最小二乘法曲线拟合 原理及matlab实现

曲线拟合（curve-fitting ）：工程实践中，用测量到的一些离散的数据},...2,1,0),,{(m i y x i i =求一个近似的函数)(x ϕ来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势（即使)(x ϕ最好地逼近()x f ，而不必满足插值原则。因此没必要取)(i x ϕ=i y ，只要使i i i y x -=)(ϕδ尽可能地小）。 原理：

给定数据点},...2,1,0),,{(m i y x i i =。求近似曲线)(x ϕ。并且使得近似曲线与()x f 的偏差最小。近似曲线在该点处的偏差i i i y x -=)(ϕδ，i=1,2,...,m 。

常见的曲线拟合方法:

1.使偏差绝对值之和最小

2.使偏差绝对值最大的最小

3.使偏差平方和最小

最小二乘法：

按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。

推导过程：

1. 设拟合多项式为：

2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：

3. 问题转化为求待定系数0a ...k a 对等式右边求i a 偏导数，因而我们得到

了：

.......

4、 把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：

5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:

6. 也就是说X*A=Y，那么A = (X'*X)-1*X'*Y，便得到了系数矩阵A，同时，我们也就得到了拟合曲线。

MATLAB实现：

MATLAB提供了polyfit（）函数命令进行最小二乘曲线拟合。

调用格式：p=polyfit(x,y,n)

[p,s]= polyfit(x,y,n)

[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)

x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。x必须是单调的。矩阵s包括R（对x进行QR分解的三角元素）、df(自由度）、normr(残差）用于生成预测值的误差估计。

[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)在拟合过程中，首先对x进行数据标准化处理，以在拟合中消除量纲等影响，mu包含标准化处理过程中使用的x的均值和标准差。

polyval( )为多项式曲线求值函数，调用格式： y=polyval(p,x)

[y,DELTA]=polyval(p,x,s)

y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。

[y,DELTA]=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计Y DELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。则Y DELTA将至少包含50%的预测值。

如下给定数据的拟合曲线：

x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]，

y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。

解：MATLAB程序如下：

x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];

y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];

p=polyfit(x,y,2)

x1=0.5:0.05:3.0;

y1=polyval(p,x1);

plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')

运行结果如图1

计算结果为：

p =0.5614 0.8287 1.1560

即所得多项式为y=0.5614x^2+0.08287x+1.15560

图1 最小二乘法曲线拟合示例

对比检验拟合的有效性：

例：在[0,π]区间上对正弦函数进行拟合，然后在[0,2π]区间画出图形，比较拟合区间和非拟合区间的图形，考察拟合的有效性。

在MATLAB中输入如下代码：

clear

x=0:0.1:pi;

y=sin(x);

[p,mu]=polyfit(x,y,9)

x1=0:0.1:2*pi;

y1=sin(x1);%实际曲线

y2=polyval(p,x1);%根据由区间0到pi上进行拟合得到的多项式计算0到2pi上的函数值，%需要注意的是polyval（）返回的函数值在pi到2pi上并没有进行拟合

plot(x1,y2,'k*',x1,y1,'k-')

运行结果：

p =

0.0000 0.0000 -0.0003 0.0002 0.0080 0.0002 -0.1668 0.0000

1.0000 0.0000

mu =

R: [10x10 double]

df: 22

normr: 1.6178e-07

MATLAB的最优化工具箱还提供了lsqcurvefit（）函数命令进行最小二乘曲线拟合(Solve nonlinear curve-fitting (data-fitting) problems in least-squares sense)。

调用格式：

x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)

x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub)

x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub,options)

x = lsqcurvefit(problem)

[x,resnorm] = lsqcurvefit(...)

[x,resnorm,residual] = lsqcurvefit(...)

[x,resnorm,residual,exitflag] = lsqcurvefit(...)

[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqcurvefit(...)

[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqcurvefit(...)

[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian] =

x0为初始解向量;xdata，ydata为满足关系ydata=F(x, xdata)的数据;

lb、ub为解向量的下界和上界，若没有指定界，则lb=[ ]，ub=[ ];

options为指定的优化参数;