f(2π)=0，则f(2T )=f(π)=0.(7)若函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x+a)=-f(x)、f(x+a)=)(x f k ±(k 为非零的常数)之中任何一个，均可知T=2a 是其一个周期.想一想②：你能利用周期函数的定义证明上述结论中的(6)、(7)吗？例5.(1)已知奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且f(1)=-2,求f(2015)的值.(2)已知函数f(x)的定义域为R ，且以2为周期，当x ∈[0，2]时，f(x)=|x -1|.作出 f(x)在(-∞，+∞)上的图像.解:(1) ∵ 奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x), ∴ f(x+4)=f[1+(x+3)]=f[1-(x+3)]=f(-x-2) =-f(x+2)=-f[1+(x+1)]=-f[1-(x+1)]=-f(-x)=f(x),由周期的定义知，f(x)是一个周期T=4的周期函数.(若是选填题，也可直接利用上述(5)的结论得到，即f(x)的图像既关于(0,0)对称，又关于直线x=1对称，所以T=4(1-0)=4).∴ f(2015)=f(504×4-1)=f(-1)=-f(1)=2.(2)∵ 当x ∈[0，2]时，f(x)=|x -1|=⎩⎨⎧<≤+-≤≤-.101,211x x x x 先作出x ∈[0，2]时，y=f(x)图像，再利用周期函数的图像特征，每个2个长度单位将已作出的图像平移即可.如图 1.6—1.例6.(1)已知奇函数f(x)满足f(1)=2，且有1()(1)1()f x f x f x ++=-，则f(2015)=___ _. (2)已知奇函数f(x)满足f(3)=0，且f(x+1)= f(1-x)，f(x)=f(5-x)，则当x ∈[-6,6]时，使得f(x)=0的x 值有( )个.A.4.B.5.C.7.D.9.解:(1) ∵1()(1)1()f x f x f x ++=-，∴ )(1)(1)(11)(1)(11)1(1)1(1]1)1[()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-+--++=+-++=++=+，图1.6—1∴ f(x+4)=f[(x+2)+2]=).()2(1x f x f =+-=即y=f(x)是一个周期为4的周期函数. ∴ f(2015)=f(504×4-1)=f(-1)=-f(1)=-2.(2)由f(x+1)= f(1-x)，f(x)=f(5-x)知函数y=f(x)的图像既关于直线x=1对称，又关于直线 x=2.5对称，∴ 函数y=f(x)是一个周期T=3的周期函数且为奇函数.∵ f(3)=0， ∴ f(3)=f(-3)=f(6)=f(-6)=f(0)=0.又由半周期现象知，f(1.5)=f(-1.5)=f(4.5)=f(-4.5)=0.∴ 则当x ∈[-6,6]时，使得f(x)=0的x 值有9个. 故应选D.习题1.61.函数y ＝f (x )与y ＝g (x )有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x ，有f (x )＋f (－x )＝0，g (x )g (－x )＝1，且x ≠0，g (x )≠1，则F (x )＝2f (x )g (x )－1＋f (x )( ). A.是奇函数但不是偶函数. B.是偶函数但不是奇函数.C.既是奇函数又是偶函数.D.既不是奇函数也不是偶函数.2.f(x)是定义在()11-，上的函数，对于(),11x y ∀∈-，，有()())1(xy y x f y f x f --=-成立，且当()1,0x ∈-时，()0f x >．给出下列命题:①()00f =； ②函数()f x 是偶函数； ③函数()f x 只有一个零点； ④)41()31()21(f f f <+．其中正确命题的个数是( ). A .1. B .2. C.3. D .4.3.函数 f (x )满足 f (x )·f (x ＋2)＝13，若 f (1)＝2，则 f (99)＝ ..4.已知函数f(x)，g(x)在R 上有定义，对任意的x ，y ∈R 有f(x －y)＝f(x)g(y)－g(x)·f(y)，且f(1)≠0，则f(x)的奇偶性是________．5.设g(x)是定义在R 上以1为周期的直线型函数，且在每个周期内单减.若函数f(x)=x+g(x) 在区间[3，4]上的值域为[-2，5]，则f(x)在区间[-10，10]上的值域为 .【与单调性有关的几个结论】1.若f(x)和g(x)均为增函数，则f(x)+g(x)为增函数；若f(x)和g(x)均为减函数，则f(x)+g(x)也为减函数.2.函数f(x)与-f(x)的增减性相反；函数f(x)与)(1x f (f(x)恒正或恒负)的增减性相反；函数f(x)与-)(1x f (f(x)>0)的增减性相同. 3.奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同.偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反.4.复合函数的单调性：若记减函数为：“—”，增函数为“+”，则复合函数的单调性等同于实数的符号运算规则.即，若减函数的个数为奇数个，则复合后的复合函数为减函数.若减函数的个数为偶数个，则复合后的复合函数为增函数.5.互为反函数的两个函数的增减性相同.例3.求证函数f(x)=x+)0(>a xa 在(0，a ]上单减，在[a ，+∞)上单增.并说明在[-a ，0)及(-∞，-a ]上，其单调性是怎样的？证明: 设任意的x 1，x 2∈(0，a ],且x 1<x 2. 由f(x 1)-f(x 2)=2121x a x a x x -+- ,))((212121x x a x x x x --=∵ x 1，x 2∈(0，a ],且x 1<x 2，∴ x 1-x 2<0,，x 1x 2>0， x 1x 2-a<0，∴f(x 1)-f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2). 由定义知，函数f(x)=x+)0(>a x a 在(0，a ]上单减. 再设任意的x 1，x 2∈[a ，+∞)，且x 1<x 2. 由f(x 1)-f(x 2)=2121x a x a x x -+- ,))((212121x x a x x x x --=∵ x 1，x 2∈[a ，+∞),且x 1<x 2，∴ x 1-x 2<0,，x 1x 2>0， x 1x 2-a>0，∴f(x 1)-f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2). 由定义知，函数f(x)=x+)0(>a x a 在[a ，+∞)又∵ f(-x)=-x+x a -=-f(x)对定义域内任意的x ∴ 函数f(x)=x+)0(>a x a 是奇函数. ∴ 函数f(x)=x+)0(>a xa 在[-a ，0)上单减， 在(-∞，-a ]上单增.其图像如图1.7—2所示. 说明:此函数是在高中数学中应用非常广泛的函数之一——“对钩函数”，尤其是在求函数的值域、最值等问题中经常要用到它.例4.已知奇函数y=f(x)在(0，+∞)上单增且恒为正，试讨论函数y=-)(1x f ,在(-∞，0)上的单调性.解:设任意的x 1，x 2∈(-∞，0)且x 1<x 2，则-x 1>-x 2∈(0，+∞).∵ 函数y=f(x)在(0，+∞)上单增且恒为正，∴ f(-x 1)>f(-x 2)>0，又∵ y=f(x)为奇函数, ∴ -f(x 1)>-f(x 2)>0，即f(x 1)<f(x 2)<0. ∴ y 1-y 2=0)()()()()(1)(1212112<-=-x f x f x f x f x f x f , 即y 1<y 2，由定义知，函数y=-)(1x f ,在(-∞，0)上的单调递增. 例5.已知定义在(a ，b)的增函数y=f(x)的值域为(c ，d)，函数y=g(x)在(c ，d)上为减函数， 图1.7—2试说明函数y=g[f(x)]在(a ，b)上的单调性.解: 设任意的x 1，x 2∈(a ，b)且x 1<x 2，∵ y=f(x)在(a ，b)上是增函数且值域为(c ，d)，∴ c<f(x 1)<f(x 2)<d ，又∵ y=g(x)在(c ，d)上为减函数，∴ g[f(x 1)]>g[f(x 2)], 由定义知，函数函数y=g[f(x)]在(a ，b)上单减的函数.想一想③：1.若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域为_____ . 2.设偶函数y=g(x)在(a ，b)上单减，求证：函数y=g(x)在(-b ，-a)上单增.【求函数单调区间的途径】 (1)利用单调性的定义求.(2)利用图像求.(3)利用复合函数单调性的规律求. 例6.求函数f(x)=|x 2-2x-3|的单增区间.解:作出函数f(x)=|x 2-2x-3|的图像，如图1.7—3.利用增函数的图像特征——上升，易知其单增区间为[-1,1]，[3，+∞).例7.求函数函数y=232+-x x 的单减区间.解:令u=x 2-3x+2≥0，则原函数可看成是由y=u ，u=x 2-3x+2≥0两个函数复合而成. ∵ y=u 是u 的增函数，∴ 原函数的单减区间即u=x 2-3x+2≥0的单减区间(-∞，1]. 一般地，求由基本初等函数复合而成的复合函数的单调区间的步骤为：①将原函数分解成若干个基本初等函数；②求出原函数的定义域；③确定奇函数的个数；④利用复合函数单调性规律找出在定义域范围内的单调区间.想一想④：1.函数y=log 0 . 5(-x 2+3x+1)的单增区间是( ).2.已知y=log a (2-ax)在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是( ).A.(0，1).B.(1，2).C.(0，2).D.(2，+∞).【函数单调性应用举例】(一)比较大小.例8.(1)若函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，且对任意的x ∈R ，有f (4＋x )＝f (4－x )，则( ).A.f (2)>f (3).B.f (2)>f (5).C.f (3)>f (5).D.f (3)>f (6).(2)当10<<a 时，a a a a a a ,,的大小关系是( ).A.a a a a a a >>.B.a a a a a a >>.C.a a a a a a >>.D.a a a a a a >>. 解:(1) ∵ 对任意的x ∈R ，有f (4＋x )＝f (4－x )，∴ f(3)=f(4-1)=f(4+1)=f(5)，又∵ 函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，f(3)=f(5)>f(6). 故应选D.(2)考查函数y=a x ，当10<<a 时，函数y=a x 是x 的减函数. ∵ 1>a >0，∴ a 1<a a <1， 即a <a a <1，从而a aa a a a >>.故选B. (二)求函数的值域或最值.例9.(1)求函数y=)1(3212->+-+x x x x 的值域. (2)已知y=f(x)是定义域为R 的函数，且对任意的x 、y 恒有：f(x+y)=f(x)+f(y)，又当x ＞0时，f(x)＜0，f(1)=-1，求f(x)在[-3，3]上的最值.解:(1)令x+1=t>0. ∴ y=461643)1(2)1(321222-+=+-=+---=+-+tt t t t t t t x x x ， 考查“对钩函数”u=)0(6>+t t t 知，62≥u ，∴ 046246>-≥-+tt ， 结合反比例函数的图像知函数y=)1(3212->+-+x x x x 的值域为(0，426+]. (2) ∵ 对任意的x 、y 恒有：f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0,可得 f(0)=0.设任意的x 1、x 2∈R,且x 1<x 2，∵ f(x 2)=f[(x 2-x 1)+x 1]=f(x 2-x 1)+ f(x 1),又∵ x ＞0时，f(x)＜0， ∴ f(x 2)- f(x 1)= f(x 2-x 1)<0,即f(x 2)<f(x 1). 由单调性的定义知y=f(x)是R 上的减函数.∵ f(1)=-1, ∴ f(3)=f(1+2)=f(1)+f(1+1)=3f(1)= -3，f(-3)=-f(3)=3.故f(x)在[-3，3]上的最大值为f(-3)=3,最小值为f(3)=-3.想一想⑤：1.定义在(,)-∞+∞上的函数()y f x =在(,2)-∞上是增函数，且(2)y f x =+为偶函数，则(1),(4),(6)f f f -的大小关系为____________.2.已知函数f x ()是定义域为R 的偶函数，x <0时，f x ()是增函数，若x 10<，x 20>， 且||||x x 12<，则f x f x ()()--12，的大小关系是_______.(三)解不等式.例10.定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足：f(xy)=f(x)+f(y)，1)31(=f ，且当x ＞1时， f(x)＞0.问=)91(f ？并解不等式：f(x)+f(2-x)>2. 解:令x=y=31，代入f (xy )＝f (x)+f (y)得，.2)31()31()91(=+=f f f 设任意的x 1、x 2∈(0,+ ∞),且x 1<x 2，由f(x 2)=f(112x x x ⋅)=f(12x x )+f(x 1), ∵ 0<x 1<x 2, ∴ 12x x >1,由已知得f(12x x )>0, ∴ f(x 2)>f(x 1), 即函数f(x)在(0，+∞)上是增函数.∴ 由f(x)+f(2-x)>2， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈⇒>->>-⇒x x x x x ,02,0,91)2((3221,3221+-). 【参考答案】想一想①：1.a=-3或1. 2.利用f(0)=0得a=10. 3.A.想一想②：(6) ∵ 函数f(x)是周期为T 的奇函数,∴ 一方面 f(-2T )=-f(2T )(1)，另一方面f(-2T )=f(T-2T )=f(2T )(2). 由(1)、(2)得-f(2T )=f(2T )，∴ f(2T )=0. (7) ∵f(x+a)=-f(x), ∴f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x),由周期函数的定义知，T=2a为其一个周期.类似地可得另外的结论.习题 1.6.1.B. 2.令x=y=0,得f(0)=0.对于∀x 、y ∈(-1,1)，令x=0, 由()())1(xyy x f y f x f --=-得，f(0)-f(y)=f(-y),即f(-y)=-f(y), ∴ f(x)是奇函数.设∀x 、y ∈(-1,1)，且x <y,则1-xy >0,x-y <0, ∴ 0)1(,01>--⇒<--xyy x f xy y x , 即f(x)>f(y), ∴ f(x)在(-1,1)上是减函数.则易知①、③正确，②错误.再由f(x)在(-1,1)上是减函数，知),31()72()412112141()21()41(f f f f f >-=⨯--=-∴ )41()31()21(f f f <+. 即④也正确. 故应选C.3.由已知可得T=4，∴ f(99)=f(24×4+3)=f(3)=f(2+1)=.213)1(13=f 4.奇函数. 提示：令x=y=0,得f(0)=0;再令x=1,y=0,得g(0)=1;令x=0,得f(-y)=-g(0)f(y)=-f(y).5.[-15，11].由已知可得-6≤g(x)≤2，因为g(x)是周期为1的减函数，结合图形知，当-10≤x ≤-9时，f(x)取得最小值(-9)+(-6)= -15. 当9≤x ≤10时，f(x)取得最大值9+2= 11. 想一想③：1. 10[2,]3. 2.略. 想一想④：1. ]2133,23[+. 2. B. 想一想⑤：1.f(6)<f(-1)<f(4).9.)()(21x f x f ->-.习题1.7 1. B. 2. B. 3. {x|98≤<x }.4.解：)])(1[(log )(),1(12x p x x f p p x -+=∴><< ]4)1()21([log ])1([log 22222++---=+-+-=p p x p x p x ， (1)当，即31≤<p 时，),1()(p x x f ∈在上单调递减，)]1(2[log )1()(2-=<∴p f x f ，)(x f 值域为)]1(log 1,(2-+-∞p .(2)当1<p p ≤-21，即p>3时，)(x f 值域为]2)1(log 2,(2-+-∞p . (3)当p p >-21，即p<-1时，不满足p>1. 5. 2331<<a 或a<-1. 6.)23,2111()2111,(02322+----∞⇒>-> a a . 7.解:(1)令a=b=0，代入f (a ＋b )＝f (a )·f (b )得，f(0)=f 2(0)，∵ f (0)≠0，∴ f(0)=1.(2)令a=b=2x ，代入f (a ＋b )＝f (a )·f (b )得，,0)2()(2≥=x f x f 又令a+b=0，即b=-a ， ∴ f(0)=1=f(a)f(-a))(1)(a f a f =-⇒，当x>0时，f (x)>1，∴ 当x<0时，0<f(x)<1. ∵ f (0)≠0，∴ .0)2()(2>=x f x f (3)设任意的x 1、x 2∈R,且x 1<x 2，∵ f(x 2)=f[(x 2-x 1)+x 1]=f(x 2-x 1)f(x 1)>f(x 1). 由单调性的定义知y=f(x)是R 上的增函数. (4)由f (x )·f (2x －x 2)＞1，).3,0(,03),0()3(22∈⇒>-⇒>-⇒x x x f x x f8.由xf(x+1)=(x+1)f(x)， 得xx f x x f )(1)1(=++，相当于数列}{n a n 是常数列，可得f(n)=nf(1)=0,(n 为整数).又令x=21-,可得，f(1/2)=0,从而可得f((2k-1)/2)=0(n 为整数). ∴∑==20130)2(k k k f =0.。
指数型函数的奇偶性及应用举例
指数型函数的奇偶性及应用举例
田发胜
【期刊名称】《中学生数理化:高一使用》
【年(卷),期】2022()11
【摘要】我们知道,指数函数f(x)=a^(x)(a>0,a≠1)本身没有奇偶性,但通过运算后,许多指数型函数就有了奇偶性,此时利用相应的奇偶性处理问题,就可以提高解题效率。
下面介绍一些具有奇偶性的指数型的函数,并举例说明其应用。
【总页数】1页(P12-12)
【作者】田发胜
【作者单位】山东省淄博四中
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.换元法在处理指数型函数时的应用
2.关于三角型函数y=asinωx＋bcosωx的奇偶性
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4.两个指数型函数在解题中的应用举例
5.应用函数的奇偶性、单调性解题举例
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函数的奇偶性及其应用举例
（湖北省红安县职教中心 金哲、曾诚）
【摘要】
函数是贯穿于初中、高中、大学数学教学的一条主线，也是高中数学的核心
内容，那么真正掌握函数，其中最主要的就是掌握函数的基本性质。
函数的奇偶性是函数重要性质之一。
近几年高职统考以及技能高考对于函数的奇偶性一直都是热点问题。
本文将通过对函数的奇偶性及其应用进行一个系统研究。
【关键词】 函数的奇偶性，判定，应用
一、奇、偶函数的定义：
若函数)(x f ，在其定义域内，任取x 都有))()()(()(x f x f x f x f =--=-或者，
则称函数)(x f 在区间I 上是奇函数（或者偶函数）
二、函数的奇偶性分类
⎪⎪⎩⎪
⎪
⎨⎧
=--=-≠--≠-=--=-)()()()()()()()(:)()(:)()(:x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f 且既奇且偶函数：
且非奇非偶函数偶函数奇函数
三、奇、偶函数的图象：
奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数
偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数。
四、函数奇偶性的性质：
①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称
②若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0
③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反 ④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个 偶函数的和。
五、 判断函数奇偶性的方法：
（1）定义法：欲判断函数)(x f 在给定区间或者定义域内的奇偶性：
第一步：先判断给定区间或者定义域是否关于原点对称，若 不对称，则函数)(x f 一定是非奇非偶函数。
第二步：若对称，再判断)(x f -与)(x f 的关系： ①若)(x f -=-)(x f ,则)(x f 是奇函数 ②若)(x f -=)(x f ,则)(x f 是偶函数
③若)(x f -=-)(x f 且)(x f -=)(x f ,则)(x f 是既奇且偶函数 ④若)(x f -≠-)(x f 且)(x f -≠)(x f ,则)(x f 是非奇非偶函数
（2）图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数； 图象关于y 轴对称的函数是偶函数。
，
六、函数奇偶性的应用：
（1）函数奇偶性的判断
例1、（2011年高职统考第4题）下列函数为奇函数的为
)0(.5
1<=x x y A )0(.7
1>=x x y B 2
1.x y C = 3
1.x y D =
析：A,B ，C 这三个函数的定义域都不关于原点对称，故均为非奇非偶函数， 只有D 选项，定义域为()+∞∞-,，关于原点对称，并且()3
13
1x x -=-，故D 项所在函数为奇函数。
例2、（2014年文化综合第25题改编）下列函数中为奇函数的是
A ．2
()1f x x =- B ．3
()f x x = C ．5()3x
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
D ．2
()log
f x x =
析：A 项2()1f x x =-的定义域为()+∞∞-,关于原点对称，但
()
11)(2
2
-=--=-x x x f ，)()(x f x f =-故为偶函数； C 项5()3x
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
定义域
为()+∞∞-,关于原点对称，但)()()()(,35)(x f x f x f x f x f x
-≠-≠-⎪⎭⎫
⎝⎛=--且，
故为非奇非偶函数；D 项2()log f x x =，定义域为()+∞,0，不关于原点对称， 故为非奇非偶函数，只有B 项符合。
例3、判断函数12)(2+-=x x x f 的奇偶性：
析：（法1-定义法）()f x 函数的定义域是()-∞+∞，
， ∵ 2()21f x x x =-+，
∴ 2()()21f x x x -=---+221()x x f x =-+=，
∴ 2()21f x x x =-+为偶函数。
（法2—图象法）：画出函数2()21f x x x =-+的图
象如下：由函数2()21f x x x =-+的图象可知，
2
()21f x x x =-+为偶函数 说明 ：判断函数的奇偶性：一般情况下，若采用定 义法，先考察函数的定义域是否关于原点“对称”然后判断f (-x ) 与f (x )的关系。
左为有些函数，
可用图象法判断函数的奇偶性。
（2）利用函数的奇偶性求值
例4、已知函数21
()(,,)ax f x a b c Z bx c
+=∈+是奇函数，
又(1)2f =，(2)3f <， 求,,a b c 的值.
解：由()()f x f x -=-得()bx c bx c -+=-+，∴0c =。
又(1)2f =得12a b +=，而(2)3f <得41
32a b
+<， ∴
41
31
a a +<+，解得12a -<<。
又a Z ∈，∴0a =或1a =.
若0a =，则1
2
b Z =∉，应舍去；若1a =，则1b Z =∈b =1∈Z.
∴1,1,0a b c ===。
说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想(建立方程或不等式，组 成混合组)，使问题得解.有时也可用特殊值，如 f (－1)=－f (1)，得c =0。
例5、已知f (x )=ax 2
+bx +3a +b 是偶函数，且定义域为［a －1，2a ］，则
a =_____________，
b =____________. 解析：定义域关于原点对称，故a －1=－2a ，13
a =
， 又对于f (x )有f (－x )=f (x )恒成立，∴b =0.
（3）利用函数的奇偶性解不等式：
例6、若f (x )是偶函数，当x ∈［0，+∞)时，f (x )=x －1，求f (x －1)＜0的解集。
分析：偶函数的图象关于y 轴对称，可先作出f (x ) 的图象，利用数形结合的方法.
解：画图可知f (x )＜0的解集为 ｛x ｜－1＜x ＜1｝， ∴f (x －1)＜0的解集为｛x ｜0＜x ＜2｝.
答案：｛x ｜0＜x ＜2｝
说明：本题利用数形结合的方法解题较快、简捷.本题也可先求f (x )的表达式，
再求f (x －1)的表达式，最后求不等式的解也可得到结果.
（4）利用函数奇偶性求函数解析式
例7、若f (x )是R 上的奇函数，且x ∈(－∞，0)时，f (x )=－x lg(2－x )，求f (x ).
分析：先设x ＞0，求f (x )的表达式，再合并. 解：∵f (x )为奇函数，∴f (0)=0.
当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )=x lg(2+x )，即－f (x )=x lg(2+x )， ∴f (x )=－x lg(2+x ) (x ＞0).
∴lg(2)(0)()lg(2)(0)x x x f x x x x --<⎧=⎨-+≥⎩。
说明：注意自变量在区间上的转化，分段函数的处理和分类讨论的思想紧密相
连。
例8、设函数()f x 是偶函数，函数()g x 是奇函数，且3
()()3
f x
g x x +=+，
求()f x 和()g x 的解析表达式。
解：∵3
()()(1)3
f x
g x x +=+，
∴3
()()3
f x
g x x -+-=-+，
又∵函数()f x 是偶函数，函数()g x 是奇函数， ∴()()f x f x -=，()()g x g x -=-，
∴上式化为3
()()(2)3
f x
g x x -=-+
解(1),(2)组成的方程组得
29()(,3)9f x x R x x =∈≠±-，23()(,3)9
x
g x x R x x =∈≠±-。
【参考文献】
1、高中数学同步导学大课堂. 任志鸿主编 . 2007
2、全日制普通高级中学教科书必修---数学第一册（下）. 人民教育出版社 . 2003
3、瞿连林.高中数学专题教学[M]. 光明日报出版社. 1992
4、中等职业教育课程改革国家规划新教材数学（基础模块）上册 . 高等教育出版社 . 2009
5、湖北省高职统考复习丛书数学第一轮 . 华中科技大学出版社 . 2010
6、普通高校对口招生复习丛书数学知识点精讲精练 . 上海科学技术文献出版社 . 2012。