2011高考数学课下练兵 函数的奇偶数

第二章第四节函数的奇偶数

课下练兵

一、选择题

1.(2010·长郡模拟)同时满足两个条件：①定义域内是减函数，②定义域内是奇函数的函

数是( )

A.f(x)＝－x|x|

B.f(x)＝x3

C.f(x)＝sinx

D.f(x)＝ln x x

答案：A

2.已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是 ( )

①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.

A.①③

B.②③

C.①④

D.②④

解析：由奇函数的定义验证可知②④正确.

答案：D

3.若函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(2)＝0，则f(x)－f(－x)

x

<0的解

集为

( )

A.(－2,0)∪(0,2)

B.(－∞，－2)∪(0,2)

C.(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D.(－2,0)∪(2，＋∞)

解析：因为函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，f(2)＝0，所以x>2或－2

时，f(x)>0；x<－2或0

x

<0，即

f(x)

x

<0，可知－2

0

答案：A

4.(2009·江西高考)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)

＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2008)＋f (2009)的值为 ( )

A.－2

B.－1

C.1

D.2 解析：f (－2008)＋f (2009)＝f (2008)＋f (2009) ＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 2(1＋1)＝1. 答案：C

5.(2009·福建高考)定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如右图所示，则在 (－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同．．的是 ( ) A.y ＝x 2

＋1 B.y ＝|x |＋1

C.321,0,1,0.

x x y x x +⎧=⎨+<⎩≥

D.,0,,0.

x x e y e x -⎧⎪=⎨<⎪⎩≥

解析：利用偶函数的对称性知f (x )在(－2,0)上为减函数. 又y ＝x 2

＋1在(－2,0)上为减函数；

y ＝|x |＋1在(－2,0)上为减函数；

3

21,0,

1,0,

x x y x x +⎧=⎨+<⎩≥在（-2，0）上为增函数. ,0,1,0.x x e y x e

⎧⎪=⎨<⎪⎩≥在（-2，0）上为减函数.故选C.

答案：C

6.(2010·潮州模拟)定义在R 上的函数f (x )是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)等于

( )

A.－1

B.0

C.1

D.4 解析：据题意f (7)＝f (－1＋8)＝－f (1)， ∴f (1)＋f (7)＝0， 又f (4)＝f (0)＝0， ∴f (1)＋f (4)＋f (7)＝0. 答案：B

二、填空题 7.设函数f (x )＝

(x ＋1)(x ＋a )

x

为奇函数，则a ＝ .

解析：∵f (x )为奇函数，

∴由f (－1)＝－f (1)，得a ＝－1. 答案：－1

8.已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1).若f (a )＝－2，则实数a ＝ .

解析：令x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－x (1－x )， 又f (x )为奇函数，所以当x <0时有f (x )＝x (1－x )， 令f (a )＝a (1－a )＝－2，得a 2

－a －2＝0， 解得a ＝－1或a ＝2(舍去). 答案：－1

9.甲：函数f (x)是奇函数；乙：函数f (x )在定义域上是增函数.对于函数①f (x )＝－1

x

，②

f (x )＝tan x ，③f (x )＝x |x |，④21,0

()21,0

x x x f x x -⎧-⎪=⎨-+<⎪⎩≥ 能使甲、乙均为真命题的所

有函数的序号是 .

解析：分别作出其图象，则由图象可知③④正确. 答案：③④ 三、解答题

10.已知f (x )＝x (12x －1＋1

2

)(x ≠0).

(1)判断f (x )的奇偶性； (2)证明f (x )>0.

解：(1)f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，下面只要化简f (－x ). f (－x )＝－x (12－x －1＋12)＝－x (2x

1－2x ＋1

2)

＝－x (2x

－1＋11－2x ＋1

2)

＝x (

12x

－1＋1

2

)＝f (x )， 故f (x )是偶函数.

(2)证明：当x >0时，2x

>1,2x

－1>0， 所以f (x )＝x (

12x

－1＋12

)>0. 当x <0时，因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )>0.