第1章行列式自测题(答案)

内容提要：

一、行列式的定义

1、2阶和3阶行列式

2112221122

21

1211a a a a a a a a D -==

31231232211333221133

32

31

23222113

1211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++= 322311332112312213a a a a a a a a a ---

2、排列与逆序

定义 由n ,,3,2,1 组成的一个有序数组称为一个n 阶排列． 3、n 阶行列式定义

定义 称∑

-==

n

n n p p p np p p p p p nn

n n n

n a a a a a a a a a a a a D

21212121)

(2

1

22221

11211

)1(τ )det(ij a =

为n 阶行列式，记作D 或n D ．也记作)det(ij a ．

4、三角形行列式：主对角线元素的乘积。

二、行列式的性质 性质1 D D ='．

性质2 互换行列式的某两行（或列），行列式仅变符号． 推论 若行列式中某两行（或列）相同，则行列式为零．

性质3 行列式某行（列）的各元素乘以k ，等于用数k 乘以行列式．

推论 行列式的某行（或列）各元素的公因子可以提到行列式符号外面相乘． 推论 若行列式的某两行（或列）的对应成元素成比例，则行列式为零．

性质4 nn

n n in i i n

nn

n n in i i n nn

n n in in i i i i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a

21

21

1121121

21112112

1

2211112

11βββαααβαβαβα+=+++

性质5 将行列式的某行（或列）各元素乘以数k 加到另一行（或列）的对应元素上,行列式的值不变．

三、行列式的展开定理

定义 在n D 中划掉ij a 所在的行和列（即第i 行和第j 列），余下的元素按原来的相对位置构成一个（1-n ）阶行列式，称为ij a 的余子式，记作ij M ．

ij j i ij M A +-=)1( ——ij a 的代数余子式

定理1 in in i i i i A a A a A a D +++= 2211 （n i ,,2,1 =） →按第i 行展开 或 ni ni i i i i A a A a A a D +++= 2211 （n i ,,2,1 =） →按第i 列展开 推论 02211=+++jn in j i j i A a A a A a （j i ≠） 或 02211=+++nj ni j i j i A a A a A a （j i ≠） 四、Cramer 规则

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=+++=+++=+++n

n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112

222212********* （1） 定理 当0≠D 时，方程组（1）有唯一解

D D x 11=

，D D

x 22=，……，D

D x n n =．

推论 齐次线性方程组

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=+++=+++=+++0

00221122221211212111n nn n n n

n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (01=x ,02=x ,……，0=n x 显然是方程组的解，称为零解)

1）0≠D ⇒仅有零解． 2）有非零解⇒0=D ．

《线性代数》单元自测题答案

第一章 行列式

一、填空题：

1．设j i a a a a a 54435231是五阶行列式中带有负号的项，则i =________；j =_________。 分析 2,1==j i 或者1,2==j i 。

当2,1==j i 时，5244352311524435231145244352311)13542()1()1(a a a a a a a a a a a a a a a =-=-τ 。 当1,2==j i 时，5144352312514435231255144352312)23541()1()1(a a a a a a a a a a a a a a a -=-=-τ。 2． 在四阶行列式中，带正号且包含因子23a 和31a 的项为_____ __。 分析 同时包含23a 和31a 的项有

4431231244312312244312312)2314()1()1(a a a a a a a a a a a a =-=-τ。

和 4231231442312314542312314)4312()1()1(a a a a a a a a a a a a -=-=-τ。 作业：第6页，习题1.1，

2．写出四阶行列式

44

43

42

41

343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 中同时包含12a 和31a 的项。

解 4431231244312312244312312)2314()1()1(a a a a a a a a a a a a =-=-τ和

4331241243312412343312412)2413()1()1(a a a a a a a a a a a a -=-=-τ。

3． 在五阶行列式中，项2543543112a a a a a 的符号应取_______ ___。 分析 54433125122543543112a a a a a a a a a a =，所以，1)1()

1(4)

25134(=-=-τ。