齐次线性方程组的基础解系(PPT)_1

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齐次线性方程组的基础解系(PPT)
齐次线性方程组的基础解系(PPT) 齐次线性方程组的基础解
系对于齐次线性方程组a11x1a12x2a1nxn0,
a12x1a22x2a2nxn0,
ax ax ax0. m22mnn m11 令a11a12 a21a22 , 1 2 am1 am2 a1n a2n ,,n amn 则上述方程组即为 x1 1 x2 2
xn n 0 (*) （其中 0 为零向量）。

将（*）的解视为 n 维向量，则所有解向量构成 K 中的一个向量组，记为 S。

n 命题 S 中的元素（解向量）的线性组合仍属于 S（仍是解）。

证明只需要证明 S 关于加法与数乘封闭。

设(k1,k2,,kn),(l1,l2,,ln)S，则k11k2 2
kn n 0 l1 1 l2 2 ln n 0 于是 (k1 l1) 1 (k2 l2) 2 (kn ln) n 0 故 (k1 l1,k2 l2, ,kn ln) S；又因为k K kk1 1 kk2 2 kkn n 0 所以(kk1,kk2, ,kkn) S。

证毕。

定义（线性方程组基础解系）齐次线性方程组（*）的一组解
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向量1, 2, , s 如果满足如下条件：
（1）1, 2, , s 线性无关；（2）方程组（*）的
任一解向量都可被1, 2, , s 线性表出，那么，就称1,
2, , s 是齐次线性方程组（*）的一个基础解系。

定理数域上的齐次线性方程组的基础解系中的向量个数等于变
元个数减去系数矩阵的秩。

证明记线性方程组为 x1 1 x2 2 xn n 0 其中a11a12 a21a22 , 1
2 am1 am2 a1n a2n , ,
n amn 设1, 2, ,
n 的秩为 r，无妨设1, 2, , n 为其极大线性无关部分组，
则r 1, r 2, , n 皆可被1, 2, , r 线性
表出，即存在 kij K(1 i n r,1 j r)，使得r 1 k11
1 k1
2 2 k1r r r 2 k21 1 k22 2 k2r r
n kn r1 1 kn r2 2 kn rr r, 即 ki1 1 ki2
2 kir r 1 r i 0, (i 1,2, n r)于是 S 中含
有向量1(k11,k12,,k1r,1,0,,0) 2
(k21,k22,,k2r,0,1,,0) n r(kn
r1,kn r2, ,kn rr,0,0, ,1) 只需要证明1, 2, , n r
是解向量组的一个极大线性无关部分组即可。

易见，向量组1, 2, , n r 线性无关。

只需要再证明1, 2, , n r 能线性表出任意一个S 即
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为此，需要证明引理：
引理设1, 2, , t 线性无关，可被1, 2, , t 线性表出，则表示法唯一。

证明设k1 1 k2 2 kt t l1 1 l2 2 lt t 两式相减，得到 (k1 l1) 1 (k2 l2) 2 (kt lt) t 0. 由于1, 2, , t 线性无关，故各i(1 i t)的系数皆为零，于是 ki li( i)，即的表示法唯一。

引理证毕。

现在回到定理的证明。

设(c1,c2, ,cn) S，则有 c1 1 c2 2 cr r cr 1 r 1 cr 2 r 2 cn n 0 . （1）考虑cr 1 1 cr 2 2 cn n r S，则形如(c1’,c2’,,cr’,cr 1,cr 2, ,cn)，且有 2 cr rc1 1 c2 cr 1 r 1 cr 2 r 2 cn n 0. （2）记(cr 1 r 1 cr 2 r 2 cn n)，则由引理，它可以被线性无关的向量组1, 2, , r 唯一地线性表示，于是由（1）、（2）两式可知;c2c2;cr cr，c1c1 于是(c1,c2, ,cn) cr 1 1 cr 2 2 cn n r 这就证明了1, 2, , n r 是解向量组的一个极大线性无关部分组。

再由矩阵的秩的定义可知命题成立。

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证毕。

基础解系的求法我们只要找到齐次线性方程组的 n r 各
自有未知量，就可以获得它的基础解系。

具体地说，我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形，那么
阶梯形的非零行数就是系数矩阵的秩。

把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端，其余 n r
个未知量移到等式右端，再令右端 n r 个未知量其中的一个为 1，
其余为零，这样可以得到 n r 个解向量，这 n r 个解向量构成了
方程组的基础解系。

例求数域K 上的齐次线性方程组x1x1
4x1 2x 1 x2 3x4 x4 x5 0, 0, x2
2x3 2x2 6x3 3x4 4x5 0, 4x2 2x3 4x4 7x5 0. 的一个基础解系。

解用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形：
1 1 4
2 1 1 24 026 2
3 13
4 1 1 00 0 4 7 0 1200 0 200 3 230 1 1 1 0 于是 r(A ) ，基础
解系中有 n r(A) 5 3 2 个向量。

写出阶梯形矩阵所对应的方程组x1 x22x2 2x3 3x42x43x4 x5x5x5 000 移项，得x1 x22x2 3x42x43x4 2x3 x5x5x5 ,,. （1）、取 x3 1,x5 0，得一个解向量
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1 ( 1,1,1,0,0)；（2）、取 x3 0,x5 1，得另一解向量 751
2 (,,0,,1). 66
3 1, 2 即为方程组的一个基础解系，方程
组的全部解可表示为 k1 1 k2 2(k1,k2 K). 解毕。

非齐次线性方程组的解的结构设给定一个一般线性方程组
a11x1 a12x2 ...... a1nxn b1, a21x1 a22x2 ......
a2nxn b2,...... ax ax......ax b. m22mnnm m11 （*）于是其系数矩阵和增广矩阵分别为a11 a21A am1 a12a22am2 a1n
a2n amn和a11 a21 A
am1 a12a22 am2 a1na2n amn b1 b2 bm 。

定理 (数域 K 上线性方程组有解的判别定理) 对于数域 K
上的线性方程组（*），若r(A) r(A)，则方程组无解；r(A) r(A)
n，则有唯一解；r(A) r(A) n，则有无穷多解。

证明写出线性方程组的向量形式，x1 1 x2 2 xn
n ，其中a1i a2i i a
mi ,(i1,2,,n) ，b1b2 b m 。

若 r(A) r(A)，则由矩阵秩的定义，可知 A 列向量组的秩小
于 A 列向量的秩，即向量组, , , 的秩小 1 2 n 于向量组, , , , 的秩。

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只需证明不可以被向量 1 2 n 组, , , 线性表
出即可证明方程组无解。

事实 1 2 n 上，若, , , 可以将线性表出，则
向量组, , , 1 2 n 1 2 1 2 n n 与, , , , 线性等价，则两个向量组的秩相等，矛盾于向量组, , , 的秩小于向量组, , , 1 2 n 1 2 1 2 n n , 的秩。

所以, , , 不能将线性表出，方程组无解得证。

若 r(A) r(A)，则, , , 的极大线性无关部分 1 2 n 组就是, , , , 的极大线性无关部分组。

于是能 1 2n 被, , , 线性表出，即线性方程组有解。

12n 任取线性方程组的一个解向量，记为，0 对于线性方程
组的任意一个解向量，是由原 0 方程组系数矩阵所对应
的齐次线性方程组（称为线性方程组（*）的导出方程组）的解向量。

事实上，可以分别将和带入（*），再将对应方程 0 相减，
即可证明上述结论。

反过来，容易证明，对于导出方程组的每一个解向量，0 都是线性方程组（*）的解向量。

以 T 记导出方程组的解向量组成的集合，则（*）的解为
0 | T . 12 详言之，记导出方程组的基础解系为, （*）的解为：
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 0k11k22kn r n r,(ki K,i 1,2, ,n r), , n r，则. 如果 r(A) r(A) n，则 T {0}，故方程组（*）有唯一解；如果 r(A) r(A) n，则 T为无穷集合，故方程组（*）有无穷多解。

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