七年级数学竞赛 第8讲 设而不求
用“设而不求”法解题
． ．
ＺＡ Ｖ Ｄ 为二 面 角 Ｖ Ｃ 的平 面 角 —Ｂ —Ａ
＝
求弦长 ｌＢｌ Ａ 。
解 ：双 曲线右 焦 点是Ｆ （ ， ），弦Ａ 所 在 直线 方程 ５０ Ｂ
为 ：ｙ Ｘ ５ ＝ ～
设Ｂ ＝ ａ ０Ｄ （ ）一 ＝２ ２ Ｃ ２ ，贝 Ｖ ＝４３ 口 ａ ４ａ
又Ｖ 上Ｖ ， ． ｔ ｎ Ａ Ｖ Ａ Ｄ 。 ａ Ｄ ＝。 ．
妨命 日 “ 设而不求 ”法 。它的应用比较广 泛，例如 ： ｌ 解决有关弦的问题
例１ ：过 双 曲线 一 ＝ 的 右 焦 点作 倾 角 为 的 弦Ａ ， １ Ｂ
ｙ ＩＯ ’
Ｖ Ｂ＝Ｖ Ｃ， ． Ｖ ｌＢ ， 又 Ｖ 。 Ｄ＿ Ｃ ． — Ａ上Ｖ Ｂ
Ｖ 上Ｖ ．Ｖ 上平 面 Ｖ Ｃ ．Ａ 上Ｂ Ａ Ｃ 。Ａ ． Ｂ 。 Ｄ Ｃ ．
受 中 ，将 静态 的 文字 语 言转 化 为 “ 动态 ”的 情景 ， 似乎
“ 到 ” 课 文 中 的 对 象 、 场 景 ， “ 到 ” 了 课 文 中 的 声 看 听 音 ， 体 会 到 作 者 的 感 情 状 态 ， 自然 的 引 发 一 定 的 情 感 。 （ ）运 用 朗 读 技 巧 彰 显 语 言 魅 力 。 朗读 的 定 义 决 定 朗 读 的 ３ 心 理 活 动 的 终 结 势 必 落 在 对 有 声 语 言 的 把 握 上 。与 朗 读 密 切 相 关 的 文 字 具 有 “ 境 性 ” ， 作 者 应 用 语 言 对 具 体 情 境 情 的创 造 ， 平 淡 无 奇 的 文 字 会 变 得 光 彩 四 溢 、 境 界 全 出 。学 生 的 思 绪 波 动 、 语 气 语 调 转 换 都 要 顺 应 语 言 的 “情 境 性 ”， 最 大 限度 的 凸现 课 文 的艺 术 美 。 ３ ２自由体验 由扶到放的指导过程 ． 建 构 主 义 的教 学 观 强 调 教 学 活 动 要 创 设 一 个 丰 富 的 学 习 环 境 ， 学 习 者 有 足 够 的 自我 建 构 知 识 的 空 间 。 如 果 学 生 能 自 由 的利 用 其 空 间 ， 如 果 学 生 在 主 观 上 能 认 识 到 他 的 学 习 机 会 ， 而 且 具 有 自由 活 动 和 自 由发 挥 的 空 间 ， 那 么 ，这 样 的 学 习 活 动 就 是 成 功 的 。这 时 ，教 师 可 以让 学 生 以 小组
初一数学竞赛培训资料(13)“设而不求”列方程(组)解应用题
初一数学竞赛培训资料（13）:“设而不求”列方程（组）解应用题初一( )班姓名: 学号：_ 对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题，列方程时，除了应设的未知数外,还需要增设一些“设而不求"的参数，便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言，以便沟通数量关系，为列方程创造条件。
1、甲乙丙三人进行100米跑，当甲到达终点时，乙离终点还有10米，丙离终点还有20米，那么当乙到达终点时，丙离终点还有11错误!米.2、某人在公路上行走,往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇，每隔6分就有一辆从背后超过此人.如果人与汽车均为匀速运动,那么汽车站每隔几分发一班车？（4。
8）（参数）3、甲、乙两地是电车始发站，每隔一定时间两地同时各发出一辆电车，小张和小王分别骑自行车从甲、乙两地同时出发，相向而行。
已知每辆电车都每隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车；小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车；小王都每隔6分钟遇到迎面开来的一辆电车。
已知电车行驶全程是56分钟，那么小张与小王相遇时行驶了多少分钟？（60）3、整片牧场上的草长得一样密，一样地快.已知70头牛在24天里把草吃完，而30头牛就得60天.如果要在96天把牧场的草吃完，那么有20头牛.4、有一满池水，池底有泉水总能均匀地向外涌流，已知用24部A型抽水机6天可抽干水池;若用21部A型抽水机8天也可抽干水池。
设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永远抽不干，则至多只用12 部A型抽水机抽水。
5、几个同学去割两块草地的草，甲地面积是乙地面积的4倍,开始他们一起在甲地割了半天，后来留下12人割甲地的草，其余人去割乙地的草，这样又割了半天，甲、乙两地的草同时割完了，问共有多少名学生?（20）6、水池装有一个排水管和若干个每小时注水量相同的注水管,注水管注水时，排水管同时排水。
若用12个注水管注水，8小时可注满水池；若用9个注水管注水,24小时可注满水池。
人教版数学-备课资料解析几何中的设而不求解题技巧
解析几何中的设而不求解题技巧解析几何是中学数学的重点内容，也是高考主要考察的地方，解析几何的方法与技巧也较多，其中一类的问题是设而不求，就是可以设出有关的点，或设出有关的变量，通过这些变量来解决问题，而设出的这些变量不用求出来，只是参与解题，通过这一桥梁作用求出问题，解决问题，下面就常用的设而不求的类型总结如下，希望对同学有所帮助。
一 遇到中点问题一般用设而不求例1 ,椭圆Q ：)0( 12222>>=+b a by a x 的右焦点为F （c,0），过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A 、B 两点，P 为线段AB 的中点. （1）求点P 的轨迹H 的方程；（2）若在Q 的方程中，令θθsin cos 12++=a ， ).20(sin 2πθθ≤<=b 确定θ的值，使原点距椭圆Q 的右准线l 最远. 此时，设l 与x 轴交点为D ，当直线m 绕点F 转动到什么 位置时，三角形ABD 的面积最大？（1）设椭圆),(1:112222y x A by a x Q 上的点=+、),(22y x B ，又设P 点坐标为),(y x P ，则),(y x P ，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2222222222212212ba y a xb ba y a xb 1°当AB 不垂直x 轴时，21x x ≠，由①—②得)(.0,,02)(2)(22222222121212212*=-+∴-=-=--∴=-+- cx b y a x b cx yy a x b x x y y y y y a x x x b2°当AB 垂直于x 轴时，点P 即为点F ，满足方程（*） 故所求点P 的轨迹H 的方程为：022222=-+cx b y a x b（2）因为，椭圆Q 右准线l 方程是c a x 2=原点距椭圆Q 的右准线l 的距离为,2ca,1||),0,2(,1,1,2.,2,,2).42(2cos 1cos sin 1).20(sin ,sin cos 1,22222222======+=+++=≤<=++=-=DF D c b a l Q in c a b a b a c 此时最远的右准线原点距椭圆时所以当上式达到最大值时当则由于πθπθπθθθθπθθθθ),(112:1122y x A y x Q 上的点设椭圆=+、),,(22y x B.0,1,2484,11,)2()1(84)()(4,21,22.012)2(,112,1.||21||21||212222221221221222122122222121取等号当得令由韦达定理得得中代入的方程为设直线面积===≤≥+=++=-+=-=+-=+-=+=-++=++=-=+=∆k t t tS k t k k y y y y y y S k y y k k y y ky y k y x ky x m y y y y S ABD 因此，当直线m 绕点F 转动到垂直x 轴位置时，三角形ABD 的面积最大. 点评：求圆锥曲线的弦的中点轨迹问题时一般用设而不求的方法，即设出直线与圆锥曲线的交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，代入圆锥曲线方程两式相减便可求出中点坐标与斜率的关系。
浅议初中数学中“设而不求”的解题技巧
Ａ
●
＿＿＿＿ ＿＿。＿ 。＿。， ●●＿－＿● 。＿＿＿一 ＿＿＿。， ＿。＿●＿●－。 ＿一
所 以 （ａ ３ ／（十 ＞ ７ 一 ｂ）ｂ ｂ ７） ０， 即 有ａｂ （＋ ） ｂ ７ ＞ ， ／一 ａ ３ ／ ＋ ） ０ （ 从 而有 ３ ８ ７ ／ ６ ７ ７ ３ ８ ７ ／６ ８ ４ ６ ９ ２７ ４ ９ ＞ ６ ９ ５７ ４ Ｏ ．
此 题 如果 按 照常 规 思 路 去 思 考 ， 很 难 得 出 正 确 的 结果 。 就 考 试 时 会将 学生 引入 死 胡 同 ， 误 考 试 时 间 ， 响 其 他 题 目的 耽 影 解答．
ｒ ——— ——— —一 ｒ— — ＿ ＝＝ 一
Ｂ
●
＿＿＿ ＿＿＿＿＿ ＿。＾＿● ＿＿－－。 一
２２ ０ ） １３ ０
分析： 与 显然 和里 －¨ 互为倒数关系 ｑｌ ＿ ２
３ ｘ －２ ２ ｘ －３
．
因 此
有 如 下解 法 ：
、
ｘ２ －
３
ｘ３ －
Ｖ．
叹
一 — — ＝ｕ ．一
２
１ １
“ 而不求” 特殊解题 方法之一 ， 属常规解题技巧． 设 是 也 在 解 题 中可 以化 繁 为 简 ， 难 为 易 ， 面 归 纳 的 几 个 方 面 是 初 中 化 下 数 学 中常 遇 的 ， 是 中学 教 学 大 纲要 求 掌 握 的 ． 也 比较 化 简 中“ 设而 不 求 ” 在 初 中数 学 教 学 中 ， 要培 养 学 生 根据 具 体 题 目选 择 解 题 方 法 的能 力 ， 一 些 无 法 用 常 规 方 法 解 答 的 题 目 ， 不 能用 常规 对 就 方 法 反 复尝 试 ， 不能 束 手无 策 ， 更 而要 考 虑 用特 殊 方法 来 解 答． 例 １ 比较３ ８７ ／６ ７ ７ ６９ ５７ ４ ０ 的大 小 ． ： ６ ９２７ ４ ９ 与３ ８ ７ ／６ ８４ 分 析 ： 为 是 初 中数 学 题 ， 可 能 用 通 分 的 方 法 解 答 ， 因 不 我 们 可 以通 过 ３ ８ ７ 与 ３ ８７ 相 差３ ７ ４ ０ 与 ７４ ９ 相 差７ ６９５ ６９２ 和 ６ ８４ ６ ７ ７ 来 建 立 关 系 ， 找 解 题 的 突破 口． 寻 解 ： ６ ９ ２ ６ ７ ７ ａ ， ６ ９ ５ ６ ８ ４ （＋ ）（＋ ） 设３ ８ ７ ／ ４ ９ ＝ ／ 则３ ８ ７ ／ ４ ０ ＝ ａ ３ ／ｂ ７ ， ７ ｂ ７ 由ａ 一 ａ ３ ／５ ７ ＝ ７ 一 ｂ ／ （ ＋ ） ／ （ ＋ ）（ ＋ ） （ ａ ３ ） ｂ ７ ， ｂ ｂ 因 为７ 一 ｂ ０ ｂ ｂ ７ ＞ ， ａ ３ ＞ ， （ ＋ ） ０
数学解题设而不求法综述
数学解题“设而不求” 法综述数学解题中的“设而不求”一种很有用的手段，采用“设而不求”的策略，往往能避免盲目推演而造成的无益的循环运算，从而达到准确、快速、简捷的解题效果.本文将对“设而不求”的常见类型加以归纳，供参考.。
一、中点弦问题，设而不求与弦中点有关的问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在的直线斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量之间的关系灵活转化，往往能事半功倍.例1. 已知双曲线12422=-y x 过)1,1(M 的直线交双曲线于A 、B 两点，若M 为弦AB 中点，求直线AB 的方程.解：设),(),,(2211y x B y x A ，则1242121=-y x ，1242222=-y x ， 两式作差并整理，得0))((21))((4121212121=-+--+y y y y x x x x 又2,22121=+=+y y x x ， ∴AB k x x y y ==--212121 ∴)1(211-=-x y 即)1(21+=x y 代入12422=-y x 检验，满足0>∆， ∴直线AB 的方程是)1(21+=x y . 二、对称问题，设而不求有的对称问题，以中点为桥梁，利用判别式建立不等关系，求参数的取值范围. 例2 . 已知椭圆13422=+y x 上存在两个不同的点关于直线m x y +=4对称，试确定m 的取值范围.解： 由题设，有直线n x y +-=41与椭圆交于P 、Q 两点，且P 、Q 的中点),(00y x 在直线m x y +=4上. 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+n x y y x 4113422，消去y ，得0481681322=-+-n nx x ①x方程①有两不等实根，∴0)4816(1346422>-⨯⨯-=∆n n ，解得213<n 设),(),,(2211y x Q y x P ，则1342210n x x x =+=， 13124100n n x y =+-= 又PQ 中点在直线m x y +=4上，∴有m n n +⋅=13441312，413m n -=， ∴213413<-m ，1313213132<<-m .三、转化图形，设而不求有些代数问题，通过挖掘题目中隐含的几何背景，设而不求，可转化成几何问题求解. 例3. 设a 、b 均为正数，且1b a =+，求证221b 21a 2≤+++. 证明：设)1v 1u (1b 2v 1a 2u >>+=+=，，，m v u =+则u 、v 同时满足⎩⎨⎧=+=+4v u m v u 22 其中m v u =+表示直线，m 为此直线在v 轴上的截距4v u 22=+是以原点为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一部分圆弧（如图1），显然直线与圆弧相切时，所对应的截距m 的值最大.由图易得22m max =即221b 21a 2≤+++.四、巧设坐标，设而不求在解析几何问题中，对于有关点的坐标采用设而不求的策略，能促使问题定向，简便化归，起到以简驭繁的解题效果.例4. 设抛物线)0p (px 2y 2>=的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC//x 轴，求证：直线AC 经过原点O .证明：设点A （21pt 2，1pt 2）、B （22pt 2，2pt 2），则点C （2p -，2pt 2）因为AB 过焦点F所以221p pt 2pt 2-=⋅， 得41t t 21-= 又直线OC 的斜率122OC t 1t 42p pt 2k =-=-= 直线OA 的斜率1211OA t 10pt 20pt 2k =--=，则OA OC k k =故A 、O 、C 三点共线，即直线AC 经过原点O . 五、活用性质，设而不求解题过程中，不断变换观察角度，类比方法、联想内容，明确最终目标，经过巧妙构造，活用性质，可直达目标.例5. 求证*)N n 2n (2413n 212n 11n 1∈≥>+++++， 证明: 设2413n 212n 11n 1x n -+++++= 则24132n 211n 21n 213n 12n 1x 1n -+++++++++=+ 由02n 211n 211n 12n 211n 21x x n 1n >+-+=+-+++=-+ 可知：数列}x {n 为单调递增数列.又024134131x 2>-+= 则*)N n 2n (0x n ∈≥>，即*)N n 2n (2413n 212n 11n 1∈≥>+++++， .六、中介过渡，设而不求根据解题需要，可引入一个中间量作为中介，起到过渡作用，使问题得以解决.例6. 如图3，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥体积分成相等的两部分，求圆锥母线与轴的夹角α.解：过点A 作SO 的垂线，垂足为M ，可知∠MAO ＝∠AOB ＝∠OSB ＝α设MA ＝x ，OB ＝r ，SO ＝h 则有h r 3121h x 3122ππ⋅= 化简可得21)r x (2= 又因为OBOA OA MA cos ==α 即rOA OA x cos ==α 所以rx r OA OA x cos 2=⋅=α 于是21cos 4=α，从而421arccos =α.七、恒等变形，设而不求某些看似十分复杂的运算，经过巧妙转换，恒等变形，使运算对象发生转移，起到意想不到的效果.例7. 求178cos 173cos 172cos17cos ππππ 的值. 解：设178cos 173cos 172cos 17cos M ππππ = 178sin 173sin 172sin 17sin N ππππ = 则178cos 178sin 172cos 172sin 17cos 17sin MN ππππππ⋅⋅⋅= N 21178sin 172sin 17sin 211716sin 174sin 172sin 21888⋅===ππππππ 而0N ≠，故256121M 8==.八、适当引参，设而不求恰当合理地引入参数，可使解题目标更加明确，已知和欲求之间的联系得以明朗化，使问题能够得到解决.例8. 已知对任何满足1y )1x (22=+-的实数x 、y ，如果0k y x ≥++恒成立，求实数k 的取值范围. 解：设⎩⎨⎧=+=θθsin y cos 1x （R ∈θ），则 k y x )(g ++=θk12k 1)4sin(2k1cos sin ++-≥+++=+++=πθθθ 令0k 12≥++-，得12k -≥.九、整体代入，设而不求在解决某些涉及若干个量的求值问题时，要有目标意识，通过虚设的策略，整体转化的思想，绕开复杂的运算过程，可使问题迅速得到解决.例9 已知等比数列}a {n 中，64S 16S m 2m ==，，求m 3S .解：设公比为q ，由于m m 2S 2S ≠，故1q ≠ 于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=--><=--264q 1)q 1(a 116q 1)q 1(a m 21m 1 <2>÷<1>得4q 1m =+，则3q m = 所以q1)q 1(a S m 31m 3--= 208)331(16)q q 1(q1)q 1(a 2m 2m m 1=++⨯=++--=。
初中培优竞赛 第8讲 不等式与不等式组
二、填空题
4、（2、3）（数学、初中数学竞赛、填空题、不等式、不等式组）
设a，b，c的平均数为M，a与b的平均数为N，N与c的平均数为P，若 ，则M与P的大小关系是_____________。
解析：因为 所以 又因为 ，所以 即
答案： .
第8讲不等式与不等式组
一、选择题
1、（2、3）（数学、初中数学竞赛、选择题、不等式、不等式组）
元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是()
D.与a和b的大小无关
解析：因为甲买鱼用了3a+2b元，卖给了乙得到 元，则由不等式 成立，可以解得
答案：A .
路。
解析：因为 故 ，所以 .又 ，故 ，故
答案： .
技巧：由于 ，故有 对于任意的实数a,b都成立（当且仅当a=b时取等号）。这个结论在不等式问题中的应用非常广泛。
易错点：在求范围时容易忽视等号是否能取得的问题而使得范围扩大。
6、（3、4）（数学、初中数学竞赛、填空题、不等式、不等式组）
若实数a满足 ，则不等式 的解为______________。
详解：若 ，且 ，则不等式为 ；若 且 ，则不等式为 ，矛盾.故不等式的解是
技巧：分类讨论是解绝对值不等式的常用方法。
易错点：分类讨论之后容易忘记综合而致错。
8、（4、5）（数学、初中数学竞赛、解答题、不等式、不等式组）
设 为自然数，且 又 ，求 的最大值.
分析：假如 取得最大值，则 只能是 后的连续自然数，依次可以求出 的最大值。同理可以求得 的最大值。
详解： 解得 ，故自然数x1的最大值为19.同理，x2，x3的最大值分别为20，22.所以 的最大值为61.
初一数学竞赛讲座、例题练习及答案⑻列方程解应用题
初一数学竞赛讲座第8讲 列方程解应用题在小学数学中介绍了应用题的算术解法及常见的典型应用题。
然而算术解法往往局限于从已知条件出发推出结论，不允许未知数参加计算，这样，对于较复杂的应用题，使用算术方法常常比较困难。
而用列方程的方法，未知数与已知数同样都是运算的对象，通过找出“未知”与“已知”之间的相等关系，即列出方程（或方程组），使问题得以解决。
所以对于应用题，列方程的方法往往比算术解法易于思考，易于求解。
列方程解应用题的一般步骤是：审题，设未知数，找出相等关系，列方程，解方程，检验作答。
其中列方程是关键的一步，其实质是将同一个量或等量用两种方式表达出来，而要建立这种相等关系必须对题目作细致分析，有些相等关系比较隐蔽，必要时要应用图表或图形进行直观分析。
一、列简易方程解应用题分析：欲求这个六位数，只要求出五位数x abcde =就可以了。
按题意，这个六位数的3倍等于1abcde 。
解：设五位数x abcde =，则六位数abcde 1x +=510，六位数1101+=x abcde ， 从而有3（105+x ）=10x+1，x ＝42857。
答：这个六位数为142857。
说明：这一解法的关键有两点： ⑴抓住相等关系：六位数abcde 1的3倍等于六位数1abcde ；⑵设未知数x ：将六位数abcde 1与六位数1abcde 用含x 的数学式子表示出来，这里根据题目的特点，采用“整体”设元的方法很有特色。
（1）是善于分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系；（2）是一般语言与数学的形式语言之间的相互关系转化。
因此，要提高列方程解应用题的能力，就应在这两方面下功夫。
例2 有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒。
问：队伍有多长？分析：这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长。
数学竞赛专题讲座七年级第8讲绝对值与一元一次方程(含答案)
第八讲 绝对值与一元一次方程绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程．解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法，后者是技巧．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．纯粹数学，就其本质而言，是逻辑思想的诗篇．——爱因斯坦爱因斯坦（1879~1955），生于德国，近代最伟大的理论物理学家，相对论的创立者，曾获得诺贝尔物理学奖．例题讲解【例1】方程5665-=+x x 的解是 ． (重庆市竞赛题)思路点拨 设法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解．【例2】 适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有( )．A ．5B ．4C ． 3D ．2 （希望杯邀请赛试题）思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径．链接：形如d cx b ax +=+的绝对值方程可变形为)(d cx b ax +±=+且0≥+d cx ，才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验．【例3】解方程：413=+-x x ； (天津市竞赛题)思路点拨 从内向外，根据绝对值定义性质简化方程．形如e d c b ax =+++的方程，含有多层的绝对值，可从外向内逐层去掉绝对值符号，将原方程化为形如d cx b ax +=+的方程求解．【例4】解下列方程： (1)113+=--+x x x (北京市“迎春杯”竞赛题) (2)451=-+-x x ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨 解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解．【例5】已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论．思路点拨 方程解的情况取决于a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解．题中给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究．【例6】方程431=-++x x 的整数解有（ ）．A ．2个B ．3个C ．5个D ．无穷多个 （希望杯邀请赛试题）思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简洁的解题途径．基础训练一、基础夯实1.方程3(│x │-1)= ||5x +1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____. 2.已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.3.已知│x │=x+2,那么19x 99+3x+27的值为________.4.关于x 的方程│a │x=│a+1│-x 的解是x=0,则a 的值是______;关于x 的方程│a │x=│a+1│-x 的解是x=1,则有理数a 的取值范围是________.5.使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x 的值是( ). A.-2 B.0 C. 23D.不存在 6.方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).A.不确定B.无数个C.2个D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)7.已知关于x 的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-12|-1=0,则m 的值是( ). A.10或25 B.10或-25C.-10或25D.-10或-25(2000年山东省竞赛题) 8.若│2000x+2000│=20×2000,则x 等于( ).A.20或-21B.-20或21C.-19或21D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)9.解下列方程:(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.10.讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.二、能力拓展11.方程│││x-2│-1│=2的解是________.12.若有理数x满足方程│1-x│=1+│x│,则化简│x-1│的结果是_______.13.若a>0,b<0,则使│x-a│+│x-b│=a-b成立的x的取值范围是______.(武汉市选拨赛试题)14.若0<x<10,则满足条件│x-3│=a•的整数a•的值共有_____•个,•它们的和是____.15.若m是方程│2000-x│=2000+│x│的解,则│m-2001│等于( ).A.m-2001B.-m-2001C.m+2001D.-m+200116.若关于x的方程│2x-3│+m=0无解,│3x-4│+n=0只有一个解,│4x-5│+•k=0有两个解,则m、n、k的大小关系是( ).A.m>n>kB.n>k>mC.k>m>nD.m>k>n17.适合关系式│3x-4│+│3x+2│=6的整数x的值有( )个.A.0B.1C.2D.大于2的自然数18.方程│x+5│-│3x-7│=1的解有( ).A.1个B.2个C.3个D.无数个19.设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值. (“华杯赛”邀请赛试题)20.当a满足什么条件时,关于x的方程│x-2│-│x-5│=a有一解?有无数多个解?无解?三、综合创新21.已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)22.(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.答案：1.±107、2或0 2.0或-1 3.54.-1,a≥0 提示:由│a+1│=│a│+1得a×1≥0,即a≥05.D6.B7.A8.D9.(1)x=3或x=13;(2)x=9或x=-37;(3)x=-43或x=2;(4)提示:分x<-1、-1≤x<12、 •12≤x≤2、x≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到12≤x≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足12≤x≤2的x值都是方程的解.10.当k<0时,原方程无解;当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k,此时原方程有四解:x=-3±(2±k);当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).11.±5 12.1-x 13.b≤x≤a 提示:利用绝对值的几何意义解.14.7、21提示:当0<x<3时,则有│x-3│=3-x=a,a的解是1,2;当3≤x<10时,则有│x-3│=x-3=a,a的解为0,1,2,3,4,5,615.D 提示:m≤0 16.A 17.C 提示:-2≤3x≤4 18.B19.提示:若b+3、b-3都是非负的,而且如果其中一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b=3.20.提示:由绝对值几何意义知:当-3<a<3时,方程有一解;当a=±3时,•方程有无穷多个解;当a>3或a<-3时,方程无解.21.提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,•由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1且-1≤y≤5时,上式成立, 故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.22.(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.提高训练1．若方程32100210021002=-x 的解分别是1x 、2x ，则21x x +=______．（希望杯邀请赛试题）2．方程11213=++--x x x 的解是______． （希望杯邀请赛试题）3．已知：有理数x 、y 、z 满足0<xy ，0>yz ，并且3=x ，2=y ，21=+z ，则z y x ++=______． (北京市迎春杯竞赛题)4．已知13+=x x ，则=++20092)94864(x x ________． （广东省竞赛题）5．方程133=+-x x 的解是_________． （山东省竞赛题）6．满足方程123422-=--x x 的所有解的和为______． (新加坡竞赛题)7．若关于x 的方程a x =--12有三个整数解，则a 的值为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3 （重庆市竞赛题） ★8．如果关于x 的方程a x x =-++11有实根，那么实数a 的取值范围是（ ）．A ．0≥aB ．0>aC ．1≥aD ．2≥a （CASIO 杯武汉市选拔赛试题）9．用符号“⊕”定义一种新运算：对于有理数a 、b 0(≠a ，)1≠a ，有a ⊕b =a a b a -+220042003，已知2004⊕x =2，求x 的值． （北京市迎春杯竞赛题）。
初中数学竞赛讲座——数论部分8(同余系的应用)
第8讲剩余系及其一次同余方程一、基础知识：（1）剩余系对于任意正整数n而言，一个整数除以m所得的余数只能是0,1,2, …,n-1中的某一个。
依次可将整数分成n个类（例如n＝2时，就是奇数或偶数），从每一类中各取一个数所组成的集合就称为模的一个完全剩余系，简称为模的完系。
定义1：如果一个剩余系中包含了这个正整数所有可能的余数（一般地，对于任意正整数n，有n个余数：0,1,2,...,n-1），那么就被称为是模n的一个完全剩余系。
定义2：剩余系：设模为m,则根据余数可将所有的整数分成m类，分别记成[0],[1],[2],…[m-1]，这m个数{0,1,2,…m-1}称为一个完全剩余系，每个数称为相应类的代表元。
例如：当m=10则,{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}最小非负完全{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}绝对值最小{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}绝对值最小（一）根据剩余类的概念，很容易得到以下几条有关剩余类的性质：①每一个整数一定包含在而且仅包含在模m的一个剩余类中②整数p所属的模m的剩余类中的每一个数都可以写成km+p的形式，这里k是整数用符号p mod m表示p所属的模m的剩余类，这条性质写成数学表达式就是p mod m= {p+km（k是整数）}③整数p、q在模m的同一个剩余类中的充要条件是p、q对模m同余。
这条性质用数学符号就可表示为：p mod m= q mod m p≡q（mod m）实际上，同余式就是剩余类等式的一个特殊情况，是集合中的一个元素，前面有关同余的一些性质对剩余类仍然成立。
这条性质表明，对于模m的两个剩余类要么相等，要么它们的交集为空集，因此，模m有且仅有m个剩余类，它们是：0mod m，1 mod m，2 mod m，…（m―1）mod m。
在解决一些有关模m余数的问题时，我们就可以查看m个数：0，1，2，…，m―1，从而得相应的剩余类的情况，使问题变得异常简单，具体例子，请看后面的例题。
微探究 设而不求
微探究设而不求字母示数是代数的一个重要特征，是由算术跨越到代数的桥梁，是数学发展史上的一个飞跃。
字母示数具有简明性、一般性，在求代数式的值、形成公式、解应用题等方面有广泛的应用。
为了沟通数量间的关系，或将有些不明朗的关系表示出来，我们需要设元，而所设的字母不能或不需要求出，这就是设而不求的基本涵义。
【视野窗】当代著名數学家、哲学家怀特海曾说：“代数是搞清楚世界上数量关系的智力工具。
”例1老师报出一个5位数，同学们将它的顺序倒排后得到的5位数减去原数，甲、乙、丙、丁的结果分别是34567，34056，23456，34956，老师判定4个结果中只有1个正确，答对的是。
（四川省竞赛题）:的特征。
试一试设原数为abcde，化简并判断edcba abcde【视野窗】通过设元，把隐含的关系表示出来，这些字母在解题中相消或消约，不需求出这些字母的值却可以得到我们想要的结果，这是“设而不求”方法解决问题的基本思想。
例2某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%。
假设不计超市其他费用，如果超市要想获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价基础上应至少提高（）。
A．40% B．33.4% C．33.3% D．30%（2012年年湖北省恩施自治州中考题) 试一试若要表示利润，则需指明质量、进价。
例3某地区的民用电，按白天时段和晚间时段规定了不同的单价。
某户8月份白天时段用电量比晚间时段用电量多50%，9月份白天时段用电量比8月份白天时段用电量少60%，结果9月份的用电量虽比改月份的用电量多20%，但9月份的电费却比8月份的电费少10%。
求该地区晚间时段民用电的单价比白天时段的单价低的百分数。
（江苏省竞赛题）试一试本例数量关系复杂，既涉及白天与晚间用电量的关系，不同月份用电量的关系，又关联月份间的电费，故要全面增设未知数。
【视野窗】有些问题涉及的量比较多，关系复杂，我们就需要引入不同的字母，便于把数量关系表示出来，在解题中我们不需（或不能）求出所有字母的值，只需求出关鍵的字母的值。
专题：设而不求
专题：设而不求知识要点有时我们会碰到一些应用题，它所涉及到的量比较多，量与量之间的关系也不太明显，若只根据题意，直接设未知数，就不容易解决问题，此时，我们可以设一些辅助未知数，把那些不明显的关系表示出来，不需要求出辅助未知数的值（有时也求不出辅助未知数的值），就可以得到原问题的解。
这种方法我们称这为“设而不求”。
经典例题：例1. 王华、毛平两学生从泰州实验学校去泰州书城，走这段路王华用30分钟，毛平用20分钟，如果王华比毛平早5分钟出发，问毛平多少分钟可追上王华？例2. 在环保知识竞赛中，某校代表队的队员平均分是88分，其中女生的平均成绩比男生平均成绩高10%，而男生人数比女生人数多10%，则男、女生的平均成绩各是多少？例3.一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个粗细相同的进水管。
当打开4个进水管时，需要5小时注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池，现需要在2小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？例4：小明和小亮分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，当小明走完全程的一半时，小亮才走了16千米；当小亮走完全程的一半时，小明已走了25千米，那么，当小明走完全程时，小亮未走的路程还有多少千米？例5：A、B、C、D、E五个人干一项工作，若A、B、C、D四人一起干，8天可完工；若B、C、D、E四人一起干，6天可完工；若A、E两人一起干，12天可完工，问若A一个人单独干，要多少天才能完工？例6：如图，在一个梯形内有两个面积分别为10和12的三角形，已知梯形的上底长是下底长的23，求图中阴影部分的面积。
例7：一个十位数字为0的三位数，它恰好等于它的数字和的67倍；交换它的个位与百位数字后得到一个新的三位数，它恰好又是数字和的m倍，求m的值。
例8 江堤边一洼地发生了管涌，江水不断涌出，假定每分钟涌出的数量相等，如果用2台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完。
解析几何问题中的“设而不求”与“设而求之”
学生难以通过联立方程组利用韦达定理 “ 设 而 不 求” 得出答案 ．而用 “ 设而求之 ” ， 求出所设， 即 求 出 犃， 犆 两点的横坐标就能拨云见日 ， 逐步得到正 确 结 果 ． 正 所谓 ： 远山初见疑无路 ， 曲径徐行渐有村 ． ２ 设而求之 以简驭繁 例 ２ （ ２ ０ １ ４ 陕 西 理）如
２ 狔 图 １， 曲线犆 由上半椭圆犆１ ： ２＋ 犪 ２ 狓 （ ） 和部分 １ 犪 ＞犫＞０， 狔 ≥０ ２ ＝ 犫 ２ 抛物线 犆 （ ） 狔 ＝－狓 ＋１ 狔 ≤０ ２：
连 接 而 成， 犆 １ 与犆 ２ 的公共点为 ３ 槡 其中 犆 犃， 犅， ． １ 的离心率为 ２ （ ）求 犪， １ 犫 的值 ；
２ 犽 －４ －８ ２ 即 犽 因犽≠ ·（ ＋１，２ 犽） ０． －犽， －犽 －２ ＝ ２ 犽 犽 ＋４ ＋４
狓 狓 １ ２ 犽 狓１ ＋狓 ２· ２ 犽 Nhomakorabea＝
２ ２ 犽 ＋１ 犽狘 狘
· 狘
狓 狓 １ ２
狘 ＝
（
）
２ （ ） ２ 犽 ２狘 犽狘 ＋１ 槡 ， 整理得 犛 ＝槡 ２． ２ ２ ·槡 犽狘 槡 １＋２ 犽 ２ 犽 狘 ＋１
原点的两条直线犾 犅和 １ 和犾 ２ 分 别 与 椭 圆 交 于 点 犃， 记得到的平行四边形 犃 犆， 犇． 犅 犆 犇 的面积为犛． （ ） 设 犃（ ， ， 用 犃， １ 狓 犆（ 狓 犆 的坐标表示 狔 狔 １， １） ２， ２） 点犆 到直线 并证明犛＝ ； 犾 ２狘狓 狔 狔 １ 的距离 ， １ ２ －狓 ２ １狘 １， （ ）设犾 求 犛 的值 ． ２ １ 与犾 ２ 的斜率之积为 － ２ １ 解 （ ） 略． （ ） 设犾 则犾 １ ２ 犽 狓， 狔＝ 狔＝ － 狓． １： ２： ２ 犽 设 犃（ ， ，由 狓 犆（ 狓 狔 狔 １， １） ２， ２）
初中数学竞赛讲座——数论部分8(同余系的应用)
第8讲剩余系及其一次同余方程一、基础知识：（1）剩余系对于任意正整数n而言，一个整数除以m所得的余数只能是0,1,2, …,n-1中的某一个。
依次可将整数分成n个类（例如n＝2时，就是奇数或偶数），从每一类中各取一个数所组成的集合就称为模的一个完全剩余系，简称为模的完系。
定义1：如果一个剩余系中包含了这个正整数所有可能的余数（一般地，对于任意正整数n，有n个余数：0,1,2,...,n-1），那么就被称为是模n的一个完全剩余系。
定义2：剩余系：设模为m,则根据余数可将所有的整数分成m类，分别记成[0],[1],[2],…[m-1]，这m个数{0,1,2,…m-1}称为一个完全剩余系，每个数称为相应类的代表元。
例如：当m=10则,{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}最小非负完全{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}绝对值最小{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}绝对值最小（一）根据剩余类的概念，很容易得到以下几条有关剩余类的性质：①每一个整数一定包含在而且仅包含在模m的一个剩余类中②整数p所属的模m的剩余类中的每一个数都可以写成km+p的形式，这里k是整数用符号p mod m表示p所属的模m的剩余类，这条性质写成数学表达式就是p mod m= {p+km（k是整数）}③整数p、q在模m的同一个剩余类中的充要条件是p、q对模m同余。
这条性质用数学符号就可表示为：p mod m= q mod m p≡q（mod m）实际上，同余式就是剩余类等式的一个特殊情况，是集合中的一个元素，前面有关同余的一些性质对剩余类仍然成立。
这条性质表明，对于模m的两个剩余类要么相等，要么它们的交集为空集，因此，模m有且仅有m个剩余类，它们是：0mod m，1 mod m，2 mod m，…（m―1）mod m。
在解决一些有关模m余数的问题时，我们就可以查看m个数：0，1，2，…，m―1，从而得相应的剩余类的情况，使问题变得异常简单，具体例子，请看后面的例题。
“设而不求”解题技巧在初中数学中的应用
一、“设而不求”的概念
结合某直角三角形的求面积问题对“设而不求”问题的概念进 行分析。已知该直角三角形周长为ｃｍ，其斜边中线的长度为ｌｃｍ， 据此计算三角形面积。解题思路如下： 将该三角形的斜边长度设为Ｚ，由于斜边中线的长度为 ｌｃｍ，据此可以得出其斜边长ｚ＝２ｃｍ，那么再将两直角边的长度设 为ｘ，ｙ，总面积为Ｓ，根据以上条件可以列出方程［１１ ｘ＋ｙ＋２＝２＋如 （１）
求”解题技巧，一般隋况下为先设定未知数，再逐渐带入分式，利用
分数分子与分母间的关系和分数特质，得出多个解答方程式，联系 这些式子进行演算，进而得出最终答案。同
三、利用“设而不求”解答几何问题
以某几何问题为例，对解答分数方程时“设而不求”技巧的应 用进行分析： 题目：在某直线上一次存在四个点，分别为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，证明
ｘ＋ｙ＝２
（２）
（３） ３２瓦１ 由步骤（１）可知ｘ＋ｙ＝，／ｇ 将等式两边进行平方可得ｘ％ｙ２＋２ｘｙ＝６ 再将步骤（２）与（３）带入到方程式ｘ％ｙ％２ｘｙ＝６中，简化可得
４＋４Ｓ＝６
综合该题解题步骤及思路，可知引入代数方面的知识可以使 得几何证明问题更加简单。灵活的运用代数知识解答几何问题，能 够有效简化原有的证明题，通过“设而不求”技巧的运用，能够有效 降低几何题整体难度，促进学生更快掌握解题方法，培养解题思 路。上题中所设线段长度，在进行证明的过程中，发挥了良好的桥 梁连接作用，优化了证明过程，要证明的问题更加明晰。圈 四、利用“设而不求”转化方程问题 以某方程题为例，对解答分数方程时“设而不求”技巧的应用 进行分析： 题目：现有方程Ｘ２一ｌｌｘ＋（３０＋Ｋ）＝０有两个根，且均大于５，求 实数Ｋ取值范围。 解题思路分析： 设ｖ＝Ｘ一５，贝０ ｘ＝ｙ＋５习Ｂ么 原方程可以变换为ｙ２－ｙ＋Ｋ＝０ 又因为Ｘ＞５，故而Ｙ＞０ 所以原方程有两根且均为正根 那么（一１）２—４Ｋ≥０，且Ｋ＞０，最终得出０＜Ｋ≤０．２５ 综合上述解题思路及步骤，在方程问题的解题过程中，首先应 该找到各知识之间的联系点，才能有效解决问题，在此基础上，通 过运用“设而不求”方法，把较为复杂的原方程式进行简化，最终解 题的方法就是寻找相应字母来代替代数式。在例题中，已知方程的 两根大于５，那么为了得出新方程，设根减５为新的未知数即可， 最终由两根均为正根得出实数Ｋ的范围ｍ一。 另外，在实际运用“设而不求”解题技巧时，需要引导学生明确 设立未知参数。在参数设置时，引导学生只求必要参数，找到关键 参数，还要培养学生准确总结关系式的能力，避免学生解题绕远 路。最终总结出关系式后，要进一步消除不必须的参数，结合韦达 定理等方程常见定理与计算方法，得出答案。Ⅲ 结束语： “设而不求”的解题技巧，立足于数学问题的整体结构意义，又 注重后期的灵活变式与整体思想的合理运用Ⅲ。能够有效拓宽学 生的整体思维领域，培养学生在数学解题过程中广泛发散思维，灵 活变通。尤其是针对代数与解析几何等数学问题，巧妙的“设而不 求”能够发挥明显作用，最大程度上减轻计算量，精简计算过程，有 效提高整体解题效率。在难度较大的应用题解题时，适当采用“设 而不求”方法也能让题目相对简化。随着数学教学方法的丰富化， 教师在课堂上应该结合课本基础知识，充分培养学生的“设而不 求”解题能力，从而有效提高教学质量。 参考文献：
设而不求在初中数学解题中的应用
设而不求在初中数学解题中的应用作者：彭翔来源：《理科考试研究·初中》2013年第11期初中数学内容比较多，如果想要很好的掌握，需要学会熟练运用各类方法.设而不求方法也是其中的一种，在解决实际的数学问题时，先设一些未知数，然后把设的未知数当成已知数代入已知问题中，去寻找本身每个量之间的相互制约关系，列出方程，最后解出未知数.根据题目本身的特点，将未知数代换或者消去，使得问题变得清晰明了，设而不求的方法在数学解题中的应用比较广泛.一、设而不求定义一个直角三角形的周长是2+6，斜边中线长是1，求这个三角形的面积.评析从本题中可以看出，题目要求出S的值，最初我们却设了a，b，S三个未知量，多设了2个未知数，起到了中间桥梁作用，建立等量关系，联系方程组，解出S，未知数a，b就是设而不求的典型例子.所谓“设而不求”的未知数，又叫辅助元素，它是我们为解决问题增设的一些参数，它能起到沟通数量关系，架起连接已知量和未知量的桥梁作用.二、求解有关分数中有未知数的问题求解关于分数中含有未知数的问题时，利用设而不求的方法，可以很好的解决问题.一般步骤为先设未知数，再代入分式中，根据得出的因式之间的关系，分析出唯一或者单独的几种解答，从而得到答案.三、几何问题中的设而不求评析在进行几何证明的过程中，可以引入代数中的相关知识，运用设而不求的方法，用代数知识解答几何问题，使得原来的证明题变得简单很多.如果运用这一技巧，就能达到降低题目难度的作用，让学生更容易接受，解题思路也会更加清晰.本题中所设线段的长度在证明该问题时起到了很好的桥梁作用，简化了问题证明过程，使得问题更加的清晰.在几何问题中，有一类是单纯的计算题目，比如求平行四边形的面积等等，我们要求出底和高，可以不用分别求出来，只需要求出两者的积就可以了，再代入公式，就可以得出题目的答案.这只是一个思路，大致上就是求出其中的一个整体，再运用在求解结论的过程中.评析在该类问题转化题型中，找出知识的联系点是解决问题的关键，在联系点的基础上，把比较复杂的问题转化成比较容易解决的问题，这样，题目的关键就是比较准确的找出字母代替什么样的代数式.小组合作学习是在新课程理念下一种有效的教学模式，有利于促进学生积极进取，大胆探索，有利于培养学生的创新意识和创新能力.希望奋斗在七尺讲台上的每一个初中教师必须充分重视小组合作学习的价值，不仅要努力践行小组合作学习模式，更需要在教学实践中不断反思，瞄准有效合作的正确方向，积极营造适合学生合作学习的教学氛围，为构建新型的课堂教学模式努力拼搏.。
初中数学之设而不求
初中数学之设而不求发布时间：2021-09-18T07:32:20.040Z 来源：《中小学教育》2021年第433期作者：沈雪华[导读] 它是我们为解决问题增设的一些参数，能起到沟通数量关系、架起连接已知量和未知量的桥梁的作用。
福建省诏安第一中学363500摘要：初中数学中有些习题的一些数据，在进行解答时虽然要用到，但即使不求出结果也可能求出答案，这时可用设而不求的方法进行分析并解答。
关键词：初中数学设而不求设而不求，顾名思义，就是根据题意巧妙设立未知数,来沟通“未知”和“已知”之间的关系,从而帮助我们解决问题。
我们关注的不是未知数本身的值，而是关注未知数之间或者与问题的联系。
设而不求是解析几何的重要解题策略，在许多题目的解答中，常常可以起到简化计算的作用。
所谓“设而不求”的未知数，又叫辅助元素，它是我们为解决问题增设的一些参数，能起到沟通数量关系、架起连接已知量和未知量的桥梁的作用。
一、分式中的“设而不求”设而不求在解较复杂的分式方程中应用较多，解此类题目，要引导学生在许多不同之中寻找相同，然后再用一个字母代替一个代数式，从而起到化简解题步骤、降低解题难度的作用。
容易发现题目的规律，学生要掌握解题技巧，必须有能准确地发现解题规律的能力，必须从对题目的整体感知训练起步，要求学生一见到题目，就能判断出是否可用特殊方法解答。
二、应用题中的“设而不求”例2：从两个重量分别为12千克和8千克且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等，求所切下的合金的重量是多少千克？分析：由于已知条件中涉及到合金中含铜的百分数，因此只有增设这两个合金含铜的百分数为参数或与合金含铜的百分数有关的其他量为参数，才能充分利用已知，为列方程创造条件。
解：设所切下的合金的重量为x千克，重12千克的合金的含铜百分数为p，重8千克的合金的含铜百分数为q(p≠q)，于是有:整理得：5(q-p)x=24(q-p)因为p≠q，所以q-p≠0，因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克。
初一数学竞赛培训第8讲-一次方程(组)
第十三讲 一次方程和一次方程组一、基础知识1．方程的概念2．方程的解与解方程3．一元一次方程及求解 关于x 的方程ax=b 的解的情况是：4、含有绝对值符号的方程5、二元一次方程组求解：二、各种一次方程（组）求解举例：例1：解方程1}8]6)432(51[71{91=++++x例2解方程0,3≠=--+--+--abc ba c x a cb xc b a x 且⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 设有二元一次方程组：方程可取一切数。
时且当方程有无解时且当方程有唯一解时当,00,00,0==≠==≠b a b a a b x a例3解关于x 方程)1(12+=+x m x m例4解关于x 方程26)13(4)2)(1(2a a a a a =--+--例5已知关于x 方程,02)1(22=++--m m x m？无解？有无穷多解？取何值时方程有唯一解当m例6解含绝对值的方程234=-+-x x例7若x 、y 的值满足方程组的值求42245419928975431771103457323y y x x y x y x ++⎩⎨⎧=+=+例8方程组，但是由于看错了系数的解应为m y x y mx by ax ,1082242062⎩⎨⎧==⎩⎨⎧-=-=+ 的值。
求而得到的解为m b a y x ++⎩⎨⎧==,611例9若满足下列方程组和、、、54321x x x x x962482242122625432154321543215432154321=++++=++++=++++=++++=++++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 试求：的值5423x x +。
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第8讲设而不求知能概述：字母示数是代数的一个重要特征，是由算术跨越到代数的桥梁，是数学发展史上的一个飞跃。
字母示数具有简明性、一般性，在求代数式的值、形成公式、解应用题等方面有广泛的应用。
为了沟通数量间的关系，或将有些不明朗的关系表示出来，我们需要设元，而所设的字母不能或不需要求出，这就是设而不求的基本涵义。
问题解决：例1．一个摩托车手在前13旅程中速度是40千米/时，在后23旅程中速度是50千米/时，则在他的全程中平均速度为。
解题思路：平均速度=总路程总时间，题设中并未给出总路程，需设出总路程。
(江苏省竞賽题)例2．下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（）。
A．1627384950 B．2345678910 C．3579111300 D．4692581470(江苏省竞赛题)解题思路：设自然数从a+1开始，这100个连续自然数的和为(a+1)+(a+2) +…+(a+100)=100a+5050，从揭示和的特征入手。
例3．在一次数学竞赛中，组委会决定用NS公司赞助的款购买一批奖品，若以1台NS计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买100份奖品；若以1台NS计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买80份奖品。
问这笔钱全部用来购买计算器或《数学竞赛讲座》书，可各买多少?(湖北省黄冈市竞赛题)解题思路：设每台计算器x元，每本《数学竞赛讲座》书y元，利用赞助款不变，寻找x，y的关系。
例4．将若干个自然数按某种规律排列，若前8个数依次是1，3，6，10，15，21，28，36，则第50个数是多少?(世界数学团体锦标賽试题)解题思路：设已知的数依次是a1，a2，a3，a4，…，a50，…，这若干个自然数排列的规律是什么?怎样求出a50?例5．如图，已知四边形 ABCD 各边的中点E ，F ，M ，N 的连线EM ，FN 交于O ，分四边形ABCD 的面积三块为6，8，10，求第四块的面积。
(“希望杯”邀请赛试题) 解题思路：连OA ，OB ，OC ，OD ，设 S △OAE = S △OBE =a ，S △OBF = S △OCF =b ，S △OCM = S △ODM =c ，S △ODN = S △OAN =d ，将问题转化为求c +d 的值。
例6．从两个重量分别为12千克和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等。
求所切下的合金的重量是多少千克?分析：由于已知条件中涉及合金中含铜的百分数，因此只有增设这两个合金含铜的百分数为参数或与合金含铜的百分数有关的其他量为参数，才能充分利用已知，为列方程创造条件。
解法1：设所切下的合金的重量为x 千克，重12千克的合金的含铜百分数为p ，重8千克的合金的含铜百分数为q ( p ≠q )，于是有(12)(8)128xq x p xp x q +−+−=， 整理得5(q − p )x =24(q − p )，因为p ≠q ，所以q −ρ≠0，因此x =4.8，即所切下的合金重4.8千克。
解法2：设从重12 千克的合金上切下的x 千克中含铜m 千克，从重8千克的合金上切下的x 千克中含铜n 干克(m ≠n )，则这两个合金含铜的百分数分别为m x 和n x，于是有 (12)(8)128m n n x m x x x +−+−=， 整理得5x (n −m ) =24(n −m ).因为m ≠n ，所以n −m ≠0，因此x =4.8，即所切下的合金重4.8千克。
例7．23个不同的正整数的和为4845，问这23个数的最大公约数可能达到的最大值是多少?写出你的结论，并说明理由。
(“希望杯”邀请赛试题)解：设这23个彼此不同的正整数为a 1，a 2，a 3，…，a 22，a 23，且(a 1，a 2，a 3，…，a 22，a 23) =d ，故可记a 1=db 1，a 2=db 2，a 3=db 3，…，a 22=db 22，a 23=db 23，，其中b 1，b 2，… ，b 23是互不相等的正整数，由题意得4845 =d (b 1+b 2+…+b 22+b 23)，∵ b 1+b 2 +…+b 22+b 23≥1+2 +… +22+23=276，∴ 4845=d (b 1+b 2 +…+b 22+b 23)≥276×d ，即d ≤4845511727692=，而4845=19×17×5×3， 故d 最大可能取17.事实上，若d =17，则b 1+b 2 +…+b 22+b 23=19×15=285，试取b 1=1，b 2=2，…，b 22=22，则b 1+b 2 +…+b 22+b 23=253，此时取b 23=285−253=32，正好满足条件.三阶幻方:相传大禹在治洛水的时候，洛水神龟献给大禹一本洛书，书中有如图所示的一幅奇怪的图，这幅图用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，也就是在3×3的方阵中填入1~9，其中每行、每列和两条对角线上数字和都相等，现在人们已给出一般三阶幻方的定义：在3×3的方阵图中，每行、每列、每条对角线上3个数的和都相等，就称它为三阶幻方。
解幻方问题，常需恰当引元，运用幻方定义、性质、整体核算等方法求解.例8．如图，3×3数表各行、各列及两条对角线之和彼此相等，设为S ，求证： （1）S =3e ； （2）2(a +c +g +i )=b +d +f +h +4e . (环球城市数学奥林匹克试题)解题思路：三阶幻方如何构造?熟悉例8揭示的规律及以下性质，是构造的关键。
（1）在三阶幻方中，每个数都加上或都乘以一个相同的数，仍是一个三阶幻方；（2）d +f =b +h =a +i =c +g =2e " 。
刻 意 练 习1．如图是一组有规律的图案，它们是由边长同的小正形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有 个涂有阴影的小正方形。
(用含有n 的代数式表示)，(2016年山西省中考题)2．已知17个连续整数的和是306，那么紧接在这17个数后面的那17个整数的和是 。
(天津市竞赛题)第3个第2个第1个f e ih gdc b a3．如图是一个3×3的幻方，当空格填上适当的数后，每行、每列以及对角线上的和都是Array相等的，则k= 。
(两岸四地数学精英邀请赛试题)4．一条公交线路从起点到终点有8个站，一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人，则从前6上车而在终点站下车的乘客有人。
(“希望杯”邀请赛试题)5．巴勃罗、索菲亚和米娅在一次聚会上各分得一些糖果，巴勃罗的糖果数为索菲亚糖果数的3倍，索非亚的糖果数为米娅糖果数的2倍。
巴勃罗决定将自己的糖果分给索菲亚和米娅部分，这样三个人的糖果数相等，则巴勃罗分给索菲亚的糖果数占自己原来糖果数的。
.(美国数学竞赛题)6．商场广告写着"每件商品五折特卖”，并在结账时，若使用优惠券，价格再降二折，则使用优惠券后，付款价格是原来的( )。
A．10% B．33% C．40% D．60% E．70%(美国数学竞赛题)7．某研究所全体员工的月平均工资为5500元，男员工月平均工资为6500元，女员工月平均工资为5000元，则该研究所男、女员工人数之比是( )。
A．2 ：3 B．3 ：2 C．1 ：2 D．2 ：1(“希望杯”邀请赛试题)8．当克拉拉计算自己各科测试成绩的总分时，无意识地将某科分数的十位与个位交换了位置，则最有可能是错误的总分与正确的总分相差的分数是( )。
A．45 B．46 C．47 D．48 E．49(美国数学邀请赛试题)9．老师报出一个5位数，同学们将它的顺序倒排后得到的5位数减去原数，学生甲、乙、丙、丁的结果分别是34567，34056，23456，34956，老师判定4个结果中只有1个正确，答对的是( )。
A．甲B．乙C．丙D．丁(四川省党赛题)10．某校初一、初二两个年级学生的人数相同，初三年级的学生人数是初二年级学生人数的45，已知初一年级的男生人数与初二年级的女生人数相同，初三年级男生人数占三个年级男生人数的14，那么三个年级女生人数占三个年级学生人数的比是( )。
A．919B．1019C．1121D．1021(“希望杯”邀请赛试题)11．如图，有9个方格，要求在每个方格填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等，问：图中左上角的数是多少?(北京市“迎春杯”竞赛题)12．某次数学竞赛前60名获奖，原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人；现调为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人。
调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分。
如果原来二等奖比三等奖平均分数多7分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分?(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)13．山脚下有一池塘，山泉以固定的流量(即单位时间里流入池中的水量相同)不停地向池塘内流淌。
现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A型抽水机20分钟正好把池塘中水抽完，问若用三台A型抽水机同时抽水，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完?(江苏省竞赛题)14．甲和乙同时分别从A，B两地出发以各自的匀速度相向行走(两人的速度可不同)，相遇于C点。
若甲比乙早出发30分钟，则他们的相遇点到B的距离比C到B的距离少2公里，若乙比甲早出发30分钟，则他们的相遇点到A的距离比C到A的距离少，少多少公里？(环球城市数学奥林匹克试题)15．圆周上放置了100个整数。
已知每个整数均比其顺时针方向接下来的两个数的和大。
问：这100个数中至多会有多少个正数？(俄罗斯数学奥林匹克试题)。