最佳平方逼近方法

2016-2017（1）专业课程实践论文用最佳平方逼近法求逼近函数

肖夏， 29，R数学12-1班

一、算法理论

设函数组φ0,φ1,…，φm 都是[a,b]上的连续函数，并且在[a,b]上线性无关。以此函数组为基，生成空间C[a,b]上的一个子空间

H =Span{φ0,φ1,…，φm }

则H 中的任意一个元素为

p (x )=∑c j φj (x )m

j=0

对空间C[a,b]的任意两个函数f ，g ，定义内积

(f,g )=∫ω(x )f (x )g (x )dx b

a

对于给定的函数f(x)∈C[a,b]，若p ∗(x )∈H ，满足

(f −p ∗,f −p ∗)=min p∈H (f −p,f −p )

则称p ∗(x )为子空间H 中对于f(x)的最佳逼近平方元素。

特别地，若φj (x )=x j ，j =0,1,…m 则称满足条件的p ∗(x )∈H ，为函数f (x )在区间[a,b]上带权ω(x )的m 次最佳平方逼近多项式。 设f(x)∈C[a,b]，p ∗(x )∈H 是子空间H 中对于f(x)的最佳平方逼近元素的充分必要条件是(f −p ∗,φj )=0，(j =0,1,…,m)或对于任意一个p (x )，总有(f −p ∗,p )=0。

求最佳平方逼近元素p ∗(x )=∑c k ∗φk (x )m k=0，只要求出c k ∗

。 因

(f −p ∗,φj )=(f,φj )−∑c k ∗

(φi ,φj )=0m

k=0

得

∑c k ∗

(φi ,φj )=(f,φj )m

k=0

得

((φ0,φ0)⋯(φ0,φm )⋮⋱⋮(φm ,φ0)⋯(φm ,φm ))(c 0∗

⋮c m ∗)=((f,φ0)

⋮(f,φm )

) 求出c k ∗，带入p ∗(x )=∑c k ∗

φk (x )m k=0即可。

二、算法框图

三、算法程序

function S=abc(n,a,b) //创建一个函数，里面填入次数，和区间范围base=inline('x^(j-1)','x','j');///定义

quan=inline('1','x');

for k=1:(n+1)

for j=1:(n+1)

syms x

l(k,j)=int(base(x,k)*base(x,j)*quan(x),x,a,b); end

y(k)=int(base(x,k)*(sqrt(x^2+1)),x,a,b);//红色字体是f(x) end

l;

y';

c=vpa(inv(l)*y',3)

p=0;

for i=1:(n+1)

p=p+c(i)*base(x,i);

end

p

四、算法实现

例1.求f (x )=√x 2+1在[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。 解：

(f,φ0)=∫√x 2+1dx =121

ln(1+√2)+√2

2

≈1.147

(f,φ1)=∫x √x 2+1dx 10

=

2√2−1

3

≈0.609 由方程组

(

1

121213

)(c 0c 1)=(1.1470.609) c 0=0.934，c 1=0.427，p 1∗(x )=0.427x +0.934

第一题的解：

例2. 求f (x )=sinx 在[0,π

3]上的一次最佳平方逼近多项式。 解：

(f,φ0)=∫sinxdx =

1

2

π

3

0−1=−0.500 (f,φ1)=∫xsinxdx =

π3

√32−π

6

≈0.342 由方程组

(

1

1

21213

)(c 0c 1)=(−0.5000.342) c 0=0.036，c 1=0.843，p 1∗(x )=0.843x +0.036

第二题的解：

例3. 求f (x )=arctan x 在[0,1]上的2次最佳平方逼近多项式。 解：

(f,φ0)=∫arctanxdx =π41

−log (2)

2

=0.439

(f,φ1)=∫xarctanxdx =

10π4−1

2

≈0.285 (f,φ2)=∫x 2arctanxdx =

1

π12+log (2)6−16

≈0.211

由方程组

( 1

121312131413141

5)

(c 0c 1c

2)=(0.4390.2850.211) c 0=−0.005，c 1=1.080，c 2=−0.289，p 1∗(x )=−0.289x 2+1.080x −0.289

第三题的解：

例4.求f (x )=e 2x

在[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。

解：

(f,φ0)=∫e 2x dx =121

e 2x −1

2

≈3.195

(f,φ1)=∫xe 2x dx 10

=

14e 2+1

4

≈2.097 由方程组

(11

21213

)(c 0c 1)=(3.1952.097) c 0=0.195，c 1=6.000，p 1∗(x )=6.000x +0.195

第三题的解：