齐次线性方程组的基础解系(PPT)_1

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齐次线性方程组的基础解系(PPT)

齐次线性方程组的基础解系(PPT) 齐次线性方程组的基础解

系对于齐次线性方程组a11x1a12x2a1nxn0,

a12x1a22x2a2nxn0,

ax ax ax0. m22mnn m11 令a11a12 a21a22 , 1 2 am1 am2 a1n a2n ,,n amn 则上述方程组即为 x1 1 x2 2

xn n 0 (*) （其中 0 为零向量）。

将（*）的解视为 n 维向量，则所有解向量构成 K 中的一个向量组，记为 S。

n 命题 S 中的元素（解向量）的线性组合仍属于 S（仍是解）。

证明只需要证明 S 关于加法与数乘封闭。

设(k1,k2,,kn),(l1,l2,,ln)S，则k11k2 2

kn n 0 l1 1 l2 2 ln n 0 于是 (k1 l1) 1 (k2 l2) 2 (kn ln) n 0 故 (k1 l1,k2 l2, ,kn ln) S；又因为k K kk1 1 kk2 2 kkn n 0 所以(kk1,kk2, ,kkn) S。

证毕。

定义（线性方程组基础解系）齐次线性方程组（*）的一组解

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向量1, 2, , s 如果满足如下条件：

（1）1, 2, , s 线性无关；（2）方程组（*）的

任一解向量都可被1, 2, , s 线性表出，那么，就称1,

2, , s 是齐次线性方程组（*）的一个基础解系。

定理数域上的齐次线性方程组的基础解系中的向量个数等于变

元个数减去系数矩阵的秩。

证明记线性方程组为 x1 1 x2 2 xn n 0 其中a11a12 a21a22 , 1

2 am1 am2 a1n a2n , ,

n amn 设1, 2, ,

n 的秩为 r，无妨设1, 2, , n 为其极大线性无关部分组，

则r 1, r 2, , n 皆可被1, 2, , r 线性

表出，即存在 kij K(1 i n r,1 j r)，使得r 1 k11

1 k1

2 2 k1r r r 2 k21 1 k22 2 k2r r

n kn r1 1 kn r2 2 kn rr r, 即 ki1 1 ki2

2 kir r 1 r i 0, (i 1,2, n r)于是 S 中含

有向量1(k11,k12,,k1r,1,0,,0) 2

(k21,k22,,k2r,0,1,,0) n r(kn

r1,kn r2, ,kn rr,0,0, ,1) 只需要证明1, 2, , n r

是解向量组的一个极大线性无关部分组即可。

易见，向量组1, 2, , n r 线性无关。

只需要再证明1, 2, , n r 能线性表出任意一个S 即

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为此，需要证明引理：

引理设1, 2, , t 线性无关，可被1, 2, , t 线性表出，则表示法唯一。

证明设k1 1 k2 2 kt t l1 1 l2 2 lt t 两式相减，得到 (k1 l1) 1 (k2 l2) 2 (kt lt) t 0. 由于1, 2, , t 线性无关，故各i(1 i t)的系数皆为零，于是 ki li( i)，即的表示法唯一。

引理证毕。

现在回到定理的证明。

设(c1,c2, ,cn) S，则有 c1 1 c2 2 cr r cr 1 r 1 cr 2 r 2 cn n 0 . （1）考虑cr 1 1 cr 2 2 cn n r S，则形如(c1’,c2’,,cr’,cr 1,cr 2, ,cn)，且有 2 cr rc1 1 c2 cr 1 r 1 cr 2 r 2 cn n 0. （2）记(cr 1 r 1 cr 2 r 2 cn n)，则由引理，它可以被线性无关的向量组1, 2, , r 唯一地线性表示，于是由（1）、（2）两式可知;c2c2;cr cr，c1c1 于是(c1,c2, ,cn) cr 1 1 cr 2 2 cn n r 这就证明了1, 2, , n r 是解向量组的一个极大线性无关部分组。

再由矩阵的秩的定义可知命题成立。

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证毕。

基础解系的求法我们只要找到齐次线性方程组的 n r 各

自有未知量，就可以获得它的基础解系。

具体地说，我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形，那么

阶梯形的非零行数就是系数矩阵的秩。

把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端，其余 n r

个未知量移到等式右端，再令右端 n r 个未知量其中的一个为 1，

其余为零，这样可以得到 n r 个解向量，这 n r 个解向量构成了

方程组的基础解系。

例求数域K 上的齐次线性方程组x1x1

4x1 2x 1 x2 3x4 x4 x5 0, 0, x2

2x3 2x2 6x3 3x4 4x5 0, 4x2 2x3 4x4 7x5 0. 的一个基础解系。

解用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形：

1 1 4

2 1 1 24 026 2

3 13

4 1 1 00 0 4 7 0 1200 0 200 3 230 1 1 1 0 于是 r(A ) ，基础

解系中有 n r(A) 5 3 2 个向量。

写出阶梯形矩阵所对应的方程组x1 x22x2 2x3 3x42x43x4 x5x5x5 000 移项，得x1 x22x2 3x42x43x4 2x3 x5x5x5 ,,. （1）、取 x3 1,x5 0，得一个解向量