五年级奥数上册巧求表面积和体积
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• 总的表面积减少了小正方体的两 个面，
• 所以，这个立体图形的表面积是 • 5×5×6＋4×4×6－4×4×2 • ＝150＋96－32 • ＝214 （平方分米）
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• 解法（二）我们从上下、左右和前后六个方向看这个立体图形可知： • 上下方向：是大正方体的两个底面； • 侧面：大小正方体的四个侧面。 • 解：上下方向：5×5×2＝50 • 侧面：5×5×4＋4×4×4＝100＋64＝164 • 所以，这个立体图形的表面积是 • 50＋164＝214
6
7
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简单应用
• 1、长方体的长、宽、高分别是20、15、10厘米，它的体积是
立方厘米；
• 2、长方体的长为6厘米，宽为4厘米，体积是96立方厘米，它的高是
厘米；
• 3、一个长方体，底面是一个正方形，高为3厘米，体积是108立方厘米，它的表面积是
米
3000
4
平方厘
144
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• 解：染3个面的小正方体有8个：
•
染2个面的小正方体有
• (2002＋1002＋502－6) ×4＝14000 （个）
•
染1个面的小正方体有
• (2 000×1 000＋2 000×500＋1 000×500) ×2
• ＝(2 000 000＋1 000 000＋500 000) ×2
• ＝3 500 000×2
简单应用
1、一个长方体的长、宽、高分别是6、5、4厘米，它的表面积是
平方厘米；
• 2、如果一个正方体的棱长是5厘米，那么它的表面积是
平方厘米；
• 3、一个长方体的长为10厘米，宽为8厘米，表面积是376平方厘米，它的高是
厘米；
• 4、一个正方体的表面积是294平方厘米，它的棱长是
1厘4米8。
150
上面
源自文库
下面
左面 右面
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前面 后面
练习：1、有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。 （单位：厘米）
2、如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、 2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油 漆的面积是多少平方米？
第10页/共22页
2、 把一个长、宽、高分别为8厘米、7厘米、3厘米的长方体铁块 熔铸成一个高是12厘米的长方体铁块,这个长方体铁块的底面积是 多少？
3、 用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图 形的表面积是多少平方厘米?
4、 有一个长方体形状的零件。中间挖去一个正方体的孔（如下图）。 你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米）
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应用举例（一）简单组合
• 例1、如图，在一个棱长为5分米的 正方体上放一个棱长为4分米的小 正方体，求这个立体图形的表面积。
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我们 放一放试试
• 解法（一）将棱长为4分米的小 正方体放上后，
• 问：散开后小正方体的表面上有1 个面，2个面，3个面被染成红色 的各有多少个？有没有没有被染色 的小正方体吗？有4个面以上被染 色的小正方体吗？
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解 ： 染3个面的有8个小正方体 染2个面的小正方体有
(10－2) ×4＋ (8－2) ×4＋ (7－2) ×4 ＝32＋24＋20＝76 （个）
•
前后面的面积都是10平方厘米。
•
因此，这个立体图形的表面积是
(9＋8＋10)×2＝54 (平方厘米)
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用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问 该图形的表面积是多少平方厘米?
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应用举例（四）染色问题
• 如图，用一些小正方体摆成一个长 方体，长方体的长宽高分别是10、 8、7个小正方体的棱长，我们将 这个长方体的表面刷上艳丽的红色。
染1个面的小正方体 上下：(10－2) ×(8－2) ×2＝96 左右：(8－2) ×(7－2) ×2＝60 前后：(10－2) ×(7－2) ×2＝80
共96＋60＋80＝236 （个）
你还有更巧妙 地算法码？
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拓展练习
• 如果重叠拼成的长方体的棱长分别是2002，1002，502呢？
应用举例（三）不规则组合
• 例3、把19个棱长为1厘米的正方体重 叠咋一起，按右图的方式拼成一个立 体图形，求这个立体图形的表面积
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我们还从上下、 左右和前后六个 方向观察这个立 体图形
上下面
左右面
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前后面
• 解：上下面的面积都是9平方厘米，
•
左右面的面积都是8平方厘米，
基础训练：
1、 一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米，表 面积是多少平方厘米？
2、把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加2平方分 米，求这根木料原来的体积。
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3、有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切 掉一个正方体（如下图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？
回顾基本知识
• 长方体的表面积＝(ab+ah+bh) ×2 • 即 （长×宽＋长×高＋宽×高）×2 • 正方体的表面积＝6a2 • 即 棱长×棱长×6
h
a
b
a
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回顾基本知识
• 长方体的体积 • 正方体的体积
＝长×宽×高 ＝棱长×棱长×棱长
长方体或正方体体积=底面积×高
第2页/共22页
第19页/共22页
练：右图是一个表面被涂上红色的棱长为lO厘米的正方 体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体 中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？
第20页/共22页
1、一个长方体蓄水池长8米，宽4米，深3米，这个蓄水池占地面积多少平方米？ 在池底和四周抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？水池最多蓄水多少立方米？
• ＝7 000 000 （个）
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你能找到一般性的规律吗？
• 棱长分别为a、b、h个小正方体的棱长的长方体表面染色后： 染3个面的小正方体的个数是8个；
• 染2个面的小正方体的个数是 • [(a－2) ＋(b－2) ＋(h－2)] ×4 • 或（a＋b＋h－6) ×4 • 染1个面的小正方体的个数是 • [(a－2) ×(b－2) ＋(a－2) ×(h－2) ＋(b－2) ×(h－2)] ×2 • 没有被染色的小正方体的个数是 • (a－2) ×(b－2) ×(h－2)
• 所以，这个立体图形的表面积是 • 5×5×6＋4×4×6－4×4×2 • ＝150＋96－32 • ＝214 （平方分米）
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• 解法（二）我们从上下、左右和前后六个方向看这个立体图形可知： • 上下方向：是大正方体的两个底面； • 侧面：大小正方体的四个侧面。 • 解：上下方向：5×5×2＝50 • 侧面：5×5×4＋4×4×4＝100＋64＝164 • 所以，这个立体图形的表面积是 • 50＋164＝214
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简单应用
• 1、长方体的长、宽、高分别是20、15、10厘米，它的体积是
立方厘米；
• 2、长方体的长为6厘米，宽为4厘米，体积是96立方厘米，它的高是
厘米；
• 3、一个长方体，底面是一个正方形，高为3厘米，体积是108立方厘米，它的表面积是
米
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平方厘
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• 解：染3个面的小正方体有8个：
•
染2个面的小正方体有
• (2002＋1002＋502－6) ×4＝14000 （个）
•
染1个面的小正方体有
• (2 000×1 000＋2 000×500＋1 000×500) ×2
• ＝(2 000 000＋1 000 000＋500 000) ×2
• ＝3 500 000×2
简单应用
1、一个长方体的长、宽、高分别是6、5、4厘米，它的表面积是
平方厘米；
• 2、如果一个正方体的棱长是5厘米，那么它的表面积是
平方厘米；
• 3、一个长方体的长为10厘米，宽为8厘米，表面积是376平方厘米，它的高是
厘米；
• 4、一个正方体的表面积是294平方厘米，它的棱长是
1厘4米8。
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上面
源自文库
下面
左面 右面
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前面 后面
练习：1、有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。 （单位：厘米）
2、如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、 2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油 漆的面积是多少平方米？
第10页/共22页
2、 把一个长、宽、高分别为8厘米、7厘米、3厘米的长方体铁块 熔铸成一个高是12厘米的长方体铁块,这个长方体铁块的底面积是 多少？
3、 用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图 形的表面积是多少平方厘米?
4、 有一个长方体形状的零件。中间挖去一个正方体的孔（如下图）。 你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米）
第6页/共22页
应用举例（一）简单组合
• 例1、如图，在一个棱长为5分米的 正方体上放一个棱长为4分米的小 正方体，求这个立体图形的表面积。
第7页/共22页
我们 放一放试试
• 解法（一）将棱长为4分米的小 正方体放上后，
• 问：散开后小正方体的表面上有1 个面，2个面，3个面被染成红色 的各有多少个？有没有没有被染色 的小正方体吗？有4个面以上被染 色的小正方体吗？
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解 ： 染3个面的有8个小正方体 染2个面的小正方体有
(10－2) ×4＋ (8－2) ×4＋ (7－2) ×4 ＝32＋24＋20＝76 （个）
•
前后面的面积都是10平方厘米。
•
因此，这个立体图形的表面积是
(9＋8＋10)×2＝54 (平方厘米)
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用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问 该图形的表面积是多少平方厘米?
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应用举例（四）染色问题
• 如图，用一些小正方体摆成一个长 方体，长方体的长宽高分别是10、 8、7个小正方体的棱长，我们将 这个长方体的表面刷上艳丽的红色。
染1个面的小正方体 上下：(10－2) ×(8－2) ×2＝96 左右：(8－2) ×(7－2) ×2＝60 前后：(10－2) ×(7－2) ×2＝80
共96＋60＋80＝236 （个）
你还有更巧妙 地算法码？
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拓展练习
• 如果重叠拼成的长方体的棱长分别是2002，1002，502呢？
应用举例（三）不规则组合
• 例3、把19个棱长为1厘米的正方体重 叠咋一起，按右图的方式拼成一个立 体图形，求这个立体图形的表面积
第11页/共22页
我们还从上下、 左右和前后六个 方向观察这个立 体图形
上下面
左右面
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前后面
• 解：上下面的面积都是9平方厘米，
•
左右面的面积都是8平方厘米，
基础训练：
1、 一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米，表 面积是多少平方厘米？
2、把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加2平方分 米，求这根木料原来的体积。
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3、有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切 掉一个正方体（如下图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？
回顾基本知识
• 长方体的表面积＝(ab+ah+bh) ×2 • 即 （长×宽＋长×高＋宽×高）×2 • 正方体的表面积＝6a2 • 即 棱长×棱长×6
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回顾基本知识
• 长方体的体积 • 正方体的体积
＝长×宽×高 ＝棱长×棱长×棱长
长方体或正方体体积=底面积×高
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练：右图是一个表面被涂上红色的棱长为lO厘米的正方 体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体 中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？
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1、一个长方体蓄水池长8米，宽4米，深3米，这个蓄水池占地面积多少平方米？ 在池底和四周抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？水池最多蓄水多少立方米？
• ＝7 000 000 （个）
第18页/共22页
你能找到一般性的规律吗？
• 棱长分别为a、b、h个小正方体的棱长的长方体表面染色后： 染3个面的小正方体的个数是8个；
• 染2个面的小正方体的个数是 • [(a－2) ＋(b－2) ＋(h－2)] ×4 • 或（a＋b＋h－6) ×4 • 染1个面的小正方体的个数是 • [(a－2) ×(b－2) ＋(a－2) ×(h－2) ＋(b－2) ×(h－2)] ×2 • 没有被染色的小正方体的个数是 • (a－2) ×(b－2) ×(h－2)