度量空间的完备化.ppt
第1章 度量空间
m d ( xm , xn ) d ( x0 , x1 ) （n＞m） 1
d ( x, Tx ) d ( x, xm ) + d ( xm , Tx ) xm ) + d ( xm1, x ) 上面不等式右端当 d ( x, 时趋向于0，所以
m 下证唯一性。如果又有
，使
，即 。 d ( x, Tx ) = 0 ，则由条件（1），= Tx x
Sn = {x E : d 1
n
1.2.2 开集，闭集，邻域，聚点及有界集等 概念
定义1.2.4 设A为度量空间E的一个子集，若A中一切在E中收 敛的点列的极限仍属于A，则称A为E的一个闭子集，规定空 集 是闭子集。 闭子集A的余集 A E A = {x E : x A} 称为E的开子集。
① x+y=y+x ② (x+y)+z=x+(y+z) ③ E中存在唯一的元素（称它为零元素），使对 x E ，成立着
x + = x
④ 对于E中每一个元素x，存在唯一的元素 x* E 满足x + x* = 称 x*为x的负元素，记为－x； ⑵ 对任何 x E 即任何实（或复）数 a K，存在元素 v E 使v=ax，v称为a和x的数积。这个数积运算适合：
( )
(
x X
)
Tx = x
( )
1.4 度量空间的完备化
定义 1.4.1 设(X,d)与(W,p)都是度量空间，如果有X到W的 p(Tx, Ty) = d ( x, y), x, y X 满射T，满足 则称T为从(X,d)到(W,p)上的等距同构映射，并称(X,d)与 (W,p)为等距同构的独立空间，简称为X与W等距同构。
完备空间
完备空间完备空间或者完备度量空间是具有下述性质的空间：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。
例子∙有理数空间不是完备的，因为的有限位小数表示是一个柯西序列，但是其极限不在有理数空间内。
∙实数空间是完备的∙开区间(0,1)不是完备的。
序列(1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...)是柯西序列但其不收敛到任何(0, 1)中的点。
∙令S为任一集合，S N为S中的所有序列，定义S N上序列(x n)和(y n)的距离为1/N，其中若的最小索引存在则N为该索引否则N为0。
按此方式定义的度量空间是完备的。
该空间同胚于离散空间S的可数个副本的积。
[编辑]直观理解直观上讲，一个空间完备就是指“没有孔”且“不缺皮”，两者都是某种“不缺点”。
没有孔是指内部不缺点，不缺皮是指边界上不缺点。
从这一点上讲，一个空间完备同一个集合的闭包是类似的。
这一类似还体现在以下定理中：完备空间的闭子集是完备的。
[编辑]相关定理∙任一紧致度量空间都是完备的。
实际上，一个度量空间是紧致的当且仅当该空间是完备且完全有界的。
∙完备空间的任一子空间是完备的当且仅当它是一个闭子集。
∙若X为一集合，M是一个完备度量空间，则所有从X映射到M的有界函数f的集合B(X, M)是一个完备度量空间，其中集合B(X, M)中的距离定义为：∙若X为一拓扑空间，M是一个完备度量空间，则所有从X映射到M的连续有界函数f的集合C b(X,M)是B(X, M)（按上一条目的定义）中的闭子集，因而也是完备的。
∙贝尔纲定理：任一完备度量空间为一贝尔空间。
就是说，该空间的可数个无处稠密子集的并集无内点。
[编辑]完备化[编辑]定义对任一度量空间M，我们可以构造相应的完备度量空间M'（或者表示为），使得原度量空间成为新的完备度量空间的稠密子空间。
M'具备以下普适性质：若N为任一完备度量空间，f为任一从M到N的一致连续函数，则存在唯一的从M'到N的一致连续函数f'使得该函数为f的扩展。
度量空间
0, 当 n m 1 时,
x t x t dt 1 m ,
n m
但对每一个 x X ,
d x m, x
1 0
x t x dt
m t
12
0
x t dt
1 21 m
12
x t x t dt
m
1
1 21 m
1 x t dt.
如果
d x m, x 0 m ,
必有
lim x t 0,
12
0
x t dt 0,
1
12
1 x t dt 0,
但由于 x t 在0,1 上连续，所以 x t 在0,1 2上恒为0，在 1 2,1上恒为1，所以
即 xm x m . 这说明了 C a, b是完备度量空间.证毕.
下面举一个不完备空间的例子. 设 X 表示闭空间 0,1 上连续函数全体，对任何 x, y X , 令 1 d x, y x t y dt , t 0 那么 X , d 成为度量空间. 上面定义的度量空间 X , d 不完备. 证明 令 1,1 2 1 m t 1 例4
m m n j j
l
中的柯西点列，其中 x m
n j
m
1
,
m
2
, ,
.
(1)
因此，对每一个固定的 j, 当 n, m N 时，成立
m
j
n
j
.
(2)
这就是说，数列
. 令 x 1, 2, 下面证明 x l ,且 xm x m . 在(2)式中,令 n , 我们得到， m j j , 对一切 m N , 成立 (3)
13 度量空间的可分性与完备性
1、3 度量空间的可分性与完备性在实数空间R 中,有理数处处稠密,且全体有理数就是可列的,我们称此性质为实数空间R 的可分性.同时,实数空间R 还具有完备性,即R 中任何基本列必收敛于某实数.现在我们将这些概念推广到一般度量空间.1.3.1 度量空间的可分性定义 1.3.1 设X 就是度量空间,,A B X ⊂,如果B 中任意点x B ∈的任何邻域(,)O x δ内都含有A 的点,则称A 在B 中稠密.若A B ⊂,通常称A 就是B 的稠密子集.注1:A 在B 中稠密并不意味着有A B ⊂.例如有理数在无理数中稠密;有理数也在实数中稠密.无理数在有理数中就是稠密的,无理数在实数中也就是稠密的,说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数.定理1.3.1 设(,)X d 就是度量空间,下列命题等价: (1) A 在B 中稠密;(2) x B ∀∈,{}n x A ∃⊂,使得lim (,)0n n d x x →∞=;(3) B A ⊂(其中A A A '=,A 为A 的闭包,A '为A 的导集(聚点集)); (4) 任取0δ>,有(,)x AB O x δ∈⊂.即由以A 中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合覆盖B .证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得.定理1.3.2 稠密集的传递性 设X 就是度量空间,,,A B C X ⊂,若A 在B 中稠密,B 在C 中稠密,则A 在C 中稠密.证明 由定理1、1知B A ⊂,C B ⊂,而B 就是包含B 的最小闭集,所以B B A ⊂⊂,于就是有C A ⊂,即A 在C 中稠密.□注2:利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass 多项式逼近定理) 闭区间[,]a b 上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限.}(1)多项式函数集[,]P a b 在连续函数空间[,]C a b 中稠密. 参考其它资料可知:(2)连续函数空间[,]C a b 在有界可测函数集[,]B a b 中稠密.(3)有界可测函数集[,]B a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞). 利用稠密集的传递性定理1.3.2可得:(4)连续函数空间[,]C a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞). 因此有[,][,][,][,]p P a b C a b B a b L a b ⊂⊂⊂.定义1.3.2 设X 就是度量空间,A X ⊂,如果存在点列{}n x A ⊂,且{}n x 在A 中稠密,则称A 就是可分点集(或称可析点集).当X 本身就是可分点集时,称X 就是可分的度量空间.注3:X 就是可分的度量空间就是指在X 中存在一个稠密的可列子集.例1.3.1 欧氏空间n R 就是可分的.{坐标为有理数的点组成的子集构成n R 的一个可列稠密子集.}证明 设12{(,,,)|,1,2,,}n n i Q r r r r Q i n =∈=为n R 中的有理数点集,显然n Q 就是可数集,下证n Q 在n R 中稠密.对于n R 中任意一点12(,,,)n x x x x =,寻找n Q 中的点列{}k r ,其中12(,,,)k k k k n r r r r =,使得()k r x k →→∞.由于有理数在实数中稠密,所以对于每一个实数i x (1,2,,i n =),存在有理数列()k i i r x k →→∞、于就是得到n Q 中的点列{}k r ,其中12(,,,)k k k k n r r r r =,1,2,.k =现证()k r x k →→∞.0ε∀>,由()k i i r x k →→∞知,i K ∃∈N ,当i k K >时,有||ki i r x -<1,2,,i n =取12max{,,,}n K K K K =,当k K >时,对于1,2,,i n =,都有||k i i r x -<因此(,)k d r x ε=即()k r x k →→∞,从而知n Q 在n R 中稠密.□例 1.3.2 连续函数空间[,]C a b 就是可分的.{具有有理系数的多项式的全体[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密,而[,]o P a b 就是可列集.}证明 显然[,]o P a b 就是可列集.()[,]x t C a b ∀∈,由Weierstrass 多项式逼近定理知,()x t 可表示成一致收敛的多项式的极限,即0ε∀>,存在(实系数)多项式()p t ε,使得(,)max |()()|2a t bd x p x t p t εεε≤≤=-<另外,由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式00()[,]p t P a b ∈,使得00(,)max |()()|2a t bd p p p t p t εεε≤≤=-<因此,00(,)(,)(,)d x p d x p d p p εεε≤+<,即0()(,)p t O x ε∈,在[,]C a b 中任意点()x t 的任意邻域内必有[,]o P a b 中的点,按照定义知[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密.□例1.3.3 p 次幂可积函数空间[,]p L a b 就是可分的.证明 由于[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密,又知[,]C a b 在[,]p L a b 中稠密,便可知可数集[,]o P a b 在[,]p L a b 中稠密.□例1.3.4 p 次幂可与的数列空间p l 就是可分的.证明 取12{(,,,,0,,0,)|,}o n i E r r r r Q n =∈∈N ,显然o E 等价于1n n Q ∞=,可知o E 可数,下面证o E 在p l 中稠密.12(,,,,)p n x x x x l ∀=∈,有1||p i i x ∞=<+∞∑,因此0ε∀>,N ∃∈N ,当n N >时,1||2p pin N x ε∞=+<∑又因Q 在R 中稠密,对每个i x (1i N ≤≤),存在i r Q ∈,使得||2p pi i x r Nε-<,(1,2,3,,)i N =于就是得1||2p Npiii x r ε=-<∑令0120(,,,,0,,0,)N x r r r E =∈,则11011(,)(||||)()22ppNppppi i iii i N d x x x r xεεε∞==+=-+<+=∑∑因此o E 在p l 中稠密.□例1.3.5 设[0,1]X =,则离散度量空间0(,)X d 就是不可分的.证明 假设0(,)X d 就是可分的,则必有可列子集{}n x X ⊂在X 中稠密.又知X 不就是可列集,所以存在*x X ∈,*{}n x x ∉.取12δ=,则有 ***01(,)(,)2O x x d x x x δ⎧⎫=<=⎨⎬⎩⎭即*(,)O x δ中不含{}n x 中的点,与{}n x 在X 中稠密相矛盾.□思考题: 离散度量空间0(,)X d 可分的充要条件为X 就是可列集.注意:十进制小数转可转化为二进制数:乘2取整法,即乘以2取整,顺序排列,例如 (0、625)10=(0、101)2 0、625⨯2=1、25取1;0、25⨯2=0、50取0;0、5⨯2=1、00取1. 二进制小数可转化为十进制小数,小数点后第一位为1则加上0、5(即1/2),第二位为1则加上0、25(1/4),第三位为1则加上0、125(1/8)以此类推.即1221011(0.)()2nn i ii x x x x ==∑,例如 (0、101)2=1010111(101)(0.625)248=⨯+⨯+⨯=. 因此[0,1]与子集12{(,,,,)0 1}n n A x x x x x ===或对等,由[0,1]不可数知A 不可列.例1.3.6 有界数列空间l ∞就是不可分的.12{(,,,,)=()| }n i l x x x x x x ∞==为有界数列,对于()i x x =,()i y y =∈l ∞,距离定义为1(,)sup ||i i i d x y x y ≥=-.证明 考虑l ∞中的子集12{(,,,,)0 1}n n A x x x x x ===或,则当,x y A ∈,x y ≠时,有(,)1d x y =.因为[0,1]中每一个实数可用二进制表示,所以A 与[0,1]一一对应,故A 不可列.假设l ∞可分,即存在一个可列稠密子集0A ,以0A 中每一点为心,以13为半径作开球,所有这样的开球覆盖l ∞,也覆盖A .因0A 可列,而A 不可列,则必有某开球内含有A 的不同的点,设x 与y 就是这样的点,此开球中心为0x ,于就是001121(,)(,)(,)333d x y d x x d x y =≤+<+=矛盾,因此l ∞不可分.□1.3.2 度量空间的完备性实数空间R 中任何基本列(Cauchy 列)必收敛.即基本列与收敛列在R 中就是等价的,现在将这些概念推广到一般的度量空间.定义1.3.3 基本列设{}n x 就是度量空间X 中的一个点列,若对任意0ε>,存在N ,当,m n N >时,有(,)m n d x x ε<则称{}n x 就是X 中的一个基本列(或Cauchy 列).定理1.3.3 (基本列的性质) 设(,)X d 就是度量空间,则 (1) 如果点列{}n x 收敛,则{}n x 就是基本列; (2) 如果点列{}n x 就是基本列,则{}n x 有界;(3) 若基本列含有一收敛子列,则该基本列收敛,且收敛到该子列的极限点. 证明 (1) 设{}n x X ⊂,x X ∈,且n x x →.则0ε∀>,N N ∃∈,当n N >时,(,)2n d x x ε<,从而n ,m N >时,(,)(,)(,)22n m n m d x x d x x d x x εεε≤+<+=.即得{}n x 就是基本列.(2) 设{}n x 为一基本列,则对1ε=,存在N ,当n N >时,有1(,)1N n d x x ε+<=,记11211max{(,),(,),,(,),1}1N N N N M d x x d x x d x x +++=+,那么对任意的,m n ,均有11(,)(,)(,)2n m n N m N d x x d x x d x x M M M ++≤+<+=,即{}n x 有界.(3) 设{}n x 为一基本列,且{}kn x 就是{}n x 的收敛子列,().kn x x k →→∞于就是,10,N ε∀>∃∈N ,当1,m n N >时,(,)2n m d x x ε<;2N ∃∈N ,当2k N >时,(,)2kn d x x ε<.取12max{,}N N N =,则当n N >,k N >时,k n k N ≥>,从而有(,)(,)(,)22k k n n n n d x x d x x d x x εεε≤+<+=,故()n x x n →→∞.□注4:上述定理1.3.3表明收敛列一定就是基本列(Cauchy 列),那么基本列就是收敛列不？ 例 1.3.7 设(0,1)X =,,x y X ∀∈,定义(,)d x y x y =-,那么度量空间(,)X d 的点列1{}1n x n ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭就是X 的基本列,却不就是X 的收敛列.证明 对于任意的0ε>,存在N ∈N ,使得1N ε>,那么对于m N a =+及n N b =+,其中,a b ∈N ,有11(,)11(1)(1)n m n m a bd x x x x N b N a N a N b -=-=-=++++++++ max{,}1(1)(1)a b a b N a N b Na Nb Nε+<<=<+++++,即得{}n x 就是基本列.显然1lim 01n X n →∞=∉+,故{}n x 不就是X 的收敛列.或者利用1{}{}1n x n =+就是R 上的基本列,可知0ε∀>,N ∃∈N ,当,n m N >时有 1111n m ε-<++.于就是可知1{}1n x n ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭也就是X 上的基本列.□ 如果一个空间中的基本列都收敛,那么在此空间中不必找出序列的极限,就可以判断它就是否收敛,哪一类度量空间具有此良好性质呢？就是完备的度量空间.定义1.3.4 完备性如果度量空间X 中的任何基本列都在X 中收敛,则称X 就是完备的度量空间. 例1.3.8 n 维欧氏空间n R 就是完备的度量空间.证明 由n R 中的点列收敛对应于点的各坐标收敛,以及R 的完备性易得.□ 例1.3.9 连续函数空间[,]C a b 就是完备的度量空间.(距离的定义:[,](,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-)证明 设{}n x 就是[,]C a b 中的基本列,即任给0ε>,存在N ,当,m n N >时,(,)m n d x x ε<即[,]max ()()m n t a b x t x t ε∈-<故对所有的[,]t a b ∈,()()m n x t x t ε-<,由一致收敛的Cauchy 准则,知存在连续函数()x t ,使{()}n x t 在[,]a b 上一致收敛于()x t ,即(,)0()m d x x n →→∞,且[,]x C a b ∈、因此[,]C a b 完备.□例 1.3.10 设[0,1]X C =,(),()f t g t X ∈,定义110(,)|()()|d f g f t g t dt =-⎰,那么1(,)X d 不就是完备的度量空间.(注意到例1、3、9结论(,)X d 完备)证明 设10 021111()() 222111 12n t f t n t t n t n ⎧≤<⎪⎪⎪=-≤<+⎨⎪⎪+≤≤⎪⎩()[0,1]n f t C ∈的图形如图1.3.1所示.显然()[0,1]n f t C ∈,1,2,3,n =.因为1(,)m n d f f 就是下面右图中的三角形面积,所以0ε∀>,1N ε∃>,当,m n N >时,有1111(,)2m n d f f n mε=-<,112m ma =+112n na =+|()()|m n S f t f t dx∆=-⎰图1.3.1 ()[0,1]n f t C ∈图像及有关积分示意图于就是{}n f 就是X 的基本列.下面证{}n f 在X 中不收敛.若存在()f t X ∈,使得1(,)0()n d f f n →→∞.由于1(,)n d f f 10|()()|n f t f t dt =-⎰111221112210|()||()()||1()|n nn f t dt f t f t dt f t dt++=+-+-⎰⎰⎰,显然上式右边的三个积分均非负,因此1(,)0n d f f →时,每个积分均趋于零.推得1212[0,]0()(,1]1t f t t ∈⎧=⎨∈⎩ 可见()f t 不连续,故{}n f 在X 中不收敛,即[0,1]C 在距离1d 下不完备.□表1.3.1 常用空间的可分性与完备性度量空间距离 可分性 完备性n 维欧氏空间(,)nR d(,)d x y √ √ 离散度量空间0(,)X dX 可数 00 (,)1x y d x y x y =⎧=⎨≠⎩当时当时√√ X 不可数× √ 连续函数空间[,]C a b[,](,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-√ √1(,)()()bad f g f x g x dx =-⎰√× 有界数列空间l ∞1(,)sup ||i i i d x y x y ≥=-× √ p 次幂可与的数列空间p l 11(,)||pp p i i i d x y x y ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑√√ p 次幂可积函数空间([,],)p L a b d1[,](,)(|()()|)ppa b d f g f t g t dt =-⎰√√由于有理数系数的多项式函数集0[,]P a b 就是可列的,以及0[,]P a b 在[,]P a b 、[,]C a b 、[,]B a b 以及[,]p L a b 中稠密,可知闭区间[,]a b 上多项式函数集[,]P a b 、连续函数集[,]C a b 、有界可测函数集[,]B a b 、p 次幂可积函数集[,]p L a b 均就是可分的.前面的例子说明n 维欧氏空间n R 以及p 次幂可与的数列空间p l 也就是可分空间,而有界数列空间l ∞与不可数集X 对应的离散度量空间0(,)X d 就是不可分的.从上面的例子及证明可知,n 维欧氏空间n R 就是完备的度量空间,但就是按照欧氏距离(0,1)X =却不就是完备的;连续函数空间[,]C a b 就是完备的度量空间,但就是在积分定义的距离110(,)|()()|d f g f t g t dt =-⎰下,[0,1]C 却不完备.由于离散度量空间中的任何一个基本列只就是同一个元素的无限重复组成的点列,所以它就是完备的.我们还可以证明p 次幂可与的数列空间p l 就是完备的度量空间,p 次幂可积函数空间[,](1)p L a b p ≥就是完备的度量空间,有界数列空间的完备性.通常所涉及到的空间可分性与完备性如表1.3.3所示.在度量空间中也有类似于表示实数完备性的区间套定理,就就是下述的闭球套定理. 定理1.3.4 (闭球套定理)设(,)X d 就是完备的度量空间,(,)n n n B O x δ=就是一套闭球:12n B B B ⊃⊃⊃⊃.如果球的半径0()n n δ→→∞,那么存在唯一的点1n n x B ∞=∈.证明 (1)球心组成的点列{}n x 为X 的基本列.当m n >时,有m m n x B B ∈⊂((,)n n O x δ=),可得(,)m n n d x x δ≤. (2、4)0ε∀>,取N ,当n N >时,使得n δε<,于就是当,m n N >时,有(,)m n n d x x δε≤<,所以{}n x 为X 的基本列.(2)x 的存在性.由于(,)X d 就是完备的度量空间,所以存在点x X ∈,使得lim n n x x →∞=.令(2、4)式中的m →∞,可得(,)n n d x x δ≤即知n x B ∈,1,2,3,n =,因此1n n x B ∞=∈.(3) x 的唯一性.设还存在y X ∈,满足1n n y B ∞=∈,那么对于任意的n ∈N ,有,n x y B ∈,从而(,)(,)(,)20n n n d x y d x x d x y δ≤+≤→()n →∞,于就是x y =.□注4:完备度量空间的另一种刻画:设(,)X d 就是一度量空间,那么X 就是完备的当且仅当对于X 中的任何一套闭球:12n B B B ⊃⊃⊃⊃,其中(,)n n n B O x δ=,当半径0()n n δ→→∞,必存在唯一的点1n n x B ∞=∈.大家知道1lim(1)n n e n→∞+=,可见有理数空间就是不完备的,但添加一些点以后得到的实数空间就是完备的,而完备的实数空间有着许多有理数空间不可比拟的好的性质与广泛的应用.对于一般的度量空间也就是一样,完备性在许多方面起着重要作用.那么就是否对于任一不完备的度量空间都可以添加一些点使之成为完备的度量空间呢？下面的结论给出了肯定的回答.定义1.3.5 等距映射设(,)X d ,(,)Y ρ就是度量空间,如果存在一一映射:T X Y →,使得12,x x X ∀∈,有1212(,)(,)d x x Tx Tx ρ=,则称T 就是X 到Y 上的等距映射,X 与Y 就是等距空间(或等距同构空间).注5:从距离的角度瞧两个等距的度量空间,至多就是两个空间里的属性不同,就是同一空间的两个不同模型.另外度量空间中的元素没有运算,与(,)X d 相关的数学命题,通过等距映射T ,使之在(,)Y ρ中同样成立.因此把等距同构的(,)X d 与(,)Y ρ可不加区别而瞧成同一空间.定义1.3.6 完备化空间设X 就是一度量空间,Y 就是一完备的度量空间,如果Y 中含有与X 等距同构且在Y 中稠密的子集Y',则称Y 就是X 的一个完备化空间.图1.3.2 度量空间X 的完备化示意图定理1.3.5 (完备化空间的存在与唯一性)对于每一个度量空间X ,必存在一个完备化的度量空间Y ,并且在等距同构意义下Y 就是唯一确定的.例 1.3.11 设,(,)x y R ∈=-∞+∞,定义距离(,)|arctan arctan |d x y x y =-,试证(,)R d 不就是完备的空间.证明 取点列{}n x R ⊂,其中n x n =,注意lim arctan 2n n x π→∞=,显然不存在一点x R ∈,使得(,)|arctan arctan |0()n n d x x x x n =-→→∞.所以点列{}n x 在R 中没有极限.由于lim arctan 2x x π→∞=,即0ε∀>,N ∃,当,m n N >时,有|arctan |22m πε-<,|arctan |22n πε-<,于就是(,)|arctan arctan |n m n m d x x x x =-|arctan ||arctan |22n m x x ππε≤-+-<因此点列{}n x 就是基本列,却不就是收敛列.□。
第七章度量空间和赋范线性空间
1
5.p次幂可和数列空间l p , d(x, y) ( yk xk p ) p .
k 1
§3 连续映射
回忆数学分析中连续函数的定义 : 0, 0,当x x0 时,有 f (x) f (x0) .
如同数学分析中的海涅(Heine)定理，可以证明如下结论。
：由T在x0 X连续, 对 0, 0,当d (x, x0 ) 时,有
证明：对 {x(k )} Rn为柯西点列 , x(k ) (x1(k ) , x2(k ) , , xn(k ) ),
n
则对 0, N ,当k, j N , 有d (x(k) , x( j) ) (
1
k) i
x( j) i
2
)2
.
i 1
即对每个i,当k, j N,有 xi(k) xi( j) . 故{xi(k)}是R1中柯西列 ,
xm (t)在[a,b]上收敛于一函数 x(t). 在(*)式中令n ,
当m
N时, 有 max at b
xm (t)
x(t)
,
即xm (t)在[a,b]上一致收敛于 x(t).
定理1.完备度量空间 X的子空间 M是完备空间的充要条件 为 M是X中的闭子空间 .
定理2.设( X , d )是度量空间 , Bn Bn (xn , rn ), (n 1,2, )是X中 一列闭球 ,则X是完备的度量空间的充 要条件是若 Bn Bn1,
d~(Tx,Tx0) 0.
取
1 n
,
则有xn
,
使d
(
xn
,
x0
)
1 n
,
但d~(Txn
,
Tx0
)
0.
这与已知矛盾.
13度量空间的可分性与完备性
1.3度量空间的可分性与完备性在实数空间R中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性•同时，实数空间R还具有完备性，即R中任何基本列必收敛于某实数•现在我们将这些概念推广到一般度量空间.1.3.1度量空间的可分性定义1.3.1 设X是度量空间，A,B X，如果B中任意点x B的任何邻域0(x,)内都含有A的点，则称A在B中稠密•若A B，通常称A是B的稠密子集•注1 : A在B中稠密并不意味着有 A B .例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密.无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数.定理1.3.1 设(X,d)是度量空间，下列命题等价：(1)A在B中稠密；(2)x B，｛xJ A，使得limd (人，x) 0 ;n(3) B A(其中A AU A , A为A的闭包，A为A的导集(聚点集));(4)任取0,有B U O(x,).即由以A中每一点为中心为半径的开球组成的集合x A覆盖B .证明按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得.稠密集的传递性设X是度量空间，A,B,C X，若A在B中稠密，B在定理 1.3.2C中稠密，则A在C中稠密.证明由定理1.1知B A , C B，而B是包含B的最小闭集，所以 B B A，于是有C A，即A在C中稠密.口注2：利用维尔特拉斯定理可证得｛定理(Weierstrass 多项式逼近定理)闭区间［a,b］上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限. ｝(1) 多项式函数集P［a,b］在连续函数空间C［a,b］中稠密.参考其它资料可知：(2) 连续函数空间C［a, b］在有界可测函数集B［a,b］中稠密.(3) 有界可测函数集B［a,b］在p次幕可积函数空间L p［a,b］中稠密(1 p ).利用稠密集的传递性定理1.3.2可得：⑷连续函数空间C［a,b］在p次幕可积函数空间L p［a,b］中稠密(1 p ).因此有P[a,b] C[a,b] B[a,b] L p[a,b].定义1.3.2 设X是度量空间，A X，如果存在点列｛x n｝ A，且｛X n｝在A中稠密,则称A是可分点集(或称可析点集).当X本身是可分点集时，称X是可分的度量空间.注3: X 是可分的度量空间是指在 X 中存在一个稠密的可列子集 .例1.3.1 欧氏空间R n 是可分的.｛坐标为有理数的点组成的子集构成R n 的一个可列稠密子集.｝证明 设Q n ｛( r ,r 2 L ,r n )|n Q,i 1,2,L , n ｝为R n 中的有理数点集，显然Q n 是可数集，下证Q n 在R n 中稠密.d (x,p ) max |x(t) p (t)| 2另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式 p b (t) P 0[a,b]，使得d(p , P o ) max | p (t) P o (t) | -a t b2因此，d(x, p o ) d (x, p ) d(p , p o ) ，即 p o (t) O(x,)，在 C[a,b]中任意点 x(t)的任意邻域 内必有F 0[a,b]中的点，按照定义知P o [a,b]在C[a,b]中稠密.口例1.3.3p 次幕可积函数空间 L p [a, b]是可分的.证明 由于F 0[a,b]在C[a,b]中稠密，又知C[a,b]在L p [a,b]中稠密，便可知可数集F 0[a,b]在L p [a,b]中稠密.口例1.3.4 p 次幕可和的数列空间l p 是可分的.证明 取 E 。
1-2 完备化
n
Y，令 xn=T-1 n，则
(xn，xm) = 1( n， m)
可知 ={xn}的等价类 X1
lim
n
1
( n， ) lim lim ( xn，xm ) 0
n m
我们证明空间 (X1， 1) 的完备性。 取 (X1， 1) 中的 Cauchy列 { n}，构造它在空 间 (X1， 1) 中的极限。
我们证明空间 Y 和空间 X 等距同构。 定义 X Y 的映射 T，对任意 x X，
Tx=常数列{x，x，x， }的等价类。
显然，T 是满射。并且
n
( x，y )
因此，T 是 X
Y 的等距同构映射。
从而，X 在等距同构意义下在 X1中稠密。
我们证明空间 (X1， 1) 的完备性。 取 (X1， 1) 中的 Cauchy列 { n}，构造它在空 间 (X1， 1) 中的极限。
但是，在新的距离下，映射 T 不再是压缩映射 例如：令 X=C[0，1]， 1(x，y)= 0 x(t ) y (t ) dt 则 (X， 1)不完备。
1
定义：设 (X， ) 和 (X1， 1) 为两个度量空间， 映射 ：X X1满足以下条件：
为满射；
(x，y)= 1( x， y)，
x，y X
则称 (X， ) 和 (X1， 1) 是等距同构的，称映 射 为等距同构映射，简称等距同构。 是单射，从而是双射。
定义：设 (X， ) 是一个度量空间，(X1， 1) 是 包含 (X， ) 的最小的完备度量空间，则称 (X1， 1) 为 (X， ) 的完备化空间。
例： Q 的完备化空间为 R ；
例：在 C[a，b] 的距离下，P[a，b] 的完备化 空间为 C[a，b]； 例： 在 L[a，b] 的距离下，C[a，b]的完备化 空间为 L[a，b]。
度量空间的完备性及其特殊性质
ｄ（ｘ，Ｊ，）＝［１ （ （ｆ）一Ｊ，（ｆ）） 】
不是完备 的度量空间． 定理 １ ［０，１】上的可测函数空间（ ［０，ｌ】， ），设ｇ ［ｏ，１］为［Ｏ，１］上实值的可测函数全体且平方可积，ｍ为
ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度，对任意两个可测函数 厂（ｘ）及ｇ（ｘ）．定义
收稿 日期 ：２０１２．０１－２４ 作者简介 ：孙跃娟 （１９８１￣ｙ－－），河南汝州人，讲 师，研究方 向：偏微分方程及其应 用
（ （ ）一厂（ ）） 是 ６ｇ ｅ可积函数，并且有
１（ （ ）一厂（ｘ）） ≤ ：（ （ ）一 （ｘ）） ，
这说明 ｆ— ∈Ｍ ［Ｏ，１］，且当 Ｎ 时
（ ，厂）＝［ ：（ （ ）一厂（ ）） ｄｘ］ｉ≤ ．
又因 ｅ Ｍ［Ｏ，１】，而厂＝［厂一 】＋ ，￣ＰＡ ｆ ｅ Ｍ［Ｏ，１】，因此 厂，Ｌ￣ ＇Ｙ Ｍ［Ｏ，１】是完备的度
ｄ（Ｌ， ）＝
（ （ｘ）一 （ ）） ｄｘ］ｉ＜ １ ，
＝ １，２，…
取 ｍｋ，且使 ＜ ＜… ＜ ＜…，则
ｄ（Ｌ，ｆＢｋ＋１）＜ ，Ｉ ｔ，ｋ＝ｌ ２一．
因此
ｃｏ
［Ｊ。Ｉ（ ＋，
（ ）一厶（ ）） １≤喜 ＜∞．
；｛ｆ Ｈｏｌｄｅｒ不等 式，成 立
所 以 级数
厶＋．（ ）一 （ ）ｌ ［ （ ＋。（ ）一厶（ ）） ＝ （厶＋Ｉ， ）．
量 空 间． １ｅｂｅｓｇｕｅ可测 函数 是 我们在 实变 函数 学 习中的一个核 心 问题，而可测 函数 全体构 成 的度量 空 间课本 上并 没
第 ２期
孙跃娟 等：度量空间的完备性及其特殊性质
２１３
有 明确提 出．同样的，只要被积函数是可积 的，我们类似的可以证明实值可测函数全体，以及复值可测函数全体， 在任意测度有 限的集合上是完备的．在这里我们不再加以证明．
1.6度量空间的可分性和完备性
1.6.1 度量空间的可分性
定义1.6.1（稠密集） 设 X 是度量空间， A，B含于X，若 A 包含 B，则称 A 在 B
中稠密。
定义1.6.2(可分度量空间) 设 X 是一度量
空间，如果存在一个可数子集 M 在 X 中
稠密 ( M = X )，则称 X 为一个可分的度 量空间，否则为不可分的。
1.6.2 序列的收敛和极限 定义1.6.3(收敛序列) 设 ( xn )是度量空间
X 中的序列，若存在 x ∈ X，使得
lim d ( xn , x ) 0
n
则称序列 ( xn ) 在 X 中收敛，x 为序列 ( xn ) 在 X 中的极限，并记作
lim xn x
n
或者简记作 xn → x
引理1.6.4 设 ( X, d )为度量空间，则
（1）在 X 中收敛的序列是有界的；
（2）在 X 中收敛序列的极限是唯一的；
（3）若在 X 中 xn → x， yn → y，则 d (xn, yn ) → d ( x, y ) .
定义1.6.6（基本柯西序列）
设 ( X, d )为度量空间， ( xn ) 是 X 中的序
ρ ( Tx, Ty ) = d ( x, y )
则称 T 为等距映射。
定义1.6.11（等距空间）
如果存在一个从 X 到 Y 的等距映射 T， 则称 X 与 Y 是等距空间。
1.6.3 度量空间的完备性
定义1.6.8（完备度量空间） 如果度量空间 X 中的每个柯西序列均收 敛于 X 中的点，则称 X 为完备的度量空间。
1.6.5 度量空间的完备化
定义1.6.11（等距映射）设( X, d )和( Y, ρ) 是
Rudin数学分析中的度量空间与完备性概念
Rudin数学分析中的度量空间与完备性概念度量空间是数学分析中一个重要的概念，它为我们提供了研究空间中元素之间距离和收敛性的工具。
在Rudin的《数学分析原理》一书中，度量空间和完备性是其中一个重要的主题。
本文将重点介绍Rudin 数学分析中的度量空间与完备性概念。
一、度量空间的定义与性质度量空间是指一个集合X及其上的一个度量d所构成的数学结构。
其中，度量d满足以下性质：1. 非负性：对于任意x, y∈X，有d(x, y)≥0，且当且仅当x=y时取等号。
2. 同一性：对于任意x, y∈X，有d(x, y)=d(y, x)。
3. 三角不等式：对于任意x, y, z∈X，有d(x, y)≤d(x, z)+d(z, y)。
基于度量空间的定义，我们可以得出一些重要的性质。
首先，度量空间中的元素是可比较的。
对于度量空间中的任意两个元素x和y，我们可以通过度量d(x, y)来比较它们之间的距离大小。
其次，度量空间中的元素可以进行加法和乘法运算。
通过定义度量d(x, y)，我们可以将元素x和y进行相加、相减和数乘运算。
最后，度量空间也可以定义收敛性。
一个序列{xn}在度量空间X中收敛到元素x时，即lim(n→∞)d(xn, x)=0。
二、完备性的概念与定理完备性是度量空间理论中一个重要的概念，它描述了度量空间中序列的收敛性。
在Rudin的数学分析中，完备性可以通过序列的柯西性来定义。
柯西序列是指序列{xn}满足对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，当m, n>N时，有d(xm, xn)<ε。
也就是说，柯西序列中的元素随着序号的增加，它们之间的距离会越来越小。
在Rudin的《数学分析原理》一书中，他证明了一个重要的定理：度量空间X是完备的当且仅当它的每一个柯西序列都收敛于该空间中的某个元素。
这个定理为我们在分析度量空间的收敛性时提供了一个重要的判定条件。
三、例子与应用在Rudin的书中，他给出了许多具体的例子来帮助读者理解度量空间和完备性的概念。
【研究生课件应用数学基础】3.度量空间
n
n
=d1(x,y)+d1(y,z). 由于
| xi zi || xi yi | | yi zi | max | xi yi | max| yi zi |
1i n 1i n
因此
max| xi zi | max | xi yi | max| yi zi | .
i 1 i 1 i 1
p
n
p
1 p
n
p
1 p
实际上 (|xi|+|yi|)p=(|xi|+|yi|)p-1(|xi|+|yi|) =(|xi|+|yi|)p-1|xi|+(|xi|+|yi|)p-1|yi|
16
i 1
| xi yi | (| xi | | yi | )
i 1 n p 1 n i 2 i 1
n
n
p
1 p
n
q
1 q
这里，(x1,x2,,xn)T,(y1,y2,,yn)TRn.
12
先证不等式
a b ( a , b a b R ). p q 考虑0<<1,则函数
1 p 1 q
（x)=x–x(0<x<)
的导数为
′（x)=(x1–1) 它在0<x<1为正，在x>1为负。 因此，(x)在x=1取最大值。
i 1
n
2
此外，在Rn上还可以定义其它度量，例如
d 1 ( x, y ) | xi yi |;
n
d ( x, y ) max{| xi yi |}.
1i n
9
i 1
第五节度量空间的完备化
第五节度量空间的完备化第五节度量空间的完备化；第六节压缩映射原理及其应用（2学时）一．教学要求1．了解完备化定理，能够证明度量空间的完备性；2．掌握压缩映射原理，并了解它在分析和方程研究中的应用。
二．教学重点掌握压缩映射原理及其应用。
三．教学过程1．度量空间的完备化我们知道直线上有理数集Q 作为R 的子空间不是完备的，当在Q 中加上“无理数”，它就成为完备的度量空间R ，并且Q 在R 中稠密。
下面我们要考虑：是否每一个不完备的度量空间都可以“扩大”，使其成为一个完备的度量空间的稠密子空间呢？首先介绍几个概念：定义：设)~,~(),,(d X d X 是两个度量空间，如果存在X 到X ~上的保距映射),(),(~:y x d Ty Tx d T =，则称),(d X 和)~,~(d X 等距同构，此时T 成为X 到X ~上的等距同构映射。
在泛函分析中，往往把两个等距同构的度量空间视为同一的。
定理（度量空间的完备化定理）设),(d X X =是度量空间，那么一定存在一完备度量空间)~,~(~d X X =，使X 与X ~的某个稠密子空间W 等距同构，并且X ~在等距同构意义下是唯一的，即：若)?,?(d X也是一完备的度量空间，且X 与X的某个稠密子空间等距同构，则)~,~(d X 与)?,?(d X 等距同构。
如果把两个等距同构的度量空间视为同一，的上述定理可以阐述为：定理：设),(d X 是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间)~ ,~(~d X X =，使得X 为X ~的稠密子空间。
（事实上，做X 到自身的恒等映射，d d ~=即为一等距同构）例：证明∞l 与]1,0(C 的一个子空间等距同构。
证明：∞l 是有界数列的全体，令∞∈l n ,...),...,(1ξξ，]1,0(C 是定义在]1,0(上连续函数全体对于∞∈==l ,....)(,....),(11ηηξξ，有：i i id ηξηξ-=sup ),(对于]1,0()(),(C t y t x ∈，有：)()(sup ),(~]1,0(t y t x y x d t -=∈取子空间：)(t x 如下：n nx ξ=)1(；其余为折线（线性函数）。
第3讲 度量空间的可分性与完备性
− ri
|p
<
εp 2
第 1-3-2页
西安电子科技大学理学院 杨有龙
《线性与非线性泛函分析》
∑ ∑ N
d (x0 , x) = ( | xi
i =1
− ri
|p
∞
+ | xii
i = N +1
1
|p ) p
< (ε p 2
+
ε
p
)
1 p
2
=ε
因此 Eo 在 l p 中稠密．□
例 1.3.5 设 X = [0,1] ，则离散度量空间 ( X , d0 ) 是不可分的．
d (x, y) = 1 ．因为 [0,1] 中每一个实数可用二进制表示，所以 A 与 [0,1] 一一对应，故 A 不可列．
假设
l
∞
可分，即存在一个可列稠密子集
A0
，以
A0
中每一点为心，以
1 3
为半径作开球，所
有这样的开球覆盖 l∞ ，也覆盖 A ．因 A0 可列，而 A 不可列，则必有某开球内含有 A 的不同的 点，设 x 与 y 是这样的点，此开球中心为 x0 ，于是
x∈A
覆盖 B ． 证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得． 定理 1.3.2 稠密集的传递性 设 X 是度量空间，A, B,C ⊂ X ，若 A 在 B 中稠密，B 在 C
中稠密，则 A 在 C 中稠密． 证明 由定理 1.1 知 B ⊂ A ， C ⊂ B ，而 B 是包含 B 的最小闭集，所以 B ⊂ B ⊂ A ，于是
1
=
d ( x,
y)
≤
d ( x,
x0 )
+
柯西点列和完备度量空间
教学单元教案格式课程教案授课题目：第三节度量空间中的基本概念柯西点列和完备度量空间教学时数：授课类型：□理论课□实践课教学目的、要求：注：指教学中要体现“课程的总体目标”和“章、节或实践教学单元的目标”、预期达到的效果等。
注：指该章、节的重点和难点部分，学生必须掌握的知识点和技能。
实践教学还包括实践操作训练的主要指导要点；关键环节、关键技术指导方法等。
教学重点：教学难点:教学方法和手段：注：是根据教学目的进行教学方式（讲授、演示、实验、实作、讨论、案例分析、仿真或真实现场实作指导等）、教学辅助手段（教具、模型、图表、实物、现代教学设施设备，以及特殊教学或实践环境等）、师生互动、板书等的设计。
要能有效地调动学生的学习积极性，促进学生的积极思考，激发学生的潜能。
注：以下内容按实际需要进行取舍教学分组；注：指导教师及学生分组情况说明安全事项；注：教学实践过程中的人身、设备、仪器及产品等安全；操作安全规范说明；或安全隐患防范措施等。
教学条件；注：教学场地、设施、设备、软件等要求说明；参考资料；注：是提供给学生课后参考，辅助其掌握课程教学内容，扩大知识面的资料其它；注：指另行增加的要素项目，由各系、教研室根据不同专业不同课程的教学需要自行规定第页课程教案1定理：完备度量空间X的子空间M是完备的充要条件是M是X中的闭子空间。
注：这一定理的优势是在判断完备度量空间X的子空间M是否完备不需要验证M中的任一Cauchy列都在M中收敛，而只需判断M中任意收敛点列的极限是否还在M中。
2例子C X=( n)nL|lim n 1n y~ X = n，y 二n - C 定义d(x, y) =sup * —S|n命题：C是完备的。
四不完备度量空间的例子1 P[a,b]不是完备的P[a,b]表示闭区间[a,b]上多项式函数全体V p,q E P[a,b],定义d(p,q) =maX〔p(t) -q(t)|a生尘注：作为度量空间，P[a,b]是C[a,b]的子空间，这表明P[a,b] 在C[a,b 冲不是闭的。
完备空间
完备空间完备空间或者完备度量空间是具有下述性质的空间：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。
例子∙有理数空间不是完备的，因为的有限位小数表示是一个柯西序列，但是其极限不在有理数空间内。
∙实数空间是完备的∙开区间(0,1)不是完备的。
序列(1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...)是柯西序列但其不收敛到任何(0, 1)中的点。
∙令S为任一集合，S N为S中的所有序列，定义S N上序列(x n)和(y n)的距离为1/N，其中若的最小索引存在则N为该索引否则N为0。
按此方式定义的度量空间是完备的。
该空间同胚于离散空间S的可数个副本的积。
[编辑]直观理解直观上讲，一个空间完备就是指“没有孔”且“不缺皮”，两者都是某种“不缺点”。
没有孔是指内部不缺点，不缺皮是指边界上不缺点。
从这一点上讲，一个空间完备同一个集合的闭包是类似的。
这一类似还体现在以下定理中：完备空间的闭子集是完备的。
[编辑]相关定理∙任一紧致度量空间都是完备的。
实际上，一个度量空间是紧致的当且仅当该空间是完备且完全有界的。
∙完备空间的任一子空间是完备的当且仅当它是一个闭子集。
∙若X为一集合，M是一个完备度量空间，则所有从X映射到M的有界函数f的集合B(X, M)是一个完备度量空间，其中集合B(X, M)中的距离定义为：∙若X为一拓扑空间，M是一个完备度量空间，则所有从X映射到M的连续有界函数f的集合C b(X,M)是B(X, M)（按上一条目的定义）中的闭子集，因而也是完备的。
∙贝尔纲定理：任一完备度量空间为一贝尔空间。
就是说，该空间的可数个无处稠密子集的并集无内点。
[编辑]完备化[编辑]定义对任一度量空间M，我们可以构造相应的完备度量空间M'（或者表示为），使得原度量空间成为新的完备度量空间的稠密子空间。
M'具备以下普适性质：若N为任一完备度量空间，f为任一从M到N的一致连续函数，则存在唯一的从M'到N的一致连续函数f'使得该函数为f的扩展。
第二章 线性空间与度量空间(理工大)
§2.3 距离空间
பைடு நூலகம் X , Y xi yi
i 1
n
2 X , Y xi yi i 1 X , Y max xi yi
n i
1
2
10
§2.3 距离空间－收敛
• 收敛： 度量空间W , 中的点列 xn n 1 收敛于x0
空间。
5
§2.1 线性空间
• 线性空间W上的算子L为线性算子
N N L i Xi i L Xi i 1 i 1
• 零状态线性系统系统算子为线性算子
6
§2.2 线性子空间
• 线性子空间：设 Ø ≠V W， V是W的线性 子空间 对X, Y V , , , 有 X + Y V • 直和：设 W1 , W2 ,, Wp是W的子空间,若X W ,
– 例：
1 n 1 n
, W [ 0,1 , X Y ,
X , Y W
n 1
1 是柯西序列,但 0, n , 0 [ 0,1 n n 1
13
§2.3 距离空间－完备度量空间
• 完备度量空间——Complete Metric Space W , 称为完备度量空间，指其中所有柯 西序列都收敛。
ii. X, Y Y, X （可交换性） iii. X, Z X, Y Y, Z （三角不等式）
i. X, Y 0, 且 X, Y 0 X = Y （正定性）
• X, Y 称为W上的距离， W , 为度量空间。
ⅴ. X + Y = Y + X （交换律）
柯西Cauchy点列和完备度量空间
n
维欧氏
空间 Rn 则是完备的度量空间.在一般的度量空间中，柯西点列不一定收敛，但是度量空间中
的每一个收敛点列都是柯西点列.实际上，如果 xn xn , 那么对任何正数 0,
存在N N , 使当n N 时，有
d
x
,
n
x
2.
因此，当 n, m N 时，由三点不等式，得到
d
x
,
n
xm
d
x
b
a
xt -yt dt , x,y
X.
首先回忆一下 R中1 柯西点列的定义.设xn 是 R1 中的点列，如果对任意给定的整数 0,
x x x x 存在正整数N N 当, n,m N时有 d
,
nm
n
m , 则称是中的柯西点列.类似地可以
定义度量空间中的柯西点列.
x x 定义1 设X X,d 是度量空间，xn 是X 中的点列,如果对任何事先给定的整数 0,
(4)
因此对任何 t a,b , 有 xm t xn t .
这说明当 t 固定时，xn t , n 1, 2,L 是柯西数列，所以存在 x t , 使
下面证明 xt 是 a,b上连续函数，且 xm x m .
xmt xt.
事实上，在（4）中令 n ,那么可以得到当 m N 时，成立
由前述，xn是M中柯西点列，所以在M中收敛，由极限的唯一性可知 x M ,即 M M ,
x 所以M M ,因此M是闭子空间.
反之，如果 xn是M中柯西点列，因X是完备度量空间，所以存在 x X ,使
n xn ,
由于M是X中闭C子空间，所以 x M,即xn在M中收敛.这就证明了M是完备度量空间.证毕.
d
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X
按 d 成为度量空间。
（2）作
X 的稠密子空间 W ，及
对每个 b X ，令 b 令
WT X，因
Tb b d ( T b , T a ) d ( b , a ) l i m d ( b , a ) d ( b , a )
n
b , n 1 , 2 bn ，其中 b n
1 1 d ( x , x ) d ( x ,) z d ( z , x ) d ( z , x ) l i m d ( z ,) z n n n n n n m m n n d (x )0 n,x 但上式右边当 n 足够大时，可以小于事先给定的任意正数 ，所以lim
第五节 度量空间的完备化
教学目标
1.掌握等距同构和等距同构映射的定义 2.了解度量空间的完备化定理
教学重点和难点
如何把一个不完备的度量空间加以“扩大”，即成为某个 完备 度量空间的稠密子空间。
教学过程
Q
Q
R
1
R R
1
1
Q
R
1
Q
, ) ,(Xd , ) 是两个度量空间，如果存在 X 到 X 上的 定义1 设 (Xd 保距映射 T ，即 d ，则称 ( X , d ) 和 ( X , d ) 等距同构， ( T x , T y ) d (, x y ) 此时 T 称为 到 上的等距同构映射。
等价于l ，即x im d (x 0 n, y n)
n
y
。此外，若 x x y y n n, n n ,z
为
X 中任意三个元素，则
n n n
z n
d ( x , y ) l i m d ( x , yd ) l i m ( x , z ) l i m d ( y , z ) d ( x , z ) d ( y , z ) n n n n n n
n n
即要指出 d ( x , y与用来表示 )
x
与 y 的具体柯西点列 x n 和 y n 无关。事实上，类似于
不等式（3）的证明，可以得到
n nn n
d ( x , yd ) ( x , y ) d ( x ,) xd ( y , y ) nn nn nn nn
, d ) 也是一完备的
与
X
的某个稠密子空间等距同构，则 (X
, d )与 ( X , d )
我们分成四步来证明
X (X,d)
令
X 为 X 中柯西点列x xn 全体，对 X 中任意两个元素， x xn
y yn，如果
则称
x
与
y
相等，记为
x
l im d (x 0 n, y n) n y ，或 xnyn。对 X
X
到
W
Байду номын сангаас
的等距映射
T
，显然 b
X
所以 T 是 X 到 上的等距映射。即 子集，对任何 x x ，令 X
W
n
，因 x xn 是 时，
xn x j
X
与 等距同构。下证 是 X 中的稠密 ，其中 x x ,j 1 , 2 , ，则
j n
W
W
x W
，于是 d ( xn , xN ) d (, x x ) l i m d ( xx ,N ) N n n 2 2 这说明在 x 的任何 -领域中必有W 中的点，所以 W 在 X 中稠密。
（1） 中任意两点 x xn （2）
及 y yn ，定义
n 我们首先指出上式右端极限存在。事实上，由三点不等式
d (, xy ) l i m d ( x ,y ) n n
类似也有 由此得到
，所以 d ( x ,)( y d x ,)( x d x ,)( y d y ,) y n n n m m m m n d ( x ,)( y d x ,)( y d x ,)( x d y ,) y n n m m n m n m d ( x ,)( y d x ,)( y d x ,)( x d y ,) y m m n n n m n m d ( x , y ) d ( x , y ) d ( x , x ) d ( y , y )（3) m m nn nm nm
（3）证明
X
中柯西列，所以对任何正数
，存在正整数
N
，使得当 n
N
设 xn 是X
使
X 是完备的度量空间
中柯西点列。因
1 d ( xn , z n ) n
W
在
X 中稠密，所以对每个 x n ，存在 zn W
（4）
1 1 d ( z ,) z d ( z , xd )( x ,) xd ( x ,) z d ( x ,) x m n m n m m n n m n m n 1 由此可知 z m 是 W 中柯西点列。因为 T 是 X 到W 上等距映射，令 zm T zm 则 z m 是 X 中柯西点列，令 x z ，则 x X，又由（4） m
由于 x n 和 y n 是
X
中柯西点列，所以
d(xn, yn) 是R
1
中柯西点列，因此（2）
中极限存在。
x x y y 其次，我们指出，如果 n n, n n ，则
l i m d ( xy ,n ) l i m d ( xy ,n ) n n
由l ，可知 i m d (, x x )0 , l i m d (, y y )0
nn
l i m d ( xy ,n ) l i m d ( xy ,n ) n n
n n
, y) 0 最后证明 d ( x , y ) 满足关于距离条件 1及2。 d ( x , y ) 显然非负，又 d(x
X
在泛函分析中往往把两个等距同构的度量空间不加区别而视为同一的。 定理1 （度量空间的完备化定理） 设 一定存在一完备度量空间， X (X,d)使 等距同构，并且
X
X (X,d)是度量空间，那么
与
X
X
的某个稠密子空间
W
度量空间，且
等距同构。 证明 （1）构造
X
X
在等距同构意义下是唯一的，即若 ( X