专题10 计数原理(解析版)

专题10 计数原理
【要点提炼】
1.分类加法计数原理
做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法.则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法，……，做第n个步骤有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法.
3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
4.排列与组合的概念
5.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.
6.排列数、组合数的公式及性质
考向一计数原理
考向一分类加法计数原理的应用
【典例1】(1)从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有________种不同的方法.
(2)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为________.
解析(1)分三类：一类是乘汽车有8种方法；一类是乘火车有2种方法；一类是乘飞机有2种方法，由分类加法计数原理知，共有8＋2＋2＝12(种)方法. (2)当a＝0时，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的个数为4；当a≠0时，要使方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.
若a＝－1，则b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的个数为4；
若a＝1，则b的值可以是－1，0，1，(a，b)的个数为3；
若a＝2，则b的值可以是－1，0，(a，b)的个数为2.
由分类加法计数原理可知，(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.
答案(1)12(2)13
规律方法分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置.
(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准.
(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法才是不同的方法，不能重复.
(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏，如本典例(2)中易漏a＝0这一类. 考向二分步乘法计数原理的应用
【典例2】(1)用0，1，2，3，4，5可组成无重复数字的三位数的个数为________.
(2)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为________.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有
______种.
解析(1)可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数字有5种放法；第二步：十位数字有5种放法；第三步：个位数字有4种放法，根据分步乘法计数原理，三位数的个数为5×5×4＝100.
(2)五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法.五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性. 答案(1)100(2)4554
规律方法 1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.
2.分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成.
考向三两个计数原理的综合应用
【典例3】(1)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个(用数字作答). (2)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()
A.48
B.18
C.24
D.36
解析(1)当不含偶数时，有A45＝120(个)，
当含有一个偶数时，有C14C35A44＝960(个)，
所以这样的四位数共有1 080个.
(2)在正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”.
答案(1)1 080(2)D
规律方法 1.在综合应用两个原理解决问题时应注意：
(1)一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理.(2)对于较复杂
的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化.
2.解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成.
[方法技巧]
1.应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步.
在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.
2.(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.
(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.
3.混合问题一般是先分类再分步.
4.要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.
考向二排列组合
考向一排列问题
【典例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，女生必须站在一起；
(4)全体排成一排，男生互不相邻；
(5)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
(6)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.
解(1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种).
(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37·A44＝5 040(种).
(3)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女
生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种).
(4)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种).
(5)法一(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种).
法二(特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种).
(6)法一(特殊元素优先法)甲在最右边时，其他的可全排，有A66种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A15种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有A15种，其余人全排列，只有A55种不同排法，共有A66＋A15A15A55＝3 720.
法二(间接法)7名学生全排列，只有A77种方法，其中甲在最左边时，有A66种方法，乙在最右边时，有A66种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有A55种方法，故共有A77－2A66＋A55＝3 720(种).
规律方法排列应用问题的分类与解法
(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.
考向二组合问题
【典例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561(种)，∴某一种假货必须在
内的不同取法有561种.
(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984(种).
∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.
(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C120C215＝2 100(种).
∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.
(4)选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555(种).
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.
(5)选取3种的总数为C335，选取3种假货有C315种，因此共有选取方式
C335－C315＝6 545－455＝6 090(种).
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.
规律方法组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
考向三分组、分配问题
【典例3】(1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法. (2)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有()
A.80种
B.90种
C.120种
D.150种
(3)A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌上开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的坐法有()
A.24种
B.30种
C.48种
D.60种
解析(1)先把6个毕业生平均分成3组，有C26C24C22
A33种方法，再将3组毕业生分
到3所学校，有A33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C26C24C22
A33·A
3
3
＝90种分派方法.
(2)分两类：一类，第一步将5名老师按2，2，1分成3组，其分法有C25C23C11
A22种，
第二步将分好的3组分派到3个学校，则有C25C23C11
A22·A
3
3
＝90种分派方法；
另一类，第一步将5名老师按3，1，1分成3组，其分法有C35C12C11
A22种，第二步将
分好的3组分派到3个学校，则有C35C12C11
A22A
3
3
＝60种分派方法.
所以不同的分派方法的种数为90＋60＝150(种).
(3)B，C二人必须坐相邻的两把椅子，有4种情况，B，C可以交换位置，有A22＝2种情况；其余三人坐剩余的三把椅子，有A33＝6种情况，故共有4×2×6＝48种情况.
答案(1)90(2)D(3)C
规律方法 1.对于整体均分问题，往往是先分组再排列，在解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n(n为均分的组数)，避免重复计数.
2.对于部分均分问题，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m！.
3.对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类讨论.在每一类的计数中，又要考虑是分步计数还是分类计数，是排列问题还是组合问题.
[方法技巧]
1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.
(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.
2.排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后
排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题倍除法处理；
(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.
【专题拓展练习】
一、单选题
1．已知()2*1n x n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝
⎭的展开式中有常数项，则n 的值可能是（ ） A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 【答案】B
【详解】
由题意展开式通项公式为22311()r
r
n r r n r r n n T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以关于r 的方程230n r -=有正整数解，n 必是3的整数倍．只有B 满足． 故选：B ．
2．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼有甲、乙、丙、丁、戊、己六个班排队吃饭，甲班不能排在第一位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（ ）
A ．120种
B ．156种
C ．192种
D ．240种 【答案】C
【详解】
丙丁捆绑在一起看作一个班，变成5个班进行排列，然后在后面4个位置中选1个排甲，这
样可得排法为214244192A A A =．
故选：C ．
3．在6
21x x ⎛⎫+- ⎪⎝
⎭的展开式中，除常数项外，其余各项系数的和为（ ） A ．63
B ．-517
C ．-217
D ．-177 【答案】B
【详解】
常数项是()()()32
246332221166465222111581C x C x C C x C x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅⋅-+⋅⋅-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令1x =求各项系数和，()6
12164+-=，
则除常数项外，其余各项系数的和为64581517-=-.
故选：B
4．A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站在一起，则下列说法不正确的有（ ）
A ．若A 、
B 不相邻共有72种方法
B ．若A 不站在最左边，B 不站最右边，有78种方法．
C ．若A 在B 左边有60种排法
D ．若A 、B 两人站在一起有24种方法
【答案】D
【详解】
A.若A 、B 不相邻共有323472A A ⋅=种方法，故A 正确；
B.若A 不站在最左边，B 不站最右边，利用间接法有543543278A A A -+=种方法，故B 正确；
C. 若A 在B 左边有5522
60A A =种方法，故C 正确； D. 若A 、B 两人站在一起有424248A A =，故D 不正确.
故选：D
5．n
的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A ．540
B ．162-
C ．162
D ．540- 【答案】D
【详解】 n
-的展开式中各项系数之和为264n =，解得6n =
所以6
的通项公式为：()631663r r r r r r r T C C x --+⎛==- ⎝ 当3r =时，()334632720540T C =-=-⨯=-为常数
故选：D
6．现有甲､乙､丙3位同学在周一至周五参加某项公益劳动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲同学安排在另外两位前面，则不同的安排总数为（）
A．10 B．20 C．40 D．60
【答案】B
【详解】
第一类：甲在周一，共有2
4
A种方法，
第二类：甲在周二，共有2
3
A种方法，
第一类：甲在周三，共有2
2
A种方法，
222 43220
N A A A
=++=种不同的方法.
故选：B
7．现有语文､数学､英语､物理各1本书，把这4本书分别放入3个不同的抽屉里，要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学不在同一个抽屉里，则放法数为（）
A．18 B．24 C．30 D．36
【答案】C
【详解】
4本书放入三个不同的抽屉，
先在4本书中任取2本作为一组，再将其与其他2本书对应三个抽屉，
共有23
436636
C A
⋅=⨯=种情况，
若语文与数学放入同一个抽屉，则其他两本放入其余抽屉，
有3
36
A=种情况，
则语文与数学不在同一个抽屉的放法种数为：36630
-=种；
8．2020年既是全面建成小康社会之年，又是脱贫攻坚收官之年，某地为巩固脱贫攻坚成果，选派了5名工作人员到A、B、C三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的选派方法数有（）种
A．25 B．60 C．90 D．150
【答案】D
【详解】
解：法一（分组分配）：把5各工作人员分成3组，有两类分法：
①：5113=++则有11354322
10C C C A =种 ②：5221=++则有22153122
15C C C A =种 所以共有101525+=种分组方法，根据题意，所求方法数有3325150A =个
法二（排除法）：
∵5个工作人员仅去一个村子的方法数有51313C =个
5个工作人员仅去两个村子的方法数有()52
32290C -=个
∴5个工作人员去三个村子的方法数有53903150--=个.
故选：D. 9．在()6
212x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 的项的系数是（ ） A ．10-
B ．10
C ．25
D ．25-
【答案】B
【详解】 6
1x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭展开式的通项为662166k k k k k k T C x x C x ---+==， 所以含2x 的项为()262223623222662302010C x x C x x x x -⨯-⨯⨯+-=-=， 所以含2x 的项的系数是10，
故选：B.
10．已知()272901291(21)(1)(1)(1)()x x a a x a x a x x R +-=+-+-+
+-∈.则1a =（ ）
A ．-30
B ．30
C ．-40
D ．40 【答案】B
【详解】
令1t x =-，则有：27290129[(1)1][2(1)1]()t t a a t a t a t x R +++-=++++∈，
即29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，
7(21)t +展开式的通项公式为：77(2)r r C t -，
所以29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =+++
+++∈+中含t 的项为：
767722(2)30tC C t t +=. 11．今年年初，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克难时，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.我市某医院派出18护士，2名医生支援湖北，将他们随机分成甲､乙两个医院，每个医院10人，其中2名医生恰好被分在不同医院的概率为（ ）
A ．1921910202C C C
B ．1921810202
C C C C ．192181020C C C
D ．192191020
C C C 【答案】C
【详解】
从18护士，2名医生中任取10人有10
20C 种，
2名医生恰好被分在不同医院有19218C C 种，
所以2名医生恰好被分在不同医院的概率为192181020C C C ． 故选：C ．
12．48
321x x x x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭的展开式中的常数项为（ ） A ．32
B ．34
C ．36
D ．38 【答案】D
【详解】 432x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式的通项公式为()()()43124144220,1,2,3,4r
r r r r r r T x x r x C C --+⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 令1240r -=，解得3r =，
所以展开式的常数项为()
334232C -=-， 81x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式的通项公式为()88218810,1,...8k k k k k k T x x k x C C --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 令820k -=，解得4k =，
所以展开式的常数项为
4870C =， 所以48
321x x x x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭的展开式中的常数项为-32+70=38 故选：D
二、解答题
13．在二项式122x ⎫⎪⎭的展开式中， （1）求展开式中含3x 项的系数：
（2）如果第3k 项和第2k +项的二项式系数相等，试求k 的值.
【详解】
(1)设第1k ＋项为362112(2)k k k k T
C x -+=-， 令363,2
k -=解得2k ＝， 故展开式中含3x 项的系数为()22122264C -=.
(2)∵第3k 项的二项式系数为3112
k C -，第2k +项的二项式系数为112k C +， ∵3111212=k k C C -+ ，故31+1k k －＝或31++112r r －＝，
解得1k ＝或3k ＝.
14．有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：
（1）有女生但人数必须少于男生；
（2）某女生一定要担任语文科代表；
（3）某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；
（4）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表.
【详解】
（1）先取后排，有32415353C C C C ⋅+⋅种，后排有55A 种，共有3241553535()5400
C C C C A ⋅+⋅⋅=种；
（2）除去该女生后先取后排：4474840C A ⋅=种；
（3）先取后排，但先安排该男生：4147443360C C A ⋅⋅=种；
（4）先从除去该男生该女生的6人中选3人有36C 种，再安排该男生有13C 种，其余3人全排
有3
3A 种，共313633360C C A ⋅⋅=种.
15．已知423401234(2)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x -=+⋅++⋅++⋅++⋅+，求： （1）1234a a a a +++；
（2）13a a ；
（3）024a a a ++；
（4）01234||||||||||a a a a a ++++．
【详解】
令1x =-则081a =①，
令0x =则0123416a a a a a ++++=②，
令2x =-则01234256a a a a a +=-+-③，
（1）②-①得：123465a a a a +++=-，
（2）(②-③)2÷得：13120a a +=-，
（3）(②+③)2÷得：024136a a a =++，
(4)0123402413||||||||||()()256a a a a a a a a a a ++++=++-+=．。