函数的奇偶性及其应用举例

函数的奇偶性及其应用举例

（湖北省红安县职教中心 金哲、曾诚）

【摘要】

函数是贯穿于初中、高中、大学数学教学的一条主线，也是高中数学的核心

内容，那么真正掌握函数，其中最主要的就是掌握函数的基本性质。函数的奇偶性是函数重要性质之一。近几年高职统考以及技能高考对于函数的奇偶性一直都是热点问题。本文将通过对函数的奇偶性及其应用进行一个系统研究。

【关键词】 函数的奇偶性，判定，应用

一、奇、偶函数的定义：

若函数)(x f ，在其定义域内，任取x 都有))()()(()(x f x f x f x f =--=-或者，

则称函数)(x f 在区间I 上是奇函数（或者偶函数）

二、函数的奇偶性分类

⎪⎪⎩⎪

⎪

⎨⎧

=--=-≠--≠-=--=-)()()()()()()()(:)()(:)()(:x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f 且既奇且偶函数：

且非奇非偶函数偶函数奇函数

三、奇、偶函数的图象：

奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数

偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数。

四、函数奇偶性的性质：

①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称

②若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0

③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反 ④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个 偶函数的和。

五、 判断函数奇偶性的方法：

（1）定义法：欲判断函数)(x f 在给定区间或者定义域内的奇偶性：

第一步：先判断给定区间或者定义域是否关于原点对称，若 不对称，则函数)(x f 一定是非奇非偶函数。 第二步：若对称，再判断)(x f -与)(x f 的关系： ①若)(x f -=-)(x f ,则)(x f 是奇函数 ②若)(x f -=)(x f ,则)(x f 是偶函数

③若)(x f -=-)(x f 且)(x f -=)(x f ,则)(x f 是既奇且偶函数 ④若)(x f -≠-)(x f 且)(x f -≠)(x f ,则)(x f 是非奇非偶函数

（2）图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数； 图象关于y 轴对称的函数是偶函数。，

六、函数奇偶性的应用：

（1）函数奇偶性的判断

例1、（2011年高职统考第4题）下列函数为奇函数的为

)0(.5

1<=x x y A )0(.7

1>=x x y B 2

1.x y C = 3

1.x y D =

析：A,B ，C 这三个函数的定义域都不关于原点对称，故均为非奇非偶函数， 只有D 选项，定义域为()+∞∞-,，关于原点对称，并且()3

13

1x x -=-，故D 项所在函数为奇函数。

例2、（2014年文化综合第25题改编）下列函数中为奇函数的是

A ．2

()1f x x =- B ．3

()f x x = C ．5()3x

f x ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

D ．2

()log

f x x =

析：A 项2()1f x x =-的定义域为()+∞∞-,关于原点对称，但

()

11)(2

2

-=--=-x x x f ，)()(x f x f =-故为偶函数； C 项5()3x

f x ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

定义域

为()+∞∞-,关于原点对称，但)()()()(,35)(x f x f x f x f x f x

-≠-≠-⎪⎭⎫

⎝⎛=--且，

故为非奇非偶函数；D 项2()log f x x =，定义域为()+∞,0，不关于原点对称， 故为非奇非偶函数，只有B 项符合。

例3、判断函数12)(2+-=x x x f 的奇偶性：

析：（法1-定义法）()f x 函数的定义域是()-∞+∞，

， ∵ 2()21f x x x =-+，

∴ 2()()21f x x x -=---+221()x x f x =-+=，

∴ 2()21f x x x =-+为偶函数。

（法2—图象法）：画出函数2()21f x x x =-+的图

象如下：由函数2()21f x x x =-+的图象可知，

2

()21f x x x =-+为偶函数 说明 ：判断函数的奇偶性：一般情况下，若采用定 义法，先考察函数的定义域是否关于原点“对称”然后判断f (-x ) 与f (x )的关系。左为有些函数，

可用图象法判断函数的奇偶性。

（2）利用函数的奇偶性求值

例4、已知函数21

()(,,)ax f x a b c Z bx c

+=∈+是奇函数，

又(1)2f =，(2)3f <， 求,,a b c 的值.

解：由()()f x f x -=-得()bx c bx c -+=-+，∴0c =。

又(1)2f =得12a b +=，而(2)3f <得41

32a b

+<， ∴

41

31

a a +<+，解得12a -<<。 又a Z ∈，∴0a =或1a =.

若0a =，则1

2

b Z =∉，应舍去；若1a =，则1b Z =∈b =1∈Z.

∴1,1,0a b c ===。

说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想(建立方程或不等式，组 成混合组)，使问题得解.有时也可用特殊值，如 f (－1)=－f (1)，得c =0。

例5、已知f (x )=ax 2

+bx +3a +b 是偶函数，且定义域为［a －1，2a ］，则

a =_____________，

b =____________. 解析：定义域关于原点对称，故a －1=－2a ，13

a =

， 又对于f (x )有f (－x )=f (x )恒成立，∴b =0.

（3）利用函数的奇偶性解不等式：

例6、若f (x )是偶函数，当x ∈［0，+∞)时，f (x )=x －1，求f (x －1)＜0的解集。

分析：偶函数的图象关于y 轴对称，可先作出f (x ) 的图象，利用数形结合的方法.

解：画图可知f (x )＜0的解集为 ｛x ｜－1＜x ＜1｝， ∴f (x －1)＜0的解集为｛x ｜0＜x ＜2｝.