椭圆知识点及经典例题
椭圆知识点总结及练习
椭圆知识点总结及典型方法知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x≤，b y ≤。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 )0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。
a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记ac a c e ==22。
知识点四：椭圆12222=+b y a x 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的区别和联系知识点五: 椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e ，（0＜e ＜1）的点的轨迹为椭圆。
椭圆必记知识点及基本题型
椭圆必记知识点及基本题型标准 方程（焦点在x 轴）)0(12222>>=+b a by ax（焦点在y 轴）)0(12222>>=+b a bx a y 定 义平面内与两个定点1F ，2F 的距离的和等于定长（定长大于两定点间的距离）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫焦点，两定点间距离焦距。
{}a MF MF M 221=+()212F F a >范 围 x a ≤ y b ≤x b ≤ y a ≤顶点坐标 )0,(a ± (0,)b ±),0(a ± (,0)b ±对 称 轴 x 轴，y 轴；长轴长为a 2，短轴长为b 2对称中心原点(0,0)O焦点坐标1(,0)F c 2(,0)F c -1(0,)F c 2(0,)F c -焦点在长轴上，22c a b =-； 焦距：122F F c = 离 心 率 ac e = (01e <<) ,ab a ac e 22222-==，e 越大椭圆越扁，e 越小椭圆越圆。
椭圆上到焦点的最大（小）距离最大距离为：a c +最小距离为：a c - 相关应用题：远日距离a c + 近日距离a c -直线和椭圆的位置椭圆12222=+by ax与直线y kx b =+的位置关系：利用22221xyab y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩转化为一元二次方程用判别式确定。
相交弦AB 的弦长2212121()4AB kx x x x =++- 通径：21AB y y =-★椭圆知识梳理★1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PFPF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;当21212F F a PFPF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段2.椭圆的方程与几何性质:标准方程 )0(12222>>=+b a by ax)0(12222>>=+b a bx ay性 质参数关系 222c b a +=焦点 )0,(),0,(c c - ),0(),,0(c c -焦距 c 2范围 b y a x ≤≤||,|| b x a y ≤≤||,||顶点),0(),,0(),0,(),0,(b b a a --)0,(),0,(),,0(),,0(b b a a --对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称离心率)1,0(∈=ac e3.点),(00y x P 与椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的位置关系:M1F 2F xyOM1F2FxyO当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+by a x 时,点P 在椭圆上;4.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔★重难点突破★重点:掌握椭圆的定义标准方程，会用定义和求椭圆的标准方程，能通过方程研究椭圆的几何性质及其应用难点:椭圆的几何元素与参数c b a ,,的转换重难点:运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究椭圆的性质，把握几何元素转换成参数c b a ,,的关系 1.要有用定义的意识 问题1已知21F F 、为椭圆192522=+yx的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若1222=+B F A F ，则AB =______________。
椭圆知识点与例题
椭圆 （一）椭圆及其性质1、椭圆的定义（1）平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数（大于|F 1 F 2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
（2）一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率2、椭圆的标准方程3、椭圆的参数方程)(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x 4、离心率: 椭圆焦距与长轴长之比a c e =⇒2)(1a b e -= 10<<e 椭圆的准线方程: 左准线ca x l 21:-= 右准线c a x l 22:= （二）、椭圆的焦半径椭圆的焦半径公式：（左焦半径）01ex a r += （右焦半径）02ex a r -= 其中e 是离心率 焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=0201ey a MF ey a MF （ 21,F F 分别是椭圆的下上焦点）（三）、直线与椭圆问题（韦达定理的运用）1、弦长公式：若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则弦长221221)()(y y x x AB -+-=221221)()(kx kx x x -+-=2121x x k -+=2122124)(1x x x x k-++= 例1. 已知椭圆及直线y ＝x ＋m 。
（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程。
2、已知弦AB 的中点，研究AB 的斜率和方程AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一条弦，中点M 坐标为(x 0，y 0)， 则AB 的斜率为－b 2x 0a 2y 0.运用点差法求AB 的斜率，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．A 、B 都在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1 2a 2＋y 1 2b 2＝1，x 22a 2＋y 2 2b 2＝1，两式相减得x 1 2－x 2 2a 2＋y 1 2－y 2 2b 2＝0，∴x 1－x 2x 1＋x 2a 2＋y 1－y 2y 1＋y 2b 2＝0， 即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－b 2x 0a 2y 0.故k AB ＝－b 2x 0a 2y 0. 例、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
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（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
x2
②椭圆
y2
1 (a b 0) 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为
a2 b2
A1 (a,0) ， A2 (a,0) ， B1 (0,b) ， B2 (0,b)
③线段 A1 A2 ， B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴， A1 A2 2a , B1B2 2b 。 a 和 b 分
( BF1 BF2 a) ； ( OF1 OF2 c) ； A1B A2 B a 2 b2 ；
（3） A1F1 A2 F2 a c ； A1F2 A2 F1 a c ； a c PF1 a c ；
知识点四：椭圆第二定义
一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 (0,1) 内常数 e ，那么这个点的轨
若 ( PF1 PF2 F1F2 ) ，则动点 P 的轨迹无图形.
知识点二：椭圆的标准方程
1．当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程： x 2 y 2 1 (a b 0) ，其中 c 2 a 2 b2 a2 b2
2．当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程： y 2 x 2 1 (a b 0) ，其中 c 2 a 2 b2 ； a2 b2
3.椭圆的参数方程
x
y
a b
cos sin
(为参数)
注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆
的标准ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程；
2．在椭圆的两种标准方程中，都有 (a b 0) 和 c 2 a 2 b2 ；
3．椭圆的焦点总在长轴上.
当焦点在 x 轴上时，椭圆的焦点坐标为 (c,0) ， (c,0) ；
椭圆知识点归纳总结和经典例题
椭圆的基本知识1 •椭圆的定义：把平面内与两个定点 F 「F 2的距离之和等于常数(大于 F ,F 2)的点的轨迹叫做椭圆•这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距 (设为2c ).2.椭圆的标准方程：焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为 虑焦点位置，求出方程 3.求轨迹方程的方法：定义法、待定系数法、相关点法、直接法例1如图，已知一个圆的圆心为坐 标原点,半径为2.从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线的解:段PP ,求线段PP 中点M 的轨迹•关点法)设点Mx , y ), 点Rx o , y o ), 贝 y x =x o , y = 匹 得 x o =x , y o = 2y.2x o 2+ y o 2= 4,得 x 2+ (2 y ) 2= 4,即- y 21.所以点M 的轨迹是一个椭圆42 2 2 24.范围.x < a , y < b ,••• | x| < a , | y| < b . 椭圆位于直线x =± a 和y =± b 围成的矩形里.5.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的.坐标轴是椭圆的对称轴. 原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.6.顶点 只须令x = 0,得y =± b ,点Bi(0, — b )、R(0, b )是椭圆和y 轴的两个交点；令 y = 0,得x =± a ,点A ( —a ,0)、A(a ,0)是椭圆和x 轴的两个交点.椭圆有四个顶点：A ( — a , 0)、A(a , 0)、B(0, — b )、B(0, b ).椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点. 线段AA 、BB 分别叫做椭圆的长轴和短轴 . 长轴的长等于2a .短轴的长等于2b . a 叫做椭圆的 长半轴长.b 叫做椭圆的短半轴长.y| BH | = |BF 2| = | BH| = | BF 2| = a .在 Rt △ OBF 2中，|OF |2= | BaF 2| 2 — | 0团 2, AZ b即 c 2 = a 2 — b 2.x7.椭圆的几何性质:mx2+ny2=1(m>0 n>0)不必考2 2a b2 2a b椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐和召Hi¥厂1,J /1 .PjAJ4j对 关T r 轴・，、轴・燮标原点荊称荒于J 鞋*孑轴・坐肺腺点时称(K 点Ai ( —Un 0 ) a HI O) fihCOi —At tO-B — a J » A* a }(CXr-CI) a几点说明:(1)长轴：线段 AA ，长为2a ；短轴：线段B 1B 2，长为2b ；焦点在长轴上。
椭圆知识点总结及经典习题
圆锥曲线与方程-－椭圆知识点一．椭圆及其标准方程1.椭圆的定义：平面内与两定点Ｆ1,Ｆ2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a,2a ＞|F 1F 2｜=2c};这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。
(212F F a =时为线段21F F ,212F F a <无轨迹）。
2．标准方程: 222ca b =-①焦点在x 轴上：12222=+by a x （ａ＞ｂ＞0）; 焦点F(±ｃ，０）②焦点在y 轴上：12222=+bx a y （a ＞b ＞０）;焦点F(０, ±ｃ）注意：①在两种标准方程中,总有a>ｂ＞０，并且椭圆的焦点总在长轴上;②两种标准方程可用一般形式表示:221x y m n+= 或者 mx 2+ny 2=1 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围(１)椭圆12222=+by a x （ａ＞ｂ>0） 横坐标-a ≤x ≤a ，纵坐标-b ≤ｘ≤b(2)椭圆12222=+bx a y (a>b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a２．对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 ３.顶点（1）椭圆的顶点：A 1(-a,0)，A 2(ａ，0),B １（０,-b)，B 2（0，b ）(2）线段A 1A ２，B １B ２ 分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b ，ａ和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4．离心率(1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比22ca,即a c 称为椭圆的离心率，ﻫ记作e （10<<e )，22221()be a a==-ce 0=是圆；e 越接近于0 （ｅ越小)，椭圆就越接近于圆;e 越接近于１ （e 越大）,椭圆越扁;注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。
椭圆知识点总结附例题
圆锥曲线与方程椭 圆知识点一．椭圆及其标准方程1．椭圆的概念：平面内与两定点F 1，F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|=2c}；那个地址两个定点F 1，F 2叫椭圆的核心，两核心间的距离叫椭圆的焦距2c 。
（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
2．标准方程： 222c a b =-①核心在x 轴上：12222=+by a x （a ＞b ＞0）； 核心F （±c ，0） ②核心在y 轴上：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）； 核心F （0, ±c ） 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，而且椭圆的核心总在长轴上； ②两种标准方程可用一样形式表示：221x y m n+= 或 mx 2+ny 2=1 二．椭圆的简单几何性质：1.范围（1）椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b （2）椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a 2.对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，那个地址，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3.极点（1）椭圆的极点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ）（2）线段A 1A 2，B 1B 2 别离叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 别离叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4．离心率（1）咱们把椭圆的焦距与长轴长的比22c a ，即a c 称为椭圆的离心率， 记作e （10<<e ），22221()b e a a==-c e 0=是圆；e 越接近于0 （e 越小），椭圆就越接近于圆;e 越接近于1 （e 越大），椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。
椭圆 知识点和题型
椭圆的方程要点一、椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(21212F F a PF PF >=+)，这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.要点诠释：若1212PF PF F F +=，则动点P 的轨迹为线段12F F ； 若1212PF PF F F +<，则动点P 的轨迹无图形. 要点二、椭圆的标准方程椭圆的标准方程：1.当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；2.当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；要点诠释：1.这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2.在椭圆的两种标准方程中，都有0a b >>和222b ac -=；3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为(,0)c ，(,0)c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,)c ，(0,)c -；4. 在两种标准方程中，∵a 2＞b 2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.要点三、求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：（1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a,b ，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：221(,0m n)mx ny m n +=>≠且.（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。
利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.【典型例题】 类型一：椭圆的定义例1. 若动点M 到两个定点F 1,F 2的距离的和为定值m ，则M 的轨迹是（ ） A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.以上都不对 举一反三：【变式1】下列说法中正确的是（ ）A ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆B ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段C ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条直线D ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹存在，则轨迹是一个椭圆或者是一条线段【变式2】（2015·武汉模拟）“ab ＞0”是“方程ax 2+by 2=1表示椭圆的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件例2. （2015 宁城县一模）△ABC 的两个顶点A （－4，0），B （4，0），△ABC 周长为18，则C 点轨迹为（ ）A ．221(0)169x y y +=≠ B ．221(0)259y x y +=≠ C ．221(0)169y x y +=≠ D ．221(0)259x y y +=≠举一反三：【变式】设动圆P 与圆22:(3)4M x y -+=外切，与22:(3)100N x y ++=内切，求动圆圆心P 的轨迹方程.类型二：椭圆的标准方程例3. 方程2212516x y m m+=-+表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________举一反三：变式1.若方程22221(1)x y m m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A.12m > B. 12m < C. 112m m >≠且 D. 102m m <≠且变式2.当39k <<时，指出方程22193x y k k +=--所表示的曲线.变式3. 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，求k 的取值范围．变式4.已知椭圆的方程为222116x y m +=，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是( ) A ．－4≤m ≤4B ．－4<m <4且m ≠0C ．m >4或m <－4D ．0<m <4变式5.如果方程222(0)x ky k +=>表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是变式6.椭圆221x y m n+=--(m <n <0)的焦点坐标是________．变式7.已知椭圆的标准方程是221225x y a +=(a >5)，它的两焦点分别是F 1，F 2，且F 1F 2＝8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为________．类型三：求椭圆标准方程例5. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点距离的和是10； （2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点35(,)22-【变式1】（2015 江西校级一模）已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为（ ）A.221369x y += B. 221936x y += C.22149x y += D.22194x y +=【变式2】已知椭圆过两点(1,(2,求椭圆的标准方程.举一反三：【变式1】两焦点的坐标分别为(04),(0,4)-，，且椭圆经过点(5,0)。
椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)
（一）椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面与两个定点F i 、F 2的距离之和等于定长（大于 IRF 2I ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点 F i 、F 2叫做椭圆的 焦点，两焦点的距离 厅汀2|叫做椭圆的 焦距。
对椭圆定义的几点说明：（1） “在平面”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2） “两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点” ，学习时注意区分；（3） 作为到这两个定点的距离的和的 “常数”，必须满足大于| F i F 2|这个条件。
若不然， 当这个“常数”等于| F i F 2|时，我们得到的是线段 F 1F 2；当这个“常数”小于| F i F 2|时，无 轨迹。
这两种特殊情况，同学们必须注意。
（4） 下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个 对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为 A i , A 2, B i , B 2，于是我们易得| A i A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F i |、|B i F 2|+|B i F i |也等于那个“常数”。
同学们想一想 其中的道理。
（5）中心在原点、焦点分别在 x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：2 2 2 2i （a b 0）,77i （a b 0）,a ba b2 2 2相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0， a c b 。
不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同， 它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的 焦点坐标为（一c , 0）和（c , 0）,第二个椭圆的焦点坐标为（0,— c ）和（0, c ）。
椭圆的 焦点在x 轴上 标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上标准方程中y 2项的分母较大。
（二）椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标； 一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质，只2 2要X 2 每 i （a b 0）的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出 a b2 2^2 —2 i （a b 0）的有关性质。
椭圆知识点总结附例题
知识点- •椭圆及其标准方程1 •椭圆的定义：平面内与两定点F i , F 2距离的和等于常数2a ■ F1F 2的点的轨迹叫做椭 圆，即点集 M={P| |PF i |+|PF 2|=2a ，2a > |F i F 2|=2c};这里两个定点F i , F 2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。
(2a TF1F 2时为线段F 1F 2, 2a c F 1F 2无轨迹) 2.标准方程： c = a - b2 2②两种标准方程可用一般形式表示：——=1或者mx 2+ny 2=1m n椭圆的简单几何性质： 1•范围横坐标-b <x W b,纵坐标-a <x <a2. 对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称 中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心2 2(2) 椭圆笃冷=1 (a >b >0)a b圆锥曲线与方程椭 圆(1)2 2椭圆廿右=1 (a > b > 0) 横坐标-a mwa ,纵坐标-b <x<b① 焦点在x 轴上:② 焦点在y 轴上:2 2x_ y_ 二b 2(a > b > 0)b 2(a > b > 0)焦点 F (土c , 0)注意：①在两种标准方程中 ，总有a >b >0,并且椭圆的焦点总在长轴上3. 顶点(1) 椭圆的顶点：A i (-a , 0), A2 (a, 0), B i (0, -b ), B2 (0, b)(2) 线段A1A2, B1B2分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b, a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4. 离心率(1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比2c,即-称为椭圆的离心率，2a a2 c b 2记作e ( 0 ：e ： 1) , e 2 = 1 一(—)・ a ae = 0是圆;e越接近于0 (e越小)，椭圆就越接近于圆；e越接近于1 (e越大)，椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。
专题39 椭圆知识点和典型例题(解析版)
专题39 椭圆知识点和典型例题〔解析版〕1、定义：平面内与两个定点，的距离之和等于常数〔大于〕的点的轨迹称为椭圆．即：。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：焦点的位置 焦点在轴上焦点在轴上 图形标准方程 范围且 且 顶点、、、、轴长 短轴的长长轴的长焦点 、、焦距对称性 关于轴、轴、原点对称离心率e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁题型一：求椭圆的解析式例1．求椭圆224936x y +=的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标；通径 过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2b 2/a焦半径公式⎪⎭⎫ ⎝⎛-2325，【详解】椭圆224936x y +=化为标准方程22194x y +=，∴3a =，2b =，∴c ==∴椭圆的长轴长为26a =，焦距为2c =焦点坐标为()1F，)2F ，顶点坐标为()13,0A -，()23,0A ，()10,2B -，()20,2B . 例2．求适合以下条件的椭圆标准方程：〔1〕与椭圆2212x y +=有相同的焦点，且经过点3(1,)2〔2〕经过(2,(22A B 两点 【详解】〔1〕椭圆2212x y +=的焦点坐标为(1,0)±，∵椭圆过点3(1,)2，∴24a =，∴2,a b ==，∴椭圆的标准方程为22143x y +=.〔2〕设所求的椭圆方程为221(0,0,)x y m n m n m n+=>>≠．把(2,(A B 两点代入， 得：14213241mnm n⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得81m n ==，， ∴椭圆方程为2218x y +=．题型二：求轨迹例3．在同一平面直角坐标系xOy 中，圆224x y +=经过伸缩变换:12x x y y ϕ=⎧⎪⎨=''⎪⎩后，得到曲线C .求曲线C 的方程； 【详解】设圆224x y +=上任意一点(),M x y 经过伸缩变换:12x xy y ω=⎧⎪⎨=''⎪⎩得到对应点(),M x y '''.将x x '=，2y y '=代入224x y +=，得()2224x y ''+=，化简得2214x y ''+=.∴曲线C 的方程为2214x y +=；例4．ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,>>、、a b c a c b ，且2,2=+=c a b c ，求点C 的轨迹方程． 【详解】由题意，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系， 如下图，因为2c =，那么(1,0),(1,0)A B -，设(,)C x y ， 因为2a b c +=，即||||2||CB CA AB +=，4=，整理得所以22143x y +=，因为a b >，即||||CB CA >，所以点C 只能在y 轴的左边，即0x <． 又ABC 的三个顶点不能共线，所以点C 不能在x 轴上，即2x ≠-．所以所求点C 的轨迹方程为221(20)43x y x +=-<<．例5在圆228x y +=上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点Q 的轨迹方程. 【详解】解：在圆228x y +=上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足，设0(P x ，0)y ，(,)M x y ，0(D x ，0)，M 是PD 的中点，0x x ∴=，02y y =，又P 在圆228x y +=上，22008x y ∴+=，即2248x y +=，∴22182x y +=，∴线段PD 的中点M 的轨迹方程是22182x y +=.题型三：求参数的范围例6：椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的上下两个焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于 ,M N 两点，2MNF ∆C 〔1〕求椭圆C 的标准方程；〔2〕O 为坐标原点，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，假设存在实数λ，使得4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围.由题意2MNF ∆的面积为21212||2b cF F MN c MN a===由得c a =21b =，∴24a =， ∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=．〔Ⅱ〕假设0m =，那么()0,0P ，由椭圆的对称性得AP PB =，即0OA OB +=， ∴0m =能使4OA OB OP λ+=成立． 假设0m ≠，由4OA OB OP λ+=，得144OP OA OB λ=+， 因为A ，B ，P 共线，所以14λ+=，解得3λ=．设()11,A x kx m +，()22,B x kx m +，由22,{440,y kx m x y =++-=得()2224240k x mkx m +++-=，由得()()222244440m k k m ∆=-+->，即2240k m -+>，且12224km x x k -+=+，212244m x x k -=+，由3AP PB =，得123x x -=，即123x x =-，∴()21212340x x x x ++=， ∴()()2222224412044m k m k k-+=++，即222240m k m k +--=．当21m =时，222240m k m k +--=不成立，∴22241m k m -=-，∵2240k m -+>，∴2224401m m m --+>-，即()222401m m m ->-， ∴214m <<，解得21m -<<-或12m <<．综上所述，m 的取值范围为{|21012}m m m m -<<-=<<或或．直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：〔特别注意〕要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
椭圆知识点归纳总结和经典例题
椭圆典型例题例1已知椭圆mx23y34 6m 0的一个焦点为（0, 2）求m的值.2 解：方程变形为—62— 1 .因为焦点在y轴上，所以2m 6，解得m 3 . 2m又c 2，所以2m 6 22, m 5适合.故m 5 .例2已知椭圆的中心在原点，且经过点P 3,0 , a 3b，求椭圆的标准方程.分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况.根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a和b （或a2和b2）的值，即可求得椭圆的标准方程.2解：当焦点在x轴上时，设其方程为笃a2圆的方程为-9由椭圆过点P3,0，知9202 1 .又a 3b ，联立解得a 281，b 29，故椭圆a b2 2 的方程为y X 1 .81 9例3 ABC 的底边BC 16，AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重 心G 的轨迹和顶点A 的轨迹.分析：（1）由已知可得GC GB 20 ,再利用椭圆定义求解.（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求 A 的轨迹方程.由椭圆过点0 b 21 .又a 3b , 代入得b2 1，a 29，故椭y 2 1.当焦点在y 轴上时，设其方程为 2 2 yx 2,2ab（1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系.设 G 点 B 、C为焦点的椭圆，且解：坐标为x , y ，由GC GB 20，知G 点的轨迹是以 除去轴上两点.因a 10, c 8，有 b 6 , 2 故其方程为— 100 2 y 36 -y (2)设 Ax , y 2 ，则— 100 2 y 36 1y x x 由题意有 y3 椭圆（除去x 轴上两点）. 3'代入①，得A 的轨迹方程为y2x900 2y324 1 y 0 ,其轨迹是例4已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距离分别为 土勺 3和晋，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程. 设两焦点为F ,、F 2，且PF ,于,PF 2竽.从椭圆定义知 2a si n PF 1I PF 2 2亦.即 a .从PR可求出 PF2I 知|PF 』垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt PF 2 PF 1PF 1F 2cos — 6 口，从而b 2、、3a 2 c 210 3•••所求椭圆方程为3y 2 101或眩102例5已知椭圆方程冷 a2yb 2长轴端点为A ，A 2，焦点为£， P 是椭圆上一点, A-i PA 2 F 1PF 2.求：F 1PF 2的面积（用b 、由椭圆定义知：PR PF? 2a ②，则②2—①得PF i PF22b2 1 cos故S F.,PF21PF. PF2 sin21 2b2sin21 cos示)•1分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用S -absinC求2面积.解：如图，设P x, y ,由椭圆的对称性，不妨设P x, y，由椭圆的对称性，不妨设 P 在第一象限.由余弦定理知：2 2 2 2F I F2PF I PF2 2PF1 ・PF2 cos 4c45•①4求过点P1,丄且被P平分的弦所在直线的方程；2 25求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；解: 设弦两端点分别为M X i, y. , N x?, y2,线段MN的中点R x,2 X i2 X2X i y i 2y f 2,2y；2,x22X,y2y,①②③④①一②得x. x2 x. x2 2 y. y2 y.由题意知X. X2，则上式两端同除以X.y i y?X i X2 2 y i y? 0,X i X2将③④代入得X 2yh^ 0 .⑤x. x21代入⑤，得也汇2 x. x2y? 0X2，有i，故所求直线方程为：2例6已知椭圆=y2 1 2x 4y 3将⑥代入椭圆方程X22寸O I2得6y26y n 0,36 0符合题意,2x 4y 3 0为所求.(2)将匹上2代入⑤得所求轨迹方程为: 捲x2内部分)x 4y 0 .(椭圆(3)将里上口代入⑤得所求轨迹方程为:X i x2 x 2 圆内部分)x2 2y2 2x 2y 0.(椭例7已知椭圆4x2 y21及直线y x m .(1)当m为何值时，直线与椭圆有公共点？(2)若直线被椭圆截得的弦长为2卫，求直线的方程.5解：(1 )把直线方程y x m代入椭圆方程4x2 y21得4x2 x m 2 1 ,即5x22mx m2 1 0 2m 2 4 5 m21 216m220(2) 设直线与椭圆的两个交点的横坐标为X1 , X2，由(1 )得x. X2 2m T，x-|xm2 15根据弦长公式得：.1 1222m m215¥ .解得m0 .方5m ——2程为y x.斜解为-的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长.过它对的左焦点F1作倾由直线方程与椭圆方程联立得:所以X1 x272. 3X1X36 8例8求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(..3, 2)和B( 23,1)两点的椭圆方程分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为mx2 ny21( m 0，n 0)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程.解：设所求椭圆方程为mx2 ny2 1(m 0，n 0).由AC，3 , 2)和B(2..3,1) 两点在椭圆上可得m炯：n ( 2)2 1,即3m 4n 1,所以m - , n —故所求的椭圆方m ( 2..3)2n 121, 12m n3 15 52 2程为x_仝1.15 5例9已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆,分析：可以利用弦长公式 AB V1 k2|x1x2| v(1 k2)[( x1x2)24x1x2]求得, 也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求.解：(法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.AB J1 k2|x1 X2 J(1 k2)[(X1 X2)24x1X2].因为 a 6 , b 3 ,所以c 3 3.因为焦点在x轴上，2 2所以椭圆方程为——1，左焦点F ( 3 •. 3 , 0)，从而直线方程为y 3x9 .36 9 1313x2 72...3x 36 80 .设洛,X2为方程两根,4813••T 的斜率k i 4 , •••设直线AB 的方程为y4x n .由方程组2 13x 28nx 216n 248 0①。
椭圆知识点归纳总结和经典例题
椭圆典型例题例1已知椭圆mx 2 3y 2 6m 0的一个焦点为（0, 2）求m 的值.2解：方程变形为— 6 2— 1 .因为焦点在y 轴上，所以2m 6，解得m 3 .2m又c 2，所以2m 6 22 , m 5适合.故m 5 .例2已知椭圆的中心在原点，且经过点 P3,0, a 3b ，求椭圆的标准方程.分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况.根据题设条件，运 用待定系数法，求出参数a 和b （或a 2和b 2）的值，即可求得椭圆的标准方程.2解：当焦点在x 轴上时，设其方程为笃a由椭圆过点P3,0，知92 02 1 .又a 3b ，联立解得a 2 81，b 2 9，故椭圆a b2 2的方程为y X 1 .81 9例3 ABC 的底边BC 16 , AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心 G 的轨迹和顶点A 的轨迹.分析：（1）由已知可得GC GB 20 ,再利用椭圆定义求解.（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求 A 的轨迹方程.2由椭圆过点b 2 1 .又a 3b ，代入得b 2 * 1，a 2 9，故椭y 2 1.当焦点在y 轴上时，设其方程为 2 2y x 2 ,2ab2a sin 设两焦点为F ,、F 2 ,且PF ,PF 1I PF 22亦.即 a .从PF ,PF ,F 2可求出 于，PF 2竽.从椭圆定义知PF2I 知|PF 』垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt PF 2F ,中,PF 2PF 1PF 1F 2石，2C I PF1Icos— 6口，从而b 2、、3 a 2 c 210 3•••所求椭圆方程为3y 2 101或眩102例5已知椭圆方程笃 a2 yb 2b 0，长轴端点为A , A 2, 焦点为F ,,P 是椭圆上一点,A , PA 2F 1PF 2例4已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为 4总和3罟，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.（1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系.设 G 点B 、C 为焦点的椭圆，且解：坐标为x , y ，由GC GB 20，知G 点的轨迹是以 除去轴上两点.因a 10, c 8，有 b 6 ,2故其方程为— 100 2y361y(2)设 Ax , y2，则— 100 2y361yxx由题意有y3椭圆（除去x 轴上两点）.3'代入①，得A 的轨迹方程为 y 2 x 900 2y 3241 y 0 ,其轨迹是 .求：F 1PF 2的面积（用b 、示)•1分析：求面积要结合余弦定理及定义求角 的两邻边，从而利用S -absinC 求2面积.解：如图，设P x , y ,由椭圆的对称性，不妨设 P x , y ，由椭圆的对称性， 不妨设 P 在第一象限.由余弦定理知：2 2 2 2F I F 2 PF I PF 22PF 1 ・PF 2 cos4c 2 3 •①2例6已知椭圆育寸12x 4y 32 求过点P 1 ,丄且被P 平分的弦所在直线的方程；2 23求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；由椭圆定义知:PR PF ? 2a ②，则②2—①得PF i PF 22b 2 1 cos故 S F .,PF 21PF . PF 2 sin 212b 2sin2 1 cos解: 设弦两端点分别为M X i , y . , N x ?, y ?,线段MN 的中点R x ,2 X i2 X 2 X i y i 2y f 2, 2y ； 2, x 2 2X , y 2y,① ② ③ ④①一②得 x . x 2 x . x 2 2 y . y 2 y .由题意知X . X 2，则上式两端同除以X . y i y ? X i X 2 2 y i y ?0,X i X 2将③④代入得X 2yh^ 0 .⑤x . x 21代入⑤，得也汇2x . x 2y ?X 2，有i ，故所求直线方程为：455m ——2将⑥代入椭圆方程X 22寸O I2得6y 2 6y n 0,360符合题意,2x 4y 3 0为所求.(2)将 匹上 2代入⑤得所求轨迹方程为: 捲x 2内部分)x 4y 0 .(椭圆(3) 将里上 口 代入⑤得所求轨迹方程为:X i x 2 x 2 圆内部分)x 2 2y 2 2x 2y 0.(椭例7已知椭圆4x 2 y 2 1及直线y x m .(1) 当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？(2) 若直线被椭圆截得的弦长为 2卫，求直线的方程.5解：(1 )把直线方程y x m 代入椭圆方程4x 2 y 21得4x 2 x m 21 ,即5x 22mxm 2 1 02m 2 45 m 2 1216m 220(2) 设直线与椭圆的两个交点的横坐标为X 1 , X 2，由 (1 )得 x. X 22m T ，x-|x 2m 2 15根据弦长公式得 ：.1 1222m m 2 1 5¥ .解得m0 .方程为y x.451313例8求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过 A （、、3, 2）和B （ 2.、3,1）两点的椭 圆方程分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确， 椭圆标准方程有两种情形，为了计算 简便起见，可设其方程为mx 2 ny 21（ m 0，n 0），且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程.解：设所求椭圆方程为mx 2 ny 2 1（m 0，n 0）.由AC ，3 , 2）和B （2..3,1） 两点在椭圆上可得m炯：n （ 2）2 1,即3m 4n 1,所以m - , n —故所求的椭圆方m （ 2..3）2 n 121, 12m n315 52 2程为x_仝1.155例9已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x 轴上的椭圆,分析：可以利用弦长公式 AB V 1 k 2|x 1 x 2| v （1 k 2）［（ x 1 x 2）2 4x 1x 2］求得, 也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求.解：（法 1）利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.AB J 1 k 2|x 1 X 2J (1 k 2)[(X 1 X 2)2 4x 1X 2].因为 a 6 , b 3 ,所以c 3 3.因为焦点在x 轴上，2 2所以椭圆方程为——1，左焦点F ( 3 •. 3 , 0)，从而直线方程为y 3x 9 .36 9 1313x 272...3x 36 8 0 .设洛,X 2为方程两根,斜解为-的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长.过它对的左焦点F 1作倾由直线方程与椭圆方程联立得: 所以X 1 x 272. 3 X 1 X 2 36 84（法2）利用焦半径求解.先根据直线与椭圆联立的方程13x 2 72... 3x 36 8 0求出方程的两根X i , X 2, 它们分别是A ，B 的横坐标.再根据焦半径 AF i a ex , BF i a ex ?，从而求出 AB AF i BF i2 2例10已知椭圆C 吟才1，试确定m 的取值范围，使得对于直线1: y 4x m ，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称.分析：若设椭圆上A , B 两点关于直线I 对称，则已知条件等价于：（1）直线AB l ; ⑵弦AB 的中点M 在I 上.利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围. 解：（法1）设椭圆上A （x 1 , y 1）， B （x 2 , y 2）两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于M （X 。
椭圆知识点总结及经典习题练习
椭圆知识点总结及经典习题练习椭圆知识点总结及经典习题练习知识点⼀：1、平⾯内与两个定点1F ,2F 的距离之和等于常数（⼤于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。
注意：若)(2121 F F PF PF =+,则动点P 的轨迹为线段21F F ；这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距．注意：椭圆122=+b y a x ,122=+bx a y )0(>>b a 的相同点：形状、⼤⼩都相同；参数间的关系都有)0(>>b a 和)10(<<=e ac e ,222c b a +=；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。
知识点⼆：椭圆的标准⽅程1．当焦点在x 轴上时,椭圆的标准⽅程：12222=+b y a x )0(>>b a ,其中222ba c -=2．当焦点在y 轴上时,椭圆的标准⽅程：12222=+bx a y )0(>>b a ,其中222b a c -=；注意：1．只有当椭圆的中⼼为坐标原点,对称轴为坐标轴建⽴直⾓坐标系时, 才能得到椭圆的标准⽅程；2．在椭圆的两种标准⽅程中,都有)0(>>b a 和222b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时,椭圆的焦点坐标为)0,(c ,)0,(c -；当焦点在y 轴上时,椭圆的焦点坐标为),0(c ,),0(c - 知识点三：椭圆的简单⼏何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单⼏何性质（1）对称性：对于椭圆标准⽅程12222=+by a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原⽅程都不变,所以椭圆12222=+by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中⼼的中⼼对称图形,这个对称中⼼称为椭圆的中⼼。
椭圆知识点归纳汇总和经典例题
椭圆知识点归纳汇总和经典例题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：椭圆的基本知识1．椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 12222=+bx a y （a ＞b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法.,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解:(相关点法)设点M (x , y ),点P (x 0, y 0),则x ＝x 0, y ＝ 20y得x 0＝x ， y 0＝2y.∵x 02＋y 02＝4, 得 x 2＋(2y )2＝4,即.142=+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆.4.范围. x 2≤a 2，y 2≤b 2，∴|x|≤a ，|y|≤b ． 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．5.椭圆的对称性椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．6.顶点 只须令x ＝0，得y ＝±b ，点B 1(0,－b )、B 2(0, b )是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±a ，点A 1(－a ,0)、A 2(a ,0)是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .a 叫做椭圆的长半轴长．b 叫做椭圆的短半轴长．|B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ．在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2， 即c 2＝a 2－b 2．7.椭圆的几何性质：a A 1yO F 1F 2x B 2B 1A 2c b yO F 1F 2xMc cxF 2F 1O y Mc cy xPO P 'M椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只要2222x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222y x 1(a b 0)a b+=>>的有关性质。
椭圆 知识点+例题+练习
教学内容椭圆教学目标掌握椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质．重点椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质难点椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质教学准备教学过程椭圆知识梳理1．椭圆的定义(1)第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距．(2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e(0<e<1)的动点的轨迹是椭圆，定点F叫做椭圆的焦点，定直线l叫做焦点F相应的准线，根据椭圆的对称性，椭圆有两个焦点和两条准线．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b教学效果分析教学过程考点二椭圆的几何性质【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．规律方法(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．(2)椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式e＝ca；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．【训练2】(1)(2013·四川卷改编)从椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．(2)(2012·安徽卷)如图，F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A教学效果分析教学过程设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．【训练3】(2014·山东省实验中学诊断)设F1，F2分别是椭圆：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1倾斜角为45°的直线l与该椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|＝43a.(1)求该椭圆的离心率；(2)设点M(0，－1)满足|MP|＝|MQ|，求该椭圆的方程．1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定义是关键，教学效果分析|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．6．(2014·无锡模拟)设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为________． 7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. 8．(2013·福建卷)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．二、解答题9．已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|. (1)求此椭圆的方程；(2)若点P 在第二象限，∠F 2F 1P ＝120°，求△PF 1F 2的面积．10．(2014·绍兴模拟)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，22在椭圆上，且点M 到两焦点距离之和为4. (1)求椭圆的方程；。
椭圆知识点总结加例题
椭圆知识点总结加例题一、椭圆的定义和性质1.1 椭圆的定义在平面上，椭圆的定义为：对于给定的两个不重合的实点F1和F2，以及一个实数2a （a>0），定义为到点F1和点F2的距离的和等于2a的点的轨迹，这个轨迹就是椭圆。
1.2 椭圆的几何性质（1）焦点性质：椭圆上到焦点的距离之和是一个常数2a。
（2）长短轴性质：椭圆有两个互相垂直的对称轴，其中较长的轴称为长轴，较短的轴称为短轴。
（3）离心率性质：椭圆的离心率e定义为焦距与长轴的比值，介于0和1之间。
（4）焦点到顶点的连线和短轴的交点为端点的线段称为短轴的焦径。
（5）焦点到顶点的连线和长轴的交点为端点的线段称为长轴的焦径。
1.3 椭圆的方程和标准方程椭圆的一般方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 其中a、b分别为椭圆长轴和短轴的半轴长。
通过坐标平移和旋转，可以得到椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 椭圆长轴在x轴上，且椭圆的中心为原点。
1.4 椭圆的参数方程和极坐标方程椭圆的参数方程：$\begin{cases}x=a\cos \theta\\ y=b\sin \theta\end{cases}$, $\theta \in [0, 2\pi)$。
椭圆的极坐标方程：$r(\theta)=\frac{ab}{\sqrt{b^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta}}$。
二、椭圆的相关性质2.1 椭圆的离心率和焦距的关系设椭圆的长轴和短轴分别为2a和2b，焦点到几点段为2c，则椭圆的离心率e满足关系：$e=\frac{c}{a}$。
2.2 椭圆的面积和周长椭圆的面积：$S=\pi ab$。
椭圆的周长：$L=4aE(e)$，其中E(e)为第二类完全椭圆积分。
2.3 椭圆的切线和法线对于椭圆上任一点P(x，y)，其切线的斜率为$k=-\frac{b^2x}{a^2y}$，切线的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，且斜率为$k$的切线方程为$y-kx+ka^2=0$。
椭圆知识点及例题
四.直线和椭圆的位置关系
1.位置关系的判断：判别式法
2.相交弦：
（1）弦长公式：
（2）中点弦问题：点差法
3、点M(x0,y0)与椭圆 的位置关系：
点M在椭圆内：
点M在椭圆外：
五、例题
1、椭圆定义的应用
（1）椭圆 + =1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4,则|PF2|=？；求cos∠F1PF2
(1)2-(2)得：|PF1| | PF2| =2b2/(1+cosθ)
∴S=b2tanθ/2
二、椭圆的标准方程
三、椭圆的几何性质
以焦点在X轴的标准方程为例
1、范围：
|x| a,|y| b 即椭圆位于直线x= a、y= b围成的矩形里。
2、对称性
对称中心：O (0,0)，对称轴方程：x=0，y=0.
∠F1PF2=60º，则∆PF1F2的面积是？
2、椭圆几何性质的应用
（1）过椭圆 （a>b>0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆与点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=600,则椭圆的离心率为？
（2）已知椭圆C： （a>b>0）的离心率e= ，短轴的一个端点到右焦点的距离为 ，求椭圆C的方程。
（3）已知椭圆 +y2=1的焦点为F1、F2，点M在该椭圆上，由 =0，则点M到y轴的距离为？
（2）已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点，p是椭圆上的点，A(1,1)是一定点，则|PA|+|PF|的最大值和最小值分别为？
（3）一动圆与已知圆O1：（x+3）2+y2=1外切，与圆O2：（x-3）2+y2=1内切，则动圆圆心的轨迹方程为？
（4）已知椭圆x2+9y2=9的两个焦点分别为F1，F2,
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椭圆知识点及经典例题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN椭圆知识点知识要点小结： 知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；3.椭圆的参数方程)(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b a c -=；3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c -知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆12222=+by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 )0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。
a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作aca c e ==22。
②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<<e 。
e 越接近1，则c 就越接近a ，从而22c ab -=越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。
当且仅当b a =时，0=c ，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为a y x =+22。
注意： 椭圆12222=+by a x 的图像中线段的几何特征（如下图）：（1）)2(21a PF PF =+；e PM PF PM PF ==2211；)2(221ca PM PM =+；)(21a BF BF ==；)(21c OF OF ==；2221b a B A B A +==；（3）c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1； 知识点四：椭圆第二定义一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率左准线ca x l 21:-= 右准线c a x l 22:=知识点五：椭圆的焦半径公式：（左焦半径）01ex a r += （右焦半径）02ex a r -= 其中e 是离心率焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=0201ey a MF ey a MF （ 其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点）知识点六：直线与椭圆问题（韦达定理的运用）弦长公式：若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则 弦长221221)()(y y x x AB -+-=221221)()(kx kx x x -+-= 2121x x k -+=2122124)(1x x x x k -++=知识点七：椭圆12222=+b y a x 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的区别和联系标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点)0,(a ±，),0(b ±),0(a ±，)0,(b ±轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2离心率)10(<<=e ace 准线方程 c a x 2±=ca y 2±=焦半径01ex a PF +=，02ex a PF -= 01ey a PF +=，02ey a PF -=注意：椭圆12222=+b y a x ，12222=+bx a y )0(>>b a 的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有)0(>>b a 和)10(<<=e ace ，222c b a +=；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。
规律方法：1．如何确定椭圆的标准方程任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。
当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。
此时，椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件b a ,；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。
2．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义椭圆标准方程中，c b a ,,三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。
分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：)0(>>b a ，)0(>>c a ，且)(222c b a +=。
可借助右图理解记忆：显然：c b a ,,恰构成一个直角三角形的三条边，其中a 是斜边，b 、c 为两条直角边。
3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看2x ，2y 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
4．方程均不为零）C B A C By Ax ,,(22=+是表示椭圆的条件方程C By Ax =+22可化为122=+CBy C Ax ，即122=+BC By A C x ，所以只有A 、B 、C 同号，且A ≠B 时，方程表示椭圆。
当B C A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当BCA C <时，椭圆的焦点在y 轴上。
5．求椭圆标准方程的常用方法：①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数c b a ,,的值。
其主要步骤是“先定型，再定量”；②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c 相同。
与椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为12222=+++mb y m a x )(2b m ->，此类问题常用待定系数法求解。
7．判断曲线关于x 轴、y 轴、原点对称的依据：① 若把曲线方程中的x 换成x -，方程不变，则曲线关于y 轴对称； ② 若把曲线方程中的y 换成y -，方程不变，则曲线关于x 轴对称；③ 若把曲线方程中的x 、y 同时换成x -、y -，方程不变，则曲线关于原点对称。
8．如何求解与焦点三角形△PF 1F 2（P 为椭圆上的点）有关的计算问题思路分析：与焦点三角形△PF 1F 2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式2121sin 2121PF F PF PF S F PF ∠⨯⨯=∆相结合的方法进行计算解题。
将有关线段2121F F PF PF 、、，有关角21PF F ∠ (21PF F ∠≤21BF F ∠)结合起来，建立21PF PF +、21PF PF ⨯之间的关系. 9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。
离心率)10(<<=e ace ，因为222b a c -=，0>>c a ，用b a 、表示为)10()(12<<-=e ab e 。
显然：当a b 越小时，)10(<<e e 越大，椭圆形状越扁；当ab越大，)10(<<e e 越小，椭圆形状越趋近于圆。
经典例题：一、椭圆的定义例1、已知F 1(-8，0)，F 2(8，0)，动点P 满足|PF 1|+|PF 2|=16，则点P 的轨迹为( )A 圆B 椭圆C 线段D 直线例2、椭圆221169x y -=左右焦点为F 1、F 2，CD 为过F 1的弦，则⊿CDF2的周长为______二、椭圆的标准方程例3、已知方程22111x y k k+=+-表示椭圆，则k 的取值范围是( ) A -1<k<1 B k>0 C k ≥0 D k>1或k<-1例4、已知方程12-m x +my -22=1，表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围为 .例5、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为10，短轴长为6(2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1) (3) 经过点(5，1)，(3，2)例6、若⊿ABC 顶点B 、C 坐标分别为(-4，0)，(4，0)，AC 、AB 边上的中线长之和为30，求⊿ABC 的重心G 的轨迹方程。
例7、 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．例8、已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．三、离心率例9、椭圆22221(0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆于P 点。