2011高考数学课下练兵 函数的奇偶数
2011年高考试题——数学文(新课标卷)解析版
2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
．．．．．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}{}0,1,2,3,4,1,3,5,,M N P MN ===则P 的子集共有（A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）8个解析：本题考查交集和子集概念，属于容易题。
显然P={}3,1，子集数为22=4 故选B（2）复数512ii=- （A ）2i - （B ）12i - （C ）2i -+ （D ）12i -+ 解析：本题考查复数的运算，属容易题。
解法一：直接法512ii =-()()()i i i i i +-=+-+22121215，故选C 解法二：验证法 验证每个选项与1-2i 的积，正好等于5i 的便是答案。
（3）下列函数中，即是偶数又在()0,+∞单调递增的函数是 A. 3y x = B. 1y x =+ C. 21y x =-+ D. 2xy -=解析：本题考查函数的奇偶性和单调性，属于简单题可以直接判断：A 是奇函数，B 是偶函数，又是()0,+∞的增函数，故选B 。
(4).椭圆221168x y +=的离心率为A. 13B. 12C. 33D. 22解析;本题考查椭圆离心率的概念，属于容易题，直接求e=22422==a c ,故选D 。
也可以用公式22.2116811222=∴=-=-=e ab e 故选D 。
2011年高考数学函数的奇偶性配套试卷及答案
函数的奇偶性1.已知y ＝f ( ) ①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x .A.①③B.②③C.①④D.②④解析：由奇函数的定义验证可知②④正确，选D.答案：D2.(2010·长郡模拟)已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋4，若f (x ＋1)是偶函数，则实数a 的值为( )A.－1B.1C.－2D.2解析：∵f (x )＝x 2－ax ＋4，∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－a (x ＋1)＋4＝x 2＋2x ＋1－ax －a ＋4＝x 2＋(2－a )x ＋5－a ，f (1－x )＝(1－x )2－a (1－x )＋4＝x 2－2x ＋1－a ＋ax ＋4＝x 2＋(a －2)x ＋5－a .∵f (x ＋1)是偶函数，∴f (x ＋1)＝f (－x ＋1)，∴a －2＝2－a ，即a ＝2.答案：D3.(2009·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋a x(a ∈R)，则下列结论正确的是 ( ) A.∀a ∈R ，f (x ) 在(0，＋∞)上是增函数B.∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数C.∃a ∈R ，f (x )是偶函数D.∃a ∈R ，f (x )是奇函数解析：当a ＝16时，f (x )＝x 2＋16x ，f ′(x )＝2x －16x 2， 令f ′(x )＞0得x ＞2.∴f (x )在(2，＋∞)上是增函数，故A 、B 错.当a ＝0时，f (x )＝x 2是偶函数，故C 正确.D 显然错误，故选C.答案：C4.已知函数f ( )A.1B.－7C.4D.－10解析：设g (x )＝ax 4＋b cos x ，则g (x )＝g (－x ).由f (－3)＝g (－3)＋3，得g (－3)＝f (－3)－3＝4，所以g (3)＝g (－3)＝4，所以f (3)＝g (3)－3＝4－3＝1.答案：A5.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( )A.－2B.2C.－98D.98解析：由f (x ＋4)＝f (x )，得f (7)＝f (3)＝f (－1)，又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，f (1)＝2×12＝2，∴f (7)＝－2.故选A.答案：A6.设函数f (x )(x ∈R)为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)＝ ( ) A.0 B.1 C.52D.5 解析：由f (1)＝12， 对f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，令x ＝－1，得f (1)＝f (－1)＋f (2).又∵f (x ) 为奇函数，∴f (－1)＝－f (1).于是f (2)＝2f (1)＝1；令x ＝1，得f (3)＝f (1)＋f (2)＝32， 于是f (5)＝f (3)＋f (2)＝52. 答案：C7.已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f (12)＞0＞f (－3)，则方程f (x )＝0的根的个数为 ( )A.0B.1C.2D.3解析：由于函数是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，因此在(－∞，0)上单调递增，又因为f (12)＞0＞f (－3)＝f (3)，所以函数f (x )在(12，3)上与x 轴有一个交点，必在(－3，－12)上也有一个交点，故方程f (x )＝0的根的个数为2. 答案：C8.(2010·滨州模拟)定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ＞0时，f (x )＝2008x ＋log 2008x ，则方程f (x )＝0的实根的个数为 .解析：当x ＞0时，f (x )＝0即2008x ＝－log 2008x ，在同一坐标系下分别画出函数f 1(x )＝2008x ，f 2(x )＝－log 2008x 的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f (x )＝0只有一个实根，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x ＜0时，方程f (x )＝0也有一个实根，又因为f (0)＝0，所以方程f (x )＝0的实根的个数为3.答案：39.12f (x )＝m (m ＞0)在区间上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝ .解析：由f (x －4)＝－f (x )⇒f (4－x )＝f (x )，故函数图象关于直线x ＝2对称，又函数f (x )在上是增函数，且为奇函数，故f (0)＝0，故函数f (x )在(0,2]上大于0， 根据对称性知函数f (x )在上单调递增，求实数a 的取值范围.解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在上单调递增，结合f (x )的图象知2>1,21,a a --⎧⎨-⎩≤ 所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3].(理)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数. (1)求a 、b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围. 解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a ＝0，解得b ＝1，从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)，知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2. 故a ＝2，b ＝1.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1. 由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数.又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k ).因f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k ，即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0.从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.。
2011年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)
2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2011•新课标）复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i2．（5分）（2011•新课标）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y＝2x3B．y＝|x|+1C．y＝﹣x2+4D．y＝2﹣|x|3．（5分）（2011•新课标）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A．120B．720C．1440D．50404．（5分）（2011•新课标）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）（2011•新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝（）A．﹣B．﹣C．D．6．（5分）（2011•新课标）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A．B．C．D．7．（5分）（2011•新课标）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l 与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）A．B．C．2D．38．（5分）（2011•新课标）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40B．﹣20C．20D．409．（5分）（2011•新课标）由曲线y＝，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．610．（5分）（2011•新课标）已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P1：|+|＞1⇔θ∈[0，）；P2：|+|＞1⇔θ∈（，π]；P3：|﹣|＞1⇔θ∈[0，）；P4：|﹣|＞1⇔θ∈（，π]；其中的真命题是（）A．P1，P4B．P1，P3C．P2，P3D．P2，P4 11．（5分）（2011•新课标）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增12．（5分）（2011•新课标）函数y＝的图象与函数y＝2sinπx，（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．8B．6C．4D．2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2011•新课标）若变量x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值为．14．（5分）（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x 轴上，离心率为．过F1的直线交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为．15．（5分）（2011•新课标）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB ＝6，BC＝2，则棱锥O﹣ABCD的体积为．16．（5分）（2011•新课标）在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB+2BC的最大值为．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）（2011•新课标）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2＝1，a32＝9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．18．（12分）（2011•新课标）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD＝AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）（2011•新课标）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A 配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数82042228B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数412423210（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y＝从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）20．（12分）（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y＝﹣3上，M点满足∥，＝•，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．21．（12分）（2011•新课标）已知函数f（x）＝+，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3＝0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞+，求k的取值范围．22．（10分）（2011•新课标）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn ＝0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．23．（2011•新课标）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足＝2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．24．（2011•新课标）设函数f（x）＝|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2011•新课标）复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，然后求出共轭复数，即可．【解答】解：复数＝＝＝i，它的共轭复数为：﹣i．故选：C．【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，常考题型．2．（5分）（2011•新课标）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y＝2x3B．y＝|x|+1C．y＝﹣x2+4D．y＝2﹣|x|【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数．【解答】解：对于A．y＝2x3，由f（﹣x）＝﹣2x3＝﹣f（x），为奇函数，故排除A；对于B．y＝|x|+1，由f（﹣x）＝|﹣x|+1＝f（x），为偶函数，当x＞0时，y＝x+1，是增函数，故B正确；对于C．y＝﹣x2+4，有f（﹣x）＝f（x），是偶函数，但x＞0时为减函数，故排除C；对于D．y＝2﹣|x|，有f（﹣x）＝f（x），是偶函数，当x＞0时，y＝2﹣x，为减函数，故排除D．故选：B．【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题．3．（5分）（2011•新课标）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A．120B．720C．1440D．5040【分析】执行程序框图，写出每次循环p，k的值，当k＜N不成立时输出p的值即可．【解答】解：执行程序框图，有N＝6，k＝1，p＝1P＝1，k＜N成立，有k＝2P＝2，k＜N成立，有k＝3P＝6，k＜N成立，有k＝4P＝24，k＜N成立，有k＝5P＝120，k＜N成立，有k＝6P＝720，k＜N不成立，输出p的值为720．故选：B．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．4．（5分）（2011•新课标）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3＝9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P＝，故选：A．【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目．5．（5分）（2011•新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值．【解答】解：根据题意可知：tanθ＝2，所以cos2θ＝＝＝，则cos2θ＝2cos2θ﹣1＝2×﹣1＝﹣．故选：B．【点评】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．6．（5分）（2011•新课标）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A．B．C．D．【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图．【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选：D．【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题．7．（5分）（2011•新课标）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l 与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）A．B．C．2D．3【分析】不妨设双曲线C：，焦点F（﹣c，0），由题设知，，由此能够推导出C的离心率．【解答】解：不妨设双曲线C：，焦点F（﹣c，0），对称轴y＝0，由题设知，，∴，b2＝2a2，c2﹣a2＝2a2，c2＝3a2，∴e＝．故选：B．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．8．（5分）（2011•新课标）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40B．﹣20C．20D．40【分析】给x赋值1求出各项系数和，列出方程求出a；将问题转化为二项式的系数和；利用二项展开式的通项公式求出通项，求出特定项的系数．【解答】解：令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为1+a∴1+a＝2∴a＝1∴＝＝∴展开式中常数项为的的系数和∵展开式的通项为T r+1＝（﹣1）r25﹣r C5r x5﹣2r令5﹣2r＝1得r＝2；令5﹣2r＝﹣1得r＝3展开式中常数项为8C52﹣4C53＝40故选：D．【点评】本题考查求系数和问题常用赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．9．（5分）（2011•新课标）由曲线y＝，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．6【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y＝，直线y＝x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y＝，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S＝．故选C．【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．10．（5分）（2011•新课标）已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P1：|+|＞1⇔θ∈[0，）；P2：|+|＞1⇔θ∈（，π]；P3：|﹣|＞1⇔θ∈[0，）；P4：|﹣|＞1⇔θ∈（，π]；其中的真命题是（）A．P1，P4B．P1，P3C．P2，P3D．P2，P4【分析】利用向量长度与向量数量积之间的关系进行转化求解是解决本题的关键，要列出关于夹角的不等式，通过求解不等式得出向量夹角的范围．【解答】解：由，得出2﹣2cosθ＞1，即cosθ＜，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈（，π]，故P3错误，P4正确．由|+|＞1，得出2+2cosθ＞1，即cosθ＞﹣，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈[0，），故P2错误，P1正确．故选：A．【点评】本题考查三角不等式的求解，考查向量长度不等式的等价转化，考查向量数量积与向量长度之间的联系问题，弄清向量夹角与向量数量积的依赖关系，考查学生分析问题解决问题的思路与方法，考查学生解题的转化与化归能力．11．（5分）（2011•新课标）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增【分析】利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与ω的关系确定出ω的值，根据函数的偶函数性质确定出φ的值，再对各个选项进行考查筛选．【解答】解：由于f（x）＝sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）＝，由于该函数的最小正周期为T＝，得出ω＝2，又根据f（﹣x）＝f（x），得φ+＝+kπ（k∈Z），以及|φ|＜，得出φ＝．因此，f（x）＝cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选：A．【点评】本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握．属于三角中的基本题型．12．（5分）（2011•新课标）函数y＝的图象与函数y＝2sinπx，（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．8B．6C．4D．2【分析】函数y1＝与y2＝2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，利用数形结合思想能求出结果．【解答】解：函数y1＝，y2＝2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，如图，当1＜x≤4时，y1＜0而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（1，）和（，）上是减函数；在（，）和（，4）上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且：x A+x H＝x B+x G＝x C+x F＝x D+x E＝2，故所求的横坐标之和为8．故选：A．【点评】本题考查两个函数的图象的交点的横坐标之和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2011•新课标）若变量x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值为﹣6．【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目标函数z＝x+2y变化为y＝﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数得到最小值．【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z＝x+2y，变化为y＝﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由y＝x﹣9与2x+y＝3的交点得到A（4，﹣5）∴z＝4+2（﹣5）＝﹣6故答案为：﹣6．【点评】本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中，找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值．14．（5分）（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x 轴上，离心率为．过F1的直线交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为+＝1．【分析】根据题意，△ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF1＝16，结合椭圆的定义，有4a＝16，即可得a的值；又由椭圆的离心率，可得c的值，进而可得b的值；由椭圆的焦点在x轴上，可得椭圆的方程．【解答】解：根据题意，△ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF1＝16；根据椭圆的性质，有4a＝16，即a＝4；椭圆的离心率为，即＝，则a＝c，将a＝c，代入可得，c＝2，则b2＝a2﹣c2＝8；则椭圆的方程为+＝1；故答案为：+＝1．【点评】本题考查椭圆的性质，此类题型一般与焦点三角形联系，难度一般不大；注意结合椭圆的基本几何性质解题即可．15．（5分）（2011•新课标）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2，则棱锥O﹣ABCD的体积为8．【分析】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积．【解答】解：矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：＝2，所以棱锥O﹣ABCD的体积为：＝8．故答案为：8【点评】本题是基础题，考查球内几何体的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．16．（5分）（2011•新课标）在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB+2BC的最大值为2．【分析】设AB＝cAC＝bBC＝a利用余弦定理和已知条件求得a和c的关系，设c+2a＝m 代入，利用判别大于等于0求得m的范围，则m的最大值可得．【解答】解：设AB＝cAC＝bBC＝a由余弦定理cos B＝所以a2+c2﹣ac＝b2＝3设c+2a＝m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3＝0△＝84﹣3m2≥0故m≤2当m＝2时，此时a＝，c＝符合题意因此最大值为2另解：因为B＝60°，A+B+C＝180°，所以A+C＝120°，由正弦定理，有＝＝＝＝2，所以AB＝2sin C，BC＝2sin A．所以AB+2BC＝2sin C+4sin A＝2sin（120°﹣A）+4sin A＝2（sin120°cos A﹣cos120°sin A）+4sin A＝cos A+5sin A＝2sin（A+φ），（其中sinφ＝，cosφ＝）所以AB+2BC的最大值为2．故答案为：2【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．涉及了解三角形和函数思想的运用．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）（2011•新课标）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2＝1，a32＝9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．【分析】（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a32＝9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2＝1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式代入设bn＝log3a1+log3a2+…+log3a n，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到b n的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32＝9a2a6得a32＝9a42，所以q2＝．由条件可知各项均为正数，故q＝．由2a1+3a2＝1得2a1+3a1q＝1，所以a1＝．故数列{a n}的通项式为a n＝．（Ⅱ）b n＝++…+＝﹣（1+2+…+n）＝﹣，故＝﹣＝﹣2（﹣）则++…+＝﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝﹣，所以数列{}的前n项和为﹣．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．18．（12分）（2011•新课标）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD＝AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【分析】（Ⅰ）因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，P的坐标，求出向量，和平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值即可．【解答】（Ⅰ）证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝，从而BD2+AD2＝AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1）．＝（﹣1，，0），＝（0，，﹣1），＝（﹣1，0，0），设平面PAB的法向量为＝（x，y，z），则即，因此可取＝（，1，）设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），则，即：可取＝（0，1，），cos＜＞＝＝故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：﹣．【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及应用空间向量求空间角问题，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力．19．（12分）（2011•新课标）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A 配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数82042228B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数412423210（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y＝从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）【分析】（I）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值．（II）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值．【解答】解：（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42；（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，∴P（X＝﹣2）＝0.04，P（X＝2）＝0.54，P（X＝4）＝0.42，即X的分布列为X﹣224P0.040.540.42∴X的数学期望值EX＝﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42＝2.68【点评】本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题20．（12分）（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y＝﹣3上，M点满足∥，＝•，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．【分析】（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）并代入∥，＝•，即可求得M点的轨迹C的方程；（Ⅱ）设P（x0，y0）为C上的点，求导，写出C在P点处的切线方程，利用点到直线的距离公式即可求得O点到l距离，然后利用基本不等式求出其最小值．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）．所＝（﹣x，﹣1﹣y），＝（0，﹣3﹣y），＝（x，﹣2）．再由题意可知（）•＝0，即（﹣x，﹣4﹣2y）•（x，﹣2）＝0．所以曲线C的方程式为y＝﹣2．（Ⅱ）设P（x0，y0）为曲线C：y＝﹣2上一点，因为y′＝x，所以l的斜率为x0，因此直线l的方程为y﹣y0＝x0（x﹣x0），即x0x﹣2y+2y0﹣x02＝0．则o点到l的距离d＝．又y0＝﹣2，所以d＝＝≥2，所以x02＝0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2．【点评】此题是个中档题．考查向量与解析几何的交汇点命题及代入法求轨迹方程，以及导数的几何意义和点到直线的距离公式，综合性强，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．21．（12分）（2011•新课标）已知函数f（x）＝+，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3＝0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞+，求k的取值范围．【分析】（I）求出函数的导数；利用切线方程求出切线的斜率及切点；利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出a，b值．（II）将不等式变形，构造新函数，求出新函数的导数，对参数k分类讨论，判断出导函数的符号，得到函数的单调性，求出函数的最值，求出参数k的范围．【解答】解：由题意f（1）＝1，即切点坐标是（1，1）（Ⅰ）由于直线x+2y﹣3＝0的斜率为，且过点（1，1），故即解得a＝1，b＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以）．考虑函数（x＞0），则．（i）设k≤0，由知，当x≠1时，h′（x）＜0．而h（1）＝0，故当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，可得；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，可得h（x）＞0从而当x＞0，且x≠1时，f（x）﹣（+）＞0，即f（x）＞+．（ii）设0＜k＜1．由于当x∈（1，）时，（k﹣1）（x2+1）+2x＞0，故h′（x）＞0，而h（1）＝0，故当x∈（1，）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，与题设矛盾．（iii）设k≥1．此时h′（x）＞0，而h（1）＝0，故当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，与题设矛盾．综合得，k的取值范围为（﹣∞，0]．【点评】本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值是切线的斜率、考查构造函数，通过导数研究函数的单调性，求出函数的最值、考查了分类讨论的数学思想方法．22．（10分）（2011•新课标）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn ＝0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．【分析】（I）做出辅助线，根据所给的AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn＝0的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论．（II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE的中点G，DB 的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH，根据四点共圆得到半径的大小．【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，即又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB因此∠ADE＝∠ACB∴C，B，D，E四点共圆．（Ⅱ）m＝4，n＝6时，方程x2﹣14x+mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12．故AD＝2，AB＝12．取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．∵C，B，D，E四点共圆，∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF＝AG＝5，DF＝（12﹣2）＝5．故C，B，D，E四点所在圆的半径为5【点评】本题考查圆周角定理，考查与圆有关的比例线段，考查一元二次方程的解，考查四点共圆的判断和性质，本题是一个几何证明的综合题．23．（2011•新课标）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足＝2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【分析】（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C1的方程即可求出曲线C2的方程；（II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1，以及射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2，最后根据|AB|＝|ρ2﹣ρ1|求出所求．【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ．射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin．所以|AB|＝|ρ2﹣ρ1|＝．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题．24．（2011•新课标）设函数f（x）＝|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【分析】（Ⅰ）当a＝1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．直接求出不等式f（x）≥3x+2的解集即可．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0分x≥a和x≤a推出等价不等式组，分别求解，然后求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．由此可得x≥3或x≤﹣1．故不等式f（x）≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤﹣1}．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0此不等式化为不等式组或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x}由题设可得﹣＝﹣1，故a＝2【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．。
函数的奇偶数 优质课件
（2）偶函数的图象关于y轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于y轴
对称，那么就称这个函数为偶函数.
x 1 (4) f ( x) x2
用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1) 先求定义域，看是否关于原点对称；
(2) 再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成 立.
说明：根据奇偶性,
函数可划分为四类:
奇函数
偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数
3.奇偶函数图象的性质
（1）奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原
1．偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
y
(-x,f(-x))
(x,f(x))
-x 0 x x
偶函数的图象关于y轴对称
观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图)，你能发 现两个函数图象有什么共同特征吗？
f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)
f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)
实际上，对于R内任意的一个x,都有
f(-x)=-x=-f(x),这时我们称函数y=x为奇函数.
2．奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内任意一个x，
都有f(－x)=－f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
y
奇函数的图象关于原点对称
一般地，对于函 数f(x)的定义域内任 意一个x，都有
-x
f(-x)=f(x)，那么f(x) 就叫做偶函数． P/(-x ,f(-x))
P(x ,f(x))
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题_函数与导数(word解析版)
1)
0
【解析】因为 f '(x) x x x ,原函数的定义域为 (0, ) ,所以由 f '(x) 可得
x
x
,即
x2 x 2 0 ,解得 x 2 ,故选 C. 16. (2011 年高考湖南卷理科 6)由直线 x , x , y 0 与曲线 y cos x 所围成的封闭图形的面
【命题意图】本题考查了函数的奇偶性和求值，是容易题.
【解析】∵设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 时， f (x) x x ，
∴ f (1) = f (1) = [2 (1)2 (1)] =－3，故选 A. 5.(2011 年高考安徽卷理科 10)函数 f (x) = axm (1 x)n 在区间[0,1]上的图像如图所示，则 m,n 的值可
2011 年高考试题数学（理科）
函数与导数
4．(2011 年高考安徽卷理科 3)设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 时， f (x) x x ，则
f ()
（A）
（A）
(B)
(B)
（Ｃ）１ （Ｄ）３
（Ｃ）１ （Ｄ）３
对于选项 B， f (x) = ax(1 x) = a(x3 2x2 x) ， f (x) = a(3x2 4x 1) 3a(x 1)(x 1) ，知 3
1
1
f (x) 在[0, ]是增函数，在[ ,1]是减函数，符合题意，选 B.
3
3
对于选项 C, f (x) = ax2 (1 x) = a(x2 x3 ) ， f (x) = a(2x 3x2 ) = 3a(x 2)x ，在[0, 2 ]上是增函
2011年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)(含解析版)
【解答】解：根据题意可知：tanθ=2，
所以 cos2θ=
=
=，
则 cos2θ=2cos2θ﹣1=2× ﹣1=﹣ ．
故选：B． 【点评】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系
化简求值，是一道中档题． 6．（5 分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）
为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【考点】DA：二项式定理． 菁优网版权所有
【专题】11：计算题． 【分析】给 x 赋值 1 求出各项系数和，列出方程求出 a；将问题转化为二项式的系数和；利用二项
C．2
D．3
8．（5 分）
的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为（ ）
A．﹣40
B．﹣20
C．20
D．40
9．（5 分）由曲线 y= ，直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为（ ）
A．
B．4
C．
D．6
10．（5 分）已知 与 均为单位向量，其夹角为 θ，有下列四个命题 P1：| + |＞1⇔θ∈[0， ）；
2011 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）复数 的共轭复数是（ ）
A．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B．
C．﹣i
D．i
2．（5 分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）
A．y=2x3
B．y=|x|+1
C．y=﹣x2+4
第 3 页（共 15 页）
【优质文档】2011高考数学课下练兵：2.01函数及其表示
)
解析： 由 ax2－ x－ c>0 的解集为 (－ 2,1)，
21 1
得
a
a
∴
1,
c c 2.
21
,
a
∴ f( x)＝－ x2－ x＋ 2
∴ f(－ x)＝－ x2＋ x＋ 2，图象为 D.
答案： D
4.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解
析式为 y＝ 2x2＋ 1，值域为 {5,19} 的“孪生函数”共有
0 ∴ g(x)= ( x 1)2
图象如图所示：
3≤ x≤1 x 3 或x 1
1 2t 时，漏斗中液面下落的高度不
会达到漏斗高度的 12，对比四个选项的图象可知选
B.
答案： B
二、填空题
7.已知 f( 2x＋1)＝ lg x，则 f( x)＝
.
解析： 令 2x＋ 1＝ t( t>1) ，则 x＝ t－2 1，
∴ f( t)＝ lg 2 ， f(x)＝ lg 2
(x>1).
t1
x1
答案： lg 2 （ x>1 ） t1
2t x
x 2,
8.设 f(x)= logt ( x 2 1)
且 f(2)=1, 则 f ( f (源自5)) 的值 x ≥ 2..
解析： 由 f(2) ＝ logt(22－ 1)＝ logt3＝ 1，
∴ t＝ 3，又 5>2 ，
所以 f(f ( 5))＝ f (log3(5－ 1))＝ f(log34)＝ 2×3log34 ＝ 2×4＝ 8.
2
(2 x 1)2,
∴ f [ g(x)]=
1,
(
高一数学《数学必修1学科拓展课》(4)-函数奇偶性
函数的奇偶性教学目标1.掌握有关函数奇偶性的先关概念、判断方法.2.会利用函数的奇偶性判断、证明、求值.教学重点与难点1.教学重点是教会学生应用函数的奇偶性解决相关问题.2.教学难点是务必使学生明确应用奇偶性求解问题的条件.教学过程设计复习：1．函数奇偶性的相关概念2．对奇偶性的理解（1）奇函数、偶函数的定义域关于原点对称。
若x 是定义域中的一个数值，则x -也必然在定义域中，因此，函数()y f x =是奇函数或是偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称。
换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具奇偶性。
（2）若奇函数()f x 在0x =处有定义，则(0)0f =。
（3）1()()()F x f x f x =+-为偶函数，2()()()F x f x f x =--为奇函数。
（4）函数的奇偶性是相对于整个定义域来说的，而单调性是相对于定义域内某个区间而言的，是局部性质。
3.奇偶函数的图形性质奇函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称；反过来，图象关于原点对称的函数是奇函数。
偶函数的图象特征：偶函数的图象关于y 轴对称；反过来，图象关于y轴对称的函数是偶函数。
重要性质：奇函数在对称区间上有相同的单调性；偶函数在对称区间上有相反的单调性。
4.函数奇偶性的判断方法：定义法、图形发、性质法例题讲解 考查点1：有关函数奇偶性的判断或证明的问题（一）一般函数奇偶性的判断判断函数()(f x x =+判断函数()f x =的奇偶性。
（二）抽象函数的奇偶性的判断已知()()f x x R ∈对任意实数12,x x 都有1212()()()f x x f x f x +=+。
求证()f x 的奇偶性。
（三）分段函数的奇偶性的判断判断函数22(5)4,(6,1](5)4,[1,6)(){x x x x f x +-∈----∈=的奇偶性。
考查点2：应用函数奇偶性求值、求解析式设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当[0,1]x ∈时，()f x x =，求(7.5)f 的值。
2011年高考数学试题分类考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性
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考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性一、选择题1．（2011·安徽高考理科·Ｔ3）设()f x 是定义在Ｒ上的奇函数，当0x ≤时，()22f x x x =-，则 ()1f =（ ）（A ）－３ （B ）－１ （C ）１ （D ）３【思路点拨】由奇函数的定义有),()(x f x f -=-所以()1(1).f f =--【精讲精析】选A. 由奇函数的定义有),()(x f x f -=-所以()21(1)[2(1)1]3f f =--=-⨯-+=-. 2.（2011·福建卷理科·Ｔ9）对于函数f （x ）=asinx+bx+c (其中，a,b ∈R,c ∈Z),选取a,b,c 的一组值计算f （1）和f （-1），所得出的正确结果一定不可能是（ ）（A ）4和6 （B ）3和1 （C ）2和4 （D ）1和2【思路点拨】先求出(1)(1)f f -、，探究(1)(1)f f +-与c 的关系，然后由c Z ∈限定(1)(-1).f f 和的取值【精讲精析】选D.(1)sin1,(1)sin1,f a b c f a b c =++-=--+Q (1)(1)2f f c ∴+-=，(1)(1),,2f f c c Z +-∴=∈Q 又(1)(1)12f f ∴-和的值一定不可能是和3.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ） （A ）3y x = （B ）1y x =+ （C ）21y x =-+ （D ）2x y -=【思路点拨】对选项进行逐个判断，一是看是否满足奇偶性，二是检验单调性.【精讲精析】选B. 函数3y x =是奇函数，故可排除A ，当0x >时，||11y x x =+=+是增函数，21y x =-+是减函数，||122()2x x x y --=== 为减函数. 4.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ3）下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的函数是（ ）（A ）3y x = （B ）1y x =+ （C ）21y x =-+ （D ）2xy -=【思路点拨】对选项进行逐个判断，一是看是否满足奇偶性，二是检验单调性.【精讲精析】选B .函数3y x =是奇函数，故可排除A ，当0x >时，||11y x x =+=+，是增函数，21y x =-+是减函数，||122()2x x x y --=== 为减函数. 5．（2011·辽宁高考文科·Ｔ6）若函数)(x f =))(12(a x x x -+为奇函数，则a =（ ） （A ）21 （B ）32 （C ）43 （D ）1 【思路点拨】利用奇函数的定义，从0)()(=+-x f x f 恒成立入手，即得．【精讲精析】选A.∵函数)(x f 为奇函数，∴0)()(=+-x f x f 恒成立． 即0))(12())(12(=--+--+-+a x x x a x x x 恒成立．可化为))(12())(12(a x x a x x +-=-+恒成立．整理得0)21(2=-x a 恒成立，只有021=-a ，∴21=a ． 6.（2011·广东高考理科·Ｔ4）设函数()f x 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 （ ）（A ）()f x +|)(x g |是偶函数 （B ）()f x -|)(x g |是奇函数（C ）|()f x | +)(x g 是偶函数 （D ）|()f x |- )(x g 是奇函数【思路点拨】本题主要考查函数的奇偶性，可由奇偶性的概念进行判断.【精讲精析】选A.由题意)()(),()(x g x g x f x f -=-=-.令|)(|)()(x g x f x F +=，则)(|)(|)(|)(|)()(x F x g x f x g x f x F =+=-+-=-.)(x F ∴是偶函数.故选A.7．（2011·北京高考理科·T8）设(0,0),(4,0),(4,4),(,4)()A B C t D t t R +∈，记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为（ ）（A ）{9,10,11} （B ）{9,10,12} （C ）{9,11,12} （D ）{10,11,12}【思路点拨】作图，分别求出t=0,1,2,3,4,…时的函数值，即可选出答案.【精讲精析】选C.如图所示.N(0)=9, N(1)=12, N(2)=11, N(3)=12,…，故值域为{9,11,12}. 8．（2011·湖南高考文科T8）已知函数f(x)=1-x e ,g(x)=.342-+-x x 若有f(a)=g(b)，则b 的取值范围为（ ）（A ）]22,22[+- （B ）)22,22(+-（C ）[1，3] （D ）(1,3)【思路点拨】本题以考查函数的值域为载体，重点考查对f(a)=g(b)的理解，f(a)=g(b)表示二元方程，把二元方程转化为函数或不等式.【精讲精析】选B.,134,1)(,1)(2->-+-∴->∴->b b b g a f Θ2b 4b 20,2b 2∴-+<∴-<<+二、填空题 9．（2011·安徽高考文科·Ｔ11）设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x =22x x -，则(1)f = .【思路点拨】由奇函数的定义有),()(x f x f -=-所以()1(1).f f =--【精讲精析】由奇函数的定义有),()(x f x f -=-所以()21(1)[2(1)1]3f f =--=-⨯-+=-. 【答案】-310.（2011·广东高考文科·Ｔ12）设函数f(x)=x 3cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=_______.【思路点拨】令g(x)=x 3cosx,利用g(x)是奇函数，求出g(a)=10，从而f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1，可得结论.【精讲精析】令g(x)=x 3cosx,则f(x)= g(x)+1且g(x)为奇函数，所以g(-a)=-g(a).由f(a)=11得g(a)+1=11,所以g(a)=10，f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-10+1=-9.【答案】-911．（2011·湖南高考文科·T12）已知f(x)为奇函数，g(x)=f(x)+9，g(-2)=3，则f(2)=______.【思路点拨】本题考查利用奇函数的性质（对称性）求函数值.【精讲精析】因为f(x)=g(x)-9是奇函数，所以f(-x)=-f(x), ∴g(-x)-9=-[g(x)-9]，∴g(-2)-9=-[g(2)-9]，3)2(=-g Θ ，g(2)=15,所以f(2)=g(2)-9=6.【答案】612.（2011·浙江高考理科·Ｔ11）若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a = .【思路点拨】两个偶函数的和函数亦是偶函数,偶函数与其他函数的和函数为非奇非偶函数.【精讲精析】函数2y x =为偶函数，函数y x a =+是由偶函数y x =向左或向右平移了a 个单位，要使整个函数为偶函数，则需0a =.【答案】013．（2011·北京高考文科·T14）设(0,0),(4,0),(4,3),(,3)()A B C t D t t R +∈，记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N (0)= ；N (t)的所有可能取值为 .【思路点拨】在直角坐标系中作出坐标网格，当t 变化时，可求出N(t)的可能取值.【精讲精析】如图所示，N(0)=6,N(1)=8，N(1.5)=7,…，所以可能取值为6，7，8.【答案】6 6，7，8三、解答题14．（2011·湖南高考理科·T20）如图所示，长方体物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速度为v （v>0），雨速沿E 移动方向的分速度为c （c )R ∈，E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与|v-c|S ⨯成正比，比例系数为101；（2）其他面的淋雨量之和，其值为21.记y 为E 移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100，面积S=23时， （1）写出y 的表达式；（2）设0<v ,50,10≤<≤c 试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少.【思路点拨】本题考查学生运用知识的能力，重点考查学生的以下能力：一是阅读能力.二是转化能力.三是表达能力.能否把文字语言转化为符号语言的理解能力.四是解题能力.本题主要考查学生的阅读能力、建模能力和运算能力，阅读后建立函数模型是关键.【精讲精析】（1）由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为31||202v c -+， A B C D 1234 1 23 5 x y故100315(||)(3||10)202y v c v c v v=-+=-+. （2）由(1)知，当0v c <≤时，55(310)(3310)15c y c v v v +=-+=-； 当10c v <≤时，55(103)(3310)15c y v c v v-=-+=+. 故5(310)15,05(103)15,10c v c v y c c v v +⎧-<≤⎪⎪=⎨-⎪+<≤⎪⎩. (1)当1003c <≤时，y 是关于v 的减函数.故当10v =时，min 3202c y =-. (2) 当1053c <≤时，在(0,]c 上，y 是关于v 的减函数；在(,10]c 上，y 是关于v 的增函数；故当v c =时，min 50y c =. 关闭Word 文档返回原板块。
河北省2011年高考数学一轮复习 2.3函数的奇偶性 精品导学案
函数、导数及其应用2.3函数的奇偶性【高考目标定位】一、考纲点击1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2、会运用函数图象理解和研究函数的性质。
二、热点难点提示1、函数的奇偶性作为函数的一个重要性质，仍是明年高考考查的重点，常与函数的单调性、周期性等知识交汇命题。
2、在每年的高考试题中，三种题型都有可能出现，多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题。
【考纲知识梳理】定义域中，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称；2、存在既是奇函数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式化简后等于零。
二、奇偶函数的性质1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（填 “相同”、“ 相反”）。
2、在公共定义域内，（1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；（2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数；（3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。
3、若是奇函数f(x)且在x=0处有定义，则f(0)=0.4、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；5、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；6、可逆性： )()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；7、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f8、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；9、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
【热点、难点精析】一、函数奇偶性的判定1、相关链接<1>判断函数奇偶性的一般步骤（1）首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。
若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数。
（2）若定义域关于原点对称，再判定f(-x)与f(x)之间的关系①若f(-x)=-f(x)（或f(-x) +f(x)=0），则为奇函数；②若f(-x)=f(x)(或 f(-x) -f(x)=0)，则f(x)为偶函数；③若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数;④若f(-x) ≠f(x)且f(-x)≠- f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数。
2011年高考数学试题分类汇编2——函数与导数
2011年高考数学试题分类汇编2——函数与导数一、选择题1.（安徽理3） 设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，则()f 1= （A ）-3 (B) -1 （Ｃ）１ （Ｄ）3 【答案】A【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属容易题.【解析】2(1)(1)[2(1)(1)]3f f =--=----=-.故选A. 2.(安徽理10) 函数()()m nf x ax x =1-g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ，n 的值可能是（A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==【答案】B 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当1,2m n ==，()()()f x ax x n x x x 232=1-=-2+g ，则 ()()f x a x x 2'=3-4+1，由()()f x a x x 2'=3-4+1=0可知，121,13x x ==，结合图像可知函数应在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，即在13x =取得最大值，由 ()()f a 21111=⨯1-=3332g ，知a 存在.故选B.3.（安徽文5）若点(a,b)在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是（A ）（a 1，b ） (B) (10a,1-b) (C) (a 10,b+1) (D)(a2,2b)【答案】D 【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关y0.51xO0.5系.【解析】由题意lg b a =，lg lg b a a 22=2=，即()2,2a b 也在函数lg y x = 图像上. 4.(安徽文10) 函数()()n f x ax x 2=1-g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n 可能是（A ）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4【答案】A 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大. 【解析】代入验证，当1n =时，()()()f x ax x a x x x 232=1-=-2+g，则()()f x a x x 2'=3-4+1， 由()()f x a x x 2'=3-4+1=0可知，121,13x x ==，结合图像可知函数应在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，即在13x =取得最大值，由()()f a 21111=⨯1-=3332g ，知a 存在.故选A.5.（北京理6）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为,(),cx A x f x cx A A ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩（A ，c 为常数）。
函数的奇偶性 - 高中数学讲义与经典例题解析版
函数的奇偶性知识讲解一、函数奇偶性的定义1.奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对于D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，则这个函数叫做奇函数．2.偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对于D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=，则这个函数叫做偶函数．二、奇偶函数的图象特征1.函数()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图象关于y 轴对称；2.函数()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图象关于原点对称．三、判断函数奇偶性的方法1.定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称．若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x -=-或()()f x f x -=是否为恒等式．定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-．2.图象法3.性质法：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D = 上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；四、奇偶函数的性质1.函数具有奇偶性⇒其定义域关于原点对称；2.函数()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图象关于y 轴对称；3.函数()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图象关于原点对称．4.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．5.若奇函数()y f x =的定义域包含0，则(0)0f =．五、常见函数的奇偶性1.正比例函数(0)y kx k =≠是奇函数；2.反比例函数(0)k y k x=≠是奇函数；3.函数(00)y kx b k b =+≠≠，是非奇非偶函数；4.函数2(0)y ax c a =+≠是偶函数；5.常函数y c =是偶函数；6.对勾函数(0)k y x k x=+≠是奇函数；经典例题一．填空题（共12小题）1．给定四个函数：①y=x3+3；②y=1（x＞0）；③y=x3+1；④y=2+1．其中是奇函数的有①④（填序号）．【解答】解：：①函数的定义域为R，则f（﹣x）=﹣（x3+3）=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数；②函数的定义域关于原点不对称，则函数f（x）为非奇非偶函数；③函数的定义域为R，f（0）=0+1=1≠0，则函数f（x）为非奇非偶函数；④函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）=2+1−=﹣2+1=﹣f （x），则函数f（x）是奇函数，故答案为：①④2．f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2﹣3x，则当x＞0时，f（x）=﹣x2﹣3x．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=x2﹣3x，∴当﹣x＜0时，f（﹣x）=x2+3x=﹣f（x），∴f（x）=﹣x2﹣3x，故答案为：x2﹣3x，3．已知f（x）是R上偶函数，且在[0，+∞）上递减，比较o−34)与f（1+a+a2）的大小关系为f（1+a+a2）≤f（﹣34）．【解答】解：根据题意，1+a+a2=（14+a+a2）+34=（a+12）2+34≥34，则又由f （x ）在[0，+∞）上递减，则有f （1+a +a 2）≤f （34），又由f （x ）是R 上偶函数，则有f （1+a +a 2）≤f （﹣34），故答案为：f （1+a +a 2）≤f （﹣34）．4．已知f （x ）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在定义域上为增函数，若f （a ﹣2）＜f （4﹣a 2），求a 2）．【解答】解：因为f （x ）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在定义域上为增函数．所以f （a ﹣2）＜f （4﹣a 2）等价于−1＜−2＜1−1＜4−2＜1−2＜4−2，化简可得1＜＜33＜2＜5−3＜＜2解可得3＜a ＜2．故答案为（3，2）．5．设函数f （x ）在R 上是偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，且f （2a 2+a +1）＜f （2a 2﹣2a +3），则a 的取值范围=（23，+∞）．【解答】解：根据题意，2a 2+a +1=2（a 2+12a +116）+78=2（a +12）2+78≥78，而2a 2﹣2a +3=2（a 2﹣a +14）+52=2（a ﹣12）2+52≥52；由f （x ）在R 上是偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，可知f （x ）在（0，+∞）上递减．若f （2a 2+a +1）＜f （2a 2﹣2a +3），则2a 2+a +1＞2a 2﹣2a +3，即3a ﹣2＞0，解可得a ＞23，则a 的取值范围（23，+∞）；故答案为：23，+∞）．6．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2+2x（x≥0），若f（3﹣a2）＞f（2a﹣a2），则实数a的取值范围是a＜32．【解答】解：∵函数f（x）=x2+2x（x≥0）是增函数，且f（0）=0，f（x）是奇函数∴f（x）是R上的增函数．由f（3﹣a2）＞f（2a﹣a2），于是3﹣a2＞2a﹣a2，因此，解得a＜32．故答案为：a＜32．7．若f（x）=ax3+bx+1﹣b是定义在区间[﹣4+a，a]的奇函数，则a+b= 3．【解答】解：∵f（x）=ax3+bx+1﹣b是定义在区间[﹣4+a，a]的奇函数，∴﹣4+a+a=0，f（0）=0．解得a=2，b=1．∴a+b=3．故答案为：3．8．若f（a+b）=f（a）•f（b）且f（1）=2．则o2)o1)+o3)o2)+…+o2012)o2011)=4022．【解答】解：令b=1．∴f（a+1）=f（a）f（1）or1)op=f（1）=2o2)o1)=2.o3)o2)=2． (2012)o2011)=2o2)o1)+o3)o2)+…+o2012)o2011)=2011×2=4022．答案：4022．9．已知函数f（x）满足f（ab）=f（a）+f（b），且f（2）=p，f（3）=q，那么f（72）=3p+2q．【解答】解：由题意可知：f（6）=f（2）+f（3）=p+q∴f（18）=f（6）+f（3）=p+q+q=p+2q∴f（36）=f（18）+f（2）=p+2q+p=2p+2q∴f（72）=f（36）+f（2）=2p+2q+p=3p+2q故答案为：3p+2q．10．已知函数f（x）的定义域D=（0，+∞），且对于任意x1，x2∈D，均有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）﹣1，且当x＞1时，f（x）＞1（1）求f（1）的值；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）若f（16）=3，解不等式f（3x+1）≤2．【解答】解：（1）令x1=x2=1，∴f（1）=f（1）+f（1）﹣1∴f（1）=1，（2）：设令0＜x1＜x2，21＞1，当x＞1时，f（x）＞1∴f（21）＞1，∴f（21•x1）=f（x2）=f（21）+f（x1）﹣1＞f（x1），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）令x1=x2=4，∴f（16）=f（4）+f（4）﹣1=3∴f（4）=2，∴f（3x+1）≤2=f（4），∵f（x）在（0，+∞）上是增函数；∴3+1＞03+1≤4，解得−13＜x≤1，故不等式f（3x+1）≤2的解集为（−13，1]．11．已知f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调递增函数．且满足f（6）=1．f（x）﹣f（y）=f（）（x＞0，y＞0）．则不等式f（x+3）＜f（12的解集是（0，−3+3172）．【解答】解：∵f（x）﹣f（y）=f（）（x＞0，y＞0），令x=36，y=6，得f（36）﹣f（6）=f（6）∴f（36）=2f（6）=2，∵f（x+3）＜f（1）+2，∴f（x+3）﹣f（1）=f（x（x+3））＜2=f（36），∵f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调递增函数，+3＞0＞0o+3)＜36∴0＜x−3+3172故不等式f（x+3）＜f（1）+2的解集是（0，−3+3172），故答案为：（0−3+3172），12．已知函数f（x），对任意实数x1，x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞0时f（x）＞0，f（2）=1．解不等式f（2x2﹣1）＜2的解集为[﹣102，102]．【解答】解：∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），设x1=x2=0，可得f（0）=2f（0），解得f（0）=0，令x1+x2=0，可得f（0）=f（x1）+f（x2），即有f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）为奇函数；令x1＜x2，即有x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）＞0，即为f（x2）=f（x1+x2﹣x1）=f（x1）+f（x2﹣x1）＞f（x1），即有f（x）在R上为增函数；令x1=x2=2，可得f（4）=2f（2），解得f（4）=2，∵不等式f（2x2﹣1）＜2=f（4）∴2x2﹣1＜4，102＜x＜102102，102]．102，102]．二．解答题（共6小题）13．设函数y=f（x）（x∈R）对任意实数均满足f（x+y）=f（x）+f（y），求证f（x）是奇函数．【解答】证明：定义域关于原点对称，令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）得f（0）=0，令y=﹣x得：f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．14．判断并证明下列函数的奇偶性．（Ⅰ）f（x）=|x|+12；（Ⅱ）f（x）=x2+2x；（Ⅲ）f（x）=x+1．【解答】解：（Ⅰ）可得x≠0f（﹣x）=|﹣x|+1(−p2=f（x），故函数为偶函数；（Ⅱ）函数的定义域为R，且f （x ）=x 2+2x 的图象为抛物线，对称轴为x=﹣1，不关于y 轴对称，也不关于原点对称，故函数非奇非偶；（Ⅲ）可得x ≠0，f （﹣x ）=﹣x ﹣1=﹣f （x ），故函数为奇函数．15．判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=3，x ∈R ；（2）f （x ）=5x 4﹣4x 2+7，x ∈[﹣3，3]；（3）f （x ）=|2x ﹣1|﹣|2x +1|；（4）f （x ）=1−2，＞00，=02−1，＜0．【解答】解：（1）由f （﹣x ）=3=f （x ），x ∈R ，可得函数f （x ）为偶函数；（2）f （﹣x ）=5（﹣x ）4﹣4（﹣x ）2+7=5x 4﹣4x 2+7=f （x ），x ∈[﹣3，3]，可得函数f （x ）为偶函数；（3）定义域为R ，f （﹣x ）=|﹣2x ﹣1|﹣|﹣2x +1|=|2x +1|﹣|2x ﹣1|=﹣f （x ），可得f （x ）为奇函数；（4）f （x ）=1−2，＞00，=02−1，＜0，定义域为R ，当x ＞0时，﹣x ＜0，可得f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣1=x 2﹣1=﹣f （x ），当x=0可得f （0）=0；当x ＜0时，﹣x ＞0，可得f （﹣x ）=1﹣（﹣x ）2=1﹣x 2=﹣f （x ），即有f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数．16．判断下列函数的奇偶性（1）f（x）=a（a∈R）（2）f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2（3）f（x）=o1−p，＜0o1+p，＞0．【解答】解：（1）由奇偶性定义当a=0时，f（x）=0既是奇函数又是偶函数，当a≠0时，f（x）=f（﹣x）=a，故是偶函数；（2）f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2=x3+3x，由于f（x）+f（﹣x）=x3+3x+（﹣x）3+3（﹣x）=0，故f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2是奇函数．（3）当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣x（1﹣x）=﹣f（x）；当x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）=﹣x（1+x）=﹣f（x）；由上证知，在定义域上总有f（﹣x）=﹣f（x）；故函数f（x）=o1−p，＜0o1+p，＞0是奇函数．17．已知函数op=B2+23r是奇函数，且o2)=53．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并加以证明．【解答】解：（1）函数op=B2+23r是奇函数，且o2)=53，可得f（﹣x）=﹣f（x），B2+2−3r=﹣B2+23r，可得﹣3x+b=﹣3x﹣b，解得b=0；4r26=53，解得a=2；（2）函数f（x）=22+23在（﹣∞，﹣1]上单调递增；理由：设x1＜x2≤﹣1，则f（x1）﹣f（x2）=23（x1+11）﹣23（x2+12）=23（x1﹣x2）（1﹣112），由x1＜x2≤﹣1，可得x1﹣x2＜0，x1x2＞1，即有1﹣112＞0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），则f（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递增．18．已知f（x）=1+．（1）求f（x）+f（1）的值；（2）求f（1）+f（2）+…+f（7）+f（1）+f（12）+…+f（17）的值．【解答】解：（1）∵f（x）=1+．∴f（x）+f（1）=1++11+1=1++11+=1，（2）由（1）得：f（1）+f（2）+…+f（7）+f（1）+f（12）+…+f（17）=7．。
2011年高考数学重点难点讲解七：奇偶性与单调性(一)(学生版)
难点7 奇偶性与单调性(一)函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.●难点磁场(★★★★)设a >0,f (x )=xx e a a e +是R 上的偶函数，(1)求a 的值；(2)证明： f (x )在(0，+∞)上是增函数.●案例探究［例1］已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xyy x ++1),试证明：(1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减.命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目.［例2］设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f (2a 2+a +1)<f (3a 2－2a +1).求a 的取值范围，并在该范围内求函数y =(21)132+-a a 的单调递减区间.命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.本题属于★★★★★级题目.●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“磁场”及“训练”认真体会，用好数与形的统一.复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数.(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)下列函数中的奇函数是( )A.f (x )=(x －1)x x -+11B.f (x )=2|2|)1lg(22---x xC.f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+)0()0(22x x x x x xD.f (x )=xx xx sin cos 1cos sin 1++-+2.(★★★★★)函数f (x )=111122+++-++x x x x 的图象( )A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线x =1对称二、填空题3.(★★★★)函数f (x )在R 上为增函数，则y =f (|x +1|)的一个单调递减区间是_________.4.(★★★★★)若函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0 (0<x 1<x 2), 且在［x 2,+∞)上单调递增，则b 的取值范围是_________.三、解答题 5.(★★★★)已知函数f (x )=a x +12+-x x (a >1). (1)证明：函数f (x )在(－1，+∞)上为增函数.(2)用反证法证明方程f (x )=0没有负数根.6.(★★★★★)求证函数f (x )=223)1(-x x 在区间(1，+∞)上是减函数.7.(★★★★)设函数f (x )的定义域关于原点对称且满足：(i)f (x 1－x 2)=)()(1)()(1221x f x f x f xf -+⋅；(ii)存在正常数a 使f (a )=1.求证：(1)f (x )是奇函数.(2)f (x )是周期函数，且有一个周期是4a .8.(★★★★★)已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R ,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且 f (－21)=0,当x >－21时，f (x )>0.(1)求证：f (x )是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.。
高考数学课下练兵 函数的奇偶数
第二章第四节函数的奇偶数课下练兵一、选择题1.(2010·长郡模拟)同时满足两个条件：①定义域内是减函数，②定义域内是奇函数的函数是( )A.f(x)＝－x|x|B.f(x)＝x3C.f(x)＝sinxD.f(x)＝ln x x答案：A2.已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是 ( )①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.A.①③B.②③C.①④D.②④解析：由奇函数的定义验证可知②④正确.答案：D3.若函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(2)＝0，则f(x)－f(－x)x<0的解集为( )A.(－2,0)∪(0,2)B.(－∞，－2)∪(0,2)C.(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.(－2,0)∪(2，＋∞)解析：因为函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，f(2)＝0，所以x>2或－2<x<0时，f(x)>0；x<－2或0<x<2时，f(x)<0.f(x)－f(－x)x<0，即f(x)x<0，可知－2<x<0或0<x<2.答案：A4.(2009·江西高考)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2008)＋f (2009)的值为 ( )A.－2B.－1C.1D.2 解析：f (－2008)＋f (2009)＝f (2008)＋f (2009) ＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 2(1＋1)＝1. 答案：C5.(2009·福建高考)定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如右图所示，则在 (－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同．．的是 ( ) A.y ＝x 2＋1 B.y ＝|x |＋1C.321,0,1,0.x x y x x +⎧=⎨+<⎩≥D.,0,,0.x x e y e x -⎧⎪=⎨<⎪⎩≥解析：利用偶函数的对称性知f (x )在(－2,0)上为减函数. 又y ＝x 2＋1在(－2,0)上为减函数；y ＝|x |＋1在(－2,0)上为减函数；321,0,1,0,x x y x x +⎧=⎨+<⎩≥在（-2，0）上为增函数.,0,1,0.x x e y x e⎧⎪=⎨<⎪⎩≥在（-2，0）上为减函数.故选C.答案：C6.(2010·潮州模拟)定义在R 上的函数f (x )是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)等于( )A.－1B.0C.1D.4 解析：据题意f (7)＝f (－1＋8)＝－f (1)， ∴f (1)＋f (7)＝0， 又f (4)＝f (0)＝0， ∴f (1)＋f (4)＋f (7)＝0. 答案： B二、填空题 7.设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x为奇函数，则a ＝ .解析：∵f (x )为奇函数，∴由f (－1)＝－f (1)，得a ＝－1. 答案：－18.已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1).若f (a )＝－2，则实数a ＝ .解析：令x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－x (1－x )， 又f (x )为奇函数，所以当x <0时有f (x )＝x (1－x )， 令f (a )＝a (1－a )＝－2，得a 2－a －2＝0， 解得a ＝－1或a ＝2(舍去). 答案：－19.甲：函数f (x)是奇函数；乙：函数f (x )在定义域上是增函数.对于函数①f (x )＝－1x，②f (x )＝tan x ，③f (x )＝x |x |，④21,0()21,0x x x f x x -⎧-⎪=⎨-+<⎪⎩≥ 能使甲、乙均为真命题的所有函数的序号是 .解析：分别作出其图象，则由图象可知③④正确. 答案：③④ 三、解答题10.已知f (x )＝x (12x －1＋12)(x ≠0).(1)判断f (x )的奇偶性； (2)证明f (x )>0.解：(1)f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，下面只要化简f (－x ). f (－x )＝－x (12－x －1＋12)＝－x (2x1－2x ＋12)＝－x (2x－1＋11－2x ＋12)＝x (12x－1＋12)＝f (x )， 故f (x )是偶函数.(2)证明：当x >0时，2x>1,2x－1>0， 所以f (x )＝x (12x－1＋12)>0. 当x <0时，因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )>0.综上所述，均有f (x )>0.11.已知函数222,0,()0,0,,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )的区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围. 解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知21,21,a a ->-⎧⎨-⎩≤所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3].12.函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f [x (x －12)]<0的解集.解：∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝0. 又∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上是增函数，若1[()]0(1),2f x x f -<=∴即0<x (x －12)<1，解得12<x <1＋174或1－174<x <0.1[()]0(1),2f x x f -<=-∴1()02.1()12x x x x ⎧-<⎪⎪⎨⎪-<-⎪⎩ 1()02.1()12x x x x ⎧->⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩∴x (x －12)<－1，解得x ∈∅.∴原不等式的解集是{x |12<x <1＋174或1－174<x <0}.。
高考数学 专题04 函数的奇偶性黄金解题模板-人教版高三全册数学试题
专题04 函数的奇偶性 【高考地位】函数的奇偶性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明函数的奇偶性，利用函数的奇偶性解决实际问题．【方法点评】一、函数奇偶性的判断使用情景：一般函数类型解题模板：第一步 确定函数的定义域；第二步 判断其定义域是否关于原点对称；第三步 若是，则确定()f x 与()f x -的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数； 第四步 得出结论.例1 判断下列函数的奇偶性：(1)22()99f x x x =-+-；(2)1()(1)1x f x x x -=++；(3)24()33x f x x -=+-. 【点评】确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再验证()()f x f x -=±或其等价形式()()0f x f x -±=是否成立．【变式演练1】下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+∞上单调递增的是（ ）A. 1y x =B. lg y x =C. cos y x =D. 22x y x =+ 【答案】B考点：函数的奇偶性.【变式演练2】函数的图象（ ）A. 关于轴对称B. 关于轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线对称【答案】B 【解析】由为偶函数可得. 函数的图象关于y 轴对称,选B.【变式演练3】设函数()y f x =的定义域为R ，并且满足()()()f x y f x f y -=-，且(2)1f =，当0x >时，()0f x >.（1）求(0)f 的值；（2）判断函数()f x 的奇偶性,并给出证明；（3）如果()(2)2f x f x ++<，求x 的取值X 围．【答案】（1）(0)0f =；（2）函数()y f x =为奇函数；（3）{|1}x x <；【解析】试题分析：（1）利用赋值法，求)0(f 的值，即令y x =，能求出)0(f ；（2）利用函数奇偶性的定义，判断函数)(x f 的奇偶性，即令0=x ,可得到)(y f 与)(y f -的关系；（3）由奇偶性及()()()f x y f x f y -=-，对()(2)2f x f x ++<进行转化，可得到(2)(4)()(4)f x f f x f x +<-=-，然后再利用定理证明)(x f 在R 上的单调性，即可求出x 的取值X 围（3）任取12,x x R ∈，不妨设12x x >，则120x x ->， 1212()()()f x x f x f x -=- 因为当0x >时，()0f x >所以12()0f x x ->，即12()()0f x f x ->，所以12()()f x f x >所以函数()y f x =在定义域R 上单调递增.因为()()()f x y f x f y -=-所以()()()f x f x y f y =-+所以211(2)(2)(2)(42)(4)f f f f f =+=+=--=因为()(2)2f x f x ++<所以()(2)(4)f x f x f ++<所以(2)(4)()(4)f x f f x f x +<-=-因为函数()y f x =在定义域R 上单调递增所以24x x +<-，从而1x <，所以x 的取值X 围为{|1}x x <考点：1.抽象函数及其应用；2.函数的奇偶性与单调性综合应用；二、利用函数的奇偶性求函数的解析式解题模板：第一步 首先设出所求区间的自变量x ； 第二步 运用已知条件将其转化为已知区间满足的x 的取值X 围；第三步 利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式.例2 ．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()=1f x x x +，求出函数()f x 的解析式.【答案】()()1,0{ 1,0x x x x x x +≥-<.考点：求函数的解析式．【点评】（1）已知函数的奇偶性求解析式的题目，一般是求哪个区间，则设未知数在哪个区间，然后化为已知区间求解；（2）本题是求函数()f x 在R 上的解析式，一定不要忘记0=x 时，函数()f x 的值. 例3 若函数()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且其定义域均为{,1}x x R x ∈≠±.若()1()1f x g x x +=-，求()f x ，()g x 的解析式.【答案】2()1x f x x =-，()211g x x =-. 【点评】这里运用了构造法，把符合要求的奇函数与偶函数构造出来，问题也就解决了，构造的关键是运用奇、偶函数的概念，并联系方程组的知识.【变式演练4】已知定义在R 上的函数)(x f y =是偶函数，且0≥x 时，)22ln()(2+-=x x x f . 当0<x 时，求)(x f 解析式；【答案】)22ln()(2++=x x x f .试题解析：0<x 时，0>-x ，∴)22ln()(2++=-x x x f ，∵)(x f y =是偶函数，∴)()(x f x f =-， 0<x 时，)22ln()(2++=x x x f .【变式演练5】已知函数是奇函数． （1）某某数的值；（2）用定义证明函数在上的单调性； （3）若对任意的，不等式恒成立，某某数的取值X 围．【答案】（1）（2）见解析（3）考点：函数的简单性质的综合运用．【高考再现】1.【2017全国二文】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f =【答案】12【解析】(2)(2)[2(8)4]12f f =--=-⨯-+=【考点】函数奇偶性 【名师点睛】(1)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的值或解析式.(2)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.2. 【2016高考某某文数】已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2,xf x x ≥∈R .（ ）A.若()f a b ≤，则a b ≤B.若()2b f a ≤，则a b ≤C.若()f a b ≥，则a b ≥D.若()2b f a ≥，则a b ≥【答案】B 3. 【2016高考某某理数】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x > 时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （ ） （A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2【答案】D考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数. 【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.4.【2016高考某某理数】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 足 1(2)(2)a f f ->-，则a 的取值X 围是______.【答案】13(,)225.【2015高考某某，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．x e x y +=B ．x x y 1+=C ．x x y 212+=D ．21x y += 【答案】A ． 【考点定位】函数的奇偶性判断．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性判断和常见函数性质问题，但既不是奇函数，也不是偶函数的判断可能较不熟悉，容易无从下手，因此可从熟悉的奇偶性函数进行判断排除，依题易知B 、C 、D 是奇偶函数，排除得出答案，属于容易题．6.【2015高考某某，文3】下列函数为奇函数的是( )A ．y x =B ．x y e =C ．cos y x =D ．x x y e e -=- 【答案】D 【解析】函数y x =和x y e =是非奇非偶函数；cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ． 【考点定位】函数的奇偶性．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，除了要掌握奇偶性定义外，还要深刻理解其定义域特征即定义域关于原点对称，否则即使满足定义，但是不具有奇偶性，属于基础题． 7.【2015高考某某，文4】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）（A ）y =lnx （B ）21y x =+ （C ）y =sinx （D ）y =cosx【答案】D 8.【2015高考某某，文7】 已知定义在R 上的函数||()21()x m f x m 为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f 2b(log 5),c (2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（ ） (A) b c a (B) b c a (C) b a c (D) b c a【答案】B【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-= ,所以b c a ,故选B.【考点定位】本题主要考查函数奇偶性及对数运算.【名师点睛】函数是高考中的重点与热点,客观题中也会出现较难的题,解决此类问题要充分利用相关结论.函数()0,1x m y a b a a -=+>≠的图像关于直线x m = 对称,本题中求m 的值,用到了这一结论,本题中用到的另一个结论是对数恒等式:()log 0,1,0a N a N a a N =>≠>.9.【2015新课标2文12】设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值X 围是（ ）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 10. 【2015高考某某，文3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+B ．2cos y x x =-C ．122x x y =+D ．sin 2y x x =+ 【答案】A【解析】函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()11sin1f -=-，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2cos f x x x =-的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=，所以函数()2cos f x x x =-是偶函数；函数()122x x f x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()112222x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数()122x x f x =+是偶函数；函数()sin 2f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以函数()sin 2f x x x =+是奇函数．故选A ．【考点定位】函数的奇偶性．【名师点晴】本题主要考查的是函数的奇偶性，属于容易题．解题时一定要判断函数的定义域是否关于原点对称，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是函数的奇偶性，即奇函数：定义域关于原点对称，且()()f x f x -=-；偶函数：定义域关于原点对称，且()()f x f x -=．11.【2015高考某某，文8】若函数21()2x x f x a+=-是奇函数，则使3f x >（）成立的x 的取值X 围为( ) （A ）() (B)() （C ）0,1（） （D ）1,+∞（）【答案】C 12.【2015高考，文3】下列函数中为偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =B ．2cos y x x =C ．ln y x =D ．2xy -=【答案】B 【考点定位】函数的奇偶性.【名师点晴】本题主要考查的是函数的奇偶性，属于容易题．解题时一定要判断函数的定义域是否关于原点对称，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是函数的奇偶性，即奇函数：定义域关于原点对称，且()()f x f x -=-；偶函数：定义域关于原点对称，且()()f x f x -=．13.【2014全国2，文15】偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________．【答案】3【解析】因为)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，故(3)(1)3f f ==，又因为)(x f y =是偶函数，故(1)(1)3f f -==．【考点定位】函数的奇偶性及对称性.【名师点睛】本题考查了函数的奇偶性，函数图象的对称性，属于中档题目，根据函数图象的对称性及奇偶性，找到未知与已知之间的关系，从而由已知即可求得未知.14. 【2015高考新课标1，理13】若函数f (x )=2ln()x x a x ++为偶函数，则a =【答案】115.【2014某某,理20】（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分.设常数0≥a ，函数aa x f x x -+=22)( （1）若a =4，求函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）121()2log 1x f x x -+⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，(,1)(1,)x ∈-∞-+∞；（2）1a =时()y f x =为奇函数，当0a =时()y f x =为偶函数，当0a ≠且1a ≠时()y f x =为非奇非偶函数．【解析】试题分析：（1）求反函数，就是把函数式2424x x y +=-作为关于x 的方程，解出x ，得1()x f y -=，再把此式中的,x y 互换，即得反函数的解析式，还要注意的是一般要求出原函数的值域，即为反函数的定义域；（2）讨论函数的奇偶性，我们可以根据奇偶性的定义求解，在0a =，1a =这两种情况下，由奇偶性的定义可知函数()f x 具有奇偶性，在01a a ≠≠且时，函数的定义域是2log x a ≠，不关于原点对称，因此函数既不是奇函数也不是偶函数．【反馈练习】1. 【2018届某某省某某市高三上学期第三次调研考试数学（理）试题】下列函数中，在[]1,1-上与函数2cos 2x y =的单调性和奇偶性都相同的是（ ） A. 22x x y -=- B. 1y x =+ C. ()22y x x =+ D. 22y x =-+【答案】D【解析】函数2cos 2x y =在[]1,0-上递增，在[]0,1上递减，且函数2cos 2x y =为偶函数，而22y x =-+也在[]1,0-上递增，在[]0,1上递减，且函数22y x =-+为偶函数，即22y x =-+与函数2cos 2x y =的单调性和奇偶性都相同，故选D.考点：函数的奇偶性．2. 【2017届某某省高三上学期教育质量诊断性联合考试数学（文）试卷】已知定义在R 上的奇函数()f x 在[)0,+∞上递减，若()()321f x x a f x -+<+对[]1,2x ∈-恒成立，则a 的取值X 围为（ ）A. ()3,-+∞B. (),3-∞-C. ()3,+∞D. (),3-∞【答案】C 3. 【2018届高某某省某某中学三9月大联考数学（理）试题】已知函数()f x 为R 内的奇函数，且当0x ≥时，()1cos xf x e m x =-+-，记()22a f =--，()1b f =--，()33c f =，则a ，b ，c 间的大小关系是（ ）A. b a c <<B. a c b <<C. c b a <<D. c a b <<【答案】D【解析】函数()f x 是奇函数，则()001cos00,0f e m m =-+-=∴=， 即当0x ≥时，()1xf x e =-+， 构造函数()()g x xf x =，满足()()g x g x -=，则函数()g x 是偶函数，则()()'11x g x ex =-+， 当0x ≥时，1,11x e x ≥+≥，据此可得：()'0g x ≤，即偶函数()g x 在区间[)0,+∞上单调递减，且：()()()()()22,11,3a g g b g g c g =-==-==，结合函数的单调性可得：()()()123g g g >>，即：c a b <<.本题选择D 选项.点睛：对于比较大小、求值或X 围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．4.【2018届某某省山大附中等晋豫名校高三年级第四次调研诊断考试数学理试题】若对,R x y ∀∈，有()()()3f x y f x f y +=+-，则函数()()221x g x f x x =++在[]2017,2017-上的最大值与最小值的和为（ ）A. 4B. 6C. 9D. 12【答案】B 【解析】对,R x y ∀∈，有()()()3f x y f x f y +=+-，令0x y ==，有()()()()0003,03f f f f =+-=，令y x =-，有()()()03f f x f x =+--，则()()6f x f x +-=，令()()3h x f x =-，则()()0h x h x +-=，则()h x 为奇函数，又设函数()221x x x ϕ=+，()x ϕ为奇函数，则()()()3g x x h x ϕ=++，而()()x h x ϕ+为奇函数，由于奇函数在关于原点对称的单调区间内的最大值与最小值互为相反数，则()g x 的最大值与最小值之和为6.选B.5.【某某省45校2018届高三第一次联考理数试卷】若函数是偶函数，则__________． 【答案】12-6．【2018届某某省某某市第一中学毕业年级第二模拟考试理科数学试题】 函数()y f x =与()y g x =有相同的定义域，且都不是常值函数，对于定义域内的任何x ，有()()0f x f x +-=， ()()1g x g x -=，且当0x ≠时，()1g x ≠，则()()()()21f x F x f x g x =+-的奇偶性为__________．【答案】偶函数【解析】由条件，得()()()()()()()22111f x f x F x f x f x g x g x ---=+-=----()()()()()()()()()()2211f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x -⋅-⋅-+⋅=-=-- ()()()()()()()()()()()()2=111f x g x f x f x g x f x f x f x F x g x g x g x -⋅-⋅+==+=---，故()()()()21f x F x f x g x =+-为偶函数，故答案为偶函数.7. 已知)(x f 为奇函数，当0>x 时，56)(2+-=x x x f ，则当0<x 时，=)(x f ____.【答案】562---x x 考点：1、函数的奇偶性；2、分段函数的解析式.8.下列说法中：①若2()(2)2f x ax a b x =+++（其中[21,4]x a a ∈-+）是偶函数，则实数2b =； ②22()20082008f x x x -- ③已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若当[0,)x ∈+∞时，()(1)f x x x =+,则当x R ∈时，()(1)f x x x =+； ④已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意的,x y R ∈都满足()()()f x y x f y y f x ⋅=⋅+⋅，则()f x 是奇函数；其中正确说法的序号是（注：把你认为是正确的序号都填上）．【答案】①②③④【解析】试题分析：①若()()222f x ax a b x =+++是定义在[21,4]a a -+上的偶函数，则214020a a a b -++=⎧⎨+=⎩，所以12a b =-⎧⎨=⎩，①正确；②()f x ={}2008,2008-，则函数转化(){}0,2008,2008f x x =∈-，所以()f x 既是奇函数与又是偶函数；②正确；③当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，则()()1f x x x -=--，根据奇函数()()f x f x -=-，所以()()()1,,0f x x x x =-∈-∞，所以当x R ∈时，()()1f x x x =+，③正确；④令1x y ==，得到：()10f =，令1x y ==-，得到：()()121f f =--，所以()10f -=，令1y =-，则有()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数，④正确。
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第二章第四节函数的奇偶数
课下练兵
一、选择题
1.(2010·长郡模拟)同时满足两个条件：①定义域内是减函数，②定义域内是奇函数的函
数是( )
A.f(x)＝－x|x|
B.f(x)＝x3
C.f(x)＝sinx
D.f(x)＝ln x x
答案：A
2.已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是 ( )
①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
解析：由奇函数的定义验证可知②④正确.
答案：D
3.若函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(2)＝0，则f(x)－f(－x)
x
<0的解
集为
( )
A.(－2,0)∪(0,2)
B.(－∞，－2)∪(0,2)
C.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D.(－2,0)∪(2，＋∞)
解析：因为函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，f(2)＝0，所以x>2或－2<x<0
时，f(x)>0；x<－2或0<x<2时，f(x)<0.f(x)－f(－x)
x
<0，即
f(x)
x
<0，可知－2<x<0或
0<x<2.
答案：A
4.(2009·江西高考)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)
＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2008)＋f (2009)的值为 ( )
A.－2
B.－1
C.1
D.2 解析：f (－2008)＋f (2009)＝f (2008)＋f (2009) ＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 2(1＋1)＝1. 答案：C
5.(2009·福建高考)定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如右图所示，则在 (－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同．．的是 ( ) A.y ＝x 2
＋1 B.y ＝|x |＋1
C.321,0,1,0.
x x y x x +⎧=⎨+<⎩≥
D.,0,,0.
x x e y e x -⎧⎪=⎨<⎪⎩≥
解析：利用偶函数的对称性知f (x )在(－2,0)上为减函数. 又y ＝x 2
＋1在(－2,0)上为减函数；
y ＝|x |＋1在(－2,0)上为减函数；
3
21,0,
1,0,
x x y x x +⎧=⎨+<⎩≥在（-2，0）上为增函数. ,0,1,0.x x e y x e
⎧⎪=⎨<⎪⎩≥在（-2，0）上为减函数.故选C.
答案：C
6.(2010·潮州模拟)定义在R 上的函数f (x )是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)等于
( )
A.－1
B.0
C.1
D.4 解析：据题意f (7)＝f (－1＋8)＝－f (1)， ∴f (1)＋f (7)＝0， 又f (4)＝f (0)＝0， ∴f (1)＋f (4)＋f (7)＝0. 答案：B
二、填空题 7.设函数f (x )＝
(x ＋1)(x ＋a )
x
为奇函数，则a ＝ .
解析：∵f (x )为奇函数，
∴由f (－1)＝－f (1)，得a ＝－1. 答案：－1
8.已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1).若f (a )＝－2，则实数a ＝ .
解析：令x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－x (1－x )， 又f (x )为奇函数，所以当x <0时有f (x )＝x (1－x )， 令f (a )＝a (1－a )＝－2，得a 2
－a －2＝0， 解得a ＝－1或a ＝2(舍去). 答案：－1
9.甲：函数f (x)是奇函数；乙：函数f (x )在定义域上是增函数.对于函数①f (x )＝－1
x
，②
f (x )＝tan x ，③f (x )＝x |x |，④21,0
()21,0
x x x f x x -⎧-⎪=⎨-+<⎪⎩≥ 能使甲、乙均为真命题的所
有函数的序号是 .
解析：分别作出其图象，则由图象可知③④正确. 答案：③④ 三、解答题
10.已知f (x )＝x (12x －1＋1
2
)(x ≠0).
(1)判断f (x )的奇偶性； (2)证明f (x )>0.
解：(1)f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，下面只要化简f (－x ). f (－x )＝－x (12－x －1＋12)＝－x (2x
1－2x ＋1
2)
＝－x (2x
－1＋11－2x ＋1
2)
＝x (
12x
－1＋1
2
)＝f (x )， 故f (x )是偶函数.
(2)证明：当x >0时，2x
>1,2x
－1>0， 所以f (x )＝x (
12x
－1＋12
)>0. 当x <0时，因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )>0.
综上所述，均有f (x )>0.
11.已知函数22
2,0,()0,
0,,0
x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪
==⎨⎪+<⎩是奇函数. (1)求实数m 的值；
(2)若函数f (x )的区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围. 解：(1)设x <0，则－x >0，
所以f (－x )＝－(－x )2
＋2(－x )＝－x 2
－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2
＋2x ＝x 2
＋mx ， 所以m ＝2.
(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，
结合f (x )的图象知21,
21,a a ->-⎧⎨-⎩
≤
所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3].
12.函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式
f [x (x －1
2
)]<0的解集.
解：∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝0. 又∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上是增函数，
若1[()]0(1),2f x x f -<=∴
即0<x (x －1
2
)<1，
解得12<x <1＋174或1－174
<x <0.
1[()]0(1),2f x x f -<=-∴1()02
.1()1
2
x x x x ⎧
-<⎪⎪⎨
⎪-<-⎪⎩ 1()02.1()1
2
x x x x ⎧->⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩
∴x (x －1
2)<－1，解得x ∈∅.
∴原不等式的解集是
{x |12<x <1＋174或1－174
<x <0}.。