《材料力学》第7章应力状态和强度理论习题解..pdf

第七章 应力状态和强度理论 习题解
[ 习题 7-1] 试从图示各构件中 A 点和 B 点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。
[ 习题 7-1 （ a）]
解： A 点处于单向压应力状态。
N F 2F 4F
A
A
1 d2
d2
4
[ 习题 7-1 （ b）] 解： A 点处于纯剪切应力状态。
T
T
16T
A
WP
600 。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为 1cm 代表 10MPa 。按比例尺量得斜面的应力为：
1200
25MPa ， 1200 26MPa ； 1 20MPa ， 3
40MPa ； 0
00 。
3
1
单元体图
应力圆（ O.Mohr 圆）
主单元体图
[ 习题 7-8 （ b）]
解：坐标面应力： X（ 0， 30）； Y（ 0， -30 ）
30 0 。根据以上数据作出如图所示的应力
圆。图中比例尺为 1cm 代表 20MPa 。按比例尺量得斜面的应力为：
600
50MPa ， 600 0 ； 2 50MPa ， 3
50MPa 。
7
3 2
单元体图
应力圆（ O.Mohr 圆）
主单元体图
[ 习题 7-8 （ d）]
解：坐标面应力： X（ 0，-50 ）； Y（ -20 ，50）
（0）
0.9
10
20
Fmax, N （ [ ] A ）
1.000 1.031
1.132
47.754 4.386
Fmax,T （ [ ] A ）
2.334
30 1.333 1.732
36.8833 1.563 1.562
Leabharlann Baidu40
50
60
1.704 2.420 4.000
1.523 1.523 1.732
5.000 4.000 3.000 2.000 1.000 0.000
2
x sin 2
FF
F 1 cos2
cos 2
[]
2 A 2A
A2
F 1 cos 2 []
A2
F cos2
[]
A
[ ]A F cos2
F max, N
[ ]A cos2
x
y
sin 2
2
x cos 2
F sin 2
2A
3 [] [ ]
4
1.5[ ] A F
sin 2
F max,T 1.5[ ] A sin 2
则 值应取多大？若杆的横截面面积为 1000mm2 ，试确定其最大许可荷载。
解： 由上题计算得： F max,N
[ ]A cos2
x
y
sin 2
2
x cos 2
F sin 2
2A
[ ]A F
sin 2
F max,T
[ ]A sin 2
[ ] 0.5[ ]
（ 0）
0.9
10
20
26.565051
30
40
4
[ 习题 7-5] 试根据相应的应力圆上的关系，写出图示单元体任一斜面
m n 上正应力及切
应力的计算公式。设截面 m n 的法线与 x 轴成 角如图所示（作图时可设 | y | | x | ）。
解：坐标面应力： X（ x ， 0）； Y（ y ， 0）
设 m n 斜面的应力为 M（ ， ）。 X、Y 点
单元体图
应力圆（ O.Mohr 圆）
主单元体图
9
[ 习题 7-10] 已知平面应力状态下某点处的两个截面的的应力如图所示。
点处的主应力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角
值。
试利用应力圆求该
平面应力状态下的两斜面应力
应力圆
解：两斜面上的坐标面应力为： A（ 38， 28）， B（ 114， -48 ） 由以上上两点作出的直线 AB 是应力圆上的一条弦， 如图所示。作 AB的垂直平分线交水平坐标轴于 C
[ 习题 7-9 （ a）] 解：坐标面应力： X（ 130， 70）； Y（ 0，-70 ）。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为 1cm 代表 20MPa 。按比例尺量得斜面的应力为：
1 160.5MPa , 2 0MPa ， 3 30.5MPa ； 0 23056' 。
单元体图
应力圆（ O.Mohr 圆）
8
主单元体图
[ 习题 7-9 （ b）] 解：坐标面应力： X（ -140 ，-80 ）； Y（ 0， 80）。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为 1cm 代表 40MPa 。按比例尺量得斜面的应力为：
1 36.0MPa , 2 0MPa ， 3 176MPa ； 0 65.60 。
单元体图
最大荷载随角度变化曲线 Fmax,N,Fmax,T
斜面倾角 ( 度）
0
10
20
30
40
50
60
Fmax,N
Fmax,T
3
由以上曲线可知，两曲线交点以左， 由正应力强度条件控制最大荷载； 交点以右， 由切应力
强度条件控制最大荷载。由图中可以看出，当
600 时，杆能承受最大荷载，该荷载为：
Fmax 1.732[ ] A [ 习题 7-4] 若上题中拉杆胶合缝的许用应力 [ ] 0.5[ ] ，而 [ ] 7MPa ，[ ] 14MPa ，
作图法（应力圆法）与解析法（公式法）的结果一致。
[ 习题 7-7] 试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为
下 40mm 的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与
0.72m 的截面上，在顶面以 x 轴之间的夹角。
解：（ 1）求计算点的正应力与切应力
My Iz
12My bh3
12 10 0.72 106 N mm 40mm 80 1603 mm4
1 d3
d3
16
6
16 8 10 N mm 3.14 803 mm3
79.618MPa
[ 习题 7-1 （ b）] 解： A 点处于纯剪切应力状态。
MA 0
RB 1.2 0.8 2 0.4 0
RB 1.333(kN )
1
A A
QA RB 1.333( kN)
Q A 1.5
A
1333N 1.5 40 120 mm2
范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应力分别与
相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力
[ ] 为许用拉应力 [ ] 的 3/ 4 ，且这一拉杆
2
的强度由胶合缝强度控制。为了使杆能承受最大的荷载
解： x
F
；y
A
0； x 0
F，试问 角的值应取多大？
x
y
2
x
y
cos 2
30 0 。根据以上数据作出如图所示的应力
圆。图中比例尺为 1cm 代表 10MPa 。按比例尺量得斜面的应力为： 600 26MPa ， 600 15MPa ； 1 30MPa ， 3 30MPa ； 0
450 。
单元体图
应力圆（ O.Mohr 圆）
主单元体图
[ 习题 7-8 （ c）]
解：坐标面应力： X（ -50 ，0）； Y（ -50 ， 0）
0.312 MPa
MA
A
Wz
39.3 103 N m m 1 3.14 20 3 m m3
50 .064 MPa
32
T
78.6 103 N m m
A
WP
50.064MPa 1 3.14 203 m m3
16
B
B
A
A
[ 习题 7-2] 有一拉伸试样，横截面为 40mm 5mm 的矩形。在与轴线成
切应力 解： x
10.55MPa
QS
* z
10 103 N (80 40) 60m m3
I zb
1 80 160 3 m m4 80m m
12
（ 2）写出坐标面应力 X （ 10.55 ， -0.88 ） Y（ 0， 0.88 ）
(3) 作应力圆求最大与最小主应力，
并求最大主应力与 x 轴的夹角
作应力圆如图所示。从图中按 比例尺量得：
主应力为：
1 x r 86 55.57 141.57MPa
2 x r 86 55.57 30.43MPa 30
（2）主方向角
0.88MPa
1 10.66MPa
3 0.06MPa
0 4.750
6
[ 习题 7-8] 各单元体面上的应力如图所示。试利用应力圆的几何关系求： （ 1）指定截面上的应力； （ 2）主应力的数值； （ 3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。
[ 习题 7-8 （ a）]
解：坐标面应力： X（ 20， 0）； Y（ -40 ， 0）
应力圆（ O.Mohr 圆）
主单元体图
[ 习题 7-9 （ c）] 解：坐标面应力： X（ -20 ， -10 ）； Y（ -50 ， 10）。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为 1cm 代表 10MPa 。按比例尺量得斜面的应力为：
1 0MPa , 2 16.25MPa ， 3 53.75MPa ； 0 16.10 。
按比例尺量得斜面的应力为：
600 0.1625MPa
600 0.065MPa
按习题 7-5 得到的公式计算如下：
x
y
2
x
y
cos 2
2
5
60 0
0.05 0.2 2
0.05
0.2 cos(
120 0 )
2
0.1625 MPa
x
y
sin 2
2
60 0
0.05
0.2 sin(
120 0 )
2
0.065MPa
0.417MPa
A
B 点处于平面应力状态
B
MBy Iz
1.333 0.3 10 6 N m m 30m m 1 40 120 3 m m4
2. 083 MPa
12
QS
* z
B
I zb
1333N (40 30) 45m m3 1 40 120 3m m4 40m m 12
[ 习题 7-1 （ d）] 解： A 点处于平面应力状态
点，则 C 为应力圆的圆心。设圆心坐标为 C（ x,0 ）
则根据垂直平线上任一点到线段段两端的距离相等 性质，可列以下方程：
(x 38) 2 (0 28) 2
(x 114)2 (0 48)2
解以上方程得： x 86 。即圆心坐标为 C（86， 0）
应力圆的半径：
r (86 38)2 (0 28)2 55.570
作出如图所示的应力圆。 由图中的几何关系可知：
NO (O1O O1 N )
(| x |
x
y
2
x
y
cos2 )
2
(x
x
y
2
x y cos 2 ) 2
2x (
x
y
x
y cos2 )
2
2
x
y
2
x
y
cos 2
2
OM sin 2
x
y
sin 2
2
[ 习 题 7-6] 某 建 筑 物 地 基 中 的 一 单 元 体 如 图 所 示 ， y 0.2MPa （ 压 应 力 ） ，
单元体图
应力圆（ O.Mohr 圆）
主单元体图
[ 习题 7-9 （ d）] 解：坐标面应力： X（ 80， 30）； Y（ 160， -30 ）。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为 1cm 代表 20MPa 。按比例尺量得斜面的应力为：
1 170MPa , 2 70MPa ， 3 0MPa ； 0 71.60 。
50
Fmax,N （ [ ] A ） 1.000
1.031
1.132
1.250
1.333 1.704 2.420
Fmax,T （ [ ] A ） 31.836
2.924
1.556
1.250
1.155 1.015 1.015
60 4.000 1.155
5.000 4.000 3.000 2.000 1.000 0.000
150 MPa 时，试样上将出现滑移线。试求试样所受的轴向拉力
F
；
A
y
0； x
0
450 角的面上
F。
45 0
x
y sin 900
2
x cos90 0
F
45 0
2A
出现滑移线，即进入屈服阶段，此时，
F
450
150 2A
F 300 A 300 N / mm2 40 5mm 2
60000 N
60kN
[ 习题 7-3] 一拉杆由两段沿 m n 面胶合而成。 由于实用的原因， 图中的 角限于 0 ~ 600
0
最大荷载随角度变化曲线 Fmax,N,Fmax,T
斜面倾角 ( 度）
10
20
30
40
50
60
Fmax,N
Fmax,T
由以上曲线可知，两曲线交点以左， 由正应力强度条件控制最大荷载； 交点以右， 由切
应力强度条件控制最大荷载。 由图中可以看出， 当
26.5650510 时，杆能承受最大荷载，
该荷载为： Fmax 1.25[ ] A 1.25 14N / mm2 1000mm2 17500N 17.5kN
x 0.05MP a（压应力）。试用应力圆求法线与 x 轴成顺时针 60 0 夹角且垂直于纸面的
斜面上的正应力及切应力，并利用习题 7-5 中得到的公式进行校核。 解：坐标面应力： X（ -0.05 ，0）； Y（-0.2 ， 0）
600 。根据以上数据作出如图所示的应 力圆。图中比例尺为 1cm 代表 0.05MPa 。
0 0 。根据以上数据作出如图所示的应力
圆。图中比例尺为 1cm 代表 20MPa 。按比例尺量得斜面的应力为： 450 40MPa ， 450 10； 1 41MPa , 2 0MPa ， 3 61MPa ； 0
39035' 。
单元体图
应力圆（ O.Mohr 圆）
主单元体图
[ 习题 7-9] 各单元体如图所示。试利用应力圆的几何关系求： （ 1）主应力的数值； （ 2）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。