指数函数的图象和性质

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指数,对数,幂函数的图像和性质

指数函数的图像是一条向上开口的曲线，通常表示为y=a^x（a>0，a≠1）。

指数函数的性质有：
1.在y 轴上的截距为1。

2.对于不同的指数函数，它们的图像形状是相同的，只有位置不同。

如果改变指数函数的
指数，则会改变函数的斜率，即函数图像会发生平移。

3.对于相同的指数函数，如果改变函数的系数，则会改变函数的尺度，即函数图像会发生
伸缩。

对数函数的图像是一条向右开口的曲线，通常表示为y=loga(x)（a>0，a≠1）。

对数函数的性质有：
1.在y 轴上的截距为0。

2.对于不同的对数函数，它们的图像形状是相同的，只有位置不同。

如果改变对数函数的
底数，则会改变函数的斜率，即函数图像会发生平移。

3.对于相同的对数函数，如果改变函数的系数，则会改变函数的尺度，即函数图像会发生
伸缩。

幂函数的图像可以是一条向上开口的曲线，也可以是一条向右开口的曲线，通常表示为y=x^n（n为常数）。

幂函数的性质有：
1.当n>0 时，幂函数的图像是一条向上开口的曲线。

2.当n<0 时，幂函数的图像是一条向右开口的曲线。

3.当n=0 时，幂函数的图像是一条水平直线。

4.幂函数的图像在y 轴上的截距为1。

5.对于不同的幂函数，它们的图像形状是相同的，只有位置不同。

如果改变幂函数的指数，
则会改变函数的斜率，即函数图像会发生平移。

6.对于相同的幂函数，如果改变函数的系数，则会改变函数的尺度，即函数图像会发生伸
缩。

指数函数的图像和性质1

列表
x ... -2 -1 0 1 2 3 ... 10 ...
y=2x ... 0.25 0.5 1 2 4 8 ... 1 024 ...
y=3x ... 0.11 0.33 1 3 9 27 ... 59 049 ...
做一做
描点画出图像
y 3x
y 2x
(1)当x<0时,总有2x>3x;
指数函数的图像和性质
观察,归纳
指数函数在底数a＞1及0＜a＜1,两种情况的图象和性质如下:
a>1
0＜ a ＜ 1
图象
(1)定义域:R
性 (2)值域:( 0 ,+∞ )
(3)过点（0，1），即x=0时，
质 y(4=)当1 x>0时,y>1;x<0时0<y<1 (4)当x>0时,0<y<1;x<0时y>1
(2)当x>0时,总有2x<3x;
(3)当x>0时,y=3x比y=2x的函
数值增长得快.
a>b>1时,
(1)当x<0时,总有ax<bx<1;
(2)当x=0时,总有ax=bx=1;
(3)当x>0时,总有ax>bx>1;
(4)指数函数的底数越大,当x>0时,其函数值增
长得就越快.
y 3x
y 2x
(2)因为y=0.75x是R上的减函数,0.1>-0.1,所以 0.750.1<0.75-0.1.
练习:
比较下列各题中两个值的大小.
(1)1.7 2.5, 1.7 3 (2) 0.8 –0.1, 0.8 –0.2 (3) 1.7 0.3, 0.9 3.1

指数函数的图像及性质

当 x>0时, y>1; 时当 x<0时, 0<y<1. 时
R (0,+∞)
当 x>0时, 0<y<1; 时当 x<0时, y>1. 时
单调性定点
单调增 (0,1)
单调减 (0,1)
小结
2、比较指数幂大小的方法
①、异指同底：构造函数法(一个), 利用函数的单调性,若底数是参变量要注意分类讨论。 ②、异底同指:构造函数法(多个),利用函数图象在y轴左右两侧的特点。 ③、异指异底:搭桥比较法,用别的数如1做桥。
R
性
x>0, x<0,
再仔细观察,能发现什么新大陆吗?
1 x y =( ) 3
y=3X
1 x y=( ) 2
Y
y = 2x
Y=1 -x1
O
x1
X
(1)Y轴右侧:底大图高
(左侧呢?)
(2)底数互为倒数时两函数的图象关于y轴对称
应用:比较大小
例1、比较下列各组数的大小： ①、
1.7 ,1.71 3 源自 2作业：作业：P59
7，8
3 ( ②、 4 )
3 ( ) 4
−
1 5
,2
−
1 5
−
1 5
的一个函数值
3 x 可看作是函数 y = ( ) 4
可看作是函数
2
−
1 5
y=2
x
的一个函数值
∵ ∴根据y轴左侧底大图低可知
1 当 x = − 时， x < 0 5
− 3 −5 ( ) > 2 5 4
1
1
5 ③、 0 . 8 , ( ) 3

指数函数的图像和性质-课件

，
0.80.2
；
（3）0.3 −0.3 ，, 0.2−0.3 ；
（4）1.70.3, 0.93.1 。
同底比较大小
不同底数幂比大小
，利用指数函数图像
与底的关系比较
利用函数图像
或中间变量进行
比较
不同底但同指数
底不同，指数也不同
小结: 比较两个幂的形式的数大小的方法:
(1)同底数指数幂比大小,构造指数函数，利用
2
质
指数函数的性质
通过研究对比不同底数的指数函数图像，
整理出了，指数函数与底数的关系以及
函数性质。
2
4
指数函数的图像
1
通过比较 = 2 ， = 3 ， = （）
1
2
， = （）的图像，我们归纳出了指数
3
函数 = 的一般像。

应用和检测
看指数函数图像比底数
比较两个幂的形式的数大小
1.75 , 41.75
（4） 3
1 −2 −3
（6） ( ) 3 , 2 5
3
当堂检测：
如图4.2-7.某城市人口呈指数增长.
（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；
（2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人?
课堂小结
1
3
复习指数函数的概念
指数函数的定义
1
指数函数y = 2x ，y = （）x 的图像与性
函
数
( >
1) 与 x轴
下面的指数
函数有无公
有无公共点？
共点？
函数的定义
讨论函数的
域是什么？
单调性？

指数函数的图像和性质

指数函数的图像和性质指数函数是一类重要的数学函数，在数学和其他学科的研究中具有广泛的应用。

本文将介绍指数函数的图像和性质，帮助读者更好地理解和应用这一函数。

1. 定义指数函数是以指数为自变量，底数大于0且不等于1的函数。

一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。

指数可以是实数，函数值则可以是正数、负数或零。

2. 指数函数的图像由于底数大于0且不等于1，指数函数的图像不会通过原点(0,0)。

当指数x为0时，函数值为1，因此图像会经过点(0,1)。

当指数x为正值时，函数值逐渐增大；当指数x为负值时，函数值逐渐减小。

图像可以根据底数的不同呈现不同的特点。

3. 底数大于1的指数函数当底数a大于1时，指数函数的图像呈现上升趋势，即从左至右逐渐增大。

随着指数x的增大，函数值也会变得越来越大。

当a越接近1时，曲线的增长速度会变得越来越缓慢。

例如，y = 2^x的图像在x轴的右侧逐渐升高，但增长速度逐渐减慢。

4. 底数介于0和1之间的指数函数当底数a介于0和1之间时，指数函数的图像呈现下降趋势，即从左至右逐渐减小。

随着指数x的增大，函数值会越来越接近于0。

当a越接近0时，曲线的下降速度会越来越慢。

例如，y = (1/2)^x的图像在x轴的右侧逐渐下降，但下降速度逐渐变缓。

5. 指数函数的水平位移指数函数的图像可以通过水平位移产生变化。

将指数函数右移h个单位，可以得到f(x-h)。

这样做会使整个图像向右平移h个单位。

同样，向左移动h个单位可以得到f(x+h)，将整个图像向左平移h个单位。

6. 指数函数的垂直位移指数函数的图像也可以通过垂直位移产生变化。

将指数函数上移k个单位，可以得到f(x)+k。

这样做会使整个图像上移k个单位。

同样，向下移动k个单位可以得到f(x)-k)，整个图像下移k个单位。

7. 指数函数的对称性对于底数a大于1的指数函数，以y轴为对称轴，具有对称性。

即f(x) = a^x的图像关于y轴对称。

指数函数的图象和性质

1
1
练习：比较大小 a3和a 2，（a 0, a 1)
方法总结
（1）构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特征是同底不同指（包括可以化为同底的），若底数是参变量要注意分类讨论。比较两个同底数幂的大小时,可以构造一个指数函数,再利用指数函数的单调性即可比较大小. （2）搭桥比较法：用别的数如0或1做桥。数的特征是不同底不同指。比较两个不同底数幂的大小时,通常引入第三个数作参照.
分析：(1)因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期.(2)要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系. 解：(1)观察图,发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.(2)因为倍增期为 20年，所以每经过20年，人口将翻一番.因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人.
x
用描点法作函数y (1)x 和y (1)x的图象.
函
2
3
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
数 y=2-x … 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 …
图 y=3-x … 27 9 3 1 1/3 1/9 1/27 …
象 y (1)x 2
特征
y (1)x 3
y
O
思考：若不用描点法，这两个函数的图象又该如何作出呢？
底数a由大变小时函数图像在第一象限内按＿＿顺＿＿
时针方向旋转.
问题三：图象中有哪些特殊的点？
答：四个图象都经过点＿(＿0＿,1＿) ．
a>1

指数函数的图像及性质

∴1－3c>3a－1，即3c＋3a<2. 【答案】 D
求与指数函数有关的函数的定义域与值域
求下列函数的定义域和值域：
(1) y＝( 1 )2x－x2；(2)y＝9x＋2×3x－1.
2
思路点拨：这是与指数函数有关的复合函数，可以利用指数函数的概念和性质来求函数的定义域、值域，对于形式较为复杂的可以考虑利用换元法(如(2))．
素材2.1 设函数f x =a－ (a 0且a 1)，
x
若f 2 = 4，则a = f (2)与f 1的大小关系是；
，
xa x 2 函数y = 0 a 1的 | x| 图象的大致形状是

解析：
1由f 2 4，得a
－2
1 4，所以a ， 2
另一部分是：y=3x
(x<0)
向左平移
1个单位
y=3x+1 (x<-1).
图象如图：
(2)由图象知函数在（-∞，-1］上是增函数，
在（-1，+∞）上是减函数. (3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值. 探究提高
在作函数图象时,首先要研究函数与某一
基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成.
考点探究
点评：利用单调性可以解决与指数函数有关的值域问题．指数函数本身是非奇非偶函数，但是与指数函数有
关的一些函数则可能是奇函数或偶函数．要注意使用相关
的概念和性质解决问题．
考点探究
2 2.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x∈(0，1)时，f(x)＝ x . 4 ＋1 (1)求 f(x)在(－1，1)上的解析式； (2)证明：f(x)在(0，1)上是减函数．

指数函数及其图像与性质_图文

小试牛刀
例2.判断下列函数在其定义域上的单调性
(1)y=4x; 解：
知识积累：
y
指数函数y=2x的性质 x
（1）函数的定义域为R，值域为(0，∞); （2）图像都在x轴的上方，向上无限延伸，
向下无限接近x轴；（3）函数图象都经过（0,1）点；（4）函数图像自左至右呈上升趋势。
动手试一试
列表：
x
…
-3
…
8
图像：
指数函数y= 的图像
-2
-1.5
-1
-0.5
指数函数及其图像与性质_图文.ppt
直观感知：核裂变
如果裂变次数为x ，裂变后的原子核为 y，则y与x之间的关系是什么？
y=2x
你还能举出一些类似的例子吗？（如细胞分裂……）
归纳结论
指数函数的概念：
一般地，设a>0且a≠1，形如y=ax的函数称为指数函数。定义域：R
学以致用
问题：对于其它a的值，指数函数的图像又是怎样的呢？
及时复习~~积沙成塔
指数函数的图像和性质：
y=ax
a
a>1
0<a<1
图
像
性质
(1)函数值都是正的； (2)x=0时，y=1； (3)当x>0时，y>1;当x<0时， 0<y<1； (4)f(x)=2x在（-∞，+ ∞）上是增函数。
（1）函数值都是正的；（2）x=0时，y=1；（3）当x>0时， 0<y<1 ;当x<0时， y>1 ；（4）f(x)=2x在（-∞，+ ∞）上是增函数。
0
0.5

指数函数图象及性质

mn
⑶比较下列各数的大小：
10 , 0.42.5 ,
2 0.2
1 0.42.5 0
2 0.2
例3在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出
它们与指数函数y= 2x 的图象的关系，
⑴ y 2x1 与 y 2x2
⑵ y 2x1 与 y 2x2
解：⑴列出函数数据表,作出图像
x -3 -2 -1 0 1 2 3
( 1 0,且 1 1)
a
a
探究2:判断下列函数,那些是指数函数？
(1) y=4x
(2) y=x4
(3) y=-4x
(4) y=(-3)x
(5) y=xx
(6) y=3×4x
(7) y=3x+1
点评:函数解析式三大特征为①指数是自变量 x ;②底数是非1正常数;③系数为1.
随堂练习：
函数y=(a2-3a+3)ax 是指数函数,求a的值.
-0.5 0 0.6 1 1.7 1
0.5 1 2 3 … 1.4 2 4 8 …
0.71 0.5 0.25 0.13 …
0.5 1 2 1.7 3 9
2.5 … 15.6 …
0.6 0.3 0.1 0.06 …
x
… -3 -2 -1
y 2x … 0.13 0.25 0.5
y 1 x … 8
由3x≥30.5，可得x≥0.5，即x的取值范围为 [0.5，+∞）。
；
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
例2：解下列不等式
(1)(1)x2 8 32x 3
(2) ax22x ( 1 )x2 (a 0且a 1) a
例2:指出下列函数的单调区间，并判断增减性；

计算指数函数的图像和性质

计算指数函数的图像和性质指数函数是数学中一类重要的函数，它的图像和性质具有一定的规律和特点。

在本文中，我们将通过对指数函数的图像和性质进行探讨，来深入理解指数函数的特点。

一、指数函数的定义和基本性质指数函数是以底数为常数的幂函数，其一般形式可以表示为 y = a^x，其中 a 是底数，x 是自变量，y 是因变量。

指数函数的定义域为全体实数，且底数 a 为正实数且不能为1。

1. 图像特点当底数 a 大于1时，指数函数的图像呈现递增趋势，且越靠近 y 轴正半轴，函数增长越快。

当底数 a 介于0和1之间时，指数函数的图像呈现递减趋势，且越靠近 y 轴正半轴，函数递减越慢。

同时，指数函数的图像都经过点 (0,1)，这是因为当 x=0 时，指数函数的值总是等于1。

2. 增减性与奇偶性指数函数在定义域内始终为正数，且当底数a 大于1时，函数递增；当底数 a 介于0和1之间时，函数递减。

指数函数不具备奇偶性，因为 y = a^x 的图像关于 y 轴和原点都不对称。

3. 极限性质当 x 趋向于正无穷大或者负无穷大时，指数函数 a^x 会趋向于正无穷大或者0。

具体而言，当 a 大于1时，a^x 的极限为正无穷大；当 a介于0和1之间时，a^x 的极限为0。

二、指数函数的常见变形及其图像除了一般形式的指数函数 y = a^x 外，指数函数还存在常见的变形形式，如 y = a^(x-h)+k、y = -a^x、y = a^(-x) 等。

这些变形函数经过平移、翻转等操作后，其图像特点和性质也会发生变化。

举例来说，当指数函数的底数 a 大于1时，函数 y = a^(x-h)+k 相比于一般形式的指数函数，会在 x 轴方向上发生平移，横坐标平移 h 个单位；在 y 轴方向上发生平移，纵坐标平移 k 个单位。

而函数 y = -a^x 则对原始的指数函数进行关于x 轴翻转得到，使得其图像在y 轴下方。

三、指数函数的应用指数函数在数学和实际应用中有着广泛的应用，下面我们列举几个常见的应用场景。

指数函数的图像和性质

指数函数的图像与性质
复习引入
（1）指数函数的概念
一般地，形如的函数 yax(a0,且 a1)，叫做指数函数，
其中x是自变量,a是不等于1的正的常数．（2）画指数函数图像的方法
①列表 ②描点
③连线
一、指数函数的图像与性质：
1、绘制图像
（1）y=2x 和 y=3x
（2）y= ( 1 ) x 和 y (1) x
（
2）
1
-
2 3
,2
-
3 5
3
例4、已知0<x<1，比较 3-x,0.5-x的大小
作业
（1）课本：77页A组：4、5 （2）同步作业
化的影响。
y=0.5x
y=0.3x y=0.2x
当0<a<b<1时
（1）当x<0时，总有
aX>bx>1
（2）当x=0时，总有
aX=bx=1
（3）当x>0时，总有
0<aX<bx<1
（4）指数函数的底数越大，
当x>0时，其函数值减少得
就越快
例3、比较下列各题中两个数的大小
（1） 1.80.6,0.81.6
11
( )1 x
q(x) = 3
10
9
( )1 x
g(x) = 2 8
7
6
5
4
3
2
1
12
10
8
6
4
2
1
2
h(x) = 3x f(x) = 2x
2
4
6
8
10
12
14
3．列表总结：
a>1 图像

指数函数的图像及性质的应用

例4.讨论函数的单调性,并求其值域.
任取x1,x2∈(-∞,1],且x1< x2 ,
∵f(x1)>0, f(x2)>0,
解:
则
复合函数的单调性
所以 f( x ) 在 (-∞,1]上为增函数.
又 x2 - 2x =(x -1)2 -1≥-1,
解：
例7.求证函数是奇函数
证明：函数的定义域为R,
所以f(x)在R上是奇函数.
01
02
03
指数形式的复合函数的奇偶性
利用 f(0)= 0
1
解:若 f ( x ) 为奇函数,则 f(-x )=-f (x),
2
设a是实数, (2)试确定a的值,使f(x)为奇函数.
02
复合函数：
复合函数的单调性
内u=g(x)
增函数
减函数
增函数
减函数
外y=f(u)
增函数
减函数
减函数
增函数
复y=f[g(x)]
规律：当内外函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当内外函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数 “同增异减”
增函数
增函数
减函数
减函数
“异”“同” 指内外函数单调性的异同
3
∴ a = 1.
4
变式练习
练习：
的定义域均为R
变式 1 、函数的单调增区间是
2、函数的增区间为 ________. 值域为_________.
(－∞,1]
(0,81]
B
指数形式的复合函数的定义域与值域
2
O
x
y
7
6
5
4
3
2

指数函数的图像和性质

指数函数的图像和性质
指数函数是一种特殊函数，其定义域为实数集合R，值域也是实数集合R。

指
数函数的图像是一条弧线，朝右上方抛物线式延伸，底点在坐标原点处。

其图像如下所示：
指数函数具有以下性质：
一、指数函数是定义在实数集合上的单值函数，其图象是一条朝右上方延伸的
弧线，且在坐标原点处有底点，函数值随x增大而增大，函数图像上每一点到底点的距离都不变；
二、指数函数对任何正实数都有定义，指数函数f(x)=a^x（a为正实数）的图
谱具有单调性，当a的值不同时，指数函数的函数图象具有相似的特点；
三、指数函数具有不变性，不论x的取值范围如何，函数的函数图象仍不改变；
四、指数函数的切线斜率随着x的增大而增大；
五、指数函数的斜率在同一条线上增加或减少；
六、不论指数函数是升幂函数还是降幂函数，其图象都是从坐标原点开始，一
条朝右上方延伸的弧线。

以上就是指数函数的图像与性质，根据以上描述，指数函数的函数图像与以及
其性质可以得出：指数函数是从坐标原点开始，一条朝右上方延伸的弧线，有着单调性，不变性，切线斜率随着x的增大而增大等性质。

指数函数的图像及性质 PPT

面积是多少？（用y 表示面积）
知新益能
1．指数函数定义一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做__指__数__函__数___，其
中__x_为自变量，函数的定义域为_R__.
注意：
1.底数为常数，指数为自变量 2.三个“1”
小试牛刀
下列哪些是指数函数？
(1)y= 2x (3)y=(-2)x (5)y= 2-x (7)y= 2x+1
(2)y= x2 (4)y=-2x (6)y= 22x (8)y= 2x+1
新知 2
一下指数函数的图象。
新知提炼
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质
a>1
0<a<1
图象
定义域为_R_；值域为__(0_，__＋__∞__) __
性质
根据指数函数的概念，求函数解析式．例1 指数函数 f ( x) 的图象过点（3 , 27)，求 f (0) , f (1) , f (2) 的值
解：设 f ( x) a x (a 0且a 1)
因为函数 f (x) 过点( 3 , 27 ) 所以有 f (3) 27 ，即a3 27 解得 a 3, 于是 f (x) 3x
过定点__(0_,_1_) ，即_x_＝__0_时，__y＝__1_ 若x>0，则__y_＞__1_；若x>0，则_0_＜__y_＜__1_；若x<0，则_0_＜__y_＜__1_ 若x<0，则_y_＞__1__
在R上是__增__函_数___ 在R上是__减__函__数__
考点突破
指数函数的概念
所以 f (0) 30 1 , f (1) 3 ,
f (2) 32 1 9