刚体绕定轴转动力矩课件

例 刚体绕 z 轴正向转动， n 60r / min ，某时刻 p点位矢
r 3i 4 j 5k (m)
求 p点的速度 解
2n 2 rad / s 60 k 2k （∵ 沿 z 轴正向转）
v r 2k (3i 4 j 5k ) 8i 6j (m / s)
第6章 刚体动力学
§6.1 力矩 刚体绕定轴转动微分方程
一. 力矩
• •
力
改变质点的运动状态 改变刚体的转动状态
质点获得加速度 刚体获得角加速度
力 F 对z 轴的力矩
z
o h r A
F
M z ( F ) Fh Fr sin
±”的确定：（右螺旋） •“ 从z轴正端向负端看，
i=3 y x O
z
y i = 3+2+1= 6
当刚体受到某些限制 ——自由度减少
§5.2 刚体的平动
刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自 身平行 — 刚体平动 平动的特点 (1) 刚体中各质点的 运动情况相同
rA rB z rA rB BA v A vB O a A aB x
若 F 使刚体逆时针转 若 F 使刚体顺时针转
M z 为正 M z为负
例如
T

T'
M i TR T' R
讨论
T
T'
i
M
Tr T ' R
F
1)力平行于转轴或通过转轴时，对该轴力矩为零。 z F// F//不能改变刚体绕z轴的转动状态 F// 对z轴的力矩为零
吊箱平动
x A xB R cos(t 0 ) y A yB L R sin(t 0 ) L
2 xA ( y A L) 2 R 2
v Ax v Ay
dx A R sin(t 0 ) dt dy A R cos(t 0 ) dt
力对定点o的力矩
Mo
O .
F
r
说明：可以证明：力对任意点的力矩，在通过该点的任一
2 Ax
vA v
v
2 Ay
25 R 0.26 m / s 300
dv Ax a Ax R 2 cos(t 0 ) dt dv Ay a Ay R 2 sin(t 0 ) dt 2 25 2 2 2 3 2 a A a Ax a Ay R 2.7 10 m / s 2 300
A
A
rA B rB
A
y
B
B
(2) 刚体的平动可归结为质点运动
例 一大型回转类“观览圆盘”如图所示。圆盘的半径R=25 m， 供人乘坐的吊箱高度 L=2 m。若大圆盘绕水平轴均速转动， 转速为0.1 r/min。 求 吊箱底部A点的轨迹及A点的速度和加速度的大小。 解
2π 2π π T 10 60 300
II
M
当
βc
0 t 1 2 ( ) t t 0 2 2 2 0 2 ( 0 )
z ω,
与质点的匀加速直线运动公式相像
二. 定轴转动刚体上各点的速度和加速度
任意点都绕同一轴作圆周运动, 且 ， 都相同 O
z
ω,
v
P
• 加速度与角加速度的矢量关系式
dv d(ω r ) a dt dt dω dr r ω dt dt
O
刚体
r'
r
×O
定轴
β r ω v
aτ r
an v
刚体
v
P
r'
v r' an r ' 2 dv a r' dt
r
×O

角速度与角加速度的矢量表示
① 对于角速度矢量，规定：角速度矢量的大小就是角速度的 大小，方向沿转轴方向，其指向由右手螺旋法则确定：右 手四指指向刚体转动方向，拇指指向为 方向。 ② 角加速度矢量
方向：右螺旋法则
r ：转动中心到力的作用点的位矢 ： r 和 F 的夹角
当 F 不在垂直于z轴的平面内
M Z r F
MO r F 大小： M o M o rF sin 方向：垂直于 r 和 F 所确定
的平面，且指向由右 螺旋法则给出。
第5章 刚体运动学
§5.1 刚体和自由度的概念
一. 刚体 —— 力的作用下形状和大小不变的物体
特殊的质点系， 形状和体积不变化。在力作用下，组成 物体的所有质点间的距离始终保持不变 —— 理想化模型
二. 自由度
确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数 z s O x i=1 i=2
(x,y,z) O
Hale Waihona Puke Baidu
d dt

③ 直角坐标系中，设刚体绕 z 轴作定轴转动，则角速度矢量为
k 的方向 0 沿 z正向 0 沿 z负向
d k dt
角加速度矢量为
④ 定义了角速度矢量后，就可以用它表示出刚体上任意点的 速度
d r v ω r dt
§5.3 刚体绕定轴转动
刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动___刚体转动
转轴固定不动 — 定轴转动
刚体的平动和绕定轴转动是刚体的 两种最简单最基本运动
z
一. 描述 刚体绕定轴转动的角量
角坐标 角速度 角加速度
f (t )

d f ' (t ) dt
I

P
d d 2 2 f " (t ) d t dt
2)若 F 不在垂直于z轴的平面内
F F F//
o r h A
F
M z ( F ) M z ( F ) F h
③ 也可将力 F (位于垂直于z轴的面内)对z轴的力矩视为
矢量，定义矢量力矩 大小：rF sin
MZ r F