高中数学复习学案函数的单调性

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高中数学第三章函数单调性的定义与证明学案新人教B版必修第一册

3．1.2　函数的单调性第1课时　单调性的定义与证明课程标准借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一　定义域为A 的函数f (x )的单调性状元随笔　定义中的x 1，x 2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1＜x 2；(3)属于同一个单调区间．知识点二　单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间M 上是单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)________，区间M 叫做y ＝f (x )的________．状元随笔　一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，+∞)上单调递减．知识点三　函数的最值一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)(记作f(x)max＝f(x0))，而x0称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)(记作f(x)min＝f(x0))，而x0称为f(x)的最小值点．最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点．状元随笔　最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝－x2(x∈R)的最大值是0，有f(0)＝0.　基础自测1．函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则( )A．m＞12 B．m＜12C．m＞－12D．m＜－122．函数f(x)＝1x在[1，＋∞)上( )A．有最大值无最小值B．有最小值无最大值C．有最大值也有最小值D．无最大值也无最小值3．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)＞f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．4．如图是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)的单调递减区间是( )A．(－1，0)B．(1，＋∞)C．(－1，0)∪(1，+∞)D．(－1，0)，(1，＋∞)课堂探究·素养提升——强化创新性题型1　利用函数图象求单调区间[经典例题]例1　(1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )A.(－3，1)∪(1，4)B．(－5，－3)∪(−1，1)C．(－3，－1)，(1，4)D．(－5，－3)，(－1，1)状元随笔　观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间．(2)下列函数在区间(0，1)上是增函数的是( )A．y＝1－2x B．y＝1 xC．y＝√x−1D．y＝－x2＋2x(3)函数y＝|x－1|的单调增区间是________.跟踪训练1　(1)函数f(x)的图象如图所示，则( )A．函数f(x)在[－1，2]上是增函数B．函数f(x)在[－1，2]上是减函数C．函数f(x)在[－1，4]上是减函数D．函数f(x)在[2，4]上是增函数状元随笔　图象上升或下降趋势判断．(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．题型2　函数的单调性判断与证明例2　证明函数f (x )＝x ＋4x在(2，＋∞)上是增函数．在(0，2)上是减函数．状元随笔　先根据单调性的定义任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1＜x 2，再判断f(x 1)－f(x 2)的符号．方法归纳利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键．跟踪训练2　利用单调性的定义，证明函数y ＝x +2x +1在(－1，＋∞)上是减函数．题型3　利用函数的单调性求最值[经典例题]例3　已知函数f(x)＝2x−1x+1，x∈[3，5].(1)判断函数在区间[3，5]上的单调性，并给出证明；(2)求该函数的最大值和最小值．方法归纳1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．跟踪训练3　已知函数f(x)＝32x−1，求函数f(x)在[1，5]上的最值．状元随笔　(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．题型4　由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]例4 (1)已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3.①若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________；②若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________．(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．方法归纳“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．跟踪训练4　(1)已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2，在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围；函数的单调递减区间为(－∞，4]，则a为何值？状元随笔　首先求出f(x)的单调减区间，(1)求出f(x)的对称轴为x＝1－a，利用对称轴应在直线x＝4的右侧或与其重合求解．(2)求出函数的减区间，用端点值相等求出a.(2)若f(x)在R上是单调递减的，且f(x－2)<f(3)，则x的取值范围是________．3．1.2　函数的单调性第1课时　单调性的定义与证明新知初探·自主学习[教材要点]知识点一f(x1)<f(x2)　f(x1)>f(x2)　增函数　减函数知识点二单调性　单调区间[基础自测]1．解析：使y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则2m－1<0，即m<1 2.答案：B2．解析：函数f(x)＝1x是反比例函数，当x∈(0，＋∞)时，函数图象下降，所以在[1，＋∞)上f(x)为减函数，f(1)为f(x)在[1，＋∞)上的最大值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．故选A.答案：A3．解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.答案：x1>x24．解析：若函数单调递减，则对应图象为下降的，由图象知，函数在(－1，0)，(1，＋∞)上分别下降，则对应的单调递减区间为(－1，0)，(1，＋∞)．答案：D课堂探究·素养提升例1　【解析】　(1)在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1，4)．(2)由y＝1－2x，y＝1x的图象易知在(0，1)上为减函数，而y＝√x−1的定义域为[1，＋∞)，不合题意．(3)作出函数的图象，如图所示，所以函数的单调递增区间为[1，＋∞)．【答案】　(1)C　(2)D　(3)[1，＋∞)跟踪训练1　解析：(1)函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.(2)y＝－x2＋2|x|＋3＝{−(x−1)2+4，x≥0，−(x+1)2+4，x＜0.函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，函数在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数，所以函数的单调递增区间是(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间是[－1，0]和[1，＋∞)．答案：(1)A　(2)见解析例2　【证明】　∀x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋4x1－x2－4x2＝(x1－x2)＋4(x2−x1)x1x2＝(x1−x2)(x1x2−4)x1x2.因为2＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．证明：∀x1，x2∈(0，2)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋4x1－x2－4x2＝(x1－x2)＋4(x2−x1) x1x2＝(x1−x2)(x1x2−4)x1x2.因为0＜x1＜x2＜2，所以x1－x2＜0，0＜x1x2＜4，x1x2－4＜0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．所以函数f(x)＝x＋4x在(0，2)上是减函数．跟踪训练2　证明：设x1，x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1+2x1+1−x2+2x2+1＝x2−x1(x1+1)(x2+1)，∵－1<x1<x2，∴x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴x2−x1(x1+1)(x2+1)>0.即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2).∴y＝x+2x+1在(－1，＋∞)上是减函数．例3　【解析】　(1)函数f(x)在[3，5]上是单调递增的，证明：设任意x1，x2，满足3≤x1<x2≤5.因为f(x1)－f(x2)＝2x1−1x1+1−2x2−1x2+1＝(2x1−1)(x2+1)−(2x2−1)(x1+1)(x1+1)(x2+1)＝3(x1−x2) (x1+1)(x2+1)，因为3≤x1<x2≤5，所以x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0.所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．所以f(x)＝2x−1x+1在[3，5]上是单调递增的．(2)f(x)min＝f(3)＝2×3−13+1＝54，f(x)max＝f(5)＝2×5−15+1＝32.跟踪训练3　解析：先证明函数f(x)＝32x−1的单调性，设x1，x2是区间(12，+∞)上的任意两个实数，且x2>x1>1 2，f(x1)－f(x2)＝32x1−1−32x2−1＝6(x2−x1)(2x1−1)(2x2−1).由于x2>x1>12，所以x2－x1>0，且(2x1－1)·(2x2－1)>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝32x−1在区间(12，+∞)上是单调递减的，所以函数f(x)在[1，5]上是单调递减的，因此，函数f(x)＝32x−1在区间[1，5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝1 3.例4　【解析】　(1)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1].①由f(x)在(－∞，3]上是增函数知3≤－a－1，即a≤－4.②由题意得－a－1＝3，a＝－4.(2)因为函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，所以2x－3>5x－6，解得x<1，即实数x的取值范围为(－∞，1)．【答案】　(1)①a≤－4　②－4　(2)(－∞，1)跟踪训练4　解析：(1)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，∴f(x)的减区间是(－∞，1－a].∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．∴1－a≥4，解得a≤－3.故a的取值范围为(－∞，－3].由知函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a]，∴1－a＝4，a＝－3.(2)函数的定义域为R，由条件可知，x－2>3，解得x>5.答案：(1)见解析　(2)(5，＋∞)11。

高中数学教案函数的单调性与最值

高中数学教案函数的单调性与最值高中数学教案：函数的单调性与最值一、引言函数是数学中的一个重要概念，它描述了数值之间的关系。

而函数的单调性以及最值则是我们研究函数性质时的关键内容。

本教案将重点介绍函数的单调性以及最值的概念、性质和计算方法，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。

二、函数的单调性1. 定义函数的单调性指的是在定义域上的变化趋势。

具体而言，若函数在其定义域上递增，则称为函数的单调递增；若函数在其定义域上递减，则称为函数的单调递减。

2. 判断方法（1）对于函数y=f(x)，当x1 < x2时，比较f(x1)与f(x2)的大小关系： - 若f(x1) < f(x2)，则函数递增；- 若f(x1) > f(x2)，则函数递减；- 若f(x1) = f(x2)，则函数不单调。

（2）对于一阶导数存在的函数，可以通过导函数的正负性判断函数的单调性：- 若导函数f'(x) > 0，则函数递增；- 若导函数f'(x) < 0，则函数递减；- 若导函数f'(x) = 0，可以进一步分析。

3. 经典例题（1）求函数f(x)=x^2的单调性。

解：由f'(x) = 2x，当x > 0时，f'(x) > 0；当x < 0时，f'(x) < 0。

因此，函数f(x)=x^2在x > 0时单调递增，在x < 0时单调递减。

（2）求函数f(x)=3x^4-4x^3的单调性。

解：由f'(x) = 12x^3-12x^2 = 12x^2(x-1)，可知当x < 0时，f'(x) < 0；当0 < x < 1时，f'(x) > 0；当x > 1时，f'(x) > 0。

因此，函数f(x)=3x^4-4x^3在x < 0时单调递减，在0 < x < 1时单调递增，在x > 1时单调递增。

高中数学函数的单调性教学设计

高中数学函数的单调性教学设计一、教学任务及对象1、教学任务本节课的教学任务是围绕高中数学中函数的单调性展开，使学生能够理解并掌握函数单调性的概念、判定方法及其在实际问题中的应用。

具体包括：单调性的定义、单调递增和单调递减的判定、单调区间的确定，以及单调性在函数图像绘制、最值求解和不等式证明等方面的应用。

2、教学对象教学对象为高中二年级的学生，他们在之前的学习中已经掌握了函数的基本概念、图像及其基本性质，具备了一定的数学思维能力和逻辑推理能力。

在此基础上，通过本节课的学习，学生将进一步完善对函数性质的认识，为后续学习导数、极限等概念打下坚实基础。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解函数单调性的定义，能够准确区分单调递增和单调递减的函数。

（2）掌握利用定义法、图像法和符号法判断函数单调性的方法，并能够熟练运用。

（3）学会求解函数的单调区间，并能将其应用于实际问题中。

（4）掌握单调性在求解函数最值、证明不等式等中的应用，提高解题能力。

2、过程与方法（1）通过分析实例，引导学生自主探究函数单调性的概念，培养学生的观察力和思考能力。

（2）运用数形结合的方法，使学生能够将抽象的数学概念与具体的图像相结合，提高直观想象能力。

（3）通过小组合作、讨论交流，培养学生合作解决问题的能力，拓展解题思路。

（4）设计具有梯度的问题，引导学生由浅入深地掌握函数单调性的相关知识，提高学生的逻辑推理能力。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学习的兴趣，培养积极主动探究数学问题的态度。

（2）通过解决实际问题，使学生认识到数学知识在实际生活中的应用价值，增强学生的社会责任感。

（3）引导学生树立正确的价值观，认识到数学学习不仅仅是追求分数，更重要的是培养思维能力和解决问题的能力。

（4）鼓励学生勇于面对困难和挑战，培养坚持不懈、克服困难的意志品质。

（5）在小组合作过程中，培养学生相互尊重、团结协作的精神，提高人际沟通能力。

三、教学策略1、以退为进在本节课的教学中，采用“以退为进”的策略，即在教学过程中有意识地从已知的简单概念或问题出发，逐步引导学生深入探讨，从而掌握更复杂的概念。

高中数学同步学案单调性的定义与证明

3.1.2 函数的单调性第1课时单调性的定义与证明学习目标核心素养1.理解函数的单调性及其几何意义,能运用函数图像理解和研究函数的单调性．(重点)2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性,会求一些具体函数的单调区间．(重点、难点)3．理解函数的最大值和最小值的概念,能借助函数的图像和单调性,求一些简单函数的最值．(重点、难点)1.借助单调性判断与证明,培养数学抽象、逻辑推理、直观想象素养．2．利用求单调区间、最值、培养数学运算素养．3．利用函数的最值解决实际问题,培养数学建模素养.1．增函数与减函数的定义条件一般地,设函数y ＝f(x)的定义域为A,且M ⊆A ：如果对任意x 1,x 2∈M ,当x 1＞x 2时都有f(x 1)＞f(x 2)都有f(x 1)＜f(x 2)结论y ＝f(x)在M 上是增函数(也称在M 上单调递增)y ＝f(x)在M 上是减函数(也称在M 上单调递减)图示12提示：定义中的x 1,x 2有以下3个特征(1)任意性,即“任意取x 1,x 2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； (2)有大小,通常规定x 1＞x 2； (3)属于同一个单调区间． 2．函数的单调性与单调区间如果函数y ＝f(x)在M 上单调递增或单调递减,那么就说函数y ＝f(x)在M 上具有单调性(当M 为区间时,称M 为函数的单调区间,也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)．思考2：函数y ＝1x在定义域上是减函数吗？提示：不是．y ＝1x 在(－∞,0)上递减,在(0,＋∞)上也递减,但不能说y ＝1x 在(－∞,0)∪(0,＋∞)上递减．3．函数的最值最大值最小值条件一般地,设函数f(x)的定义域为D ：且x 0∈D ,如果对任意x∈D都有f(x)≤f(x 0) 都有f(x)≥f(x 0)结论称f(x)的最大值为f(x 0),记作f ma x ＝f(x 0),而x 0称为f(x)的最大值点称f(x)的最小值为f(x 0),记作f min ＝f(x 0),而x 0称为f(x)的最小值点统称最大值和最小值统称为最值最大值点和最小值点统称为最值点1．函数y ＝f(x)的图像如图所示,其增区间是( )A ．[－4,4]B ．[－4,－3]∪[1,4]C ．[－3,1]D ．[－3,4]C [由题图可知,函数y ＝f(x)的单调递增区间为[－3,1],选C.] 2．下列函数中,在区间(0,＋∞)上是减函数的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝xC ．y ＝x 2D ．y ＝1－xD [函数y ＝1－x 在区间(0,＋∞)上是减函数,其余函数在(0,＋∞)上均为增函数,故选D.] 3．函数y ＝f(x)在[－2,2]上的图像如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是( ) A ．－1,0 B ．0,2 C ．－1,2D.12,2C [由题图可知,f(x)的最大值为f(1)＝2,f(x)的最小值为f(－2)＝－1.] 4．函数f(x)＝x 2－2x ＋3的单调减区间是________．(－∞,1] [因为f(x)＝x 2－2x ＋3是图像开口向上的二次函数,其对称轴为x ＝1,所以函数f(x)的单调减区间是(－∞,1]．]定义法证明(判断)函数的单调性【例1】证明：函数f(x)＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数．[思路点拨] 设元任取x 1，x 2∈(0，1)且x 1＞x 2―→ 作差：f (x 1)－f (x 2)――→变形判号：f (x 2)>f (x 1)――→结论减函数[证明] 设x 1,x 2是区间(0,1)上的任意两个实数,且x 1＞x 2,则f(x 1)－f(x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2, ∵0<x 2<x 1<1,∴x 1－x 2＞0,0<x 1x 2<1,则－1＋x 1x 2<0, ∴(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2＜0,即f(x 1)＜f(x 2),∴f(x)＝x ＋1x在(0,1)上是减函数．利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x 1,x 2是该区间内的任意两个值,且x 1＞x 2.(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的式子.(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)的符号.(4)结论：根据f (x 1)－f (x 2)的符号及定义判断单调性.提醒：作差变形是证明单调性的关键,且变形的结果是几个因式乘积的形式.1．证明：函数y ＝xx ＋1在(－1,＋∞)上是增函数．[证明] 设x 1>x 2>－1,则y 1－y 2＝x 1x 1＋1－x 2x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1).∵x 1>x 2>－1,∴x 1－x 2>0,x 1＋1>0,x 2＋1>0, ∴x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)>0,即y 1－y 2>0,y 1>y 2,∴y＝xx ＋1在(－1,＋∞)上是增函数．求函数的单调区间【例2】(1)f(x)＝－1x ；(2)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x≥1，5－x ，x<1；(3)f(x)＝－x 2＋2|x|＋3.[解] (1)函数f(x)＝－1x 的单调区间为(－∞,0),(0,＋∞),其在(－∞,0),(0,＋∞)上都是增函数．(2)当x≥1时,f(x)是增函数,当x<1时,f(x)是减函数,所以f(x)的单调区间为(－∞,1),[1,＋∞),并且函数f(x)在(－∞,1)上是减函数,在[1,＋∞)上是增函数．(3)因为f(x)＝－x 2＋2|x|＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋3，x≥0，－x 2－2x ＋3，x<0.根据解析式可作出函数的图像如图所示,由图像可知,函数f(x)的单调区间为(－∞,－1],(－1,0),[0,1),[1,＋∞)．f(x)在(－∞,－1],[0,1)上是增函数,在(－1,0),[1,＋∞)上是减函数．(3)因为f(x)＝－x 2＋2|x|＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x≥0，－x 2－2x ＋3，x<0.根据解析式可作出函数的图像如图所示,由图像可知,函数f(x)的单调区间为(－∞,－1],(－1,0),[0,1),[1,＋∞)．f(x)在(－∞,－1],[0,1)上是增函数,在(－1,0),[1,＋∞)上是减函数．求函数单调区间的方法(1)利用已知函数的单调性求函数的单调区间. (2)利用函数图像求函数的单调区间.提醒：(1)若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一,函数的单调区间之间要用“,”隔开. (2)理清“单调区间”和“在区间上单调”的区别与联系.2．根据如图所示,写出函数在每一单调区间上是增函数还是减函数．[解] 函数在[－1,0],[2,4]上是减函数,在[0,2],[4,5]上是增函数． 3．写出y ＝|x 2－2x －3|的单调区间． [解] 先画出f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3，x<－1或x>3，－(x 2－2x －3)，－1≤x≤3的图像,如图．所以y ＝|x 2－2x －3|的单调减区间为(－∞,－1],[1,3]；单调增区间为[－1,1],[3,＋∞)．函数单调性的应用[探究问题]1．若函数f(x)是其定义域上的增函数,且f(a)>f(b),则a,b 满足什么关系．如果函数f(x)是减函数呢？提示：若函数f(x)是其定义域上的增函数,那么当f(a)>f(b)时,a>b ；若函数f(x)是其定义域上的减函数,那么当f(a)>f(b)时,a<b.2．决定二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 单调性的因素有哪些？提示：开口方向和对称轴的位置,即字母a 的符号及－b2a的大小．【例3】 (1)若函数f(x)＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3在区间(－∞,3]上是增函数,则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数y ＝f(x)是(－∞,＋∞)上的增函数,且f(2x －3)>f(5x －6),则实数x 的取值范围为________．[思路点拨] (1)分析f (x )的对称轴与区间的关系数形结合,建立关于a 的不等式――→求a 的范围 (2)f (2x －3)>f (5x －6)f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数,建立关于x 的不等式――→ 求x 的范围 (1)(－∞,－4] (2)(－∞,1) [(1)∵f(x)＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3的图像开口向下,要使f(x)在(－∞,3]上是增函数,只需－(a ＋1)≥3,即a≤－4. ∴实数a 的取值范围为(－∞,－4]．(2)∵f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数,且f(2x －3)>f(5x －6), ∴2x－3>5x －6,即x<1.∴实数x 的取值范围为(－∞,1)．]1．(变条件)若本例(1)的函数f(x)在(1,2)上是单调函数,求a 的取值范围． [解] 由题意可知－(a ＋1)≤1或－(a ＋1)≥2,即a≤－3或a≥－2. 所以a 的取值范围为(－∞,－3]∪[－2,＋∞)．2．(变条件)若本例(2)的函数f(x)是定义在(0,＋∞)上的减函数,求x 的取值范围． [解] 由题意可知, ⎩⎪⎨⎪⎧2x －3>0，5x －6>0，2x －3<5x －6，解得x>32.∴x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性,反过来,若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a,b]上是单调的,则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.求函数的最值(值域)【例4】已知函数f(x)＝2x ＋1x ＋1. (1)判断函数在区间(－1,＋∞)上的单调性,并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．[解] (1)f(x)在(－1,＋∞)上为增函数,证明如下：任取－1<x 1<x 2, 则f(x 1)－f(x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1),因为－1<x 1<x 2⇒x 1＋1>0,x 2＋1>0,x 1－x 2<0, 所以f(x 1)－f(x 2)<0⇒f(x 1)<f(x 2), 所以f(x)在(－1,＋∞)上为增函数． (2)由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增, 所以f(x)的最小值为f(2)＝2×2＋12＋1＝53, 最大值为f(4)＝2×4＋14＋1＝95.1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b)．(2)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,在区间[b,c]上是减(增)函数,则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．提醒：(1)求最值勿忘求定义域．(2)闭区间上的最值,不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误,求解时一定注意．4．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1＜x≤1，1x，x>1，求(1)f(x)的最大值、最小值；(2)f(x)的最值点．[解] (1)作出函数f(x)的图像(如图)．由图像可知,当x ＝1时,f(x)取最大值为f(1)＝1.当x ＝0时,f(x)取最小值f(0)＝0, 故f(x)的最大值为1,最小值为0.(2)f(x)的最大值点为x 0＝1,最小值点为x 0＝0.1．定义单调性时应强调x 1,x 2在其定义域内的任意性,其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较．2．证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、定号、结论的步骤,特别在变形上,一定要注意因式分解、配方等技巧的运用,直到符号判定水到渠成才可．3．求函数的最值与求函数的值域类似,常用的方法是：(1)图像法,即画出函数的图像,根据图像的最高点或最低点写出最值； (2)单调性法,一般需要先确定函数的单调性,然后根据单调性的意义求出最值； 4．通过函数最值的学习,渗透数形结合思想,树立以形识数的解题意识．1．思考辨析(1)若函数y ＝f(x)在定义域上有f(1)<f(2),则函数y ＝f(x)是增函数．( )(2)若函数y ＝f(x)在区间[1,3]上是减函数,则函数y ＝f(x)的单调递减区间是[1,3]．( ) (3)任何函数都有最大(小)值．( )(4)函数f(x)在[a,b]上的最值一定是f(a)(或f(b))．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．下列函数中,在(0,2)上是增函数的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝2x －1C ．y ＝1－2xD ．y ＝(2x －1)2B [对于A,y ＝1x 在(－∞,0),(0,＋∞)上单调递减；对于B,y ＝2x －1在R 上单调递增；对于C,y ＝1－2x 在R 上单调递减；对于D,y ＝(2x －1)2在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．故选B.]3．函数y ＝x 2－2x,x∈[0,3]的值域为________．[－1,3] [∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1,x∈[0,3],∴当x ＝1时,函数y 取得最小值为－1, 当x ＝3时,函数取得最大值为3,故函数的值域为[－1,3]．]4．试用函数单调性的定义证明：f(x)＝2xx －1在(1,＋∞)上是减函数．[证明] f(x)＝2＋2x －1,设x 1>x 2>1,则f(x 1)－f(x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).因为x 1>x 2>1,所以x 2－x 1<0,x 1－1>0,x 2－1>0, 所以f(x 1)<f(x 2),所以f(x)在(1,＋∞)上是减函数．。

高中《数学》函数的单调性教学设计学情分析教材分析课后反思

《函数的单调性》教学设计一、教学内容解析1. 教材内容及地位本节课是人教版版《数学》(必修1)第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言(不等式)刻画函数的变化趋势(上升或下降)及简单应用.它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础.如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用.因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地.2. 教学重点函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性.3. 教学难点函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证.二、学生学情分析1. 教学有利因素学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“V随X的增大而增大(减小)”描述函数图象的上升(下降)的趋势.亳州一中实验班的学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力.2. 教学不利因素本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度.而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强.另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱.这些都容易产生思维障碍.三、课堂教学目标1.理解函数单调性的相关概念.掌握证明简单函数单调性的方法.2.通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法.3.通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量.4.引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力.四、教学策略分析在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“随x 的增大而增大(减小)”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证.对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度.为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料：1. 指导思想.充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示.在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成.2.在“创设情境”阶段.观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中已学函数的图象，让学生直观感受函数单调性，明确相关概念.3.在“引导探索”阶段.首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”,借助多媒体引导学生对“随x 的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越.4. 在“学以致用”阶段.首先通过3个判断题帮助学生从正、反两方面辨析，逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识.然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法.接着请学生板演实践.五、教学过程(一)通过问题，引入课题分别作出函数y=x+1,y=-x+1,y=x²的图像，并且观察自变量变化时，函数图像有什么变化趋势?y=-x+10 1X1y=x²1问题一问题二如何描述函数图像的上升或下降?图像上升，y 随着x的增大而增大图像上升，y随着x的增大而减小向题三如何用符号化的数学语言来描述y 随着x 的增大而增大呢?(二)引导探究，生成概念探究在函数y=f(x)的给定区间上任取x₁,x₂,当x₁<x₂时，有f(x)<f(x₂),这时我们就说函数y=f(x)在给定区间上是增函数.单调性的定义一般的，设函数f(x) 的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁,x₂,当x₁<x₂时，都有_f(x)<f(x₂),那么就说函数f(x) 在区间D上是增函数；如果对于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量的值x₁,x₂,当x₁<x₂时，都有f(x)>f(x),那么就说函数f(x) 在区间D上是减函数；如果函数y=f(x) 在区间D上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有(严格的)单调性；区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间(三)学以致用，理解感悟概念理解( 1 ) 已知,因为f(-1)<f(2), 所以函数f(x)是增函数.(2)能不能说y= (x≠0)定义域(-∝,0)∪(0,+∝)上是单调减函数？(3)对于函数f(x),x∈D,若x,x₂∈D,(x₂-x) [f(x₂)-f(x₁)]>0 ,则函数f(x)在D上是增函数.(4)y=f(x) 在区间D上是减函数，若x,x₂∈D,且x₁<x₂,则f(x)>f(x₂).- 用于比较函数值的大小(5)y=f(x) 在区间D上是减函数，若x,x₂∈D,且f(x₁)>f(x₂),则x₁<x₂…用于比较自变量值的大小概念升华：(1)x,x₂具有任意性；(2)单调性是相对区间而言的，在一点处不具有单调性，单调区间之间用“,”隔开(不可用“U”符号连接)(3)定义的等价变形；(4)“知二推一”的应用典型例题—根据图像，指出函数的单调区间，并指明函数在这些区间上的增减性。

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高中数学优秀案例范文一、教学背景。

函数的单调性是高中数学函数这一板块非常重要的概念。

学生们在之前已经学习了函数的概念、函数的表示方法等基础知识，对于函数已经有了初步的认识。

但是，单调性这个相对抽象的概念，对于他们来说理解起来可能会有一定的难度。

就像爬山一样，有些地方是一直向上爬（单调递增），有些地方是一直向下走（单调递减），可这山（函数图像）是抽象的数学图形，不是真的山，所以得带着学生们好好摸索一下。

二、教学目标。

1. 知识与技能目标。

让学生理解函数单调性的概念，包括单调递增和单调递减的定义。

能够运用定义来判断简单函数的单调性。

2. 过程与方法目标。

通过观察函数图像、进行数值分析等活动，培养学生的观察能力、归纳能力和逻辑思维能力。

让学生经历从特殊到一般，再从一般到特殊的思维过程，体会数学中归纳与演绎的思想方法。

3. 情感态度与价值观目标。

激发学生学习数学的兴趣，让学生在探索函数单调性的过程中，感受到数学的严谨性和逻辑性。

培养学生勇于探索、敢于创新的精神，就像探险家在未知的数学大陆上寻找宝藏一样。

1. 教学重点。

函数单调性概念的理解。

这就好比是打地基，这个概念要是没搞明白，后面的高楼大厦（解题等应用）就建不起来了。

根据函数单调性的定义判断函数的单调性。

2. 教学难点。

对函数单调性概念中“任意”这一关键词的理解。

学生们很容易忽略这个词，就像走路忽略了路上的小石子，一不小心就会绊倒。

如何引导学生从函数图像直观认识过渡到用数学符号语言精确地描述函数的单调性。

这就像从看一幅美丽的画（图像）到用文字精准地描述这幅画的美（用符号语言定义单调性），是个技术活。

四、教学方法。

1. 讲授法。

对于函数单调性概念等一些比较抽象的知识，老师还是得先讲清楚基本的定义和原理，就像导游先给游客介绍景点的基本情况一样。

2. 探究式教学法。

让学生通过自己观察函数图像，探究函数的单调性特征，自己发现规律。

这就好比是让学生自己去寻找森林里的宝藏，比直接告诉他们宝藏在哪里有趣多了，而且记得更牢。

新教材2020-2021学年高中数学人教A版第一册学案：3.2.1 第1课时函数的单调性含解析

新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册学案：3.2.1 第1课时函数的单调性含解析3．2函数的基本性质3．2。

1单调性与最大（小）值第1课时函数的单调性［目标］1.记住函数的单调性及其几何意义，会证明简单函数的单调性；2。

会用函数的单调性解答有关问题；3.记住常见函数的单调性．[重点] 函数的单调性定义及其应用；常见函数的单调性及应用；函数单调性的证明．[难点］函数单调性定义的理解及函数单调性的证明．知识点一增函数与减函数的定义［填一填］一般地，设函数f（x)的定义域为I,区间D⊆I:如果∀x1，x2∈D，当x1〈x2时，都有f(x1）〈f(x2），那么就称函数f(x）在区间D上单调递增．特别地,当函数f（x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1）〉f（x2）,那么就称函数f(x）在区间D上单调递减．特别地，当函数f（x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．[答一答］1．在增函数与减函数的定义中，能否把“∀x1，x2∈D"改为“∃x1,x2∈D”？提示:不能，如图所示：虽然f(－1）〈f（2)，但原函数在[－1，2]上不是增函数．2．设x1、x2是f（x）定义域某一个子区间M上的两个变量,如果f(x)满足以下条件，该函数f（x）是否为增函数?(1）对任意x1〈x2，都有f（x1)<f（x2)；（2）对任意x1，x2，都有［f（x1）－f(x2）]（x1－x2）〉0;（3）对任意x1、x2都有错误!>0.提示：是增函数，它们只不过是增函数的几种等价命题．3．由2推广，能否写出减函数的几个等价命题?提示：减函数（x1,x2∈M)⇔任意x1<x2,都有f(x1）>f（x2）⇔错误! <0⇔［f(x1)－f（x2)]·（x1－x2）〈0.知识点二函数的单调性与单调区间［填一填］如果函数y＝f(x）在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y＝f(x）在这一区间具有(严格的）单调性，区间D叫做y＝f(x）的单调区间．［答一答]4．函数的单调区间与其定义域是什么关系？提示：函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．5．函数f（x）＝错误!的单调减区间是（－∞，0）∪(0，＋∞）吗？提示:不是．例如:取x1＝1，x2＝－1，则x1>x2，这时f(x1)＝f （1）＝1，f(x2）＝f(－1）＝－1，故有f(x1)〉f（x2)．这样与函数f(x）＝错误!在(－∞，0)∪（0,＋∞）上单调递减矛盾．事实上，f（x)＝错误!的单调减区间应为（－∞，0）和(0,＋∞)．知识点三常见函数的单调性[填一填］1．设一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0）,当k〉0时,函数y ＝kx＋b在R上是增函数；当k<0时，函数y＝kx＋b在R上是减函数．2．设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．若a>0,则该函数在错误!上是减函数，在错误!上是增函数．若a<0，则该函数在错误!上是增函数，在错误!上是减函数．3．设反比例函数的解析式为y＝错误!（k≠0)．若k〉0，则函数y＝错误!在(－∞，0）上是减函数，在(0，＋∞）上也是减函数;若k 〈0,则函数y＝错误!在（－∞，0）上是增函数，在（0，＋∞）上也是增函数．[答一答]6．函数y＝x2－x＋2的单调区间如何划分？提示:函数在错误!上是减函数，在错误!上是增函数．类型一判断或证明函数的单调性[例1］证明:函数y＝x＋错误!在（0,3]上递减．[证明]设0<x1<x2≤3，则有y1－y2＝错误!－错误!＝(x1－x2）－错误!＝（x1－x2)错误!。

2020届高三数学一轮复习《函数的单调性》教案

专题：函数的单调性 ★★★★吵架时为什么会大声？原因是：当两个人相互愤怒的时候，他们的心和心相距很远，为了填补这段距离，他们必须呼喊，这样彼此才能听到.他们越是愤怒，心和心的距离越是遥远，于是，他们只有越发强力呼喊，他们彼此才能听到.反过来，也是恋爱时为什么喃喃低语的原因.【批注：“心情越愤怒，距离越遥远”这一个现象体现了函数的单调性，由此引入函数的单调性】知识梳理4 min.1. 单调性的定义：对于给定区间上的函数)(x f y =：如果对属于这个区间的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说，函数)(x f y =在这个区间上是增函数；如果对属于这个区间的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说，函数)(x f y =在这个区间上是减函数；2. 讨论函数单调性必须在其定义域上进行，因此，要研究函数的单调性，必须先求函数的定义域；问题一. 用定义证明函数()y f x =在区间I 上具有单调性的步骤是什么？答：（1）取值：对任意12,x x I ∈且12x x <；（2）作差、变形：12()()f x f x -，并判断差的正负；（3）根据判定的结果作出相应的结论. 问题二.函数212x y x +=-的单调情况是怎样的？答：215=222x y x x +=+--，在(,2),(2,)-∞+∞上单调递减. 问题三. 函数ay x x=+的单调情况是怎样的？答：,0(),0(,),(,),(,0),(0,),0a a f x x a x a a a a a ⎧↑=⎪=+↑<⎨⎪-∞-+∞↑↓>⎩ 【问题二和问题三中，通过提问两个相对具体的反比例函数和nike 类函数的单调性来检查学生对基础知识的掌握情况，为后面的例题讲解的做准备．】典例精讲33 min.例1. (★★★)已知偶函数)(x f 和奇函数)(x g 的定义域都是)4,4(-，它们在]0,4(-上的图像分别是图1和图2，则关于x 的不等式0)()(<x g x f 的解集是 .解：由函数的奇偶性及定义域，作图如下，易得，要()()0f x g x <，则 (2,0)(2,4)x ∈-U【小结：奇函数的在对称区间的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反.】巩固练习：(★★★) 若函数)1,0()1()(≠>--=-a a a a k x f x x 在R 上既是奇函数，又是减函数，则)(log )(k x x g a +=的图像是 ( )解：由()f x 在R 上是奇函数，故(0)0,2,()x xf k f x a a -===-，()f x 在R 上单调递减，故01a <<.则 ()log (1),01a g x x a =+<<，故选A.例2. (★★★★)下列命题中正确的命题是（）A.若存在[]12,,x x a b ∈，当12x x <时，有()12()f x f x <，则说函数)(x f y =在区间[]b a ,上是增函数；xy 图1 f(x)O-4-24xy图2g(x) O-4-24x y 图1 f(x) O -4 -2 4 xy图2g(x)O -4 -24B.若存在],[b a x i ∈（),2,1*N n i n n i ∈≥≤≤、，当123n x x x x <<<<L 时，有()()()123()n f x f x f x f x <<<<L ，则说函数)(x f y =在区间[]b a ,上是增函数；C.函数)(x f y =的定义域为),0[+∞，若对任意的0x >，都有()(0)f x f <，则函数)(x f y =在),0[+∞ 上一定是减函数；D.若对任意[]12,,x x a b ∈，当21x x ≠时，有0)()(2121>--x x x f x f ，则说函数)(x f y =在区间[]b a ,上是增函数.解：A 、B 中的变量应该是任取两个变量，而不是存在；C 中只是一个变量是任意的，不符合单调性的定义；D 是单调增函数的等价形式，12121212121200()()0,()()0()()0x x x x f x f x f x f x f x f x x x -<->⎧⎧->⇔⎨⎨-<->-⎩⎩或.故选 D.【单调增函数的等价形式如下：同理，可得单调减函数的等价形式】巩固练习：1. (★★★★)有下列几个命题：① 函数xx y 1-=是增函数； ② 函数11+=x y 在其定义域),1()1,(+∞--∞Y 上是减函数； ③ 函数245x x y -+=的单调区间是),2[+∞-；④ 已知)(x f 在R 上增函数，若0>+b a ，则有)()()()(b f a f b f a f -+->+.其中正确命题的序号是_____________________________ 解：① 错；② 错，虽然(,1),(1,)-∞-+∞都是11y x =+的单调递减区间，但求并集后就不再符合减函数定义；③ 错，要研究函数254y x x =+-的单调区间，首先被开方数2540x x +-≥，解得15x -≤≤，而 [2,)-+∞不是上述区间的子区间.④ 对，()f x 在R 上增函数，且a b >-，所以b a >-，()()f a f b >-，()()f b f a >-，所以，()()()()f a f b f a f b +>-+-. 故选 ④.2. (★★★★)已知函数)(x f 为定义在R 上的函数，则“对于任意R x ∈，恒有)1()(+<x f x f ”是“)(x f 在R 上是增函数”的__________________条件解：必要非充分.必要性：()f x 在R 上是增函数，又对任意x R ∈，1x x <+，故恒有()(1)f x f x <+；是必要条件.充分性：令1,(,0)(,)2()=10,[0,]2x x f x x ⎧∈-∞+∞⎪⎪⎨⎪∈⎪⎩U ，对任意x R ∈，恒有()(1)f x f x <+，但是()f x 在R 上不单调，故是不充分的.例3. (★★★★)设)(x f 是定义在R 上的函数，对m ,R n ∈恒有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当0>x 时，1)(0<<x f .（1）求证：1)0(=f ；（2）证明：R x ∈时恒有0)(>x f ；（3）求证：)(x f 在R 上是减函数；（4）若()(2)1f x f x ⋅+>，求x 的范围. 解：(1) 取10,2m n ==，则11(0)()(0)22f f f +=⋅，因为1()02f > 所以(0)1f =(2) 设0x <则0x ->，由条件可知()0f x ->又因为1(0)()()()0f f x x f x f x ==-=⋅->，所以()0f x >， ∴x R ∈时，恒有()0f x > （3）设12x x <，则121211()()()()f x f x f x f x x x -=--+ =1211()()()f x f x x f x -- =121()[1()]f x f x x --因为12x x <，所以210x x ->，所以21()1f x x -<，即211()0f x x --> 又因为1()0f x >，所以121()[1()]0f x f x x -->所以12()()0f x f x ->，即该函数在R 上是减函数.(4) 因为()(2)1f x f x ⋅+>，所以()(2)(22)(0)f x f x f x f ⋅+=+> 所以220x +<，所以1x x <-的范围为(解抽象函数不等式，往往利用函数的单调性和奇偶性消去f ，同时不要忘记“定义域优先”.) 例4. (★★★★)已知函数()),0(2R a x xax x f ∈≠+=，若()x f 在区间[)+∞,2是增函数，求实数a 的取值范围.解：设212x x >≥，()()22121212a a f x f x x x x x -=+--()12121212x x x x x x a x x -=+-⎡⎤⎣⎦，由212x x >≥得()121216x x x x +>，12120,0x x x x -<> 要使()f x 在区间[)2,+∞是增函数只需()()120f x f x -<，即()12120x x x x a +->恒成立，则16a ≤. 巩固练习：(★★★★)已知函数()22x x f x a -=+（常数)a R ∈．若4a ≤，求证函数()f x 在[1,)+∞上是增函数.解：设12,[1,),x x ∈+∞ 且12x x >，则112212()()(22)(22)x x x x f x f x a a ---=+-+21121222(22)2x x x x x x a +-=-+12121222(2)2x x x x x x a ++-=-由12x x >，可得1222x x >，即12220x x ->由12,[1,),x x ∈+∞12x x >，可得122x x +>，故12240x x +>>，又4a ≤，故122x x a +>，即1220x x a +->，所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，故函数()f x 在[1,)+∞上是增函数．备选题：1. （选）(★★★★)已知)(x f y =是定义在R上的单调函数，实数21x x ≠，121,,1x x λλααβλ+≠-=+，λλβ++=112x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则（）A ．0<λB ．0=λC ．10<<λD ．1≥λ解: (方法一)利用定比分点假设P 在数轴上的坐标为x ，1P 点在数轴上的坐标为1x ，2P 点在数轴上的坐标为2x ，121x x P λλ+=+.分点的位置内分点外分点分点与一端点重合P 点在12PP 上P 在12PP 延长线上P 在12PP 延长线上P 与1P 重合P 与2P 重合图示12PP PP λ=0λ> 1λ<- 10λ-<< λ=0 λ不存在若0λ≥，αβ，均在12,x x 中间或两端，显然不符合题意；故选A.(方法二) 特殊函数法令()f x x c =-+，1212121|()()||()()|||||||||1f x f x f f x x x x λαβαβλ--<-⇔-<-=⋅-+ 解得 0λ<，选A. (方法三)排除法取特殊值，选令11,0,,12λ=-，逐一排除，即可确定选A. 【定比分点在外省考察的比较多上海的高考很少考察，因此，建议给五星的学生做，慎用】2. （选）(★★★★)如果函数||12|lg |)(-=x x f 在定义域的某个子区间)1,1(+-k k 上不存在反函数，则k 的取值范围是（）)2,21.[-A ]23,1.(B )2,1.[-C )2,23[]21,1.(⋃--D解：D【利用单调函数一定有反函数的性质，只要函数()|lg |21||f x x =-在(1,1)k k -+上单调即可】 3. （选）(★★★★)已知函数ay x x=+有如下性质：如果常数0a >，那么该函数在(0,a ⎤⎦上是减函数，在),a ⎡+∞⎣上是增函数.(1) 如果函数2by x x=+()0x >的值域为[)6,+∞，求实数b 的值；(2) 研究函数22cy x x =+（常数0c >）在定义域内的单调性，并说明理由； (3) 对函数a y x x =+和22a y x x=+（常数0a >）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例，研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数()2211n nF x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（n 是正整数）在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）.【本题为2006年上海高考题的第22题，难度对四星和五星的学生均适合.】解: (1) 2log 9b =，(2) 函数在)4,c ⎡+∞⎣和)4,0c ⎡-⎣上单调递增，在(40,c ⎤⎦和(4,c ⎤-∞-⎦上单调递减，(3) 可以把函数推广为nn ay x x=+（常数0a >），其中n 是正整数，当n 是奇数时，函数在(20,n a ⎤⎦和)2,0n a ⎡-⎣上单调递减，在)2,n a ⎡+∞⎣和(2,n a ⎤-∞-⎦上单调递增，当n 为偶数时，函数在(20,na ⎤⎦和(2,n a ⎤-∞-⎦上单调递减，在)2,n a ⎡+∞⎣和)2,0na ⎡-⎣上单调递增，当12x =或2x =时，函数()F x 取得最大值9924n n⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1x =时，()F x 取得最小值12n +；回顾总结：3 min.1. 要研究函数的单调性，必须先求函数的定义域2. 函数单调性的等价形式有哪些？3. 奇函数在对称区间上有_相同__的单调性，偶函数在对称区间上_单调性__相反；4. 复合函数的单调性利用_同增异减__口诀进行判断.5. 单调性问题有时可以转化为_恒成立问题.我爱放电影。

高三数学第一轮总复习函数的单调性教案

新安中学2008届高三数学第一轮总复习函数的单调性教案课题：函数的单调性教学目标：理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题．教学重点：函数单调性的判断和函数单调性的应用．教学过程：（一）主要知识：1．函数单调性的定义：如果函数()x f 对区间D 内的任意21,x x ，当21x x <时都有()()21x f x f <，则()x f 在D 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则()x f 在D 内时减函数。

2．设[]b a x x ,,21∈，那么()()()x f x x x f x f ⇔>--02121在是增函数； ()()()x f x x x f x f ⇔<--02121在是减函数。

3．复合函数单调性的判断．（二）主要方法：1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；2．判断函数的单调性的方法有：（1）用定义；（2）用已知函数的单调性；（3）利用函数的导数；（4）单调函数的性质法；（5）图象法；（6）复合函数的单调性结论等（三）例题分析：例1．（1）求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间；（2）已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性．例2．设0a >，()x xe af x a e =+是R 上的偶函数．（1）求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数．例3．若()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集为．例4．（2004福建）定义在R 上的偶函数f x 满足2f x f x ，当3,4x 时，2f x x ，则（）11sinsincos223333sin1cos1sincos22A f f cosB f fC f fD f f例5．已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=，（1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）解不等式2(21)2f x -<．（五）高考回顾：考题1（2005山东）下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（D ）（A ）()sin f x x =（B ）()1f x x =-+（C ）()1()2x xf x a a -=+（D ）2()ln 2x f x x-=+ 考题2（2005上海）若函数f(x)=121+X , 则该函数在(-∞,+∞)上是( A )(A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值考题3（2005天津）若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是（B ）A ．)1,41[B ． )1,43[C ．),49(+∞D ．)49,1(考题4 (2005重庆)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 (D )(A) (∞,2)； (B) (2,∞)； (C) (∞,2)⋃(2,∞)；(D) (2,2)。

高中数学函数单调性的教案

高中数学函数单调性的教案一、教学目标1. 理解函数的单调性的概念，了解函数单调递增和单调递减的定义及特点。

2. 能够通过函数的导数或图像来判断函数的单调性。

3. 能够应用函数的单调性解决实际问题。

二、教学重点1. 函数的单调性的概念和特点。

2. 通过导数或图像判断函数的单调性。

三、教学难点1. 如何通过导数或图像来判断函数的单调性。

2. 应用函数的单调性解决实际问题。

四、教学内容1. 函数的单调性的定义和特点。

2. 利用导数判断函数的单调性。

3. 利用图像判断函数的单调性。

4. 单调性在实际问题中的应用。

五、教学过程1. 导入教学：通过一个生活实例引入函数的单调性的概念。

2. 讲解函数的单调性的定义和特点，引导学生理解。

3. 通过对几个函数的图像进行观察，讨论函数的单调递增和单调递减的特点。

4. 讲解如何通过导数或导数图像判断函数的单调性。

5. 练习：让学生通过计算导数或观察导数图像判断给定函数的单调性。

6. 应用：给学生一个实际问题，让他们利用函数的单调性来解决问题。

7. 总结：回顾本节课所学内容，强调函数的单调性在解决问题中的重要性。

六、教学资源1. 课件2. 教科书3. 练习题七、教学评估1. 课堂练习题2. 作业布置并检查八、拓展延伸1. 思考函数的极值点与单调性的关系。

2. 探究其他函数性质与单调性的联系。

以上是本节课的教学内容和组织安排，希望能够帮助学生更好地理解和掌握函数的单调性。

祝学习顺利！。

高中数学第二章函数 3 函数的单调性(一)学案北师大

3 函数的单调性（一）学习目标 1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．知识点一函数的单调性思考画出函数f (x )＝x 、f (x )＝x 2的图像，并指出f (x )＝x 、f (x )＝x 2的图像的升降情况如何？梳理单调性是相对于区间来说的，函数图像在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数．反之则为减函数．很多时候我们不知道函数图像是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙．所以有以下定义：一般地，在函数y ＝f (x )的定义域内的一个区间A 上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么，就称函数y ＝f (x )在区间A 上是__________，有时也称函数y ＝f (x )在区间A 上是__________．在函数y ＝f (x )的定义域内的一个区间A 上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么，就称函数y ＝f (x )在区间A 上是__________，有时也称函数y ＝f (x )在区间A 上是__________．如果函数y ＝f (x )在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，就称函数y ＝f (x )在该子集上具有单调性；如果函数y ＝f (x )在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数是增函数或减函数，统称为单调函数．知识点二函数的单调区间思考我们已经知道f (x )＝x 2在(－∞，0]上是减少的，f (x )＝1x在区间(－∞，0)上是减少的，这两个区间能不能交换？梳理一般地，有下列常识：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．类型一求单调区间并判断单调性例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增加的还是减少的？反思与感悟函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增加的，要么是减少的，不能二者兼有．跟踪训练1 写出函数y ＝|x 2－2x －3|的单调区间，并指出单调性．类型二证明单调性命题角度1 证明具体函数的单调性例2 证明f (x )＝x 在其定义域上是增函数．反思与感悟运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x 1，x 2且x 1<x 2的条件下，转化为确定f (x 1)与f (x 2)的大小，要牢记五大步骤：取值→作差→变形→定号→小结．跟踪训练2 求证：函数f (x )＝x ＋1x在[1，＋∞)上是增函数．命题角度2 证明抽象函数的单调性例3 已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：函数f(x)在R上是增函数．反思与感悟因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(x1)－f(x2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f(x1)－f(x2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值．跟踪训练3 已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.求证：f(x)在R上是减函数．类型三单调性的应用命题角度1 利用单调性求参数范围例4 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ，x <1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为( ) A ．[18，13)B ．(0，13)C ．[18，＋∞)D ．(－∞，18]∪[13，＋∞)反思与感悟分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超．另外，函数在单调区间上的图像不一定是连续不断的．跟踪训练4 已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________．命题角度2 用单调性解不等式例5 已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围．反思与感悟若已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大小；由f(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小．跟踪训练5 在例5中若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)<f(2a－1)，则a 的取值范围又是什么？1．函数y ＝f (x )在区间[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的增区间是( )A ．[－2,0]B ．[0,1]C ．[－2,1]D ．[－1,1]2．函数y ＝6x的减区间是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)3．在下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)的是( ) A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝2x ＋14．已知函数y ＝f (x )满足：f (－2)>f (－1)，f (－1)<f (0)，则下列结论正确的是( ) A ．函数y ＝f (x )在区间[－2，－1]上递减，在区间[－1,0]上递增 B ．函数y ＝f (x )在区间[－2，－1]上递增，在区间[－1,0]上递减 C ．函数y ＝f (x )在区间[－2,0]上的最小值是f (－1) D ．以上的三个结论都不正确5．若函数f (x )在R 上是减函数，且f (|x |)>f (1)，则x 的取值范围是( ) A ．x <1 B ．x >－1 C ．－1<x <1D ．x <－1或x >11．若f (x )的定义域为D ，A ⊆D ，B ⊆D ，f (x )在A 和B 上都递减，未必有f (x )在A ∪B 上递减．2．对增函数的判断，对任意x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)，也可以用一个不等式来替代： (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0或f x 1－f x 2x 1－x 2>0.对减函数的判断，对任意x 1<x 2，都有f (x 1)>f (x 2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0或f x 1－f x 2x 1－x 2<0.3．熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等．4．若f (x )，g (x )都是增函数，h (x )是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f (x )＋g (x )递增，f (x )－h (x )递增，②－f (x )递减，③1f x递减(f (x )≠0)．5．对于函数值恒正(或恒负)的函数f (x )，证明单调性时，也可以作商f x 1f x 2与1比较．答案精析问题导学知识点一思考两函数的图像如下：函数f (x )＝x 的图像由左到右是上升的；函数f (x )＝x 2的图像在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的．梳理增加的递增的减少的递减的知识点二思考 f (x )＝x 2的减区间可以写成(－∞，0)，而f (x )＝1x的减区间(－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为0不属于f (x )＝1x的定义域．题型探究例1 解 y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y ＝f (x )在区间[－5，－2]，[1,3]上是减少的，在区间[－2,1]，[3,5]上是增加的．跟踪训练1 解先画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3，x <－1或x >3，－x 2－2x －，－1≤x ≤3的图像，如图．所以y ＝|x 2－2x －3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；递增区间是[－1,1]，[3，＋∞)．例2 证明 f (x )＝x 的定义域为[0，＋∞)．设x 1，x 2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2.∵0≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )＝x 在定义域[0，＋∞)上是增函数．跟踪训练2 证明设x 1，x 2是实数集R 上的任意实数，且1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－(x 2＋1x 2)＝(x 1－x 2)＋(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)(1－1x 1x 2)＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2)．∵1≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0,1<x 1x 2， ∴x 1x 2－1x 1x 2>0，故(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )＝x ＋1x在区间[1，＋∞)上是增函数．例3 证明方法一设x 1，x 2是实数集上的任意两个实数，且x 1>x 2. 令x ＋y ＝x 1，y ＝x 2，则x ＝x 1－x 2>0.f (x 1)－f (x 2)＝f (x ＋y )－f (y )＝f (x )＋f (y )－1－f (y )＝f (x )－1.∵x >0，∴f (x )>1，f (x )－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． ∴函数f (x )在R 上是增函数．方法二设x 1>x 2，则x 1－x 2>0，从而f (x 1－x 2)>1，即f (x 1－x 2)－1>0.f (x 1)＝f [x 2＋(x 1－x 2)]＝f (x 2)＋f (x 1－x 2)－1>f (x 2)，故f (x )在R 上是增函数．跟踪训练3 证明 ∵对于任意实数m ，n ，恒有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，令m ＝1，n ＝0，可得f (1)＝f (1)·f (0)， ∵当x ＞0时，0＜f (x )＜1， ∴f (1)≠0，∴f (0)＝1. 令m ＝x ＜0，n ＝－x ＞0，则f (m ＋n )＝f (0)＝f (－x )·f (x )＝1，∴f (x )f (－x )＝1，又∵－x ＞0时，0＜f (－x )＜1，∴f (x )＝1f －x＞1. ∴对任意实数x ，f (x )恒大于0.设任意x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴0<f (x 2－x 1)<1，∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)f (x 1)－f (x 1)＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]<0， ∴f (x )在R 上是减少的．例4 A [要使f (x )在R 上是减函数，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1<0，－a <0，a －＋4a ≥－a ·1. 解得18≤a ＜13.] 跟踪训练4 a ≤1或a ≥2解析由于二次函数开口向上，故其增区间为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]，而f (x )在区间[1,2]上单调，所以[1,2]⊆[a ，＋∞)或[1,2]⊆(－∞，a ]，即a ≤1或a ≥2. 例5 解 f (1－a )<f (2a －1)等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23，即所求a 的取值范围是0<a <23. 跟踪训练5 解 ∵y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数，f (1－a )<f (2a －1)，∴1－a <2a －1，即a >23， ∴所求a 的取值范围是(23，＋∞)．当堂训练1．C 2.C 3.B 4.D 5.C。

高中数学同步学案正弦、余弦函数的单调性与最值

第2课时正弦、余弦函数的单调性与最值学习目标核心素养1.掌握y ＝sin x 和y ＝cos x 的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点) 2．掌握y ＝sin x 和y ＝cos x 的单调性,并能利用单调性比较大小．(重点)3．会求函数y ＝Asin (ωx＋φ)和y ＝Acos (ωx＋φ)的单调区间．(重点、易混点)1.通过正弦、余弦曲线观察出正弦、余弦函数的单调性和最大(小)值等性质,提升学生的数学抽象素养．2．通过三角函数单调性等性质的学习,培养学生的运用数形结合研究问题的思想,提升学生的数学运算素养.正弦、余弦函数的图象与性质解析式y ＝sin xy ＝cos x图象值域[－1,1][－1,1]单调性在⎣⎢⎡－π2＋2kπ，π2＋2kπ],k ∈Z 上递增,在⎣⎢⎡π2＋2kπ，3π2＋2kπ],k ∈Z 上递减在[－π＋2kπ,2k π],k ∈Z 上递增, 在[2kπ,π＋2kπ],k ∈Z 上递减最值x ＝π2＋2kπ,k ∈Z 时,y max ＝1；x ＝－π2＋2kπ,k ∈Z 时,y min ＝－1x ＝2kπ,k ∈Z 时,y max ＝1；x ＝π＋2kπ,k ∈Z 时,y min ＝－1对称轴 x ＝kπ＋π2(k∈Z)x ＝kπ(k∈Z)对称中心 (kπ,0)k∈Z⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π，0k ∈Z思考：y ＝sin x 和y ＝cos x 在区间(m,n)(其中0＜m ＜n ＜2π)上都是减函数,你能确定m 、n 的值吗？ [提示] 由正弦函数和余弦函数的单调性可知m ＝π2,n ＝π.1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3的值域是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．[－1,1]A [这里A ＝2,故值域为[－2,2]．]2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的一个对称中心是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 D ．⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0B [y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2＝cos 2x,令2x ＝kπ＋π2(k∈Z)得x ＝kπ2＋π4(k∈Z),令k ＝0的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0,故选B.]3．函数y ＝2－sin x 取得最大值时x 的取值集合为________．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2kπ－π2，k ∈Z [当sin x ＝－1时,y max ＝2－(－1)＝3,此时x ＝2kπ－π2,k ∈Z.]4．函数f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的单调减区间为________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π8，k π＋5π8(k∈Z) [令2kπ≤2x －π4≤2k π＋π,k ∈Z,得kπ＋π8≤x ≤k π＋5π8(k∈Z),故单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π8，k π＋5π8(k∈Z)．]正弦函数、余弦函数的单调性【例1】 (1)函数y ＝cos x 在区间[－π,a]上为增函数,则a 的取值范围是________．(2)已知函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1,求函数f(x)的单调递增区间．思路点拨：(1)确定a 的范围→y＝cos x 在区间[－π,a]上为增函数→y＝cos x 在区间[－π,0]上是增函数,在区间[0,π]上是减函数→a 的范围．(2)确定增区间→令u ＝π4＋2x→y＝2sin u ＋1的单调递增区间．(1)(－π,0] [因为y ＝cos x 在[－π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数,所以只有－π＜a≤0时满足条件,故a∈(－π,0]．](2)[解] 令u ＝π4＋2x,函数y ＝2sin u ＋1的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ,k ∈Z,由－π2＋2kπ≤π4＋2x≤π2＋2kπ,k ∈Z, 得－3π8＋kπ≤x ≤π8＋kπ,k ∈Z.所以函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋kπ，π8＋kπ,k ∈Z.1．本例(2)中条件不变,问⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4是该函数的单调递增区间吗？[解] 令2x ＋π4＝u,∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4, ∴π4≤2x ＋π4≤3π4,即u∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4. 而y ＝sin u 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4上不单调,故y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上不是单调递增的． 2．本例(2)中条件不变,求在[－π,π]上的单调递增区间． [解] 对于y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1,由2kπ－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k∈Z)得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k∈Z)．∵－π≤x ≤π,令k ＝－1时,－π≤x ≤－78π,令k ＝0时,－3π8≤x ≤π8,令k ＝1时,5π8≤x ≤π,∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1在[－π,π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－78π、⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8，π.3．本例(2)中把条件中的“π4＋2x”改为“π4－2x”,结果怎样？ [解] y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＋1＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1,令2kπ＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k∈Z),得kπ＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k∈Z)．故函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x ＋1的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋3π8，k π＋7π8(k∈Z)．1．求形如y ＝Asin (ωx＋φ)＋b 或形如y ＝Acos (ωx＋φ)＋b(其中A≠0,ω>0,b 为常数)的函数的单调区间,可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间,通过解不等式求得．2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体,若ω<0,先用诱导公式将式子变形,将x 的系数化为正；②在A>0,ω>0时,将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0,ω>0时,同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．1．(1)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的单调递减区间为________． (2)已知函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x ,则它的单调递减区间为________． (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－2π9,⎣⎢⎡⎦⎥⎤π9，π3(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π6，k π＋2π3(k∈Z) [(1)由π2＋2kπ≤3x ＋π6≤3π2＋2kπ(k∈Z ), 得π9＋2kπ3≤x ≤4π9＋2kπ3(k∈Z)．又x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3, 所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－2π9,⎣⎢⎡⎦⎥⎤π9，π3.(2)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3,由2kπ≤2x －π3≤2kπ＋π,k ∈Z,得kπ＋π6≤x ≤k π＋2π3,k ∈Z,∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π6，k π＋2π3(k∈Z)．]利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10；(2)sin 196°与cos 156°；(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 思路点拨：用诱导公式化简→利用函数的单调性，由自变量的大小推出对应函数值的大小 [解] (1)∵－π2＜－π10＜－π18＜π2,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.(2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°,cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°, ∵0°＜16°＜66°＜90°, ∴sin 16°＜sin 66°, 从而－sin 16°＞－sin 66°, 即sin 196°＞cos 156°. (3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋35π＝cos 35π,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0＜π4＜35π＜π,且y ＝cos x 在[0,π]上是减函数,∴cos 35π＜cos π4,即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π.三角函数值大小比较的策略(1)利用诱导公式,对于正弦函数来说,一般将两个角转化到⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2或⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2内；对于余弦函数来说,一般将两个角转化到[－π,0]或[0,π]内．(2)不同名的函数化为同名的函数．(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内,借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小．2．(1)已知α,β为锐角三角形的两个内角,则以下结论正确的是( ) A ．sin α＜sin β B ．cos α＜sin β C ．cos α＜cos β D ．cos α ＞cos β(2)比较下列各组数的大小： ①cos 15π8,cos 14π9；②cos 1,sin 1.(1)B [α,β为锐角三角形的两个内角,α＋β＞π2,α＞π2－β,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,π2－β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,所以cos α＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝sin β.](2)[解] ①cos 15π8＝cos π8,cos 14π9＝cos 4π9,因为0＜π8＜4π9＜π,而y ＝cos x 在[0,π]上单调递减,所以cos π8＞cos 4π9,即cos 15π8＞cos 14π9.②因为cos 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1,而0＜π2－1＜1＜π2且y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1＜sin 1,即cos 1＜sin 1.正弦函数、余弦函数的最值问题1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在x∈[0,π]上的最小值是多少？提示：因为x∈[0,π],所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4,由正弦函数图象可知函数的最小值为－22.2．函数y ＝Asin x ＋b,x∈R 的最大值一定是A ＋b 吗？提示：不是．因为A>0时,最大值为A ＋b,若A<0时,最大值应为－A ＋b. 【例3】 (1)函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2,x ∈R 的值域为________．(2)已知函数f(x)＝asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b(a ＞0)．当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时,f(x)的最大值为3,最小值是－2,求a和b 的值．思路点拨：(1)先用平方关系转化,即cos 2x ＝1－sin 2x,再将sin x 看作整体,转化为二次函数的值域问题．(2)先由x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2求2x －π3的取值范围,再求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的取值范围,最后求f(x)min ,f(x)max ,列方程组求解．(1)[－4,0] [y ＝cos 2x ＋2sin x －2 ＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－(sin x －1)2. 因为－1≤sin x ≤1,所以－4≤y≤0,所以函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2,x ∈R 的值域为[－4,0]．] (2)[解] ∵0≤x≤π2,∴－π3≤2x －π3≤2π3,∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1,∴f(x)max ＝a ＋b ＝3, f(x)min ＝－32a ＋b ＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，－32a ＋b ＝－2，得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2＋ 3.1．求本例(1)中函数取得最小值时x 的取值集合．[解] 因为y ＝cos 2x ＋2sin x －2＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－(sin x －1)2, 所以当sin x ＝－1时,y min ＝－4,此时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2kπ－π2，k ∈Z .2．本例(2)中,函数变成f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3,求其最大值和最小值,并求取得最大值及最小值时的集合．[解] (1)因为－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1, 所以当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时,y max ＝5；这时2x ＋π3＝2kπ(k∈Z),即x ＝kπ－π6(k∈Z)．当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时,y min ＝1. 这时2x ＋π3＝2kπ＋π(k∈Z),即x ＝kπ＋π3(k∈Z)．综上,f(x)max ＝5,这时x 取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝kπ－π6（k∈Z）；f(x)min ＝1,这时x 取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝kπ＋π3（k∈Z）.3．本例(2)中,函数变成f(x)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3,且加上条件x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12时,求最大值、最小值． [解] 因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12,所以0≤2x＋π3≤π2,所以0≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1,所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时,y max ＝5；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0,y min ＝3. 所以函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12的最大值为5,最小值为3.三角函数最值问题的常见类型及求解方法：(1)y ＝asin 2x ＋bsin x ＋c(a≠0),利用换元思想设t ＝sin x,转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值,t 的范围需要根据定义域来确定．(2)y ＝Asin (ωx＋φ)＋b,可先由定义域求得ωx＋φ的范围,然后求得sin (ωx＋φ)的范围,最后得最值．1．求函数y ＝Asin (ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)单调区间的方法：把ωx＋φ看成一个整体,由2kπ－π2≤ωx ＋φ≤2kπ＋π2(k∈Z)解出x 的范围,所得区间即为增区间,由2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋3π2(k∈Z)解出x 的范围,所得区间即为减区间．若ω＜0,先利用诱导公式把ω转化为正数后,再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小,先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较,再利用单调性作出判断．3．三角函数最值问题的求解方法有：(1)形如y ＝asin x(或y ＝acos x)型,可利用正弦函数、余弦函数的有界性,注意对a 正负的讨论． (2)形如y ＝Asin (ωx＋φ)＋b(或y ＝Acos (ωx＋φ)＋b)型,可先由定义域求得ωx＋φ的范围,然后求得sin (ωx＋φ)(或cos (ωx＋φ))的范围,最后求得最值．(3)形如y ＝asin 2x ＋bsin x ＋c(a≠0)型,可利用换元思想,设t ＝sin x,转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值．t 的范围需要根据定义域来确定.1．下列命题正确的是( )A ．正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数B ．存在x∈R 满足sin x ＝ 2C ．在区间[0,2π]上,函数y ＝cos x 仅当x ＝0时取得最大值1D ．正弦函数y ＝sin x 有无穷多条对称轴和无数个对称中心D [A 错,y ＝sin x,y ＝cos x 在定义域没有单调增区间也没有减区间；B 错,sin x ≤1；C 错,y ＝cos x (x∈[0,2π])当x ＝0或2π时,函数取得最大值；D 对,根据正弦曲线可以知道正弦曲线有无数条对称轴,写成x ＝kπ＋π2(k∈Z),也有无穷多个对称中心(kπ,0)(k∈Z)．]2．函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤5π6的值域为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 [因为π4≤x ≤5π6,所以12≤sin x ≤1,即所求的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.]3．sin 2π7________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8(填“＞”或“＜”)．＞ [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π8＝sin π8,因为0＜π8＜2π7＜π2,y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数,所以sin π8＜sin 2π7,即sin 2π7＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8.] 4．求函数y ＝1－sin 2x 的单调递增区间．[解] 求函数y ＝1－sin 2x 的单调递增区间,转化为求函数y ＝sin 2x 的单调递减区间, 由π2＋2kπ≤2x ≤3π2＋2kπ,k ∈Z, 得π4＋kπ≤x ≤3π4＋kπ,k ∈Z,即函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋kπ，3π4＋kπ(k∈Z)．。

高三数学一轮复习教案第三节函数的单调性

第3课函数的单调性【考点导读】1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性．;-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------补充：1．单调增函数的定义：一般地，设函数的定义域为，区间．如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间．注意：⑴“任意”、“都有”等关键词；⑵. 单调性、单调区间是有区别的；2．单调减函数的定义：一般地，设函数的定义域为，区间．如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间．3. 函数单调性的等价形式：3．函数图像与单调性：函数在单调增区间上的图像是上升图像；而函数在其单调减区间上的图像是下降的图像。

（填＂上升＂或＂下降＂）4．利用函数的定义证明函数单调的步骤：（1）根据题意在区间上设；（2）比较大小；（通常是利用作差法或作商法）(3) 下结论＂函数在某个区间上是单调增（或减）函数＂ .5．复合函数的单调性设函数y＝f(u)，u＝g(x)都是单调函数，那么复合函数y＝f[g(x)]在其定义域上也是单调函数，对于复合函数的单调性，可概括为“同增异减”.;------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【基础练习】1.下列函数中：①；②；③；④．其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有___②___．2.函数的递增区间是___ R ___．3.函数的递减区间是__________．4.已知函数在定义域R上是单调减函数，且，则实数a的取值范围__________．5.已知下列命题：①定义在上的函数满足，则函数是上的增函数；②定义在上的函数满足，则函数在上不是减函数；③定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数；④定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数．其中正确命题的序号有_____②______．【范例解析】例1. 求证：（1）函数在区间上是单调递增函数；（2）函数在上是单调递减函数；（3）函数在区间和上都是单调递增函数．分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定．证明：（1）对于区间内的任意两个值，，且，因为，又，则，，得，故，即，即．所以，函数在区间上是单调增函数．（2）对于上的任意两个值，，且，因为，又，则，，得，故，即．所以，函数在上是单调减函数．（3）对于区间内的任意两个值，，且，因为，又，则，，得，故，即，即．所以，函数在区间上是单调增函数．同理，对于区间，函数是单调增函数；所以，函数在区间和上都是单调增函数．点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值，；（2）作差，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论．例2.确定函数的单调性．分析：作差后，符号的确定是关键．解：由，得定义域为．对于区间内的任意两个值，，且，则又，，，即．所以，在区间上是增函数．点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定．例3.已知函数．（1）讨论函数在区间上的单调性，并证明；（2）求函数在区间上的最大值与最小值；（3）试求函数的最小值．分析：本题先研究函数的单调性，再利用单调性解决最值问题．解：（1）对于区间内的任意两个值，，且，则，当，则，，故，即，即．所以，函数在区间上是单调减函数；当，则，，故，即，即．所以，函数在区间上是单调增函数；综上所述，函数在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数．（2）由（1）知，函数在上是单调递减，上是单调递增；所以，的最小值为，此时；又，所以的最大值为，此时或．（3）令，则，由（1）知，在上单调递增，所以，y的最小值为．例4.已知函数在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围．分析：由函数在[－1，1]上是增函数，建立不等关系．解：①当时，在[－1，1]上是增函数，②当时，对称轴方程为，ⅰ）当时，，解得；ⅱ）当时，，解得；．点评：由单调性求参数的范围，应注意分类讨论．【反馈演练】1．已知函数，则该函数在上单调递__减__，（填“增”“减”）值域为_________．2．已知函数在上是减函数，在上是增函数，则__25___.3.函数的单调递增区间为.4.函数的单调递减区间为．5．“a=1”是“函数在区间[1，+∞)上为增函数”的___充分不必要___条件．6．在下列四个函数中，①；②；③；④．满足性质：“对于区间上的任意，恒成立”的函数的序号有____①____．7．已知是上的减函数，那么的取值范围是．8．设函数的定义域为，有下列三个命题：①若存在常数，使得对任意，有，则是函数的最大值；②若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值；③若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值．这些命题中，真命题的序号有___②③___．9. 若函数为R上的减函数，且的图象经过点A（0，3）和B（3，－1），则不等式的解集为____________________.10.已知函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围．解：设对于区间内的任意两个值，，且，则，，，得，，，即．11.设函数f(x)=－ax，其中a>0．证明：当a≥1时，函数f(x)在区间上是单调函数．证明：在区间上任取x1、x2，使得x1<x2．则f(x1)－f(x2)=－a(x1－x2)= －a(x1－x2)=(x1－x2)( －a)．∵<1，且a≥1，∴－a<0，又x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)> f(x2)．所以，当a≥1时，函数f(x)在区间上是单调递减函数．12.已知函数＝＋有如下性质：如果常数＞0，那么该函数在0，上是减函数，在，＋∞上是增函数．（1）如果函数＝＋（＞0）的值域为6，＋∞，求的值；（2）求函数＝＋(＞0)在区间上的最小值；（3）研究函数＝＋（常数＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（4）对函数＝＋和＝＋（常数＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）．解：（1）函数＝＋（＞0）的最小值是，则，．（2）函数＝＋在0，上是减函数，在，＋∞上是增函数当时，＝＋在上是减函数，则的最小值为；当时，＝＋在上是增函数，则的最小值为；当时，＝＋在上是减函数，在上时增函数，则的最小值为；综上所述，的最小值．（3）对于区间内的任意两个值，，且，则，当，则．所以，函数在区间上是单调减函数；当，则．所以，函数在区间上是单调增函数；综上所述，函数在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数；在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数．．又是偶函数，则函数在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数．（4）可以把函数推广为＝＋（常数＞0），其中n为正整数．当n为奇数时，＝＋在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数；在区间上是单调增函数，在区间上是单调减函数．当n为偶数时，＝＋在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数；在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数．。

高中数学复习教案：导数与函数的单调性

第十一节导数与函数的单调性[考纲传真]了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导,则(1)若f′(x)＞0,则f(x)在这个区间内单调递增;(2)若f′(x)＜0,则f(x)在这个区间内单调递减;(3)若f′(x)＝0,则f(x)在这个区间内是常数函数．[常用结论]1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a,b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a,b),都有f′(x)≥0(f′(x)≤0),且f′(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒为零．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,那么在区间(a,b)上一定有f′(x)>0. ()(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0,则函数f(x)在此区间上没有单调性．()(3)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．()(4)若函数f(x)在区间(a,b)上满足f′(x)≤0,则函数f(x)在区间(a,b)上是减函数．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为()A．(0,4)B．(0,2)C．(4,＋∞) D．(－∞,0)A[f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4),由f′(x)<0,得0<x<4,∴递减区间为(0,4)．]3．(教材改编)如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象,则下列判断中正确的是()A ．函数f (x )在区间(－3,0)上是减函数B ．函数f (x )在区间(1,3)上是减函数C ．函数f (x )在区间(0,2)上是减函数D ．函数f (x )在区间(3,4)上是增函数A [当x ∈(－3,0)时,f ′(x )＜0,则f (x )在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．] 4．(教材改编)函数f (x )＝cos x －x 在(0,π)上的单调性是( ) A ．先增后减B ．先减后增C ．增函数D ．减函数D [f ′(x )＝－sin x －1,又x ∈(0,π),所以f ′(x )＜0,因此f (x )在(0,π)上是减函数,故选D.] 5．已知f (x )＝x 3－ax 在[1,＋∞)上是增函数,则a 的取值范围是________． (－∞,3] [f ′(x )＝3x 2－a ,由题意知f ′(x )≥0,即a ≤3x 2对x ∈[1,＋∞)恒成立．又当x ∈[1,＋∞)时,3x 2≥3,所以a ≤3.]不含参数的函数的单调性1．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(1,＋∞)D ．(0,＋∞)B [函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0,＋∞), y ′＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x －1)(x ＋1)x ,令y ′＜0,得0＜x ＜1,所以单调递减区间为(0,1),故选B.] 2．已知函数f (x )＝x ln x ,则f (x )( ) A ．在(0,＋∞)上递增 B ．在(0,＋∞)上递减 C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递减D [因为函数f (x )＝x ln x ,定义域为(0,＋∞),所以f ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0), 当f ′(x )＞0时,解得x ＞1e ,即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞;当f ′(x )＜0时,解得0＜x ＜1e ,即函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ,故选D.]3．已知定义在区间(－π,π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ,则f (x )的单调递增区间是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 [f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x , 令f ′(x )＝x cos x ＞0,则其在区间(－π,π)上的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2, 即f (x )的单调递增区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.] [规律方法] 求函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x )的定义域; (2)求f ′(x );(3)在定义域内解不等式f ′(x )＞0,得单调递增区间; (4)在定义域内解不等式f ′(x )＜0,得单调递减区间.易错警示：(1)求函数的单调区间时,一定要先确定函数的定义域,否则极易出错(2)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如函数f (x )＝x 3,f ′(x )＝3x 2≥0(x ＝0时,f ′(x )＝0),但f (x )＝x 3在R 上是增函数.含参数的函数的单调性【例1】讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性． [解] f (x )的定义域为(0,＋∞), f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x.①当a ≥1时,f ′(x )＞0,故f (x )在(0,＋∞)上单调递增;②当a ≤0时,f ′(x )＜0,故f (x )在(0,＋∞)上单调递减; ③当0＜a ＜1时,令f ′(x )＝0,解得x ＝1－a 2a ,则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 时,f ′(x )＜0;当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a2a ，＋∞时,f ′(x )＞0,故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减,在⎝⎛⎭⎪⎫1－a2a ，＋∞上单调递增．[规律方法] 解决含参数的函数单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点.(1)已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1(a ∈R ),求函数f (x )的单调区间．[解] f ′(x )＝x 2＋2x ＋a 开口向上,Δ＝4－4a ＝4(1－a )． ①当1－a ≤0,即a ≥1时,f ′(x )≥0恒成立, f (x )在R 上单调递增．②当1－a ＞0,即a ＜1时,令f ′(x )＝0,解得x 1＝－1－1－a ,x 2＝－1＋1－a ,令f ′(x )＞0,解得x ＜－1－1－a 或x ＞－1＋1－a ;令f ′(x )＜0,解得－1－1－a ＜x ＜－1＋1－a ,所以f (x )的单调递增区间为(－∞,－1－1－a )和(－1＋1－a ,＋∞); f (x )的单调递减区间为(－1－1－a ,－1＋1－a )．综上所述：当a ≥1时,f (x )在R 上单调递增;当a ＜1时,f (x )的单调递增区间为(－∞,－1－1－a )和(－1＋1－a ,＋∞), f (x )的单调递减区间为(－1－1－a ,－1＋1－a )．(2)已知函数f (x )＝e x (ax 2－2x ＋2)(a ＞0)．求f (x )的单调区间． [解] 由题意得f ′(x )＝e x [ax 2＋(2a －2)x ](a ＞0), 令f ′(x )＝0,解得x 1＝0,x 2＝2－2a a .①当0＜a ＜1时,f (x )的单调递增区间为(－∞,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，＋∞,单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，2－2a a ;②当a ＝1时,f (x )在(－∞,＋∞)内单调递增;③当a ＞1时,f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2－2a a 和(0,＋∞),单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，0. 函数单调性的应用►考法1 【例2】 (2019·莆田模拟)设函数f ′(x )是定义在(0,2π)上的函数f (x )的导函数,f (x )＝f (2π－x ),当0＜x ＜π时,若f (x )sin x －f ′(x )cos x ＜0,a ＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,b ＝0,c ＝－32f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6,则( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜bA [由f (x )＝f (2π－x ),得函数f (x )的图象关于直线x ＝π对称,令g (x )＝f (x )cos x ,则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )·sin x ＞0,所以当0＜x ＜π时,g (x )在(0,π)内递增,所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6,即a ＜b ＜c ,故选A.]►考法2 根据函数的单调性求参数【例3】 (1)(2017·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ,其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0,则实数a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 [因为f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e －x ＝－x 3＋2x －e x ＋1e x ＝－f (x ), 所以f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x 是奇函数．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0,所以f (2a 2)≤－f (a －1),即f (2a 2)≤f (1－a )．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋e －x ≥3x 2－2＋2e x ·e －x ＝3x 2≥0, 所以f (x )在R 上单调递增, 所以2a 2≤1－a ,即2a 2＋a －1≤0, 所以－1≤a ≤12.](2)已知函数f (x )＝ln x ,g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．①若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间,求a 的取值范围;②若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减,求a 的取值范围．[解] ①h (x )＝ln x －12ax 2－2x ,x ∈(0,＋∞),所以h ′(x )＝1x －ax －2,由于h (x )在(0,＋∞)上存在单调递减区间,所以当x ∈(0,＋∞)时,1x －ax －2＜0有解, 即a ＞1x 2－2x 有解．设G (x )＝1x 2－2x ,所以只要a ＞G (x )min 即可．而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1,所以G (x )min ＝－1,所以a ＞－1,即a 的取值范围为(－1,＋∞)． ②由h (x )在[1,4]上单调递减得,当x ∈[1,4]时,h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立, 即a ≥1x 2－2x 恒成立．所以a ≥G (x )ma x ,而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1,因为x ∈[1,4],所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1,所以G (x )ma x ＝－716(此时x ＝4),所以a ≥－716,即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.[规律方法] 根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ,b )上单调,则区间(a ,b )是相应单调区间的子集. (2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ,b )都有f ′(x )≥0且在(a ,b )内的任一非空子区间上,f ′(x )不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.(1)已知函数y ＝f (x )对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＞0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数),则下列不等式成立的是( )A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4B.2f⎝⎛⎭⎪⎫π3＜f⎝⎛⎭⎪⎫π4C．f(0)＞2f ⎝⎛⎭⎪⎫π3D．f(0)＞2f⎝⎛⎭⎪⎫π4(2)已知a≥0,函数f(x)＝(x2－2ax)e x,若f(x)在[－1,1]上是减函数,则a的取值范围是()A.⎝⎛⎭⎪⎫0，34 B.⎝⎛⎭⎪⎫12，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12(1)A(2)C[(1)令g(x)＝f(x)cos x,则g′(x)＝f′(x)cos x＋f(x)sin xcos2x＞0,即g(x)在区间⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数,则有g⎝⎛⎭⎪⎫－π3＜g⎝⎛⎭⎪⎫－π4,即f⎝⎛⎭⎪⎫－π3cos⎝⎛⎭⎪⎫－π3＜f⎝⎛⎭⎪⎫－π4cos⎝⎛⎭⎪⎫－π4,即2f⎝⎛⎭⎪⎫－π3＜2f⎝⎛⎭⎪⎫－π4.即2f⎝⎛⎭⎪⎫－π3＜f⎝⎛⎭⎪⎫－π4,故选A.(2)f′(x)＝(2x－2a)e x＋(x2－2ax)e x＝[x2＋(2－2a)x－2a]e x,由题意知当x∈[－1,1]时,f′(x)≤0恒成立,即x2＋(2－2a)x－2a≤0恒成立．令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a,则有⎩⎨⎧g(－1)≤0，g(1)≤0，即⎩⎨⎧(－1)2＋(2－2a)·(－1)－2a≤0，12＋2－2a－2a≤0，解得a≥34,故选C.]1．(2016·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x－13sin 2x＋a sin x在(－∞,＋∞)单调递增,则a的取值范围是()A．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 C [取a ＝－1,则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ,f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ,但f ′(0)＝1－23－1＝－23＜0,不具备在(－∞,＋∞)单调递增的条件,故排除A,B,D.故选C.]2．(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )＝a e x －ln x －1. 设x ＝2是f (x )的极值点,求a ,并求f (x )的单调区间． [解] f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝a e x －1x . 由题设知,f ′(2)＝0,所以a ＝12e 2.从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1,f ′(x )＝12e 2e x －1x . 当0<x <2时,f ′(x )<0; 当x >2时,f ′(x )>0.所以f (x )在(0,2)上单调递减,在(2,＋∞)上单调递增．3．(2017·全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x .讨论f (x )的单调性． [解] 函数f (x )的定义域为(－∞,＋∞), f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )． ①若a ＝0,则f (x )＝e 2x 在(－∞,＋∞)上单调递增． ②若a ＞0,则由f ′(x )＝0得x ＝ln a . 当x ∈(－∞,ln a )时,f ′(x )＜0; 当x ∈(ln a ,＋∞)时,f ′(x )＞0. 故f (x )在(－∞,ln a )上单调递减, 在(ln a ,＋∞)上单调递增．③若a <0,则由f ′(x )＝0得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时,f ′(x )＜0;当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时,f ′(x )＞0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增．综上所述,若a ＝0时,f (x )在(－∞,＋∞)上单调递增．若a ＞0时,f (x )在(－∞,ln a )上单调递减,在(ln a ,＋∞)上单调递增．若a ＜0时,f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增．。

2020年高三一轮复习数学教案第3讲《函数的单调性》(教师版)

个性化教学辅导教案1．已知函数f（lgx）定义域是[0.1，100]，则函数f(x2)的定义域是（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，4]C．[0.1，100]D．[−12，1]【解答】解：∵f（lgx）定义域是[0.1，100]，即0.1≤x≤100，∵lg0.1≤lgx≤lg100，即﹣1≤lgx≤2．∵函数f（x）的定义域为[﹣1，2]．由−1≤x2≤2，得﹣2≤x≤4．∵函数f(x2)的定义域是[﹣2，4]．故选：B．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的解决方法，是中档题．2．函数y=1﹣x﹣9x的值域是（﹣∞，﹣5]∵[7，+∞）．【解答】解：当x＞0时，可得y=1﹣（x+9x）∵x+9x ≥2√9x⋅x=6，当且仅当x=3时取等号．∵f （x ）的解析式为：f （x ）=12x 2﹣32x+2．【点评】本题考查了求函数解析式的问题，解题时应用待定系数法，设出函数的解析式，求出系数即可，是中档题．1．函数f （x ）=√x 2+x −6的单调增区间是（） A ．（﹣∞，﹣3） B ．[2，+∞） C ．[0，2） D ．[﹣3，2] 【解答】解：函数有意义，则：x 2+x ﹣6≥0，解得：x≥2或x≤﹣3，二次函数在区间（﹣∞，﹣3）上单调递减，在区间[2，+∞）上单调递增，幂函数y =√x 在定义域内单调递增，结合复合函数的单调性可得函数f(x)=√x 2+x −6 的单调增区间是[2，+∞）．故选：B ．2、已知函数对于任意都有成立，则实数的取值范围是（） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为，所以函数是R 上的减函数，所以解得故选C.点睛：本题考查分段函数的单调性，涉及一次函数单调性，对数函数单调性，属于中档题.解题时，需要考虑两段函数都是增函数或减函数，其次考虑两段函数的分界点，如果是减函数，则左侧函数的最小值要大于等于右侧函数的最大值，反之，左侧函数的最大值要小于等于右侧函数的最小值.3、已知幂函数，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵幂函数的定义域为{x|x＞0}，在（0，+∞）上单调递减．∵若f（a+1）＜f（10-2a），则解得3＜a＜5，即a的取值范围是（3，5）．故选C：．点睛：本题主要考查幂函数的性质，根据幂函数的单调性解不等式是解决本题的关键，注意定义域的限制.学科分析：函数的单调性是必修1第一章内容，是函数的重要性质之一。

高中数学函数的单调性(解析版)

1．增函数、减函数的定高中数学函数的单调性(解析版)义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2．单调性、单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”隔开．2．常用结论结论1：增函数与减函数形式的等价变形y＝f(x)在区间D上是增函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)<f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x1)－f(x2)x1－x2>0；y＝f(x)在区间D上是减函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)>f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x1)－f(x2)x1－x2<0．结论2：单调性的运算性质(1)函数y＝f(x)与函数y＝f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性．(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反．(3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)＞0)与()ny f x=和y(4)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝1f(x)单调性相反．(5)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．(6)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，且f(x)＞0，g(x)＞0，则f(x)•g(x)也是区间A上的增(减)函数．结论3：复合函数的单调性复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．简记：“同增异减”．结论4：奇函数与偶函数的单调性奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．结论5：对勾函数与飘带函数的单调性对勾函数：f(x)＝ax＋bx(ab＞0)(1)当a ＞0，b ＞0时，f (x )在(－∞，－b a ]，b a ，＋∞)上是增函数，在[－b a ，0)，(0b a ]上是减函数；(2)当a ＜0，b ＜0时，f (x )在(－∞，－b a ]，b a ，＋∞)上是减函数，在[－b a ，0)，(0b a]上是增函数；飘带函数：f (x )＝ax ＋bx(ab ＜0)(1)当a ＞0，b ＜0时，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数；(2)当a ＜0，b ＞0时，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数；考点一确定函数的单调性或单调区间【方法总结】确定函数的单调性或单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数确定函数的单调性或单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性的定义确定函数的单调性或单调区间．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性确定函数的单调性或单调区间．【例题选讲】[例1](1)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()A ．y ＝1x －xB ．y ＝x 2－xC ．y ＝ln x －xD ．y ＝e x －x答案A解析对于选项A ，y 1＝1x 在(0，＋∞)内是减函数，y 2＝x 在(0，＋∞)内是增函数，则y ＝1x－x 在(0，＋∞)内是减函数，故选A ．(2)下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是()A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案C解析由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．(3)函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是()A ．32，＋B ．1，32和[2，＋∞)C ．(－∞，1]和32，2D ∞，32和[2，＋∞)答案B解析y ＝|x 2－3x ＋2|2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，x 2－3x ＋2），1<x <2.如图所示，函数的单调递增区间是1，32和[2，＋∞)．(4)函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________．答案[2，＋∞)(－∞，－3]解析令u ＝x 2＋x －6，则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数．令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2．易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数，∴y ＝x 2＋x －6的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)．(5)函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________．答案(－∞，1)(2，＋∞)解析令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数是y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2>0，则x <1或x >2．所以函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴为x ＝32，且开口向上，所以u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数，而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，所以y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．【对点训练】1．给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1．其中在区间(0，1)上单调递减的函数序号是()A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④1．答案B解析①y ＝x 12在(0，1)上递增；②∵t ＝x ＋1在(0，1)上递增，且0<12<1，故y ＝log 12(x ＋1)在(0，1)上递减；③结合图象可知y ＝|x －1|在(0，1)上递减；④∵u ＝x ＋1在(0，1)上递增，且2>1，故y ＝2x ＋1在(0，1)上递增．故在区间(0，1)上单调递减的函数序号是②③．2．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是()A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3xC ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |2．答案C解析当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当xf (x )＝x 2－3x 为减函数，当x时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．3．若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是()A ．f (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)3．答案C解析根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ；对于B ，f (x )＝e x 在(0，＋∞)上单调递增，排除B ；对于C ，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，C 正确；对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D ．4．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是()A ．[1，2]B ．[－1，0]C ．[0，2]D ．[2，＋∞)4．答案A解析由于f (x )＝|x －2|x2－2x ，x ≥2，x 2＋2x ，x <2，结合图象可知函数的单调减区间是[1，2]．5．设函数f (x )，x >0，，x ＝0，1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是()A ．(－∞，0]B ．[0，1)C ．[1，＋∞)D ．[－1，0]5．答案B解析由题知，g (x )2，x >1，，x ＝1，x 2，x <1，可得函数g (x )的单调递减区间为[0，1)．故选B ．6．函数y ＝22311(3x x -+的单调递增区间为()A ．(1，＋∞)B ∞，34CD ．34，＋6．答案B 解析令u ＝2x 2－3x＋1＝－18．因为u ＝－18在∞，34上单调递减，函数y在R 上单调递减．所以yx 2－3x ＋1∞，34上单调递增，即该函数的单调递增区间为∞，34．7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为()A ．(－∞，1]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)7．答案B 解析设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3．所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．8．函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是()A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)8．答案D解析由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2．因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．又函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．考点二比较函数值或自变量的大小【方法总结】比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．【例题选讲】[例2](1)设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是()A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)答案A 解析因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)．又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数．所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)．(2)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <b答案C解析由f (x )是奇函数可得a ＝－f f (log 25)．因为log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，且函数f (x )是增函数，所以c <b <a ．(3)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则()A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0答案B解析因为函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1，2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0．故选B ．(4)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0．设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则()A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a )答案C解析由题意可知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (a )＝f (|a |)，f (b )＝f (|b |)，f (c )＝f (|c |)，又|a |＝ln π>1，|b |＝(ln π)2>|a |，|c |＝12ln π，且0<12ln π<|a |，故|b |>|a |>|c |>0，∴f (|c |)>f (|a |)>f (|b |)，即f (c )>f (a )>f (b )．(5)若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则有()A ．x ＋y ≥0B ．x ＋y ≤0C ．x －y ≤0D ．x －y ≥0答案B解析设函数f (x )＝2x －5－x ，易知f (x )为增函数，又f (－y )＝2－y －5y ，由已知得f (x )≤f (－y )，∴x ≤－y ，∴x ＋y ≤0．【对点训练】9．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c9．答案D解析由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c ．10．已知函数f (x )在R 上单调递减，且a ＝33.1，b ，c ＝ln 13，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为()A ．f (a )＞f (b )＞f (c )B ．f (b )＞f (c )＞f (a )C ．f (c )＞f (a )＞f (b )D ．f (c )＞f (b )＞f (a )10．答案D解析因为a ＝33.1＞30＝1，0＜b ＝1，c ＝ln 13＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，又因为函数f (x )在R 上单调递减，所以f (c )＞f (b )＞f (a )，故选D ．考点三解函数不等式【方法总结】含“f ”不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．【例题选讲】[例3](1)已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f x 的取值范围是()A B ．13，C D ．12，答案D解析因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23．(2)已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R )()A ．(－1，2)B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)答案D解析由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．(3)定义在[－2，2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )>f (2a －2)，则实数a 的取值范围为________．答案[0，1)解析因为函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，所以函数在[－2，2]上单调递增，所以－2≤2a －2<a 2－a ≤2，解得0≤a <1．(4)f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是()A．(8，＋∞)B．(8，9]C．[8，9]D．(0，8)答案B解析2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)>0，－8>0，(x－8)≤9，解得8<x≤9．(5)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－11＋x2，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是()AB∞(1，＋∞)C－13，D∞答案A解析∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－11＋(－x)2＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－11＋x2，在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)递增，y＝－11＋x2也递增，根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．综上可知：f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)⇔|x|>|2x－1|⇔x2>(2x－1)2⇔3x2－4x＋1<0⇔13<x<1．故选A．【对点训练】11．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且0，则满足f log19x>0的x的集合为________．11．答案(1，3)解析由题意，y＝f(x)为奇函数且0，所以0，又y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，于是x>0，x>或x<0，x>x>0，x>12x<0，x>－12，解得0<x<13或1<x<3．12．已知函数f(x)＝ln x＋x，若f(a2－a)>f(a＋3)，则正数a的取值范围是________．12．答案(3，＋∞)解析因为f(x)＝ln x＋x在(0，＋∞)上是增函数，2－a>a＋3，2－a>0，＋3>0，解得－3<a<－1或a>3．又a>0，所以a>3．13．设函数f(x)x，x<2，2，x≥2.若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是(B)A．(－∞，1]B．(－∞，2]C．[2，6]D．[2，＋∞)13．答案B解析易知函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f(a＋1)≥f(2a－1)，∴a＋1≥2a－1，解得a≤2．故实数a的取值范围是(－∞，2]．14．设函数f(x)－x，x≤0，，x＞0，则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)14．答案D解析因为f (x )－x ，x ≤0，，x ＞0，所以函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x ，此时x ≤－1；当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1，满足f (x ＋1)＜f (2x )，此时－1＜x ＜0．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)．故选D ．15．已知f (x )2－4x ＋3，x ≤0，x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．15．答案(－∞，－2)解析作出函数f (x )的图象的草图如图所示，易知函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立等价于x ＋a <2a －x ，即x <a2在[a ，a ＋1]上恒成立，所以只需a ＋1<a2，即a <－2．考点四求参数的取值范围【方法总结】求参数的值或取值范围的思路：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．求参数时需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的．【例题选讲】[例4](1)如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，那么a 的取值范围是________．答案(－∞，－2]解析二次函数的对称轴方程为x ＝－a －13，由题意知－a －13≥1，即a ≤－2．(2)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案[－1，＋∞)解析设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1．∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－2－a x 2＋(x 1－x 2．∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2．∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1．∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．(3)若函数f (x )＝a |b －x |＋2的单调递增区间是[0，＋∞)，则实数a ，b 的取值范围分别为__________．答案(0，＋∞)，0解析因为|b －x |＝|x －b |，y ＝|x －b |的图象如下：因为f (x )的单调递增区间为[0，＋∞)，所以b ＝0，a >0．(4)已知函数f (x )ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是()A ．14，12B ．14，12C ．0，12D ．12，1答案B解析由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1．又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 0<<1，12a ≥1，a ×12－1－14≥log a 1－1，即0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈14，12．(5)已知函数f (x )＝log 12(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案－12，2解析令t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a ，易知f (t )＝log 12t 在其定义域上单调递减，要使f (x )＝log 12(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a 在[1，＋∞)上单调递增，且t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a >0，－－a 2≤1，g 1>0，a ≤2，a >－12，即－12<a ≤2．【对点训练】16．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是()A －14，＋∞B ．－14，＋∞C ．－14，0D ．－14，016．答案D解析当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，得－14≤a <0．综上所述，得－14≤a ≤0．故选D ．17．若f (x )＝x ＋a －1x ＋2(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．17．答案(－∞，3)解析f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a －3<0，解得a <3．18．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2，4]上都是减函数，则m 的取值范围是(D)A ．(－∞，0)∪(0，1]B ．(－1，0)∪(0，1]C ．(0，＋∞)D ．(0，1]18．答案D解析函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2，4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2，4]上是减函数，则2m >0，解得m >0．综上可得，m 的取值范围是(0，1]．19．已知f (x )－a )x ＋1，x <1，x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．19．答案32，解析由已知条件得f (x )为增函数，－a >0，>1，2－a×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2，∴a 的取值范围是32，20．已知函数f (x )x 2－ax －5，x ≤1，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是()A ．[－3，0)B ．(－∞，－2]C ．[－3，－2]D ．(－∞，0)20．答案C解析若f (x )是R －a2≥1，<0，12－a ×1－5≤a1，解得－3≤a ≤－2．21．设函数f (x )x 2＋4x ，x ≤4，2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，1]B ．[1，4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)21．答案D解析作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，故选D ．22．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．22．解析(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2．任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2)．因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝a(x2－x1)(x1－a)(x2－a)．因为a＞0，x2－x1＞0，又由题意知f(x1)－f(x2)＞0，所以(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1．所以0＜a≤1．所以a的取值范围为(0，1]．23．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x>0时，f(x)>－1．(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数．(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4．23．解析(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1．在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1．又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调增函数．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5．由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4得f(x2＋x＋1)>f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1，故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．。

函数的单调性教学设计(教案)

2.3 《函数的单调性》教学设计(第一课时)一、教材分析(一)本节内容的地位与作用中学生对函数单调性的学习分为三个阶段，分别为初中通过简单函数的感性认识、高一的严格定义及高二利用导数解决函数的单调性.因此，高一函数单调性概念的学习，起到了承前启后的作用.函数的单调性是学生学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言刻画的概念.因此，单调性的研究方法非常重要，它为以后函数奇偶性、周期性等其它性质的学习提供了方法依据.它是解决函数定义域、值域、数列、不等式、三角函数等问题的有力工具，是高考重点考查的内容之一，同时也是培养学生逻辑推理能力的绝佳素材.(二)教学目标1、知识目标：理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法．2、能力目标：培养学生自主探索能力、分析归纳能力及逻辑推理能力．3、情感目标：通过层层设问，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生的自信心，提高学生学习数学的兴趣.(三)教学重难点重点：函数单调性的概念.难点：（1）函数单调性概念的生成中，如何从图象的直观认识过渡到用符号语言表述；（2）运用定义证明函数的单调性．二、学情分析（一）认知水平1、知识学生通过初中的学习对函数的升、降有了初步的感知；函数的概念及表示的学习为本节内容做好了知识铺垫．2、技能他们初步具备了分析概括能力，但科学的思维方法尚未形成．（二）心理特征他们好奇心强，追求成功的愿望强烈．他们渴望老师给他们提供自主探索的时间及展示自我的空间．但他们抽象思维能力相对薄弱．三、教法分析本着新课改下以学生为主体，教师为主导的教学理念，结合本节课的知识特点及学情分析，决定采用问题式、启发式、探究式相结合的教学法．主要体现在新课引入时的层层设问，概念生成时的启发引导，总结证明步骤时的探究发现等．因幻灯片直观形象且教学容量大，故决定采用多媒体辅助教学．四、学法分析新课标要求学生不仅仅要“学会”，还应当让学生“会学”、“乐学”.在这种理念的指引下，我在教学设计上强调了让学生主动参与，积极探究，同时让学生相互交流与合作．让学生在与老师、同学之间的交流、讨论中完成知识的构建及难点的突破.五、教学过程教学环节教学内容设计思路创设情境引入新课(1)生活常识“糖水加糖味更甜”(2)焦作市某日全天气温图像问题：（1）观察图像，能得出哪些信息？（2）说说一天中气温的变化趋势？由生活情境引入新课，以此激发学生的学习兴趣。