第1讲3次二重积分及其计算

D D
性质 2
若D D1 D2 ( D1与D2除边界点外无公共部分 )，则
f ( x, y) d x d y f ( x, y) d x d y f ( x, y) d x d y 。
D D1 D2
性质 3
若 f ( x, y) g ( x, y) ( x, y) D，则
1
D
1 (x)
2 (x)
y 1 ( x)
y 2 ( x)
曲 顶 柱 体 的 体 积
z
z f ( x, y) 0
z f ( x , y)
x
. b
x
a O
b
S ( x ) y f ( x, y ) d y
1 ( x )
2 ( x)
D
1 (x)
b
2 (x)
D 的边界的交点不多于两 个。
y
y 2 ( x)
y
y 2 ( x)
y
y 2 ( x)
D
y 1 ( x)
O
D
y 1 ( x)
b xO
D
y 1 ( x)
b
a
a
xO
a
b
x
为方便起见，我们在 f ( x, y ) 0 , ( x, y ) D 的假设下 推导 x 型区域上二重积分的计 算公式，其结论对任意 的 可积函数 f ( x, y ) 成立。
Vi Vi
z f (i ,i ) (高)
(i ,i ) Di
Di
.
i (底面积)
曲 顶 柱 体 的 体 积
z
z f ( x, y) 0
Vi f (i ,i ) i
y
O
D
x
V lim
0
f ( , )i 1 Leabharlann ini引例2
y
y 2 ( x)
y
y 2 ( x)
y
y 2 ( x)
D
O
D
y 1 ( x) a x b
xO
D
y 1 ( x) a x b
z f ( x, y)
平面 : xx
x
y 1 ( x) a x b xO
根据二重积分的几何意 义，
我们只需计算出上图中 以 蓝色线条为底的曲边梯 形
D
性质 7
设 D1 与 D2 关于 x 轴对称， D D1 D2 。 若函数 f ( x, y ) 关于变量 y 为偶函数： f ( x, y ) f ( x, y )，则
f ( x, y) d x d y 2 f ( x, y) d x d y 。
D D1
若函数 f ( x, y) 关于变量 y 为奇函数： f ( x, y) f ( x, y)，则
得驻点 （ 0， 0 ） , 且 f (0,0) 9 。
又
f ( x, y )
2 2 ( x 4 y 9) D
x 2 y 2 4
13 3 y 2 ；
0 y2 x2 y2 4 ,
故
13 f ( x, y) 25
( x, y) D。
从而
max f ( x, y) max{ 9, 13, 25 } 25 ,
1 ( x )
f ( x, y ) d y ) d x
就是说, 二重积分可以通过两次定积分来计算.
课后好好想一想！
如果你的定积分已经忘记了, 请赶快 复习一下, 不然会给你带来麻烦哦.
四.二重积分的计算
1. 直角坐标系下的二重积分计算
请点击
2.二重积分的换元法 3.极坐标系下二重积分的计算
1.直角坐标系下的二重积分计算
非均匀分布时平面薄板质量问题
D,
.... . .. .. . . . . . . . .. . .
( x, y)
(i 1, 2 , , n)
(i ,i ) Di
Di
i ,
mi (i ,i ) i
max { i }
1 i n
均匀分布时： 质量=密度×面积
1i n
此时称函数 f ( x, y ) 在区域 D 上可积，记为 f ( x, y ) R( D)。
二重积分记为：
f ( , ) f ( x, y) d lim
D 0 i 1 i i
n
i
,
式中：
f ( x, y ) — — 被积函数；

— — 二重积分号；
D
例2
计算 ( x x3 y 2 ) d x d y ，D＝ {( x, y) | x 2 y 2 4, y 0 }。
D
解
因为 D 关于 y 轴对称，
f ( x, y ) x x 3 y 2
关于变量 x 为奇函数 ,
y
所以，
3 2 ( x x y ) d x d y 0。 D
f ( x, y) d x d y 0 。
D
例1
估计 ( x 2 4 y 2 9) d x d y ，D＝ {( x, y) | x 2 y 2 4 }。
D
解
记 f ( x, y) x 2 4 y 2 9，令
f 2x 0 , x f 8y 0 , y
V S ( x ) d x f ( x , y ) d y d x( x) a 1 ( x) y 1 ( xa) y 2
2 ( x)
综合上述两种“曲顶柱体”体积计算方法, 得 到 V f ( x, y) d
D
(
a
b
2 ( x)
非均匀分布时平面薄板质量问题
.... . .. .. . . . . . . . .. . .
m lim
n
D,
( x, y)
(i 1, 2 , , n)
(i ,i ) Di
Di
i ,
i m (i ,i ) i
max { i }
1 i n
0
( , )
i 1 i i
i
比较分割后小曲顶柱体体积与平面薄板质量
小曲顶柱体 平面薄板小块
D i (底 ) i (面积) f (i ,i ) (高) Vi f (i ,i ) i
Di (小块) i (面积)
(i ,i ) (密度)
mi (i ,i ) i
f ( x, y) d x d y f (u, v) d u d v
D D
( x u, y v ) 。
二.二重积分的性质
性质 1
假设以下出现的 二重积分均存在
[ f ( x, y) g ( x, y)] d x d y
D
f ( x, y) d x d y g ( x, y) d x d y 。
D —— 积分区域；
d — — 积分元素 ( 或平面面积元素 ) ;
x，y — — 积分变量；
f ( , )
i 1 i i
n
i
— — 积分和 ( 黎曼和 ) 。
f ( i ,i ) i 存在与否，与对区域D 的分割方式 二(1) 极限 lim 0 i 1 重 在与否取决于函数在 积 以及点(i ,i ) 的选择无关。此极限存 分 定 D上是否可积。 义 （ 2 ）在直角坐标系中，通常 用平行于坐标轴的网格 线划分区域 的 几 D ，故直角坐标系下积分 元素(平面面积元素 ) 点 d d x d y 说 明 相应地，直角坐标系下 ，二重积分写为
2
O
2
x
三. 二重积分的几何意义
(1)
z f ( x, y) 0,
n 0 i i i
f ( , ) f ( x, y) d lim
D i 1
V.
(2)
z f ( x, y) 0,
n 0 i i i
曲 顶 柱 体 的 体 积
f ( , ) f ( x, y) d lim
(1). x－型区域上的二重积分计算
请点击
(2). y－型区域上的二重积分计算
(3). 二重积分的换序问题
（1） x -型区域上的二重积分计算
具有以下特征的区域称 为 x－型区域：
D {(x, y) | a x b , 1 ( x) y 2 ( x) } ,
其中， 1 ( x) ， 2 ( x) C ( [a , b] )，且垂直于 x 轴的直线与区域
n
f ( x, y) d x d y 。
D
(3) 有界闭区域上的连续函 数可积。 (4) 若函数 f ( x, y ) 在区域 D 上有界，且仅在 D 内有限条 曲线（面积为零）上不 连续，则 f ( x, y ) 在 D 上可积。
(5) 二重积分是一个数，它 取决于被积函数和积分 区域，
而与积分变量的记号（ 字母）无关：
第四章 多元函数积分学
第一节 二重积分
本节教学要求： 正确理解二重积分的概念。


熟悉直角坐标系下二重积分的计算方法。
熟悉二重积分的换元法。 熟悉极坐标系下二重积分的计算方法。 能熟练地交换积分顺序。 能运用二重积分求解简单的应用问题。
第二节 二重积分
一. 二重积分的定义
请点击
二. 二重积分的性质 三. 二重积分的几何意义 四. 二重积分的计算 五. 二重积分的简单应用
D
min f ( x, y) min{ 9, 13, 25 } 9 。
D
由于 | D | d x d y 4π ( x 2 y 2 4 的面积) ，所以
D
36π 9 4π ( x 2 4 y 2 9) d x d y 25 4π 100π 。
引例1
空间中曲顶柱体体积问题
一元函数 y f ( x) 的图形在二维空间中画
出,
故定积分在几何上可解释为相应的曲边梯
形面积的代数和. 二元函数 z f ( x, y) 的图形 在三维空间中画出, 那么关于二元函数的二重积 分也应该有几何解释. 数, 对三元及三元以上的函 所以也就不 已不能画出直观的几何图形,
i
V lim
0
f ( , )
i 1 i i
n
m lim ( , )
n
0
i 1
i
i
i
一. 二重积分的定义
设 f ( x, y ) 是定义在有界闭区域D R 2 的有界函数。
将 D 任意分割为 n 个无公共内点的小区域 Di ( i 1, 2,, n ) ，
谈及其几何意义.
二重积分的几何意义与曲顶柱体体积有关.
曲 顶 柱 体 的 体 积
z
z f ( x, y)
小曲顶柱体
y
O
D
x
对 D 进行分割：
Di i Di , i (i 1, 2 , , n)
小平顶柱体 体积为：
近似代替
Vi f (i ,i ) i
.
小曲顶柱体 的体积
f ( x, y) d x d y g ( x, y) d x d y 。
D D
性质 4
| f ( x, y) d x d y | | f ( x, y) | d x d y 。
D D
性质 5
(估值定理)
设 M max f ( x, y)，m min f ( x, y)，则
D i 1
V.
能不能用定积分 来求曲顶柱体的体积？
利用平行截面面积为已知的
几何体体积计算方法.
曲 顶 柱 体 的 体 积
z
z f ( x, y) 0
z f ( x , y)
x
. b
x
a O
x x S ( x ) y f ( x, y ) d y ( x)
2 ( x)
D D
m | D | f ( x, y) d x d y M | D | 。
D
性质 6
(中值定理 )
设 D R 2 为有界闭区域， f ( x, y ) C ( D)，则至少存在
一点 ( , ) D，使得
f ( x, y) d x d y f ( , ) | D | 。
n
则 D＝ Di ，并记 Di 的面积为 i。
i 1
若 ( i ,i ) Di，极限
0
lim f ( i ,i ) i
i 1
n
存在，则称该极限值为 函数 f ( x, y ) 在区域 D 上的二重积分， 其
中， max d( Di ), d( Di ) 为 Di 的直径。
的面积：
S ( x)
2 ( x) 1 ( x )
f ( x, y ) d y
1 ( x)