数学分析课本(华师大三版)-习题及答案4

1.按定义证明下列函数在其定义域连续:()||.f x x =

2. 指出下列函数的间断点,并说明其类型:

(1).()[|cos |];f x x =

(2) ()sgn(cos );f x x =

（3）,();,x x f x x x ⎧=⎨-⎩为有理数

为无理数

1,77(4) (), 71

1(1)sin ,11x x f x x x x x x ⎧-∞<<-⎪+⎪=-≤≤⎨⎪-<<+∞⎪-⎩

3.延拓下列函数,使其在R 上连续.

(1) 38();2

x f x x -=- (2) 21();cox f x x -= (3) 1()cos .f x x x = 4. 证明:若f 在点0x 连续,则2||,f f 也在0x 连续.又问:若2

||,f f 都在I 连续,那么f 在I 上是否必连续.

5. 设,f g 在点0x 连续,证明:

(1) 若00()(),f x g x >则存在0(;),U x δ使在其内有()();f x g x >

(2) 若在某00()U x 内有()(),f x g x >则()(),f x g x >则00()().f x g x ≥

6．设,f g 在区间I 上连续。记()max{(),()},()min{(),()}.F x f x g x G x f x g x ==证明F 和G 都在I 连续。

7．设f 为R 上连续函数，常数0,c >记 ,()()(),|()|,,()c f x c F x f x f x c c f x c -<-⎧⎪=≤⎨⎪>⎩

若若若

证明()F x 在R 上连续。

提示：()max{,min{,()}}.F x c c f x =-

8．设,0()sin ,(),,0

x x f x x g x x x ππ-≤⎧==⎨+>⎩证明：复合函数f g 在0x =连续，但g 在0x =不连续。

证：因00

lim ()lim (),x x g x x ππ++→→=+=00lim ()lim (),x x g x x ππ--→→=-=-00lim ()lim (),x x g x g x +-→→≠故()g x 在0x =不连续。

当0x ≤时，(())sin()sin ,f g x x x π=-=-当0x >时，(())sin()sin ,f g x x x π=+=-故(())sin f g x x =-在0x =连续。

9．设f 在[,)a +∞上连续，且lim ()x f x →+∞

存在。证明：f 在[,)a +∞上有界。又问f 在[,)a +∞上必有最大值或是小值吗？

10．若对任何充分小的0,f ε>在[,]a b εε+-上连续，能否由此推出f 在(,)a b 上连续。

11．求极限

（1）4

lim()tan ;x x x ππ→- （2）1x +→ 12．证明：若f 在[,]a b 上连续，且对任何[,]x a b ∈，()0,f x ≠则f 在[,]a b 上恒正或恒负。

13．证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根。

14．试用一致连续的定义证明：若,f g 都在区间I 上一致连续，则f g +也在I 上一致连续。

15．证明：()f x =[0,)+∞上一致连续。

16．证明：2()f x x =在[,]a b 上一致连续，但在(,)-∞+∞上不一致连续。