最优化方法简明教程—centre

①图与网破圈法：任取一个圈，去掉一条权最大的边，直到最小树。

避圈法：选最小权的边，避圈前进，直到最小树。

最短路算法：Dijkstra法：从V s给定P标号T标号λ标号（T标号变为P标号λ标号记位置）反向追踪：列表，d1(V1,V j)→d k(V1,V j)=min(ωij+d k(V1,V i))据最小权反向追踪网络优化：最小截集最大流：找到最小截集（弧的集合）标号法：开始，为的标号，最小费用最大流：邮递员问题：通过消灭奇点，找欧拉回路网络计划图：最早开始最晚开始机动时间最早结束最晚结束自由时差工期优化：人力，费用，工期优化。

费用率=（最短时间费用-正常时间费用）/（正常时间-最短时间）②排队论（保证服务质量，又减少费用）顾客源→（排队规则）队列→（服务规则）服务机构→离去服务规则：FCFS，LCFS，随机服务，PRM(顾客到达)|A(服务时间)|1(服务台数)|∞（容量）|∞（顾客源） N(t)队长N q (t)排队长T(t)顾客逗留时间T q (t)顾客等待时间 L 平均队长L q 平均等待队长W 平均逗留时间W q 平均等待时间 R 为系统利用率泊松流(M)：无后效性；平稳性；单个性；P1(t,t+Δt)=λΔt+o(Δt)；o(Δt)=∑∞2P n (t,t+Δt);E ξ=D ξ=λt （t 时刻n 个顾客的概率）负指数分布(M)：无记忆性(P(T>t+s/t>s)=P(T>t));[0,t)至少到达一 个顾客1-P 0(t ）=1-e -t λ,t>0!)()(K t e t V Ktk λλ-= ,2,1,0=K ⎩⎨⎧<≥-=-0,00,1)(t t e t F tiλξ),2,1( =i爱尔朗分布(E K )：（相当于泊松流到达后被k 个服务台均分顾客形成） (其中，t>0,E(T)=1/μ,Var(T)=1/μ2k ）)!1()()(1>-=--t e k t t f tk μμμK=1为M ，k=∞定长分布D,k ≥30正态分布近似 G 表示一般相互独立的随机分布 Little 公式：（四者知一即可）μ1+=q W W W L λ= q q W L λ= ρ+=q L L∑∞==0n nnP L∑∑∞=∞=+=-=sn n ms n q nP P s n L 0)(服务率：ρ=λ/μ(λ为到达μ为服务)排队系统分析：M|M|1|∞|∞（到达服从λ泊松过程，服务服从μ负指数分布）空闲：P=1-ρ.有k个顾客：P k=（1-ρ）ρk.L=（1-ρ）ρM|M|1|N|∞（到达服从λ泊松过程，服务服从μ负指数分布）P0=(1-ρ)/(1-ρ)N+1.P k=(1-ρ)ρk/(1-ρ)N+1.L=（1-ρ）ρ-(N+1)ρN+1/(1-ρ)N+1M|M|1|∞|m（到达服从λ泊松过程，服务服从μ负指数分布）P0=1/∑m0ρn m!/(m-i)!.P k=m!/(m-k)!/∑m0m!/(m-i)!.L=m-(1-P)/ρM|M|c|∞|∞（到达服从λ泊松过程，服务服从μ负指数分布）ρs=λ/μc=ρ/c，L q=(ρ)Cρs P0/c!(1-ρs)2.11)(11!1)(!1--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅+=∑ckckckPμλρμλ)(!1)(!1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤=-cnPcccnPnPncnnnρρM|M|c|N|∞（到达服从λ泊松过程，服务服从μ负指数分布）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<≤=-Nncpcccnpnpcnnnn!!ρρ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=--=--=+-∑∑1)1(!!1)1(!)1(!11111ccncnccn ccNccncNcncnpρρρρρρρρ)(∑=-=NcnnqpcnLM|M|c|∞|m（到达服从λ泊松过程，服务服从μ负指数分布）KMCCCMKMCCMCKMKMP∑∑+-+-∙=1)()!(1!)()!(!11!1ρρ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤-=-)1(,)(!)!(!)0(,)(!)!(!nmncPccnmmcnPnnmmPncnnμλμλ其中μλρcm=，∑=m1nS nPLM|G|1（到达服从λ泊松过程，服务服从μ负指数分布）)1(2222ρσλρ-+=q LM|D|1（到达服从λ泊松过程，服务服从μ负指数分布）)1(22ρρρ-+=LM|M|1（最优服务率μ）λμλμ-+=ws c c z &&0=μd dz →λλμsw c c +=*M|M|C （最优服务台数C ）Z(c*)≤z(c*-1)&Z(c*)≤z(c*+1)→)()1(/)1()(**'**c L c L c c c L c L w s --≤≤+- ③ 存储论存储费用，订货费用，生产费用，缺货费用 经济订购批量：不允许缺货，备货快：C(t)=C 3/t+kR+C 1Rt/2;dC/dt=0→t 0=sqrt(2C 3/C 1R),Q 0=Rt 0.允许缺货，备货快:C(t)=C 3/t+C 1(P-R)Tt/2t;dC/dt=0→t 0=sqrt(2C 3P/C 1R(P-R)),Q 0=Rt 0.允许缺货，生产需要时间：C(t,S)=(C 3+S 2C 1/2R+(Rt-S)2C 2/2R)/t;dC/dt=dC/dS=0→t 0=sqrt(2C 3(C 1+ C 2)/C 1R(P-R)),S 0=sqrt(2C 3C 2R/C 1(C 1+C 2)),Q 0=Rt 0.需求随机离散：C(Q)≤C(Q+1)，C(Q)≤C(Q-1)→∑-10Q P(r)≤k/(k+h)≤∑Q0P(r)需求随机连续： E(C(Q))=P ⎰∞Q(r-Q)φ(r)dr+C 1⎰Q0(Q-r)φ(r)dr+kQdE/dQ=0→F(Q)=⎰Q0φ(r)dr=(P-k)/(C 1+P) C 2>P 时，F(Q)=(C 2-k)/(C 1+C 2)（s,S ）型存储策略：需求为连续的随机变量（货物成本K/单位，存储费C 1/单位，缺货费C 2/单位，订购费C 3/单位，需求密度φ（r ）,S=I+Q ，其中I 表示原始积累，Q 表示进货数量） C(S)=C 3+KQ++⎰S 0C 1(S-r)φ（r ）dr+⎰∞SC 2(r-S)φ（r ）drC'(S)=0 →⎰Sφ（r ）dr=(C 2-K)/(C 1+C 2)查表可得S需求为离散的随机变量C(S)=C 3+KQ++∑≤Sr C 1(S-r)φ（r ）dr+∑>Sr C 2(r-S)φ（r ）drC(S i+1)≥C(S i )&&C(S i )≤C(S i-1)求得S需求备货时间都随机离散：（t 时间内需求量r 随机φt （r ），t 时间内平均需求为ρt,备货时间x 随机，概率为p(x),存储费C 1/单位.年，缺货费C 2/单位.阶段，订购费C 3，年需求D ，缓冲存量B ）先通过确定性模型求Q 0=E.O.Q=132C DC ,N 0=Q D(每年订购N 0次每次订Q 0)L=μρ+B,P L =∑Xp(x)F X (L)则：C(L,B)=(B+Q 0/2)C 1+P L C 2P L .求极值 ④ 决策论（单目标决策）战略决策(全局性，长远问题)、策略决策(为完成目标而定)、执行决策(执行方案选择)；定量决策、定性决策；确定型决策、风险决策、不确定型决策；单项决策、贯序决策；程序决策(可重复，有章可循)、非程序决策(凭直觉应变)面向过程（预决策→决策→决策后）面向结果(确定目标→收集信息→提出方案→方案选优→决策)不确定型决策：⏹悲观主义准则：maxi minj(a ij)⏹乐观主义准则：maxi minj(a ij)⏹等可能准则：maxi(E(S i))⏹最小机会准则：maxi(a ik)⏹折中主义准则：Hi=αa imax+(1-α)a imin。

风险决策：⏹EMV:maxi ∑jP j a ij(适用于以此决策多次重复进行)⏹EOL:mini ∑jP j a ij'(EOL i+EMV i=K表明决策结果一致)⏹EVPI:EPPL-EMV*=EVPI≥0(满足此条件时没白花钱)主观概率：直接估计法：要求参加者直接给出概率间接轨迹法：参加者通过排队或相互比较等给出概率修正概率方法：贝叶斯公式先由过去的经验或专家估计获得事前概率；再调查得条件概率；由贝叶斯公式得到时候概率：P(B i/A)=P(B i)P(A/B i)/∑P(B i)P(A/B i)效用理论：将要考虑的因素都折合为效用值，选综合效用值最大的方案。

直接提问法、对比提问法得到效用值，再用效用曲线进行拟合。

灵敏度分析：转折概率P=(a12-a22)/(a12-a22+a21-a11)⑤对策论G={S1,S2;A}为矩阵对策，S1={α1……αm}，S2={β1……βn},A=(a ij)mn, ifmaxi minja ij=minjmaxia ij=a i*j* 记V G=a i*j*则V G为G的值，(αi*,βj*)为G在纯策略意义下的解，αi*，βj*分别为的ⅠⅡ最优化策略。

G={S1,S2;A}纯策略意义有解⇔∍纯局势(αi*,βj*),ST a ij*≤a i*j*≤a i*j.⇔∍a i*j*是矩阵A的一个鞍点。

f(x,y),x∈A,y∈B,IF∍x*∈A,y*∈B∀x∈A,y∈B,有f(x,y*)≤f(x*,y*)≤f(x*,y)则(x*,y*)为f的一个鞍点。

无差别性，可交换性（对于鞍点的横坐标与纵坐标）混合策略：G={S1,S2;A}记S1*={x∈E m|x i≥0,i=1…m,∑m1x i=1}，S2*={x∈E n|y j≥0,i=1…n,∑n1y j=1}，S1*，S2*分别为ⅠⅡ的混合策略集.Ⅰ的赢得函数E(x,y)=X'AY:Ⅰ保证自己赢的期望值不少于v1=max*x1s∈min*2sy∈E(x,y)Ⅱ保证自己失的期望值最多为v2=min*1sy∈max*x2s∈E(x,y)v1≤v2.G*={S1*,S2*;E}是G={S1,S2;A}的混合扩充,if v1=v2,记v G,为对策G*的值.(x*,y*)为G在混合策略意义下的解，x*,y*分别为ⅠⅡ的最优混合策略。

G={S1,S2;A}混合策略意义下有解⇔∍x*∈S1*，y*∈S2* ST E(x,y*)≤E(x*,y*)≤E(x*,y)基本定理：✧记E(i,y)=∑jija y j,E(x,j)=∑iija x i,则E(x,y)=∑i∑jija x i y j= ∑iE(i,y)x j=∑jE(x,j)y i.✧(x*,y*)是G的解⇔∀i,j,E(i,y*)≤E(x*,y*)≤E(x*,j)⇔∍v ST,x*,y*分别是下列方程组的解且v=v G.∑iija x i≥v,j=1…n ∑jija y j≥v,j=1…m∑i x i=1 ∑jy j=1x i≥0,i=1…m y j≥0,i=1…m✧∀G={S1,S2;A}一定存在混合策略意义下的解（证:上述方程组互为对偶的线性规划，分别存在最优解(x*,v*)(y*,v*)）定理：(x*,y*)是G的解，v=v G则If,x i*>0,then ∑jija y j*=v;If∑jija y j*<v,thenx i*=0If,y j*>0,then ∑iija x i*=v;If∑iija x i*>v,theny j*>0运算：G1={S1,S2;(a ij)}✧G2={S1,S2;(a ij+L)}则v G2=v G1+L,T（G1）=T（G2）.✧G2={S1,S2;α(a ij)}则v G2=αv G1,T（G1）=T（G2）.✧A+A'=0,则v G=0,T1（G）=T2（G）.✧If ∀j=1…n;a ij≥a kj,则Ⅰ的纯策略a i优超于a k。