最佳平方逼近方法
最佳平方逼近的误差
最佳平方逼近的误差
最佳平方逼近是一种数学方法，用于逼近一个函数或数据集。
这种方法通过选择一个简单的函数（如多项式）来逼近目标函数或数据集，使得逼近误差的平方和最小。
最佳平方逼近的误差是指逼近函数与目标函数之间的误差。
这个误差可以通过最小化逼近误差的平方和来获得。
具体来说，对于一个给定的数据集，我们可以选择一个多项式函数来逼近它。
然后，我们可以通过最小化逼近函数与数据集之间的平方误差来找到最佳的逼近多项式。
最佳平方逼近的误差可以通过以下步骤计算：
确定逼近函数的形式，例如多项式函数。
确定逼近函数的系数，使得逼近函数能够最佳地逼近目标函数或数据集。
计算逼近函数与目标函数或数据集之间的平方误差。
最小化平方误差，以获得最佳的逼近效果。
最佳平方逼近的误差通常是一个衡量逼近效果好坏的指标。
如果误差较小，则说明逼近效果较好；如果误差较大，则说明逼近效果较差。
在实际应用中，我们通常会选择一个合适的逼近函数和系数，以使得逼近误差最小化。
研究生数值分析(20)函数的最佳平方逼近
L1 )
3 2
1 1
t 2
1 tdt 6 15
可知
q1(t)
2 3
L0 (x)
6 15
L1 ( x)
2 3
6 15
t,
1 t 1
把 t =2x-1代人 q1(t) 得 x 在区间[0，1]上的一次最佳平方 逼近多项式
p1(t)
2 3
6 15
(2x
1)
4 15
12 15
m
m
[ * ( xi )
i 1
yi ]2
min ( x )
[ ( xi )
i 1
yi ]2
其中 (x) 为函数类Φ 中任意函数。
因此，用最小二乘法解决实际问题包含 如下2个基本环节：
（1）确定函数类Φ ，即确定 (x) 的形式。 这不是一个单纯的数学问题，还与其
12 15
所求的最佳平方逼近元素为
p(x) 4 12 x, 15 15
0 x 1
二、正交函数系在最佳平方逼近中的应用 对于一般的基底 0 (x),1(x),,n (x)
当 n 较大时，计算法方程中的 (k , j ) 以及求解法方程的计算量都是很大的。 1, x, x2 ,, xn 作基底，当ρ(x)≡1时， 虽然 (k , j ) (xk , x j ) 容易计算，但由此形成 的法方程系数矩阵G在 n稍大时是病态矩阵， 在计算机上求解法方程，其结果不太可靠。
§6 函数的最佳平方逼近 一、最佳平方逼近的概念与解法
用简单函数 p (x)去近似一个给定区间[a， b]上的连续函数 f (x)，是函数逼近要研究的 问题。度量逼近误差标准有许多种，这里 介绍一种称为平方逼近的函数逼近。
数学实验“Chebyshev多项式最佳一致逼近,最佳平方逼近”实验报告(内含matlab程序)
f=c(1)+c(2)*t;
fori=3:k+1
T(i)=2*t*T(i-1)-T(i-2);
c(i)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(i)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;
实验内容
Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近
成绩
教师
实验十八实验报告
一、实验名称：Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。
二、实验目的：进一步熟悉Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。
三、实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成程序设计。
四、实验原理：
1．Chebyshev多项式最佳一致逼近：
当一个连续函数定义在区间 上时，它可以展开成切比雪夫级数。即：
其中 为 次切比雪夫多项式，具体表达式可通过递推得出：
它们之间满足如下正交关系：
在实际应用中，可根据所需的精度来截取有限项数。切比雪夫级数中的系数由下式决定：
2．最佳平方逼近：
求定义在区间 上的已知函数最佳平方逼近多项式的算法如下。
f2=power(a,n+1);
C(i,n+1)=(f1-f2)/(n+i);
end
coff=C\d;
设已知函数 的最佳平方逼近多项式为 ，由最佳平方逼近的定义有：
其中
形成多项式 系数的求解方程组
第二章最佳平方逼近
第二章 最佳平方逼近为了便于计算和分析，常常需要用一个简单的函数()x ϕ来近似代替给定的函数()f x ，这类问题称为函数逼近问题。
插值问题以及Taylor 展开问题都属于这类问题。
本章介绍另一种函数逼近问题，即最佳平方逼近。
最佳平方逼近问题的提法是：设()f x 是[],a b 上的连续函数，n H 是所有次数不超过n 的多项式的集合，在n H 中求()n P x *逼近()f x ，使()()()()()1/2222infnb n naP x H f Px f x P x dx f Pρ**∈⎡⎤-=-=-⎣⎦⎰此时称()n P x *为()f x 在[],a b 上的最佳平方逼近多项式。
我们将要研究()n P x *是否存在？是否唯一？如何求得()n P x *？首先介绍正交多项式及其性质。
§1、正交多项式正交多项式是函数逼近的重要工具，在数值积分中也有广泛的应用。
1.1正交函数系的概念定义1 设()x ρ定义在[],a b 上（有限或无限），如果满足条件：（1）()[]0,,x x a b ρ≥∈； （2）()()0,1,bnax x dx n ρ=⎰存在；（3）对非负连续函数()f x ，若()()0ba f x x dx ρ=⎰，则在[],a b 上一定有()0f x ≡那么称()x ρ是区间[],a b 上的权函数。
简称为权函数。
权函数()x ρ的一种解释是物理上的密度函数，相应的()bax dx ρ⎰表示总质量。
当()x ρ=常数时，表示质量分布是均匀的。
下面引进内积定义。
定义2 给定()[]()(),,,,f x g x C a b x ρ∈是[],a b 上的权函数，称 ()()(),()ba f g x f x g x dx ρ=⎰ ()1.1为函数()f x 与()g x 在[],a b 上的内积。
内积具有下列简单性质： ()f g g f （1）、（，）=，；()()()1212,)(,00.f g f g R f f g f g f g f f f ααα∈++≠>（2）、（，）=，；（3）、 （，）=（4）、 当时，， 此外，还有如下Cauchy-Schwarz 不等式()()()2,,,.f g f f g g ≤⋅ ()1.2我们知道，一个向量的长度的几何概念，对于函数空间及逼近有许多自然的应用。
计算方法 最佳平方逼近-最小二乘法
只需证明 (s(x), s(x)) (s(x), f(x)) 即：
n
n
n
( akk (x), ajj(x)) ( akk (x), f(x))
k0
j0
k0
整理上式，得
n
n
n
ak[ aj(k(x), j(x))]
ak (k (x), f(x))
k0
j0
k0
根据之前S*(x)存在性证明过程中得到的(3.3)式，即：
10 27
88 x 135
平方误差 :|| δ(x) ||22
1xdx
1
( 10 27
7 12
31 80
) 88
135
4
1.02
p1* (x)
10 27
88 x. 135
1
f(x) x
平方误差 : || δ(x) ||22 0.0001082.
0.37
1/4
1
观察：在[1 , 1]上，f(x) 4
n
|| f(x) ||22 ak* (f, k ) (4.5) k0
逼近误差公式证明
|| δ(x) ||22 || f(x) - s(x) || (f(x) - s(x), f(x) - s(x)) (f(x), f(x)) (f(x), s(x)) - (s(x), f(x)) (s(x), s(x))
(x)dx
n
(k , j )aj (f, k ), k 0,1,...,n (3.3)
j0
展开成方程组形式：
(0 , 0 )a0 (0 , 1 )a1 (0 , n )an (f, 0 ) (1 , 0 )a0 (1 , 1 )a1 (1 , n )an (f, 1 )
最佳平方逼近
(1,1) (2,1) L
A
(1,2
)
(2,2 )
L
L
LL
(1,m ) (2,m ) L
(m,1)
(m
,2
)
L
(m
,
m
)
称为函数1(x)，.....，m (x)的Gram矩阵，
A显然是对称矩阵。
若1(x)，.....，m (x)线性无关，则它们
0
3
(ex ,1) 2 ex 1dx e2 1 0
(ex , x) 2 ex xdx e2 1 0
法方程组为
2a0
2a0
2a1 8 3 a1
e2 1 e2 1
a0=0.1945 , a1=3.0000
最佳平方逼近一次多项式为 0.1945+3.0000x
8 7 6 5 4 3 2 1 0
b w(x) f (x) g(x)2 dx a
函数f (x)和g(x)正交
b
( f , g) a w(x) f (x)g(x)dx 0
设次数不超过n的多项式空间为n ,显然 是C[a, b]的一个子空间，
n的基为1, x,..., xn ,则，p(x) a0 a1x ... anxn n 是f (x)在n的最佳逼近元的充分必要条件为
a0 (1,1) a1(x,1) ... an (xn ,1) ( f ,1)
a0 (1, x) a1(x, x) ... an (xn , x) ( f , x)
a0 (1, xn ) a1(x, xn ) ... an (xn , xn ) ( f , xn )
求解法方程组，得到a0，a1，...，an
函数的一次最佳平方逼近
2013-2014（1）专业课程实践论文题目：函数的最佳平方逼近一、算法理论下面研究在区间[],a b 上一般的最佳平方逼近问题。
对于给定的函数()[,]f x C a b ∈，如果存在*01(){(),(),,()}n S x Span x x x ϕϕϕ∈使得[]22*()()()min ()()()bb a a a x b x f x S x dx x f x s x dx ρρ≤≤⎡⎤-=-⎣⎦⎰⎰则称*()s x 是()f x 在集合01{(),(),,()}n Span x x x ϕϕϕ 中的最佳平方逼近函数。
为了求*()s x ，由式可知，该为题等价于求多元函数。
若用H 表示行列式2(1,,,....,)n Gn G x x x =对应的矩阵，则*()s x ， H 称为Hilbert 矩阵。
记01(,,....,)T n a a a a =，01(,,....,)T n d d d d =其中 (,)(0,1,.....,)k k d f x k n ==则方程 Ha d =的解*(0,1,.....)k k a a k n ==即为所求。
二、算法框图三、算法程序#include<stdio.h>#include<math.h>double function1(double x){ double s1;s1=1/sqrt(4+x*x);//替换函数return s1;}double function2(double x){ double s2;s2=x/sqrt(4+x*x);//替换函数return s2;}double ReiterationOfSimpson(double a,double b,double n,double f(double x)){ double h,fa,fb,xk,xj;h=(b-a)/n;fa=f(a);fb=f(b);double s1=0.0;double s2=0.0;for(int k=1;k<n;k++){ xk=a+k*h;s1=s1+f(xk);}for(int j=0;j<n;j++){ xj=a+(j+0.5)*h;s2=s2+f(xj);}double sn;sn=h/6*(fa+fb+2*s1+4*s2);return sn;}int main(){ double a=0.0,b=1.0,Result[2];int n=5;Result[0]=ReiterationOfSimpson(a,b,n,function1);Result[1]=ReiterationOfSimpson(a,b,n,function2);printf("d0=%f,d1=%f\n\n",Result[0],Result[1]);double x[2]={Result[0],Result[1]};double a0,a1;a0=4*Result[0]-6*Result[1];a1=12*Result[1]-4*Result[0];printf("a0=%5.7f,a1=%5.7f\n\n",a0,a1);}四、算法实现例1. 求()f x x =在[1,1]-上的一次最佳平方逼近解：运行程序，把替换函数分别改成s1=abs(x)，s2=x*abs(x)， 上机运行截图例2. 设()1/0,1上的一次最佳平方逼近多项式。
第四章 3最佳平方逼近(1)
§3 最佳平方逼近摘要：介绍内积赋范线性空间中的最佳平方逼近的特征，最佳逼近元存在唯一性及求解；2,L a b ρ⎡⎤⎣⎦中的最佳平方逼近问题的讨论。
一、赋范线性空间定义1 线性空间X 称为赋范线性空间，如果其上赋予一个满足如下3条性质的函数：（1）0,00,;x x x x X ≥=⇔=∈ （2）,,;α=∈∈ax a x x X（3）,,.x y x y x y X +≤+∈ 则称是线性空间X 的范数。
例1 欧氏空间(欧几里德空间（Euclid ）)n:12221,,=⎛⎫=∈⎪⎝⎭∑nnk k x x x范数称为欧氏范数或2-范数。
例2 1-范数赋范线性空间n：11,,==∈∑nnk k x x x称为1-范数。
定义2 赋范线性空间中的最佳逼近：若Y 是赋范线性空间X 的一个线性子空间，x X ∈，则称量(),inf y Yx Y x y∈∆=-为子空间Y 对元素x 的最佳逼近，而使上式成立的元素*y 称为最佳逼近元，且Y 称为逼近子空间。
二、内积空间定义3 假设X 是一线性空间，如果其上赋予一个满足如下4条性质的二元函数(),：()()(1)(,)(,),,;(2)(,)(,),,,;(3)(,)(,)(,),,,;(4),0,;,00,ααα=∀∈=∀∈∈+=+∀∈≥∀∈=⇔=x y y x x y X x y x y x y X x y z x z y z x y z X x x x X x x x则称X 为内积空间。
例3 欧几里得空间n： (),,,=∈Tnx y x y x y内积→范数：2x ，2x 满足范数的3条性质。
内积空间→赋范线性空间定义4 内积空间中的最佳逼近：假设(1,2,,)ϕ=i i n 是内积空间X 中的n 个线性无关的元素，f X ∈，则子集{}12,,,ϕϕϕΦ=n n span对f 的最佳平方逼近定义为()2,min ϕϕ∈Φ∆Φ=-nn f f . （1） 使（1）成立的那个元素称为最佳逼近元素。
计算方法 第五章第二节最佳平方逼近
n
2
i 0
a
i 0
上述方程组称为正规方程组。也可以写为
( p, j ) ( f , j )，j 0,1,..., n.
由于0 ( x), 1 ( x),..., n ( x) 线性无关，由性质5.2.3，该方程组 的系数矩阵非奇异，因而方程组存在惟一解。
可以证明，最佳平方问题的解存在惟一且就是正规方程组的解。
b
j i,
j i,
则称多项式族 {g n ( x)} 在[a, b] 上带权 ( x) 正交，并称 g n ( x)是[a, b] 上带权 ( x)的 n 次正交多项式。
一般情况下，当权函数 ( x)及区间[a, b] 给定后，人们 可通过Gram－Schmidt正交化过程，由{1, x,..., x n }构造 出相应的正交多项式。
2
的最小值。
由多元函数取极值的必要条件 S 0,
a j
j 0,1,..., n,
得
n aii ( x) f ( x) j ( x)dx 0， j 0,1,..., n. a ( x) i 0
b
于是有
)，j 0,1,..., n. ( , ) a ( f , S (a0 , ai1 ,...,jan ) :i ( x) j aii ( x) f ( x) dx
2
2
2
2
f g f g 2 f g
2
2
2
2
,
f , g Y.
二、 函数的最佳平方逼近
已知函数 f ( x) C[a,b] 及C[a,b]中的一个子集 span{0 , 1 ,..., n }，如果 p( x) span{0 , 1,..., n}，使得
计算方法第四章(逼近法)
2n {
m j0
aj
m i 1
x jk i
m i 1
xik
yi }
m
m
记： sl xil , tl xil yi
i 1
i 1
n
得正规方程组(法方程)： s jkaj tk , k 0,1,L , n
j0
2. 内积
定义：设 X 为 R 上的线性空间，对于 X 中的任意两
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.58 0.81 1.01 1.32 1.49 1.67 1.93 2.18 2.395
得正规方程组：
94a50a0452a815a15.83141.962 a0 0.15342, a1 0.09845 a 1.424, b 0.2267 y 1.424e0.2267x
1 8
(35x4
30x2
3),
P5
(
x)
x3
15
x)
LL
证明:
由分部积分法得(Pk , Pj )
1 [(x2 1) j ]( j)[(x2 1)k ](k) dx
1
1 [(x2 1) j ]( j) d[(x2 1)k ](k1) 0 1 [(x2 1)k ](k1)[(x2 1) j ]( j1) dx
多项式，或称为变量x 和 y 之间的经验公式.
显然，S 达到最小值，则
S 0 , k 0,1,L , n ak
S
ak
2 m
m i 1
[ P( xi
)
yi
最佳平方逼近
( p f,p q ) ( f q ,p q ) 0
这说明, p(x) q(x) 于 [a, b].
9
三、最佳平方逼近函数的求解
利用 ( f p*, j )=0, 可求出最佳平方逼近函数 p*. 设
(x) 最佳平方逼近的函数 ( f p*, j )=0, j=0,1,…,n. 其中, {0x,1x, , nx}为子空间 Hn 的一组基.
证: () 反证法, 设有函数 kx, 使得 ( f p*, k) k 0 , 令 q(x) p*(x) kx k /(k, k), 显然, q(x)Hn . 利用内
积的性质, 可得
(f q ,f q ) (f p * ,f p * ) (2 k ,k k )(f p * ,k ) ( k 2 ( k ,k ,k ) k 2 )
(fp * ,fp * )( k,k 2k)(fp * ,fp * )
k
这说明, p*(x) 不是对 f (x) 最佳平方逼近的函数, 矛盾.
7
() 若 ( f p*, j )=0, j=0,1,…,n 成立, 对任意的 p(x)Hn ,有
( f p , f p ) ( f p * p * p , f p * p * p )
( f p * , f p * ) 2 ( f p * , p * p ) ( p * p , p * p )
(0,1) (1,1)
((10,,nn))cc10**((ff,,10))
(n,0) (n,1) (n,n)cn* (f,n)
由于 0x,1x, , nx 线性无关, 可以推得上系数阵是
最佳平方逼近与最小二乘拟合
最佳平方逼近与最小二乘拟合——两者的区别与联系 函数逼近是用一个多项式无限接近原函数，而拟合是将函数中的元素联系起来。
也就是说，最佳平方逼近是针对函数，最小二乘法是针对离散的点，二者在形式上基本一致。
另外，最小二乘拟合也称为离散型最佳平方逼近，两者的解法有很多相似之处。
一、 函数的最佳平方逼近 （一）最佳平方逼近函数的概念对[]b a C x f ,)(∈及[]b a C ,中的一个子集{}n span ϕϕϕφ,,,10⋯=，若存在φ∈)(*x S，使[]dx x S x f x S f Sf baS S ⎰-=-=-∈∈22222*)()()(infinf ρϕϕ，则称)(*x S 是)(x f 在子集[]b a C ,⊆φ中的最佳平方逼近函数。
（二）最佳平方逼近函数的解法为了求)(*x S ，由[]dxx S x f x S f Sf baS S ⎰-=-=-∈∈22222*)()()(infinf ρϕϕ可知，一般的最佳平方逼近问题等价于求多元函数dxx f x a x a a a I banj j j n 2010)()()(),,,(⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⋯=ϕρ的最小值问题。
由于),,,(10n a a a I ⋯是关于n a a a ,,,10⋯的二次函数，利用多元函数极值的必要条件),,1,0(0n k a Ik⋯==∂∂，即),,,,1(2nn x x x G G =n),,1,0(0)()()()(20⋯==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∂∂⎰∑=k dx x x f x a x a Ik b a n j j j kϕϕρ，于是有()()),,1,0(,,0n k f a k j nj j k ⋯==∑=ϕϕϕ。
()()),,1,0(,,0n k f a k j nj j k⋯==∑=ϕϕϕ是关于n 10,,,a a a ⋯的线性方程组，称其为法方程。
由于n ϕϕϕ,,,10⋯线性无关，故系数行列式()0,,,10≠⋯n G ϕϕϕ，于是方程组()()),,1,0(,,0n k f a k j nj j k⋯==∑=ϕϕϕ有唯一解),,1,0(*n k a a k k ⋯==，从而得到)()()(*0*0*x a x a x S n n ϕϕ+⋯+=。
4章§3 最佳平方逼近
( f , g) = ∫ ρ(x) f (x)g( x)dx
a
b
称为函数f(x)与g(x)在[a，b]上的内积.
容易验证这样定义的内积满足下列四条公理； 1) ( f , g)=(g, f ) ； 2) (cf , g)=c(f , g) ，c为常数； 3)
( f1 + f2 , g)=(f1, g) + ( f2 , g)； 4) ( f , f ) ≥ 0 ,当且仅当时 ( f , f )=0
f −S
* 2 2
= inf f − S 2 = inf
2 s∈ ϕ s∈
ϕ ∫
b
a
ρ (x)[ f (x) − S(x)]2 dx
(3.11)
则称 S*(x) 是 f (x) 在子集 ϕ ⊂ C[a, b]中的最佳平方逼近函数.为 了求 S*(x) ，由 3.11)可知该问题等价于求多元函数
I (a0 , a1,Lan ) = ∫ ρ(x)[∑a jϕ j (x) − f (x)]2 dx
用{1，x，…，xn)做基，求最佳平方逼近多项式，当n较大时，系数 矩阵(3.16)式是高度病态的(病态矩阵概念见第七章)，求法方程 (3.13)的解，舍人误差很大，这时要用正交多项式做基，才能求得 最小平方逼近多项式(见§5).
P* (x) ∈ Hn ，使 n
f − P* = k
2
∫ [ f (x) − P (x)] dx = inf
b a * n 2
P∈H
f −P 2
Pn* (x) 就是f(x)在[a，b]上的最佳平方逼近多项式.
我们要研究 P* ( x) 是否存在?
n
如何计算 P* (x) ?为此先介绍一些有关内积空间的预备知识. n
最佳平方逼近方法
最佳平方逼近方法(总7页)
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2016-2017（1）专业课程实践论文用最佳平方逼近法求逼近函数
肖夏， 29，R数学12-1班
一、算法理论
设函数组都是上的连续函数，并且在上线性无关。
以此函数组为基，生成空间上的一个子空间
则中的任意一个元素为
对空间的任意两个函数，，定义内积
对于给定的函数，若，满足
则称为子空间中对于的最佳逼近平方元素。
特别地，若，则称满足条件的，为函数在区间上带权的次最佳平方逼近多项式。
设，是子空间中对于的最佳平方逼近元素的充分必要条件是，或对于任意一个，总有。
求最佳平方逼近元素，只要求出。
因
得
求出，带入即可。
二、算法框图
是
开始
定义权函数，和函数
输入，，
否
三、算法程序
function S=abc(n,a,b) 在上的一次最佳平方逼近多项式。
解：
由方程组
，，
第一题的解：
例2. 求在上的一次最佳平方逼近多项式。
解：
结束
由方程组
，，
第二题的解：
例3. 求在上的2次最佳平方逼近多项式。
解：
由方程组
，，，
第三题的解：
例4.求在上的一次最佳平方逼近多项式。
解：
由方程组
，，
第三题的解：。
最佳平方逼近
4 15 4 5 x. 0 x 1
所求的最佳平方逼近元
素为 p ( x )
5.6.2 正交系在最佳平方逼近中的应用
当 0x,1x, , nx, 是正交系时,求解最佳平方逼 近式(5.82)中的系数非常容易. 目标: 求下面的最佳平方逼近式中的系数
（ 5.84）
函数 f 的 L-最佳平方逼近函数为
pL ( x )
n k 0
c k L k ( x ),
(L)
1 x 1
（5.85）
遇到区间[a,b], 通过下面的变换把问题转化到[-1,1]上处理.
x a b 2 b a 2 t.
函数 f (x) 的 Legendre 无穷级数
三、最佳平方逼近函数的求解
利用 ( f p*, j )=0, 可求出最佳平方逼近函数 p*. 设
p * (x)
n
故
0
ck k ( x)
*
n * k
k 0
f
p *,
j
f , c
j k 0 j
k
,
j
(5.82)
n
ck k ,
1
( f , g)
1
f ( x ) g ( x )dx
L-正交多项式为 L0x, L1x, , Lnx, 用(5.83), 有
ck
(L)
( f , Lk ) ( Lk , Lk )
2k 1 2
1
1
L
k
( x ) f ( x )dx ,
k 0,1, 2, ..., n
最佳平方逼近方法
特别地，若
，
则称满足条件的
，为函数
在区间 上带权 的 次最佳平方逼近多项式。
设
，
是子空间 中对于 的最佳平方逼近元素的充
分必要条件是
，
或对于任意一个 ，总有
。
求最佳平方逼近元素 因
，只要求出 。
得
得
求出 ，带入
即可。
二、算法框图
开始
定义权函数
，和函数
输入 ， ， 否
是
三、算法程序
function S=abc(n,a,b) 项式。 解：
结束
在 上的一次最佳平方逼近多
由方程组
，
，
结束
第一题的解：
例 2. 求 解：
在 上的一次最佳平方逼近多项式。
由方程组
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，
，
第二题的解：
例 3. 求 解：
在 上的 2 次最佳平方逼近多项式。
由方程组
，
，
，
第三题的解：
例 4.求 解：
在 上的一次最佳平方逼近多项式。
由方程组
，
，
第三题的解：
2016-2017（1）专业课程实践论文
用最佳平方逼近法求逼近函数
肖夏， 29，R 数学 12-1 班
一、算法理论
设函数组
都是 上的连续函数，并且在
此函数组为基，生成空间
上的一个子空间
上线性无关。以
则 中的任意一个元素为
对空间
的任意两个函数 ， ，定义内积
对于给定的函数
，若
，满足
则称
为子空间 中对于 的最佳逼近平方元素。
最佳三角多项式平方逼近
最佳三角多项式平方逼近最佳三角多项式平方逼近是一种数学方法，用于找到最接近给定数据集的三角多项式。
这种方法可以在各种领域中找到广泛的应用，包括信号处理、数据分析和图像处理。
下面将通过一个具体的例子来说明最佳三角多项式平方逼近的原理和应用。
假设我们有一组离散的数据点，表示某个周期性现象的变化趋势。
我们的目标是找到一个三角多项式，使得该多项式的平方与数据点的误差最小。
简单来说，我们希望找到一个函数，尽可能地逼近这些数据点，并且在逼近过程中最小化误差。
为了实现这个目标，我们可以使用最小二乘法。
最小二乘法是一种常见的数学方法，用于拟合数据和模型之间的关系。
它通过最小化残差平方和来找到最佳的拟合曲线。
在三角多项式平方逼近中，我们可以使用最小二乘法来找到最佳的三角多项式。
具体来说，我们可以使用三角函数的线性组合作为三角多项式的形式。
常见的三角函数包括正弦函数和余弦函数。
通过选择适当的系数，我们可以将这些三角函数进行线性组合，并得到一个逼近函数。
然后，我们可以使用最小二乘法来找到最佳的系数，使得逼近函数的平方与数据点的误差最小。
最佳三角多项式平方逼近的优点是可以适应不同类型的数据集。
它可以在周期性数据和非周期性数据中都得到良好的逼近效果。
此外，该方法还可以通过调整三角多项式的阶数来控制逼近的精度。
较高阶的三角多项式可以更精确地逼近数据，但也可能导致过拟合问题。
需要注意的是，最佳三角多项式平方逼近并不是万能的。
它的适用范围有一定限制，对于某些特殊的数据集可能效果不佳。
此外，该方法也需要一定的数学基础和计算能力才能正确应用。
总结来说，最佳三角多项式平方逼近是一种用于找到最接近给定数据集的三角多项式的数学方法。
它通过最小化平方误差来实现数据的逼近。
该方法在各种领域中都有广泛的应用，并且可以通过调整阶数来控制逼近的精度。
然而，需要注意该方法的适用范围和限制，并具备一定的数学基础和计算能力才能正确应用。
ch03d用勒让德多项式求最佳平方逼近
§4 曲线拟合的最小二乘法
例：已知一组实验数据如下表，求它的曲线拟合。
xi 1 2 3 4 5 yi 4 4.5 6 8 8.5 i 2 1 3 1 1
解：（1）作线性拟合(不考虑权系数），选取0(x) 1，1(x) x, m 4,n 1.
S(x) a40 a1x
(0 ,0 ) 1 = 5 i0
插值
数值逼近
问题一 已知一个函数的数值表
x
x1
x2 …… xn
y
y1
y2 …… yn
能否找到一个简单易算的 p(x) ，使得 p(xi) = yi 。
问题二 函数 f(x) 的表达式非常复杂，能否找到一个简 单易算的 p(x) ，使得p(x) 是 f(x) 的一个合理的逼近。
问题三 问题一的表中的数值带有误差，能否找到一 个简单易算的 p(x) ，可以近似地表示这些数据。
C[-1, 1] 在 中的 n 次最佳平方逼近多项式为
其中
n
sn ( x) akPk ( x)
k0
ak
( f , Pk ) ( Pk , Pk )
2k 1 2
1 1
f ( x)Pk ( x)dx
由最佳平方逼近多项式的唯一性可知，这里的 sn( x) 与直 接以{1, x, ..., xn}为基得到的最佳平方逼近多项式是一致的
最佳逼近多项式。 上与零偏差最小的多项式
近似最佳逼近多项式
该定理给出了切比雪夫多项式的一个非常重要的性质， 该性质被广泛用于求函数的近似最佳逼近多项式。
由定理可知，若 f (x) - pn(x) =aTn+1(x) ，则在 [-1, 1] 上 有 n+1 个轮流为正负的偏差点，由切比雪夫定理， pn(x) 是 Pn中，在 [-1, 1] 上多项式 f (x) 的最佳逼近多项式。
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2016-2017（1）专业课程实践论文用最佳平方逼近法求逼近函数
肖夏， 29，R数学12-1班
一、算法理论
设函数组φ0,φ1,…，φm 都是[a,b]上的连续函数，并且在[a,b]上线性无关。
以此函数组为基，生成空间C[a,b]上的一个子空间
H =Span{φ0,φ1,…，φm }
则H 中的任意一个元素为
p (x )=∑c j φj (x )m
j=0
对空间C[a,b]的任意两个函数f ，g ，定义内积
(f,g )=∫ω(x )f (x )g (x )dx b
a
对于给定的函数f(x)∈C[a,b]，若p ∗(x )∈H ，满足
(f −p ∗,f −p ∗)=min p∈H (f −p,f −p )
则称p ∗(x )为子空间H 中对于f(x)的最佳逼近平方元素。
特别地，若φj (x )=x j ，j =0,1,…m 则称满足条件的p ∗(x )∈H ，为函数f (x )在区间[a,b]上带权ω(x )的m 次最佳平方逼近多项式。
设f(x)∈C[a,b]，p ∗(x )∈H 是子空间H 中对于f(x)的最佳平方逼近元素的充分必要条件是(f −p ∗,φj )=0，(j =0,1,…,m)或对于任意一个p (x )，总有(f −p ∗,p )=0。
求最佳平方逼近元素p ∗(x )=∑c k ∗φk (x )m k=0，只要求出c k ∗。
因
(f −p ∗,φj )=(f,φj )−∑c k ∗
(φi ,φj )=0m
k=0
得
∑c k ∗
(φi ,φj )=(f,φj )m
k=0
得
((φ0,φ0)⋯(φ0,φm )⋮⋱⋮(φm ,φ0)⋯(φm ,φm ))(c 0∗
⋮c m ∗)=((f,φ0)
⋮(f,φm )
) 求出c k ∗，带入p ∗(x )=∑c k ∗
φk (x )m k=0即可。
二、算法框图
三、算法程序
function S=abc(n,a,b) //创建一个函数，里面填入次数，和区间范围base=inline('x^(j-1)','x','j');///定义
quan=inline('1','x');
for k=1:(n+1)
for j=1:(n+1)
syms x
l(k,j)=int(base(x,k)*base(x,j)*quan(x),x,a,b); end
y(k)=int(base(x,k)*(sqrt(x^2+1)),x,a,b);//红色字体是f(x) end
l;
y';
c=vpa(inv(l)*y',3)
p=0;
for i=1:(n+1)
p=p+c(i)*base(x,i);
end
p
四、算法实现
例1.求f (x )=√x 2+1在[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。
解：
(f,φ0)=∫√x 2+1dx =121
ln(1+√2)+√2
2
≈1.147
(f,φ1)=∫x √x 2+1dx 10
=
2√2−1
3
≈0.609 由方程组
(
1
121213
)(c 0c 1)=(1.1470.609) c 0=0.934，c 1=0.427，p 1∗(x )=0.427x +0.934
第一题的解：
例2. 求f (x )=sinx 在[0,π
3]上的一次最佳平方逼近多项式。
解：
(f,φ0)=∫sinxdx =
1
2
π
3
0−1=−0.500 (f,φ1)=∫xsinxdx =
π3
√32−π
6
≈0.342 由方程组
(
1
1
21213
)(c 0c 1)=(−0.5000.342) c 0=0.036，c 1=0.843，p 1∗(x )=0.843x +0.036
第二题的解：
例3. 求f (x )=arctan x 在[0,1]上的2次最佳平方逼近多项式。
解：
(f,φ0)=∫arctanxdx =π41
−log (2)
2
=0.439
(f,φ1)=∫xarctanxdx =
10π4−1
2
≈0.285 (f,φ2)=∫x 2arctanxdx =
1
π12+log (2)6−16
≈0.211
由方程组
( 1
121312131413141
5)
(c 0c 1c
2)=(0.4390.2850.211) c 0=−0.005，c 1=1.080，c 2=−0.289，p 1∗(x )=−0.289x 2+1.080x −0.289
第三题的解：
例4.求f (x )=e 2x
在[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。
解：
(f,φ0)=∫e 2x dx =121
e 2x −1
2
≈3.195
(f,φ1)=∫xe 2x dx 10
=
14e 2+1
4
≈2.097 由方程组
(11
21213
)(c 0c 1)=(3.1952.097) c 0=0.195，c 1=6.000，p 1∗(x )=6.000x +0.195
第三题的解：。