杆及杆系的内力及内力图
第四章 杆件的内力与内力图
第四章 杆件的内力与内力图一、选择题1.各向同性假设认为,材料沿各个方向具有相同的( ) A .应力 B .变形 C .位移 D .力学性质2.关于截面法下列叙述中正确的是( ) A .截面法是分析杆件变形的基本方法 B .截面法是分析杆件应力的基本方法 C .截面法是分析杆件内力的基本方法D .截面法是分析杆件内力与应力关系的基本方法 3.下列结论正确的是( )。
A.杆件某截面上的内力是该截面上应力的代数和B.杆件某截面上的应力是该截面上内力的平均值C.应力是内力的集度D.内力必大于应力4.常用的应力单位是兆帕(MPa ),1Mpa =( ) A .103N /m 2 B .106 N /m 2 C .109 N /m 2D .1012 N /m 25.长度为l 的简支梁上作用了均布载荷q ,根据剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系,可以确定( )A .剪力图为水平直线,弯矩图是抛物线B .剪力图是抛物线,弯矩图是水平直线C .剪力图是斜直线,弯矩图是抛物线D .剪力图是抛物线,弯矩图是斜直线6.如图所示悬臂梁,A 截面上的内力为( )。
A.Q =ql ,M =0B.Q =ql ,M =21ql 2C.Q =-ql ,M =21ql 2D.Q =-ql ,M =23ql 27.AB 梁中C 截面左,右的剪力与弯矩大小比较应为( )。
A.Q c 左=Q c 右,M c 左<M c 右B.Q c 左=Q c 右,M c 左>M c 右C.Q c 左<Q c 右,M c 左=M c 右D.Q c 左>Q c 右,M c 左=M c 右8、为保证构件有足够的抵抗变形的能力,构件应具有足够的( ) A.刚度 B.硬度 C.强度 D.韧性 9.内力和应力的关系( )A 内力小于应力B 内力等于应力的代数和C 内力为矢量,应力为标量D 应力是单位面积上的内力 10、图示简支梁中间截面上的内力为( )。
工程力学05-杆件的内力图
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
构件内力图概念、画法
杆件基本变形时内力图的表示
内力图沿杆轴线的分布规律 最大内力与危险截面的确定
《工程力学》
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5.2 轴力图与扭矩图
5.2.2 扭矩图 1)扭转内力分量与扭矩
作用在杆件上的外力偶矩可以向杆轴线简化, 简化的结果若力偶作用面在横截面上,该力偶矩分 量——扭矩 扭矩可以是外力简化,也可以由传递的功率计 算得到 2)功率P、转速n和外力偶矩T P (5-1) T=9549 n (N.m) 式中: P:功率(kW) n:转速(r/min)
d
D MD D
确定控制截面
《工程力学》
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5.2 轴力图与扭矩图
5.2.2 扭矩图 MA=1146N.m,MB=MC=350N.m,MD=446N.m。 MB MC MA 求各截面扭矩 BC段 SMx= 0 B C A
C
l l MO =2FPl
FP D B
MC C
l
FP
D B
FQC
S M C= 0
解得:
– MC + MO – FP×l =0
FQC=FP MC = MO – FP×l = 2FPl– FPl = FPl
杆系结构的内力计算—杆件的基本变形及内力的概念
F
F
轴向压缩
变形特点概化图
a
轴线
d
l
a
横截面形状
轴向拉伸
aʹ
F
F
lʹ > l
dʹ
aʹ
dʹ < d
aʹ < a
轴向伸长
横向收缩
a
轴线
d
a
横截面形状
l
轴向压缩
aʹ
F
F
lʹ < l
dʹ
dʹ > d
aʹ
aʹ > a
轴向变形杆的内力分析
目
录
1添加标题
1.内力的基本概念
10
CD段
x
=
2、绘制轴力图。
= =
讨论题
1.图示阶梯杆AD受三个集中力F作用,设AB、BC、
CD段的横截面面积分别为A、2A、3A,则三段杆的横
截面上轴力值分别是
,如果把三段杆换成等值
杆,则各横截面上轴力值分别是
。
D
C
B
A
F
F
C
B
A
F
F
F
F
D
杆件的基本变形
目
录
1
刚体与变形体
2
杆件的基本变形
添加标题
1.刚体与变形体
刚体
变形固体
忽略物体变形
回归实际情况
外力系的合成
与平衡问题
材料强度、刚度与
稳定性的问题
简支梁
1、变形固体的概念
通常将在外力作用下能产生一定变形的固体称为变形固体。
变形固体的变形按其性质可分为两种:
一是弹性变形,即外力解除后,变形也随之消失;
杆件内力分析
M
max
FS Pcos FN Psin
M PR 2
FN P 2
FS
FN
max
max
FS 0 FS P
内力图
PR
-
R
M图
P
M PRsin ( )
qa
B D C
qa2 2
x1
a
x2
q
RC
qa 2
qa2
x3
A RAx qa a 3qa RAy 2
M图
qa 2
a
qa
qa
FN图
3qa 2
Fs图
作图示刚架的内力图
C
D
a
A
q
qa2
B
a
解:求约束反力
C
D
a
q
A
3qa 2
qa
qa2
B
a
3qa 2
分析各段内力
内力方程:
D
BD:
FN ( x1 )
杆件的内力分析
杆件内力的一般分类 杆件在外力作用下,内部的相互作用称为内力。 对于一个在外力和约束力作用下处于平衡状态的杆件,将其 在所要求内力的截面假想地截开(一般按横截面截开)考虑部分 平衡。与刚体的不同是杆件的内力在截面上为一分布力系。将其 向截面形心简化,如图所示
Y
FSY FN X Z
FSZ Y
FN 30 5 x( kN )
(4m x 6m)
轴力图
FA=10kN 2m
20kN 2m
5kN/m 2m
FN
kN
10
杆的内力
CB段:
qa FS ( x2 ) 4 ( a x2 2 a )
FA
x1
FS ( x2 )
FB
qa M ( x2 ) FB (2a x2 ) (2a x2 ) 4 ( a x2 2 a )
解题指导
用截面法求任意截面上的内力时:
2qa
M max 2qa2
(FS) 2qa ( M)
qa
2
E
2qa2
例题 悬臂梁受力如图,作剪力弯矩图,并求 FS 和 M max 。
qa 2
a B
max
q
A
2a
C
解: 1.求约束力
A
qa 2
qa 2
a B
q 2a
3 a 2
qa 2
2
qa 3qa FC 2qa () 2 2 qa qa2 M C 2qa a 3a ( ) 2 2 MC
dFS q ( x) 根据微分关系绘图原则: dx
dM FS dx
d 2M q( x) 2 dx
(1)某段梁若q(x)=0,则FS=常数,M=一次函数 FS为平行于轴线的直线,M为斜率是FS的斜直线。 (2)若q(x)=常数=q,则FS=一次函数,M=二次函数
FS为斜率是q的斜直线, M为抛物线:当q>0,
x2
扭矩方程为: T(x1)=MA=m0b
(0<x1 a)
m0
A
B C
T(x2)=m0(a+b-x2) (a x2 a+b)
扭矩图如图
a
b
m0b
(T )
A B
C
《工程力学》第5章 杆件的内力图
①扭矩变化规律; ②|T|max值及其截面位置,强度计算(危险截面)
27/65
5.2 轴力图与扭矩图----扭矩图
【例4】圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶,各 力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中,其中力 偶矩的单位为N.m,尺寸单位为mm。试画出圆轴 的扭矩图。
【例3】 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P 、8P、4P和 P 的力,试画出杆的轴力图。
OA
BC
D
PA
N1
A
PBPCBCPD D Nhomakorabeax
PA
PB
PC
PD
解: 求OA段内力N1:设置截面如图,列平衡方程
Fx 0 N1 PA PB PC PD 0
N1 PA PB PC PD 5P 8P 4P P 2P21/65
剪力方程和弯矩方程。
MO=2FPl
FP
B
A
C
l
l
39/65
5.3 剪力图与弯矩图--剪力方程与弯矩方程
解:1.确定控制面和分段
截面A、B、C均为控制面。需要分为AC和CB两段建
立剪力和弯矩方程。
2.建立Oxy坐标系
3.建立剪力方程和弯矩方程
y
MO=2FPl
O
A
C
F
P
x
B
l
l
40/65
5.3 剪力图与弯矩图--剪力方程与弯矩方程
41/65
5.3 剪力图与弯矩图--剪力方程与弯矩方程
y
MO=2FPl
O
A
C
l
FP
B l
x2
FP
第3章 杆件的内力分析
50
基本概念:
外力、内力、内力分量、轴力、剪力、 弯矩、扭矩、内力函数、内力图、 轴力、 扭转、平面弯曲。
内力图的作法及特点:
(1)直杆受轴向拉伸或压缩时的内力图--轴力图
剪力 Fy 0 RA Q 0
Fb Q RA l
弯矩
对截面m-m上的形心O取矩,得:
Mo 0
M RA x 0
Fb M RA x x l
40
按照同样方法,在2-2处将梁截开为左右两部分, 仍取左段为分离体,就可求出2-2截面上的内力及 内力矩。
41
③ 剪力和弯矩的符号 截面上的剪力对梁上任意 一点的矩为顺时针转向时, 剪力为正;反之为负。
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24
(3)力偶矩的计算及横截面上的内力
1)外力偶矩
直接计算:
25
按输入功率和转速计算
P Fv
v R P F R T
2n 2n Tn P T T =T = 60 60 9.55
2n n 60 30
30 P P T 9.55 n n
PC 15 TC 9.55 9.55 0.478 n 300
kN· m
PD 25 m TD 9.55 9.55 0.796 kN· n 300
(3)求出各段的扭矩 BC段:Tn1-TB=0, Tn1=TB=0.318 kN· m; CA段:Tn2-TB-TC=0,Tn2=TB+TC=0.796 kN· m; AD段:Tn3+TD=0, Tn3=-TD=-0.796 kN· m。
第3章 杆件的内力分析
外力与内力的平衡 内力分量 内力分析与内力图
建筑力学与结构选型第4章 静定杆系结构内力分析
2 k N /m A D F Ax F Ay
6kN B C F By
由
2m
F
2m
y
C
0
2m
B
则 解得
FAy FBy 2 2 6
FAy 8kN
( ↑)
解得
由
F
x
0
FAx 0
6kN (2)用截面法求指定截面的内力 k N /m A C 求截面C的弯矩 2m 2m B 2m D
第 4章
静定杆系结构内力分析
4.1 杆件的基本变形与内力 4.2 单跨静定梁的内力计算与内力图 4.3 多跨静定梁的内力计算与内力图 4.4 静定平面刚架的内力计算与内力图
4.5 静定三铰拱
4.6 静定平面桁架
4.1 杆件的基本变形及内力
4.1.1 内力和截面法
内力是荷载在构件内部的传递方式。
F F F F F F
非圆截面等直杆(如巨型截面梁和箱形梁)的扭转较复杂,截 面将发生翘曲
4.2 单跨静定梁的内力计算与内力图
梁的特点: 荷载垂直于杆件轴线的横向荷载,变形以挠曲为主。 起横向连接作用,是间接传力构件。
简支梁的变形图
悬臂梁的变形图
4.2.1单跨静定梁的基本形式
简支梁
简支斜梁
悬臂梁
伸臂梁
4.2.2 梁式杆指定截面内力的计算
2 k N /m A F Ax F Ay
6kN B C F By
由 解得
M
C
0
FNC
MC
C FQC右
B 2kN
M C FBy 2 4kN m()
2kN/m B D A
求A左截面的剪力 MC
由
第六章 杆件的内力与内力图
截面法求内力举例:求杆AB段和BC段的内力
FP1=2.5kN A FP1=2.5kN 1 FP2=4kN C FN1 2 FP3=1.5kN
1
2
B
x
Σ X = 0 → FN1 - FP1 = 0
FP1=2.5kN FP2=4kN
FN1=2.5kN
FN2
Σ X = 0 → FN 2 + FP 2 - FP1 = 0
适用于求桁架中某些指定杆件的内力
求 解 要 点
例6-4 试求图中桁架中杆1和杆2的轴力。
Ⅰ Ⅱ
4m 2 1 A Ⅰ 8kN 16kN Ⅱ 16kN 4x3m 16kN FN1 A 8kN 8kN 16kN
B
Σ Fy = 0 FN 1 = -8kN
FN2 B 8kN 16kN
Σ Fy = 0 FN 2 5 = ´ 8kN = 10kN 4
FN2=-1.5kN
6-1-2 轴力图
表示轴力沿杆件轴线方向变化的图形,称为 轴力图(diagram of normal force)。
A
1 B 1Fp2
2 C 2 Fp3
Fp1
Fp1
FN1 FN2 Fp2 FN3
已知Fp1=6kN;Fp2=18kN; Fp3=8kN;Fp4=4kN;试画出 Fp4 图示杆件的轴力图。 3 解:1、计算各段的轴力。 Σ Fx = 0 AB段 FN1 = Fp1 = 6kN
例传动轴如图所示,主动轮A输入功率PA= 36KW,从动轮B、 C、D输出功率分别为 PB= PC =11KW , PD= 14KW,转速 n = 300r/min。试作该轴的扭矩图。
MeC MeA MeD
先计算外力偶矩
PA 1146 N m n P M eB M eC 9549 B 350 N m n P M eD 9549 D 446 N m n M eA 9549
4.1-4内力及内力图
M FRB l
FRA
A a
M
FRB
C b l B
将坐标原点取在梁的左端. 因为梁上没有横向外力,所以
全梁只有一个剪力方程
M FS ( x ) (0 x l ) (1) l
由(1)式画出整个梁的剪力图 是一条平行于 x 轴的直线.
M l
+
AC 段和 BC 段的弯矩方程不同
AC段
M FRA
FS(x) M(x)
x FS 图的坐标系
M 图的坐标系
剪力图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧
弯矩图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧
x
O
O
例题5 如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用, 试作此梁
的剪力图和弯矩图.
A
F
B x
解: 列出梁的剪力方程 和弯矩方程
l
FS ( x ) F M ( x ) Fx
m dx
的剪力为正;反之,为负。
m dx
4.2截面法
这种假想用一截面将物体截开为两部分,取其 中一部分为研究对象,利用平衡条件求解截面 内力的方法称截面法。 综上所述,截面法包括以下三个步骤: (1)沿所求内力的截面假想地将杆件截成两部 分。 (2)取出任一部分为研究对象,并在截开面上 用内力代替,弃去部分对该部分的作用。 (3)列出研究对象的平衡方程,并求解内力。
例题3 轴的计例算简图如图所示,已知 F1 = F2 = F = 60kN,
a = 230mm,b = 100 mm 和c = 1000 mm. 求 C 、D 点处横截面
上的剪力和弯矩.
F1=F
C
工程力学-第5章
l
A
B
F1
C
F2
l
l
FA
A
B" B F1 B'
C
F2
解:2. 确定控制面
处在的集A、中C载截荷面F2,、以约及束集力中FA载作用荷
F1作用点B处的上、下两侧横截 面都是控制面。
3. 应用截面法求控制面上的轴 力
用假想截面分别从控制面A、 B"、B' 、C处将杆截开,假设
横截面上的轴力均为正方向(拉 力),并考察截开后下面部分的 平衡。
基本概念与基本方法
MA=0 MO=2FPl
A
C
FP
l
MA=0 MO=2FPl
A
FP
l
F
P
D B
解: 3. 应用截面法确定D 截面上的内力分量
假设截开横截面上的剪力 和弯矩均为正方向。根据截开 的局部平衡建立平衡方程:
l
FQD
D
MD l
F y = 0 , F Q D - F P = 0
M D = 0
MA=0 MO=2FPl
A
C
FP
l
F
P
D B
l
MA=0
FQC
A
C
MC
FP
l
解: 2. 应用截面法确定C 截面上的内力分量
假设截开横截面上的剪力 和弯矩均为正方向。根据截开 的局部平衡建立平衡方程:
F y = 0 , F P - F Q C = 0
M C = 0 , M C + M A - F P l= 0
轴力图与扭矩图
扭矩图
轴力图与扭矩图
作用在杆件上的外力偶矩,可以由外力向杆的轴线简化 而得,但是对于传递功率的轴轴,通常都不是直接给出力或力 偶矩,而是给定功率率和和转转速速。
轴向拉压杆内力和内力图
11
第12页/共50页
五、挤压应力的确定:(实用的挤压应力,名义挤压应力) 假设:挤压面上只存在挤压应力,且挤压应力分布均匀。
bs
Fbs Abs
方向:垂直于挤压面。
max P
G →
G
→
G
d
dx
方向垂直于半径。
19
第20页/共50页
应力分布
(实心截面)
(空心截面)
20
第21页/共50页
二、圆轴扭转时的强度计算
1、强度条件:
max
Tm ax Wp
2、强度计算:
1)校核强度; 2)设计截面尺寸; 3)确定外荷载。
max
Tm a x Wp
[ ]
F
第8页/共50页
焊缝
F
7
F
F m
F
F
m
m
m
F
F
二、剪切的概念
受力特点:作用于构件两侧面上的外力合力大小相等,方向相反,且作用 线相距很近。
变形特点:两力之间相邻截面发生相对错动。
剪切面:相对错动的面。
8
第9页/共50页
三、 剪切与挤压的强度计算
1、外力:F。
F m
F
m
F
Fs
τ
2、内力:(截面法)剪力 Fs=F。 3、应力:实用切应力,名义切应力(剪应力) 假设——剪切面上只存在切应力,而且其分布是均匀的。
右手的四指代表扭矩的旋转方向,大拇指代表其矢量方向,若其矢量方向背离所在 截面则扭矩规定为正值,反之为负值。
02第2章杆件的内力与内力图
第2章 杆件的内力和内力图
◎ 扭矩与扭矩图
第2章 杆件的内力和内力图 扭转的概念
受力特征
◎ 扭矩与扭矩图
在杆的两端垂直于杆轴的平面内,作用着大小相等、 方向相反的一对力偶。 变形特征
杆件的各横截面环 绕轴线发生相对的转动。
扭转角 任意两横截面间相 对转过的角度。
第2章 杆件的内力和内力图 工程中承受扭转的圆轴
◎ 轴力与轴力图
一些机器和结构中所用的各种紧固螺栓,在紧固时,要 对螺栓施加预紧力,螺栓承受轴向拉力,将发生伸长变形。
第2章 杆件的内力和内力图 工 程 实 例
◎ 轴力与轴力图
由汽缸、活塞、 连杆所组成的机构中, 不仅连接汽缸缸体和 汽缸盖的螺栓承受轴 向拉力,带动活塞运 动的连杆由于两端都 是铰链约束,因而也 是承受轴向载荷的杆 件。
FN
+
FN
-
第2章 杆件的内力和内力图
◎ 轴力与轴力图
绘制轴力图的方法与步骤
首先,确定作用在杆件上的外载荷与约束力; 其次,根据杆件上作用的载荷及约束力,轴力图的分段点: 在有集中力作用处即为轴力图的分段点; 第三,应用截面法,用假想截面从控制面处将杆件截开, 在截开的截面上,画出未知轴力,并假设为正方向;对截开 的部分杆件建立平衡方程,确定轴力的大小与正负:产生拉 伸变形的轴力为正,产生压缩变形的轴力为负; 最后,建立FN-x坐标系,将所求得的轴力值标在坐标系 中,画出轴力图。
2.求扭矩 应用截面法由平 衡方程确定
M
x
0
第2章 杆件的内力和内力图
◎ 扭矩与扭矩图
3.画扭矩图 建 立 Mx-x 坐 标
系。将所求得的各段
的扭矩值,标在Mxx坐标系中,得到相
建筑力学5内力内力图
弯曲内力是指由于外力作用导致杆件发生弯曲变形而产生的内力,是建筑结构中最常见 的受力形式之一。
详细描述
在建筑结构中,弯曲内力通常用于描述梁、柱等杆件在受到垂直或水平外力作用时发生 的弯曲变形。弯曲内力的分析对于评估结构的承载能力和稳定性至关重要。例如,在桥 梁和高层建筑的梁和柱设计中,弯曲内力的计算和分析是确定截面尺寸、配筋等参数的
重要依据。
03 内力图的绘制方法
轴力图的绘制
总结词
轴力图用于表示杆件在受力过程中沿其轴线方向的受力情况。
详细描述
轴力图是通过将杆件沿轴线方向进行分段,并在每个分段上标出该段的轴力值, 然后将这些值连接起来形成的图形。绘制轴力图时,需要先对杆件进行受力分析 ,确定各段的受力情况,然后根据受力情况计算出各段的轴力值。
内力计算与优化
内力图绘制
根据建筑的使用功能和 设计要求,施加适当的
荷载。
计算各杆件的内力分布, 优化结构布置,降低内
力峰值。
根据计算结果,绘制各 杆件的内力图,为结构
设计提供依据。
06 结论
内力图在建筑力学中的重要性
1 2 3
揭示结构内部பைடு நூலகம்力状态
内力图能够清晰地表示出结构在不同受力情况下 的内部应力分布,有助于设计人员了解结构的受 力特性,从而优化设计。
规律二
规律三
在连续梁的支座处,内力图呈现向上 凸出的形状,表示该处的剪力和轴力 较大。
在连续梁的跨中,内力图呈现向下凸 出的形状,表示该处的弯矩最大。
内力图与外力的关系
01
内力图上的内力是由外力引起的 ,外力的作用点、方向和大小决 定了内力的分布和大小。
02
内力图上的内力分布规律反映了 结构的刚度和承载能力,是判断 结构安全性和稳定性的重要依据 。
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end
图中的坐标原点为截面形心, x轴沿杆的轴线并和截面的外向法线同 向,y轴和z轴则分别是截面的形心主惯轴。 内力:
N 引起拉伸或压缩变形,称轴力; Mn 引起扭转变形,称扭矩; Qy和Qz 引起剪切变形,称剪力; My和Mz引起弯曲变形,称弯矩。
0 x1 a 0 x1 a a x2 l
a x2 l
(3)按上述表达式在x 的定义域内作图,即得所求的剪力图和弯矩图,如 图(c)所示。
end
需要指出的是:按照某些工程习惯,常要求弯矩图画在 梁的受拉一侧,以提醒某些脆性材料性材料的梁(如混凝土梁) 常因受拉破坏而需在该侧配置钢筋。
Q2 RA m / l
(a x1 l)
M2 RA x2
m / l x2 m
a x2 l
end
例4-3 作图示的简支梁在均布荷载q作用下的剪力图和弯矩图。
解:
q
1 Q1 RA qx 2 ql qx
A x
B
l
(0 x l)
M
RAx
1 2
qx2
ql 2
1 qlx 1 qx2 (0 x l)
(M
dM
)
0
在上式中略去二阶微量后,得:dM Qdx
所以 dM / dx Q
(4-5)
d 2M / dx2 q
(4-6)
q(x)
P
m
x
dx
(a)
q(x)
M
M+dM
Q
Q+dQ
dx
(b)
以上三式即为梁核所作的Q 、M 图是否正确;
熟练地掌握后,也可在求出反力后,直接利用此关系方便地作出梁的 内力图来。
目的:研究杆及杆系在外力作用下杆截面内力大小及其 沿杆轴的变化规律,由此作出其内力图。
要求:掌握内力图的特性,并能利用内力间的微分关系, 正确而熟练地作出固定荷载作用下的内力图;了解 在移动荷载作用下杆的某截面上内力的变化规律, 为以后的强度和刚度计算作准备。
退出
4-1 作用于杆件横截面上的内力·截面法·杆的基本变形形式 4-2 直梁平面弯曲时的内力及其符号规定 4-3 剪力图和弯矩图弯矩 、剪力 、荷载集度间的微分关系 4-4 叠加法作内力图 4-5 刚架的内力图 * 4-6 三铰拱的内力及其合理轴线 4-7 轴的扭矩图·功率N、转速n和外力偶矩m间的关系 *4-8 杆件系统在空间受力时的内力 *4-9 移动荷载下的内力计算 • 影响线 • 包络图
l/2
ql
22
2
1 ql2 8
end
2.弯矩M 、剪力Q 、荷载集度q 间的微分关系
任取一梁,受载如图a所示。设x 轴指向右为正,q(x) 向下为正。
由微段的平衡可得:
Y 0 Q qdx (Q dQ) 0
所以 m 0,
dQ qdx
(4-4)
dQ / dx q
M
Qdx
1 2
q(dx)2
如按截面的右段来算,
Q’ =-RB +P=P/3
(c)
M’ =RB∙3a/2-P(3a/2-a)=Pa/2 (d)
end
由此可见:如果截面上的内力按大小相等、方向相反成对地加予 假定,则不论从截面的左边算,还是从截面的右边算,结果都是一样 的,即不但内力的数值相等,而且符号也相同。
为了便于以后的分析、计算和作图,今后我们对内力的符号也就成 对地加予规定,通常是按其所引起的变形方式来规定
而按前述梁的弯矩符号规定是:使梁的下侧纤维受拉的 弯矩为正,所以考虑到上面的习惯后,梁的正弯矩就应画在 梁轴线的下侧,亦即弯矩图中的纵坐标是以向下者为正。
end
例4-2 试作图示的梁在集中力偶m 作用下的剪力图和弯矩图。
解:
Q1 RA m / l
(0 x1 a)
M1 RA x1 m / l x 0 x1 a
退出
4-1 作用于杆件横截面上的内力·截面法·杆的基本变形形式
为显示并计算杆中的内力,可用截面法,其步骤为: (1)在欲求内力处假想地用一截面将杆切开,分为两部分,并丢去
其中的一部分; (2)将丢去部分对留下部分的作用,用一组内力来代替; (3)对留下部分建立平衡方程,即可由已知的外力求出欲求的内力。 需要指出的是:在一般工程中,杆的变形常极微小,所以,杆的
由此求得的内力将分别对应于 杆的某一种基本变形:
拉伸、压缩、剪切、扭矩、弯曲
end
4-2直梁平面弯曲时的内力及其符号规定
试求图所示梁中C 截面处的内力。 由梁的平衡得:RA=P/3 ; RB =2P/3 由梁的左段平衡得:
Q=RA =P/3
(a)
M=RA∙3a/2=Pa/2
(b)
受力平面和变形平面相重合的 弯曲,称为平面弯曲
回到求梁内剪力和弯矩的表达式(a),(b),(c),(d)中来,我们 可看到,所列表达式表明: 截面上的剪力即等于截面一边所有外力在垂直于梁轴方向投影的代数和; 截面上的弯矩即等于截面一边所有外力或外力偶对截面形心的力矩的代数和。
end
表达式内各项前的正、负号,可根据各外力或外力偶矩所引起的 变形,参照图(b),图(c)来决定。
当杆内有轴力时,则截面上的轴力N ,也可用类似的方式写出为:
N=∑Pix
(4-3)
即 截面上的轴力等于截面一边所有外力在轴线方向投影的代数和。
end
4-3 剪力图和弯矩图 弯矩M 、剪力Q 、荷载集度q间的微分关系 1.剪力图和弯矩图 内力沿长度变化的图形即称内力图。对平面弯 曲的梁来说,主要的就是剪力图和弯矩图。 下面就来说明其作法,并由此可看出其若干特点。
上述两句话,也可简单地用式子表达如下:
Q=∑Pi y
(4-1)
M=∑mc(Py)
(4-2)
式中i为截面一边的外力(或外力偶)数,Pi 代表广义力,它既可以 是集中力P,也可以是分布荷载q或集中力偶m。
这样,今后我们求任一截面上的内力时,就可直接由截面一边上 的外载按上式写出,而不必再用原始的截面法了。
end
例4-1 试作图a所示简支梁的剪力图和弯矩图。
解: (1)求反力,得: RA Pb / l RB Pa / l
(2) 分段列出梁的剪力和弯矩表达式:
Q1 RA Pb / l
M1 RAx Pb / l x
Q2 RA P Pa / l
M 2 RAx2 Px2 a Pb / lx2 Px2 a