物理奥赛辅导第三讲动力学一般问题与特殊问题

第三讲动力学一般问题与特殊问题

一、知识点击

1．惯性系与牛顿运动定律

⑴惯性系：牛顿运动定律成立的参考系称为惯性参考系．地球参考系可以很

好地近似视为惯性参考系一切相对地面静止或匀速直线运动的参考系均可视为惯性参考系．

⑵牛顿运动定律

牛顿第一定律：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止．牛顿第一定律也称为惯性定律．

牛顿第二定律：物体的加速度与其所受外力的合力成正比，与物体的质量成反比，其方向与合外力的方向相同．即F ma

．常作正交分解成：

F x=ma x F y=ma y F z=ma z

牛顿第三定律：两个物体之间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一直线上．

2．联结体

所谓“联结体”就是一个系统内有若干个物体，它们的运动情况和受力情况都一种关系联系起来．若联结体内（即系统内）各物体只有相同的加速度时应先把这联结体当成一个整体（看成一个质点）．分析这类问题的一般方法是：

（l）将系统中的每个物体隔离开来分别进行受力分析；

（2）对每个物体用牛顿第二、三定律列方程，有的物体可以列互为正交方向上的两个方程；

（3）根据具体情况确定各物体的运动特征量般（如速度、加速度）之间的关系．

在解决联结体问题时确定齐物体加速度之间的关系是｝分币要的．

3．非惯性系

牛顿第一、二定律只适用十某一类参考系、这类参考系叫惯性系．比如地面就是一个相当好的惯性系，太阳是一个非常好的惯性系，一般我们认为，相对地面没有加速度的参考系，都可视为惯性系，相对地而有加速度的参考系，都可视为非惯性系．

在非惯性系中，为了使牛顿第一、二定律在形式上仍然成立，我们可以给每个物体加上一个惯性力F 0．F 0的大小为ma 0（m 为研究的物体，a 0为所选参考系相对地而的加速度）， F 0的方向和a 0的方向相反．如果取一个转动的参考系，则要加上惯性离心力F 0=m ω2 R 。

惯性力是一个假想的力，完全是为了使牛顿第一、二定律在非惯性系中也能成立而人为地想象出来的，实际上并不存在．惯性力不存在施力物体，也没有反作用力．惯性力从其性质上来说，也是一个保守力，所以在有些场合也会讨论惯性力的势能．

3．质心运动问题

质心是物体质量中心，由几个质点组成的质点系，若这几个质点所在的位置分别是(x 1，y 1，z 1）、(x 2，y 2，z 2)……则系统的质心位置为

i i i i m x

x m =∑∑ i

i i i m y y m =∑∑ i i i i m z z m =∑∑

二、方法演练

类型一、牛顿第二定律是动力学的核心，特别是质点系的牛顿第二定律解

题时应用起来特别灵活多变，是解决复杂的动力学问题的主要手段。 例1．如图3—1所示，车厢B 底面放一个物体A ，已知它们的质量m A =20 kg ，m B =30 kg ，在水平力F ＝120 N 作用下，B 由静止开始运动，2s 内移动5 m ，不计地面摩擦，求A 在B 内移动的距离．

分析和解：本题中由于不计地面摩擦，系统的和外

力就 为F ，而在和外力作用下，系统内A 、B 都

要产生加速度，故须应用质点系的牛顿第二定律求

解。

对整体（质点系）利用牛顿第二定律有

F=m A a A +m B a B ，即 120=20a A +30a B

又212B S a t =，5/2B a m s =，9/4A a m s = 21 4.52

A A S a t m == 即5 4.50.5A

B S m m m =-=

例2．一绳跨过装在天花板上的滑轮，绳的一端吊一质量为M 的物体，另一端挂一载人梯子，人的质量为m ，系统处于平衡状态，不计摩擦及滑轮与绳的质量，如图3—2所示，要使天花板受力为零，试求人应该如何运动． 分析和解：本题中要天花板受力为零，意味着质点系（整体）

质心的加 速度为g ，竖直向下，处于完全失重状态．因运

动前系统处于平衡状态，所以梯子的质量为M-m 。

由题意知，M 向下的加速度为g ，而梯子与人的质心向下的

加速度也应为g ，才能使天花板受力为零．利用质点系的牛

顿第二定律有

1

c i i i Ma m a ==∑

()Mg M m g ma =--+（取向下为正）

(21)M a g m

=-（方向向下） 类型二、联结体的动力学问题是一类常见的问题，解题时除应考虑用整体法和隔离法外，还要特别注意是杆系、绳系速度、加速度的关联的类别以及物系内各物体之间是否存在相对速度和相对加速度．

例3．绳EF 一端系于轻杆AB 中间，如图3—3所示，一端固定在天花板上，轻杆两端各有一质量为m 的小球，并通过AC 、BC 两

绳系住一质量为M 的小球C ，不计绳的质量及绳的体

积且AC=BC=AB ，求剪断BC 绳的瞬间，EF 绳的张力

T 。

分析和解：本题首先是一个联结体的问题，物体系通

过杆、

绳连结，受力比较复杂，但同时还是一个力的瞬时性

问题，

连结的杆绳一发生状态或连结情况的变化，所受力立即发

生变化，物系的加速度也将发生瞬时性变化。

设正三角形ABC 边长为l ，剪断BC 绳瞬间AC 绳张力为T 。

如图3—4， A 球的加速度可分解为水平方向x a 及竖直方向y a ．

注意到剪断BC 瞬间T EF 方向竖直向上。

2cos x ma T θ=

22()sin 22

l l m T αθ⋅=⋅ 2

y l a α=⋅ 由以上三式得：cos 2x T a m θ=，sin 2y T a m

θ= 对于C ，设其沿绳方向加速度为0a ，则有0sin Ma Mg T θ=-，0sin T a g M

θ=- 又 剪断BC 后，AC 绳仍绷紧，且A 、C 无相对转动，所以A 、C 在沿绳方向加速度相等，即0cos sin x y a a a θθ=+

将0a 、x a 、y a ，值代人上式，解得2sin 2mM T g m M

θ=+ 对于T EF ，考虑AB 杆，注意到其在EF 绳限制下质心无竖直方向加速度．(87)2sin 2(2)

EF m m M T mg T g m M θ+=+=+ 例4．如图3—5所示，装有滑轮的桌子，质量m 1=15kg 。桌子可以无摩擦地沿水平面上滑动，桌子上放质量m 2=10 kg 的重物A ，重物A 与桌面间的摩擦因数μ=0.6，当绕过滑轮的绳受到F=78.4 N 的水平拉力时，求：（1）桌的加速度；（2）当拉力沿竖直方向时，桌的加速度．

分析和解：本题为联结体问题，但本题的关键是重物与桌面间是否发生相对运动，解题时要先通过计算作出判断，才能最后确定列式解题的

依据。

（1）当拉力为水平方向时，桌子在水平方向受到三个

力作用：上滑轮的绳子拉力F '，水平向左；下滑轮绳

子的拉力F ，水平向右；重物对桌的摩擦力f ，水平向