用去分母法或换元法求分式方程的解
分式方程常考经典练习题(6套)附带详细的答案
练习（一）1.（2008安徽）分式方程112x x =+的解是（ ） A . x=1 B . x =－1 C . x=2 D . x =－22.（2008荆州）方程21011x x x-+=--的解是（ ） A .2 B .0 C .1 D .33.（2008西宁）“5·12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米？某原计划每天修米，所列方程正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 4.（2008襄樊）当m = 时，关于x 的分式方程213x m x +=--无解． 5.（2008大连）轮船顺水航行40千米所需的时间和逆水航行30千米所需的时间相同．已知水流速度为3千米/时，设轮船在静水中的速度为x 千米/时，可列方程为_________________________________．6.（2008泰州）方程22123=-+--x x x 的解是=x __________. 7.解方程：（1）（2008赤峰） （2）（2008南京）22011x x x -=+-8.（2008咸宁） A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20千克，A 型机器人搬运1000千克所用时间与B 型机器人搬运800千克所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？9.（2008镇江）汶川大地震发生以后，全国人民众志成城．首长到帐篷厂视察，布置赈灾生产任务，下面是首长与厂长的一段对话：首长：为了支援灾区人民，组织上要求你们完成12000顶帐篷的生产任务．厂长：为了尽快支援灾区人民，我们准备每天的生产量比原来多一半． x 12012045x x-=+12012045x x -=+12012045x x -=-12012045x x -=-2112323x x x -=-+首长：这样能提前几天完成任务？厂长：请首长放心！保证提前4天完成任务！根据两人对话，问该厂原来每天生产多少顶帐篷？10.（2008山西）某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元。
分式方程的几种解法
分式方程的几种解法分式方程是初中数学教材重点内容之一，它是一元二次方程的应用和深化，同时又是列分式方程解应用题及解分式方程组的基础，所以分式方程有承上启下的作用，至关重要，它的解法很多，这里略谈一二。
一、 去分母法方法导析：它是分式方程的基本解法，即：方程两边同乘以各分母的最简公分母，化分式方程为整式方程，解出这个整式方程，最后把所得结果代入最简公分母中检验，便得分式方程的根。
例1：解方程：4121235222---=++-x x x x x 解：方程两边同乘以)2)(2)(1(-++x x x 去分母得：)1(4)2)(1()2)(52(+-++=--x x x x x整理得：01282=+-x x 解之得：6,221==x x检验：把2=x 代入)2)(2)(1(-++x x x ，它等于0，所以2=x 不是原方程的根。
把6=x 代入)2)(2)(1(-++x x x ，它不等于0，所以6=x 是原方程的根。
∴原方程的根为6=x 。
二、 换元法方法导析：根据方程特点用另一字母代替方程中的未知项式，得到一个关于这一字母的新方程，再进行解方程，其宗旨是换得的方程较原方程简单。
例2：解方程：21333322=-+-x x x x 解，设a x x =-32，则ax x 13332⨯=-，原方程变形为： 2133=+a a 去分母，得：061322=+-a a 解之得：61=a 212=a当6=a ，即632=-x x ，去分母，整理得0362=--x x 323±=∴x 当21=a ，即2132=-x x ，去分母，整理得0622=--x x 23,221-==∴x x 检验，把323+=x ，323-=x ，2=x ， 23-=x 分别代入原方程分母中其计算结果都不为0，所以他们都是原方程的根。
∴原方程的根是323±=∴x ，2=x ， 23-=x 三、 通分法方法导析：根据方程特点，原方程式适当变形后，两边进行通分，再结合分式性质解题。
知识卡片-解分式方程--可化为一元二次方程
解分式方程——可化为一元二次方程能量储备●解可化为一元二次方程的分式方程的基本思想把分式方程转化为整式方程（一元二次方程），解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解.●解化为一元二次方程的分式方程的一般方法和步骤：方法一：去分母法.（1）去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程.（2）解整式方程：即解一元二次方程，去括号、移项、合并同类项等.（3）检验：最后进行检验，有増根，舍掉。
简称为一化，二解，三检验.方法二：换元法.结构上有一定特点，若用常规去分母法求解比较麻烦，可从整体思想出发，采用换元法设辅助未知数，把原方程转化为一个简单的分式方程或正式方程再求解。
如（x−1）2x2−x−1x−2=0即可设x−1x= t换元求解。
●检验的方法（1）直接检验法.将解的值分别代入原分式方程的左边和右边进行检验.直接检验法不仅能检验求得的解是不是原分式方程的解，而且能检验求得的解是否正确. （2）公分母检验法.把求得的解代入最简公分母中进行检验，使最简公分母为0的解不是原分式方程的解.公分母检验法比较简单，因此被广泛运用.通关宝典★★易混易误点易混易误点1:用分式方程中的最简公分母同乘方程的两边时，要注意用最简公分母乘方程两边各项时，不要漏乘不含分母的项.例1解方程：11−x ＝2+3x−x21−x2解法1：方程两边乘1−x2，得1+ x＝2(1−x2) + 3x−x2，整理后，得3x2−2x−1=0. 解得：x1=1,x2=−13,检验：将x1=1代入原方程，1-x=0，所以x=1是方程的增根，舍去x2=−13带入原方程，左边＝右边，所以x2=−13是原分式方程的解.易混易误点2:解分式方程可能产生不适合原方程的解，所以检验是解分式方程的必要步骤.例2 解方程：x ＋1x －1－4x 2－1＝1 解：方程两边乘（x ＋1）（x －1），得（x ＋1）2－4＝（x ＋1）（x －1），解得x ＝1. 检验：当x ＝1时，（x ＋1）（x －1）＝0，所以x ＝1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解. 蓄势待发考前攻略分式方程的解法是中考的热点，其题型主要是解答题. 完胜关卡。
分式方程的解法
分式方程的解法分式方程是指含有一个或多个分式的方程。
解分式方程时，我们需要将分式方程中的分数部分化简成整数或变量，以便求得方程的解。
下面将介绍一些解分式方程的常用方法。
一、清除分母法清除分母法是解分式方程的常用方法之一。
当分式方程中含有分母时，我们可以通过两边同乘以除了分母以外的数来消去分母，从而将分式方程转化为代数方程。
例如，考虑下面的分式方程：(2/x) + (3/(x+1)) = 5为了清除该分式方程中的分母，我们可以将两边乘以x(x+1)，得到: 2(x+1) + 3x = 5x(x+1)然后将该代数方程化简为二次方程，解得x的值。
最后，我们需要检查所得解是否满足原方程。
二、倒数法倒数法是解分式方程的另一种方法。
当分式方程中含有倒数时，我们可以通过将分式方程中的分母倒置，从而将分式方程转化为代数方程。
考虑下面的分式方程：(2/x) + (3/(x+1)) = 5我们可以将该方程转化为代数方程：1/2 + 1/(x+1) = 1/5然后，通过整理方程，解得x的值。
最后，我们需要检查所得解是否满足原方程。
三、代换法代换法是解分式方程的一种常用技巧。
当分式方程中的分式难以直接求解时，我们可以通过代入适当的变量来简化方程。
考虑下面的分式方程：(2/x) + (3/(x+1)) = (x+2)/(x(x+1))我们可以令y = x(x+1)，将该方程转化为代数方程：2/y + 3/y = (y+2)/y然后，通过整理方程，解得y的值。
最后，我们求得x的值。
需要注意的是，我们需要检查所得解是否满足原方程。
综上所述，清除分母法、倒数法和代换法是解分式方程的三种常用方法。
通过灵活运用这些方法，我们可以有效地求解各种分式方程，并得到准确的解。
在解分式方程时，我们需要注意化简方程、整理方程以及检查解的步骤，以确保解的正确性。
分式方程的几种特殊解法
分式方程的几种特殊解法白云中学：权兵解分式方程的一般步骤：（1）去分母，化分式方程为整式方程；（2）解整式方程；（3）检验，判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解。
但在具体求解时却不能死搬硬套，尤其是在解某些特殊的分式方程时，应能根据方程的特点，采用灵活多变的解法，并施以适当的技巧，才能避繁就简，巧妙地将题目解出。
下面举例谈谈解分式方程的几种特殊技巧。
一、加减相消法。
例1、解方程：20172018112017201811222++-=++-+x x x x x 。
分析：若直接去分母固然可以求出该题的解，但并不是最佳解题方法。
如果我们发现方程两边都加上分式2017201812++x x ，则可以通过在方程两边都加上分式2017201812++x x ，就将原方程化简成112=+x ，从而轻松获解。
解：原方程两边都加上2017201812++x x ，则可得：112=+x 去分母，得：12+=x解得：1=x经检验，1=x 是原分式方程的解。
二、巧用合比性质法。
例2：解方程：781222++=++x x x x 。
分析：若我们能发现方程两边的分式的分子比分母都多1的话，则可以利用合比性质将分子化为1，从而可以轻易将方程的解求出。
解：由合比性质可得：77-811-2222+++=+++x x x x x x ）（）（）（）（ ∴ 71112+=+x x 去分母并化简得：062=--x x ，即0)2)(3=+-x x （解得：23-==x x 或经检验，23-==x x 或是原分式方程的解。
三、巧用等比性质法。
例3、解方程：13242344++=++x x x x 。
分析：该方程两边的分式的分子之差和分母之差都是常数，故可考虑先用等比性质将原方程化简后再求解。
解：由等比性质可得：1324)13()23(2444++=+-++-+x x x x x x ）（）（。
∴ 13242++=x x 化简得： 02=x∴ 0=x经检验，0=x 是原分式方程的解。
分式方程的特殊解法举例
分式方程的特殊解法举例解分式方程的基本思想，是通过去分母，化分式方程为整式方程。
其常规解法有“去分母法”和“换元法”两种。
但对一些结构较特殊的分式方程，若仍用这两种常规方法求解，往往会使未知数的次数增高，或使运算变繁，增大解题难度，甚至无法解出。
因此，我们应针对题目的结构特征，研究一些非常规解法。
1. 分组通分例1 解方程65327621--+--=--+--x x x x x x x x 分析：通过移项，将方程两边变形为两分式的差，通分后的分子中含未知数的项可相互抵消，从而降低了解题难度。
解：移项，得21653276-----=-----x x x x x x x x 两边分别通分，得)2)(6(4)3)(7(4--=--x x x x 所以)2)(6()3)(7(--=--x x x x 解得29=x 经检验，知29=x 是原方程的根。
2. 用“带余除法”将分子降次例2 解方程x x x x x x x 211112323=+--++++ 分析：方程左边是两个假分式的和的形式，所以可将它们分别化成整式与真分式之和的形式，从而降低未知数的次数，简化运算。
解：原方程可化为x x x x x x x 212112122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-所以121222+-=++x x x x 即1122+-=++x x x x所以002==x x ，经检验，知x=0是原方程的根。
3. 拆项相消例3 解方程 1011009900199165123112222=+++++++++++x x x x x x x x 分析：表面不易发现题目特点，但将各分母因式分解后，便发现各分式同时都具有AB A B -的形式。
因此，可用BA AB A B 11-=-将每个分式都拆成两个分式差的形式，这样除首末两项外，中间的项从左往右依次抵消。
解：将原方程变形，得101100)100)(99(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1=+++++++++++x x x x x x x x 拆项得⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-100199131212111111x x x x x x x x 101100= 化简得10110010011=+-x x 即01011002=-+x x 解得101121-==x x ， 经检验，知11=x 和1012-=x 都是原方程的解。
分式方程的教学设计一等奖3篇
1、分式方程的教学设计一等奖一、教学目标1．使学生掌握的解法，能用去分母的方法或换元的方法求此类方程的解，并会验根。
2．通过本节课的教学，向学生渗透“转化”的数学思想方法；3．通过本节的教学，继续向学生渗透事物是相互联系及相互转化的辨证唯物主义观点。
二、重点·难点·疑点及解决办法1．教学重点：的解法．2．教学难点：解分式方程，学生不容易理解为什么必须进行检验．3．教学疑点：学生容易忽视对分式方程的解进行检验通过对分式方程的解的剖析，进一步使学生认识解分式方程必须进行检验的重要性．4．解决办法：（l）分式方程的解法顺序是：先特殊、后一般，即能用换元法的方程应尽量用换元法解．（2）无论用去分母法解，还是换元法解分式方程，都必须进行验根，验根是解分式方程必不可少的一个重要步骤．（3）方程的增根具备两个特点，①它是由分式方程所转化成的整式方程的根②它能使原分式方程的公分母为0。
三、教学步骤（一）教学过程1．复习提问（1）什么叫做分式方程？解可化为一元一次方程的分式方程的方法与步骤是什么？（2）解可化为一元一次方程的分式方程为什么要检验？检验的方法是什么？（3）解方程，并由此方程说明解方程过程当中产生增根的原因。
通过（1）、（2）、（3）的准备，可直接点出本节的内容：的解法相同。
在教师点出本节内容的处理方法与以前所学的知识完全类同后，让全体学生对照前面复习过的分式方程的`解，来进一步加深对“类比”法的理解，以便学生全面地参与到教学活动中去，全面提高教学质量。
在前面的基础上，为了加深学生对新知识的理解，教师与学生共同分析解决例题，以提高学生分析问题和解决问题的能力。
2．例题讲解例1 解方程。
分析对于此方程的解法，不是教师讲如何如何解，而是让学生对已有知识的回忆，使用原来的方法，去通过试的手段来解决，在学生叙述过程当中，发现问题并及时纠正。
解：两边都乘以，得去括号，得整理，得解这个方程，得检验：把代入，所以是原方程的根。
如何解分式方程
1．一般法所谓一般法，就是先去分母，将分式方程转化为一个整式方程。
然后解这个整式方程。
解原方程就是方程两边同乘以（x＋3）（x－3），约去分母，得4（x－3）＋x（x＋3）=x2－9－2x。
2．换元法换元法就是恰当地利用换元，将复杂的分式简单化。
分析本方程若去分母，则原方程会变成高次方程，很难求出方程的解设x2＋x=y，原方程可变形为解这个方程，得y1=－2，y2=1。
当y=－2时，x2＋x=－2。
∵Δ＜0，∴该方程无实根；当y=1时，x2＋x=1，∴经检验，是原方程的根，所以原方程的根是。
3．分组结合法就是把分式方程中各项适当结合，再利用因式分解法或换元法来简化解答过程。
4．拆项法拆项法就是根据分式方程的特点，将组成分式方程的各项或部分项拆项，然后将同分母的项合并使原方程简化。
特别值得指出的是，用此法解分式方程很少有增根现象。
例4 解方程解将方程两边拆项，得即x=－3是原方程的根。
5．因式分解法因式分解法就是将分式方程中的各分式或部分分式的分子、分母分解因式，从而简化解题过程。
解将各分式的分子、分母分解因式，得∵x－1≠0，∴两边同乘以x－1，得检验知，它们都是原方程的根。
所以，原方程的根为x1=－1，x2=0。
6．配方法配方法就是先把分式方程中的常数项移到方程的左边，再把左边配成一个完全平方式，进而可以用直接开平方法求解。
∴x2±6x＋5=0，解这个方程，得x=±5，或x=±1。
检验知，它们都是原方程的根。
所以，原方程的根是x1=5，x2=－5，x3=1，x4=－1。
7．应用比例定理上述例5，除了用因式分解法外，还可以应用合比和等比定理来解。
特殊分式方程的几种特殊解法
特别分式方程的几种特别解法解分式方程最常用的方法是去分母法， 把分式方程化为整式方程， 以之求解的过程，但在一些详尽方程中，若用去分母的方法，其未知数的次数会增大，运算复杂，计算量加大，易出现错误，所以要擅长观察详尽方程的特色，对一些特分式方程，采纳特别方法，会简化解题过程。
一 . 比率法x 1 a b0)例 1. 解方程x1 a (bbAD分式：观察方程，形如： B C的形式，可依据比率“两外项之积等于两内项之积”而直接求解。
解：原方程化为( x 1)(a b)(a b)( x 1)整理得 2bx2aab 0， xb2 3x3 2 x例 2. 解方程：3x 1 2x 2解：原方程化为( 2 3x)(2x2) (3 2x)(3x 1)7整理得13x7，x13x713是原方程的根。
经检验二 . 换元法y 3 4 y8解方程y例 3. 2y 3A D解析：此题若移项，形如BC，假如用比率法规去分母后方程变成3y224y 7，对一元二次方程我们还不可以求解。
所以，经观察发现4y 8 4 y 2 y 2 y 3y 3y3，此中y3 与 y 2互为倒数关系，可利用换元法简易求解。
y3 A解：设 y2 ，则原方程变形为A4A整理得 A24 A2y 32 时，y2，解得y17 ；当A2y32y 21当A2 时，y33，解得y 17， y 213都是原方程的解。
经检验，例 4. 解方程组32 x yx5 (1)y14(2)y xx4y1 ，1 ，解析：方程（ 1），（ 2）中都含有x yx y所以可运用换元法，11b设 xa ，y x y则方程组变形为3b 2a 5 b 4a41 和1a 、b 的值，代入 x y x y中，即可解出解这个二元一次方程组，求出x ，y 的值。
三 . 倒数法x1 2 1，求 x 2 1____________。
例 5. 已知：x2x 2121 1 ， 1222解析：已知条件中， x ， x互为倒数 2，此中2 互为倒数关系，利用此关系，可有下边解法。
换元法解分式方程的四种常见类型
换元法解分式方程的四种常见类型换元法是初中数学非常重要的思想方法，在解分式方程时有着极为广泛的应用，本文根据各个方程自身的结构特点，举例说明换元法解分式方程的四种常见类型，供大家参考.一、直接换元例1 解方程015)1(2)1(2=----x x x x . 解：设y x x =-1，则原方程可化为01522=--y y . 解得 5,321=-=y y .当3-=y 时，31-=-x x ，解得 43=x ； 当5=y 时，51=-x x ，解得 45=x . 经检验，45,4321==x x 是原方程的根. 二、配方换元例2 解方程 1)1(3)1(222=+-+x x xx . 解：原方程配方，得 05)1(3)1(22=-+-+xx x x . 设,1y xx =+则05322=--y y . 解得 25,121=-=y y . 当1-=y 时，,11-=+x x 即012=++x x . 因为0311412<-=⨯⨯-=∆，所以方程012=++x x 无实数根. 当25=y 时，,251=+x x 即02522=+-x x . 解得 21,221==x x . 经检验，21,221==x x 是原方程的根. 三、倒数换元例3 解方程031)1(21122=-+++++x x x x . 解：设y x x =++112，则原方程可化为032=-+y y .去分母，整理，得0232=+-y y ，解得 2,121==y y . 当1=y 时，1112=++x x ，即02=-x x . 解得 1,021==x x .当2=y 时，2112=++x x ，即0122=--x x . 解得 21,2143-=+=x x .经检验，,1,021==x x 21,2143-=+=x x 都是原方程的根.四、变形换元例4 解方程12222422=+-+-x x x x . 解：原方程可变形为05222)22(222=-+-++-x x x x . 设y x x =+-222，则原方程可化为0522=-+y y . 去分母，整理，得02522=+-y y .解得 21,221==y y . 当2=y 时，2222=+-x x ，即022=-x x .解得 21,021==x x . 当21=y 时，21222=+-x x ，即03242=+-x x . 因为044344)2(2<-=⨯⨯--=∆，所以方程03242=+-x x 无实数根. 经检验，21,021==x x 是原方程的根.。
分式方程的解法
分式方程的解法分式方程是数学中常见的一种方程形式，它在实际问题求解中有着广泛的应用。
解决分式方程可以通过一系列的步骤来进行，本文将介绍几种常用的解法。
一、通分法通分法是解决一般分式方程的常用方法。
其基本思想是通过对方程两边进行通分，将方程转化为含有整式的方程，然后再求解。
例如，考虑如下分式方程：$$\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}=\frac{5}{x+2}$$首先，可以将方程两边的分式通过公倍数通分，得到：$$\frac{x(x+1)}{x(x+1)}+\frac{2x(x+1)}{x(x+1)}=\frac{5x(x+1)}{x(x +1)}$$整理方程得：$$x(x+1)+2x(x+1)=5x(x+1)$$继续化简得：$$x^2+x+2x^2+2x=5x^2+5x$$合并同类项得：$$3x^2+3x=5x^2+5x$$移项得：$$5x^2+2x^2=3x+5x$$合并同类项得：$$7x^2=8x$$最后，将方程转化为标准形式：$$7x^2-8x=0$$通过因式分解或求根公式，可以求得方程的解。
二、代换法代换法是解决分式方程的另一种有效方法。
其基本思想是通过进行适当的代换，将分式方程转化为含有整式的方程，然后求解。
例如，考虑如下分式方程：$$\frac{x-1}{x+2}-\frac{2x-3}{x-1}=1$$首先，可以假设一个新的变量$t=x-1$，通过代换得到：$$\frac{t}{t+3}-\frac{2(t+2)}{t}=1$$继续整理得：$$\frac{t}{t+3}-\frac{2t+4}{t}=1$$通分得：$$\frac{t-t(t+3)}{t(t+3)}=\frac{t}{t+3}-2$$进一步化简得：$$\frac{-t^2-3t}{t(t+3)}=\frac{t-2(t+3)}{t+3}$$消去分母得：$$-t^2-3t=t-2(t+3)$$继续整理得：$$-t^2-3t=t-2t-6$$合并同类项得：$$-t^2-3t=t-2t-6$$移项得：$$-t^2-5t+6=0$$通过因式分解或求根公式，可以求得方程的解。
中考复习_用去分母法或换元法求分式方程的解
用去分母法或换元法求分式方程的解一、选择题1. （2011•江苏宿迁，5，3）方程11112+=-+x x x 错误！未找到引用源。
的解是（ ） A 、﹣1 B 、2 C 、1 D 、0考点：解分式方程。
专题：计算题。
分析：观察可得最简公分母是（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解答：解：方程的两边同乘（x+1），得 2x ﹣x ﹣1=1， 解得x=2．检验：把x=2代入（x+1）=3≠0． ∴原方程的解为：x=2． 故选B ．点评：本题考查了解分式方程：注：（1）解分式方程的基本思想是―转化思想‖，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． 2. （2011山西，9，2分）分式方程1223x x =+的解为（ ） A ．1x =- B ． 1x = C ． 2x = D ． 3x = 考点：分式方程 专题：分式方程分析：解分式方程的一般步骤：先化分式方程为整式方程， 解这个整式方程， 验根， 点明原分式方程的根．解答：B点评：掌握解分式方程的一般步骤即可，解分式方程切记要验根． 3. （2011四川凉山，10，4分）方程24321x xx x x ++=++的解为（ ）A ．124,1x x ==B ．12x x ==C ．4x =D ．124,1x x ==-考点：解分式方程．专题：计算题． 分析：把等号左边的第一项分母分解因式后，观察发现原分式方程的最简公分母为x （x＋1），方程两边乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程求解． 解答：解：原方程可化为：132)1(4+=+++x xx x x ，方程两边都乘以x（x＋1）得：x＋4＋2x（x＋1）＝3x2，即x2－3x－4＝0，即（x－4）（x＋1）＝0，解得：x＝4或x＝－1，检验：把x＝4代入x（x＋1）＝4×5＝20≠0；把x＝－1代入x（x＋1）＝－1×0＝0，∴原分式方程的解为x＝4．故选C．点评：（1）解分式方程的基本思想是―转化思想‖，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要验根．学生要认识到分式方程验根的原因是在方程两边乘以最简公分母转化为整式方程后，整式方程与分式方程不一定是同解方程．4.（2011湖北荆州，6，3分）对于非零的两个实数a、b，规定a⊗b= 1b-1a．若1⊗（x+1）=1，则x的值为（）A、32B、13C、312D、-124考点：解分式方程．专题：新定义．分析：根据规定运算，将1⊗（x+1）=1转化为分式方程，解分式方程即可．解答：解：由规定运算，1⊗（x+1）=1可化为， 1x+1-1=1，即 1x+1=2，解得x=- 12，故选D．点评：本题考查了解分式方程的方法：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分点评：本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是―转化思想‖，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． 6. （2011•山西9，2分）分式方程错误！未找到引用源。
分分式方程的解法
初中数学分式方程的解法
分式方程是指含有分式未知数的方程。
在初中数学中，分式方程的解法主要有以下步骤：
1. 去分母：将分式方程转化为整式方程。
为了去分母，需要找到一个公共的分母，将方程中的所有分式都转化为整式。
这个过程可能需要多次尝试，找到合适的公共分母。
2. 去括号：将整式方程中的括号去掉，得到一个简单的整式方程。
3. 移项：将整式方程中的未知数项移到一边，常数项移到另一边，使方程变为标准的形如ax+b=0的形式。
4. 求解：根据求根公式，求出整式方程的解。
这个解就是原分式方程的解。
5. 检验：将求得的解代入原分式方程，检验是否满足原方程。
如果满足，那么这个解就是正确的；否则，需要重新求解。
需要注意，解分式方程时，要遵循去分母、去括号、移项、求解和检验的步骤。
此外，在解题过程中，要注意分式方程中分母不能为0的情况，以及解的合理性。
总之，初中数学中的分式方程解法主要是通过去分母、去括号、移项、求解和检验等步骤，将分式方程转化为整式方程，然后求解得到原方程的解。
熟练掌握这些解法与步骤，可以帮助学生更好地解决分式方程问题。
巧解分式方程
巧解分式方程
对于某些特殊类型的分式方程，如果采用常规方法来解，往往会带来繁琐的运算。
本文举例介绍几种巧解分式方程的方法。
一、裂项法
分析：方程中每一个分式的分母加1都等于它的分子。
根据这样一个特点，可以把分子分裂成两项，然后分别用它的分母去除，消去分子中的未知数，再分组通分将分子化为1。
解：原方程可化为
∴x2－14x＋48=x2－6x＋8，
解之得x=5。
经检验x=5是原方程的解。
二、局部换元法
分析：通过观察发现各分式中分母都和x2－x＋1这一式子有联系，故可用局部换元法。
解：令x2－x＋1=y，原方程变成
解之并检验可得y=3。
∴x2－x＋1=3，解之可得x1=2，x2=－1。
故原方程的根是x1=2，x2=－1。
三、局部通分法
分析：用去分母化整式方程的常规办法来解，将会带来繁琐的运算，如能适当局部通分，并辅以除法求解，将会得到较为理想的效果。
解：局部通分得
去分母，得x2－7x＋10=x2－9x＋18。
故2x=8。
∴x=4。
经检验知x=4是原方程的解。
解分式方程的技巧
分式方程的解法和技巧1．一般法所谓一般法，就是先去分母，将分式方程转化为一个整式方程。
然后解这个整式方程。
解原方程就是方程两边同乘以（x＋3）（x－3），约去分母，得4（x－3）＋x（x＋3）=x2－9－2x。
2．换元法换元法就是恰当地利用换元，将复杂的分式简单化。
分析本方程若去分母，则原方程会变成高次方程，很难求出方程的解设x2＋x=y，原方程可变形为解这个方程，得y1=－2，y2=1。
当y=－2时，x2＋x=－2。
∵Δ＜0，∴该方程无实根；当y=1时，x2＋x=1，∴经检验，是原方程的根，所以原方程的根是。
3．分组结合法就是把分式方程中各项适当结合，再利用因式分解法或换元法来简化解答过程。
4．拆项法拆项法就是根据分式方程的特点，将组成分式方程的各项或部分项拆项，然后将同分母的项合并使原方程简化。
特别值得指出的是，用此法解分式方程很少有增根现象。
例4解方程解将方程两边拆项，得即x=－3是原方程的根。
5．因式分解法因式分解法就是将分式方程中的各分式或部分分式的分子、分母分解因式，从而简化解题过程。
解将各分式的分子、分母分解因式，得∵x－1≠0，∴两边同乘以x－1，得检验知，它们都是原方程的根。
所以，原方程的根为x1=－1，x2=0。
6．配方法配方法就是先把分式方程中的常数项移到方程的左边，再把左边配成一个完全平方式，进而可以用直接开平方法求解。
∴x2±6x＋5=0，解这个方程，得x=±5，或x=±1。
检验知，它们都是原方程的根。
所以，原方程的根是x1=5，x2=－5，x3=1，x4=－1。
7．应用比例定理上述例5，除了用因式分解法外，还可以应用合比和等比定理来解。
下面以合比定理为例来说明。
∴x（x2－3x＋2）－x（2x2－3x＋1）=0，即x（x2－1）=0，∴x=0或x=±1。
检验知，x=1是原方程的增根。
所以，原方程的根是x1=0，x2=－1。
初中数学知识归纳分式方程与分式不等式的解法
初中数学知识归纳分式方程与分式不等式的解法初中数学知识归纳：分式方程与分式不等式的解法分式方程和分式不等式是初中数学中的重要知识点。
它们能够帮助我们解决实际问题，加深对数学知识的理解与应用。
本文将对分式方程和分式不等式的解法进行归纳总结，为初中数学学习者提供参考。
一、分式方程的解法分式方程是含有分式的方程，我们可以通过凑分子、通分、消去分母等方法求解。
下面将逐一介绍这些方法。
1. 凑分子法当分式方程中分子的次数比分母的次数少一次时，可以通过凑分子将其转化为整式方程，从而求解。
例如，对于方程$\frac{2}{x} - \frac{3}{x + 2} = \frac{5}{x - 1}$，我们可以令$y = \frac{1}{x}$，将方程转化为$2y - 3(y + 2) = 5(y - 1)$，然后解得$y = -1$，从而得出$x = -1$是原方程的解。
2. 通分法当分式方程中含有多个分式时，我们可以通过通分将其转化为有理式方程，从而求解。
例如，对于方程$\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x + 2} = \frac{3}{x + 3}$，我们可以通分得到$\frac{(x+2)(x+3) + 2(x+1)(x+3)}{(x+1)(x+2)} =\frac{3(x+1)(x+2)}{(x+2)(x+3)}$，然后化简得到$(x+2)(x+3) +2(x+1)(x+3) = 3(x+1)(x+2)$，进而解得$x = 0$。
3. 消去分母法当分式方程中的分母为一次多项式时，可以通过消去分母的方式求解。
例如，对于方程$\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x}$，我们可以将方程两边同乘以$(x + 1)(x - 1)x$，得到方程$x(x - 1)x + 2(x +1)x = 3(x + 1)(x - 1)$，然后化简求解得$x = 0$。
分式方程
分式方程及应用1. 解分式方程得基本思想——把分式方程“转化”为整式方程。
2. 解分式方程的方法：(1)去分母法；(2)换元法．（1）用去分母法解分式方程的具体步骤是：把方程两边都乘以最简公分母，约去分母→解所得的整式方程→验根。
（2）用换元法解分式方程的具体步骤是：①观察、分析方程的特点，探索换元的途径；②设辅助未知数；③换元把原方程化为只含有辅助未知数的方程；④解含有辅助未知数的方程，求出辅助未知数的值；⑤把辅助未知数的值代入原设辅助未知数的方程，求出原未知数的值；⑥验根，作答。
3. 列分式方程解应用题的步骤是：(1)审清题意，设出未知数；(2)根据题意找相等关系，并列出分式方程；(3) 解方程并检验根是否是原分式方程的根；(4) 检验所得的根是否符合实际问题的题意；(5)答题。
例1. 解方程：（1）（分析：公分母是，去分母时注意遍乘）解：方程两边同时乘以，得：解此整式方程得，检验：当时，，故是原方程得根。
（2）（分析：公分母是，去分母时注意遍乘）解：方程两边同时乘以，得：解此整式方程得，检验：当时，=0 分式无意义，故是原方程的增根，原分式方程无根。
例2. 在为何值时，关于的方程会产生增根？分析：分式方程中公分母为，方程要产生增根，公分母必须为零，即或，因此可通过或来讨论的值。
解：方程两边同时乘以的，如方程产生增根，则增根为或，而增根又定是整式方程的解，所以将和分别代入上整式方程可得：，故当时，原方程会产生增根。
例3. 在为何值时，关于的方程的解为非负数？分析：将方程的解用含的代数式表示出来，再根据解非负列出关于的不等式以求出的范围；同时还要考虑排除在此范围内使方程产生增根的的值。
解：方程两边同时乘以得：解此整式方程得：，由题意得：，故得：；又因原方程的增根只能是，由；由，故时，才是原方程的根；综合上述，当且时，原方程的解为非负数。
例4. 压缩机厂接受一批4800台的压缩机的订单，为了提前2天完成任务，必须把生产效率提高，问提高效率后，每天应生产多少台压缩机?分析：等量关系：原定时间–提高效率后用时 = 两天。
分式方程的解法 过程怎么写
分式方程的解法过程怎么写
在学习简单的分式方程的解法时,是将分式方程化为一元一次方程,复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样,就是设法将分式方程转化为整式方程。
解分式方程的基本方法(1)去分母法去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程。
但要注意,可能会产生增根。
所以,必须验根。
产生增根的原因:当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解。
检验根的方法:将整式方程得到的解代入原方程进行检验,看方程左右两边是否相等。
为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中,如果不使公分母等于0,就是原方程的根;如果使公分母等于0,就是原方程的增根。
必须舍去。
注意:增根是所得整式方程的根,但不是原方程的根,增根使原方程的公分母为0。
用去分母法解分式方程的一般步骤:(i)去分母,将分式方程转化为整式方程;(ii)解所得的整式方程;(iii)
验根做答(2)换元法为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决。
辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已
知量转化,这种思维方法就是换元法。
换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程。
用换元法解分式方程的一般步骤:(i)设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式;(ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;(iii)。
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(2019年1月最新最细）2019全国中考真题解析 考点汇编☆用去分母法或换元法求分式方程的解一、选择题1. （2019•江苏宿迁，5，3）方程11112+=-+x x x 错误！未找到引用源。
的解是（ ） A 、﹣1 B 、2 C 、1 D 、0考点：解分式方程。
专题：计算题。
分析：观察可得最简公分母是（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解答：解：方程的两边同乘（x+1），得 2x ﹣x ﹣1=1， 解得x=2．检验：把x=2代入（x+1）=3≠0． ∴原方程的解为：x=2． 故选B ．点评：本题考查了解分式方程：注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． 2. （2019山西，9，2分）分式方程1223x x =+的解为（ ） A ．1x =- B ． 1x = C ． 2x = D ． 3x = 考点：分式方程 专题：分式方程分析：解分式方程的一般步骤：先化分式方程为整式方程， 解这个整式方程， 验根， 点明原分式方程的根．解答：B点评：掌握解分式方程的一般步骤即可，解分式方程切记要验根． 3. （2019四川凉山，10，4分）方程24321x xx x x ++=++的解为（ ）A ．124,1x x ==B ．12x x == C ．4x = D ．124,1x x ==-考点：解分式方程．专题：计算题． 分析：把等号左边的第一项分母分解因式后，观察发现原分式方程的最简公分母为x （x＋1），方程两边乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程求解．解答：解：原方程可化为：132)1(4+=+++x xx x x ，方程两边都乘以x （x ＋1）得：x ＋4＋2x （x ＋1）＝3x 2，即x 2－3x －4＝0， 即（x －4）（x ＋1）＝0， 解得：x ＝4或x ＝－1，检验：把x ＝4代入x （x ＋1）＝4×5＝20≠0；把x ＝－1代入x （x ＋1）＝－1×0＝0，∴原分式方程的解为x ＝4． 故选C ．点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解； （2）解分式方程一定注意要验根．学生要认识到分式方程验根的原因是在方程两边乘以最简公分母转化为整式方程后，整式方程与分式方程不一定是同解方程．4. （2019湖北荆州，6，3分）对于非零的两个实数a 、b ，规定a ⊗b= 1b-1a ．若1⊗（x+1）=1，则x 的值为（ ）A 、32B 、13C 、312D 、-124 考点：解分式方程． 专题：新定义．分析：根据规定运算，将1⊗（x+1）=1转化为分式方程，解分式方程即可． 解答：解：由规定运算，1⊗（x+1）=1可化为， 1x+1-1=1， 即 1x+1=2，解得x=- 12， 故选D ．点评：本题考查了解分式方程的方法：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分点评：本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． 6. （2019•山西9，2分）分式方程错误！未找到引用源。
1223x x =+的解为（ ） A 、x =﹣1 B 、x =1 C 、x =2 D 、x =3 考点：解分式方程。
分析：观察可得最简公分母是2x （x +3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解答：解：方程的两边同乘2x （x +3），得 x +3=4x ， 解得x =1．检验：把x =1代入2x （x +3）=8≠0． ∴原方程的解为：x=1． 故选B ．点评：本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． （2）解分式方程一定注意要验根． 7. 方程24321x xx x x ++=++的解为（ ）A ．124,1x x ==B ．1211,66x x +== C ．4x = D ．124,1x x ==-考点：解分式方程． 专题：计算题． 分析：把等号左边的第一项分母分解因式后，观察发现原分式方程的最简公分母为x （x ＋1），方程两边乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程求解． 解答：解：原方程可化为：132)1(4+=+++x xx x x ，方程两边都乘以x （x ＋1）得：x ＋4＋2x （x ＋1）＝3x 2，即x 2－3x －4＝0， 即（x －4）（x ＋1）＝0， 解得：x ＝4或x ＝－1，检验：把x ＝4代入x （x ＋1）＝4×5＝20≠0；把x ＝－1代入x （x ＋1）＝－1×0＝0，∴原分式方程的解为x ＝4． 故选C ．点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要验根．学生要认识到分式方程验根的原因是在方程两边乘以最简公分母转化为整式方程后，整式方程与分式方程不一定是同解方程．8（2019四川省宜宾市，5，3分）分式方程2x–1=12的解是( )A.3B.4C.5D无解.考点：解分式方程．分析：观察分式方程，得到最简公分母为2（x-1），在方程两边都乘以最简公分母后，转化为整式方程求解．答案：解：方程两边乘以最简公分母2（x-1）得：x-1=4，解得：x=5，检验：把x=5代入2（x-1）=8≠0，∴原分式方程的解为x=5．故选C．点评：解分式方程的思想是转化，关键是找出最简公分母，最简公分母有两个作用：一个是为了去分母将分式方程转化为整式方程；一个是为了检验求出的x是否为0．9.（2019安徽省芜湖市，5,4分）分式方程错误！未找到引用源。
的解是（）A、x=﹣2B、x=2C、x=1D、x=1或x=2考点：解分式方程。
专题：方程思想。
分析：观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解答：解：方程的两边同乘（x﹣2），得2x﹣5=﹣3，解得x=1．检验：当x=1时，（x﹣2）=﹣1≠0．∴原方程的解为：x=1．故选C．点评：考查了解分式方程，注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．二、填空题1.（2019四川广安，18，3分）分式方程2212525xx x-=-+的解x＝_____________．考点：解分式方程专题：分式方程分析：方程两边都乘(2x ＋5)(2x －5)，得()()()()2252252525x x x x x +--=+-， 整理，得635x =-，解得356x =-． 经检验356x =-是原分式方程的解． 解答：356-点评：分式方程是通过转化为整式方程来求解的，转化的方法是去分母，即根据等式的性质在方程的两边都乘以各分母的最简公分母．把分式方程转化为整式方程后，未知数的取值范围发生变化（扩大了），使所求得的整式方程的根可能不适合原分式方程（使原分式方程的最简公分母为0），这时此根是原分式方程的增根，由于解分式方程会产生增根，所以解分式方程必须要验根．2. （2019重庆，15，4分）有四张正面分别标有数字－3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，则使关于x 的分式方程12ax x --＋2＝12x-有正整数解的概率为 ． 考点：概率公式；解分式方程分析：易得分式方程的解，看所给4个数中，能使分式方程有整数解的情况数占总情况数的多少即可．解答：解：解分式方程得：x =错误！未找到引用源。
22a-，能使该分式方程有正整数解的只有0（a =1时得到的方程的根为增根），∴使关于x 的分式方程错误！未找到引用源。
有正整数解的概率为14． 故答案为：错误！未找到引用源。
．3. （2019•贵港）方程错误！未找到引用源。
的解是x= ﹣1 ． 考点：解分式方程。
专题：计算题。
分析：两边同时乘以分母（x ﹣1），可把方程化为整式方程． 解答：解：两边同时乘以（x ﹣1），得2x=x ﹣1，解得x=﹣1． 经检验：x=﹣1是原方程的解． 点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． （2）解分式方程一定注意要验根．4. （2019•贺州）分式方程错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
的解是 x=错误！未找到引用源。
． 考点：解分式方程。
分析：观察可得最简公分母为x （x+2），去分母，转化为整式方程求解．结果要检验． 解答：解：方程两边同乘x （x+2），得5x=x+2，解得x=错误！未找到引用源。
．将x=错误！未找到引用源。
代入x （x+2）≠0．所以x=错误！未找到引用源。
是原方程的解．故答案为：x=错误！未找到引用源。
．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．5. （2019•西宁）关于x 的方程错误！未找到引用源。
的解为 x=﹣2 ． 考点：解分式方程。
专题：计算题。
分析：观察可得最简公分母是x ，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解答：解：方程的两边同乘x ，得 5+x ﹣3=0， 解得x=﹣2．检验：把x=﹣2代入x≠0． ∴原方程的解为：x=﹣2．点评：本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． 6.（2019•临沂，16，3分）方程1326x x x ---=12错误！未找到引用源。
的解是 ． 考点：解分式方程。
专题：方程思想。
分析：观察可得最简公分母是2（x ﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解答：解：方程的两边同乘2（x ﹣3），得2x ﹣1=x ﹣3， 解得x=﹣2．检验：当x=﹣2时，2（x ﹣3）=﹣10≠0． ∴原方程的解为：x=﹣2． 故答案为：x=﹣2．点评：考查了解分式方程，注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． （2）解分式方程一定注意要验根．7. （2019成都，13，4分）已知x ＝1是分式方程xk x 311=+错误！未找到引用源。
的根，则实数k ＝错误！未找到引用源。
． 考点：分式方程的解。
分析：先将x 的值代入已知方程即可得到一个关于k 的方程，解此方程即可求出k 的值． 解答：解：将x ＝1代入错误！未找到引用源。
得，13111k =+，解得，k ＝错误！未找到引用源。