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二次函数与直线常见模型

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12、函数模型及其应用(含答案)

12、函数模型及其应用(含答案)

12函数模型及其应用1.七类常见函数模型(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：4.判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．5．解函数应用题的一般步骤第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．2．建模的基本原则(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．练习一1.有一组试验数据如表所示：A．y＝2x＋1－1 B．y＝x2－1C．y＝2log2x D．y＝x3答案 B解析根据表中数据可知，能体现这组数据关系的函数模型是y＝x2－1.2.物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，某部门为尽快稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )答案 B解析B中，Q的值随t的变化越来越快．故选B.3.有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m2.(围墙厚度不计)答案2500解析设围成的矩形的长为x m，则宽为200－x4m，则S＝x·200－x4＝14(－x2＋200x)＝－14(x－100)2＋2500.当x＝100时，S max＝2500 m2.4．高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )答案 B解析当h＝H时，体积为V，故排除A，C；由H→0过程中，减少相同高度的水，水的体积从开始减少的越来越快到越来越慢，故选B.5．如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致为( )答案 D解析 由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ， 则AD ＝8－2x2＝4－x ， 所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)， 显然该函数的图象是二次函数图象的一部分， 且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3,4)，故选D. 6.某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设f (t )表示学生注意力指标．该小组发现f (t )随时间t (分钟)的变化规律(f (t )越大，表明学生的注意力越集中)如下：f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧100a t10－600≤t ≤10，34010<t ≤20，－15t ＋64020<t ≤40(a >0且a ≠1)．若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题： (1)求a 的值；(2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由；(3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？ 解 (1)由题意得，当t ＝5时，f (t )＝140， 即100·a510－60＝140，解得a ＝4. (2)因为f (5)＝140，f (35)＝－15×35＋640＝115， 所以f (5)>f (35)，故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中． (3)①当0<t ≤10时，由(1)知，f (t )＝100·4t 10－60≥140，解得5≤t ≤10；②当10<t ≤20时，f (t )＝340>140恒成立； ③当20<t ≤40时，f (t )＝－15t ＋640≥140， 解得20<t ≤1003. 综上所述，5≤t ≤1003. 故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持1003－5＝853分钟． 7．某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎨⎧C ，0<x ≤A ，C ＋B x －A ，x >A .已知某家庭2019年前三个月的煤气费如下表：月份 用气量 煤气费 一月份 4 m 3 4元 二月份 25 m 3 14元 三月份35 m 319元A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元答案 A解析 根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎨⎧4，0<x ≤5，4＋12x －5，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5，故选A.8．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．答案 24解析 由题意得⎩⎨⎧e b＝192，e22k ＋b＝48，即⎩⎨⎧e b ＝192，e11k＝12，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24(小时)．9．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，并求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM 面积的最大值．解 (1)如图，作PQ ⊥AF 于点Q ，所以PQ ＝8－y ，EQ ＝x －4， 在△EDF 中，EQ PQ ＝EF FD， 所以x －48－y ＝42，所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}． (2)设矩形BNPM 的面积为S ，则S (x )＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50，所以S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x ＝10，所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增，所以当x ＝8时，矩形BNPM 的面积取得最大值，最大值为48平方米．10．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年 D ．2021年答案 B解析 根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n >4.8，即a 5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.11．已知一容器中有A ，B 两种菌，且在任何时刻A ，B 两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用P A ＝lg n A 来记录A 菌个数的资料，其中n A 为A 菌的个数，现有以下几种说法：①P A ≥1；②若今天的P A 值比昨天的P A 值增加1，则今天的A 菌个数比昨天的A 菌个数多10；③假设科学家将B 菌的个数控制为5万，则此时5<P A <5.5(注：lg 2≈0.3)． 则正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)答案 ③解析 当n A ＝1时，P A ＝0，故①错误；若P A ＝1，则n A ＝10，若P A ＝2，则n A ＝100，故②错误；设B 菌的个数为n B ＝5×104，∴n A ＝10105×104＝2×105，∴P A＝lg n A ＝lg 2＋5.又lg 2≈0.3，∴P A ≈5.3，则5<P A <5.5，即③正确．12．某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 解 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115， 令50x －115>0，解得x >2.3， ∵x 为整数，∴3≤x ≤6，x ∈Z .当x >6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115>0，有3x 2－68x ＋115<0，结合x 为整数得6<x ≤20，x ∈Z .∴y ＝⎩⎨⎧50x －1153≤x ≤6，x ∈Z ，－3x 2＋68x －1156<x ≤20，x ∈Z .(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )， 显然当x ＝6时，y max ＝185； 对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6<x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时，y max ＝270.∵270>185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．13.用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(参考数据：lg 2≈0.3010)( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 设至少要洗x 次，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34x ≤1100，∴x ≥1lg 2≈3.322，因此至少需要洗4次，故选B.14．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100答案 C解析 对于A 中的函数，当x ＝3或4时，误差较大．对于B 中的函数，当x ＝4时误差较大．对于C 中的函数，当x ＝1,2,3时，误差为0，x ＝4时，误差为10，误差很小．对于D 中的函数，当x ＝4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．综上，只有C 中的函数误差最小．15．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y (只)与时间x (年)近似地满足关系y ＝a log 3(x ＋2)，观察发现2014年(作为第1年)到该湿地公园越冬的白鹤数量为3000只，估计到2020年到该湿地公园越冬的白鹤的数量为( )A ．4000只B ．5000只C ．6000只D ．7000只答案 C 解析 当x ＝1时，由3000＝a log 3(1＋2)，得a ＝3000，所以到2020年冬，即第7年，y ＝3000×log 3(7＋2)＝6000，故选C.15.某位股民买入某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．无法判断盈亏情况C ．没有盈利也没有亏损D ．略有亏损答案 D解析 由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.993≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损．16．某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，经过x 年后，绿化面积与原绿化面积之比为y ，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 D解析 设某地区起始年的绿化面积为a ，因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，所以经过x 年后，绿化面积g (x )＝a (1＋18%)x ，因为绿化面积与原绿化面积的比值为y ，则y ＝f (x )＝g x a＝(1＋18%)x ＝1.18x ，因为y ＝1.18x 为底数大于1的指数函数，故可排除A ，C ，当x ＝0时，y ＝1，可排除B ，故选D.17．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t (单位：min)后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )⎝ ⎛⎭⎪⎫12t h，其中T a 称为环境温度，h 称为半衰期，现有一杯用85 ℃热水冲的速溶咖啡，放在21 ℃的房间中，如果咖啡降到37 ℃需要16 min ，那么这杯咖啡要从37 ℃降到29 ℃，还需要________ min.答案 8解析 由题意知T a ＝21 ℃.令T 0＝85 ℃，T ＝37 ℃，得37－21＝(85－21)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1216h ，∴h ＝8.令T 0＝37 ℃，T ＝29 ℃，则29－21＝(37－21)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 8，∴t ＝8.18．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q 10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0. 当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1. 解方程组⎩⎨⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q 10≥2， 即log 3Q 10≥3，解得Q 10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．19．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120.设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f (x )最大？ 解 (1)若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，所以f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5. (2)由题知，f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250， 依题意得⎩⎨⎧ x ≥20，200－x ≥20，解得20≤x ≤180，故f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)． 令t ＝x ，则t 2＝x ，t ∈[25，65]， y ＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，当t ＝82，即x ＝128时，y 取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．。

函数模型及其应用

函数模型及其应用

函数模型及其应用‖知识梳理‖1．几种常见的函数模型| 微点提醒|1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．2．充分理解题意，并熟悉掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．3．易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．‖易错辨析‖判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”)(1)幂函数增长比一次函数增长更快．(×)(2)在(0，＋∞)内，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．(√)(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．(√)(4)不存在x0，使ax0<x n0<log a x0.(×)‖自主测评‖1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是()x 4 5 6 7 8 9 10 y15171921232527A.一次函数模型 C ．指数函数模型D ．对数函数模型解析：选A 根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．2．(教材改编题)一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图象表示为图中的( )答案：B3．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( ) A ．36万件 B ．18万件 C ．22万件D ．9万件解析：选B 设利润为L (x )，则利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．4．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行驶千米数x (km)之间的函数关系式是________．解析：由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100.答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >1005．(教材改编题)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元．销售额x 为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y ＝a log 4x ＋b .某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a log 48＋b ＝1，a log 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4，解得a ＝2，b ＝－2. 所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，即2log 4x －2＝8. x ＝1 024(万元) 答案：1 024…………考点一 函数模型的选择…………………|自主练透型|……………|典题练全|1．下表是在某个投资方案中，整理到的投入资金x (万元)与收益y (万元)的统计表.投入资金x (万元) 1 2 3 4 5 6 收益y (万元)0.40.81.63.16.212.3A ．y ＝ax ＋bB ．y ＝a ·b xC ．y ＝ax 2＋bx ＋cD ．y ＝b log a x ＋c解析：选B 画出大致散点图如图所示，根据散点图可知选B.2．某研究所对人体在成长过程中，年龄与身高的关系进行研究，根据统计，某地区未成年人，从1岁到16岁的年龄x (岁)与身高y (米)的散点图如图，则该关系较适宜的函数模型为( )A ．y ＝ax ＋bB ．y ＝a ＋log b xC ．y ＝a ·b xD ．y ＝ax 2＋b解析：选B 根据散点图可知，较适宜的函数模型为y ＝a ＋log b x ，故选B.3．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )的影响。

《一题可破万题——二次函数压轴题常见模型小结》

《一题可破万题——二次函数压轴题常见模型小结》

——二次函数压轴题常见模型小结DBO AxyC问题1：求抛物线解析式和顶点D 坐标12()()y a x x x x =--2y ax bx c=++2()y a x h k=-+十字相乘配方法（★）12轴交点(，0)、(，0)x x x 轴交点（0，c ）y 顶点（h,k ）原始三角形：重视四点围成的三角形（边、角关系）函数 点形2223(3)(1)(1)4y x x y x x y x =+-=+-=+-问题2：判断△ACD 的形状，并说明理由DBOAxyCD （-1，-4）BOA （-3,0）xyC （0，-3）问题3：E是y轴上一动点，若BE=CE,求点E的坐标DB OA xyCB（1,0）O xyC（0，-3）B（1,0）O xyC（0，-3）问题4：抛物线上有一动点P，过点P作PM⊥x轴于点M,交直线AC与点N，在线段PM、MN中，若其中一条线段是另一条线段的2倍，求点P的坐标。

DB OA xyC最大值及此时点P 的坐标DBO Ax yC PH DB O Ax yC PHEFDB O AxyC PHE F于G ，PH 为邻边作矩形PEGH ，求矩形PEGH 周长的最大值。

DBO Ax yCDB O AxyC PHEG问题7：在对称轴上找一点P，使得△BCP的周长最小，求出P点坐标及△BCP的周长DB OA xyCB（1,0）OA（-3,0）xyC（0，-3）.x=1P问题8：在对称轴上找一点P，使得∣PA-PC∣最大，求出P点坐标DB OA xyCB（1,0）OA（-3,0）xyC（0，-3）.x=1P问题9：线段MN=1，在对称轴上运动（M 点在N 点上方），求四边形BMNC 周长的最小值及此时M 点坐标DBOAxyC已知抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，OA=OC=3,顶点为D 2y x bx c =++B （1,0）OA （-3,0）xyC （0，-3）.x=1NB ’ B ’’M将军饮马：这个将军饮的不是马，是数学！解题依据：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；翻折，对称。

二次函数(一)——常见二次函数模型

二次函数(一)——常见二次函数模型

二次函数（一）——所描述的关系、结识抛物线、刹车距离与二次函数一、 知识点回顾1.函数概念小结2.待定系数法求函数解析式3.图像平移法则二、 典例剖析考点1【二次函数的相关概念】例1下列函数中，哪些是二次函数？y=3(x-1)²+1 （2）y=x ＋x 1 （3）s=3-2t （4）y=21x x- (5)y=(x+3)²-x² (6) v=10πr²随堂练习11.下列结论正确的是A ．y =ax 2是二次函数B ．二次函数自变量的取值范围是所有实数C ．二次方程是二次函数的特例D ．二次函数的取值范围是非零实数2．下列函数中：①y =－x 2；②y =2x ；③y =22+x 2－x 3；④m =3－t －t 2是二次函数的是______(其中x 、t 为自变量).3．下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)A ．y =81x 2 B ．y C ．y =21x D ．y =a 2x考点2【二次函数的一般式】例2-1若y=（m ＋1）x 267m m --是二次函数，则m=（ ）A ．－1B ．7C ．－1或7D ．以上都不对例2-2．已知抛物线y=ax²经过点A （－2，－8）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B （－1，－4）是否在此抛物线上.（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.随堂练习21．函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是A ．a ≠0，b ≠0，c ≠0B ．a <0，b ≠0，c ≠0C ．a >0，b ≠0，c ≠0D ．a ≠02.已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1.(1)若这个函数是一次函数，求m 的值;(2)若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？3．如果函数y=x 232k k -++kx+1是二次函数，则k 的值一定是______考点3【常见的二次函数模型】例3-1【面积问题】如图5，一块草地是长80 m 、宽60 m 的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m 的小路，这时草坪面积为y m 2.求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.例3-2【密植问题】某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. 假设果园增种x 棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？如果果园橙子的总产量为y 个,那么请你写出y 与x 之间的关系式.例3-3【利率问题】人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本息合计自动转存，到支取时，银行将扣除利息的20%作为利息税，我如果将10000元存入银行，请写出两年后支取时的本息和y（元）与年利率x的函数表达式。

初中48个数学模型

初中48个数学模型

初中48个数学模型
1. 直线方程模型
2. 一次函数模型
3. 二次函数模型
4. 指数函数模型
5. 对数函数模型
6. 三角函数模型
7. 幂函数模型
8. 反比例函数模型
9. 绝对值函数模型
10. 分段函数模型
11. 等差数列模型
12. 等比数列模型
13. 等差数列求和模型
14. 等差数列通项求值模型
15. 等差数列前n项和求值模型
16. 等差数列前n项平均值模型
17. 等比数列求和模型
18. 等比数列通项求值模型
19. 等比数列前n项和求值模型
20. 等差数列与等差数列之和关系模型
21. 平方根模型
22. 平方根与二次方程关系模型
23. 正方形面积模型
24. 三角形面积模型
25. 平行四边形面积模型
26. 斜率模型
27. 切线斜率模型
28. 余弦定理模型
29. 正弦定理模型
30. 几何相似模型
31. 三角形相似模型
32. 平行线与平行线之间的角关系模型
33. 同位角与内错角模型
34. 相交弦定理模型
35. 角平分线定理模型
36. 体积模型
37. 圆锥体积模型
38. 圆柱体积模型
39. 球体积模型
40. 柱台体积模型
41. 三维图形表面积模型
42. 立体图形展开模型
43. 均值不等式模型
44. 不等式求解模型
45. 组合数学模型
46. 排列数学模型
47. 方程求解模型
48. 实际问题建模模型
以上是初中数学常见的48个数学模型，希望对你有所帮助！。

中考二次函数中的几何最值问题(二)

中考二次函数中的几何最值问题(二)

A''二次函数中的几何最值问题（二）模型一.如图，在平面上有两个定点A 、B ，MN 为定直线上移动的长度一定的线段，若要使四边形AMNB 的周长最小，试确定MN 的位置。

作法：作A 点关于直线的对称点A‘，再将A’向平行于定直线的方向（B 侧）平移一个MN 的长度到A’’,连接A’’B 和直线的交点即为N 点，M 点亦随之确定。

例1. 已知：如图1，直线1y x =--分别交x 轴、y 轴于A 、E 两点，抛物线249y x bx c=-++经过点A ，且过点()5,0B ，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，连接BC 。

（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）如图2，若在直线BC 上方的抛物线上有一点F ，当BCF ∆的面积最大时，有一线段MN=2（点M 在点N 的左侧）在直线AE 上移动，首尾顺次连接点F 、M 、N 、B 构成四边形FMNB ，请求出四边形FMNB 的周长最小时点M 的横坐标；NM A迁移练习1.如图1，已知抛物线343832--=x x y 与轴交于和两点（点在点的左侧）与轴相交于点，顶点为. （1）求出点的坐标；（2）如图1，若线段在x 轴上移动，且点移动后的对应点为.首尾顺次连接点、、、构成四边形，请求出四边形的周长最小值．x A B A B y C D ,,A B D OB ,O B ','O B 'O 'B D C ''OBDC ''OBDC模型二. 如图，平面上有2条定直线l ，m,A 、B 为直线两侧的2个定点，点M 为直线l 上的动点，点N 为直线m 上的动点，要使得AN+BM+MN 的长度最小，试确定M 、N 的位置.作法：作A 点关于直线l 的对称点A’，B 点关于直线m 的对称点B’,连接A’B’与直线l,m 的交点即为M 、N.需要注意的是：模型中的两条定直线不一定是平行的。

二次函数的图像和性质表格

二次函数的图像和性质表格

配方法
将二次函数通过配方转化为顶点式$y=a(xh)^2+k$，其中$(h,k)$为顶点坐标。根据 $a$的正负和顶点坐标可求得最值。
公式法
对于一般形式的二次函数$y=ax^2+bx+c$ ，其最值可通过公式$-frac{b}{2a}$求得对 称轴，再代入原函数求得最值。
04 典型二次函数图 像举例
对称轴与顶点坐标
对称轴
对于一般形式$y=ax^2+bx+c$的二次函 数，其对称轴为直线$x=-frac{b}{2a}$。
VS
顶点坐标
顶点的横坐标为对称轴与抛物线的交点， 即$x=-frac{b}{2a}$，纵坐标为$cfrac{b^2}{4a}$。
与坐标轴交点情况
与$x$轴交点
解方程$ax^2+bx+c=0$，若$Delta=b^2-4ac>0$，则有两个不相等的实数根，即抛物线与$x$轴 有两个交点；若$Delta=0$，则有两个相等的实数根，即抛物线与$x$轴有一个交点；若$Delta<0$ ，则无实数根，即抛物线与$x$轴无交点。
与$y$轴交点
抛物线与$y$轴的交点为点$(0,c)$。
03 二次函数性质分 析
奇偶性判断方法
观察法
通过观察二次函数的表达式，判断其是否满足$f(-x)=f(x)$或$f(-x)=-f(x)$，若满足则函数为偶函数或奇函数。
代数法
将$-x$代入二次函数的表达式，化简后与原函数比较，若相等则为偶函数，若互为相反数则为奇函数。
二次函数表达式
一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$ ，其中$a$、$b$、$c$为常数，且$a neq 0$。

数学中的概念模型

数学中的概念模型

数学中的概念模型数学是一门具有严密逻辑和抽象思维的学科，它通过一系列的概念模型来描述和解释我们身边的世界。

概念模型是数学中的重要工具，它们可以帮助我们理解和分析不同的数学问题，并推导出相应的结论。

本文将介绍数学中常见的概念模型，包括线性模型、二次函数模型和指数模型。

一、线性模型线性模型是数学中最简单直观的概念模型之一。

它描述的是一种直线关系，常用于分析和预测两个变量之间的线性关系。

线性模型的一般形式可以表示为y = mx + b，其中m表示斜率，b表示截距。

通过确定斜率和截距的值，我们可以获得一条直线，并使用该直线来预测变量之间的关系。

例如，在经济学中，线性模型可以用来描述生产量与成本之间的关系。

我们可以根据历史数据建立一条直线，通过该直线可以预测在不同成本下的生产量。

线性模型在实际应用中具有广泛的用途，例如经济学、物理学等领域。

二、二次函数模型二次函数模型是一种非线性模型，它描述的是一种抛物线关系。

二次函数的一般形式可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。

通过确定这些常数的值，我们可以获得一条抛物线，并使用该抛物线来分析和预测变量之间的关系。

例如，在物理学中，二次函数模型可以用来描述自由落体运动的高度与时间之间的关系。

根据重力加速度和初速度等参数，我们可以建立一条抛物线，通过该抛物线可以预测在不同时间下物体的高度。

二次函数模型在现实生活中也有很多应用，例如炮弹的弹道轨迹、汽车的减速情况等。

三、指数模型指数模型是一种描述增长或衰减的概念模型。

指数函数的一般形式可以表示为y = a * b^x，其中a和b为常数。

通过确定这些常数的值，我们可以获得一条指数曲线，并用该曲线来描述变量之间的增长或衰减规律。

例如，在生物学中，指数模型可以用来描述细菌的繁殖情况。

根据不同的实验条件和环境因素，我们可以建立一条指数曲线，通过该曲线可以预测在不同时间下细菌的繁殖量。

指数模型在经济学、生态学、人口统计学等领域也有重要的应用价值。

二次函数十大解题模型汇总(模型+例题+练习题)

二次函数十大解题模型汇总(模型+例题+练习题)
（1）试写出 y 与 x 之间的函数表达式（不必写出 x 的取值范围）；（2）试写出 z 与 x 之间的函数表达式（不 必写出 x 的取值范围）；（3）计算销售单价为 160 元时的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年 销售量分别为多少万件？（4）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价，进行销售；第二年年 获利不低于 1130 万元．请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价 x（元）应确定在什么范围内？
角线 a 的关系．
2、已知：一等腰直角三角形的面积为 S，请写出 S 与其斜边长 a 的关系表达式，并分别求出 a=1，a= 2 ，
a=2 时三角形的面积．
1 3、在物理学内容中，如果某一物体质量为 m，它运动时的能量 E 与它的运动速度 v 之间的关系是 E= 2 mv2
（m 为定值）．（1）若物体质量为 1，填表表示物体在 v 取下列值时，E 的取值：
例 2、如果人民币一年定期储蓄的年利率是 x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存， 到期支取时，银行将扣除利息的 20%作为利息税．请你写出两年后支付时的本息和 y（元）与年利率 x 的 函数表达式．
例 3、某商场将进价为 40 元的某种服装按 50 元售出时，每天可以售出 300 套．据市场调查发现，这种服 装每提高 1 元售价，销量就减少 5 套，如果商场将售价定为 x，请你得出每天销售利润 y 与售价的函数表 达式．
二次函数十大解题模型汇总（模型+例题+练习题）
模型 1：根据二次函数的定义求字母的值
例 1：函数 y=（m＋2）x m2−2 ＋2x－1 是二次函数，则 m=
．
对象：y=（m＋2）x m2−2 ＋2x－1 角度：二次函数的稀疏，次数

常见的函数模型

常见的函数模型

常见的函数模型
1.线性函数模型：y=mx+b，用于描述两个变量之间的直线关系。

2. 二次函数模型：y = ax + bx + c，用于描述曲线关系，如开口向上或向下的抛物线。

3. 指数函数模型：y = ab^x，用于描述随着 x 增加而指数级增加或减少的关系。

4. 对数函数模型：y = logb(x)，用于描述递增速度逐渐减缓的关系。

5. 正弦函数模型：y = A sin (Bx + C) + D，用于描述周期性变化的关系。

6. 余弦函数模型：y = A cos (Bx + C) + D，与正弦函数类似，用于描述周期性变化的关系。

7. 常量函数模型：y = c，用于描述恒定不变的关系。

8. 分段函数模型：将函数在不同的区间定义为不同的函数，用于描述不同条件下的关系。

9. 概率密度函数模型：用于描述随机变量的分布规律，如正态分布、泊松分布等。

10. 非线性函数模型：除了上述函数模型外，还有各种非线性函数模型，如指数增长模型、对数减少模型、S形曲线模型等。

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【高中数学】函数模型及其应用

【高中数学】函数模型及其应用

函数模型及其应用一、基础知识1．常见的8种函数模型(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；(8)“对勾”函数模型：y＝x＋ax(a>0)．(1)形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质：①该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．②当x>0时，x＝a时取最小值2a，当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.(2)函数f(x)＝xa＋bx(a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab，＋∞)内单调递增．2．三种函数模型的性质函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x幂函数模型y＝x n(n>0)可以描述增长幅度不同的变化，当n,值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n>1)时，增长较快.考点一二次函数、分段函数模型[典例]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解](1)设每团人数为x，由题意得0<x≤75(x∈N*)，飞机票价格为y元，则y ，0<x≤30，－10(x－30)，30<x≤75，即y，0<x≤30，200－10x，30<x≤75.(2)设旅行社获利S元，则Sx－15000，0<x≤30，200x－10x2－15000，30<x≤75，即Sx－15000，0<x≤30，10(x－60)2＋21000，30<x≤75.因为S＝900x－15000在区间(0,30]上为增函数，故当x＝30时，S取最大值12000.又S＝－10(x－60)2＋21000，x∈(30,75]，所以当x＝60时，S取得最大值21000.故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．[解题技法]二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小．(3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．[题组训练]1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)，0<x≤A，＋B(x－A)，x>A.已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m 319元若四月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为()A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元解析：选A根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )，0<x ≤5，＋12(x －5)，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．A ，B 两城相距100km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使月供电总费用y 最少？解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]．(2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25000＋500003，所以当x ＝1003y min ＝500003.故核电站建在距A 城1003km 处，能使月供电总费用y 最少．考点二指数函数、对数函数模型[典例]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．[解](1)由题图，设y 0≤t ≤1，a，t >1，当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由－a ＝4，得a ＝3.所以y 0≤t ≤1，－3，t >1.(2)由y ≥0.25≤t ≤1，t ≥0.253≥0.25，解得116≤t ≤5.故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．[解题技法]1．掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．2．建立函数模型解应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中．[题组训练]1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：选B设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．2．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg I为声强(单位：W/m2)．(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级．(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？解：(1)当声强为10－6W/m2时，由公式Y＝得Y＝10lg106＝60(分贝)．(2)当Y＝0时，由公式Y＝得0.∴I10－12＝1，即I＝10－12W/m2，则最低声强为10－12W/m2.[课时跟踪检测]1．(2018·福州期末)某商场销售A型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为()A．4B．5.5C．8.5D．10解析：选C由数据分析可知，当单价为4元时销售量为400件，单价每增加1元，销售量就减少40件．设定价为x 元/件时，日均销售利润为y 元，则y ＝(x －3)·[400－(x －4)·40]＝－＋1210，故当x ＝172＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.2．(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为()A ．13立方米B ．14立方米C ．15立方米D ．16立方米解析：选C 设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，由题意得y ＝x ，0≤x ≤10，＋5(x －10)，x >10，即y x ，0≤x ≤10，x －20，x >10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15.3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为()A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4000x －30，则yx≥2x 10·4000x－30＝10，当且仅当x 10＝4000x，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是()A.12小时 B.59小时C ．5小时D ．10小时解析：选C 由题意，前5个小时消除了90%的污染物．∵P ＝P 0e －kt ，∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k，∴0.1＝e－5k，即－5k ＝ln 0.1，∴k ＝－15ln 0.1.由1%P 0＝P 0e －kt ，即0.01＝e －kt ，得－kt ＝ln 0.01，＝ln 0.01，∴t ＝10.∴排放前至少还需要过滤的时间为t －5＝5(时)．5．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．解析：由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．答案：3006.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析＝k ＋b ，＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.答案：19097．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，求其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.＋b ＝0，＋2b ＝1，＝－1，＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．8.据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v (单位：km/h)与时间t (单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积为时间t 内台风所经过的路程s (单位：km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t (0≤t ≤10)，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70(20<t ≤35)．当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋12×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s 随t 变化的规律是s2，t ∈[0，10]，t －150，t ∈(10，20]，t 2＋70t －550，t ∈(20，35].(3)当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t ＝30或t ＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N 城．。

几种不同类型的函数模型知识点

几种不同类型的函数模型知识点

几种不同类型的函数模型一 函数模型及数学建模函数模型是解决实际问题的重要数学模型，将实际问题中的变量关系用函数表现出来，然后对函数进行研究得出相关数学结论，并依此解决实际问题．那么如何建立数学模型呢？可按以下步骤完成．(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际问题．建模过程示意图：二 几种常见的函数模型1．一次函数模型：f(x)＝kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0)；2．反比例函数模型：f(x)＝k x＋b(k 、b 为常数，k ≠0)； 3．二次函数模型：f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 为常数，a ≠0)；4．指数函数模型：f(x)＝ab x ＋c(a 、b 、c 为常数，a ≠0，b>0，b ≠1)；5．对数函数模型：f(x)＝mlog a x ＋n(m 、n 、a 为常数，a>0，a ≠1)；6．幂函数模型：f(x)＝ax n ＋b(a 、b 、n 为常数，a ≠0，n ≠1)；7．分段函数模型：这个函数模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛．三 指、对、幂三种函数模型增长速度的比较正确认识“直线上升”、“指数爆炸”、“对数增长”和幂函数的增长差异．直线上升反映了一次函数(一次项系数大于零)的增长趋势，其增长速度均匀(恒为常数)；在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a>1)，y ＝log a x(a>1)和y ＝x n (n>0)都是增函数，但它们的增长速度不在同一个“档次”上. 随着x 的增大，y ＝a x (a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n>0)的增长速度，而y ＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢，因此总会存在一个x 0，当x>x 0时，就有log a x<x n <a x ，此式揭示了在充分远处三种函数的变化规律．总结：（1）在区间(0,+∞)上，函数y=a x (a>1),y=log a x(a>1)和y=x n (n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上；（2）随着x 的增大，y=a x (a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x n (n>0)的增长速度，表现为指数爆炸；（3）随着x 的增大，y=log a x(a>1)的增长速度会越来越慢；（4）随着x 的增大，y=a x (a>1)的图象逐渐表现为与y 轴平行一样，而y=log a x(a>1)的图象逐渐表现为与x 轴平行一样；（5）当a>1,n>0时，总会存在一个x 0,当x>x 0时，有a x ＞x n ＞log a x ；（6）当0<a<1，n<0时，总会存在一个x 0,当x>x 0时，有log a x＜x n ＜a x一次函数模型例1 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”和“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y 1(元)、y 2(元)的关系分别如图(1)、图(2)所示．图(1) 图(2)(1)分别求出通话费y 1，y 2与通话时间x 之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月(30天)内使用哪种卡便宜．思路点拨：由题目可知函数模型为直线型，可先用待定系数法求出解析式，然后再进行函数值大小的比较．解：(1)由图象可设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y 1，y 2得k 1＝15，k 2＝12.∴y 1＝15x ＋29(x≥0)，y 2＝12x(x≥0)．(2)令y 1＝y 2，即15x ＋29＝12x ，则x ＝9623.当x ＝9623时，y 1＝y 2，两种卡收费一致；当x<9623时，y 1>y 2，即便民卡便宜；当x>9623时，y 1<y 2，即如意卡便宜． 函数的图象是表示函数的三种方法之一，正确识图、用图、译图是解决函数应用题的基本技能和要求．本题由于过原点的直线是正比例函数图象，因此运用了待定系数法求得一次函数解析式，然后利用函数解析式解决了实际问题．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．例2 一个报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买进多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能获得的利润．解：设每天从报社买进设每月所获利润为y ∵y＝0.8x ＋550在[250,400]上是增函数，∴当x ＝400时，y 取得最大值870.即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为870元． 二次函数模型例3 以100元/件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的相同价格出售．羊毛衫的销售有淡季与旺季之分．标价越高，购买人数越少．我们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格．某商场经销某品牌的羊毛衫，无论销售淡季还是旺季，进货价都是100元/件．针对该品牌羊毛衫的市场调查显示：①购买该品牌羊毛衫的人数是标价的一次函数；②该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格是淡季最高价格的32倍；③在销售旺季，商场以140元/件价格销售时能获取最大利润．(1)分别求出该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格与淡季的最高价格；(2)在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为多少？思路点拨：首先用标价x 表示出购买人数和旺季价格，进而可表示出利润函数，再利用函数关系解决相关问题．解：(1)设在旺季销售时羊毛衫的标价为x 元/件，购买人数为kx ＋b(k<0)，则旺季的最高价格为－b k元/件，利润函数L(x)＝(x －100)(kx ＋b)＝kx 2－(100k －b)x －100b ，x∈[100，－b k ]．当x ＝100k －b 2k ＝50－b 2k时，L(x)最大．由题意知50－b 2k ＝140，解得－b k ＝180.即旺季的最高价格是180(元/件)，则淡季的最高价格是180×23＝120(元/件)．(2)设在淡季销售时羊毛衫的标价为t 元/件，购买人数为mt ＋n(m<0)，则淡季的最高价格为－n m＝120(元/件)，即n ＝－120m ，利润函数L(t)＝(t －100)(mt －120m)＝m(t －110)2－100m ，t∈[100,120]．当t ＝110时，L(t)最大．所以，在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为110元/件．二次函数模型是初等数学阶段研究的最为广泛的多项式函数，由于具有二次函数、二次方程、二次不等式、二次曲线等四个“二次”互为关联的重要特征，因此在应用型问题中是最为重要的模型．此外作为一个考点，由于二次函数涉及函数单调性、区间最值等诸多方面，因此有理由相信，今后这类试题仍将是重点．本题最为重要的特点是逆向运用二次函数最值问题，通过旺季最值的取得来获得参变量之间的关系进而对淡季羊毛衫的价格作出判断与预测．这种方法值得去关注．指数函数模型例4 按复利计算利率的一种储蓄，本金为a ，每期利率为r ，设本利和为y ，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数式．如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少？思路点拨：复利是计算利息的一种方法，即把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期的利息 解：已知本金为a 元．1期后的本利和为y 1＝a ＋a×r＝(1＋r)a ；2期后的本利和为y 2＝a(1＋r)＋a(1＋r)r ＝a(1＋r)2；3期后的本利和为y 3＝a(1＋r)3；…x 期后的本利和为y ＝a(1＋r)x .将a ＝1000(元)，r ＝2.25%，x ＝5代入上式得y ＝1000×(1＋2.25%)5＝1000×(1.0225)5≈1117.68(元)．故复利函数式为y ＝a(1＋r)x,5期后的本利和为1117.68元．在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为P ，则对于时间x 的总产值y ，可以用公式y ＝N(1＋P)x 来表示，解决平均增长率的问题时要用到这个函数式．例5 光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a ，通过x 块玻璃后强度为y.(1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)至少通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下？(lg 3≈0.4771) 解：(1)y ＝a(1－10%)x (x∈N *)(2)∵y≤13a ，∴a(1－10%)x ≤13a ，∴0.9x ≤13，x≥log 0.913＝－lg 32 lg 3－1≈10.4，∴x ＝11.对数函数模型例6 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log 2Q 10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量． (1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？思路点拨：该问题已经给出了函数模型，故赋值后可求出Q 的值，进而求出v 的值．解：(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入题给公式可得：0＝5log 2Q 10，解得Q ＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q ＝80代入题给公式得：v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)． 即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.直接以对数函数为模型的应用题不是很多，此类问题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解． 例7 某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边，上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回．设t 为出发后的某一时刻，S 为汽艇与码头在时刻t 的距离，下列图象中能大致表示S ＝f(t)的函数关系的为( C )解析：当汽艇沿直线方向匀速开往该岛时，S ＝vt ，图象为一条线段；当环岛两周时，S 两次增至最大，并减少到与环岛前的距离S 0；上岛考察时，S ＝S 0； 返回时，S ＝S 0－vt ，图象为一条线段．所以选C.例8 用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是( B ) A 3 B 4 C 5 D 6解析：设至少要洗x 次，则(1－34)x ≤1100，所以x≥1lg2≈3.32，因此至少要洗4次． 例9 函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象如图：则函数y ＝f(x)·g(x)的图象可能是( A )解析：明确函数图象在x 轴上下方与函数值符号改变的关系，数值相乘“同号为正、异号为负”．∵函数y ＝f(x)·g(x)的定义域是函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，图象不经过坐标原点，故可以排除C 、D.由于当x 为很小的正数时f(x)＞0且g(x)＜0，故f(x)·g(x)＜0.故选A.例 10 下列函数中，随x 值的增大，增长速度最快的是( D )(A)y ＝50x(x∈Z) (B)y＝1000x (C)y ＝0.4×2x －1 (D)y ＝110000·e x解析：指数“爆炸式”增长，y ＝0.4×2x －1和y ＝110000·e x 虽然都是指数型函数，但y ＝110000·e x 的底数e 较大些，增长速度更快．例11 把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，求这两个正三角形面积之和的最小值解析：设一个正三角形的边长为x(cm)，则另一个正三角形的边长为12－3x 3＝4－x(cm)，两个正三角形的面积和为S ＝34x 2＋34(4－x)2＝32[(x －2)2＋4](0＜x ＜4)．当x ＝2(cm)时，S min ＝23(cm 2)． 例12 当2<x<4时，2x ，x 2，log 2x 的大小关系是( B )(A)2x >x 2>log 2x (B)x 2>2x >log 2x (C)2x >log 2x>x 2 (D)x 2>log 2x>2x解析：法一：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝log 2x ，y ＝x 2，y ＝2x ，在区间(2,4)上从上往下依次是y ＝x 2，y ＝2x ，y ＝log 2x 的图象，所以x 2>2x >log 2x.法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x ＝3，经检验易知选B. 例13 已知函数的图象如图所示，试写出它的一个可能的解析式__________________．解：可由图象的两点特征去确定．第一点：过两定点(0,1)，(10,3)．第二点：增长情况．答案：y ＝lg(99100x 2＋1)＋1(x≥0)(答案不唯一)例14 奇瑞曾在2009年初公告：2009年生产目标定为39.3万辆；而奇瑞董事长极力表示有信心达成这个生产目标，并在09年实现更为平衡的增长．我们不妨来看看近三年奇瑞的政绩吧：2006年，奇瑞汽车年销量8万辆；2007年，奇瑞汽车年销量18万辆；2008年，奇瑞汽车年销量30万辆；如果我们分别将06,07,08,09定义为第一，二，三，四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·b x ＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型能更好地反映奇瑞公司年销量y 与年份x 的关系？解：建立年销量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)．(1)构造二次函数模型f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0，则f(x)＝x 2＋7x ，故f(4)＝44，与计划误差为4.7. (2)构造指数函数模型g(x)＝a·b x ＋c(a≠0，b ＞0，b≠1)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42，则g(x)＝1253·(65)x －42，故g(4)＝1253·(65)4－42＝44.4，与计划误差为5.1. 由(1)(2)可得，f(x)＝x 2＋7x 模型能更好地反映奇瑞公司年销量y 与年份x 的关系．例15 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快.2002年全球太阳能电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%.以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%(如，2003年的年生产量的增长率为36%)．(1)求2006年全球太阳能电池的年生产量(结果精确到0.1兆瓦)；(2)目前太阳能电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳能电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平(即年安装量不少于年生产量的95%)，这四年中太阳能电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少(结果精确到0.1%)?解：(1)由已知得2003,2004,2005,2006年太阳能电池的年生产量的增长率依次为36%,38%,40%,42%.则2006年全球太阳能电池的年生产量为670×1.36×1.38×1.40×1.42≈2499.8(兆瓦)．(2)设太阳能电池的年安装量的平均增长率为x ，则＋4＋4≥95%，解得x≥0.615. 因此，这四年中太阳能电池的年安装量的平均增长率至少应达到61.5%.例16 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。

中考数学解题技巧(五)二大类八模型

中考数学解题技巧(五)二大类八模型

中考数学解题技巧（五）、两大类八模型———二次函数综合应用题(马铁汉)函数的表示方法有表格法、解析式法和图像法三种方法。

因此，二次函数综合应用题，题干图文并茂，内容丰富多彩，有时还有表格插入；由于题目较长，文字较多，数量复杂，光审题就是件困难的事。

审题一定要仔细。

读题时，篇幅较大的背景文字了解即可，重点阅读有用的数量信息；为了弄清楚重要信息，可把各个量用不同记号标注出来，加深印象，以免搞糊涂。

哪些是常量，哪些是变量；哪个是自变量，哪个是自变量的函数；有时还有参数渗入，它是什么含义，都要搞准确。

二次函数综合应用题，涉及的知识面较广（一次函数、二次函数，不等式，一元一次方程、一元二次方程、分式方程等）。

解答此题，需要具备数形结合思想、方程思想、函数思想，建模思想等数学思想；需要扎实的基础知识和熟练的基本技能，然后做到稳扎稳打，层层分析，逐步解决。

二次函数综合应用题，考查方式有两大类八个模型。

1、考查函数最值类：求实际问题中函数最值。

有下面四个模型：①求二次函数顶点纵坐标，即为实际问题的最值；②求区间内函数最值，即为实际问题的最值；③求函数整数点最值，即为实际问题的最值；④分段函数，需比较各区间函数最值后，确定实际问题的最值。

2、考查自变量范围类：求自变量取值范围或求复合函数中参数范围。

有下面四种模型：①由函数增减性，结合函数值要求，求自变量取值范围；②复合函数，由函数增减性，结合对称轴位置，求参数；③复合函数，由函数增减性，结合对称轴位置，确定区间最值，求参数；④复合函数，由二次函数顶点坐标，求参数。

模型一、求二次函数顶点纵坐标，即为实际问题的最值例1、（2022武汉.22.）（本小题满分10分）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处.小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表.小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间t 之间成二次函数关系.（1）直接写出v 关于t 的函数解析式和y 关于t 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）（2）当黑球减速后运动距离为64cm 时，求它此时的运动速度；（3）若白球一．直．以2cm/s 的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由. 解：（1）1102v t =-+，21104y t t =-+. （2）解：依题意，得2110644t t -+=.∴2402560t t -+=. 解得，18t =，232t =.当18t =时，6v =；当232t =时，6v =-（舍）. 答：黑球减速后运动64cm 时的速度为6cm/s . （3）解：设黑白两球的距离为cm w .270218704w t y t t =+-=-+ 21(16)64t =-+. ∵104>，抛物线开口向上， ∴当16t =时，w 的值最小为6. （在取值范围内，顶点纵坐标即为实际问题的最值） ∴黑、白两球的最小距离为6cm ，大于0，黑球不会碰到白球.另解1：当0w =时，2187004r t -+=，判定方程无解. 另解2：当黑球的速度减小到2cm/s 时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不会碰到白球。

备战高考数学复习考点知识与题型讲解18---函数模型的应用

备战高考数学复习考点知识与题型讲解18---函数模型的应用

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第18讲函数模型的应用考向预测核心素养考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，各种题型均有可能，中档难度.数学建模一、知识梳理1．六种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝b logax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)“对勾”函数模型y＝x＋ax(a为常数，a>0)2.三种函数模型性质比较y＝a x(a>1)y＝logax(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同3.用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程常用结论1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．2．“对勾”函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(0，＋∞)上的性质：在(0，a ]上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增，当x ＝a 时f (x )取最小值2a .二、教材衍化1．(人A 必修第一册P 152例6改编)某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后空气中每立方米药物残留量y (单位：毫克)与时间x (单位：时)的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图散点图．现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y 与x 的关系，则应选用的函数模型是( )A ．y ＝ax ＋bB.y ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＋b (a >0)C ．y ＝x a ＋b (a >0) D.y ＝ax ＋b x(a >0，b >0)解析：选 B.由散点图可知，函数在(0，＋∞)上单调递减，且散点分布在一条曲线附近，函数y ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＋b 的图象为一条曲线，且当a >0时，该函数单调递减，符合题意，故选B.2.(多选)(人A 必修第一册P 155习题4.5T 9改编)如图，某池塘里浮萍的面积y (单位：m 2)与时间t (单位：月)的关系为y ＝a t .关于下列说法中正确的是( )A ．浮萍每月的增长率为1B ．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m 2C ．浮萍每月增加的面积都相等D ．若浮萍蔓延到2 m 2，3 m 2，6 m 2所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3 解析：选ABD.把(1，2)代入y ＝a t ，可得函数解析式为y ＝2t ， 因为2t ＋1－2t2t ＝1，所以每月增长率为1，A 对；当t ＝5时，y ＝32>30，所以B 对；第2个月增加2 m 2，第3个月增加4 m 2，C 错； 由2t 1＝2，2t 2＝3，2t 3＝6，所以2t 1·2t 2＝2t 3，故t 1＋t 2＝t 3，D 对．3．(人A 必修第一册P 96习题3.4T 5改编)下表是弹簧伸长长度x (单位：cm)与拉力F (单位：N)的相关数据：x 14.2 28.8 41.3 57.5 70.2 F12345写出能反映这一变化现象的函数为________．(不唯一)解析：根据点的分布特征，可以考虑用函数x ＝kF ＋b (k ≠0)作为刻画弹簧伸长长度与拉力关系的函数模型．取两组数据(1，14.2)，(4，57.5)，则⎩⎨⎧k ＋b ＝14.2，4k ＋b ＝57.5，解得⎩⎨⎧k ≈14.4，b ≈－0.2，所以x ＝14.4F －0.2.将已知数据代入上述解析式，或作出函数图象，可以发现，这个函数模型与已知数据拟合程度较好．答案：x ＝14.4F －0.2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( )(2)函数y ＝2x的函数值比y ＝x 2的函数值大．( ) (3)不存在x 0，使ax 0<x n 0<log a x 0.( )(4)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏1．(函数模型选择易误)某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100x B.y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2xD.y ＝100log 2x ＋100解析：选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证可知选C.2．(指数函数、对数函数性质不明致误)下面对函数f (x )＝log 12x 与g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中正确的为( )A ．f (x )的衰减速度越来越慢，g (x )的衰减速度越来越快B ．f (x )的衰减速度越来越快，g (x )的衰减速度越来越慢C ．f (x )的衰减速度越来越慢，g (x )的衰减速度越来越慢D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快解析：选C.在同一平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象如图所示，由图象可判断出衰减情况为：f(x)衰减速度越来越慢；g(x)衰减速度越来越慢，故选C.3．(平均增长率概念不清致误)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________．解析：设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，所以x＝（1＋p）（1＋q）－1.答案：（1＋p）（1＋q）－1考点一用函数图象刻画变化过程(自主练透)复习指导：能将实际问题转化为数学问题，会应用函数图象对实际问题进行描述．1．一种叫万年松的树的生长时间t(年)与树高y(m)之间的散点图如图所示．请你据此判断，拟合这种树生长的年数与树高的关系式，选择的函数模型最好的是( ) A．y＝2t B.y＝log2tC.y＝t3D.y＝2t2解析：选B.由图知，函数的增长速度越来越慢，排除A，C，D.选B.2．(2022·广州市综合检测(一))如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T. 若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h ＝f(t)的图象大致是( )解析：选B.水位由高变低，排除C，D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B.3．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )解析：选D.y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.4．(多选)(2022·福建厦门高三质检)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(单位：微克)与时间t(单位：小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则( )A．a＝3B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C．注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D．注射一次治疗该病的有效时间长度为53132小时解析：选AD.当t ＝1时，y ＝4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a＝4，解得a ＝3，所以y ＝⎩⎨⎧4t ，0≤t <1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t ≥1，故A 正确，药物刚好起效的时间，当4t ＝0.125，即t ＝132， 药物刚好失效的时间⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3＝0.125，解得t ＝6，故药物有效时长为6－132＝53132小时， 药物的有效时间不到6个小时，故B 错误，D 正确；注射该药物18小时后每毫升血液含药量为4×18＝0.5微克，故C 错误．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法：(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考点二 已知或选择函数模型解决实际问题(综合研析)复习指导：1.已知函数模型，用待定系数法确定解析式； 2．根据几种常见函数的增长差异选择函数模型．(1)(2022·江西高三月考)果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知在一定时间内，某种水果失去的新鲜度y 与其采摘后时间t (小时)近似满足的函数关系式为y ＝k ·m t (k ，m 为非零常数)，若采摘后20小时，这种水果失去的新鲜度为20%，采摘后30小时，这种水果失去的新鲜度为40%.那么采摘下来的这种水果大约经过多长时间后失去50%新鲜度(参考数据：lg 2≈0.3，结果取整数)( )A ．33小时 B.23小时 C ．35小时D.36小时(2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿的种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：时间t60100 180 种植成本Q 11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t . 利用你选取的函数，则①西红柿种植成本最低时的上市天数是________； ②最低种植成本是________元/100 kg. 【解析】 (1)由题意⎩⎨⎧k ·m 20＝20%k ·m 30＝40%，两式相除得m 10＝2，m ＝2110，代入得k ＝5%，所以y ＝5%·2t10，由50%＝5%·2t 10得2t10＝10，取对数得t 10lg 2＝1，t ＝10lg 2≈100.3≈33(小时)． (2)由题意知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，即Q ＝a (t －120)2＋m 描述，将表中数据代入可得⎩⎨⎧a （60－120）2＋m ＝116，a （100－120）2＋m ＝84，解得⎩⎨⎧a ＝0.01，m ＝80， 所以Q ＝0.01(t －120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.【答案】 (1)A (2)①120 ②80已知或选择函数模型解决实际问题的注意点(1)已知模型的实际问题，根据待定系数法确定模型，再利用模型求解实际问题．(2)选择模型的问题可结合函数图象，函数值的增长特点(增减、增长快慢)等选用合适的函数模型．|跟踪训练|(多选)纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国城市中有超过23的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2018年到2021年产生的包装垃圾量如下表：有下列函数模型：①y ＝a ·b x －2 018；②y ＝a sin πx2 018＋b (参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)，则( )A ．选择模型①，函数模型解析式y ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －2 018，近似反映该城市近几年产生的包装垃圾y (万吨)与年份x 的函数关系B ．选择模型②，函数模型解析式y ＝4sin πx2 018＋2 018，近似反映该城市近几年产生的包装垃圾y (万吨)与年份x 的函数关系C ．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2023年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨D ．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2024年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨解析：选AD.若选y ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －2 018，计算可得对应数据近似为4，6，9，13.5，若选y ＝4sin πx2 018＋2 018，计算可得对应数据近似值都大于2 014，显然A 正确，B 错误；按照选择函数模型y ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －2 018，令y >40，即4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －2 018>40，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －2 018>10，所以x －2 018>log 3210，所以x －2 018>lg 10lg 32＝1lg 3－lg 2≈5.678 6，所以x >2 023.678 6，即从2024年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C 错误，D 正确．考点三 构建函数模型解决实际问题(多维探究)复习指导：1.分析题意，寻找实际问题中起决定作用的两个变量． 2．确定两个变量间的关系，选择合适的函数模型． 角度1 构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型(链接常用结论2)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【解】 (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元， 依题意得，当0<x <8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x . 所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x <8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值，为9万元． 当x ≥8时，L (x )＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15，当且仅当x ＝100x时等号成立，即x ＝10时，L (x )取得最大值，为15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．角度2 构建指数函数、对数函数模型(1)(2022·长春高三摸底考试)2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8 000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有N 0只，则达到最初的16 000倍只需经过(参考数据：ln 1.05≈0.048 8，ln 16 000≈9.680 3)( )A ．191天 B.195天 C.199天D.203天(2)里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．【解析】(1)设过x天能达到最初的16 000倍，由已知可得，N0(1＋0.05)x＝16 000N0，所以x＝ln 16 000ln 1.05≈198.4，又x∈N，故经过199天能达到最初的16 000倍．(2)M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，则9＝lg A1－lg A0＝lg A1A，则A1A＝109，5＝lg A2－lg A0＝lgA2A，则A2A＝105，所以A1A2＝104.即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．【答案】(1)C (2)6 10 000(1)建模解决实际问题的三个步骤①建模：抽象出实际问题的数学模型．②推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解．③评价、解释：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．(2)构建函数模型解决实际问题，充分体现了数学建模的核心素养．[提醒] (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)利用模型f(x)＝ax＋bx求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．|跟踪训练|1．(多选)某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5 000册．要使该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为( )A ．2.5元 B.3元 C.3.2元D.3.5元解析：选BC.依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，设每册杂志定价为x (x >2)元，则发行量为⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x －20.2×0.5万册， 则该杂志销售收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x －20.2×0.5x 万元， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x －20.2×0.5x ≥22.4，化简得x 2－6x ＋8.96≤0，解得2.8≤x ≤3.2，故选BC.2．某种茶水用100 ℃的水泡制，再等到60 ℃时饮用可产生最佳口感．已知茶水温度y (单位：℃)与经过时间t (单位：min)的函数关系是：y ＝ka t ＋y 0，其中a 为衰减比例，y 0是室温，t ＝0时，y 为茶水初始温度，若室温为20 ℃，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1218，茶水初始温度为100 ℃，则k ＝________，产生最佳口感所需时间是________min.解析：由题意，y ＝ka t ＋20，当t ＝0时，有y ＝ka t ＋20＝k ＋20＝100，k ＝80， 则y ＝80a t ＋20，当y ＝60时，即80a t ＋20＝60，所以80a t ＝40，所以a t ＝12，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1218t ＝12，所以t ＝8.答案：80 8[A 基础达标]1．某种细菌在培养过程中，每15 min 分裂一次(由1个分裂成2个)，这种细菌由1个分裂成4 096个需经过的时间是( )A ．12 h B.4 h C.3 hD.2 h解析：选C.设这种细菌由1个分裂成4 096个需经过x次分裂，则4 096＝2x，解得x＝12，故所需时间t＝12×1560＝3 h.2．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：兔子和乌龟赛跑，领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是( )解析：选B.选项A表示龟兔同时到达；选项C表示兔子没有追赶乌龟；选项D表示兔子先到达终点．3．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A．略有盈利 B.略有亏损C．没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况解析：选B.设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．4．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为( )A．60安 B.240安C.75安D.135安解析：选D.由已知，设比例常数为k，则I＝k·r3.由题意，当r＝4时，I＝320，故有320＝k×43，解得k＝32064＝5，所以I＝5r3.故当r＝3时，I＝5×33＝135(安)．故选D.5．(2022·皖南八校联考)某购物网站在2021年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为________．解析：为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，又42＝11×3＋9，所以最少需要下的订单张数为3.答案：36．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．答案：87．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝a e－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：当t＝0时，y＝a；当t＝8时，y＝a e－8b＝12a，故e－8b＝12.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝a e－bt＝18a，e－bt＝18＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案：168．某工厂因排污比较严重，决定着手整治，第一个月污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表：污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f (x )＝20|x －4|(x ≥1)，g (x )＝203(x －4)2(x ≥1)，h (x )＝30|log 2x －2|(x ≥1)，其中x 表示月数，f (x )，g (x )，h (x )分别表示污染度．(1)试问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；(2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60? 解：(1)用h (x )模拟比较合理，理由如下： 因为f (2)＝40，g (2)≈26.7，h (2)＝30；f (3)＝20，g (3)≈6.7，h (3)≈12.5.由此可得h (x )更接近实际值，所以用h (x )模拟比较合理．(2)因为h (x )＝30|log 2x －2|在x ≥4时是增函数，h (16)＝60，所以整治后有16个月的污染度不超过60.9．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元，0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解：(1)设两类产品的收益与投资额的函数关系分别为f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x . 由已知得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2，所以f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)．(2)设投资股票类产品为x 万元， 则投资债券类产品为(20－x )万元．依题意得y ＝f (20－x )＋g (x )＝20－x 8＋12x ＝－x ＋4x ＋208(0≤x ≤20)． 所以当x ＝2，即x ＝4时，收益最大，y max ＝3万元．故投资债券类产品16万元，投资股票类产品4万元时获得最大收益，为3万元．[B 综合应用]10．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子物质的量的浓度(单位：mol/L ，记作[H ＋])和氢氧根离子物质的量的浓度(单位：mol/L ，记作[OH －])的乘积等于常数10－14.已知pH 值的定义为pH ＝－lg[H ＋]，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )A.12B.13C.16D.110解析：选C.因为[H ＋]·[OH －]＝10－14，所以[H ＋][OH －]＝[H ＋]2×1014，因为7.35<－lg[H＋]<7.45，所以10－7.45<[H ＋]<10－7.35，所以10－0.9<[H ＋][OH －]＝1014·[H ＋]2<10－0.7，10－0.9＝1100.9>110，lg 100.7＝0.7>lg 3>lg 2，所以100.7>3>2，10－0.7<13<12，所以110<[H ＋][OH －]<13.故选C.11．(2022·焦作温县一中10月月考)搭载神舟十二号载人飞船的长征二号F 遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射成功．此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用．在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量v (单位：千米/秒)可以用齐奥尔科夫斯基公式v ＝ωln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m M 来表示，其中，ω(单位：千米/秒)表示它的发动机的喷射速度，m (单位：吨)表示它装载的燃料质量，M (单位：吨)表示它自身(除燃料外)的质量．若某型号的火箭发动机的喷射速度为5千米/秒，要使得该火箭获得的最大速度v 达到第一宇宙速度(7.9千米/秒)，则火箭的燃料质量m 与火箭自身质量M 之比mM约为( )A ．e 1.58 B.e 0.58 C ．e 1.58－1D.e 0.58－1解析：选C.由题设，5ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m M ＝7.9，则m M ＝e 7.95－1＝e 1.58－1.12．(多选)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f (x )与时间x (天)之间的函数关系f (x )＝⎩⎨⎧－720x ＋1，0<x ≤1，15＋920x －12，1<x ≤30.则下列说法正确的是( )A ．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低B ．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多C ．9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%D ．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%解析：选ABC.由函数解析式可知f (x )随着x 的增加而减少，故A 正确；由图象可得B 正确；当1<x ≤30时，f (x )＝15＋920x －12，则f (9)＝15＋920×9－12＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C 正确；f (26)＝15＋920×26－12>15，故D 错误．13．燕子每年秋天都要从北方飞往南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁的燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q 10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)燕子静止时的耗氧量是________个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是________．解析：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入v ＝5log 2Q 10中可得0＝5log 2Q10，解得Q ＝10.(2)将耗氧量Q ＝80代入v ＝5log 2Q 10中，得v ＝5log 28010＝5log 28＝15 (m/s)． 答案：(1)10 (2)15 m/s14．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋(b －a )x .这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x ＝________．解析：由题意得x ＝c －ab －a ，(c －a )2＝(b －c )(b －a )，因为b －c ＝(b －a )－(c －a )，所以(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a )， 两边同除以(b －a )2，得x 2＋x －1＝0， 解得x ＝－1±52.因为0<x <1，所以x ＝5－12. 答案：5－12[C 素养提升]15．某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系t (x )＝⎩⎨⎧64，x ≤0，2kx ＋6，x ＞0，且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时． (1)该食品在8 ℃的保鲜时间是________小时；(2)已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且当日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了当日13时，甲所购买的食品________保鲜时间．(填“过了”或“没过”)解析：(1)因为食品在4 ℃的保鲜时间是16小时，所以24k ＋6＝16，解得k ＝－12.所以t (8)＝2－4＋6＝4.(2)由图象可知在11时之前，温度已经超过了10 ℃，此时该食品的保鲜期少于21＝2小时．而食品在11时之前已放了一段时间，所以到13时，该食品已过保鲜期．答案：(1)4 (2)过了16．(2022·上海高三月考)我国西部某省4A 级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好民俗文化基础设施后任何一个月内(每月按30天计算)每天的旅游人数f (x )与第x 天近似地满足f (x )＝8＋8x(千人)，且参观民俗文化村的游客人均消费g (x )近似地满足g (x )＝143－|x －22|(元)．(1)求该村的第x 天的旅游收入p (x )(单位：千元，1≤x ≤30，x ∈N *)；(2)若以最低日收入的20%作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？(一年以365天计算)解：(1)依据题意，有p (x )＝f (x )·g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋8x ·(143－|x －22|)(1≤x ≤30，x∈N *)＝⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋968x ＋976（1≤x ≤22，x ∈N *），－8x ＋1 320x ＋1 312（22<x ≤30，x ∈N *）.(2)①当1≤x ≤22，x ∈N *时，p (x )＝8x ＋968x＋976≥28x ·968x＋976＝1 152(当且仅当x ＝11时，等号成立)，因此，p (x )min ＝p (11)＝1 152(千元)．②当22<x≤30，x∈N*时，p(x)＝－8x＋1 320x＋1 312.求导可得p′(x)＝－8－1 320x2<0，所以p(x)＝－8x＋错误!＋1 312在(22，30]上单调递减，于是p(x)min＝p(30)＝1 116(千元)．又1 152>1 116，所以日最低收入为1 116千元．该村两年可收回的投资资金为 1 116×20%×5%×365×2＝8 146.8(千元)＝814.68(万元)，因为814.68万元>800万元，所以，该村在两年内能收回全部投资成本．21 / 21。

二次函数 模型

二次函数 模型
顶点： (1,2) Nhomakorabea1 2 x
-3 -2 -1 O -1 -2 -3
所以 ymax f 1 2 ,函数图象的对称轴是直线 x 1 ，
它在区间 ,1 上是增函数，在区间 1, 上是减函数.
教材P84，练习 A 组第 1、 2 题； 练习 B 组第 3 题．
y 2x2
y x2
当 a 0 时开口 向下,
对称轴是 y轴 ， 顶点坐标是 (0,0) ． 函数是 偶 函数．
a 越大，开口越
小 ．
y 2x2
y x2
附注 以上图象变化过程可 在主界面单击“y＝ax^2 的图象.gsp”文件观看.
y 3x2
例1
研讨二次函数 f ( x) 1 x 2 4 x 6 的性质与图象． 2 1 2 解 配方： f ( x) x 4 x 6 性 质： 2 1 2 1.在 x = - 4时，函数 ( x 8 x 12) 取最小值 - 2． 2 1 2 x 8 x 16 16 12 记为 ymin 2 2 1 2.点(-4，-2)是抛物线 ( x 4) 2 2 2 的顶点 ． 1 2 由于对任意实数 x，都有 ( x 4) 0 ， 2
函 函数 数 3.2.3 二次函数模型
函数 函数
二次函数的一般形式： y
ax bx c a 0
2
a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．
下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别指出二次项
系数，一次项系数，常数项． (1) y = 2x2＋3 x-1； √
1 (4) y = x＋ ； x
… …
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25

【常考压轴题】二次函数的定义五种模型全攻略—2023-2024学年九年级数学上册(浙教版)(解析版)

【常考压轴题】二次函数的定义五种模型全攻略—2023-2024学年九年级数学上册(浙教版)(解析版)

二次函数的定义五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一 二次函数的识别】 ............................................................................................................................ 1 【考点二 二次函数中各项的系数】 ................................................................................................................ 3 【考点三 利用二次函数的定义求参数】 ........................................................................................................ 4 【考点四 已知二次函数上一点，求字母或式子的值】 ................................................................................ 5 【考点五 列二次函数的关系式】 .................................................................................................................... 6 【过关检测】 .. (8)【典型例题】【考点一 二次函数的识别】【答案】B【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．【详解】解：A ．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B ．函数是二次函数，故本选项符合题意；C ．，函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； D ．函数不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如（、、为常数，）的函数，叫二次函数．22(1)21y x x x =+-=+2y ax bx c =++a b c 0a ¹【变式训练】【答案】D【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（a 、b 、c 是常数，）的函数叫做二次函数，进行判断．【详解】解：A 、当时，不是二次函数，故本选项错误；B 、由得到，是一次函数，故本选项错误；C 、该等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误；D 、由原函数解析式得到，符合二次函数的定义，故本选项正确．应选：D ．【点睛】此题考查了二次函数的定义，掌握定义，会根据定义进行判断是解题的关键． 【答案】D【分析】将函数进行化简后，根据二次函数的定义进行判断．【详解】A 、，是二次函数，故A 不符合题意；B 、，是二次函数，故B 不符合题意； C 、，是二次函数，故C 不符合题意；D 、，不是二次函数，故D 符合题意； 故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的定义，正确识别二次函数是解题的关键． 2y ax bx c =++0a ¹0a =2y ax bx c =++()22214y x x =--41y x =-+232y x x =-+21y =()2214y x =+-()()2113142222y x x x x =-+=+-()221122y x x x =--+=-+【考点二 二次函数中各项的系数】例题：（2023·全国·九年级假期作业）二次函数的二次项系数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据二次函数的定义“一般地，形如（a 、b 、c 是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项”作答即可．【详解】解：二次函数的二次项系数是． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 【变式训练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）二次函数的二次项系数与一次项系数的和为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【分析】将函数解析式化简，得到各系数，计算即可．【详解】解：， ∴二次项系数是2，一次项系数是，∴，故选：D ．【点睛】此题考查了二次函数定义，正确理解二次函数的各项的系数是解题的关键． 2．（2022·全国·九年级假期作业）二次函数的二次项系数是________． 【答案】2【分析】首先把二次函数化为一般形式，再进一步求得二次项系数． 【详解】解：y=2x （x-1） =2x2-2x ．所以二次项系数2． 故答案为：2．221y x x =--+11-22-2y ax bx c =++0a ¹221y x x =--+1-()32-=x x y 22-1-4-()23622x y x x x --==6-264-=-2(1)y x x =-【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．【考点三 利用二次函数的定义求参数】例题：（2023·全国·九年级假期作业）若函数是二次函数，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据二次函数的定义，即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（a ，b ，c 是常数，）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 【变式训练】【答案】C【分析】利用二次函数定义可得：，且，再解即可．【详解】由题意得：，且，解得：． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如(a 、b 、c 是常数，)的函数，叫做二次函数．2．（2023春·四川内江·九年级校考阶段练习）是二次函数，则m 的值是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B()2231y m x mx =+++2m ³-2m ¹2m ¹-2m =-20m +¹2m ¹-2y ax bx c =++0a ¹22m -=0m ¹22m -=0m ¹4m =2y ax bx c =++0a ¹()211m y m x +=-0m =1m =-1m =1m =±【分析】根据二次函数的定义即可求解．【详解】解：是二次函数，∴，，解得，， ∴． 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数的定义条件是：a 、b 、c 为常数，，自变量最高次数为2．【考点四 已知二次函数上一点，求字母或式子的值】例题：（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）若抛物线经过点，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】将点P 代入函数表达式中，解方程可得a 值．【详解】解：将代入中，得：， 解得：， 故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点，熟知二次函数图像上的点的坐标满足函数表达式是解题的关键． 【变式训练】1．（2022秋·天津西青·九年级校考阶段练习）抛物线过点（2，4），则代数式的值为（ ） A ．14 B ．2C ．－2D ．－14【答案】A【分析】将点（2，4）的坐标代入抛物线y=ax2+bx-3关系式，再整体扩大2倍，即可求出代数式的值． 【详解】解：将点（2，4）代入抛物线y=ax2+bx-3得： 4a+2b-3=4，()211m y m x +=-212m +=10m -¹1m =±1m ¹1m =-2y ax bx c =++0a ¹223y ax x =-+(1,2)P (1,2)P 223y ax x =-+22=121+3a -´´=1a 23y ax bx =+-84a b +.co整理得8a+4b=14. 故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟悉整体思想是解题的关键．2．（2022秋·山东泰安·九年级统考阶段练习）若抛物线经过点，则的值是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B 【分析】先把点代入解析式，得到，然后化简，整体代入即可得到答案.【详解】解：把点代入，得：， ∵ ；故选择：B.【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是灵活运用整体代入法解题.【考点五 列二次函数的关系式】一边长为，用含有x 的代数式表示y 为______，自变量x 的取值范围是_____．【答案】【分析】先求出另一边长，再根据长方形的面积公式即可得出y 与x 的关系式． 【详解】解：①由题意可知，这个长方形的周长为 又因为一边长为，所以另一边长为又∵长方形面积长宽，2y x bx c =-++()2,3-247c b --67820()2,3-2=7c b -247=2c b --（c-4b ）-7()2,3-2y x bx c =-++2=7c b -247=2c b --（c-2b ）-7277=7=´-xcm ()5y x x =-05x <<10cm,cm x 10cm,2x æö-ç÷èø=´10y x x æö\=´-.所以．②∵，∴∴自变量x 的取值范围是．故答案为：①；②．【点睛】本题主要考查了列函数关系式，准确分析列式是解题的关键． 【变式训练】1．（2022秋·九年级单元测试）一台机器原价为万元，如果每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，则与之间的函数关系式为_____．【答案】【分析】根据题意列出函数解析式即可．【详解】解：∵一台机器原价为万元，每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，∴与之间的函数关系式为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格原价．2．（2023·浙江·九年级假期作业）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元．(1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．(2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 【答案】(1)()；(2)()【分析】（1）根据与写成一次函数解析式，设为，把与的两对值代入求出与的值，即可确定出与的解析式，并求出的范围即可；25y x x =-1002x ->5x <05x <<25y x x =-05x <<50()0x x >y y x ()2501y x =-50()0x x >y y x ()2501y x =-()2501y x =-=()21x ´-y x 60x =8050y x ==；100y =y x x w x 2200y x =-+3070x ££222606450w x x =-+-3070x ££y x y kx b =+x y k b y x xz（2）根据利润=单价销售量列出关于的二次函数解析式即可． 【详解】（1）设与的函数关系式为．时，，时，，，解得，，根据部门规定，得．（2）【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．【过关检测】一、选择题【答案】D【分析】根据二次函数的一般形式，即(，且a ，b ，c 为常数)，即可一一判定．【详解】解：A.中含分式，不满足二次函数的一般形式，故该函数不是二次函数；B.在中，当时，不是二次函数，故该选项不符合题意；´w x y x y kx b =+60x =Q 80y =50x =100y =608050100k b k b +=ì\í+=î2200k b =-ìí=î2200y x \=-+3070x ££22(30)450(30)(2200)45030702260600045022606450w x y x x x x x x x =--=--+-=-+--=-£-£+（）2y ax bx c =++0a ¹2121y x x =-+2y ax bx c =++0a =C.，不是二次函数，故该选项不符合题意； D.，是二次函数，故该选项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的识别，熟练掌握和运用二次函数的一般形式是解决本题的关键． 2．（2022春·全国·九年级专题练习）函数的一次项系数是（ ） A ． B ．1 C ．3 D ．6【答案】A【分析】根据二次函数的相关概念即可得.【详解】解：函数的一次项系数是；故选：A.【点睛】本题考查了二次函数的基本概念，属于应知应会题型，熟知二次函数的基本知识是关键. 3．（2022·全国·九年级假期作业）在抛物线上的一个点的坐标为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【分析】将各个点的坐标代入抛物线解析式中，如等式成立，则点在抛物线上． 【详解】A ，(0,−4)的坐标代入抛物线解析式中,02-4×0-5≠-4,A 错误 B ，(2,0)的坐标代入抛物线解析式中，22-4×2-5≠0，B 错误C ，(1,0)的坐标代入抛物线解析式中，12-4×1-5≠0，C 错误D ，(-1,0)的坐标代入抛物线解析式中，（-1）2-4×（-1）-5=0，D 正确 故选：D【点睛】此题考查抛物线的解析式，将点的坐标一一代入抛物线解析式中，判断等式是否成立是解本题的关键．4．（2023·浙江·九年级假期作业）下列函数关系中，是二次函数的是（ ） A ．在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体质量x 之间的关系 B ．当距离一定时，火车行驶的时间t 与速度v 之间的关系 C ．等边三角形的周长C 与边长a 之间的关系 D ．半圆面积S 与半径R 之间的关系()2271449y x x x =-+=--()()2131321y x x x x =+-=+-2361y x x =-+6-2361y x x =-+6-245y x x =--()0,4-()2,0()1,0()1,0-【答案】D【分析】根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可．二次函数定义：一般地，把形如（a 、b 、c 是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a 称为二次项系数，b 为一次项系数 ，c 为常数项．x 为自变量，y 为因变量．【详解】解：A 、关系式为：y=kx+b ，是一次函数，不符合题意； B 、关系式为：，是反比例函数，不符合题意；C 、关系式为：，是正比例函数，不符合题意；D 、关系式为：，是二次函数，符合题意．故选：D ．【点睛】此题考查了二次函数的定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 5．（2022秋·九年级单元测试）对于关于x 的函数，下列说法错误的是( )A ．当时，该函数为正比例函数B ．当时，该函数为一次函数C ．当该函数为二次函数时，或D ．当该函数为二次函数时， 【答案】C【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的定义判断即可． 【详解】、当时，该函数为正比例函数，故不符合题意；、当时，，即，该函数为一次函数，故不符合题意；、当时，该函数为正比例函数，故符合题意；、当该函数为二次函数时，，故不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数、二次函数的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 二、填空题6．（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）二次函数中，当时，y 的值是________． 【答案】0【分析】把代入计算即可． 【详解】解：当时，，2y ax bx c =++0a ¹st v =3C a =2S R p =2(1)3m my m x x -=++1m =-21m m -=2m =1m =-2m =A 1m =-3y x =B 21mm -=m =40m +¹C 1m =-3y x =D 2m =2=23y x x --=1x -=1x -2=23y x x --=1x -2=23=123=0y x x ---+故答案为：0．【点睛】本题考查了求二次函数的值，解题的关键是把代入计算．7．（2022春·全国·九年级专题练习）把y ＝（2－3x ）（6＋x ）变成y ＝ax ²＋bx ＋c 的形式，二次项为____，一次项系数为______，常数项为______．【答案】 －16 12【解析】略8．（2023秋·河南洛阳·九年级统考期末）已知函数是关于 的二次函数，则一次函数的图像不经过第_______象限．【答案】二【分析】先根据二次函数的定义得到，，解得，然后根据一次函数的性质进行判断． 【详解】∵函数是关于 的二次函数， ∴且，解得：，∴一次函数的图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故答案为：二【点睛】本题考查了二次函数的定义以及一次函数的性质，求得是解题的关键．【答案】②④/④②【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．【详解】解：①为一次函数；②为二次函数； ③自变量次数为3，不是二次函数；④为二次函数； =1x -2=23y x x --23x -||1(1)45m y m x x +=++-x y mx m =-12m +=10m +¹1m =||1(1)45m y m xx +=++-x 12m +=10m +¹1m =y mx m =-1m =55y x =-231y x =-3343y x x =-2221y x x =-+z m ⑤函数式为分式，不是二次函数．故答案为②④．【点睛】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．10．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）如图，矩形绿地的长和宽分别为和．若将该绿地的长、宽各增加，扩充后的绿地的面积为，则y 与x 之间的函数关系是______．（填“正比例函数关系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”）【答案】二次函数关系【分析】根据矩形面积公式求出y 与x 之间的函数关系式即可得到答案．【详解】解：由题意得，∴y 与x 之间的函数关系是二次函数关系，故答案为；二次函数关系．【点睛】本题主要考查了列函数关系式和二次函数的定义，正确列出y 与x 之间的函数关系式是解题的关键．三、解答题11．（2023·浙江·九年级假期作业）下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数y =21x 30m 20m m x 2m y ()()2302050600y x x x x =++=++【答案】(1)不是二次函数，是一次函数(2)，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0 (3)不是二次函数(4)，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是2，常数项是-3(5)时，不是二次函数 (6)时，不是二次函数【分析】（1）观察函数解析式，不含二次项，不是二次函数；（2）根据二次函数的定义即可判断；（3）根据二次函数的定义即可判断；（4）根据二次函数的定义即可判断； （5）根据二次函数的定义即可判断；（6）根据二次函数的定义即可判断．【详解】（1）不是二次函数，是一次函数； （2），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0； （3）不是二次函数； （4），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是2，常数项是；（5）时，不是二次函数； （6）时，不是二次函数．【点睛】本题考查了二次函数的识别，掌握二次函数的定义是解题的关键．二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数． 12．（2023·浙江·九年级假期作业）若．(1)m 取什么值时，此函数是二次函数？(2)m 取什么值时，此函数是一次函数？ 1y x =-+22x y =-12-222y x x =+-21233y x x =+-130a =2y ax bx c =++0m =2243y m x x =+-1y x =-+22x y =-12-222y x x =+-21233y x x =+-133-0a =2y ax bx c =++0m =2243y m x x =+-2y ax bx c =++a b c 、、0a ¹()22113m m y m +-=-+z【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二次函数的定义得出，进而即可求解；（2）根据一次函数的定义得出，进而即可求解．【详解】（1）解：(1)当是二次函数时，有，解得，∴当时，此函数是二次函数；（2）当是一次函数时，有，解得∴【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的定义，解一元二次方程，熟练掌握二次函数与一次函数的定义是解题的关键．13．（2022秋·浙江·九年级期末）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x 元．(1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x 的代数式表示）．(2)设销售利润为y ，请写出y 关于x 的函数关系式．(3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？【答案】(1)3m =-1m =-1m =-210212m m m -¹ìí+-=î210211m m m -¹ìí+-=î()22113m m y m +-=-+210212m m m -¹ìí+-=î3m =-3m =-()22113m m y m +-=-+210211m m m -¹ìí+-=î1m =-1m =-1m =-1m =-()4010x +(2)(3)24元/千克【分析】（1）根据“当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克”可直接得出结论；（2）利用利润=（售价-成本）×销售量可得出结论；（3）令y=480，求出x 的值，再根据题意对x 的值进行取舍即可．【详解】（1）根据题意得，降价后平均每天可以销售荔枝：（40+10x ）千克，故答案为：（40+10x ）．（2）根据题意得，整理得（3）令，代入函数得，解方程，得，因为要尽可能地清空库存，所以舍去取此时荔枝定价为（元/千克）答：应将价格定为24元/千克．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，列代数式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．14．（2023秋·宁夏石嘴山·九年级统考期末）在矩形中，，E 是AB 边上一动点，以1cm /s 的速度从点B 出发，到A 停止运动；F 是BC 边上一动点，以2cm /s 的速度从点B 出发，到点C 停止运动．设动点运动的时间为t（s ），的面积为S （cm 2）(1)求S 关于t 的函数表达式，并求自变量t 的取值范围．(2)当△DEF 是直角三角形时，求△DEF 的面积．【答案】(1)21060400y x x =-++()()40102818y x x =+--21060400y x x =-++480y =21060400480x x -++=14x =22x =2x =4x =28424-=ABCD 6,12AB cm BC cm ==DEF !212,06S t t t =-+<£(2)或【分析】（1）先求出，再根据解答即可； （2）先求出，，，再分①当为直角时，②当为直角时，③当为直角时三种情况讨论，应用勾股定理求出t 的值，即可得答案．【详解】（1）解：， ，，根据题意得，解得：；（2）由勾股定理可得， ，，，①当为直角时，，即 解得，；②当为直角时，，即， 解得或， 23334cm 236cm ()(),2,6,122BE tcm BF tcm AE t cm CF t cm ===-=-D E F A E D B E F C D FA B C D S S S S S =---!!!!矩形22225E F B E B F t =+=2222448180D F C D C F t t =+=-+222212180D E A D A E t t =+=-+EDF ÐDEF ÐDFE Ð()()26122!!!B E t cmBF t cmA E t cmC F t cm ===-=-!D E F A E D B E F C D F A B C D S S S S S =---!!!!"矩形()()21111261262612212222S t t t t t t \=喘创--喘创-=-+0601220t t t >ìï-³íï-³î06t <£22225E F B E B F t =+=2222448180D F C D C F t t =+=-+222212180D E A D A E t t =+=-+EDF Ð222EF DE DF =+222512180448180t t t t t =-++-+6t =()22612636S cm \=-+´=DEF Ð222DF DE EF =+22612180448180t t t t -+=-+0=t 18-，都不符合；③当为直角时，，即， 解得（舍）或， ． 【点睛】本题考查了函数关系式，解题的关键是找到． 06t !\DFE Ð222DE DF EF =+222544818012180t t t t t +-+=-+0=t 92t =()229931233224S cm æö\=-+´=ç÷èøD E F A E D B E F C D F A B C D S S S S S =---!!!!矩形。

中学数学第九节 函数模型及其应用

中学数学第九节 函数模型及其应用

第九节函数模型及其应用【最新考纲】 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．(2)反比例函数模型：y＝kx(k≠0)．(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．(4)指数函数模型：y＝a·b x＋c(b>0，b≠1，a≠0)型．(5)对数函数模型：y＝mlog a x＋n(a>0，a≠1，m≠0)型．(6)幂函数模型：y＝a·x n＋b(a≠0)型．2．三种函数之间增长速度的比较(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．()(2)幂函数增长比直线增长更快．()(3)不存在x0，使ax0<x n0<log a x0.()(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)<f(x)<g(x)．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到() A．200 只B．300 只C．400 只D．500 只解析：依题意100＝alog 3(2＋1)，得a ＝100，∴y ＝100 log 3(8＋1)＝200 (只)．答案：A3．(2015·陕西卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.答案：C4．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )解析：前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A 、C 图象符合要求，而后3年年产量保持不变．产品的总产量应呈直线上升，故选A.答案：A5．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价收费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另外每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析：设出租车行驶了x km ，付费y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋2.15×（x －3）＋13<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85×（x －8）＋1，x>8.当x ＝8时，y ＝19.75<22.6，因此由8＋2.15×5＋2.85×(x －8)＋1＝22.6得x ＝9.答案：9一个程序解决实际应用问题的一般步骤(四步八字)1．审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；2．建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；3．求模：求解数学模型，得出数学结论：4．还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：三点注意1．认真分析题意，合理选择函数模型是解决应用问题的基础．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．一、选择题1．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象是()解析：注意到y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.答案：D2．(2014·湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B.（p ＋1）（q ＋1）－12C.pqD.（p ＋1）（q ＋1）－1解析：设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p ＋1)(q ＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则(1＋x)2＝(p ＋1)(q ＋1)，解得x ＝（p ＋1）（q ＋1）－1.答案：D3．某个体企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪都比上一年增加20%，另外每年新招3名工人，每名新工人的第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，如果将第n 年企业付给工人的工资总额y(万元)表示成n 的函数，则其表达式为( )A ．y ＝(3n ＋5)1.2n ＋2.4B ．y ＝8×1.2n ＋2.4nC ．y ＝(3n ＋8)1.2n ＋2.4D ．y ＝(3n ＋5)1.2n －1＋2.4解析：第一年企业付给工人的工资总额为：1×1.2×8＋0.8×3＝9.6＋2.4＝12(万元)，而对4个选择项来说，当n ＝1时，C 、D 相对应的函数值均不为12，故可排除C 、D ，A 、B 相对应的函数值都为12，再考虑第2年企业付给工人的工资总额及A 、B 相对应的函数值，又可排除B.答案：A4．一高为H ，满缸水量为V 的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h 时的水的体积为v ，则函数v ＝f(h)的大致图象可能是图中的( )解析：当h ＝0时，v ＝0可排除A 、C ；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h 在H 2附近时，体积变化较快；h 小于H 2时，增加越来越快；h 大于H 2时，增加越来越慢． 答案：B二、填空题6．A、B两只船分别从在东西方向上相距145 km的甲乙两地开出，A从甲地自东向西行驶．B从乙地自北向南行驶，A的速度是40 km/h，B的速度是16 km/h，经过________小时，AB间的距离最短．解析：设经过x h，A，B相距为y km，则y ＝（145－40x ）2＋（16x ）2(0≤x ≤298)， 求得当函数取最小值时x 的值为258. 答案：2587．(2017·长春模拟)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝ae －bt (cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝ae －8b ＝12a ， ∴e －8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时， 即y ＝ae －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ， 则t ＝24，所以再经过16 min.答案：168．要制作一个容积为4 m 3, 高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)解析：设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4xm ， 依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ×4x ＝160⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取等号，所以该容器的最低总造价为160元．答案：160三、解答题10．某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时．本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x－0.4)元成反比例．又当x＝0.65时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]解析：(1)∵y 与(x －0.4)成反比例， ∴设y ＝kx －0.4(k ≠0)． 把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式， 得0.8＝k0.65－0.4，k ＝0.2.∴y ＝0.2x －0.4＝15x －2，即y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2. (2)根据题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15x －2·(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)．整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0， 解得x 1＝0.5，x 2＝0.6.经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根． ∵x 的取值范围是0.55～0.75， 故x ＝0.5不符合题意，应舍去． ∴x ＝0.6.∴当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.B 级 能力提升1．(2017·北京海淀区一模)已知A(1，0)，点B 在曲线G ：y ＝lnx 上，若线段AB 与曲线M ：y ＝1x 相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点．那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：设B(t ，ln t)，则AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 2，ln t 2，所以有ln t 2＝21＋t ，ln t ＝41＋t ，因此关联点的个数就为方程ln t ＝41＋t 解的个数，由于函数y ＝ln t ，y ＝41＋t在区间(0，＋∞)上分别单调递增及单调递减，所以只有一个交点．答案：B2．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f(n)＝12n(n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是______年．解析：设第n(n ∈N *)年的年产量为a n ， 则a 1＝12×1×2×3＝3；当n ≥2时，a n ＝f(n)－f(n －1)＝12n(n ＋1)·(2n ＋1)－12n(n －1)(2n －1)＝3n 2. 又a 1＝3也符合a n ＝3n 2，所以a n ＝3n 2(n ∈N *)．令a n ≤150，即3n 2≤150，解得－52≤n ≤52，所以1≤n ≤7，n∈N*，故最长的生产期限为7年.答案：73．(2015·江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M 到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l1，l2所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝ax2＋b(其中a，b为常数)模型．(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为l.①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．解：(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)．将其分别代入y ＝ax 2＋b，得⎩⎨⎧a25＋b＝40，a400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x 2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1 000t 2，设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点， y ′＝－2 000x3，则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t3(x －t)，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2. 故f(t)＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22 ＝32t 2＋4×106t4，t ∈[5，20]．②设g(t)＝t2＋4×106t4，则g′(t)＝2t－16×106t5.令g′(t)＝0，解得t＝10 2.当t∈(5，102)时，g′(t)<0，g(t)是减函数；当t∈(102，20)时，g′(t)>0，g(t)是增函数；从而，当t＝102时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min ＝300，此时f(t)min＝15 3.故当t＝102时，公路l的长度最短，最短长度为153千米．基本初等函数与函数的应用指数函数、对数函数是高考考查的热点，题型多以小题的形式出现，中低档难度；二次函数、函数的零点问题是高考考查的重点与热点，题型多以小题或大题的关键一步出现，中高档难度；备考时应理解相关概念，掌握其性质，并切实加强等价转化、数形结合、分类讨论思想的应用意识．强化点1 二次函数（多维探究）三个二次即二次函数、二次方程、二次不等式等知识交汇命题是高考考查的高频考点．常见的命题角度有：(1)二次函数的最值问题；(2)二次函数中恒成立问题；(3)二次函数的零点问题．角度一 二次函数的最值问题1．已知a 是实数，记函数f(x)＝x 2－2ax 在区间[0，1]上的最小值为f(x)min ，求f(x)min 的解析式．解：∵f(x)＝x 2－2ax ＝(x －a)2－a 2，对称轴为x ＝a. ①当a<0时，f(x)在[0，1]上是增函数， ∴f(x)min ＝f(0)＝0.②当0≤a ≤1时，f(x)min ＝f(a)＝－a 2. ③当a>1时，f(x)在[0，1]上是减函数， ∴f(x) min ＝f(1)＝1－2a ，综上所述，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，a<0，－a 2，0≤a ≤1，1－2a ，a>1.角度二 二次函数中恒成立问题2．已知a 是实数，函数f(x)＝2ax 2＋2x －3在[－1，1]上恒小于零，求实数a 的取值范围．解：2ax 2＋2x －3<0在[－1，1]上恒小于0. 当x ＝0时，适合．当x ≠0时，a<32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a<12.综上，实数a 的取值范围是a<12.角度三 二次函数的零点问题3．(2017·郑州二检)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x>ax 2＋5x ＋2，x ≤a，函数g(x)＝f(x)－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，1)B ．[0，2]C ．[－2，2)D ．[－1，2)解析：由题意知g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x>ax 2＋3x ＋2，x ≤a .因为g(x)有三个不同的零点，所以2－x ＝0在x>a 时有一个解，由x ＝2得a<2. 由x 2＋3x ＋2＝0得x ＝－1或x ＝－2， 由x ≤a 得a ≥－1.综上，a 的取值范围为[－1，2)． 答案：D二次函数图象与性质问题解题策略1．对于二次项系数含参数的二次函数、方程、不等式问题，应对参数分类讨论，应以x 2的系数是否为0为标准分类讨论．2．当二次函数的对称轴不确定时，应分类讨论，分类讨论的标准就是对称轴在区间的左、中、右三种情况．3．求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．强化点2指数函数与对数函数【例2】已知0<a<1，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝log a x的图象在同一坐标系中可以是()解析：因为0<a<1，所以1a >1，所以函数f(x)＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 的图象过点(0，1)且单调递增，函数g(x)＝log a x 的图象过点(1，0)且单调递减．答案：D已知含参函数的解析式，判断其图象的关键是：根据函数解析式明确函数的定义域、值域，函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断，即可得出正确选项．若能熟记基本初等函数图象特征与性质，则解答此类题目就可事半功倍．【变式训练】 已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f(log 47)，b ＝f(log 123)，c ＝f(0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c<a<bB ．c<b<aC ．b<c<aD ．a<b<c 解析：log 123＝－log 23＝－1og 49，b ＝f(log 123)＝f(－log 49)＝f(log 49)，log 47<log 49，0.2－0.6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35＝5125>532＝2>log 49，又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的， ∴f(0.2－0.6)<f(log 123)<f(log 47)，即c<b<a.答案：B强化点3 函数的应用【例3】 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f （x －1），x>0，若方程f(x)＝x ＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[0，1)C ．(－∞，1]D ．[0，＋∞) 解析：函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f （x －1），x>0的图象如图所示，当a<1时，函数y ＝f(x)的图象与函数f(x)＝x ＋a 的图象有两个交点，即方程f(x)＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根．答案：C解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围内的大前提，以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能．【变式训练】 (1)函数f(x)＝3x ＋12x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)解析：因为函数f(x)在定义域上单调递增， 又f(－2)＝3－2－1－2＝－269<0，f(－1)＝3－1－12－2＝－136<0，f(0)＝30＋0－2＝－1<0.f(1)＝3＋12－2＝32>0，所以f(0)f(1)<0.所以函数f(x)的零点所在区间是(0，1)． 答案：C(2)(2014·湖北卷)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)＝x 2－3x ，则函数g(x)＝f(x)－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}解析：令x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋3x ＝x 2＋3x. 因为f(x)是定义在R 上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－3x.所以当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.当x<0时，g(x)＝－x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋7>0(舍去)或x＝－2－7.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为{－2－7，1，3}．答案：D一、选择题1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0，2B．0，1 2C．0，－12D．2，－12解析：∵2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．∴零点为0和－1 2.答案：C2．(2015·山东卷)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )A ．a<b<cB ．a<c<bC ．b<a<cD ．b<c<a解析：因为函数y ＝0.6x 是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，即b<a<1.因为函数y ＝x 0.6在(0，＋∞)上是增函数，1<1.5，所以1.50.6>10.6＝1，即c>1.综上，b<a<c.答案：C3．已知a ，b ，c ∈R ，函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )A ．a>0，4a ＋b ＝0B ．a<0，4a ＋b ＝0C ．a>0，2a ＋b ＝0D ．a<0，2a ＋b ＝0解析：由f(0)＝f(4)知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，即－b2a ＝2，所以4a ＋b ＝0，又f(0)>f(1)且f(0)，f(1)在对称轴同侧，故函数f(x)在(－∞，2]上单调递减，则抛物线开口方向朝上，知a>0.答案：A4．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1，或x>12}，则f(10x )>0的解集为( )A ．{x|－1<x<－lg 2}B ．{x|x<－1，或x>－lg 2}C ．{x|x>－lg 2}D ．{x|x<－lg 2}解析：由题意知，f(x)>0的解集为{x|－1<x<12}．由f(10x)>0，∴－1<10x<12，解得x<lg 12，即x<－lg 2.答案：D5．如图是函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的图象，则函数g(x)＝ln x ＋f′(x)的零点所在区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．(1，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(2，3) 解析：由f(x)的图象知0<b<1，f(1)＝0，从而－2<a<－1，g(x)＝ln x ＋2x ＋a ，g(x)在定义域内单调递增，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋1＋a<0，g(1)＝2＋a>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·g(1)<0.答案：C6．当x ∈[－2，2]时，a x <2(a>0，且a ≠1)，则实数a 的范围是( )A ．(1，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1∪(1，2) D ．(0，1)∪(1，2) 解析：x ∈[－2，2]时，a x <2(a>0，且a ≠1)，若a>1，y ＝a x 是一个增函数，则a 2<2，得a< 2. 故有1<a< 2.若0<a<1，y ＝a x是一个减函数，则a －2<2，a>22.故有22<a<1.综上知a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1∪(1，2)． 答案：C二、填空题7．(2015·课标全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，则a ＝________．解析：∵f(x)＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2. 答案：－28．(2015·安徽卷)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________．解析：lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1. 答案：－19. 已知函数f(x)＝ax 2＋4x ＋1在区间(－∞，1)有零点，则实数a 的取值范围为________．解析：当a ＝0时，f(x)＝4x ＋1，函数f(x)的零点为x ＝－14，符合题意．当a>0时，只需Δ＝16－4a ≥0，即0<a ≤4. 当a<0时，函数f(x)在(－∞，1)上一定有零点．综上知，a ≤4. 答案：(－∞，4] 三、解答题10．函数f(x)＝m ＋log a x(a>0且a ≠1)的图象过点(8，2)和(1，－1)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)令g(x)＝2f(x)－f(x －1)，求g(x)的最小值及取得最小值时x 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧f （8）＝2，f （1）＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f(x)＝－1＋log 2x. (2)g(x)＝2f(x)－f(x －1)＝2(－1＋log 2x)－[－1＋log 2(x －1)] ＝log 2x 2x －1－1(x>1)．∵x 2x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥2 （x －1）·1x －1＋2＝4.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增， 则log 2x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g(x)取得最小值1.。

中考数学常见模型

中考数学常见模型

中考数学常见模型中考数学常见模型是中等难度的数学问题，涵盖了数学的各个方面，包括代数、几何、概率等等。

下面将列举一些常见的数学模型，以帮助同学们更好地准备中考数学。

一、代数模型：1.一次函数模型：y=kx+b，其中k和b为常数，表示一条直线的方程。

常用于描述速度、距离等线性关系。

2.二次函数模型：y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数。

常用于描述抛物线的形状，如物体自由落体的高度和时间关系。

3.百分比模型：常用于计算百分比，如增长率、折扣率等。

4.平均数模型：用于求平均数，如求一组数的算术平均数、几何平均数等。

5.方程与不等式模型：常用于解决方程和不等式问题，如线性方程、二次方程、绝对值和分数方程等。

二、几何模型：1.面积和体积模型：常用于求解平面图形和立体图形的面积和体积，如矩形、三角形、圆形、圆柱体、球体等。

2.相似模型：用于表示两个形状相似的几何图形之间的比例关系。

3.三角模型：用于解决三角形相关问题，如正弦定理、余弦定理、面积公式等。

4.坐标模型：用于求解平面上的坐标问题，如平面直角坐标系和极坐标系等。

三、概率模型：1.事件模型：用于描述事件的概率，如事件的可能性、互斥事件、相对频率等概念。

2.随机模型：用于分析随机事件的发生概率和期望值，如抛硬币、掷骰子等。

3.条件概率模型：用于计算在已知某些条件下的事件发生概率，如加法原理、乘法原理等。

四、函数模型：1.函数关系模型：用于描述函数之间的关系，如函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等。

2.复合函数模型：用于把多个函数组合成一个新函数，如复合函数的求导、求导法则等。

3.反函数模型：求一个函数的反函数，如对数函数和指数函数的互为反函数等。

以上只是一部分常见的数学模型，同学们在备考中还需根据自己的实际情况进行重点复习和应用。

在解题过程中，要善于分析题意，理解问题，找到合适的数学模型进行求解。

并且要注意解题的思路和方法，培养逻辑思维能力，灵活运用各种数学知识和模型，提高解题的准确性和效率。

函数模型及其应用

函数模型及其应用

1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)2.三种函数模型性质比较y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同常用结论“对勾”函数的性质形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－a)和(a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．(2)当x>0时，x＝a时取最小值2a，当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)幂函数增长比直线增长更快．()(2)不存在x0，使a x0<x n0<log a x0.()(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x a (a >1)的增长速度．( )(4)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 二、易错纠偏常见误区| (1)对三种函数增长速度的理解不深致错； (2)建立函数模型出错；(3)分段函数模型的分并把握不准．1．已知f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是 ( )A ．f (x )>g (x )>h (x )B ．g (x )>f (x )>h (x )C ．g (x )>h (x )>f (x )D ．f (x )>h (x )>g (x )解析：选B ．由图象知，当x ∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g (x )>f (x )>h (x )．故选B ．2．在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如表，则对x ，y A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析：选D ．根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．3．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行程千米数x (km)之间的函数关系式是________．解析：由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100.答案：y ＝⎩⎨⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100利用函数图象刻画实际问题(师生共研)(2020·高考北京卷)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W ＝f (t )，用－f （b ）－f （a ）b －a的大小评价在[]a ，b 这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论：①在[t 1，t 2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在t 2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在t 3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2.t 3]这三段时间中，在[0，t 1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是________． 【解析】 设y ＝－f （b ）－f （a ）b －a，由已知条件可得甲、乙两个企业在[t 1，t 2]这段时间内污水治理能力强弱的数值计算式为－f （t 2）－f （t 1）t 2－t 1，由题图易知y 甲>y 乙，即甲企业的污水治理能力比乙企业强，所以①对；由题意知在某一时刻企业污水治理能力的强弱由这一时刻的切线的斜率的绝对值表示，所以②对；在t3时刻，由题图可知甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以③对；由计算式－f（b）－f（a）b－a可知，甲企业在[0，t1]这段时间内污水治理能力最弱，所以④错．【答案】①②③正确理解题目所给的信息，并把信息翻译成数学问题是解决本题的第一个关键；理解一段时间内企业污水治理能力的强弱的计算式，并把这个计算式与函数图象在某点处切线的斜率联系起来是正确解决本题的第二个关键．1．(2020·河南信阳质量检测)如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2，3所示．根据图象判断下列说法正确的是()①图2的建议为减少运营成本；②图2的建议可能是提高票价；③图3的建议为减少运营成本；④图3的建议可能是提高票价．A．①④B．②④C．①③D．②③解析：选A．根据题意和题图2知，两条直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0，但是支出变少了，说明此建议是降低成本而保持票价不变．由题图3知，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，也就是票价提高了，说明此建议是提高票价而保持成本不变，综上可得①④正确，②③错误．故选A．2．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A．消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 kmB．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80 km/h的速度行驶1 h，消耗10 L汽油D．某城市机动车最高限速80 km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析：选D．对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗1 L汽油的行驶路程可大于5 km，所以A错误，对于B选项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于C选项，甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L，故行驶1 h的路程为80 km，消耗8 L汽油，所以C错误，对于D选项，当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确．已知函数模型解决实际问题(师生共研)(1)人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)＝9lgx1×10－13.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的()A ．1倍B ．10倍C ．100倍D ．1 000倍(2)(2020·陇西咸阳二模)为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y (mg/m 3)与时间t (h)的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0<t <12，1kt ，t ≥12(如图所示)，实验表明，当药物释放量y <0.75(mg/m 3)时对人体无害．求：①k ＝________；②为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过________分钟人方可进入房间．【解析】 (1)设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为x 1 W/m 2，x 2 W/m 2，根据题意得d (x 1)＝9lg x 11×10－13＝63，解得x 1＝10－6， d (x 2)＝9lg x 21×10－13＝54， 解得x 2＝10－7，所以x 1x 2＝10，所以老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，故选B ．(2)①由题图可知，当t ＝12时，y ＝1，即1k ×12＝1⇒k ＝2.②由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧t ≥12，12t <0.75，解得t >23，故为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过23×60＝40(分钟)人方可进入房间．【答案】 (1)B (2)2 40求解所给函数模型解决实际问题的关键点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．(2020·河南安阳模拟)5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C ＝W log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋S N .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN 从1 000提升至2 000，则C 大约增加了( )A ．10 %B ．30 %C ．50 %D ．100 %解析：选A ．将信噪比SN 从 1 000提升至 2 000，C 大约增加了W log 2（1＋2 000）－W log 2（1＋1 000）W log 2（1＋1 000）＝log 22 001－log 21 001log 21 001≈10.967－9.9679.967≈10 %，故选A ．构建函数模型解决实际问题(多维探究) 角度一 构造一次函数、二次函数模型(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为______kg.(2)将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个．为了赚得最大利润，每个售价应定为______元．【解析】 (1)由图象可求得一次函数的解析式为y ＝30x －570，令30x －570＝0，解得x ＝19.(2)设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)·[400－(x －90)·20]＝－20[(x －95)2－225]．所以当x ＝95时，y 最大． 【答案】 (1)19 (2)95角度二 构建指数函数、对数函数模型某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2021年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2023年 B ．2024年 C ．2025年D ．2026年【解析】 根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2021年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中，首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n >4.8，即a 5开始超过200，所以2025年投入的研发资金开始超过200万元，故选C ．【答案】 C角度三构建函数y＝ax＋bx(a＞0，b＞0)模型某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．【解】设该养殖场x(x∈N*)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y元．因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)．从而有y＝1x(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝300x＋3x＋357≥417，当且仅当300x ＝3x，即x＝10时，y有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．角度四构建分段函数模型某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？【解】(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3，因为x为整数，所以3≤x≤6，x∈Z.当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x 2＋68x －115＞0， 有3x 2－68x ＋115＜0，结合x 为整数得6＜x ≤20，x ∈Z .所以y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115（3≤x ≤6，x ∈Z ），－3x 2＋68x －115（6＜x ≤20，x ∈Z ）.(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )， 显然当x ＝6时，y max ＝185； 对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6＜x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时，y max ＝270.因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．但应关注以下两点：①分段要简洁合理，不重不漏；②分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值．(2)指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化．1．(2020·四川绵阳模拟)2020年3月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光．某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如表：1 290元；若合并成一个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为( )A ．20B ．30C ．35D ．40解析：选B ．设两个旅游团队的人数分别为a ，b 且a ，b ∈N *，不妨令a ≥b ，因为1 290不能被13整除，所以a ＋b ≥51.若51≤a ＋b ≤100，则11(a ＋b )＝990，得a ＋b ＝90，①由分别购票共需支付门票费为1 290元可知，11a ＋13b ＝1 290，② 联立①②解得b ＝150，a ＝－60，不符合题意； 若a ＋b >100，则9(a ＋b )＝990，得a ＋b ＝110，③由分别购票共需支付门票费为1 290元可知，1≤b ≤50，51≤a ≤100， 得11a ＋13b ＝1 290，④联立③④解得a ＝70，b ＝40. 所以这两个旅游团队的人数之差为70－40＝30.故选B ．2．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤______次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)解析：设至少过滤n 次才能达到市场要求， 则2%⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ≤0.1%，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8. 答案：83．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地，第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元，每年销售蔬菜的收入为26万元．设f (n )表示前n 年的纯利润，则从第________年开始盈利．[f (n )＝前n 年的总收入—前n 年的总费用支出—投资额]解析：由题意知f (n )＝26n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤8n ＋n （n －1）2×2－60＝－n 2＋19n －60. 令f (n )>0，即－n 2＋19n －60>0，解得4<n <15， 所以从第5年开始盈利． 答案：5高考新声音2 美育为魂，陶养身心“美”是景与情的交融，以美育人，让学生懂得爱、爱美，提高学生审美和人文素养，以美育为背景的考题，多以提高学生审美和人文素养为题材，常以图、文并用的方式表现，意在考查逻辑推理和数学运算等核心素养．(2019·高考全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－12(5－12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是( )A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm【解析】 26＋26÷0.618＋(26＋26÷0.618)÷0.618≈178(cm)，故其身高可能是175 cm，故选B．【答案】 B本题涉及了“黄金比”和“断臂维纳斯”，并渗透了估值思想．以往高考试题中往往选择中国古代《九章算术》中的数学文化题，这一网红题选择大家熟悉的黄金分割为背景，通过设置真实情景，引导学生从“解题”到“解决问题”能力的培养，使学生能够灵活运用所学知识分析问题和解决问题．中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆的周长和面积同时平分的图象对应的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个；②函数f(x)＝ln(x2＋x2＋1)可以是某个圆的“优美函数”；③函数y＝1＋sin x可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数y＝2x＋1可以同时是无数个圆的“优美函数”；⑤函数y＝f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y＝f(x)的图象是中心对称图形．其中正确的命题是________．(填序号)解析：①对于任意一个圆O，其对称轴有无数条，所以其“优美函数”有无数个，①正确；②函数f(x)＝ln(x2＋x2＋1)的定义域为R，值域为[0，＋∞)，其图象关于y轴对称，且在x轴及其上方，故不可以是某个圆的“优美函数”，②错误；③根据y＝sin x的图象可知函数y＝1＋sin x的图象可以将圆的周长和面积平分，又y＝1＋sin x的图象可以延伸，所以可以同时是无数个圆的“优美函数”，③正确；④函数y ＝2x ＋1的图象只要过圆心，就可以同时是无数个圆的“优美函数”，④正确；⑤错误，有些中心对称图形对应的函数不一定是圆的“优美函数”，比如“双曲线”，故答案为①③④.答案：①③④[A 级 基础练]1．(2020·江西南昌模拟)衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘．某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目标，拟制订员工的奖励方案：在经济利润超过6万元的前提下奖励，且奖金y (单位：万元)随经营利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.下列函数模型中，符合该要求的是( )(参考数据：1.015100≈4.432，lg 11≈1.041) A ．y ＝0.04x B ．y ＝1.015x －1 C ．y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 19－1D ．y ＝log 11(3x －10)解析：选D ．对于函数y ＝0.04x ，当x ＝100时，y ＝4>3，不符合题意；对于函数y ＝1.015x －1，当x ＝100时，y ≈3.432>3，不符合题意；对于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 19－1，不满足在x ∈(6，100]上单调递增，不符合题意；对于函数y ＝log 11(3x －10)，满足在x ∈(6，100]上是增函数，且y ≤log 11(3×100－10)＝log 11290<log 111 331＝3，画出y ＝15x 与y ＝log 11(3x －10)的图象如图所示，符合题意，故选D ．2．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q (x )(单位：百件)关于每件衣服的利润x (单位：元)的函数解析式为q (x )＝⎩⎨⎧1 260x ＋1，0<x ≤20，90－35x ，20<x ≤180，则当该服装厂所获效益最大时，x ＝( )A ．20B ．60C ．80D ．40解析：选C ．设该服装厂所获效益为f (x )元， 则f (x )＝100xq (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧126 000x x ＋1，0<x ≤20，100x （90－35x ），20<x ≤180.当0<x ≤20时，f (x )＝126 000x x ＋1＝126 000－126 000x ＋1， f (x )在区间(0，20]上单调递增， 所以当x ＝20时，f (x )有最大值120 000. 当20<x ≤180时，f (x )＝9 000x －3005·x x ， 则f ′(x )＝9 000－4505·x ，令f ′(x )＝0，得x ＝80，当20<x <80时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当80≤x ≤180时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，所以当x ＝80时，f (x )有极大值，也是最大值，为240 000.故选C ． 3．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对于进价)，则该家具的进价是( )A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元解析：选D ．设进价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.故选D ．4．素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n －1”形式(n 是素数)的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P ＝24 423－1，第19个梅森素数为Q ＝24 253－1，则下列各数中与PQ 最接近的数为(参考数据：lg 2≈0.3)( )A ．1045B ．1051C ．1056D ．1059解析：选B ．由题知P Q ＝24 423－124 253－1≈2170.令2170＝k ，则lg 2170＝lg k ，所以170lg2＝lg k ．又lg 2≈0.3，所以51＝lg k ，即k ＝1051，所以与PQ 最接近的数为1051.故选B ．5．车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图，且该图表示的函数模型为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋13，0≤x <2，90e －0.5x ＋14，x ≥2，则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车(时间以整小时计算)？(参考数据：ln 15≈2.71，ln 30≈3.40)( )车辆驾驶人员血液酒精含量阈值 驾驶行为类型 阈值(mg/100 mL) 饮酒后驾车 ≥20，<80 醉酒后驾车≥80A ．5 hB ．6 hC ．7 hD ．8 h解析：选B ．由题意可知当酒精含量阈值低于20时才可以开车，结合分段函数建立不等式90e －0.5x ＋14<20，解得x ＞5.42，取整数，故为6个小时．故选B ．6．(2020·辽宁辽南协作校一模)考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的时间．当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5 730年后会变为原来的一半．假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y 表示该有机体死亡x 年后体内碳14的含量，则y 与x 的关系可以表示为________．解析：依题意可设y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax，当x ＝5 730时，y ＝12，即有12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 5 730a ，解得a＝15 730，故答案为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x5 730.答案：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x5 7307．(2020·安徽滁州定远4月模拟)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P (毫克/升)与时间t (小时)的关系为P ＝ P 0e －kt ，如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．解析：由题意可知，(1－0.1)P 0 ＝P 0e －5k ，即0.9＝e －5k ，故－5k ＝ln 0.9，又(1－0.19)P 0＝P 0e －kt ，即0.81＝e －kt ，所以－kt ＝ln 0.81＝2ln 0.9＝－10k ，所以t ＝10.答案：108．为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为73米，如图所示的散点图记录了样本树的生长时间t (年)与树高y (米)之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：①y ＝2t －a ；②y ＝a ＋log 2t ；③y ＝12t ＋a ；④y ＝t ＋a 中(其中a 为正的常实数)，拟合生长年数与树高的关系最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________米．解析：由散点图的走势，知模型①不合适．曲线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，73，则后三个模型的解析式分别为②y ＝13＋log 2t ；③y ＝12t ＋13；④y ＝t ＋13，易知拟合最好的是②.将t ＝8代入②得8年后的树高为103米．答案：② 1039．声强级Y (单位：分贝)由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12给出，其中I 为声强(单位：W/m 2)．(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m 2，求其声强级；(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到最低声强为多少？ (3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10－7W/m 2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？解：(1)当声强为10－6W/m 2时， 由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12得Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫10－610－12＝10lg 106＝60(分贝)． (2)当Y ＝0时，由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12得10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12＝0.所以I 10－12＝1，即I ＝10－12W/m 2，则常人能听到的最低声强为10－12W/m 2. (3)当声强为5×10－7W/m 2时，声强级Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5×10－710－12＝10lg(5×105)＝50＋10lg 5， 因为50＋10lg 5＞50，所以这两位同学会影响其他同学休息．10．某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ (2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套丛书的供货价格为30＋105＝32(元)，所以书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．(2)每套丛书售价定为x 元时，由⎩⎪⎨⎪⎧15－0.1x ＞0，x ＞0，解得0＜x ＜150.依题意，设单套丛书的利润为P ，则P ＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫30＋1015－0.1x ＝x －100150－x －30，＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（150－x ）＋100150－x ＋120. 因为0＜x ＜150，所以150－x ＞0，则(150－x )＋100150－x≥2（150－x ）·100150－x＝2×10＝20，当且仅当150－x ＝100150－x，即x ＝140时等号成立， 此时，P max ＝－20＋120＝100.所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元．[B 级 综合练]11.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100 ℃，水温y (℃)与时间t (min)近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y (℃)与时间t (min)近似满足的函数关系式为y ＝80⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a10＋b (a ，b为常数)．通常这种热饮在40 ℃时口感最佳．某天室温为20 ℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为( )A ．35 minB ．30 minC ．25 minD ．20 min解析：选C ．由题意知，当0≤t ≤5时，函数图象是一条线段；当t ≥5时，函数的解析式为y ＝80⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a10＋b .将点(5，100)和点(15，60)代入解析式可得⎩⎨⎧100＝80⎝ ⎛⎭⎪⎫125－a10＋b ，60＝80⎝ ⎛⎭⎪⎫1215－a10＋b ，解得a ＝5，b ＝20，故函数的解析式为y ＝80⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －510＋20，t≥5.令y ＝40，解得t ＝25，所以最少需要的时间为25 min.故选C ．12．(2020·安徽淮北一中第五次月考)华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每1 6人为一组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验是阳性)，若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要检测的次数为()A．3 B．4C．6 D．7解析：选B．先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性则认定在本组，此时进行了1次检测．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性则认定在本组，此时进行了2次检测．继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性则认定在本组，此时进行了3次检测．选认定的这组的2人中一人进行样本检查，若为阴性则认定是另一个人；若为阳性则认定为此人，此时进行了4次检测．所以，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测．故选B．13．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝c(12)mt(c，m为常数)．(1)mc的值为________；(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm 为正常，则这个地下车库中的一氧化碳含量达到正常状态至少需排气________分钟．解析：(1)由题意可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧64＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫124m ，32＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫128m ，两式相除，解得⎩⎨⎧c ＝128，m ＝14， 则mc ＝128×14＝32.(2)由题意可列不等式128⎝ ⎛⎭⎪⎫1214t ≤0.5， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1214t ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫128，即14t ≥8，解得t ≥32. 故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态． 答案：(1)32 (2)3214．某旅游景点预计2021年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似为p (x )＝12x (x ＋1)·(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)．已知第x个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧35－2x ，x ∈N *，且1≤x ≤6，160x，x ∈N * 且7≤x ≤12. (1)写出2021年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：万人)与x 的函数关系式；(2)试问2021年第几个月的旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？解：(1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12x (x －1)(41－2x )＝－3x 2＋40x ，经验证x ＝1时也满足此式．所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)．(2)第x (x ∈N *)个月的旅游消费总额为。

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二次函数与直线成角度常见模型
一、抛物线上三点组成的三角形成直角三角形
模型：如图，抛物线上有三点A 、B 、C ，AB ⊥AC ，若有如下三个条件：①抛物线已知 ②AB 过定点，③BC 过定点，三个条件中只要知道二个就可以求第三个
此题的方法主要是通过相似列出A,B,C 三点之间的横坐标与纵坐标的关系，然后结合直线BC 的解析式以及根与系数关系，来求解
已知抛物线解析式：2
y ax bx c =++， 请同学们完成以下化简：
c A y y -= c A
c A y y x x -=-
A B A B B A A B
x x x x
y y y y --=---
例1（2014年武汉中考第25题第三问）如图，已知直线AB ：y ＝kx ＋2k ＋4与抛物线y ＝2
1
x 2交于A 、B 两点．若在抛物
线上存在定点D 使∠ADB ＝90°，求点D 到直线AB 的最大距离．
例2（2016年武汉四调第24题第2问）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：52
1
2+-=x y 经过点C (2，3)，直线y
＝kx ＋b 与抛物线相交于A 、B 两点，∠ACB ＝90°，
② 猜想：我们猜想直线AB 必经过一个定点Q ，其坐标为 ．请取点B 的横坐标为n ，验证你的猜想；
练习1：已知抛物线2
12
y x =
.点P (-2，4)关于y 轴的对称点'P ，过'P 作直线EF 交抛物线于E 、F ，点H 在抛物线上一定点，且∠EHF =90°，求'P HO S ∆..
x
y
E
P'
O
F
H
2.已知抛物线y ＝x 2－1,抛物线交x 轴正半轴于A 点，M 、N 在抛物线上，MA ⊥NA ，试说明MN 恒过－定点，并求此定点的坐标．
3. （2016三寄宿中考模拟）已知抛物线21y ax =+与x 轴交于点A 、B （点A 在B 点左侧），且与直线22y x =+仅有一个公共点．
（1）求A 、B 两点的坐标
（2）如图，作∠MBN=90°,交抛物线于M.N 两点，则直线MN 必过定点Q,求点Q 的坐标．
二、抛物线上三点组成的三角形的内心在经过期中一点的并且平行于x 轴的水平直线上
模型：如图，抛物线上有三点A 、B 、C ，若有如下：①A 定点（坐标已知） ②抛物线已知，③BC 直线k 已知，三个条件中只要知道二个就可以求第三个
抛物线解析式：2
y ax bx c =++ 直线BC ：y kx n =+
C A y y -=
A B
A B
y y x x -=-
C A C A
A C C A
y y y y x x x x --=---
例1（2014四调第25题第2问）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c 1：y ＝ax 2－4a ＋4 (a ＜0)经过第一象限内的定点P ．
（1）直接点P 的坐标 ； （2）（2）直线y ＝2x ＋b 与抛物线c 1在相交于A 、B 两点，如图1所示，直线P A 、PB 与x 轴分别交于D 、C 两点，当PD ＝PC 时，求a 的值；
x
y C
D
B
P
O
A
x
y
例2. （2016洪山区中考模拟一第24题第2问）已知抛物线y ＝(m －1)x 2
＋(m －2)x －1与x 轴交于A 、B 两点,若m ＞1，且点A 在点B 的左侧，OA ∶OB ＝1∶3. （1）试确定抛物线的解析式（解析式：13
2
312--=
x x y ） （2）直线3y kx =-与抛物线交于M 、N 两点，若△AMN 的内心在轴上，求k 的值。

练习1：已知抛物线上有A 、B 、C 、D 四点，且A 、D 关于
轴对称，直线
与抛物线相切，BC ∥DE ．求证：
AD 平分∠BAC
2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax 2
-2ax-3与x 轴交于A 、B ，且AB=4，与y 轴交于C 点， （1）求抛物线的解析式：2
23y x x =--
（3）若平行于直线AC 的直线与抛物线交于M 、N 两点，若抛物线上存在一个定点D ，使过D 点且平行于x 轴的直线DE 平分∠MDN ，求D 点坐标和AD
CD
的值
3.如图，在直角坐标系中，二次函数y ＝x 2－4x 的顶点是C ，与x 轴相交于A 、B 两点（A 在B 的左边）点D 、E 同时从点B 出发，在抛物线上分别向左、向右移动，DM ⊥x 轴于M ，EN ⊥x 轴于N ．设BM ＝m （m ＜OB ），BN ＝n ，当m 、n 满足怎样的等量关系时，△ODE 的内心在x 轴上
三、直线与抛物线相交，交点与对称轴上一点组成的三角形（三点组成的三角形内心在对称轴上） 例1已知抛物线，点
、
为抛物线对称轴上两点，且
、
关于抛物线顶点对称，过
点任意作一条直线与
抛物线交于
两点，求证：抛物线对称轴平分
练习：1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 2
9
3212+-=
x x y 交y 轴于点E ，C 为抛物线的顶点，直线AD ：y=kx+b （k ＞0）与抛物线相交于A ，D 两点（点D 在点A 的下方）.
练习2：（2015广雅二中中考模拟）已知抛物线C 1：y ＝－x 2
＋2x ＋c 经过x 轴上的点A ，与y 轴交于点B ，直线AB 的解析式为y
＝x －1，B 、C 关于x 轴对称，如图1 (1) 求抛物线的解析式
(2) 将抛物线C 1向上平移一个单位，再沿BA 方向平移，得到抛物线C 2，若抛物线C 2与线段AC 交于点E ，求AE
CE
的最小值 (3) 直线y ＝kx ＋b （k ＞0）与抛物线C 1交于M 、P 两点，交抛物线C 1对称轴于Q （Q 在x 轴下方），交x 轴于点D ，M 、N 两点
关于抛物线C 1的对称轴对称，NP 的延长线交抛物线的对称轴于G ，如图2，求证：DG ＝DQ
x
y
E
N
D
C B A
O
M
x
y
C
B
A O P
Q。

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