第1章行列式自测题(答案)

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第一章行列式作业及答案

第一部分行列式作业（一）选择题(15分)１．在5阶行列式展开式中，12335544i j a a a a a 是其中带有正号的一项，则,i j 之值为（）(A) 1,2i j == (B) 2,3i j == (C) 1,3i j == (D) 2,1i j ==２．在5阶行列式展开式中，包含1325,a a 并带有负号的项是（）(A) 1325344251a a a a a - (B) 1325314254a a a a a - (C) 1325324154a a a a a - (D) 1325314452a a a a a -３．已知行列式111213212223313233a a a a a a m a a a =，则行列式212213311132123313112112221323222222a a a a a a aa a a a a aa a ---=+++（）(A)－４m (B)－２m (C)２m (D)４m４．已知4101111111111111x D ---=----，则4D 中x 的系数是（）(A)4 (B)-4 (C)-1 (D)1５．设方程组123123123112x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩ ，若方程组有惟一解，则λ的值应为（）(A)0 (B)1 (C)-1 (D)异于0与1±的数（二）填空题(15分)１．排列(1)(2)321n n n -⋅-⋅⋅⋅ 的逆序数为。

２．排列12n a a a 与排列121n n a a a a - 的逆序数之和等于。

３．行列式D 中第2行元素的代数余子式之和21222324A A A A +++= ，其中1111111111111111D -=--。

４．若行列式11121321222331323312a a a a a a a a a =，则行列式111311122123212231333132222222a a a a a a a a a a a a --=- 。

《线性代数》第一章单元自测题答案

第一章行《线性代数》单元自测题列式专业班级姓名学号一、填空题：1．设12335445i j a a a a a 是五阶行列式中带有负号的项，则i =____2____；j =_____1____。

2．在四阶行列式中，带正号且包含因子23a 和31a 的项为_____44312312a a a a __。

3．在五阶行列式中，项2543543112a a a a a 的符号应取_______+ ___。

4．在函数xx x x x x f 21123232101)(=中，3x 的系数是 1- ____。

5．行列式=600300301395200199204100103____2000______。

一、计算下列各题：1．设4321630211118751=D ，求44434241A A A A +++的值解：根据行列式展开定理的推论，有44434241A A A A +++4424432342224121A a A a A a A a ⋅+⋅+⋅+⋅==02．计算ab b a b a ba 00000000000 解：由行列式展开定理有abb a b a b a 000000000000 1110)1(-+⋅-⨯=n a b a b a a 11000)1(-+⋅-⨯+n n b a b a b bn n n b a 1)1(+-+=3．计算n 222232222222221解：n222232222222221）加到各列上第二列乘（1-nn n ⨯--202001200200021)1(-=)1(2022020120002-⨯-n n n)!2(2-⋅-=n4．计算ab b b b a b b bb a b bb b a解：ab b b b a b b b b a b b b b a各行加到第一行上abbbb a b b b b a b bn a b n a b n a b n a)1()1()1()1(-+-+-+-+ab b b b a b b bb a b b n a 1111])1([⋅-+=一列从第二列开始各列减第ba b b a b b a b b n a ---⋅-+00000001])1([1)(])1([--⋅-+=n b a b n a5．设51234555533325422221146523D =，求3132333435,A A A A A +++。

线性代数第1章行列式试卷及答案

第一章行列式一、单项选择题1.行列式D 非零的充分条件是( D )(A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式1221--k k ≠0的充分必要条件是（ C ）A ．k ≠-1B ．k ≠3C ．k ≠-1且k ≠3D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ B ）+n （m+n ）4.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x 则行列式（ A ） A.32D.38 5．下列行列式等于零的是(D )A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 261422613-6．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ）A ．-2B ．-1C ．1D ．28．如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ）9．（考研题）行列式0000000a b abc d c d=（ B ） A.()2ad bc -B.()2ad bc --C.2222a d b c -D.2222b c a d -二、填空题1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。

2. 行列式1112344916中（3，2）元素的代数余子式A 32=___-2___.3. 设7343690211118751----=D ，则5A 14+A24+A 44=_______。

解答：5A 14+A 24+A 44=1501343090211115751-=---4．已知行列式011103212=-a ，则数a =____3______.5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100a b b a 0。

工程数学第1章行列式习题答案

因此该行列式的值为0.
6. 利用行列式的定义计算（4）
x 0 0 0 y
y x 0 0 0
0 y x 0 0
0 0 y x 0
0 0 0 y x ( 1) ( j1 j5 ) a1 j1 a 2 j2 a 3 j3 a4 j4 a5 j5
j1 j5
其中非0项为：
( 1) (12345 ) a11a22 a33 a44 a55 ( 1) ( 23451 ) a12 a23 a34 a45 a51 x y
( c1 c 2 c 3 ) 2
abc
ca
ab

2 a' b' c' c' a' a' b' a' ' b' ' c' ' c' ' a' ' a' ' b' '
abc b c abc b c 2 a' b' c' b' c' 2 a' b' c' b' c' 右边 a' ' b' ' c' ' b' ' c' ' a' ' b' ' c' ' b' ' c' '

n 2n 2n n! n
（3） x1 a12 a13 a1n 1
x1 x1 x2 x2 a23 a2 n 1 x3 a3 n 1 xn 1 xn 1 x3 x3

(完整版)行列式习题1附答案.doc

⋯⋯_ ⋯_ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯：⋯号⋯学⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ 线_ 订_ _ 装_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ ⋯：⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯：⋯⋯⋯班⋯⋯⋯《线性代数》第一章练习题⋯⋯一、填空⋯⋯⋯1、(631254) _____________ 8⋯⋯⋯2、要使排列（3729m14n5）偶排列， m =___8____, n =____6_____⋯⋯x 1 13 , x 2 的系数分是⋯3、关于x的多式x x x中含 x -2,4⋯1 2 2x⋯⋯4、 A 3方， A 2， 3A* ____________ 108⋯⋯⋯5、四行列式det( a ij)的次角元素之（即a14a23a32a41）一的符号+⋯⋯1 2 1线1234 2346、求行列式的 (1) =__1000 ；（2）2 4 2 =_0___；封2469 469密10 14 13⋯⋯1 2000 2001 2002⋯0 1 0 2003⋯⋯(3)0 1=___2005____;⋯0 20040 0 0 2005⋯⋯1 2 3⋯中元素 0 的代数余子式的___2____⋯(4) 行列式2 1 0⋯3 4 2⋯⋯1 1 1 1⋯1 5 25⋯ 4 2 3 57、 1 7 49 = 6 ；= 1680⋯16 4 9 25⋯1 8 64⋯64 8 27 125⋯⋯矩方，且，，， A 1 1 。

⋯A 4⋯8、|A|=5 | A*| =__125 | 2A| =__80___ | |=50 1 10 1 2 22 2 2 09、 1 0 1 = 2 。

；3 0121 1 01 01 0 0 0bx ay010、若方程cx az b 有唯一解，abc≠0 cy bz a11、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的元素上，行列式12、行列式a11a12a13a14a21a22a23a24 的共有4! 24, 在a11a23 a14a42, a34a12a31a32a33a34a41a42a43a44a34a12a43 a21 是行列式的，符号是 + 。

第一章行列式自测题

第一章行列式自测题一选择题241.设D=792513802-，则代数余子式12A 的值为 ( ) (A) 0 (B) -11 (C)-31 (D) 312.下列行列式等于零的是( )(A)100123123- (B) 031010300- (C) 100003010-(D) 261422613- 3.行列式D 互换两行或两例，行列式D 的值( ) (A) 不变 (B) 改变符号 (C) 不确定4. 已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，-3，-7，4，则D= ( ) （A ） -15 （B ）-3 （C ） 0 （D ） 15.已知四阶行列式D 的值为2，将D 的第三行元素乘以―1加到第四行的对应元素上去，则现行列式的值（）（A ）2 （B ）0 （C ） ―1 （D ） ―2 6.设11121313111211212223232122213132333331323122332,22332233a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a -==--=-则（）（A)0 （B) ―18 （C ）36 （D ）―367.在函数()xx x xxx f 2142112---=中x 的系数是( ) (A) -2 (B) 4 (C) 7 (D) 88. 若D n =det(a ij )=1，则det(－a ij ) = ( ) (A) 1 (B) -1 (C) ()1-n(D)()()121--n n9. 排列53716482的逆序数（）（A ）8 （B ）10 （C ）12 （D ）1410.行列式2000102000002000002010002=( ) （A)0 (B) 32 (C) 24 (D) 211．行列式000102003004000=( ) （A)0 (B) 24 (C) - 24 (D) 10 12．若111221225a a a a =，131123213a a a a =，则111213212223a a a a a a +=+( ) （A)8 (B) 5 (C) 3 (D) 2二填空301.在五阶行列式中，1153422435a a a a a 的符号是_________2. 8001072003604005=___________ 3.46924692341234=4. 131410242121=____ 5.243012321---1212c c r r ↔+= ____6. 若111221223a a a a =，则1222112122a a a a =_________ 7. (5317462)t =______8. 行列式243012321---中元素0的代数余子式的值为_______9.2121r r c c 312231014↔----=-10. 齐次线性方程组有唯一解的条件齐次线性方程组没有非零解的条件三计算行列式 401.315124227--- 2.312231014----3.设,410132213----=D则31211122A A A --的值。

行列式习题答案

线性代数练习题第一章行列式系专业班学号第一节 n 阶行列式一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5）（B ）（13-，5）（C ）（13，5-）（D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正；（B ）3,2==l k ，符号为负；（C ）2,3==l k ，符号为正；（D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ BD ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,24．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为负。

现代分章测试及答案

【第一章行列式】1．排列315426的逆序数为（）。

(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 72．四阶行列式|a ij|中含a13a24的项是（）(A) a13a24a31a42及－a13a24a32a41 (B) －a13a24a31a42及a13a24a32a41 (C) －a13a24a31a42及－a13a24a32a41(D) a13a24a31a42及a13a24a32a413．行列式，则x=（）A) 0 B) 8 C) －8 D) 16 4．行列式=（）A) 0 B) 4 C) 24 D)-24 5．行列式=（）。

(A) a4－b2 (B) (a2－b2)2 (C) b4－a4 (D) a4b4二、填空题1如果行列式D的各行元素之和为0，则D= ___2如果行列式D的某两行成比例，则D= ___ 3．行列式D交换某两行后，则行列式要__4.n个变量n个方程的线性方程组有唯一解的充分必要条件是系数行列式__5.设行列式D=|a ij|，A ij为元素a ij的代数余子式，则= ____三、计算题1．计算行列式。

2 ．解方程3.用克拉默法则解方程组一1(C) 2(A) 3(B) 4(D) 5(B)二、1 0 2 0 3 变号 4 |A|≠05三、1.解：2．=(x-1)[(x-2)(x-3)-4]-4(x-3)=x3-5x2+3x+10=(x-2)(x-5)(x+1)=0，所以方程的解为：x=2,或x=5,或x=-1 。

3．解：系数行列式所以方程组的解为【第二章矩阵】1．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，C是m×m矩阵，则以下运算可以进行的是（）。

(A) A+BC (B) AB+C (C) AC+B (D) BA+C2．设A是m×n矩阵，B是s×t矩阵，AB, A T B T可以运算，则（）。

A) m=n,s=t (B) m=s, n=t (C) m=t, n=s (D) m=n=s=t3．设，则A+B=（）。

第一章行列式(学生题目简单答案版)

第二部分线性代数第一章行列式题型1.1 行列式的计算（88年，数学一）设4阶矩阵234234(,,,)(,,,)A B αγγγβγγγ==,,其中，234,,,,αβγγγ均为4维列向量，且已知行列式41A B ==,,则行列式A B += ．【答案】40.（88年，数学三/数学四）1110110110110111= ．【答案】3-．（89年，数学五）行列式1111111111111111x x x x ---+-=--+-- ．【答案】4x ．（90年，数学五）设A 为1010⨯矩阵 10010000010000001100000A ⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭，计算行列式A E λ-，其中E 为10阶单位矩阵，λ为常数．【解析】101010A E λλ-=-．（91年，数学五）n 阶行列式0000000000000000a b a b a a b b a=．【答案】1(1)n n n a b ++-．（96年，数学一）四阶行列式112233440000000a b a b b a b a 的值等于()．（A ）12341234a a a a b b b b -．（B ）12341234a a a a b b b b +．（C ）12123434()()a a b b a a b b --．（D ）23231414()()a a b b a a b b --．【答案】（D ）．（96年，数学五）5阶行列式1000110001100011011a aaa D a a a a a---==------ ．【答案】23451a a a a a -+-+-．（97年，数学四）设n 阶矩阵0111110111110111110111110A ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭，则A = ．【答案】1(1)(1)n n ---．（99年，数学二）记行列式212322212223333245354435743x x x x x x x x x x x x x x x x ---------------为()f x ，则方程()0f x =的根的个数为()．（A ）1．（B ）2．（C ）3．（D ）4．【答案】（B ）．（00年，数学四）设(1,0,1)T α=-，矩阵T A n αα=,为正整数，则n aE A -= ．【答案】2(2)n a a -．（01年，数学四）设行列式3040222207005322D =--，则第四行各元素余子式之和的值为．【答案】28-．（14年，数学一/数学二/数学三）行列式00000000a b abc d c d=()．（A ）2()ad bc -．（B ）2()ad bc --．（C ）2222a d b c -．（D ）2222b c a d -．【答案】（B ）．（15年，数学一）n 阶行列式200212020022012-=-．【答案】122n +-．（16年，数学一/数学三）行列式10001=0014321λλλλ---+ . 【答案】43223 4.λλλλ++++题型1.2 行列式的计算（二）矩阵的性质（87年，数学一）设A 为n 阶方阵，且A 的行列式0A a =≠，而*A 是A 的伴随矩阵，则*A =()．（A ）a ．（B ）1a．（C ）1n a -．（D ）na ．【答案】（C ）．（87年，数学四）设A 为n 阶方阵，k 为常数，则kA k A =．()【答案】（×）．（88年，数学四）设A 是三阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，A 的行列式12A =．求行列式1*(3)2A A --的值．【解析】31*12(3)23A A A --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1627=-．（90年，数学五）设A 为n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则*A =()．（A ）1n A-．（B ）A ．（C ）n A ．（D ）1A-．【答案】（A ）．（92年，数学四）设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且00A A a B b C B ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,，则C = ．【答案】(1)mn ab -．（92年，数学五）已知实矩阵33()ij A a ⨯=满足条件：（Ⅰ）(,1,2,3)ij ij a A i j ==，其中ij A 是ij a 的代数余子式；（Ⅱ）110a ≠．计算行列式A ．【解析】1A =．（93年，数学五）若12312,,,,αααββ都是四维列向量，且四阶行列式1231,,,,m αααβ=1223,,,,n ααβα=则四阶行列式32112,,,()αααββ+等于()．（A ）m n +．（B ）()m n -+．（C ）n m -．（D ）m n -．【答案】（C ）．（94年，数学一）设A 为n 阶非零方阵，*A 是A 的伴随矩阵，T A 是A 的转置矩阵，当*T A A =时，证明0A ≠．【证明】略. ．（95年，数学一）设A 是n 阶矩阵，满足T AA E =（E 是n 阶单位矩阵，T A 是A 的转置矩阵），0A <，求A E +．【解析】0A E +=．（98年，数学四）设,A B 均为n 阶矩阵，23A B ==-,,则*12A B -= ．【答案】2123n --．（03年，数学二）设三阶方阵,A B 满足2A B A B E --=，其中E 为三阶单位矩阵，若101020201A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则B = ．【答案】12．（04年，数学一/数学二）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B 满足**2ABA BA E =+，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则B = ．【答案】19．（05年，数学一/数学二/数学四）设123,,ααα均为三维列向量，记矩阵123(,,)A ααα=，123123123(2439)B ααααααααα=++++++，，．如果1A =，那么B = ．【答案】2．（06年，数学一/数学二）设矩阵2112A E ⎛⎫=⎪-⎝⎭，为二阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B = ．【答案】2．（06年，数学四）已知12,αα为二维列向量，矩阵1212(2,)A αααα=+-,12(,)B αα=．若行列式，6A =，则B = ．【答案】2-．（10年，数学二/数学三）设,A B 为3阶矩阵，且1322A B A B -==+=,,，则1A B -+= ．【答案】3．（12年，数学二/数学三）设A 为3阶矩阵，且*3A A =,为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得矩阵B ，则*BA = ．【答案】27-．（13年，数学一/数学二/数学三）设()ij A a =是3阶非零矩阵，A 为A 的行列式，ijA 为ij a 的代数余子式．若0(123)ij ij a A i j +==，，，，则A = . 【答案】1-．题型1.3 行列式的计算（三）秩数，特征值的性质（91年，数学一）设A 是n 阶正定矩阵，E 是n 阶单位矩阵，证明A E +的行列式大于1．【证明】略.（98年，数学三）齐次线性方程组2123123123000x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，，，的系数矩阵记为A ，若存在3阶矩阵B O ≠，使得AB O =，则()．（A ）2λ=-且0B =．（B ）2λ=-且0B ≠．（C ）1λ=且0B =．（D ）1λ=且0B ≠．【答案】（C ）．（99年，数学一/数学二）设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则()．（A ）当m n >时，必有行列式0AB ≠．（B ）当m n >时，必有行列式0AB =．（C ）当n m >时，必有行列式0AB ≠．（D ）当n m >时，必有行列式0AB =．【答案】（B ）．（00年，数学三）若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1111,,,2345，则行列式1B E --= ．【答案】24．（00年，数学四）已知四阶矩阵A 相似于,B A 的特征值为2,3,4,5.E 为四阶单位矩阵，则B E -= ．【答案】24．（08年，数学三）设3阶矩阵A 的特征值是1,2,2,E 为3阶单位矩阵，则14A E --= ．【答案】3．（15年，数学二/数学三）设3阶矩阵A 的特征值为2221B A A E -=-+,,,，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B = ．【答案】21．。

(完整版)第一章行列式试题及答案

第一章行列式试题及答案一选择题 (每小题3分，共30分)⑴ n 元排列 i 1 i 2… i n 经过相邻对换，变为i n … i 2 i 1，则相邻对换的次数为( )(A) n (B) n /2 (C) 2n(D) n (n -1)/2⑵ 在函数()xx x x x x f 2142112---=中，x 3的系数是( )(A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4⑶ 若D n =det(a ij )=1，则det(－a ij ) = ( )(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (D) (-1)n(n -1)/2⑷ 设nn λλλλλλNO2121=，则n 不可取下面的值是( )(A)7 (B) 2k +1(k ≥2) (C) 2k (k ≥2) (D) 17⑸ 下列行列式等于零的是( )(A)100123123- (B) 031010300- (C) 100003010- (D) 261422613-⑹ 行列式D 非零的充分条件是( ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 ⑺ =+++111222c bcacbc b ab ac ab a ( )(A) 100010001222+c bc ac bc b ab ac ab a (B) 1111122222+++++c bc ac bc b ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a(C) 101011122222+++++c bc bc b ac abc bc ac bc b ab ac aba(D) 111222bc ac bc ab acab c bc ac bc b ab acab a+⑻ 设a ,b ,c 两两不同，则0222=+++c b a c b a ba a c cb 的充要条件是( )(A) abc =0 (B) a+b+c =0 (C) a =1, b =-1, c =0 (D) a 2=b 2, c =0⑼ 四阶行列式=44332211a b a b b a b a ( )(A) (a 1a 2- b 1b 2) (a 3a 4- b 3b 4) (B) (a 1a 4- b 1b 4) (a 2a 3- b 2b 3) (C) (a 1b 2- a 2b 1) (a 3b 4- a 4b 3) (D) (a 1b 4- a 4b 1) (a 2b 3- a 3b 2)⑽ 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0302022321321321x x x x x x x x x λ只有零解，则λ应满足的条件是( )(A) λ=0 (B) λ=2 (C) λ=1 (D) λ≠1二填空 (每小题3分，共15分)⑴ 在五阶行列式中，3524415312a a a a a 的符号是_________。

线性代数第一章(行列式)小测验与解答

2. 计算n + 1阶行列式 Dn+1
b a1 a1 b . . . = . . . a1 a2 a1 a2
a2 · · · a2 · · · . . . a3 · · · a3 · · ·
an−1 1 an−1 1 . . . . . . . b 1 an 1 ··· ··· ··· ··· an−1 − an 1 an−1 − an 1 . . . . . . b − an 1 0 1
√ ( )
二、填空题 (每小题 1分 , 共 3分 )
1. 排列134782695的逆序数为10. x 1 1 x 2. f (x) = 3 2 −5 −3 1 2 1 −1 , 则x3 的系数是−1. x 1 0 −1
3. 用克莱姆法则解方程组的两个条件: (1)未知量的个数等于方程的个数; (2)系数行列式不等于0.
b b a a a1 + b1 a2 + b2 = 1 2 + 1 2． b3 b 4 a3 a4 a3 + b3 a4 + b4 ka kb a b ． =k c d kc kd (×)
(×)
a11 x1 + · · · + a1n xn = 0 a21 x1 + · · · + a2n xn = 0 6. 若系数行列式det(aij ) = 0, 则方程组有非零解. . . . an1 x1 + · · · + ann xn = 0
0 0 . . .
0 0 . . .
b − an 0 an 1
按最后一列展开 = = = = = = = = = = = = = = (−1)(n+1)+(n+1) (b − a1 )(b − a2 ) · · · (b − an ) =

第一章行列式专项测试题参考答案(1)

2 −1 0 0
326
=3
1
3 = (−1)3+2 (−1) 3
6 = −9 .
33
0 −1 0
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a2 ab b2
7. 证明 2a a + b 2b = (a − b)3 .
111
【证明】
a2 ab b2 2a a + b 2b 111
c −c
2
3
c −c
1
3
(a −b)(a +b) b(a −b) b2
zxy
【分析】利用行列式运算性质化简. 可按如下步骤操作：第一步，将第一列拆开，得到两行
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列式之和；第二步，利用第一列化简其他列；第三步，化简后提出列的公因子，再化简剩下
的最后一列.
ax + by ay + bz az + bx x ay + bz az + bx y ay + bz az + bx 【证明】 ay + bz az + bx ax + by = a y az + bx ax + by + b z az + bx ax + by
zxy
111 121 14. （1） D = 1 1 3
111
1 1+ a 1
1 1 ; （2） D = 2 2 + a
nn n
1 2
.
n+a
【答案】（1） (n −1)!
；（2）
a
+
n(1 + 2
n)
a n −1
.
【解析】（1）
111 121 D= 1 1 3

第一章行列式专项测试题参考答案(1)

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第一章行列式
1. 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性.
(1) 53412
(2)135 (2n −1)246 (2n)
【解析】（1） (53412) = 4 + 2 + 2 + 0 + 0 = 8 ，偶排列；
（2）前 n 个元素135 (2n −1) 相互之间不构成逆序，后 n 个元素 246 (2n) 相互之间也不构成逆序，因此逆序数为前 n 个元素中的每个元素与后 n 个元素所构成的逆序个数之和.
0 b3 a3
0 0 a2 b2
b4 0 0 a4
b4 a4 0 0
0 0 b3 a3
= (a1a4 − b1b4 ) (a2a3 − b2b3 )
（法二）直接按第 1 行（列）展开，过程略.
a1 + b1 12. 计算行列式 D = a2 + b2
a3 + b3
2a1 − b1 2a2 − b2 2a3 − b3
a11 a12 = −3 a21 a22
a31 a32
a13 a23 + 0 = −3M . a33
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x − 2 x −1 x − 2 x −3
2x − 2 2x −1 2x − 2 2x −3
10. 记行列式
为 f (x) ，则方程 f (x) = 0 的根的个数为
3x − 3 3x − 2 4x − 5 3x − 5
1 2 4 001
2 −5 1 2
−3 7 −1 4
6. 计算行列式 D =
.
5 −9 2 7
4 −6 1 2
【答案】-9
【解析】（化零降阶法）
2 −5 1 2 2 −5 1

线代第1章练习附答案

a4 b4 c4
1 d
的值。
d2 d4
111 1 1
abcd x 【分析】利用范作范德蒙行列式 D1 a 2 b2 c 2 d 2 x 2 ，则行
a3 b3 c3 d 3 x3 a4 b4 c4 d 4 x4
列式 D 就是行列式 D1 元素 x3 的余子式 M 45 ，即 D M 45
又 D1 (x a)(x b)(x c)(x d)(d a)(d b)(d c)(c a)(c b)(b a)
2341 2 3 4 1 2341
D
10
3412 3 4 1 2 3412
4123 4 1 2 3 4123
1 1 1 1 11 1 1
0 1 2 1 0 1 2 1
10
10
160
0 1 2 1 0 0 4 0
0 3 2 1 0 0 0 4
1 222
2 2 22
3．计算 2 2 3 2 的值。
3
111
111
A. 2
B.1
3
5．下列行列式等于零的是(
3 21
A . 3 2 1
003
B. 0 1 0
0 01
130
C.2
D. 8
3
D)
0 1 0
C． 3 0 0
001
3 1 6
D． 2 2 4
162
0 1 1 1
6．行列式 1 0 1 1
1 0
1 1
第二行第一列元素的代数余子式
A21=（
B）
1 1 1 0
2013 0 0
。
00 0 00 0 0 0 2015
【分析】方法一：此行列式刚好只有 n 个非零元素

第一章行列式练习题目及答案

第一章行列式一、单项选择题1．=0001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 22. =0001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 23. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 4．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-5．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 26. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D)07. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D)08. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. 行列式=0100111010100111.2．行列式=-0100002000010 n n .3．行列式=--001)1(2211)1(111 n n n n a a a a a a .4．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .5．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.6．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .7．n 阶行列式=+++λλλ111111111.8．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3, 2, 1，则该行列式的值为.9．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .10．已知db c a cca b b a b c a c ba D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.11．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .12．已知行列式nn D001031002112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.13．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.14．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dcbad c b a d c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x+++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4. na a a a111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)；5. bn b b ----)1(1111211111311116. na b b b a a b b a a a b 321222111111111；7．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn321212121; 8.2212221212121111n n n nn x x x x x x x x x x x x x x x +++;9.211200000210012100012； 10．aa a aa a a aa D ---------=1101100011000110001.参考答案一．二．单项选择题C C A B CD B B二．填空题1.0;2.!)1(1n n --;3.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 4.M 3-; 5.160-; 6.4x ;7.1)(-+n n λλ; 8.2-; 9.0; 10.0; 11.9,12-; 12.)11(!1∑=-nk kn ; 13.3,2-≠k ;14.7=k 三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-；3. 1,0,2-=x ;4.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ;5. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;6. ∏=--nk k kna b1)()1(;7. ∏∑==-+n k k n k k a x a x 11)()(; 8. ∑=+nk k x 11; 9. 1+n ;10. )1)(1(42a a a ++-.。

《线性代数》单元自测题

《线性代数》基础习题第一章行列式一、填空题：1．设12335445i j a a a a a 是五阶行列式中带有负号的项，则i = ，j = 。

2．在四阶行列式中，带正号且同时包含因子23a 和31a 的项为__ ___。

3．在五阶行列式中，项2543543112a a a a a 的符号应取。

4．已知xx x x x x f 42124011123313)(--=，则)(x f 中4x 的系数为。

5．行列式=600300301395200199204100103__ __。

二、计算下列各题：1．计算63123112115234231----=D 。

2．设4321630211118751=D ，求44434241A A A A +++的值。

3．计算ab b a b a b a D n 000000000000=4．计算nD n 222232222222221=5．计算ab b b b a b bb b a bb b b a D n = 6．计算4443332225432543254325432=D 7．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++0)12(02)12(02)1(3213213221x k kx kx x x k x x x k x 有非零解，求k 的值。

第二章矩阵一、填空题：1．设A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=341122121221,则R(A)= 。

2．设A 是3阶方阵，且m A =，则1--mA = 。

3．=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡20092010100001010534432121001010100 。

4．设A 为33⨯矩阵，2-=A ，把A 按列分块为),,(321A A A A =，其中)3,2,1(=j A j 为A 的第j 列，则=-1213,3,2A A A A 。

5．设A 为3阶方阵，1A =-，A 按列分块为()321A A A A =，()32122A A A B =，则*B = 。

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