数学物理方程第二版习题解答 第一章

第一章． 波动方程

§1 方程的导出。定解条件

1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程

()

∂∂∂∂= ∂∂∂∂x u E x t u x t ρ

其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。

证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ∆。现在计算这段杆在时

刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为：

),();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++

其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x

x

t x u x t x x u x x x ∆+=∆∆−+−∆++∆+θ

令

0→∆x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于

),()(),(t x u x E t x T x =

其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。

设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ∆+两端的力分别为

x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).,(t x x ∆+

于是得运动方程

tt u x x s x ⋅∆⋅)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(−∆+∆+

利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得

tt u x s x )()(ρx

∂∂

=

x ESu () 若=)(x s 常量，则得

22)(t

u x ∂∂ρ=))((x u x E x ∂∂∂∂

即得所证。

2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。

解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 .0),(,0),0(==t l u t u

(2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x

u

x E t l T ∂∂=)

(),(|l x =等于零，因此相应的边界条件为

x

u

∂∂|l x ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为

x

u

∂∂∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移

由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u −。由虎克定律有

x

u

E

∂∂∣)](),([t v t l u k l x −−== 其中k 为支承的刚度系数。由此得边界条件

)(

u x u σ+∂∂∣)(t f l x == 其中E

k =σ 特别地，若支承固定于一定点上，则,0)(=t v 得边界条件

)(

u x

u

σ+∂∂∣0==l x 。 同理，若0=x 端固定在弹性支承上，则得边界条件 x u

E

∂∂∣)](),0([0t v t u k x −== 即 )(u x

u

σ−∂∂∣).(0t f x −=

3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 2

222)

1(])1[(t u

h x x u h x x E ∂∂−=∂∂−∂∂ρ 其中h 为圆锥的高(如图1)

证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x 点处截面的半径l 为：

h

x

l −=1

所以截面积2

)1()(h

x x s −

=π。利用第1题，得 ])1([)1()(2222x

u

h x E

x t u h x x ∂∂−∂∂=∂∂−ππρ 若E x E =)(为常量，则得

22

22)1(])1[(t

u h x x u h x x E

∂∂−=∂∂−∂∂ρ 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。

解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为

)()(x l g x T −=ρ

且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ∆+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为

)(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ∆+∆+−−θρθρ

其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角

又 .

sin x u tg ∂∂=≈θθ 于是得运动方程

x u x x l t

u x ∂∂∆+−=∂∂∆)]([22ρ∣x u

x l g x x ∂∂−−∆+][ρ∣g x ρ

利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得

])[(2

2x u

x l x g t

u ∂∂−∂∂=∂∂。 5. 验证 2

221),,(y x t t y x u −−=

在锥222y x t −−>0中都满足波动方程

222222y

u

x u t u ∂∂+∂∂=∂∂ 证：函数2

221),,(y x t t y x u −−=

在锥222y x t −−>0内对变量t y x ,,有

二阶连续偏导数。且 t y x t t

u ⋅−−−=∂∂−23

222)(

22

52222

3

2222

2

)

(3)

(t y x t y x t t u

⋅−−+−−−=∂∂−

−

)2()(22223

222y x t y x t ++⋅−−=−

x y x t x

u

⋅−−=∂∂−

2

3222)(

()

(

)

2252222

32222

23x y x t y x t x

u −

−−

−+−

−=∂∂

(

)()222

252222y x t y x t −+−

−=−

同理 ()()222252222

22y x t y x t y u

+−−−=∂∂−

所以

(

)().2222

22

2

522

22

22

2t u

y

x t

y x t y

u x

u ∂∂=++−

−=∂∂+

∂∂−

即得所证。

6. 在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力)

与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为b), 但方向相反,试导出这时位移函数所满足的微分方程.

解: 利用第1题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段()x x x ∆+,上所受的摩阻力.由题设,单位质量所受摩阻力为t

u

b

∂∂−,故()x x x ∆+,上所受摩阻力为 ()()t

u

x

x s x p b ∂∂∆⋅⋅−

运动方程为:

()()()()t u x x s x b x x u ES t u ES t u

x x s x x x ∂∂∆⋅−∂∂−

∂∂=∂∂⋅

∆∆+ρρ2

2