解一元二次方程因式分解法
解一元二次方程的四种方法
解一元二次方程的四种方法在数学中，一元二次方程是指具有如下形式的方程：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b和c是已知的常数，而x是未知量。
解一元二次方程是求出满足方程的x的值。
本文将介绍解一元二次方程的四种常用方法。
1. 因式分解法当一元二次方程可以进行因式分解时，我们可以直接通过因式分解的方法来求解。
具体步骤如下：1.将一元二次方程进行因式分解，将方程转化为两个一次方程的乘积形式。
2.令每个一次方程的乘积等于0，分别求解出x的值。
3.将得到的x的值代入原方程中，验证解的正确性。
因式分解法的优势在于速度快，但适用于一元二次方程能够进行因式分解的情况。
2. 完全平方公式法当一元二次方程无法进行因式分解时，我们可以使用完全平方公式来求解。
完全平方公式给出了一元二次方程的解的公式形式。
下面是求解步骤：1.将一元二次方程转化为标准形式，确保系数a为1。
2.根据完全平方公式，解得一元二次方程的两个解为：x = (-b ± √(b^2 -4ac)) / 2a3.将得到的x的值代入原方程中，验证解的正确性。
完全平方公式法适用于一元二次方程无法进行因式分解的情况，通过公式进行计算求解。
3. 直接开平方法直接开平方法是一种通过直接对一元二次方程进行开平方运算来求解的方法。
求解步骤如下：1.将一元二次方程转化为标准形式，确保系数a为1。
2.通过移项将方程变形为x的平方等于一个已知常数。
3.对方程两边同时开平方，得到x的值。
4.将得到的x的值代入原方程中，验证解的正确性。
直接开平方法适用于一元二次方程能够通过开平方运算求解的情况，且结果是有理数。
4. 配方法配方法是一种通过配方将一元二次方程转化为完全平方形式，然后进行解的方法。
求解步骤如下：1.将一元二次方程转化为标准形式，确保系数a为1。
2.通过配方法将方程转化为完全平方形式：(x + p)^2 + q = 0。
3.依据完全平方公式，解得一元二次方程的解为：x = -p ± √q4.将得到的x的值代入原方程中，验证解的正确性。
第4讲 一元二次方程的解法-因式分解法
第4讲 一元二次方程的解法(四)----因式分解法知识要点梳理:1.分解因式的方法有：提公因式法、利用平方差公式分解因式、利用完全平方公式分解因式、十字相乘法、分组分解法等2.因式分解法解一元二次方程的原理：000==⇔=b a ab 或预习引入：将下列各式分解因式（1）y y 22-（2）942-x （3）2222+-x x（4）862+-x x（5）y y x x 2422--+经典例题例1：用因式分解法解下列方程：(1) t (2t －1)＝3(2t －1)；(2) y 2＋7y ＋6＝0(3)(2x －1)(x －1)＝1．（4）0)34()43(22=---x x例2：用适当方法解下列方程： (1)3(1－x )2＝27； (2)x 2－6x －19＝0；(3)3x 2＝4x ＋1； (4)y 2－15＝2y ；(5)5x (x －3)－(x －3)(x ＋1)＝0； (6)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2．例3．解关于x 的方程：(1)x 2－4ax ＋3a 2＝1－2a ； (2)x 2＋5x ＋k 2＝2kx ＋5k ＋6；(3)x 2－2mx －8m 2＝0； (4)x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0．经典练习：一．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8(2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．．x ＝21B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝－1(3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )A ．x 1＝53，x 2＝3 B ．x ＝53C ．x 1＝－53，x 2＝－3 D ．x 1＝53，x 2＝－3(4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对(5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5(6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．－4D ．4(7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A ．5B ．5或11C ．6D ．11 *(8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3二．填空题(1)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．(2)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．(5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．三．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0； (3)x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0； (5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x2－x－3＝0；(8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．4．用适当方法解下列方程：(1)x2－4x＋3＝0； (2)(x－2)2＝256； (3)x2－3x＋1＝0；(4)x2－2x－3＝0； (5)(2t＋3)2＝3(2t＋3)；(6)(3－y)2＋y2＝9； (7)(1＋2)x2－(1－2)x＝0；(8)5x2－(52＋1)x＋10＝0； (9)2x2－8x＝7(10)(x＋5)2－2(x＋5)－8＝0．拓展练习1．已知x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，试求y x yx +-的值．2．已知(x 2＋y 2)(x 2－1＋y 2)－12＝0．求x 2＋y 2的值．3．为解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1＝y ，则y 2＝(x 2－1)2，原方程化为y 2－5y ＋4＝0，解此方程，得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2－1＝1，x 2＝2，∴x ＝±2．当y ＝4时，x 2－1＝4，x 2＝5，∴x ＝±5．∴原方程的解为x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝－5，x 4＝5．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．(1)运用上述方法解方程：x 4－3x 2－4＝0．(2)既然可以将x 2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗巩固作业：1．分别用三种方法来解以下方程（1）x2-2x-8=0 (2)3x2-24x=0用因式分解法：用配方法：用公式法：用因式分解法：用配方法：用公式法：2．已知x2＋3x＋5的值为9，试求3x2＋9x－2的值．3.当x取何值时，能满足下列要求？（1）3x2－6的值等于21；（2）3x2－6的值与x－2的值相等.4.一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h(单位：米)与所用的时间t(单位：秒)的关系式h＝－5(t－2)(t＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．。
解一元二次方程的几种方法
解一元二次方程的几种方法一元二次方程是数学中常见的方程类型，解这类方程可以使用多种方法，下面将介绍一些常用的方法来解一元二次方程。
1.公式法一元二次方程的一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数，且a≠0。
使用公式法可以通过求解二次方程的根来得出方程的解。
根据求根公式：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)其中±表示两个解，分别为x1和x2。
通过带入方程的系数a、b、c即可得到方程的解。
2.配方法配方法也称为配方或变量代换法。
当一元二次方程不易使用公式法解时，可以通过配方法将方程变形为一个完全平方的形式来求解。
具体步骤如下：首先，将方程转化为完全平方的形式，即将方程化简为(x + p)² = q的形式，其中p和q为待定数；然后，展开得到方程的标准形式，计算出p和q的具体值；最后，将求得的p和q代回原方程中，解出方程的根。
3.因式分解法当一元二次方程的形式为(ax + b)(cx + d) = 0时，可以使用因式分解法来求解。
具体步骤如下：将方程用因式分解的形式表示出来；令每个因式为0，解出各个因式对应的x值；得到方程的解。
4.图像法图像法是通过绘制一元二次方程的图像来求解方程。
一元二次方程的图像为抛物线，可以通过观察抛物线与x轴的交点来得到方程的解。
具体步骤如下：根据方程的系数a、b、c绘制出抛物线的图像；观察抛物线与x轴的交点，即可得到方程的解。
5.完全平方法当一元二次方程的形式为x² + bx + c = 0时，可以使用完全平方法来求解。
具体步骤如下：将方程转化为(x + m)² = n的形式，其中m和n为待定数；展开等式，计算出m和n的具体值；将求得的m和n代回原方程中，解出方程的根。
总结：解一元二次方程的几种方法包括公式法、配方法、因式分解法、图像法和完全平方法。
根据方程的形式和问题的要求选择合适的方法来解方程。
一元二次方程的五种解法
一元二次方程的五种解法一元二次方程是数学中常见的方程类型，解一元二次方程有多种方法。
下面将介绍五种解一元二次方程的方法。
一、因式分解法通过因式分解的方法，将一元二次方程化简为两个一次方程，进而求解方程的解。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以通过因式分解得到(x + 2)(x + 3) = 0，进而得到x = -2或x = -3。
二、配方法通过配方法，将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，然后求解方程的解。
例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以通过配方法将其转化为(x + 3)^2 = 0，进而得到x = -3。
三、求根公式法一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，其中a、b、c分别为方程ax^2 + bx + c = 0中的系数。
通过代入系数，计算出方程的解。
例如，对于方程x^2 + 2x - 3 = 0，我们可以代入a = 1，b = 2，c = -3，然后利用求根公式计算出x的值。
四、完成平方法通过将一元二次方程的两边进行平方，化简为一个完全平方的形式，然后求解方程的解。
例如，对于方程x^2 + 4x + 4 = 0，我们可以通过将其两边进行平方得到(x + 2)^2 = 0，进而得到x = -2。
五、图像法通过绘制一元二次方程的图像，观察图像与x轴的交点来求解方程的解。
例如，对于方程x^2 - 4 = 0，我们可以绘制出抛物线的图像，观察到抛物线与x轴的交点为x = 2和x = -2，因此方程的解为x = 2和x = -2。
解一元二次方程有多种方法，包括因式分解法、配方法、求根公式法、完成平方法和图像法。
不同的方法适用于不同的方程，选择合适的解法可以更快地求解一元二次方程的解。
在实际应用中，根据方程的形式和已知条件，选择合适的解法可以简化计算，提高效率。
一元二次次方程 因式分解法
一元二次次方程因式分解法一元二次方程是指形式为ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c都是已知实数且a≠0。
解一元二次方程的方法之一是因式分解法。
因式分解法是将一元二次方程转化成二元一次方程，然后利用分解公式将方程因式分解为两个一次因式的乘积，并求解得到方程的解。
下面详细介绍一元二次方程的因式分解法。
1. 首先，将一元二次方程写成标准形式，即ax^2+bx+c=0。
2. 判断方程的判别式D=b^2-4ac的值。
- 若D>0，方程有两个不相等的实数根。
- 若D=0，方程有两个相等的实数根。
- 若D<0，方程没有实数根，但有复数根。
3. 根据判别式D的值，采取相应的方法进行因式分解。
- 若D>0，假设方程的解为x1和x2，则方程可以因式分解为(x-x1)(x-x2)=0。
- 若D=0，假设方程的解为x0，则方程可以因式分解为(x-x0)^2=0。
- 若D<0，假设方程的解为x1和x2，则方程可以因式分解为(x-x1+i√(-D))(x-x2-i√(-D))=0，其中i为虚数单位。
4. 将方程因式分解后的形式转化为二元一次方程，进行求解。
- 若D>0，将方程转化为两个一次方程进行求解。
分别令(x-x1)=0和(x-x2)=0，得到x1和x2的值。
- 若D=0，将方程转化为一个一次方程进行求解。
令(x-x0)^2=0，得到x0的值。
- 若D<0，将方程转化为一个一次方程进行求解。
令(x-x1+i√(-D))(x-x2-i√(-D))=0，分别令x-x1+i√(-D)=0和x-x2-i√(-D)=0，得到x1和x2的值。
5. 根据求解得到的x1、x2和x0的值，得到方程的解。
综上所述，一元二次方程可以通过因式分解法进行求解。
根据方程的判别式的值，将方程进行因式分解，并转化为二元一次方程进行求解。
这种方法在某些情况下可以简化求解过程，帮助我们更好地理解和解决一元二次方程的问题。
一元二次方程因式分解法的四种方法
一元二次方程因式分解法的四种方法【实用版3篇】目录（篇1）一、引言二、一元二次方程的概述三、因式分解法概述四、四种因式分解方法1.提取公因式法2.完全平方公式法3.平方差公式法4.完全平方公式与平方差公式的结合法五、每种方法的例题解析六、总结正文（篇1）一、引言在解决一元二次方程时，因式分解法是一种常用的方法，它可以帮助我们快速找到方程的解。
本文将为大家介绍四种因式分解的方法，以帮助大家更好地理解和运用这一方法。
二、一元二次方程的概述一元二次方程是指形如 ax+bx+c=0 的方程，其中 a、b、c 为常数，且 a≠0。
在这个方程中，a、b、c 分别称为二次项系数、一次项系数和常数项。
三、因式分解法概述因式分解法是将一元二次方程的左边化为两个一次因式的积的形式，从而得到方程的解。
通过因式分解，我们可以将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，从而简化了解题过程。
四、四种因式分解方法1.提取公因式法提取公因式法是指在方程的两边同时提取公因式，以达到简化方程的目的。
这种方法适用于当方程的一次项系数 b 为零的情况。
2.完全平方公式法完全平方公式法是指利用完全平方公式 (a+b)=a+2ab+b将方程进行因式分解。
这种方法适用于当方程的二次项系数 a 为 1 的情况。
3.平方差公式法平方差公式法是指利用平方差公式 (a+b)(a-b)=a-b将方程进行因式分解。
这种方法适用于当方程的一次项系数 b 不等于零且二次项系数 a 不等于 1 的情况。
4.完全平方公式与平方差公式的结合法当方程的二次项系数 a 不为 1，一次项系数 b 不为 0 时，我们可以将完全平方公式和平方差公式结合使用，以达到因式分解的目的。
五、每种方法的例题解析这里我们分别对四种因式分解方法进行例题解析，以便大家更好地理解和掌握这些方法。
六、总结因式分解法是一种解决一元二次方程的有效方法，掌握四种因式分解方法有助于我们在解题过程中更加灵活地选择合适的方法。
一元二次方程的解法及应用
一元二次方程的解法及应用一元二次方程是数学中常见的二次多项式方程，其一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
解一元二次方程的方法通常有因式分解法、配方法和求根公式法等。
本文将依次介绍这几种解法，并探讨一元二次方程在实际生活中的应用。
一、因式分解法对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当其可以因式分解成两个一次因式的乘积时，可以直接利用因式分解法求解。
具体步骤如下：1. 将方程转化为标准形式，即将方程两边移项合并同类项，使等式右边为0；2. 对方程进行因式分解，将二次项拆分为两个一次项的乘积；3. 令得到的每个一次项等于0，解出方程；4. 检查解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程3x²+7x+2=0，可以进行因式分解得到(3x+1)(x+2)=0，解得x=-1/3和x=-2。
二、配方法配方法是通过变形将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，进而求解方程。
其主要步骤如下：1. 将方程转化为标准形式；2. 将方程的一次项系数b通过添加或减去一个适当的常数c/2a使其成为一个完全平方；3. 将方程的左边转化为一个完全平方，即将一次项的系数与1/2a相乘后平方；4. 将方程的两边开平方，解出方程。
例如，对于方程x²+4x-3=0，可以通过配方法将其变形为(x+2)²-7=0，进而解得x=-2+√7和x=-2-√7。
三、求根公式法求根公式法也称为根号公式法，适用于任何一元二次方程的解法。
一元二次方程ax²+bx+c=0的解可通过求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a得到。
具体步骤如下：1. 将方程的系数代入求根公式，并计算出方程的两个解；2. 验证解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程2x²-5x+2=0，代入求根公式得到x=1和x=2/2。
用因式分解求解一元二次方程
用因式分解求解一元二次方程的方法是利用公式法或因式分解的方法。
以下是一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0其中a、b、c为常数，且a≠0。
首先，我们需要知道一元二次方程的求根公式：x = [ -b ±sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)其中sqrt表示平方根。
但是，对于某些特定的方程，使用求根公式可能会比较麻烦，这时我们可以使用因式分解的方法。
因式分解的方法通常有提取公因式和公式法两种。
假设我们使用提取公因式的方法进行因式分解，那么可以将方程ax^2 + bx + c分解为(ax + m)(nx + n)的形式。
其中m和n都是常数，且m≠n。
然后，我们可以通过移项，将方程转化为两个一次因式的积的形式：mx^2 + nx^2 + (mn + b)x + mn = 0。
接下来，我们可以通过代入法求解这个一元二次方程。
将x= -b/2m和x= -n/m代入方程中，得到两个一元一次方程的解：x1 = (mn + b - sqrt(b^2 - 4ac)) / (2m^2)，x2 = (mn + b + sqrt(b^2 -4ac)) / (2m^2)。
需要注意的是，这种方法只能用于当a≠0时。
当a=0时，一元二次方程的解的情况取决于b和c的值。
如果b和c都是非零常数，那么x = -b/c就是方程的解；如果b=0且c=0，那么方程有两个相等的解x=0。
以上就是用因式分解求解一元二次方程的一般步骤。
但是需要注意，虽然使用因式分解可以简化某些一元二次方程的求解过程，但对于一些复杂的一元二次方程，使用因式分解可能会比较困难，这时仍然需要使用求根公式求解。
另外，还有一种特殊的一元二次方程，即完全平方方程，它的形式为ax^2 = b。
对于这种方程，我们可以直接开平方求解：x = ±√b/a。
这种方法也被称为直接开平方法。
综上所述，对于不同形式的一元二次方程，我们需要根据方程的特点选择合适的方法进行求解。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，可以表示为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，而x为未知数。
解一元二次方程的关键是求出方程的根，也就是满足该方程的x值。
本文将介绍几种常见的解一元二次方程的方法。
一、求解公式法解一元二次方程的最常见方法是使用求根公式，即一元二次方程的解公式。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的解公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±代表两个解，分别为加号和减号的情况。
利用这个解公式，我们可以通过代入系数a、b、c的值来求得方程的解。
需要注意的是，在计算过程中需要保留所有的精度，避免误差的积累。
二、配方法对于某些特殊的一元二次方程，无法直接使用求根公式进行解答。
这时，我们可以利用配方法，将方程转化为可求解的形式。
配方法的基本思路是将方程中二次项的系数通过添加适当的数值，使得一次项可以化为一个完全平方的形式。
这样，我们就可以通过提取平方根的方式来求解方程。
例如，对于方程x^2 + 6x + 8 = 0，我们可以通过配方法将其转化为(x + 3)^2 - 1 = 0的形式。
然后，我们可以得到x + 3 = ±√1，再解得x的值。
需要注意的是，配方法并不适用于所有的一元二次方程，但对于一些特殊的方程可以起到简化计算的作用。
三、图像法图像法是一种直观且易于理解的解一元二次方程的方法。
通过绘制一元二次方程所对应的曲线，我们可以通过观察曲线与x轴的交点来确定方程的解。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以绘制出与之对应的抛物线。
然后，我们观察抛物线与x轴的交点，即可确定方程的解。
需要注意的是，在绘制曲线时，我们可以通过计算方程的判别式△= b^2 - 4ac，来判断曲线与x轴的交点个数及位置。
四、因式分解法部分一元二次方程可以通过因式分解的方式进行求解。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一元二次方程是数学中非常重要的一个概念，它可以用来描述很多实际问题。
在解一元二次方程时，我们需要运用一些特定的方法和技巧。
本文将介绍一些常见的解一元二次方程的方法，并探讨它们的应用。
首先，我们来回顾一下一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0。
其中，a、b、c是已知的实数，且a不等于0。
解一元二次方程的关键在于求出方程的根，即方程的解。
下面将介绍几种常见的解法。
一、因式分解法当一元二次方程可以因式分解时，我们可以通过因式分解的方式求解。
例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0。
根据因式分解的性质，我们知道当两个因子中的任意一个为0时，方程成立。
因此，我们得到两个根x = 2和x = 3。
二、配方法当一元二次方程无法直接因式分解时，我们可以通过配方法求解。
配方法的基本思想是通过添加一个适当的常数，将方程转化为一个可以因式分解的形式。
例如，对于方程x^2 + 6x + 8 = 0，我们可以通过添加一个常数使其变为(x + 3)^2 - 1 = 0。
然后，我们可以将其分解为(x + 3 + 1)(x + 3 - 1) = 0，得到两个根x = -4和x = -2。
三、求根公式求根公式是解一元二次方程的一种常用方法。
根据求根公式，一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的根可以通过以下公式计算：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
例如，对于方程x^2 - 4x + 4 = 0，我们可以代入a = 1，b = -4，c = 4，然后使用求根公式计算得到两个根x = 2和x = 2。
需要注意的是，当方程的判别式b^2 - 4ac小于0时，方程没有实数根，只有复数根。
四、图像法图像法是一种直观的解一元二次方程的方法。
我们可以通过绘制方程的图像来观察方程的根。
当方程的图像与x轴相交时，对应的x值即为方程的根。
一元二次方程的解法因式分解
一元二次方程的解法因式分解一元二次方程即一个未知变量的二次多项式，作为高中数学教学内容，因式分解是求解一元二次方程的重要方法：一、因式分解定义因式分解求解一元二次方程，是指将一元二次方程拆分成两个一次方程，从而求解出原来方程的根。
二、因式分解步骤（1）首先将一元二次方程化为一般形式，即x²+ax+b=0；（2）把因式分解成两部分，即x²+ax+b=(x+c)(x+d)=0;（3）根据上述等式，可知(x+c)=0,即x=-c;（4）把-c代入待求等式，即(x+d)=0,得x=-d;（5）将-c和-d的值代入到一般形式的一元二次方程中，检查结果，从而得出一元二次方程的解。
三、因式分解注意事项（1）一元二次方程的解可能有0,1,2三种情况，但是要把原一元二次方程本身也算作一种解；（2）因式分解中，a和b的符号不能随意变动，一般情况下，当a<0 时候，需要先把a+b=c,后续步骤按c处理；（3）如果a>0，要将x²+ax+b拆分成两部分：x²+mx+n=0，其中m=a/2,n=b-(a/2)；（4）求出一元二次方程的a,b值之后，分别带入到x=-c和x=-d中，得出的值分别是x1和x2，其中x1+x2=a,x1*x2=b。
四、因式分解实例以 x²-5x+6=0为例，使用因式分解解该方程：（1）将x²-5x+6=0化为一般形式，即x²+(-5)x+6=0;（2）拆分因式 x²+(-5)x+6=(x+2)(x+3)=0（3）由于(x+2)=0，则x=-2;（4）将-2代入待求一元二次方程，求解得x=-3;（5）将x=-2和x=-3代入到原方程中，检查正确性，得出结论：方程的解为x1=-2,x2=-3.。
因式分解法解一元二次方程
理论依据：两个因式的乘积等于零，那么这两个因式的值就至少有一个等于零。
即：若ab=0, 则a=0 或b=0当方程的一边能够分解成两个一次因式的乘积而另一边等于0时，即可解这个一元二次方程。
这种方法叫做因式分解。
一般步骤：①移项，使方程的右边为零。
②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积。
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程。
④解这两个一元一次方程，它们的解都是原方程的解。
分解因式的方法：提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c)公式法 a2－b2=(a＋b)(a－b) a2±2ab＋b2=(a±b)2示例：3x2=8x (x－4)2－3x＋12=0移项，得： 3x2－8x = 0 整理,得：(x－4)2－3（x－4)=0因式分解，得：x(3x－8) =0 因式分解，得:（x－4)（x-4-3)=0 于是，得： x=0 或3x－8 =0 整理,得:（x－4)（x－7)=0X 1=0 , X2=8/3 于是，得：x－4=0 或 x－7=0X1=4, X2=71、用因式分解法解下列方程x（x－2)+（x－2)=0 5x2－2x－1/4=x2－2x＋3/4(3x＋1)2－5=0 x2－5x－6=02、用因式分解法解下列方程。
（2x－1)2＋3（2x－1)＋2=0 9（2x＋3)2－4（2x－5)2=0 x2－√3x＋√2x－√6=0 9x2－6x－399=03、已知X1,X2是关于x的方程（x－2)（x－m)=（p－2)（p－m)的两个实数根，（1）求X1,X2的值。
（2）若X1,X2是某直角三角形的两直角边的长，问当实数p、m满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值。
4、阅读题例，解答下题。
解方程x2－|x-1|-1=0解：（1）当x-1≧0时，x2－（x-1）-1=0 x2－x=0 （2）当x-1<0时，x2＋（x-1）-1=0 x2＋x－2=0由（1）解得X1=0,（不合题设，舍去） X2=1由（2）解得X1=1,（不合题设，舍去） X2=-2综上所述，原方程的解是x=1或x=-2依照上例解方程x2＋2|x+2|-4=05、已知：关于x的方程2x2＋k x-1=0（1）求证：方程有两个不相等的实数根。
一元二次如何因式分解
一元二次如何因式分解一元二次方程可以通过因式分解的方法进行化简。
具体的步骤如下：1. 首先，将一元二次方程的表达式写成标准形式，即将所有的项都移动到等式的一边，使方程等于零。
例如，表达式可能形如 ax^2 + bx + c = 0。
2. 确定 a、b、c 的值，分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
3. 根据一元二次方程的性质，我们知道方程的解可以通过因式分解得到。
根据公式 (x + p)(x + q) = 0，其中 p 和 q 是方程的解，我们可以尝试将方程因式分解为 (x + p)(x + q) 的形式。
4. 按照因式分解的方法，可以通过将二次项的系数 a 分解为两个数的乘积，与常数项 c 的因子相匹配，再根据一次项的系数 b 的符号，确定因式分解中 p 和 q 的正负关系。
例如，对于方程 x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将 a = 1，b = 5，c = 6。
然后，我们需要找到两个数 p 和 q，使得 (x + p)(x + q) =0 成立。
根据二次项系数 a 和常数项 c，我们可以得到 p * q = 6，并且 p + q = 5。
通过求解这个方程组，我们可以得到 p = 2，q = 3。
因此，原方程可以进行因式分解为 (x + 2)(x + 3) = 0。
5. 最后，根据因式分解，我们可以确定一元二次方程的解为方程因式分解中的两个数的相反数。
在上述例子中，方程的解为 x = -2 和 x = -3。
这样，通过因式分解的方法，我们可以将一元二次方程化简为两个一次因子相乘的形式，从而更容易求解方程的根。
解一元二次方程的方法与技巧
解一元二次方程的方法与技巧解一元二次方程是高中数学中的重要内容，也是解决实际问题的基础。
本文将介绍解一元二次方程的方法与技巧，希望能够帮助读者更好地理解和应用。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。
解一元二次方程的方法主要有因式分解法、配方法、公式法和图像法等。
首先是因式分解法。
当一元二次方程能够因式分解成两个一次因式相乘时，可以直接通过因式分解得到方程的解。
例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，可以将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x = 2或x = 3，即方程的解为x = 2或x = 3。
其次是配方法。
配方法的基本思想是通过添加适当的常数将一元二次方程变形为一个完全平方的形式，从而方便求解。
例如，对于方程x^2 + 4x - 5 = 0，可以通过添加4/2^2 = 4个常数使得方程变形为(x + 2)^2 - 9 = 0，进一步得到(x + 2)^2 = 9，然后求得x + 2 = ±3，解得x = 1或x = -5，即方程的解为x = 1或x = -5。
再次是公式法。
公式法是解一元二次方程最常用的方法之一，适用于所有的一元二次方程。
公式法的基本思想是通过求解一元二次方程的根公式来得到方程的解。
一元二次方程的根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
例如，对于方程2x^2 - 5x + 3 = 0，可以直接代入公式，求得x = (5 ± √(5^2 - 4×2×3)) / (2×2)，进一步计算得到x = 1或x = 1.5，即方程的解为x = 1或x = 1.5。
最后是图像法。
图像法是一种直观、直观的方法，适用于通过观察一元二次方程的图像来得到方程的解。
一元二次方程的图像是一个抛物线，可以通过观察抛物线与x轴的交点来得到方程的解。
用因式分解法解一元二次方程详细
用因式分解法解一元二次方程【主体知识概括】1．因式分解法 若一元二次方程的一边是 0，而另一边易于分解成两个一次因式时，比如，x 2－ 9＝0，这个方程可变形为 ( ＋ 3)( － 3) ＝ 0，要 ( x ＋ 3)( x －3) 等于 0，一定并且只需 ( x ＋ 3) 等于 0 或( x － 3) 等于 0，x x所以，解方程 ( x ＋ 3)( x － 3) ＝ 0 就相当于解方程 x ＋ 3＝ 0 或 x －3＝ 0 了，经过解这两个一次方程便可获得 原方程的解．这类解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．因式分解法其解法的重点是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论依据是：若A ·B ＝0 A ＝ 0 或B ＝ 0．【基础知识解说】1．只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0 的时候， 才能应用因式分解法解一元二 次方程．分解因式时，要依据状况灵巧运用学过的因式分解的几种方法．2．在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法能够说是通法，即能解任何一个一元二次 方程．但对某些特别形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简易，有的用因式分解法简易．所以，在碰到一道题时， 应选择适合的方法去解． 配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实质解一元二次方程时， 一般不用配方法．而在此后的学习中，会经常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法．【例题精讲】例 1：用因式分解法解以下方程：(1)y 2＋7 ＋ 6＝ 0； (2)t (2 t － 1) ＝ 3(2 t － 1) ；(3)(2 x －1)( x － 1) ＝ 1．y解：(1) 方程可变形为 ( y ＋ 1)( y ＋ 6) ＝ 0， y ＋ 1＝ 0 或 y ＋ 6＝ 0，∴ y 1＝－ 1， y 2＝－ 6． (2) 方程可变形为 t (2 t －1)－3(2 t －1)＝0，(2 t －1)( t －3)＝0，2t －1＝0或 t －3＝0，∴ t 1＝1， t 22＝ 3．(3) 方程可变形为 2x 2－ 3x ＝0．x (2 x － 3) ＝ 0，x ＝ 0 或 2x － 3＝ 0． ∴ x 1＝0， x 2＝3．2说明： (1) 在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，假如左侧的代数式能够 分解为两个一次因式的乘积，而右侧为零时，则可令每一个一次因式为零，获得两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如 ( x－a)( x－b) ＝c的方程，其左侧是两个一次因式之积，但右侧不是零，所以应转变为形如( x－e)( x－f ) ＝0 的形式，这时才有x1＝ e， x2＝ f ，不然会产生错误，如(3) 可能产生以下的错解：原方程变形为：2x－ 1＝1 或x－ 1＝ 1．∴x1＝ 1，x2＝ 2．(3) 在方程 (2) 中，为何方程两边不可以同除以(2 t－1) ，请同学们思虑？例 2：用适合方法解以下方程：(1) 3 (1－ x)2＝ 27 ；(2) x2－6x－19＝0；(3)3 x2＝4x＋1；(4) y2－15＝2y；(5)5 x( x－3)－( x－3)( x＋1) ＝ 0；(6)4(3 x＋ 1) 2＝ 25( x－ 2) 2．解析：方程 (1) 用直接开平方法，方程(2) 用配方法，方程(3) 用公式法，方程(4) 化成一般式后用因式分解法，而方程(5) 、 (6) 不用化成一般式，而直接用因式分解法就能够了．2 ＝9 ，( x－1) 2 ＝ 3，x－ 1＝±3 ，∴ x ＝1＋ 3 ， x ＝1－ 3 ．解： (1)(1 － x)1 2(2) 移项，得x 2－ 6 ＝ 19，配方，得x2－ 6x＋ ( － 3) 2＝ 19＋( － 3) 2， ( － 3) 2＝ 28，－ 3＝± 27，x x x∴ x1＝3＋2 7 ， x2＝3－2 7 ．(3)移项，得 3x2－4x－ 1＝0，∵ a＝3， b＝－4， c＝－1，∴ x＝( 4)( 4)2 43 ( 1) 2 7 ，2 3 3∴ x1＝2 7，x2＝27 ．3 3(4) 移项，得y2－ 2y－ 15＝0，把方程左侧因式分解，得( y－ 5)( y＋ 3) ＝ 0；∴ y－5＝0或 y＋3＝0，∴ y1＝5， y2＝－3．(5)将方程左侧因式分解，得 ( x－ 3) ［ 5x－( x＋ 1) ］＝ 0， ( x－ 3)(4 x－ 1) ＝ 0，∴ x－3＝0或4x－1＝0，∴x1＝3， x2＝1．4(6)移项，得 4(3 x＋ 1) 2－ 25( x－ 2) 2＝ 0，［ 2(3 x＋ 1) ］2－［ 5( x－ 2) ］2＝ 0，［2(3 x＋ 1) ＋ 5( x－ 2) ］·［ 2(3 x＋ 1) － 5( x－2) ］＝ 0，(11 x－8)( x＋ 12) ＝ 0，∴11x－ 8＝ 0 或x＋ 12＝ 0，∴x1＝8，x2＝－ 12．11说明： (1) 对于无理系数的一元二次方程解法同有理数同样，只可是要注意二次根式的化简．(2) 直接因式分解就能转变成两个一次因式乘积等于零的形式，对于这类形式的方程就不用要整理成一般式了．例 3: 解对于x的方程： ( a2－b2) x2－ 4abx＝a2－b2．解： (1) 当a2－b2＝0，即｜a｜＝｜b｜时，方程为－4abx＝ 0．当 a＝b＝0时， x 为随意实数．当｜a｜＝｜ b｜≠0时， x＝0．(2)当 a2－ b2≠0，即 a＋ b≠0且 a－ b≠0时，方程为一元二次方程．分解因式，得［ ( a＋b) x＋ ( a－b) ］［ ( a－b) x－ ( a＋b) ］＝ 0，∵ a＋ b≠0且 a－ b≠0，∴ x1＝b a， x2＝ab ．a b a b说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不一样状况分别求解．此题其实是分三种状况，即①a＝ b＝0；②｜ a｜＝｜ b｜≠0；③｜ a｜≠｜ b｜．2 2x 2 2xy 5 y 2例 4: 已知x－xy－ 2y＝ 0，且x≠ 0，y≠ 0，求代数式x 2 2xy 5 y 2 的值．解析：要求代数式的值，只需求出 x、y 的值即可，但从已知条件中明显不可以求出，要求代数式的分子、分母是对于 x、 y 的二次齐次式，所以知道x 与 y 的比值也可．由已知x2－ xy－2y2＝0因式分解即可得 x 与 y 的比值．解：由 x2－ xy－2y2＝0，得( x－2y)( x＋y)＝0，∴ x－2y＝0或 x＋y＝0，∴ x＝2y 或 x＝－ y．当 x＝2y 时，x22xy 5y 2 (2y) 2 2 2y y 5y 2 5y 2 5 ．x 2 2xy 5y 2 (2y ) 2 2 2y y 5y 2 13y 2 13当 x＝－ y 时，x 2 2xy 5y 2 ( y) 2 2 ( y ) y 5y 2 2y 2 1．x 2 2xy 5y 2 ( y) 2 2 ( y ) y 5y 4y 2 2说明：因式分解法表现了“降次”“化归”的数学思想方法，它不单可用来解一元二次方程，并且在解一元高次方程、二元二次方程组及相关代数式的计算、证明中也有着宽泛的应用．【同步达纲练习】 1．选择题(1) 方程 ( x － 16)(x ＋8)＝0的根是 ()A ．x 1＝－ 16，x 2＝ 8B ．x 1＝ 16，x 2＝－ 8C ．x 1＝16，x 2＝ 8D ．x 1＝－ 16，x 2＝－ 8(2) 以下方程 4x 2－3x － 1＝0， 5x 2－ 7x ＋ 2＝ 0，13x 2－ 15x ＋2＝ 0 中，有一个公共解是 ( )A ．． x ＝1B ． x ＝ 2C ． x ＝ 1D ．x ＝－ 12(3) 方程 5 x ( x ＋3) ＝ 3( x ＋ 3) 解为 ( )1＝ 3 2B ． x ＝ 3A ． x 5 ， x ＝ 35C ． x 1＝－ 3， x 2＝－ 3D ． x 1＝ 3， x 2＝－ 355(4) 方程 ( y － 5)( y ＋ 2) ＝1 的根为 ( )A ． y 1＝5， y 2＝－ 2B ． y ＝ 5C ． y ＝－ 2D ．以上答案都不对(5) 方程 ( x － 1) 2－4( x ＋ 2) 2＝ 0 的根为 ( )A ． x 1＝1， x 2＝－ 5B ． x 1＝－ 1， x 2＝－ 5C ． x 1＝ 1， x 2＝ 5D ． x 1＝－ 1， x 2＝ 5(6) 一元二次方程 x 2＋ 5x ＝ 0 的较大的一个根设为 m ， x 2－ 3x ＋ 2＝ 0 较小的根设为 n ，则 m ＋ n 的值为( )A ． 1B ． 2C ．－ 4D ． 4(7) 已知三角形两边长为4 和 7，第三边的长是方程x 2－ 16x ＋ 55＝ 0 的一个根，则第三边长是( ) A ． 5 B ． 5 或 11 C ． 6D ． 11(8) 方程 x 2－3| x －1|＝1的不一样解的个数是( ) A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3 2．填空题(1) 方程 t ( t ＋3)＝28的解为_______．(2) 方程 (2 x ＋ 1) 2＋ 3(2 x ＋1) ＝ 0 的解为 __________ ． (3) 方程 (2 y ＋ 1) 2＋ 3(2 y ＋1) ＋ 2＝ 0 的解为 __________．(4)对于 x 的方程 x2＋( m＋n) x＋ mn＝0的解为__________．(5)方程 x( x－ 5 )＝ 5 － x 的解为__________．3．用因式分解法解以下方程：(1) x2＋12x＝ 0；(2)4 x2－ 1＝ 0；(3) x2＝ 7x；(4) x2－4x－ 21＝0；(5)(x－1)( x＋3)＝12；(6)3 x2＋ 2x－ 1＝ 0；(7)10 x2－x－ 3＝0；(8)(x－1)2－4( x－1)－21＝0．4．用适合方法解以下方程：(1) x2－4x＋ 3＝ 0；(2)(x－2)2＝256；(3) x2－ 3x＋ 1＝0；(4) x2－2x－ 3＝ 0；(5)(2 t＋ 3) 2＝ 3(2 t＋ 3) ；(6)(3 －y) 2＋y2＝ 9；(7)(1 ＋2 ) x2－(1－2 ) x＝0；(8) 5 x2－ (5 2＋ 1) x＋10 ＝0；(9)2 x2－8x＝ 7( 精准到 0．01) ； (10)( x＋ 5) 2－2( x＋ 5) － 8＝ 0．5．解对于x 的方程：(1) x 2－4ax ＋3a 2＝1－2a ；(2) x 2＋5x ＋k 2＝2kx ＋5k ＋6；2222(3) x －2mx － 8m ＝ 0； (4) x ＋ (2 m ＋ 1) x ＋ m ＋ m ＝0． 6．已知x 2＋ 3xy －4y 2＝ 0( y ≠ 0) ，试求x y的值．x y7．已知 ( x 2＋y 2)( x 2－ 1＋y 2) － 12＝ 0．求x 2＋y 2的值． 8．请你用三种方法解方程：x ( x ＋12)＝864．9．已知x 2＋ 3x ＋ 5 的值为 9，试求 3x 2＋ 9x － 2 的值．10．一跳水运动员从 10 米高台上跳水，他跳下的高度h (单位：米)与所用的时间t (单位：秒)的关系 式 h ＝－5( t －2)( t ＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．11．为解方程 ( x 2－ 1) 2－ 5( x 2－1) ＋ 4＝0，我们能够将 x 2－1 视为一个整体，而后设x 2－ 1＝ y ，则 y 2＝( x 2－ 1) 2，原方程化为2－ 5 ＋ 4＝0，解此方程，得y 1＝ 1， y 2＝ 4．y y当 y ＝1时， x 2－1＝1， x 2＝2，∴ x ＝±2 ．当 y＝4时， x2－1＝4， x2＝5，∴ x＝± 5 ．∴原方程的解为 x1＝－ 2 ， x2＝ 2 ， x3＝－ 5 ， x4＝ 5 ．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，表现了转变的思想．(1)运用上述方法解方程： x4－3x2－4＝0．(2)既然能够将 x2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗参照答案【同步达纲练习】1． (1)B (2)C (3)D (4)D (5)B (6)A (7)A (8)D2． (1) t 1＝－ 7，t 2＝ 4(2) x 1＝－1 2， 2＝－2(3) y 1＝－1， y 2＝－3 (4) x 1＝－ ， 2＝－ n (5) x 1＝ 5 ， 2＝－1 x 2m x x3．(1) x 1＝0，x 2＝－ 12；(2) x 1＝－1，x 2＝1；(3) x 1＝0，x 2＝ 7；(4) x 1＝ 7，x 2＝－ 3；(5) x 1＝－ 5，x 2＝3；(6) x 1＝－ 1，22x 2＝1；3(7) x 1＝3，x 2＝－1；(8) x 1＝8， x 2＝－2．524． (1) x 1＝ 1， x 2＝ 3； (2) x 1＝ 18， x 2＝－ 14； (3) x 1＝35， x 2 ＝35； (4) x 1 ＝3， x 2＝－ 1；22(5) t 1＝0， t 2＝－3； (6) y 1＝ 0，y 2 ＝ 3； (7) x 1＝ 0，x 2＝ 22 － 3；2(8) x1＝5 x2＝ 10； (9) x 1≈， x 2＝－； (10)xx＝－ 7． ，1＝－ 1，255． (1) x 2－ 4ax ＋4a 2＝a 2－2a ＋1，( x － 2a ) 2＝ ( a － 1) 2， ∴ x －2a ＝±( a －1)，∴ x 1＝3a －1， x 2＝ a ＋1．(2) x 2＋(5－2k ) x ＋ k 2－5k －6＝0， x 2＋(5－2k ) x ＋( k ＋1)( k －6)＝0， ［ x －( k ＋1)］［ x －( k －6)］＝0， ∴ x 1＝ k ＋1，x 2＝( k －6)．(3) x 2－2 ＋ 2＝ 9 2 ，( x － ) 2＝ (3 ) 2mx m m m m ∴ x 1＝4m ， x 2＝－2m(4) x 2＋(2 m ＋1) x ＋m ( m ＋ 1) ＝ 0， ( x ＋m ) ［x ＋ ( m ＋ 1) ］＝ 0，∴ x 1＝－ m ，x 2＝－ m －16． ( x ＋ 4y )( x －y ) ＝ 0，x ＝－4y 或 x ＝y当 x＝－4y 时，xy ＝ 4 y y 5 ；x y 4 y y 3当 x＝ y 时，xy ＝ yy＝ 0．x y y y7． ( x2＋y2)( x2＋y2－ 1) － 12＝ 0，( x2＋y2 ) 2－ ( x2＋y2) －12＝0，( x2＋y2－ 4)( x2＋y2＋ 3) ＝ 0，∴ x2＋ y2＝4或 x2＋ y2＝－3(舍去)8．x1＝－ 36，x2＝ 249．∵x2＋ 3x＋ 5＝9，∴x2＋ 3x＝ 4，∴3x2＋9x－2＝ 3( x2＋ 3x) － 2＝ 3×4－ 2＝ 10 10． 10＝－ 5( t－ 2)(t ＋1)，∴ t ＝1( t ＝0舍去) 11． (1)x1＝－2，x2＝2(2)(x2－2)( x2－5)＝0，( x＋2 )(x－ 2 )(x＋ 5 )(x－5 )＝0。
一元二次方程如何因式分解
一元二次方程如何因式分解一元二次方程因式分解学习资料一、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax^2+bx + c = 0（a≠0）。
二、因式分解的方法（一）提公因式法1. 适用情况- 当方程各项有公因式时，先提取公因式。
- 例如对于方程3x^2-6x = 0，各项都有公因式3x。
2. 步骤- 提取公因式3x后得到3x(x - 2)=0。
（二）公式法（平方差公式与完全平方公式）1. 平方差公式a^2-b^2=(a + b)(a - b)- 适用情况- 当一元二次方程可以转化为a^2-b^2=0的形式时。
- 例如方程9x^2-16 = 0，可以写成(3x)^2-4^2=0。
- 步骤- 根据平方差公式因式分解为(3x + 4)(3x - 4)=0。
2. 完全平方公式a^2±2ab + b^2=(a± b)^2- 适用情况- 当一元二次方程可以转化为a^2±2ab + b^2=0的形式时。
- 例如方程x^2+6x + 9 = 0，其中a = x，b = 3，2ab=6x。
- 步骤- 因式分解为(x + 3)^2=0。
（三）十字相乘法1. 适用情况- 对于一般形式的一元二次方程ax^2+bx + c = 0（a≠0），当a、b、c为整数且a可以分解为a = m× n，c可以分解为c = p× q，并且mq+np = b时。
2. 步骤- 例如对于方程x^2+5x+6 = 0。
- 对于x^2的系数1，可分解为1×1；对于常数项6，可分解为2×3。
- 又因为2×1+3×1 = 5（这里m = 1，n = 1，p = 2，q = 3）。
- 所以因式分解为(x + 2)(x+3)=0。
（四）分组分解法1. 适用情况- 当方程的四项或多项可以通过合理分组后，再分别进行因式分解，最后再提取公因式或运用公式。
2. 步骤- 例如对于方程ax^2+bx + ay^2+by = 0。
一元二次方程的解法--公式法因式分解法—知识讲解
一元二次方程的解法--公式法因式分解法—知识讲解一、公式法x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)其中，±表示两个解，一个是加号的解，另一个是减号的解。
步骤如下：1.将方程的三个系数a、b和c代入公式中。
2. 计算公式中√(b^2-4ac)的值。
如果b^2-4ac>0，方程有两个不相等的实数根。
如果b^2-4ac=0，方程有两个相等的实数根。
如果b^2-4ac<0，方程没有实数根。
3.根据计算结果，计算方程的解。
例如，解方程x^2+5x+6=0：对应的a=1，b=5，c=6；将a、b和c代入公式中，得到：x=(-5±√(5^2-4*1*6))/(2*1)=(-5±√(25-24))/2=(-5±√1)/2计算得到，x=(-5+1)/2=-2和x=(-5-1)/2=-3所以，该方程的解为x=-2和x=-3二、因式分解法对于一元二次方程，如果可以将其因式分解为两个一次因式的乘积，那么就可以通过使两个因式等于零来解方程。
步骤如下：1.将方程移项，使方程等于零。
将项按照次数排列。
2.尝试将方程因式分解为两个一次因式的乘积，使得它们相加等于一次项的系数，并且相乘等于常数项。
3.解两个一次因式等于零的方程。
4.求得方程的根。
例如，解方程x^2+5x+6=0：首先，观察方程的系数：a=1，b=5，c=6将方程移项，得到x^2+5x+6=0。
根据观察，可以将方程分解为(x+2)(x+3)=0。
解方程(x+2)=0和(x+3)=0，得到x=-2和x=-3所以，该方程的解为x=-2和x=-3总结：通过上述的介绍，我们可以知道，一元二次方程的解法有很多种，其中最常用的方法是公式法和因式分解法。
根据方程的具体情况，我们可以选择合适的解法来解方程。
这些解法都是基础知识，对于掌握代数学的基础很重要。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
x1
121,x2
11. 2
11
(5 )3 x(2 x 1 )4 x 2
解 :(2x1)3 (x2)0.
x1Βιβλιοθήκη 1, 2x22. 3
(6)x (4)2(52x)2
解 :x4(52x).
x13,x21.
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地 面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.
提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右
边等于零;
2.关键是熟练掌握因式分解的知识;
3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少
有一个因式等于零.” A
5
我思 我进步
分解因式的方法有那些?
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2.
xx30.
x0,或 x30. x10,x23. 这个数 0或 是 3.
小亮做得对吗?
4
我思 我进步
分解因式法
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫 做分解因式.
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解
成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因
式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程
的方法称为分解因式法.
2x 10 ,或 2x 10.
x12,x21.
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
x1
12;x2
1. 2
1.化方程为一般形式;
2. 将方程左边因式分解;
3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.
4. 分别解两个一元一次方程，它A 们的根就是原方程的根. 9
例题欣赏 ☞
用分解因式法解方程:
A
13
下课了!
结束寄语
• 配方法和公式法是解一元二次方程 重要方法,要作为一种基本技能来掌 握.而某些方程可以用分解因式法简 便快捷地求解.
A
14
(1)5x2=4x; (2)x-2=x(x-2); (3)x2+6x-7=0
(1)解 :5x24x0, 2 解 x 2 ： x x 2 0 ,
x5x40.
x21x0.
x0,或 5x40.
x1
0;
x2
4. 5
x 20 ,或 1 x0 .
x12;x21.
（3）利用十字相乘法： x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).
A
1
回顾与复习 1
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法: x2=a (a≥0)
(2)配方法: (x+h)2=k (k≥0)
(3)公式法: xbb24a.cb24ac0. 2a
A
2
心动 不如行动 你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？
1 1
解 (x ： 1)x (7)0 x 10 或 x70
1 7
A
x11,x27 10
1.解下列方程
(1)x2 x0
解:x(x1)0. x10,x21.
(3)3x26x3
解: x2 2x10 (x1)2 0.
x1x21.
(2)x22 3x0
解:x(x2 3)0.
x10,x22 3.
(4)4x21210
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x2 3x.
小亮是这样想的 : 如果 ab0, 那么a0或b0 或ab0.
即,如果两个因式的积等0于, 那么这两个数至少有个一为0.
A
小亮是这样解的 :
解 :由方 x2 程 3x,得 x23x0.
∴x+6=0,或x-4=0.
∴x1=-2, x2=2.
∴x1=-6, x2=4.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法?
A
7
解题步骤演示
例 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为:
方程x2右+2边x－化8为=零0
左边分(解x－成两2)个(x一+次4)因=0式 的乘积
至少有一个x一－次2因=式0或为零x得+4到=两0个一元一次方程
解:设小圆形场地的半径为r.
(r 5)2 2r2
r 10 200.
r2 10r 250
2
负值 A 舍 ,r去 55 2. 12
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
1. 将方程左边因式分解，右边等于0;
2. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个 一元一次方程.
3. 分别解两个一元一次方程，它们的根就 是原方程的根.
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x2 3x.
小颖是这样解的 : 解:x23x0.
(3)24109. x 3 9 . 2
这个数 0或 是 3.
小颖做得对吗?
A
小明是这样解的 :
解:方程x2 3x两 边都同时约x去 ,得.
x3. 这个数是 3.
小明做得对吗?
3
心动 不如行动 你能解决这个问题吗
（3）十字相乘法:
1 a
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 1 b
A
6
学习是件很愉快的事
淘金者
• 你能用分解因式法解下列方程吗？
1. x2-4=0;
解： (x+2)(x-2)=0,
2. (x+1)2-25=0.
解： [(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+2=0,或x-2=0.
两个一元∴一x次1=方2程,x的2解=-就4 是原方程的解
A
8
例题欣赏 ☞
例3 解下列方程:
(1)x(x-2)+x-2=0; (2)5x22x1x22x3,
解 x (x 2 ： ) x 2 0 ,
4
4
解:移项,合并同类,得 项：
x2x10.
4x2 10,
x20,或 x10. (2x 1 )2x 1 0.