2019年中考数学复习专题九几何测量(针对第20题)题型2

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几何量试题及答案

几何量试题及答案几何量是数学中的一个重要分支，它涉及到形状、大小、位置等概念。

以下是一些常见的几何量试题及答案，供学生练习和参考。

# 试题一：点、线、面的位置关系问题：在平面直角坐标系中，点A(3,4)、B(-1,2)、C(2,-1)，判断点A、B、C是否在同一直线上。

答案：要判断三点是否共线，可以计算线段AB和AC的斜率是否相等。

斜率公式为：\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]对于线段AB，斜率\( k_{AB} = \frac{2 - 4}{-1 - 3} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} \)。

对于线段AC，斜率\( k_{AC} = \frac{-1 - 4}{2 - 3} = \frac{-5}{-1} = 5 \)。

由于\( k_{AB} \neq k_{AC} \)，所以点A、B、C不在同一直线上。

# 试题二：三角形的内角和问题：已知三角形ABC的三个内角分别为α、β、γ，证明三角形的内角和为180度。

答案：根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和等于180度。

证明如下：设三角形ABC的顶点A、B、C分别对应角α、β、γ。

将三角形ABC沿边BC翻折，使得点A与点A'重合，形成四边形ABA'C。

由于翻折，A'C与AC重合，A'B与AB重合，所以四边形ABA'C是一个矩形。

在矩形ABA'C中，对角线相等，即∠A'AB = ∠ABC，∠ABA' = ∠ACB。

由于矩形的对角线互相平分，所以∠A'AB + ∠ABA' = 180度。

又因为∠A'AB = α，∠ABA' = γ，所以α + β + γ = 180度。

# 试题三：圆的面积和周长问题：已知圆的半径为r，求圆的面积和周长。

答案：圆的面积公式为：\[ A = πr^2 \]圆的周长公式为：\[ C = 2πr \]其中，π是圆周率，约等于3.14159。

2019中考数学几何综合试卷精选汇编(含解析答案)

几何综合东城区27. 已知△ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，且AD =AB ，过点C 作AD 的垂线，交 AD的延长线于点H ．（1）如图1，若60BAC ∠=︒①直接写出B ∠和ACB ∠的度数； ②若AB =2，求AC 和AH 的长；（2）如图2，用等式表示线段AH 与AB +AC 之间的数量关系，并证明．27. （1）①75B ∠=︒，45ACB ∠=︒；--------------------2分②作DE ⊥AC 交AC 于点E .Rt △ADE 中，由30DAC ∠=︒，AD=2可得DE =1，AE =. Rt △CDE 中，由45ACD ∠=︒，DE=1，可得EC =1.∴AC 1=.Rt △ACH 中，由30DAC ∠=︒，可得AH =； --------------4分（2）线段AH 与AB +AC 之间的数量关系：2AH =AB +AC证明：延长AB 和CH 交于点F ，取BF 中点G ，连接GH . 易证△ACH ≌△AFH . ∴AC AF =,HC HF =. ∴GH BC ∥. ∵AB AD =， ∴ ABD ADB ∠=∠. ∴ AGH AHG ∠=∠ . ∴ AG AH =.∴()2222AB AC AB AF AB BF AB BG AG AH +=+=+=+==. --------------7分西城区27．正方形ABCD 的边长为2，将射线AB 绕点A 顺时针旋转α，所得射线与线段BD 交于点M ，作C E A M ⊥于点E ，点N 与点M 关于直线CE 对称，连接CN ．（1）如图，当045α︒<<︒时， ①依题意补全图．②用等式表示NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系：__________．（2）当4590α︒<<︒时，探究NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系并加以证明．（3）当090α︒<<︒时，若边AD 的中点为F ，直接写出线段EF 长的最大值．CDBA图1备用图C DBAM【解析】（1）①补全的图形如图所示：NEMABD C②2NCE BAM ∠=∠．（2）1902MCE BAM ∠+∠=︒，连接CM ，NQMABDC EDAM DCM ∠=∠，DAQ ECQ ∠=∠，∴2NCE MCE DAQ ∠=∠=∠，∴12DCM NCE ∠=∠，∵BAM BCM ∠=∠， 90BCM DCM ∠+∠=︒，∴1902NCE BAM ∠+∠=︒．（3）∵90CEA ∠=︒， ∴点E 在以AC 为直径的圆上，E∴max 1EF FO r =+=27点（（27．.解：（1）作PF ⊥DE 交DE 于F . ∵PE ⊥BO ，60AOB ∠=， ∴30OPE ∠=.∴30DPA OPE ∠=∠=.∴120EPD ∠=. ……………1分∵DP PE =,6DP PE +=, ∴30PDE ∠=,3PD PE ==.∴cos30DF PD =⋅︒=∴2DE DF ==分（2）当M 点在射线OA上且满足OM =DMME的值不变，始终为1.理由如下： ………………4分当点P 与点M 不重合时，延长EP 到K 使得PK PD =. ∵,DPA OPE OPE KPA ∠=∠∠=∠, ∴KPA DPA ∠=∠. ∴KPMDPM ∠=∠.∵PK PD =,PM 是公共边, ∴KPM △≌DPM △. ∴MKMD =. ………………5分作ML ⊥OE 于L ,MN ⊥EK 于N .∵60MO MOL =∠=， ∴sin 603ML MO =⋅=. ………………6分∵PE ⊥BO ,ML ⊥OE ,MN ⊥EK ， ∴四边形MNEL 为矩形. ∴3EN ML ==.∵6EK PE PK PE PD =+=+=, ∴EN NK =. ∵MN ⊥EK , ∴MKME =.∴ME MK MD ==,即1DMME=. 当点P 与点M 重合时，由上过程可知结论成立. ……………7分丰台区27．如图，Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CA = CB ，过点C 在△ABC 外作射线CE ，且∠BCE = α，点B 关于CE 的对称点为点D ，连接AD ，BD ，CD ，其中AD ，BD 分别交射线CE 于点M ，N . （1）依题意补全图形；（2）当α= 30°时，直接写出∠CMA 的度数；（3）当0°<α< 45°时，用等式表示线段AM ，CN 之间的数量关系，并证明．ABCE27．解：（1）如图； …………………1分（2）45°； …………………2分（3）结论：AM ． …………………3分证明：作AG ⊥EC 的延长线于点G ．∵点B 与点D 关于CE 对称， ∴CE 是BD 的垂直平分线． ∴CB =CD ． ∴∠1=∠2=α．∵CA =CB ，∴CA =CD ．∴∠3=∠CAD ． ∵∠4=90°， ∴∠3=12（180°-∠ACD ）=12（180°-90°-α-α）=45°-α．∴∠5=∠2+∠3=α+45°-α=45°．…………………5分 ∵∠4=90°，CE 是BD 的垂直平分线， ∴∠1+∠7=90°，∠1+∠6=90°． ∴∠6=∠7． ∵AG ⊥EC ，∴∠G =90°=∠8． ∴在△BCN 和△CAG 中， ∠8=∠G ，∠7=∠6，BC =CA ，∴△BCN ≌△CAG ．∴CN =AG ． ∵Rt△AMG 中，∠G =90°，∠5=45°， ∴AM AG ．∴AMCN ． …………………7分（其他证法相应给分.）石景山区27．在正方形ABCD 中，M 是BC 边上一点，点P 在射线AM 上，将线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接BP ，DQ ．（1）依题意补全图1；（2）①连接DP ，若点P ，Q ，D 恰好在同一条直线上，求证：2222DP DQ AB +=； ②若点P ，Q ，C 恰好在同一条直线上，则BP 与AB 的数量关系为：．27．（1）补全图形如图1. ………………… 1分（2）①证明：C图1连接BD ，如图2，∵线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ， ∴AQ AP =，90QAP ∠=°． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD AB =，90DAB ∠=°． ∴12∠=∠．∴△ADQ ≌△ABP ． ………………… 3分 ∴DQ BP =，3Q ∠=∠．∵在Rt QAP ∆中，90Q QPA ∠+∠=°， ∴390BPD QPA ∠=∠+∠=°． ∵在Rt BPD ∆中，222DP BP BD +=，又∵DQ BP =，222BD AB =，∴2222DP DQ AB +=． ………………… 5分 ②BP AB =． ………………… 7分证明：过点A 作AE⊥PQ 于E ，连接BE AC ∴AE 是△PAQ 的垂线∵三△PAQ 是等腰直角三角形（已证） ∴AE 是等腰直角三角形PAQ 的垂线，角平分线 ∴∠AEP=90°，AE=PE ∵正方形ABCD ∴∠ABC=90° ∠ACB=∠BAC=45° ∠AEP+∠ABC=180° ∴A ，B ，C ，E 四点共圆∴∠AEB=∠ACB=45°，∠CEB=∠BAC=45° ∴∠AEB=∠CEB=45° ∵BE=BE∴△ABE≌△PBE (SAS)∴BP=AB朝阳区27. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E为AB边上一动点（与点A，B不重合），连接CE，将∠ACE的两边所在射线CE，CA以点C为中心，顺时针旋转120°，分别交射线AD于点F，G.（1）依题意补全图形；（2）若∠ACE=α，求∠AFC的大小（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系，并证明．27.（1）补全的图形如图所示.……………………………………1分（2）解：由题意可知，∠ECF=∠ACG=120°.∴∠FCG=∠ACE=α.∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，∴∠DAC=∠BAC= 30°. ……………………………………………2分 ∴∠AGC=30°.∴∠AFC =α+30°. …………………………3分（3）用等式表示线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系为CG AF AE 3=+.证明：作CH ⊥AG 于点H.由（2）可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°.∴CA=CG. …………………………………………………5分 ∴HG =21AG. ∵∠ACE =∠GCF ，∠CAE =∠CGF ，∴△ACE ≌△GCF. ……………………………6分 ∴AE =FG .在Rt △HCG 中， .23cos CG CGH CG HG =∠⋅= ∴AG =3CG . …………………………………………7分即AF+AE =3CG . 燕山区27．如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的顶点为M ，直线y=m 与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶．准蝶形AMBABM(1)由定义知，取AB 中点N ，连结MN ，MN 与AB 的关系是 (2)抛物线221x y =对应的准蝶形必经过B (m ，m ),则m = ，对应的碟宽AB 是 (3)抛物线)0(3542>--=a a ax y 对应的碟宽在x 轴上，且AB =6. ①求抛物线的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P （p x ，p y ），使得∠APB 为锐角，若有，请求出p y 的取值范围.若没有，请说明理由. ,备用图27.解：(1)MN 与AB 的关系是 MN ⊥AB ，MN=21AB…………………………………2′（2） m= 2 对应的碟宽是4…………………………………4′(3) ①由已知，抛物线必过（3，0），代入)0(3542>--=a a ax y 得，03549=--a a31=a∴抛物线的解析式是3312-=x y …………………………………5′ ② 由①知，3312-=x y 的对称轴上P （0，3），P （0，-3）时，∠APB 为直角， ∴在此抛物线的对称轴上有这样的点P ，使得∠APB 为锐角，p y 的取值范围是33〉〈-p p y y 或…………………………………7′门头沟区27. 如图，在△ABC中，AB=AC，2Aα∠=，点D是BC的中点，DE AB E⊥于点，DF AC F⊥于点.（1）EDB∠=_________°；（用含α的式子表示）（2）作射线DM与边AB交于点M，射线DM绕点D顺时针旋转1802α︒-，与AC边交于点N．①根据条件补全图形；②写出DM与DN的数量关系并证明；③用等式表示线段BM CN、与BC之间的数量关系，（用含α的锐角三角函数表示）并写出解题思路.27．（本小题满分7分）（1）EDBα∠=……………………………………………1分（2）①补全图形正确……………………………………2分②数量关系：DM DN=…………………………………3分∵,AB AC BD DC==∴DA平分BAC∠∵DE AB E⊥于点，DF AC F⊥于点∴DE DF=，MED NFD∠=∠……………………4分∵2Aα∠=∴1802EDFα∠=︒-∵1802MDNα∠=︒-∴MDE NDF∠=∠∴MDE NDF△≌△……………………5分∴DM DN=③数量关系：sinBM CN BCα+=⋅……………………6分证明思路：a.由MDE NDF△≌△可得EM FN=b. 由AB AC=可得B C∠=∠,进而通过BDE CDF△≌△,可得BE CF=进而得到2BE BM CN=+c.过BDERt△可得sinBEBDα=,最终得到sinBM CN BCα+=⋅……………7分大兴区BB27．如图，在等腰直角△ABC 中，∠CAB=90°，F 是AB 边上一点，作射线CF ，过点B 作BG ⊥C F 于点G ，连接AG ．（1）求证：∠ABG =∠ACF ；（2）用等式表示线段C G ，AG ，BG 之间的等量关系，并证明．27.（1）证明∵ ∠CAB=90°.∵ BG ⊥CF 于点G ， ∴ ∠BGF =∠CAB =90°.∵∠GFB =∠CFA . ………………………………………………1分 ∴ ∠ABG =∠ACF . ………………………………………………2分（2）CG AG +BG . …………………………………………………3分证明：在CG 上截取CH =BG ，连接AH ， …………………………4分 ∵ △ABC 是等腰直角三角形， ∴ ∠CAB =90°，AB =AC . ∵ ∠ABG =∠ACH .∴ △ABG ≌△ACH . …………………………………………………… 5分 ∴ AG =AH ,∠GAB =∠HAC . ∴ ∠GAH =90°.∴ 222AG AH GH +=.∴ GH AG . ………………………………………………………6分∴ CG =CH +GH AG +BG . ………………………………………7分平谷区27．在△ABC 中，AB=AC ，CD ⊥BC 于点C ，交∠ABC 的平分线于点D ，AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，连接DF ．（1）补全图1；（2）如图1，当∠BAC =90°时，①求证：BE=DE ；②写出判断DF 与AB 的位置关系的思路（不用写出证明过程）；（3）如图2，当∠BAC=α时，直接写出α，DF ，AE 的关系．27．解：（1）补全图1； (1)B（2）①延长AE ，交BC 于点H ． ····· 2 ∵AB=AC ， AE 平分∠BAC ，∴AH ⊥BC 于H ，BH=HC ．∵CD ⊥BC 于点C ， ∴EH ∥CD ．∴BE=DE ． (3)②延长FE ，交AB 于点G ．由AB=AC ，得∠ABC =∠ACB ．由EF ∥BC ，得∠AGF =∠AFG ．得AG=AF ．由等腰三角形三线合一得GE=E F ． ·· 4 由∠GEB =∠FED ，可证△BEG ≌△DEF ．可得∠ABE =∠FDE ． (5)从而可证得DF ∥AB ． ······· 6 （3）tan 2DF αAE ． ········· 7 图1BB图2BBB怀柔区27.如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，点D 是BC 上任意一点，将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到线段AE ，连结EC. (1)依题意补全图形； (2)求∠ECD 的度数；(3)若∠CAE=7.5°，AD=1，将射线DA 绕点D 顺时针旋转60°交EC 的延长线于点F ，请写出求AF 长的思路．27.(1)如图E………………………………………………1分(2) ∵线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到线段AE. ∴∠DAE=90°，AD=AE. ∴∠DAC+∠CAE =90°. ∵∠BAC=90°, ∴∠BAD+∠DAC =90°.∴∠BAD=∠CAE . …………………………………………………………………………2分又∵AB=AC, ∴△ABD≌△ACE. ∴∠B=∠ACE.∵△ABC 中，∠A=90°，AB=AC,∴∠B=∠ACB=∠ACE=45°.∴∠ECD=∠ACB+∠ACE=90°. ……………………………………………………………4分(3)Ⅰ.连接DE,由于△ADE为等腰直角三角形，所以可求DE=2；……………………5分Ⅱ.由∠ADF=60°,∠CAE=7.5°，可求∠EDC的度数和∠CDF的度数，从而可知DF的长；…………………………………………………………………………………………………6分Ⅲ.过点A作AH⊥DF于点H，在Rt△ADH中, 由∠ADF=60°，AD=1可求AH、DH的长；Ⅳ. 由DF、DH的长可求HF的长；Ⅴ. 在Rt△AHF中, 由AH和HF,利用勾股定理可求AF的长．…………………………7分延庆区27．如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，连接FC．（1）求证：∠FBC=∠CDF．（2）作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG．①依据题意补全图形；②用等式表示线段DF，BF，CG之间的数量关系并加以证明．27.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=90°．∴∠CDF+∠E=90°．∵BF⊥DE，图1FDE CB A∴∠FBC +∠E =90°． ∴∠FBC =∠CDF ．……2分（2）①……3分②猜想：数量关系为：BF =DF +CG ．证明：在BF 上取点M 使得BM =DF 连接CM ．∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC =DC ．∵∠FBC =∠CDF ，BM =DF ， ∴△BMC ≌△DFC ． ∴CM =CF ，∠1=∠2． ∴△MCF 是等腰直角三角形．∴∠MCF =90°，∠4=45°． ……5分 ∵点C 与点G 关于直线DE 对称， ∴CF =GF ，∠5=∠6． ∵BF ⊥DE ，∠4=45°， ∴∠5=45°， ∴∠CFG =90°， ∴∠CFG =∠MCF ， ∴CM ∥GF ． ∵CM =CF ，CF =GF ， ∴CM =GF ，∴四边形CGFM 是平行四边形， ∴CG =MF ．∴BF =DF +CG ． ……7分顺义区27. 如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，连接AE ，延长CB 至点F ，使BF=BE ，过点F 作FH ⊥AE 于点H ，射线FH 分别交AB 、CD 于点M 、N ，交对角线AC 于点P ，连接AF ．GFDBA（1）依题意补全图形；（2）求证：∠FAC =∠APF ；（3）判断线段FM 与PN 的数量关系，并加以证明．27．（1）补全图如图所示． ………………………………………………………… 1分（2）证明∵正方形ABCD ，∴∠BAC =∠BCA =45°，∠ABC =90°， ∴∠PAH =45°-∠BAE ． ∵FH ⊥AE ．∴∠APF =45°+∠BAE ． ∵BF=BE ，∴AF=AE ，∠BAF =∠BAE ． ∴∠FAC =45°+∠BAF ．∴∠FAC =∠APF ．…………………………… 4分（3）判断：FM =PN ． …………………………………… 5分证明：过B 作BQ ∥MN 交CD 于点Q ，∴MN =BQ ，BQ ⊥AE ． ∵正方形ABCD ，∴AB =BC ，∠ABC =∠BCD=90°． ∴∠BAE =∠CBQ ． ∴△ABE ≌△BCQ ． ∴AE =BQ ． ∴AE =MN ． ∵∠FAC =∠APF ， ∴AF =FP ． ∵AF=AE ， ∴AE =FP ． ∴FP =MN ．∴FM =PN ．…………………………………………………………… 8分。

中考数学几何测量问题重点考点解析

中考数学几何测量问题注：第20题常考与锐角三角函数、相似三角形有关的几何测量问题．类型一与锐角三角函数有关的几何测量(2017、2012、2010.20)【类型解读】与锐角三角函数有关的几何测量应用题近10年在第20题考查3次，分值为7分．命题特点：题干给出两个角度，至少含一个非特殊角，设问均为测量距离，且都要通过作辅助线构造直角三角形来解决．另外2019题型示例给出含两个特殊角题目，应引起重视．【满分技法】链接至P79“微专题锐角三角函数的实际应用”．针对训练1.(2019陕西定心卷)某公园中有条东西走向的小河，河宽固定，小河南岸边上有一块石墩A，北岸边上有一棵大树P，小杨想利用它们测量小河的宽度，于是，他去了河边．如图，他从河的南岸石墩A处测得大树P在其北偏东30°方向，然后他沿正东方向步行60米到达点B处，此时测得大树P在其北偏西60°方向，请根据以上所测得的数据，计算小河的宽度．(结果保留根号)第1题图2.(2019海南改编)如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，已知码头A到小岛C的距离AC为10海里，求观测站B到AC的距离BP.(结果保留根号)第2题图3. (2019黄冈)如图，两座建筑物的水平距离BC为40 m，从A点测得D点的俯角α为45°，测得C点的俯角β为60°.求这两座建筑物AB，CD的高度．(结果保留小数点后一位，2≈1.414，3≈1.732.)第3题图4.(2019陕师大附中模拟)某校在“建设特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌(AB)，放置在教学楼的顶部(如图所示)．小明在操场上的点D处，用1米高的测角仪CD，从点C处测得宣传牌的底部B的仰角为37°，然后向教学楼正方向走了4米到达点F处，又从点E处测得宣传牌的顶部A的仰角为45°.已知教学楼高BM＝17米，且点A，B，M在同一直线上，求宣传牌AB的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)第4题图5.(2019遵义)某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°.求电动扶梯DA的长．(结果保留根号)第5题图6.王顺山位于陕西省蓝田县，古称玉山，“天下名山此独奇，望中风景画中诗”是明朝诗人刘玑笔下的王顺山风光．王顺山森林公园内奇峰耸立、怪石嶙峋、清潭点点，是出游的好去处．如图，小延同学欲借助无人机在空中探测王顺山森林公园中某座小山的高度，当无人机向前飞行到A点时，测得飞行高度AF 为370米，此时山顶上C点的俯角为45°，无人机保持相同的高度继续向前飞行60米到达B点，此时测得山顶上C点的俯角是60°.已知DF表示水平地面，CD表示小山的高度，且图上各点均在同一平面内，求这座小山的高度C D.(结果保留根号)第6题图7. (2019衡阳)如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°.已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1∶3(坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求楼房AB高度．(结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)第7题图8.某校航模设计小组制作了一个飞机模型准备参加航模大赛，该飞机模型的一个机翼形状近似于如图的四边形ABCD，其中∠A＝40°，∠C＝52°，AB＝8.5 cm，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为12.5 cm，请根据以上数据，求出CD的长度．(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)第8题图类型二与相似三角形有关的几何测量(2018～2019、2013～2016、2011.20)【类型解读】与相似三角形有关的几何测量应用题近10年在第20题考查7次，分值为7分．命题特点：以利用“标杆”测高、中心投影、平行投影、镜面反射或固定视角等问题为背景，设问多为测量高度．其中，2019年结合锐角三角函数考查，2016年解题需2次运用相似，其余均为1次．1.大唐芙蓉园位于陕西省西安市城南的曲江开发区大雁塔东南侧，园内的紫云楼是全园最主要的仿唐建筑之一，也是全园的点睛楼．小蓉和爸爸周天去紫云楼游玩，如图，正方形EFGH可以近似看作紫云楼的底部，A处为北门中点，爸爸从A处往正北方向走30米到达B处，C处为西门中点，小蓉从C处往正西方向走72米到达D处，此时正好看到B处的爸爸，则紫云楼底部的边长EF为多少米？(结果保留根号)第1题图2. (2019陕师大附中模拟)随着人们对生活环境的要求逐渐提高，环境保护问题受到越来越多人的关注，环保宣传也随处可见．如图，小云想要测量窗外的环保宣传牌AB的高度，她发现早上阳光恰好从窗户的最高点C处射进房间的地板F处，中午阳光恰好从窗户的最低点D处射进房间的地板E处，小云测得窗户距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝3m.请根据以上测量数据，求环保宣传牌AB 的高度．第2题图3.(2019荆门)如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O，A，B，C，D在同一条直线上)．测得AC＝2 m，BD＝2.1 m，如果小明眼睛距地面高度BF，DG 为1.6 m，试确定楼的高度OE.第3题图4.一座桥繁荣一座城．为了加快城市发展，保障市民出行畅通，某市在流经该市的河流上架起一座彩虹桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算彩虹桥AP的长．他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点E、F，使得EF∥B C.经测量，∠ABP＝60°，BC＝120米，BE＝60米，EF＝200米．已知AP⊥BC于点P，请你根据提供的数据，帮助他们计算彩虹桥AP的长度．第4题图5.在一个阳光明媚的上午，陈老师组织学生测量小山坡上一棵大树CD的高度，山坡OM与地面ON 的夹角为30°(∠MON＝30°)，站立在水平地面上身高AB为1.7米的小明在地面的影长BP为1.2米，此刻大树CD在斜坡的影长DQ为5米，求大树的高度．(结果保留根号)第5题图6.晚饭后，小华陪父亲到广场散步，小华抬头看到一路灯，小华问父亲路灯臂MQ有多长，父亲说你已学过测量的知识，现在我们测量一下．如图所示，父亲背对路灯站在距路灯底座N点9 m的B处，小华站在父亲前面1 m的C处，此时小华通过父亲头顶A处刚好看到路灯臂的Q点，小华后退0.2 m到达F处，又恰好通过父亲头顶A处看到灯臂的M点，已知父亲身高AB＝1.8 m，小华身高CD＝EF＝1.4 m，MN⊥NF，MQ⊥MN，请你帮助小华计算灯臂MQ的长度．(眼睛到头顶的距离忽略不计)第6题图7.某天，小明和小亮利用一个直角三角形纸板结合所学的几何测量知识来测量学校旗杆的高度．测量方案如下：如图，小明拿着三角形纸板，使得三角形纸板较长的一条直角边保持水平，然后调整自己的位置，使得眼睛看到的旗杆顶端M恰好在三角形纸板斜边所在的直线上，此时小明的眼睛到地面的高度AB 为1.5 m；然后用同样的方法，小亮利用此三角形纸板在旗杆的另一侧测得当他距离小明8.0 m时，眼睛看到的旗杆顶端M也恰好在三角形纸板斜边所在的直线上，且小亮的眼睛到地面的高度CD为1.45 m．已知三角形纸板的较长直角边为0.4 m，较短直角边为0.3 m，点B、N、D在同一条直线上，求旗杆MN的高度．(结果精确到0.1 m)第7题图8. (2019西安交大附中模拟) 如图，在相对的两座楼中间有一堵院墙，甲、乙两个人分别在楼上观察这堵墙，视线所及示意图如图①.根据实际情况画出平面图形(如图②)，CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF，甲从点C可以看到点G处，乙从点E可以看到点D处，点B是DF的中点，墙AB高5米，DF＝100米，BG＝10米，求甲、乙两人的观测点到地面的距离之差．图①图②第8题图参考答案类型一与锐角三角函数有关的几何测量1.解：如解图，过点P作PQ⊥AB于点Q，根据题意，在△ABP中，∵∠P AB＝90°－30°＝60°，∠PBA＝90°－60°＝30°，∴∠APB＝180°－60°－30°＝90°.∴在Rt△APB中，AP＝AB·sin∠ABP＝60×sin30°＝30(米)．在Rt△APQ中，PQ＝AP·sin∠P AQ＝30×sin60°＝153(米)，∴小河的宽度为15 3 米．第1题解图2.解：设BP＝x海里，由题意得BP⊥AC，∴∠BPC＝∠BP A＝90°，∴∠BAC＝90°－60°＝30°，∴∠ABP＝60°，∴∠CBP＝45°，又∵∠BPC＝90°，∴∠C＝∠CBP＝45°，∴CP＝BP＝x海里．在Rt△ABP中，AP＝BP·tan∠ABP＝BP·tan60°＝(3x)海里，∴3x＋x＝10，解得x＝53－5.∴BP＝(53－5)海里．答：观测站B到AC的距离BP为(53－5)海里．3.解：如解图，过点D作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE为矩形．第3题解图∵∠α＝45°，∠β＝60°，∴∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，∴△AED为等腰直角三角形，∵四边形BCDE为矩形，∴AE＝DE＝BC＝40 m，在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠CAB＝40tan30°＝403≈40×1.732≈69.3 m.∴CD＝BE＝AB－AE＝403－40≈29.3 m.答：建筑物AB的高度约为69.3 m，建筑物CD的高度约为29.3 m.4.解：如解图，过点C作CN⊥BM于点N，则四边形CDMN和四边形CDFE是矩形，且点E在线段CN上，∴MN＝CD＝1米，CE＝DF＝4米，∴BN＝BM－MN＝17－1＝16米．∵在Rt△BCN中，BN＝16米，∠BCN＝37°，∴CN＝BNtan37°≈21.33米．∵在Rt△AEN中，EN＝CN－CE≈17.33米，∠AEN＝45°，∴AN ＝EN ≈17.33米，∴AB ＝AN －BN ≈17.33－16≈1.3(米)．答：宣传牌AB 的高度约为1.3米．第4题解图5. 解：如解图，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，作DF ⊥AC 于点F ， ∴四边形DECF 为矩形， ∴DE ＝CF ，根据题意可得，在Rt △BDE 中， DE ＝BD ·sin30°＝168×12＝84(米)，∵DE ＝FC ，∴AF ＝AC －FC ＝AC －DE ＝154－84＝70(米)， ∴在Rt △ADF 中，AD ＝2AF ＝702米，答：电动扶梯DA 的长为70 2 米．第5题解图6. 解：如解图，过点C 作CE ⊥AB ，交AB 的延长线于点E ，易得D 、C 、E 三点共线，由题意得∠EAC ＝45°， ∠EBC ＝60°，AB ＝60米，DE ＝AF ＝370米，设EC ＝x 米，在Rt△BCE中，tan∠EBC＝EC BE，则BE＝ECtan∠EBC＝xtan60°＝3x3米，在Rt△ACE中，∵∠EAC＝45°，∴AE＝EC＝x米，∵AB＋BE＝AE，∴60＋3x3＝x，解得x＝90＋303，∴CD＝DE－EC＝370－90－303＝(280－303)米．答：这座山的高度CD为(280－303)米．第6题解图7.解：如解图，过点D作BC的垂线，交直线BC于点F，过点D作AB的垂线，交AB于点G，则四边形DGBF为矩形，∴DF＝GB，DG＝F B.∵山坡的坡度i＝1 ∶3，∴DF∶FC＝1 ∶3，∴DF∶FC∶CD＝1 ∶ 3 ∶2.∵CD＝10米，∴DF＝5米，FC＝5 3 米．∵CE＝10米，∴BE＝DG－FC－CE＝(DG－53－10)米．∵∠ADG＝30°，∴DG ＝AGtan30°＝3AG .∵∠AEB ＝60°， ∴tan ∠AEB ＝tan60°＝AB EB. ∵AB ＝AG ＋GB ＝AG ＋DF ＝(AG ＋5)米， ∴3＝AG ＋5EB ＝AG ＋5DG －53－10＝AG ＋53AG －53－10.解得AG ＝53＋10.∴AB ＝AG ＋GB ＝53＋10＋5≈23.7(米)．答：楼房AB 的高度约为23.7米．第7题解图8. 解：如解图，分别过点C 、D 作CE ⊥AB 、DF ⊥AB ，交AB 的延长线于点E 、F ， ∵AE ∥CD ，∴四边形DFEC 为矩形，∴CD ＝EF ，∠EBC ＝∠DCB ＝52°， ∵CE ⊥AE ，DF ⊥AF ， ∴在Rt △BCE 中，BE ＝CEtan ∠EBC≈9.77 cm ，在Rt △ADF 中，AF ＝DFtan A ≈14.88 cm ，∵AE ＝AB ＋BE ≈8.5＋9.77＝18.27 cm ， ∴CD ＝EF ＝AE －AF ≈18.27－14.88≈3.4 cm. ∴CD 的长度约为3.4 cm.第8题解图类型二与相似三角形有关的几何测量1.解：设紫云楼底部的边长EF为x米，则AE＝CE＝12x米，∵AE∥CD，∴∠BEA＝∠EDC，∴Rt△BEA∽Rt△EDC，∴ABCE＝AECD，即3012x＝12x72，∴x＝2415.答：紫云楼底部的边长EF为2415 米．2.解：如解图，连接CD，由题可得△COF∽△ABF，△DOE∽△ABE，则COAB＝OFBO＋OF，DOAB＝OEBO＋OE，∵OD＝1 m，CO＝CD＋OD＝2.5 m，OE＝1 m，OF＝3 m，∴2.5AB＝3BO＋3，1AB＝1BO＋1，∴BO＝9 m，AB＝10 m.答：环保宣传牌AB的高度是10 m.第2题解图3.解：如解图，作点E关于OD的对称点M，由光的反射定律可知，延长F A、GC相交于点M.、第3题解图连接GF并延长，交OE于点H.∵GF∥AC，∴△MAC∽△MFG，△MAO∽△MFH，∴ACFG＝MAMF＝MOMH，即ACBD＝OEMH＝OEMO＋OH＝OEOE＋BF，∴OEOE＋1.6＝22.1，∴OE＝32.答：楼的高度OE为32 m.4. 解：∵BC ∥EF ， ∴∠ABC ＝∠AEF ， ∠ACB ＝∠AFE ， ∴△ABC ∽△AEF ， ∴AB AE ＝BC EF ，即AB AB ＋60＝120200，解得AB ＝90.∵AP ⊥BC ，∠ABP ＝60°，∴在Rt △APB 中，AP ＝AB ·sin60°＝90×32＝453， ∴彩虹桥AP 的长度为45 3 米．5. 解：如解图，过点Q 作QE ⊥DC 于点E ，由题意可得△ABP ∽△CEQ ，则AB BP ＝EC EQ ，即1.71.2＝EC EQ，由作图可得EQ ∥NO ，则∠1＝∠2＝30°， ∵DQ ＝5米，∴DE ＝52米，EQ ＝532米，∴1.71.2＝EC 532， ∴EC ＝85324米，∴CD ＝EC ＋DE ＝85324＋52＝853＋6024 米．答：大树的高度为853＋6024米．第5题解图6.解：如解图，过点A作AG⊥MN于点G，则有AG＝BN＝9 m，根据题意，易得CF＝DE＝0.2 m，BF＝PE＝1.2 m，∵MN⊥NF，AB⊥NF，EP⊥AB，∴AG∥PE，∴∠MAG＝∠AEP，又∵∠MGA＝∠APE＝90°，∴Rt△MAG∽Rt△AEP，∴MAAE＝AGEP.∵MQ⊥MN，∴AG∥MQ，MQ∥PE，∴∠MQA＝∠EDA，∠QMA＝∠DEA，∴△AMQ∽△AED，∴AMAE＝MQED，∴AGEP＝MQED，即91.2＝MQ0.2，∴MQ＝1.5 m.∴灯臂MQ的长度为1.5 m.第6题解图7. 解：如解图，过点A 作AE ⊥MN 于点E ，过点C 作CF ⊥MN 于点F ，则AE ＝BN ，CF ＝DN ，EF ＝AB －CD ＝1.5－1.45＝0.05 m ，设ME ＝x m ，则MF ＝(x ＋0.05)m ，∵∠AGH ＝∠AEM ＝90°，∠HAG ＝∠MAE ， ∴△AGH ∽△AEM ， ∴AG AE ＝HG ME ，即0.4AE ＝0.3x， ∴AE ＝43x m ，∵BD ＝8.0 m ，∴CF ＝DN ＝(8.0－43x )m ，∵∠CQP ＝∠CFM ＝90°， ∠PCQ ＝∠MCF ， ∴△CQP ∽△CFM ， ∴CQ CF ＝PQ MF，即0.48.0－43x＝0.3x ＋0.05，解得x ＝2.975，∴MN ＝ME ＋EN ＝2.975＋1.5≈4.5 m.答：旗杆MN 的高度约为4.5 m.第7题解图8. 解：由题意可知∠ABG ＝∠CDG ＝90°，又∵∠AGB ＝∠CGD ，∴△ABG ∽△CDG ，∴AB CD ＝BG DG .∵DF ＝100米，点B 是DF 的中点，∴BD ＝BF ＝50米，∵AB ＝5米，BG ＝10米，∴5CD ＝1050＋10，∴CD ＝30米，同理可求得EF ＝10米，CD－EF＝30－10＝20(米)，∴甲、乙两人的观测点到地面的距离之差为20米．。

2019年全国中考数学真题汇编——专题19几何探究性问题

专题19几何探究型问题1．(2019•重庆B卷)在ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．(1)如图1，若∠D=30°，AB，求△ABE的面积；(2)如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB=AF．求证：ED-AG=FC．【解析】(1)作BO⊥AD于O，如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∠ABC=∠D=30°，∴∠AEB=∠CBE，∠BAO=∠D=30°，∴BO AB，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB，∴△ABE的面积AE×BO．(2)作AQ⊥BE交DF的延长线于P，垂足为Q，连接PB、PE，如图2所示：∵AB=AE，AQ⊥BE，∴∠ABE=∠AEB，BQ=EQ，∴PB=PE，∴∠PBE=∠PEB，∴∠ABP=∠AEP，∵AB∥CD，AF⊥CD，∴AF⊥AB，∴∠BAF=90°，∵AQ⊥BE，∴∠ABG=∠FAP，在△ABG和△FAP中，，∴△ABG≌△AFP，∴AG=FP，∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABP+∠BPC=180°，∠BCP=∠D，∵∠AEP+∠PED=180°，∴∠BPC=∠PED，在△BPC和△PED中，，∴△BPC≌△PED，∴PC=ED，∴ED-AG=PC-AG=PC-FP=FC．【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．2．(2019•山西)综合与实践动手操作：第一步：如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上．此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一条直线上，折痕分别为CE，CF．如图2．第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3．第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME．如图5，图中的虚线为折痕．问题解决：(1)在图5中，∠BEC的度数是__________，的值是__________．(2)在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；(3)在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形(正方形除外)，并写出这个菱形：__________．【解析】(1)由折叠的性质得：BE=EN，AE=AF，∠CEB=∠CEN，∠BAC=∠CAD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAF=90°，∴∠AEF=∠AFE=45°，∴∠BEN=135°，∴∠BEC=67.5°，∴∠BAC=∠CAD=45°，∵∠AEF=45°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴AE EN，∴，故答案为：67.5°，．(2)四边形EMGF是矩形．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠BCD=∠D=90°，由折叠的性质得：∠BCE=∠ECA=∠ACF=∠FCD，CM=CG，∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC，∴∠BCE=∠ECA=∠ACF=∠FCD22.5°，∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC=67.5°，由折叠可知：MH、GH分别垂直平分EC、FC，∴MC=ME=CG=GF，∴∠MEC=∠BCE=22.5°，∠GFC=∠FCD=22.5°，∴∠MEF=90°，∠GFE=90°，∵∠MCG=90°，CM=CG，∴∠CMG=45°，∵∠BME=∠BCE+∠MEC=22.5°+22.5°=45°，∴∠EMG=180°-∠CMG-∠BME=90°，∴四边形EMGF是矩形．(3)连接EH、FH，如图所示：∵由折叠可知：MH、GH分别垂直平分EC、FC，同时EC、FC也分别垂直平分MH、GH，∴四边形EMCH与四边形FGCH是菱形，故答案为：菱形EMCH或菱形FGCH．【名师点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质、矩形与菱形的判定是解题的关键．3．(2019•河北)如图1和2，ABCD中，AB=3，BC=15，tan∠DAB．点P为AB延长线上一点，过点A作⊙O切CP于点P，设BP=x．(1)如图1，x为何值时，圆心O落在AP上？若此时⊙O交AD于点E，直接指出PE与BC的位置关系；(2)当x=4时，如图2，⊙O与AC交于点Q，求∠CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧长度的大小；(3)当⊙O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围．【解析】(1)AP经过圆心O，∵CP与⊙O相切于P，∴∠APC=90°，∵ABCD，∴AD∥BC，∴∠PBC=∠DAB，∴tan∠PBC=tan∠DAB，设CP=4k，BP=3k，由CP2+BP2=BC2，得(4k)2+(3k)2=152，解得k1=-3(舍去)，k2=3，∴x=BP=3×3=9，故当x=9时，圆心O落在AP上，∵AP是⊙O的直径，∴∠AEP=90°，∴PE⊥AD，∵ABCD，∴BC∥AD，∴PE⊥BC．(2)如图2，过点C作CG⊥AP于G，∵ABCD，∴BC∥AD，∴tan∠CBG=tan∠DAB，设CG=4m，BG=3m，由勾股定理得：(4m)2+(3m)2=152，解得m=3，∴CG=4×3=12，BG=3×3=9，PG=BG-BP=9-4=5，AP=AB+BP=3+4=7，∴AG=AB+BG=3+9=12，∴tan∠CAP1，∴∠CAP=45°．连接OP，OQ，过点O作OH⊥AP于H，则∠POQ=2∠CAP=2×45°=90°，PH AP，在Rt△CPG中，13，∵CP是⊙O的切线，∴∠OPC=∠OHP=90°，∠OPH+∠CPG=90°，∠PCG+∠CPG=90°，∴∠OPH=∠PCG，∴△OPH∽△PCG，∴，即PH×CP=CG×OP，13=12OP，∴OP，∴劣弧长度，∵2π<7，∴弦AP的长度>劣弧长度．(3)如图3，⊙O与线段AD只有一个公共点，即圆心O位于直线AB下方，且∠OAD≥90°，当∠OAD=90°，∠CPM=∠DAB时，此时BP取得最小值，过点C作CM⊥AB于M，∴∠CPM=∠CBP∴CB=CP，∵CM⊥AB∴BP=2BM=2×9=18，∴x≥18．【名师点睛】本题是一道几何综合题，考查了圆的切线性质，相似三角形性质，三角函数解直角三角形，勾股定理，弧长计算等；综合性较强，学生解题时要灵活运用所学数学知识解决问题．4．(2019•河北)如图，△ABC和△ADE中，AB=AD=6，BC=DE，∠B=∠D=30°，边AD与边BC交于点P(不与点B，C重合)，点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．(1)求证：∠BAD=∠CAE；(2)设AP=x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；(3)当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°<∠AIC<n°，分别直接写出m，n的值．【解析】(1)在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE，∴∠BAC=∠DAE，即∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，∴∠BAD=∠CAE．(2)∵AD=6，AP=x，∴PD=6-x，当AD⊥BC时，AP AB=3最小，即PD=6-3=3为PD的最大值．(3)如图2，设∠BAP=α，则∠APC=α+30°，∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∠PCA=60°，∠PAC=90°-α，∵I为△APC的内心，∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，∴∠IAC∠PAC，∠ICA∠PCA，∴∠AIC=180°-(∠IAC+∠ICA)=180°(∠PAC+∠PCA)=180°(90°-α+60°)α+105°，∵0<α<90°，∴105°α+105°<150°，即105°<∠AIC<150°，∴m=105，n=150．【名师点睛】本题是一道几何综合题，考查了点到直线的距离垂线段最短，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质，三角形内心概念及角平分线定义等，解题关键是将PD最大值转化为PA的最小值．5．(2019•河南)在△ABC中，CA=CB，∠ACB=α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．(1)观察猜想如图1，当α=60°时，的值是__________，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是__________．(2)类比探究如图2，当α=90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．(3)解决问题当α=90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．【解析】(1)如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．∵∠PAD=∠CAB=60°，∴∠CAP=∠BAD，∵CA=BA，PA=DA，∴△CAP≌△BAD，∴PC=BD，∠ACP=∠ABD，∵∠AOC=∠BOE，∴∠BEO=∠CAO=60°，∴1，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°，故答案为：1，60°．(2)如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．∵∠PAD=∠CAB=45°，∴∠PAC=∠DAB，∵，∴△DAB∽△PAC，∴∠PCA=∠DBA，，∵∠EOC=∠AOB，∴∠CEO=∠OABB=45°，∴直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45°．(3)如图3-1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．∵CE=EA，CF=FB，∴EF∥AB，∴∠EFC=∠ABC=45°，∵∠PAO=45°，∴∠PAO=∠OFH，∵∠POA=∠FOH，∴∠H=∠APO，∵∠APC=90°，EA=EC，∴PE=EA=EC，∴∠EPA=∠EAP=∠BAH，∴∠H=∠BAH，∴BH=BA，∵∠ADP=∠BDC=45°，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AH，∴∠DBA=∠DBC=22.5°，∵∠ADB=∠ACB=90°，∴A，D，C，B四点共圆，∠DAC=∠DBC=22.5°，∠DCA=∠ABD=22.5°，∴∠DAC=∠DCA=22.5°，∴DA=DC，设AD=a，则DC=AD=a，PD a，∴2．如图3-2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA=DC，设AD=a，则CD=AD=a，PD a，∴PC=a a，∴2．【名师点睛】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。

2019年中考数学复习专题九几何测量(针对第20题)题型2

第二部分专题九题型二7．(2018·西安高新一中五模)学校为了满足初三学生中考体育训练，在网球场旁边修建了一面排球墙MN ，练习时，三位学生站在离墙均为1.5米远的A ，B ，C 处垫球，站在C 处的小明想测出这个排球墙有多长，他发现左边的同学A 距离自己两步，右边的同学B 距离自己三步，当小明后退一步到D 点时，发现自己、左边的同学A 和墙的左端点M 恰好共线，此时自己和右边的同学B 、墙的右端点N 也共线，小明的一步约为0.5米．同学们，小明能否根据以上数据测出排球墙的长度？若能，请求出墙MN 的长度；若不能，请说明理由．第7题图解：能测出墙MN 的长度．如答图，延长DC 交MN 于点E ，由题意知DE ⊥MN ，AB ∥MN ，∵DC ＝0.5(米)，AC ＝2×0.5＝1(米)，BC ＝3×0.5＝1.5(米)，CE ＝1.5(米)， ∴AB ＝AC ＋BC ＝2.5(米)，DE ＝DC ＋CE ＝2(米)．∵AB ∥MN ，∴△ADB ∽△MDN ，∴AB MN ＝DC DE ，即2.5MN ＝0.52，解得MN ＝10.∴墙MN 的长度为10米．8．(2018·岐山模拟)在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处(如图)，然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C ，D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．第8题图解：这种测量方法可行．理由如下：如答图，设旗杆高AB ＝x .过点F 作FG ⊥AB 于点G ，交CE 于点H ，∵FD ＝1.5，GF ＝27＋3＝30，HF ＝3，∴EH ＝3.5－1.5＝2，AG ＝x －1.5.由△AGF ∽△EHF ，得AG EH ＝GF HF，即 x －1.52＝303，解得x ＝21.5.即旗杆的高为21.5米．9．(2018·西安高新一中一模)太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔(舍利塔、文峰塔)耸立，被人们称为“文笔双峰”，是太原的标志性建筑之一．某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C 处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD ，这时地面上的点E ，标杆的顶端点D ，舍利塔的塔尖点B 正好在同一直线上，测得EC ＝4米，将标杆CD 向后平移到点G 处，这时地面上的点F ，标杆的顶端点H ，舍利塔的塔尖点B 正好在同一直线上(点F ，点G ，点E ，点C 与塔底处的点A 在同一直线上)，这时测得FG ＝6米，GC ＝53米．请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB ．第9题图解：由题意可知，△EDC ∽△EBA ，△FHG ∽△FBA ，∴DC AB ＝EC EA ，HG AB ＝FG F A. ∵DC ＝HG ，∴FG F A ＝EC EA， ∴66＋53＋CA ＝44＋CA ，解得CA ＝106.∵DC AB ＝EC EA ，∴2AB ＝44＋106，解得AB ＝55.答：舍利塔的高度AB 为55米．。

(完整word版)北京2019初三年级中考几何综合

如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，D 为AC 上一点（与点A ，C 不重合），连接BD ，过点A 作AE ⊥BD 的延长线于E（1）①在图中作出△ABC 的外接圆⊙O ，并用文字描述圆心O 的位置②连接OE ，求证：点E 在⊙O 上（2）①延长线段BD 至点F ，使EF =AE ，连接CF ,根据题意补全图形②用等式表示线段CF 与AB 的数量关系，并证明 2如图，△ABC 是等边三角形，D ，E 分别是AC ，BC 边上的点，且AD = CE ，连接BD ，AE 相交于点F （1）∠BFE 的度数是（2）如果21=AC AD ，那么=BF AF （3）如果nAC AD 1=时，请用含n 的式子表示AF ，BF 的数量关系，并证明ABC DEADBF已知在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，直线l 经过点A （不经过点B 或点C ），点C 关于直线l 的对称点为点D ，连接BD ，CD（1）如图1 ①求证：点,,B C D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上 ②直接写出∠BDC 的度数（用含α的式子表示）为___________（2）如图2，当α=60°时，过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ，求证：AE =BD（3）如图3，当α=90°时，记直线l 与CD 的交点为F ，连接BF ．将直线l 绕点A 旋转，当线段BF 的长取得最大值时，直接写出tan FBC ∠的值4在菱形ABCD 中，∠ADC=60°，BD 是一条对角线，点P 在边CD 上（与点C ，D 不重合），连接AP ，平移ADP ∆，使点D 移动到点C ，得到BCQ ∆，在BD 上取一点H ，使HQ=HD ，连接HQ ，AH ，PH （1）依题意补全图1 （2）判断AH 与PH 的数量关系及∠AHP 的度数，并加以证明（3）若141AHQ ∠=︒，菱形ABCD 的边长为1，请写出求DP 长的思路（可．以不写出计算结果．．．．．．．．）BBA BCDPA BCD如图1，在正方形ABCD 中，点F 在边BC 上，过点F 作EF ⊥BC ，且FE =FC （CE <CB ），连接CE 、AE ，点G 是AE 的中点，连接FG（1）用等式表示线段BF 与FG 的数量关系是___________________（2）将图1中的△CEF 绕点C 按逆时针旋转，使△CEF 的顶点F 恰好在正方形ABCD 的对角线AC 上，点G 仍是AE 的中点，连接FG 、DF①在图2中，依据题意补全图形②求证:DF =6正方形ABCD 中，将边AB 所在直线绕点A 逆时针旋转一个角度α得到直线AM ，过点C 作CE ⊥AM ，垂足为E ，连接BE(1) 当045α︒<<︒时，设AM 交BC 于点F① 如图1，若α＝35°，则∠BCE ＝ ° ② 如图2，用等式表示线段AE ，BE ，CE 之间的数量关系，并证明 (2) 当4590α︒<<︒时(如图3)，请直接用等式表示线段AE ，BE ，CE 之间的数量关系图2图1F 35°MBC DAEF AB EMC DαAB EMCD如图，Rt △ ABC 中，∠ACB =90°，AD 平分∠BAC ，作AD 的垂直平分线EF 交AD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，交AB 于点G ，交AC 于点H（1）依题意补全图形8如图，在△ABC 中，AC = BC ，∠ACB = 90°，D 是线段AC 延长线上一点，连接BD ，过点A 作AE ⊥BD 于E （1）求证：∠CAE =∠CBD（2）将射线AE 绕点A 顺时针旋转45°后，所得的射线与线段BD 的延长线交于点F ，连接CE ① 依题意补全图形② 用等式表示线段EF ，CE ，BE 之间的数量关系，并证明AABCDEM 是正方形ABCD 的边AB 上一动点（不与A ，B 重合）MC BP ⊥，垂足为P ，将CP B ∠绕点P 旋转，得到''PB C ∠，当射线'PC 经过点D 时，射线'PB 与BC 交于点N （1）依题意补全图形（2）求证：CPD ∽∆∆BPN（3）在点M 的运动过程中，图中是否存在与BM 始终相等的线段？若存在，请写出这条线段并证明，若不存在，请说明理由10如图，在△ABC 中，AB =AC ．△ADE ∽△ABC ，连接BD ，CE （1）判断BD 与CE 的数量关系，并证明你的结论（2）若AB =2，AD =22，∠BAC =105°，∠CAD =30° ①BD 的长为②点P ，Q 分别为BC ，DE 的中点，连接PQ ，写出求PQ 长的思路如图，在ABC Rt ∆中，BC AB ABC ==∠，090，点E 为线段AB 上一动点（不与点A ，B 重合），连接CE ，将AC E ∠的两边CE ，CA 分别绕点C 顺时针旋转090，得到射线''CA CE ，，过点A 作AB 的垂线AD ，分别交射线''CA CE ，于点F ，G（1）依题意补全图形（2）若α=∠ACE ，求AFC ∠的大小（用含α的式子表示）（3）用等式表示线段AE ，AF ，与BC 之间的数量关系，并证明12如图，M 为正方形ABCD 内一点，点N 在AD 边上，且MB MN BMN 2900==∠，，点E 为MN 的中点，点P 为DE 的中点，连接MP 并延长到点F ，使得PF=PM ，连接DF （1）依题意补全图形（2）求证：DF=BM（3）连接AM ，用等式表示线段PM 和AM 的数量关系并证明如图，正方形ABCD，将边CD绕点C顺时针旋转60°，得到线段CE，连接DE，AE，BD交于点F（1）求∠AFB的度数（2）求证：BF=EFAB，CF，EF的数量关系E。

2019年中考初中数学几何题知识点详细介绍

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初中数学几何题学习对学生们来说非常重要，下面，教育初中频道小编为学生们详细介绍!
一、计算图形面积
二、用面积法求线段长或证明线段间的数量关系，角相等及比例式
1. 用面积法证线段相等
【例1】已知：如图1，AD是△ABC 的中线，CF⊥AD于F，BE⊥AD交AD 的延长线于E。

求证：CF=BE。

2. 用面积法证两角相等
【例2】如图2，C是线段AB上的
一点，△ACD、△BCE都是等边三角形，AE、BD相交于O。

求证：∠AOC=∠BOC。

3. 用面积法证线段不等
【例3】如图3，在△ABC中，已知AB>AC，∠A的平分线交BC于D。

求证：BD>CD。

4. 用面积法证线段的和差
【例4】已知：如图4，设等边△ABC 一边上的高为h，P为等边△ABC内的任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F。

求证：PE+PF+PD=h。

5. 用面积法证比例式或等积式
还没有用过面积法的可以行动起来了~~涨分势在必得!
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2019届中考数学复习专项二解答题专项六、几何测量问题课件

解答题专项
【解】设AB=y，BC=x。∵AB⊥BD，EF⊥BD，∴∠ABC=∠EFC=90°。
∵∠ACB=∠ECF，∴△ACB∽△ECF，∴ AB EF ,
∴即 y 1.5 ,
∴ x 2 y。 ①
BC CF

x1
3
同理可知，△ADB∽△GDH，
∴ AB GH , ∴ BD y DH =tan 39°。 ②
例1（2018·陕西模拟）李明周末去博古书城买书，发现书城所在的大楼的楼顶有一面大约4米高的旗帜（如图），于是他想利用所学知识测量下书城所在大楼的高度，李明在楼前空地上的点D处，用1.6米高的测角仪CD从点C测得旗帜的底部B的仰角为35°，然后向大楼方向走了5米到达点F处，又从点E测得旗帜的顶部A的仰角为45°。已知点A，B，M在同一直线上，CD⊥DM，EF⊥DM，请根据以上数据，求这座大楼的高度BM。（参考数据：sin 35°≈0.57， cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，结果精确到0.1米）
由①x②1， 2解0 得y≈36。
答：钟楼的高度约为36米。
故这座大楼的高度BM约是22.6米。
解答题专项
类型2 相似三角形的应用例2（2018·陕西模拟）钟楼是西安标志性的建筑之一，建于1384年，是中国古代遗留下来的众多钟楼中保存最完整的一座。为了对钟楼有基本的认识，小明和小亮运用所学的数学知识对钟楼进行了测量，由于无法直接测量出它的高度，他们先在地面选择了一点C放置平面镜，小明到点F时正好在平面镜中看到顶尖A，小明的眼睛距地面的高度 EF=1.5米；然后在点D处放置平面镜，小亮到点H时正好在平面镜中看到顶尖A （点B，C，F，D，H共线）。小亮的眼睛距地面的高度GH=1.6米，此时测得俯角 ∠KGD=39°，如图，已知CF=1米，DF=20米，AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据以上测量数据及信息，计算钟楼的高度。（参考数据：sin 39°≈0.6，cos 39°≈0.8，tan 39°≈0.8）

2019中考数学几何证明专题试卷精选汇编(有解析答案)

几何证明东城区19. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D . BF 平分∠ABC 交AD 于点E ，交AC 于点F . 求证：AE =AF .19.证明： ∵∠BAC =90°，∴∠FBA +∠AFB =90°. -------------------1分 ∵AD ⊥BC ，∴∠DBE +∠DEB =90°．---------------- 2分 ∵BE 平分∠ABC ,∴∠DBE =∠FBA . -------------------3分 ∴∠AFB =∠DEB . -------------------4分 ∵∠DEB =∠FEA ， ∴∠AFB =∠FEA .∴AE =AF . -------------------5分西城区19．如图，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥于点D ，AB 的中点为E ，AE AC <．（1）求证：DE AC ∥．（2）点F 在线段AC 上运动，当AF AE =时，图中与ADF △全等的三角形是__________．EDCBA【解析】（1）证明：∵AD 平分BAC ∠， ∴12∠=∠， ∵BD AD ⊥于点D ， ∴90ADB ∠=︒， ∴ABD △为直角三角形． ∵AB 的中点为E ， ∴2AB AE =，2ABDE =， ∴DE AE =， ∴13∠=∠， ∴23∠=∠， ∴DE AC ∥．（2）ADE △．321EDCBA海淀区19．如图，△ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，连接CD ，过点B 作CD 的平行线EF ，求证：BC 平分ABF ∠．FE DCB A19. 证明：∵90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点， ∴12CD AB BD ==. ∴ABC DCB ∠=∠. …………… ∵DC EF ∥，∴CBF DCB ∠=∠.∴CBF ABC ∠=∠. ∴BC 平分ABF ∠. 丰台区19．如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 是BC 边上的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．求证：DE = DF ．F DE CBA19．证明：连接AD .∵AB ＝BC ，D 是BC 边上的中点，∴∠BAD =∠CAD . ………………………3分 ∵DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，A∴DE ＝DF ． ………………………5分（其他证法相应给分）石景山区19．问题将菱形的面积五等分．小红发现只要将菱形周长五等分，再将各分点与菱形的对角线交点连接即可解决问题．如图，点O 是菱形ABCD 的对角线交点，5AB =，下面是小红将菱形ABCD 面积五等分的操作与证明思路，请补充完整.O H GFE DCB A（1）在AB 边上取点E ，使4AE =，连接OA ，OE ；（2）在BC 边上取点F ，使BF = ，连接OF ；（3）在CD 边上取点G ，使CG = ，连接OG ；（4）在DA 边上取点H ，使DH = ，连接OH ．由于AE = ＋ = ＋ = ＋ = . 可证S △AOE ==EOFB FOGC GOHD S S S ==四边形四边形四边形S △HOA .19．解：3，2，1； ………………2分EB 、BF ；FC 、CG ；GD 、DH ；HA. ………………4分朝阳区19. 如图，在△ACB 中，AC =BC ，AD 为△ACB 的高线，CE 为△ACB 的中线.求证：∠DAB =∠ACE.19. 证明：∵AC ＝BC ，CE 为△ACB 的中线，∴∠CAB ＝∠B ，CE ⊥AB . ……………………………………………2分 ∴∠CAB ＋∠ACE ＝90°. ………………………………………………3分 ∵AD 为△ACB 的高线， ∴∠D ＝90°.∴∠DAB ＋∠B ＝90°. ……………………………………………………4分 ∴∠DAB ＝∠ACE . ………………………………………………………5分燕山区19．文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题。

中考数学模拟题《几何综合》专项测试题(附带参考答案)

中考数学模拟题《几何综合》专项测试题(附带参考答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点解读在中考数学中有这么一类题它是以点线几何图形的运动为载体集合多个代数知识几何知识及数学解题思想于一题的综合性试题它就是动态几何问题。

动态几何问题经常在各地以中考试卷解答压轴题出现也常会出现在选择题最后一题的位置考察知识面较广综合性强可以提升学生的空间想象能力和综合分析问题的能力但同时难度也很大令无数初中学子闻风丧胆考场上更是丢盔弃甲解题思路1 熟练掌握平面几何知识﹕要想解决好有关几何综合题首先就是要熟练掌握关于平面几何的所有知识尤其是要重点把握三角形特殊四边形圆及函数三角函数相关知识．几何综合题重点考查的是关于三角形特殊四边形（平行四边形矩形菱形正方形）圆等相关知识2 掌握分析问题的基本方法﹕分析法综合法“两头堵”法﹕1）分析法是我们最常用的解决问题的方法也就是从问题出发执果索因去寻找解决问题所需要的条件依次向前推直至已知条件例如我们要证明某两个三角形全等先看看要证明全等需要哪些条件哪些条件已知了还缺少哪些条件然后再思考要证缺少的条件又需要哪些条件依次向前推直到所有的条件都已知为止即可综合法﹕即从已知条件出发经过推理得出结论适合比较简单的问题3）“两头堵”法﹕当我们用分析法分析到某个地方不知道如何向下分析时可以从已知条件出发看看能得到什么结论把分析法与综合法结合起来运用是我们解决综合题最常用的办策略3 注意运用数学思想方法﹕对于几何综合题的解决我们还要注意运用数学思想方法这样会大大帮助我们解决问题或者简化我们解决问题的过程加快我们解决问题的速度毕竟考场上时间是非常宝贵的．常用数学思想方法﹕转化类比归纳等等模拟预测1 （2024·江西九江·二模）如图在矩形()ABDC AB AC >的对称轴l 上找点P 使得PAB PCD 、均为直角三角形则符合条件的点P 的个数是（）A ．1B ．3C ．4D ．52 （2024·江西吉安·模拟预测）如图在平面直角坐标系中边长为23ABC 的顶点A B ，分别在y 轴的正半轴 x 轴的负半轴上滑动连接OC 则OC 的最小值为（）A ．2B ．3C ．33D ．333 （2024·江西吉安·一模）如图矩形ABCD 中 4AB = 6AD = 点E 在矩形的边上则当BEC 的一个内角度数为60︒时符合条件的点E 的个数共有（）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个4 （2023·江西·中考真题）如图在ABCD 中 602B BC AB ∠=︒=，将AB 绕点A 逆时针旋转角α（0360α︒<<︒）得到AP 连接PC PD ．当PCD 为直角三角形时旋转角α的度数为．5 （2024·江西吉安·二模）如图在矩形ABCD 中 6,10,AB AD E ==为CD 的中点点P 在AE 下方矩形的边上．当APE 为直角三角形且P 为直角顶点时 BP 的长为．6 （2024·江西九江·二模）如图在平面直角坐标系中已知矩形OABC 的顶点()20,0A ()0,8C D 为OA 的中点点P 为矩形OABC 边上任意一点将ODP 沿DP 折叠得EDP △ 若点E 在矩形OABC 的边上则点E 的坐标为．7 （2024·江西·模拟预测）如图 ABC 中 AB AC = 30A ∠=︒ 射线CP 从射线CA 开始绕点C 逆时针旋转α角()075α︒<<︒ 与射线AB 相交于点D 将ACD 沿射线CP 翻折至A CD '△处射线CA '与射线AB 相交于点E ．若A DE '是等腰三角形则α∠的度数为．8 （2024·江西赣州·二模）在Rt ABC △中已知90C ∠=︒ 10AB = 3cos 5B = 点M 在边AB 上点N 在边BC 上且AM BN = 连接MN 当BMN 为等腰三角形时 AM = ．9 （2024·江西吉安·模拟预测）如图在矩形ABCD 中 6,10AB AD == E 为BC 边上一点 3BE = 点P 沿着边按B A D →→的路线运动．在运动过程中若PAE △中有一个角为45︒ 则PE 的长为．10 （2024·江西吉安·三模）如图在ABC 中 AB AC = 30B ∠=︒ 9BC = D 为AC上一点 2AD DC = P 为边BC 上的动点当APD △为直角三角形时 BP 的长为．11 （2024·江西吉安·一模）如图矩形ABCD 中 4AB = 6AD = E 为CD 的中点连接BE 点P 在矩形的边上且在BE 的上方则当BEP △是以BE 为斜边的直角三角形时 BP 的长为．12 （2024·江西九江·二模）如图在等腰ABC 中 2AB AC == 30B ∠=︒ D 是线段BC 上一动点沿直线AD 将ADB 折叠得到ADE 连接EC ．当DEC 是以DE 为直角边的直角三角形时则BD 的长为．13 （2024·江西·模拟预测）如图在菱形ABCD 中对角线AC BD 相交于点O 23AB = 60ABC ∠=︒ E 为BC 的中点 F 为线段OD 上一动点当AEF △为等腰三角形时 DF 的长为．14 （2024·江西上饶·一模）如图在三角形纸片ABC 中 90,60,6C B BC ∠=︒∠=︒= 将三角形纸片折叠使点B 的对应点B '落在AC 上折痕与,BC AB 分别相交于点E F 当AFB '为等腰三角形时 BE 的长为．15 （2024·江西抚州·一模）课本再现（1）如图1 CD 与BE 相交于点,A ABC 是等腰直角三角形 90C ∠=︒ 若DE BC ∥ 求证：ADE 是等腰直角三角形．类比探究（2）①如图2 AB 是等腰直角ACB △的斜边 G 为边AB 的中点 E 是BA 的延长线上一动点过点E 分别作AC 与BC 的垂线垂足分别为,D F 顺次连接,,DG GF FD 得到DGF △ 求证：DGF △是等腰直角三角形．②如图3 当点E 在边AB 上且①中其他条件不变时 DGF △是等腰直角三角形是否成立？_______（填“是”或“否”）．拓展应用（3）如图4 在四边形ABCD 中 ,90,BC CD BCD BAD AC =∠=∠=︒平分BAD ∠ 当1,22AD AC == 求线段BC 的长．16 （2023·江西·中考真题）课本再现思考我们知道菱形的对角线互相垂直．反过来对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(1)定理证明：为了证明该定理小明同学画出了图形（如图1）并写出了“已知”和“求证”请你完成证明过程．已知：在ABCD中对角线BD AC⊥垂足为O．求证：ABCD是菱形．(2)知识应用：如图2在ABCD中对角线AC和BD相交于点O586AD AC BD===，，．①求证：ABCD是菱形②延长BC至点E连接OE交CD于点F若12E ACD∠=∠求OFEF的值．17 （2022·江西·中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板()90,60PEF P F ∠=︒∠=︒的一个顶点放在正方形中心O 处并绕点O 逆时针旋转探究直角三角板PEF 与正方形ABCD 重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．(1)操作发现：如图1 若将三角板的顶点P 放在点O 处在旋转过程中当OF 与OB 重合时重叠部分的面积为__________ 当OF 与BC 垂直时重叠部分的面积为__________ 一般地若正方形面积为S 在旋转过程中重叠部分的面积1S 与S 的关系为__________(2)类比探究：若将三角板的顶点F 放在点O 处在旋转过程中 ,OE OP 分别与正方形的边相交于点M N ．①如图2 当BM CN =时试判断重叠部分OMN 的形状并说明理由②如图3 当CM CN =时求重叠部分四边形OMCN 的面积（结果保留根号）(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O 处该锐角记为GOH ∠（设GOH α∠=）将GOH ∠绕点O 逆时针旋转在旋转过程中 GOH ∠的两边与正方形ABCD 的边所围成的图形的面积为2S 请直接写出2S 的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）（参考数据：6262sin15tan1523-+︒=︒=︒=18 （2024·江西吉安·二模）如图在ABC 和ADE 中 (),AB AC AD AE AD AB ==< 且BAC DAE ∠=∠．连接CE BD ．(1)求证：BD CE =．(2)在图2中点B D E 在同一直线上且点D 在AC 上若,AB a BC b == 求AD CD的值（用含a b 的代数式表示）．19 （2024·江西九江·二模）初步探究（1）如图1 在四边形ABCD 中 ,AC BD 相交于点O AC BD ⊥ 且ABD CBD S S = 则OA 与OC 的数量关系为．迁移探究（2）如图2 在四边形ABCD 中 ,AC BD 相交于点O ABD CBD SS = （1）中OA 与OC 的数量关系还成立吗？如果成立请说明理由．拓展探究（3）如图3 在四边形ABCD 中 ,AC BD 相交于点O 180,ABD CBD BAD BCD S S ∠∠+=︒=△△ 且 33OB OD == 求AC 的长．20 （2024·江西九江·二模）课本再现如图1 四边形ABCD 是菱形 30ACD ∠=︒ 6BD =．（1）求,AB AC 的长．应用拓展（2）如图2 E 为AB 上一动点连接DE 将DE 绕点D 逆时针旋转120︒ 得到DF 连接EF ．①直接写出点D 到EF 距离的最小值②如图3 连接,OF CF 若OCF △的面积为6 求BE 的长．21 （2024·江西赣州·三模）某数学小组在一次数学探究活动过程中经历了如下过程：AB=P为对角线AC上的一个动点以P为直角顶问题提出：如图正方形ABCD中8△．点向右作等腰直角DPM(1)操作发现：DM的最小值为_______ 最大值为_______(2)数学思考：求证：点M在射线BC上=时求CM的长．(3)拓展应用：当CP CM22 （2024·江西赣州·二模）【课本再现】思考我们知道角的平分线上的点到角的两边的距离相等反过来角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上吗？可以发现并证明角的平分线的性质定理的逆定理角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【定理证明】（1）为证明此逆定理某同学画出了图形并写好“已知”和“求证” 请你完成证明过程．已知：如图1 在ABC ∠的内部过射线BP 上的点P 作PD BA ⊥ PE BC ⊥ 垂足分别为D E 且PD PE =．求证：BP 平分ABC ∠．【知识应用】（2）如图2 在ABC 中过内部一点P 作PD BC ⊥ PE AB ⊥ PF AC ⊥ 垂足分别为D E F 且PD PE PF == 120A ∠=︒ 连接PB PC ．①求BPC ∠的度数②若6PB=23PC=求BC的长．23 （2024·江西吉安·模拟预测）一块材料的形状是锐角三角形ABC下面分别对这块材料进行课题探究：课本再现：（1）在图1中若边120mmBC=高80mmAD=把它加工成正方形零件使正方形的一边在BC上其余两个顶点分别在AB AC上这个正方形零件的边长是多少?类比探究（2）如图2 若这块锐角三角形ABC材料可以加工成3个相同大小的正方形零件请你探究高AD与边BC的数量关系并说明理由．拓展延伸（3）①如图3 若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件则ADBC的值为_______（直接写出结果）②如图4 若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的()3n m≥相同大小的正方形零件求ADBC的值．24 （2024·江西吉安·三模）课本再现矩形的定义有一个角是直角的平行四边形是矩形．定义应用(1)如图1 已知：在四边形ABCD 中 90A B C ∠=∠=∠=︒用矩形的定义求证：四边形ABCD 是矩形．(2)如图2 在四边形ABCD 中 90A B ∠=∠=︒ E 是AB 的中点连接DE CE 且DE CE = 求证：四边形ABCD 是矩形．拓展延伸(3)如图3 将矩形ABCD 沿DE 折叠使点A 落在BC 边上的点F 处若图中的四个三角形都相似求AB BC的值．25 （2024·江西吉安·一模）课本再现在学习了平行四边形的概念后进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．=（1）如图1 在平行四边形ABCD中对角线AC与BD交于点O 求证：OA OC =．OB OD知识应用=延长AC到E 使得（2）在ABC中点P为BC的中点．延长AB到D 使得BD AC∠=︒请你探究线段BE与线段AP之间的BACCE AB=连接DE．如图2 连接BE若60数量关系．写出你的结论并加以证明．26 （2024·江西九江·二模）问题提出在综合与实践课上某数学研究小组提出了这样一个问题：如图1 在边长为4的正方形ABCD 的中心作直角EOF ∠ EOF ∠的两边分别与正方形ABCD 的边BC CD 交于点E F （点E 与点B C 不重合）将EOF ∠绕点O 旋转．在旋转过程中四边形OECF 的面积会发生变化吗？爱思考的浩浩和小航分别探究出了如下两种解题思路．浩浩：如图a 充分利用正方形对角线垂直相等且互相平分等性质证明了OEC OFD ≌ 则OEC OFD S S = OEC OCF OFD OCF OCD OECF S S S S S S =+=+=四边形．这样就实现了四边形OECF 的面积向OCD 面积的转化．小航：如图b 考虑到正方形对角线的特征过点O 分别作OG BC ⊥于点G OH CD ⊥于点H 证明OGE OHF ≌△△ 从而将四边形OECF 的面积转化成了小正方形OGCH 的面积．（1）通过浩浩和小航的思路点拨﹐我们可以得到OECF S =四边形__________ CE CF +=__________．类比探究（2）①如图⒉ 在矩形ABCD 中 3AB = 6AD = O 是边AD 的中点 90EOF ∠=︒ 点E 在AB 上点F 在BC 上则EB BF +=__________．②如图3 将问题中的正方形ABCD 改为菱形ABCD 且45ABC ∠=︒ 当45EOF ∠=︒时其他条件不变四边形OECF 的面积还是一个定值吗？若是请求出四边形OECF 的面积若不是请说明理由．拓展延伸（3）如图4 在四边形ABCD 中 7AB = 2DC = 60BAD ∠=︒ 120BCD ∠=︒ CA 是BCD ∠的平分线求四边形ABCD 的面积．27 （2024·江西九江·模拟预测）【课本再现】（1）如图1 四边形ABCD 是一个正方形 E 是BC 延长线上一点且AC EC = 则DAE ∠的度数为．【变式探究】（2）如图2 将（1）中的ABE 沿AE 折叠得到AB E ' 延长CD 交B E '于点F 若2AB = 求B F '的长．【延伸拓展】（3）如图3 当（2）中的点E 在射线BC 上运动时连接B B ' B B '与AE 交于点P ．探究：当EC 的长为多少时 D P 两点间的距离最短？请求出最短距离．28 （2024·江西上饶·一模）课本再现：（1）如图1 ,D E 分别是等边三角形的两边,AB AC 上的点且AD CE =．求证：CD BE =．下面是小涵同学的证明过程：证明：ABC 是等边三角形,60AC BC A ACB ∴=∠=∠=︒．AD CE =()SAS ADC CEB ∴≌CD BE ∴=．小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：BFD ∠的度数是______迁移应用：（2）如图2 将图1中的CD 延长至点G 使FG FB = 连接,AG BG ．利用（1）中的结论完成下面的问题．①求证：AG BE ∥②若25CF BF = 试探究AD 与BD 之间的数量关系．参考答案考点解读在中考数学中有这么一类题它是以点线几何图形的运动为载体集合多个代数知识几何知识及数学解题思想于一题的综合性试题它就是动态几何问题。

2019年中考数学几何知识点详解与专项练习精选汇编

2019年中考数学几何知识点详解与专项练习精选汇编各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢2014 几何知识点详解与专项练习精选汇编2014中考几何一轮复习：三角形的有关概念下载2014中考几何一轮复习：全等三角形下载2014中考几何一轮复习：等腰三角形下载2014中考几何一轮复习：直角三角形下载2014中考几何一轮复习：角平分线、垂直平分线下载2014中考几何一轮复习：平行四边形下载2014中考几何一轮复习：矩形、菱形下载2014中考几何一轮复习：正方形下载2014中考几何一轮复习：梯形下载2014中考几何一轮复习：三角形、梯形中位线下载2014中考几何一轮复习：锐角三角函数下载2014中考几何一轮复习：解直角三角形下载2014中考几何一轮复习：三角函数的综合运用下载2014中考几何一轮复习：比例线段下载2014中考几何一轮复习：相似三角形下载2014中考几何一轮复习：相似三角形下载2014中考几何一轮复习：相似形的综合运用下载2014中考几何一轮复习：相似形的综合运用下载2014中考几何一轮复习：圆的有关概念和性质下载2014中考几何一轮复习：垂径定理下载2014中考几何一轮复习：切线的判定和性质下载2014中考几何一轮复习：与圆有关的角下载2014中考几何一轮复习：圆中成比例的线段下载2014中考几何一轮复习：圆与圆下载2014中考几何一轮复习：圆与圆下载2014中考几何一轮复习：正多边形与圆下载#p#分页标题#e#相关阅读：2014年数学学习方法分类解析汇总2014年数学学习方法：浅谈平面几何中矛盾的转换下载2014年数学学习方法：四边形的性质与判定上一篇：2014年数学中考复习备考计划下一篇：2014中考数学选择题专项练习十六标签：中考数学阅读一轮复习垂径定理各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢。

2019-2020年中考数学全国部分地区几何综合题真题汇编(含答案解析)

几何综合专题1．（2019浙江温州24题）如图，在平面直角坐标系中，直线142y x=-+分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE．动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点B的坐标和OE的长；（2）设点Q2为(m，n)，当17nm=tan∠EOF时，求点Q2的坐标；（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．①延长AD 交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．2.（2019浙江绍兴24题）如图，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点M,N分别在边AB,CD上，点E,F分别在BC,AD上，MN,EF交于点P，记k=MN∶EF.（1）若a∶b的值是1，当MN⊥EF时，求k的值.（2）若a ∶b 的值是21，求k 的最大值和最小值. （3）若k 的值是3，当点N 是矩形的顶点，∠MPE=60°，MP=EF=3PE 时，求a ∶b 的值.3.（2019浙江绍兴23题）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC 在地面上，支架ABC 是底边为BC 的等腰直角三角形，摆动臂长AD 可绕点A 旋转，摆动臂DM 可绕点D 旋转，AD=30，DM=10.（1）在旋转过程中：①当A,D,M 三点在同一直线上时，求AM 的长；②当A,D,M 三点在同一直角三角形的顶点时，求AM 的长.（2）若摆动臂AD 顺时针旋转90°，点D 的位置由△ABC 外的点D 1转到其内的点D 2处，连结D 1D 2，如图2，此时∠AD 2C=135°，CD 2=60，求BD 2的长.4.（2019浙江宁波25题）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线.（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点. 求证：四边形ABEF是邻余四边形。

2019届中考数学复习《几何证明与计算》专题训练含答案

2019届初三数学中考复习几何证明与计算专题复习训练题1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝AD，DG＝DC，点E，F分别是BG，AC的中点．(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；(2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．2. 如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若AB＝2BC，∠F＝36°.求∠B的度数．3. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD＝3.(1)求AD的长；(2)求四边形AEDF的周长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)5. 如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．6. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于点H，交CD于点G.(1)求证：BG＝DE；(2)若点G为CD的中点，求HGGF的值．7. 如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)当tan∠ABD＝1，AC＝3时，求BF的长．9. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.10. 如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD.延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC.连接AD，AF，DF，EF，延长DB交EF于点N.(1)求证：AD＝AF；(2)求证：BD＝EF；(3)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．11. 在△ABC中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC.(1)如图①，若AB＝32，BC＝5，求AC的长；(2)如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.12. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.(1)求证：△ABM∽△EFA；(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．参考答案：1. 解：(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在△BDG和△ADC中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD ，∠BDG ＝∠ADC DG ＝DC ，，∴△BDG ≌△ADC. ∴BG ＝AC ，∠BGD ＝∠C.∵∠ADB＝∠ADC＝90°， E ，F 分别是BG ，AC 的中点，∴DE ＝12BG ＝EG ，DF ＝12AC ＝AF.∴DE＝DF ，∠EDG ＝∠EGD，∠FDA ＝∠FAD.∴∠EDG＋∠FDA＝90°，∴DE ⊥DF.(2)∵AC＝10，∴DE ＝DF ＝5，由勾股定理，得EF ＝DE 2＋DF 2＝5 2. 2. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∴∠D＝∠ECF.在△ADE 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D＝∠ECF，DE ＝CE ，∠AED ＝∠FEC，∴△ADE ≌△FCE(ASA)．(2)∵△ADE≌△FCE，∴AD＝FC.∵AD＝BC ，AB ＝2BC ，∴AB＝FB.∴∠BAF＝∠F＝36°.∴∠B＝180°－2×36°＝108°. 3. 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB.又GD 为公共边，∴△ADG ≌△CDG(SAS)，∴AG ＝CG. (2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG ＝∠DCG.∵AB∥CD，∴∠DCG ＝∠F.∴∠EAG＝∠F.∵∠AGE＝∠AGE，∴△AGE ∽△FGA.∴AG FG ＝EG AG.∴AG 2＝GE·GF. 4. 解：(1)∵∠C＝90°，∠B ＝30°，∴∠CAB ＝60°.∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝12∠CAB＝30°.在Rt △ACD 中，∵∠ACD ＝90°，∠CAD ＝30°，∴AD ＝2CD ＝6. (2)∵DE∥BA 交AC 于点E ，DF ∥CA 交AB 于点F ， ∴四边形AEDF 是平行四边形，∠EAD ＝∠ADF＝∠DAF. ∴AF＝DF.∴四边形AEDF 是菱形．∴AE＝DE ＝DF ＝AF. 在Rt △CED 中，∵DE ∥AB ，∴∠CDE ＝∠B＝30°. ∴DE ＝CDcos30°＝2 3.∴四边形AEDF 的周长为8 3.5. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D，AB ＝BC ＝DC ＝AD.∵点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，∴AE ＝BE ＝DF ＝AF ，OF ＝12DC ，OE ＝12BC ，OE ∥BC.在△BCE 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DF ，∠B ＝∠D，BC ＝DC ，∴△BCE ≌△DCF(SAS)． (2)当AB⊥BC 时，四边形AEOF 是正方形，理由如下：由(1)得AE ＝OE ＝OF ＝AF ，∴四边形AEOF 是菱形．∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB.∴∠AEO＝90°.∴四边形AEOF 是正方形．6. 解：(1)证明：∵BF⊥DE，∴∠GFD ＝90°.∵∠BCG ＝90°，∠BGC ＝∠DGF，∴∠CBG ＝∠CDE. 在△BCG 与△DCE 中.⎩⎪⎨⎪⎧∠CBG＝∠CDE，BC ＝CD ，∠BCG ＝∠DCE，∴△BCG ≌△DCE(ASA)，∴BG ＝DE.(2)设CG ＝x ，∵G 为CD 的中点，∴GD ＝CG ＝x ，由(1)可知△BCG≌△DCE(ASA)，∴CG ＝CE ＝x.由勾股定理可知DE ＝BG ＝5x ，∵sin ∠CDE ＝CE DE ＝GFGD ，∴GF＝55x.∵AB∥CG，∴△ABH ∽△CGH.∴AB CG ＝BH GH ＝21. ∴BH＝253x ，GH ＝53x.∴HG GF ＝53.7. 解：(1)结论：AG 2＝GE 2＋GF 2.理由：连接CG.∵四边形ABCD 是正方形，∴点A ，C 关于对角线BD 对称． ∵点G 在BD 上，∴GA＝GC.∵GE⊥DC 于点E ，GF⊥BC 于点F ， ∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°.∴四边形EGFC 是矩形．∴CF＝GE.在Rt △GFC 中，∵CG 2＝GF 2＋CF 2，∴AG 2＝GF 2＋GE 2.(2)过点B 作BN⊥AG 于点N ，在BN 上取一点M ，使得AM ＝BM.设AN ＝x.∵∠AGF＝105°，∠FBG ＝∠FGB＝∠ABG＝45°， ∴∠AGB ＝60°，∠GBN ＝30°，∠ABM ＝∠MAB＝15°.∴∠AMN ＝30°.∴AM ＝BM ＝2x ，MN ＝3x.在Rt △ABN 中，∵AB 2＝AN 2＋BN 2，∴1＝x 2＋(2x ＋3x)2，解得x ＝6－24，∴BN ＝6＋24.∴BG＝BN cos30°＝32＋66. 8. 解：(1)∵AD⊥BC，BE ⊥AC ，∴∠BDF ＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C ＋∠DBF＝90°，∠C ＋∠DAC＝90°，∴∠DBF ＝∠DAC，∴△ACD ∽△BFD(2)∵tan ∠ABD ＝1，∠ADB ＝90°，∴AD BD ＝1，∵△ACD ∽△BFD ，∴AC BF ＝ADBD＝1，∴BF ＝AC ＝39. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB，可证△ADG≌△CDG(SAS)，∴AG ＝CG(2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG ＝∠DCG，∵AB ∥CD ，∴∠DCG ＝∠F，∴∠EAG ＝∠F，∵∠AGE ＝∠AGE，∴△AGE ∽△FGA ，∴AG FG ＝EG AG，∴AG 2＝GE·GF10. 解：(1)∵AB＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABF ＝135°，∵∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠ACB＋∠BCD＝135°，∴∠ABF ＝∠ACD，∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD ，可证△ABF≌△ACD(SAS)，∴AD ＝AF(2)由(1)知AF ＝AD ，△ABF ≌△ACD ，∴∠FAB ＝∠DAC，∵∠BAC ＝90°，∴∠EAB ＝∠BAC＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD，可证△AEF≌△ABD(SAS)，∴BD ＝EF(3)四边形ABNE 是正方形．理由如下：∵CD＝CB ，∠BCD ＝90°，∴∠CBD ＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABD ＝∠ABC＋∠CBD＝90°，由(2)知∠EAB＝90°，△AEF ≌△ABD ，∴∠AEF ＝∠ABD＝90°，∴四边形ABNE 是矩形，又∵AE＝AB ，∴四边形ABNE 是正方形 11. 解：(1)∵∠ABM＝45°，AM ⊥BM ，∴AM ＝BM ＝ABcos45°＝32×22＝3. 则CM ＝BC －BM ＝5－3＝2，∴AC ＝AM 2＋CM 2＝22＋32＝13.(2)证明：延长EF 到点G ，使得FG ＝EF ，连接BG.∵DM ＝MC ，∠BMD ＝∠AMC ，BM ＝AM ，∴△BMD≌△AMC(SAS)．∴AC ＝BD.又CE ＝AC ，∴BD ＝CE.∵BF ＝FC ，∠BFG ＝∠EFC ，FG ＝FE ，∴△BFG≌△CFE.∴BG＝CE ，∠G＝∠E.∴BD＝CE ＝BG ，∴∠BDG＝∠G＝∠E. 12. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝AD ，∠B＝90°，AD∥BC.∴∠AMB＝∠EA F.又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°.∴∠B＝∠AFE.∴△ABM∽△EFA. (2)∵∠B＝90°，AB ＝AD ＝12，BM ＝5，∴AM ＝122＋52＝13.∵F 是AM 的中点，∴AF ＝12AM ＝6.5.∵△ABM∽△EFA，∴BM AF ＝AM AE ，即56.5＝13AE.∴AE ＝16.9，∴DE ＝AE －AD ＝4.9.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．一只布袋里装有4个只有颜色不同的小球，其中3个红球，1个白球，小敏和小丽依次从中任意摸出1个小球，则两人摸出的小球颜色相同的概率是（） A ．14B ．12C ．23D ．342．若抛物线y ＝x 2﹣6x+m 与x 轴没有交点，则m 的取值范围是（） A ．m ＞9B ．m≥9C ．m ＜﹣9D ．m≤﹣93．如图，已知平行四边形ABCD 的对角线的交点是O ，直线EF 过O 点，且平行于AD ，直线GH 过O 点且平行于AB ，则图中平行四边形共有( )A ．15个B ．16个C ．17个D ．18个4．下列计算正确的是（）A ．（﹣3）﹣2＝9B 3C ．（3﹣π）0＝1D =5．某中学田径队的18名队员的年龄情况如下表： 14则这些队员年龄的众数和中位数分别是（） A ．15，15B ．15，15.5C ．15，16D ．16，156．在四边形ABCD 中，//,AB CD AB AD =，添加下列条件不能推得四边形ABCD 为菱形的是（） A ．AB CD =B ．//AD BCC ．BC CD =D ．AB BC =7．在质地和颜色都相同的三张卡片的正面分别写有-2，-1，1，将三张卡片背面朝上洗匀，从中抽出一张，并记为x ，然后从余下的两张中再抽出一张，记为y ，则点（x ，y ）在直线y=-x-1上的概率为（） A.12B.13C.23D.18．转动A 、B 两个盘当指针分别指向红色和蓝色时称为配紫色成功。

初三数学中考复习几何测量问题专项复习训练题含答案

2019 初三数学中考复习几何丈量问题专项复习训练题1. 如图，是某市一座人行天桥的表示图，天桥离地面的高BC 是 10 米，坡面 10 米处有一建筑物 HQ，为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面 DC 的倾斜角∠ BDC＝30°，若新坡面下 D 处与建筑物之间需留下最少 3 米宽的人行道，问该建筑物能否需要拆掉． (结果保存一位小数，参照数据：2≈ 1.414， 3≈ 1.732)2.如图，九年级 (1)班课外活动小组利用标杆丈量学校旗杆的高度，已知标杆高度 CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离 BD ＝15 m，人的眼睛与地面的高度 EF＝1.6 m，人与标杆 CD 的水平距离 DF＝2 m，人的眼睛 E、标杆极点 C 和旗杆极点 A 在同向来线，求旗杆 AB 的高度．3.南海是我国的南大门，以以下图，某天我国一艘海监执法船在南海海疆正在进行常态化巡航，在 A 处测得北偏东 30°方向上，距离为20 海里的B 处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便快速沿北偏东75°的方向前去督查巡逻，经过一段时间后，在 C 处成功拦截不明船只，问我国海监执法船在前去督查巡逻的过程中行驶了多少海里？(最后结果保存整数，参照数据： cos75°≈ 0.2588，sin75°≈ 0.9659，tan75°≈ 3.732，3≈1.732， 2≈ 1.414)3.某国发生 8.1 级激烈地震，我国踊跃组织抢险队赴地震灾区参加抢险工作，如图，某探测队在地面 A，B 两处均探测出建筑物下方 C 处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和 60°，且 AB ＝4 米，求该生命第1页/共8页迹象所在地点 C 的深度．(结果精准到 1 米，参照数据：sin25°≈，0cos25.4°≈0，9，tan25°≈ 0，.5 3≈1.7)5. 在同一时辰两根木杆在太阳光下的影子以以下图，此中木杆AB ＝2 m，它的影子 BC＝1.6 m，木杆 PQ 的影子有一部分落在了墙上， PM＝1.2 m，MN ＝1 m，求木杆 PQ 的长度．6.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔 5 米有一棵树，在北岸边每隔 50 米有一根电线杆．小丽站在离南岸边 15 米的点 P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆 A，B，恰巧被南岸的两棵树 C，D 遮住，而且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．7．小红用下边的方法来丈量学校讲课大楼AB 的高度：如图，在水平川面点E 处放一面平面镜，镜子与讲课大楼的距离AE＝20 米．当她与镜子的距离CE＝2.5 米时，她恰巧能从镜子中看到讲课大楼的顶端 B.已知她的眼睛距地面高度 DC＝1.6 米，请你帮助小红丈量出大楼 AB 的高度． (注：入射角＝反射角 )8．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来丈量操场旗杆AB 的高度，他们经过调整丈量地点，使斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆极点 A 在同向来线上，已知 DE＝0.5 米， EF＝0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG＝1.5 米，到旗杆的水平距离 DC＝20 米，求旗杆的高度．9．又到了一年中的春游季节．某班学生利用周末去观光“全军会师纪念塔”．下边是两位同学的一段对话：第2页/共8页甲：我站在此处看塔顶仰角为60°；乙：我站在此处看塔顶仰角为30°；甲：我们的身高都是 1.6 m；乙：我们相距36 m.请你依据两位同学的对话，计算纪念塔的高度．(精准到 1 m)10. 如图，某水平川面上建筑物的高度为AB ，在点 D 和点 F 处罚别直立高是 2 米的标杆 CD 和 EF，两标杆相隔 52 米，而且建筑物AB 、标杆 CD和 EF 在同一竖直平面内，从标杆 CD 退后 2 米到点 G 处，在 G 处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 C 在同一条直线上．从标杆 EF 退后 4 米到点 H 处，在 H 处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 E 在同一条直线上，求建筑物的高度．11.如图，是小亮夜晚在广场漫步的表示图，图中线段AB 表示站立在广场上的小亮，线段 PO 表示直立在广场上的灯杆，点 P 表示照明灯的地点．(1)在小亮由 B 处沿 BO 所在的方向行走抵达O 处的过程中，他在地面上的影子长度的变化状况为________；(2)请你在图中画出小亮站在AB 处的影子；(3)当小亮走开灯杆的距离OB＝4.2 m 时，身高 (AB) 为 1.6 m 的小亮的影长为 1.6 m，问当小亮走开灯杆的距离OD＝6 m 时，小亮的影长是多少？12. 在阳光下，测得一根与地面垂直、长为 1 米的竹竿的影长为 2 米．同时两名同学丈量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上．(1)如图 1，小明发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教第3页/共8页学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长CD 为 3.5 米，落在地面上的影长BD为 6 米，求树 AB 的高度；(2)如图 2，小红发现树的影子恰巧落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长 EF 为 8 米，坡面上的影长FG 为 4 米．已知斜坡的坡角为30°，则树的高度为 ____．(本小题直接写出答案，结果保存根号) 13．如图，为丈量学校围墙外直立电线杆 AB 的高度，小亮在操场上点 C 处直立高 3 m 的竹竿 CD，然退后到点 E 处，此时恰巧看到竹竿顶端 D 与电线杆顶端 B 重合；小亮又在点 C1处直立高 3 m 的竹竿 C1D1，然退后到点 E1处，此时恰巧看到竹竿顶端D1与电线杆顶端 B 重合．小亮的眼睛离地面高度 EF＝1.5 m，量得 CE＝2 m，EC1＝6 m，C1E1＝3 m.(1)△FDM ∽△ ____，△ F1D1N∽△ ____；(2)求电线杆 AB 的高度．参照答案：1.解：由题意得， AH ＝10 米， BC＝ 10 米，在 Rt△ABC 中，∠CAB ＝BC 45°，∴AB ＝BC＝10 米，在 Rt△DBC 中，∠CDB＝30°，∴ DB＝tan∠CDB ＝10 3，∴DH ＝AH － AD ＝AH －(DB －AB) ＝10－10 3＋10＝20－10 3≈ 2.7(米)，∵2.7 米＜ 3 米，∴该建筑物需要拆掉2.解：CG EG 如图，∵CD⊥FB，AB ⊥FB，∴CD∥AB ，∴△CGE∽△ AHE ，∴AH＝EH，第4页/共8页CD－EF FD3－1.62即AH ＝FD＋BD，∴AH＝2＋15，∴ AH ＝11.9，∴ AB ＝AH ＋ HB＝AH ＋EF＝11.9＋1.6＝13.5(m)3.解：过 B 作 BD⊥AC，∵∠BAC ＝75°－ 30°＝ 45°，∴在 Rt△ABD中，∠ BAD ＝∠ABD ＝45°，∠ ADB ＝90°，由勾股定理得： BD＝AD ＝22×20＝10 2(海里 )，在 Rt△BCD 中，∠ C＝15°，∠ CBD ＝75°，∴ tan CD∠ CBD＝BD，即 CD≈ 10 2× 3.732 ≈ 52.77048(海里 )，则 AC ＝AD ＋DC≈ 10 2＋10 2× 3.732 ≈ 66.91048海≈里67()，即我国海监执法船在前去督查巡逻的过程中约行驶了 67 海里4.解：作 CD⊥AB 交 AB 延伸线于点 D，设 CD＝x 米．在 Rt△ADC 中，CD CD∠ DAC ＝25°，因此 tan25°＝AD＝0.5，因此 AD ＝0.5＝2x.在 Rt△BDC中，x∠ DBC＝60°，因此 tan 60 °＝2x－4＝3，解得 x≈ 3即.生命迹象所在地点C的深度约为 3 米BC DN5. 解：过 N 点作 ND⊥PQ 于 D，以以下图：可知AB＝QD，又∵AB ＝2，AB·DN2×1.2BC＝1.6，DN＝PM＝1.2，NM ＝0.8，∴QD＝BC＝1.6＝1.5，∴PQ ＝QD＋DP＝QD＋NM ＝1.5＋1＝2.5(m)．答：木杆 PQ 的长度为 2.5 m6.解：过 P 作 PF⊥AB ，交 CD 于点 E，交 AB 于点 F，如图，设河宽为x 米．∵AB ∥CD，∴∠ PDC＝∠PBF，∠PCD＝∠PAB，∴△ PDC∽△ PBA，第5页/共8页∴ AB ＝PF ，∴AB ＝ 15＋x ，依题意 CD ＝20 米，AB ＝50 米，∴20＝ 15 ，CD PECD 15 50 15＋x 解得： x ＝22.5.答：河的宽度为22.5 米7. 解：依据反射定律知： ∠FEB ＝∠FED ，∴∠ BEA ＝∠ DEC ，又 ∵ ∠AB AEBAE ＝∠ DCE ＝90°，∴△ BAE ∽△ DCE ，∴ DC ＝ EC ，∵ CE ＝2.5 米，AB20DC ＝1.6 米，∴ 1.6＝2.5，∴ AB ＝12.8，∴大楼 AB 的高为 12.8 米DEEF8. 解：由题意可得： △DEF ∽△ DCA ，则 DC ＝AC ，∵ DE ＝ 0.5 米， EF0.5 0.25＝ 0.25 米，DG ＝1.5 米，DC ＝20 米，∴ 20 ＝ AC ，解得：AC ＝10，故 AB ＝ AC ＋BC ＝10＋1.5＝11.5 米，答：旗杆的高度为 11.5 米9. 解：如图， CD ＝EF ＝BH ＝1.6 m ，CE ＝DF ＝36 m ，∠ ADH ＝ 30°，AH AH∠ AFH ＝60°，在 Rt △AHF 中，∵ tan ∠AFH ＝FH ，∴ FH ＝tan60°，在AH AH Rt △ADH 中，∵ tan ∠ADH ＝DH ，∴ DH ＝tan30°，而 DH －FH ＝DF ，∴AH AH AH AHtan30°－tan60°＝36，即3 －3＝36，∴AH ＝183，∴AB ＝AH ＋BH3＝ 18 3＋1.6 ≈ 33(m)．答：纪念塔的高度约为 33 m10.解： ∵AB ⊥BH ， CD ⊥BH ， EF ⊥BH ， ∴AB ∥CD ∥EF ，∴△ CDG ∽△ ABG ， △EFH ∽△ ABH ， ∴CD ＝ DG ， EF＝AB DG ＋BD AB第6页/共8页FH2FH ＋DF ＋BD ，∵CD ＝DG ＝EF ＝2 m ，DF ＝ 52 m ，FH ＝4 m ， ∴AB ＝ 2 ， 2 ＝ 4 ，∴ 2 ＝ 4，解得 BD ＝52，∴ 2＝ 2＋BD AB 4＋52＋BD 2＋BD 4＋52＋BD AB22＋52，解得 AB ＝54.答：建筑物的高度为54 米11. 解： (1) 由于光是沿直线流传的，因此当小亮由B 处沿 BO 所在的方向行走抵达 O 处的过程中，他在地面上的影子长度的变化状况为变短(2) 以以下图， BE 即为所求AB BE1.6(3) 先设 OP ＝x 米，则当 OB ＝4.2 米时， BE ＝1.6 米，∴ OP ＝OE ，即 x ＝1.6DF 4.2＋1.6，∴x ＝5.8；当 OD ＝6 米时，设小亮的影长是y 米，∴DF ＋OD ＝CDy1.6 1616OP ，∴6＋y ＝5.8，∴ y ＝7 .即小亮的影长是 7 米CD 112. 解： (1)延伸 AC ，BD 交于点 E ，依据物高与影长成正比得： DE ＝2，即3.5＝1，解得：DE ＝7 米，则 BE ＝7＋6＝13 米，同理AB＝1，即AB＝ 1，DE 2BE213 2解得： AB ＝6.5 米，答：树 AB 的高度为 6.5 米(2)延伸 AG 交 EF 延伸线于 D 点，则 ∠GFD ＝30°，作 GM ⊥ED 于点 M ，在 Rt △GFM 中，∠GFM ＝30°，GF ＝4 m ，∴GM ＝ 2(米)，MF ＝4cos30°＝ 2 3(米)，在 Rt △GMD 中，∵同一时辰，一根长为 1 米、垂直于地面搁置的标杆在地面上的影长为 2 米， GM ＝ 2(米)，GM ∶DM ＝1∶2，∴ DM第7页/共8页1＝ 4(米)，∴ED ＝EF ＋FM ＋MD ＝12＋2 3(米)，在 Rt △AED 中，AE ＝2ED1＝ 2(12＋2 3)＝( 3＋6)米，故答案为： ( 3＋6)米13. 解： (1)△FDM ∽△ __FBG__，△ F 1D 1N ∽△ __F 1BG__；D 1N F 1NDM(2)依据题意，△F 1D 1N ∽△ F 1BG ，∴ BG ＝F 1G ，∵△ FDM ∽△ FBG ，∴ BG＝ FM，∵D 1 ＝ DM ，∴F 1N ＝FM ，即3 ＝ 2 ，∴GM ＝16 m ．∵ FGN F 1G FG GM ＋11 GM ＋2D 1N ＝F 1N ，∴ 1.5＝3，∴ BG ＝13.5 m ，∴ AB ＝BG ＋ GA ＝15(m)，答： BG F 1G BG27电线杆 AB 的高度为 15 m第8页/共8页。

2019年全国中考数学试卷分类汇编：尺规作图【含解析】

尺规作图1 2BC的长为半径1. .在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD. 若CD=AC，∠B=250，则∠ACB的度数为 .答案：1050.解析：由①的作图可知CD=BD,则∠DCB=∠B=250,∴∠ADC=500,又∵CD=AC，∴∠A=∠ADC=500,∴∠ACD=800,∴∠ACB==800+250=1050.三、解答题1．（2018•湖南怀化，第21题，10分）两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）（2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=2（+1）km，在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向，求点C到公路ME的距离．表示出MD和ND的长，从而求得CD的长即可．∵在Rt△CMD中，=tan∠CMN，∴MD==tan∠CNM，∴ND=∵MN=2（∴MN=MD+DN=CD+CD=22．（2018•江西抚州，第15题，5分）如图，△ABC与△DEF关于直线对称，请用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线.解析：利用轴对称性质：对应线段（或延长线）的交于对称轴上一点.如图，直线l 就是所求作的对称轴.3. （2018•浙江杭州，第20题，10分）把一条12个单位长度的线段分成三条线段，其中一条线段成为4个单位长度，另两条线段长都是单位长度的整数倍．（1）不同分段得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形？用直尺和圆规作这些三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求出（1）中所作三角形外接圆的周长．．三角形为等边三角形，此时外接圆的半径为=（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；（2）连接BD，求证：BD平分∠CBA．一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）6、（2018•广州,第23题12分）如图6，中，，．（1）动手操作：利用尺规作以为直径的，并标出与的交点，与的交点（保留作图痕迹，不写作法）：（2）综合应用：在你所作的圆中，①求证：；②求点到的距离．【考点】（1）尺规作图；（2）①圆周角、圆心角定理；②勾股定理，等面积法【分析】（1）先做出中点，再以为圆心，为半径画圆.（2）①要求，根据圆心角定理，同圆中圆心角相等所对的弧也相等，只需证出即可，再根据等腰三角形中的边角关系转化.②首先根据已知条件可求出，依题意作出高，求高则用勾股定理或面积法，注意到为直径，所以想到连接，构造直角三角形，进而用勾股定理可求出，的长度，那么在中，求其高，就只需用面积法即可求出高.【答案】（1）如图所示，圆为所求（2）①如图连接，设,又则②连接,过作于,过作于cosC=, 又,又为直径设，则，在和中，有即解得：即又即7．（2018•广东梅州,第16题7分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE，则：（1）∠ADE=90 °；（2）AE = EC；（填“=”“＞”或“＜”）（3）当AB=3，AC=5时，△ABE的周长= 7 ．∴BC=。

2019年中考数学真题分类训练——专题九：几何图形初步

2019年中考数学真题分类训练——专题九：几何图形初步一、选择题1．（2019长沙）如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1=80°，则∠2的度数是A．80°B．90°C．100°D．110°【答案】C2．（2019凉山州）如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B=30°，∠A=75°，则∠E的度数为A．135°B．125°C．115°D．105°【答案】D3．（2019泰安）如图，直线l1∥l2，∠1=30°，则∠2+∠3=A．150°B．180°C．210°D．240°【答案】C4．（2019随州）如图，直线l l∥l2，直角三角板的直角顶点C在直线l1上，一锐角顶点B在直线l2上，若∠1=35°，则∠2的度数是A．65°B．55°C．45°D．35°【答案】B5．（2019淄博）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20°方向行走至点C处，则∠ABC等于A．130°B．120°C．110°D．100°【答案】C6．（2019池河）如图，∠1=120°，要使a∥b，则∠2的大小是A．60°B．80°C．100°D．120°【答案】D7．（2019甘肃）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1=48°，那么∠2的度数是A．48°B．78°C．92°D．102°【答案】D8．（2019苏州）如图，已知直线//a b，直线c与直线a b，分别交于点A B，．若154∠=∠=o，则2 A．126o B．134o C．136o D．144o21abcBA【答案】A9．（2019衡阳）如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED=40°，则∠A的度数是A．40°B．50°C．80°D．90°【答案】B10．（2019兰州）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=80°，则∠2=A．130°B．120°C．110°D．100°【答案】D11．（2019仙桃）如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D=110°，则∠AOF的度数是A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】D12．（2019鄂州）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2=35°，则∠1的度数为A．45°B．55°C．65°D．75°【答案】B13．（2019新疆）如图，AB∥CD，∠A=50°，则∠1的度数是A．40°B．50°C．130°D．150°【答案】C14．（2019孝感）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于点A，C，BC⊥l3交l1于点B，若∠1=70°，则∠2的度数为A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】B15．（2019十堰）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1=50°，则∠2=A．50°B．45°C．40°D．30°【答案】C16．（2019河北）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是A．◎代表∠FEC B．@代表同位角C．▲代表∠EFC D．※代表AB【答案】C17．（2019岳阳）下列命题是假命题的是A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形B．同角（或等角）的余角相等C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分【答案】A18．（2019海南）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连接AC、BC．若∠ABC=70°，则∠1的大小为A．20°B．35°C．40°D．70°【答案】C19．（2019济宁）如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数是A．65°B．60°C．55°D．75°【答案】C20．（2019滨州）如图，AB∥CD，∠FGB=154°，FG平分∠EFD，则∠AEF的度数等于A．26°B．52°C．54°D．77°【答案】B21．（2019河南）如图，AB∥CD，∠B=75°，∠E=27°，则∠D的度数为A．45°B．48°C．50°D．58°【答案】B22．（2019宿迁）一副三角板如图摆放（直角顶点C重合），边AB与CE交于点F，DE∥BC，则∠BFC 等于A．105°B．100°C．75°D．60°【答案】A23．（2019安顺）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1=35°，则∠2的度数是A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C24．（2019深圳）如图，已知l1∥AB，AC为角平分线，下列说法错误的是A．∠1=∠4 B．∠1=∠5 C．∠2=∠3 D．∠1=∠3【答案】B25．（2019湘西州）如图，直线a∥b，∠1=50°，∠2=40°，则∠3的度数为A．40°B．90°C．50°D．100°【答案】B26．（2019贺州）如图，已知直线a∥b，∠1=60°，则∠2的度数是A．45°B．55°C．60°D．120°【答案】C27．（2019吉林）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是A．两点之间，线段最短B．平行于同一条直线的两条直线平行C．垂线段最短D．两点确定一条直线【答案】A28．（2019兰州）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠80°，则∠2=A．130°B．120°C．110°D．100°【答案】D29．（2019毕节）如图，△ABC中，CD是AB边上的高，CM是AB边上的中线，点C到边AB所在直线的距离是A．线段CA的长度B．线段CM的长度C．线段CD的长度D．线段CB的长度【答案】C30．（2019山西）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“点”字所在面相对面上的汉字是A．青B．春C．梦D．想【答案】B31．（2019怀化）与30°的角互为余角的角的度数是A．30°B．60°C．70°D．90°【答案】B32．（2019深圳）下列哪个图形是正方体的展开图A．B．C．D．【答案】B33．（2019湖州）已知∠α=60°32′，则∠α的余角是A．29°28′B．29°68′C．119°28′D．119°68′【答案】A34．（2019贵阳）数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，则a的值是A．3 B．4.5 C．6 D．18【答案】C35．（2019）如图，将下面的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是A．B．C．D．【答案】D36．（2019玉林）若α=29°45′，则α的余角等于A．60°55′B．60°15′C．150°55′D．150°15′【答案】B37．（2019武威）下列四个几何体中，是三棱柱的为A．B．C．D．【答案】C二、填空题38．（2019盐城）如图，直线a∥b，∠1=50°，那么∠2=________.【答案】50°39．（2019青岛）如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走__________个小立方块．【答案】1640．（2019威海）把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上）．若∠1=23°，则∠2=__________°．【答案】6841．（2019南京）结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵__________，∴a∥b．【答案】∠1+∠3=180°42．（2019广东）如图，已知a∥b，∠1=75°，则∠2=__________．【答案】105°43．（2019益阳）如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，若∠1=142°，则∠2=__________度．【答案】5244．（2019广州）如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA=6cm，PB=5cm，PC=7cm，则点P到直线l 的距离是__________cm．【答案】545．（2019云南）如图，若AB∥CD，∠1=40度，则∠2=__________度.【答案】140°46．（2019吉林）如图，E为△ABC边CA延长线上一点，过点E作ED∥BC．若∠BAC=70°，∠CED=50°，则∠B=__________°．【答案】6047．（2019绵阳）如图，AB∥CD，∠ABD的平分线与∠BDC的平分线交于点E，则∠1+∠2=______．【答案】90°48．（2019广州）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为__________．【答案】15°或45°．49．（2019自贡）如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1=120°，则∠2=__________．【答案】60°50．（2019常州）如果∠α=35°，那么∠α的余角等于__________°．【答案】55三、证明题51．（2019武汉）如图，点A，B，C，D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A=∠1，CE∥DF，求证：∠E=∠F．证明：∵CE∥DF，∴∠ACE=∠D，∵∠A=∠1，∴180°﹣∠ACE﹣∠A=180°﹣∠D﹣∠1，又∵∠E=180°﹣∠ACE﹣∠A，∠F=180°﹣∠D﹣∠1，∴∠E=∠F．52．（2019武汉）如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A=∠1，CE∥DF，求证：∠E=∠F．证明：∵CE∥DF，∴∠ACE=∠D，∵∠A=∠1，∴180°﹣∠ACE﹣∠A=180°﹣∠D﹣∠1，又∵∠E=180°﹣∠ACE﹣∠A，∠F=180°﹣∠D﹣∠1，∴∠E=∠F．。

2019届中考数学专题复习测量类应用题习题答案不全

2019届中考数学专题复习测量类应⽤题习题答案不全C D A例题⽰范测量类应⽤题（习题）B例：某市为了改善市区交通状况市，计划修建⼀座新⼤桥．如图，新⼤桥的两端位于 A ，B 两点，⼩张为了测量 A ，B 之间的距离，在垂直于新⼤桥 AB 的直线型道路l 上测得如下数据：∠B DA =76.1°，∠BCA =68.2°，CD =82 ⽶．求 AB 的长为多少⽶．（结果精确到 0.1⽶，参考数据： tan 76.1? ≈ 4.0 ， tan 68.2? ≈ 2.5 ）l 准备条件：辅助线，参考数据解直⾓三⾓形：在Rt △BAD 中，条件，公式，结论得出结论：回归实际问题的答案3巩固练习1. 如图，⼀艘轮船以每⼩时 20 海⾥的速度沿正北⽅向航⾏，在A 处测得灯塔 C 位于北偏西 30°的⽅向上，轮船继续航⾏ 2⼩时后到达 B 处，在 B 处测得灯塔 C 位于北偏西 60°的⽅向北上．当轮船到达灯塔 C 的正东⽅向上的 D 处时，求轮船与灯塔 C 的距离．（结果保留根号）2. 如图，在某飞机场东西⽅向的地⾯ l 上有⼀长为 1 km 的飞机跑道 MN ，在跑道 MN 的正西端 14.5 千⽶处有⼀观察站 A ．某时刻测得⼀架匀速直线降落的飞机位于点 A 的北偏西 30°，且与点 A 相距 15 千⽶的 B 处；经过 1 分钟，⼜测得该飞机位于点 A 的北偏东 60°，且与点 A 相距 5 千⽶的 C 处．（1）该飞机航⾏的速度是多少千⽶/⼩时？（结果保留根号）（2）如果该飞机不改变航向继续航⾏，那么飞机能否降落在跑道 MN 之间？请说明理由．北东3 3 3. 如图，河流的两岸 PQ ，MN 互相平⾏，河岸 PQ 上有⼀排⼩树，已知相邻两树之间的距离 CD =30 ⽶，某⼈在河岸 MN 的A 处测得∠DAN =30°，然后沿河岸⾛了 50 ⽶达到B 处，测得∠CBN =60°，求河流的宽度 CE ．MN4. 如图，为了测量某⼭ AB 的⾼度，⼩明先在⼭脚 C 点测得⼭顶 A 的仰⾓为 45°，然后沿坡度为1: 的斜坡⾛ 100 ⽶到达D 点，在 D 点测得⼭顶 A 的仰⾓为 30°，求⼭ AB 的⾼度．（结果精确到 0.1 ⽶，参考数据：≈1.73）5. ⼩亮和课外兴趣⼩组的伙伴们在课外活动中观察⼤吊车的⼯作过程，绘制了如图所⽰的平⾯图形．已知吊车吊臂的⽀点O 距离地⾯的⾼度 OO ′=2 ⽶，当吊臂顶端由 A ′点降落⾄ A 点（吊臂长度不变）时，所吊装的重物（⼤⼩忽略不计）从 B ′A' 处恰好放到地⾯上的 B 处，紧绷着的吊缆 AB =A ′B ′，AB 垂直地⾯ O ′B 于点 B ，A ′B ′垂直地⾯ O ′B 于点 C ，吊臂长度 OA ′=OA =20 ⽶，且 cos A = 3 ， sin A' = 1 ．5 2（1）求此重物在⽔平⽅向移动的距离 BC ；（2）求此重物在竖直⽅向移动的距离 B ′C ．（结果保留根号）6．如图，为了计算河两岸间的宽度，我们在河对岸的岸边选定⼀个⽬标作为点A ，再在河岸的这⼀边选点B 和点C ，使AB ⊥BC ，然后再选点E ，使EC ⊥BC ，BC 与AE 的交点为D ．测得BD ＝120⽶，DC ＝60⽶，EC ＝50⽶，请求出两岸之间AB 的距离．7．如图是⼩明设计利⽤光线来测量某古城墙CD ⾼度的⽰意图，如果镜⼦P 与古城墙的距离PD ＝12⽶，镜⼦P 与⼩明的距离BP ＝1.5⽶，⼩明刚好从镜⼦中看到古城墙顶端点C ，⼩明眼睛距地⾯的⾼度AB ＝1.2⽶，那么该古城墙的⾼度是？8．如图，⼩明同学⽤⾃制的直⾓三⾓形纸板DEF测量树的⾼度AB，他调整⾃⼰的位置，设法使斜边DF保持⽔平，并且边DE 与点B在同⼀直线上．已知纸板的两条直⾓边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地⾯的⾼度AC＝1.5m，CD＝8m，求树⾼．9．如图，⼩明和⼤伟想利⽤所学的⼏何知识测量学校操场上旗杆的⾼度，他们的测量⽅案如下：他们两次利⽤镜⼦，第⼀次他把镜⼦放在C点，⼈在F点正好在镜⼦中看见旗杆顶端A：第⼆次把镜⼦放在D点，⼈在H点正好在镜⼦中看到旗杆顶端A；已知图中的所有点均在同⼀平⾯内，AB⊥BH，GH⊥BH，EF⊥BH，⼩明的眼晴距离地⾯的距离EF＝GH＝1.68⽶，量得CD ＝10⽶，CF＝2.4⽶，DH＝3.6⽶，请你利⽤这些数据求出旗杆的⾼度．10．如图，洋洋和华华⽤所学的数学知识测量⼀条⼩河的宽度，河的对岸有⼀棵⼤树，底部记为点A，在他们所在的岸边选择了点B，并且使AB与河岸垂直，在B处与地⾯垂直竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，与地⾯垂直竖起标杆DE，使得A、C、E三点共线．经测量，BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m，求⼩河的宽度．11．如图，为了估计河的宽度在河的对岸选定⼀个⽬标点A，在近岸取点B、C、D、E，使点A、B、D在⼀条直线上且DE∥BC，如果BC＝24m，BD＝12m，DE＝40m，求河的宽度AB．12．如图，⼩明在地⾯上放置⼀个平⾯镜E来测量铁塔AB的⾼度，镜⼦与铁塔的距离EB＝20⽶，镜⼦与⼩明的距离ED＝2⽶时，⼩明刚好从镜⼦中看到铁塔顶端A．已知⼩华的眼睛距地⾯的⾼度CD＝1.6⽶，求铁塔AB的⾼度．（根据光的反射原理，∠1＝∠2）13．在⼀次数学活动课上，⼩芳到操场上测量旗杆的⾼度，她的测量⽅法是：拿⼀根⾼3.5⽶的⽵竿直⽴在离旗杆27⽶的C处（如图），然后沿BC⽅向⾛到D处，这时⽬测旗杆顶部A与⽵竿顶部E恰好在同⼀直线上，⼜测得C、D两点的距离为3⽶，⼩芳的⽬⾼为1.5⽶，利⽤她所测数据，求旗杆的⾼．14．如图，实验中学某班学⽣在学习完《利⽤相似三⾓形测⾼》后，利⽤标杆BE测量学校体育馆的⾼度．若标杆BE的⾼为1.5⽶，测得AB＝2⽶，BC＝14⽶，求学校体育馆CD的⾼度．15．如图，x轴表⽰⼀条东西⽅向的道路，y轴表⽰⼀条南北⽅向的道路，⼩丽和⼩明分别从⼗字路⼝O点处同时出发，⼩丽沿着x轴以4千⽶时的速度由西向东前进，⼩明沿着y轴以5千⽶/时的速度由南向北前进．有⼀颗百年古树位于图中的P点处，古树与x轴、y轴的距离分别是3千⽶和2千⽶．问：（1）离开路⼝后经过多少时间，两⼈与这棵古树的距离恰好相等？（2）离开路⼝经过多少时间，两⼈与这颗古树所处的位置恰好在⼀条直线上？16．如图，⼀条河的两岸BC与DE互相平⾏，两岸各有⼀排景观灯（图中⿊点代表景观灯），每排相邻两景观灯的间隔都是10m，在与河岸DE的距离为16m的A处（AD⊥DE）看对岸BC，看到对岸BC上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯的灯杆遮住．河岸DE上的两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度．17．如图，在相对的两栋楼中间有⼀堵墙，甲、⼄两⼈分别在这两栋楼内观察这堵墙，视线如图1所⽰．根据实际情况画出平⾯图形如图2（CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF），甲从点C可以看到点G处，⼄从点E可以看到点D处，点B是DF的中点，墙AB ⾼5.5⽶，DF＝100⽶，BG＝10.5⽶，求甲、⼄两⼈的观测点到地⾯的距离之差（结果精确到0.1⽶）18．周末，⼩华和⼩亮想⽤所学的数学知识测量家门前⼩河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的⼀棵⼤树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B 点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量⽰意图如图所⽰．请根据相关测量信息，求河宽AB．19．周末，⼩凯和同学带着⽪尺，去测量杨⼤爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于⽆法直接测量，⼩凯便在楼前地⾯上选择了⼀条直线EF，通过在直线EF上选点观测，发现当他位于N点时，他的视线从M点通过露台D点正好落在遮阳篷A点处；当他位于N′点时，视线从M′点通过D点正好落在遮阳篷B点处，这样观测到的两个点A、B间的距离即为遮阳篷的宽．已知AB∥CD∥EF，点C在AG上，AG、DE、MN、M′N′均垂直于EF，MN＝M′N′，露台的宽CD＝GE．实际测得，GE＝5⽶，EN ＝15.5⽶，NN′＝6.2⽶．请根据以上信息，求出遮阳篷的宽AB 是多少⽶？20．阅读下⾯材料，完成学习任务：数学活动测量树的⾼度在物理学中我们学过光的反射定律．数学综合实践⼩组想利⽤光的反射定律测量池塘对岸⼀棵树的⾼度AB测量和计算的部分步骤如下：①如图，在地⾯上的点C处放置了⼀块平⾯镜，⼩华站在BC的延长线上，当⼩华从平⾯镜中刚好看到树的顶点A时．测得⼩华到平⾯镜的距离CD＝2⽶，⼩华的眼睛E到地⾯的距离ED＝1.5⽶；②将平⾯镜从点C沿BC的延长线向后移动10⽶到点F处，⼩华向后移动到点H处时，⼩华的眼睛G⼜刚好在平⾯镜中看到树的顶点A，这时测得⼩华到平⾯镜的距离FH＝3⽶；③计算树的⾼度AB：设AB＝x⽶，BC＝y⽶．∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD∴△ABC∽△EDC∴……任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整．21．为了测量校园⽔平地⾯上⼀棵不可攀的树的⾼度，学校数学兴趣⼩组做了如下探索：根据光的反射定律，利⽤⼀⾯镜⼦和⼀根⽪尺，设计如下图所⽰的测量⽅案：把⼀⾯很⼩的镜⼦⽔平放置在离B（树底）8.4⽶的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜⼦⾥看到树梢顶点A，再⽤⽪尺量得DE＝3.2⽶，观察者⽬⾼CD＝1.6⽶，求树AB的⾼度．思考⼩结1.我们已经学习过⽅程与不等式应⽤题，⼀次函数应⽤题以及测量类应⽤题，应⽤题的处理流程为：①理解题意，梳理信息②建⽴模型③求解验证，回归实际2.我们已经学习过相似，也学习过了三⾓函数，现在来思考⼀下它们的联系．在学习相似三⾓形判定时知道“两边对应成⽐例且夹⾓相等的两个三⾓形相似”，即当∠B=∠E，AB=BC时，△ABC∽△DEF DE EFDAB C特别地，当∠B=∠E=90°时，若AB=BC，则△ABC∽△DEFDE EFDAE根据⽐例的性质我们知道AB=BC可以改写成AB=DE，DE EF⽽tan C=AB，tan F=DE，我们得到BC EFBC EF当∠B=∠E=90°时，若tan C = tan F ，则△ABC∽△DEF，∠C=∠F．借助上⾯的分析，请在下图中进⾏证明：若tan C = tan F ，则∠C=∠F．（描述辅助线，给出证明过程）DAB C E F3 3【参考答案】巩固练习1. 20 海⾥2. （1） 600 千⽶/⼩时（2）能，理由略3. 10 ⽶4. 236.5 ⽶5. （1）6 ⽶（2）（10 6-21略 12 ）⽶ 3 3。

2019届中考数学复习专项二解答题专项六、几何测量问题练习

几何测量问题满分训练类型1 锐角三角函数的实际应用1.（2018·陕西模拟）2018年3月2日，500架无人机在西安创业咖啡街区的夜空绽放，西安高新区用“硬科技”打造了最具独特的风景线，2018“西安年，最中国”以一场华丽的视觉盛宴完美收官，当晚，某兴趣爱好者想用手中的无人机测量大雁塔的高度。

如图是从大雁塔正南面看到的正视图，兴趣爱好者将无人机上升至离地面185米高、大雁塔正东面的点F，此时，他测得点F到塔顶点A的俯视角为30°，同时也测得点F到塔底点C的俯视角为45°，已知塔底边心距OC=23米，请你帮助该无人机爱好者计算出大雁塔的大致高度。

（结果精确到0.1 1.73≈1.41）2.（2018·某交大附中模拟）如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A，B之间的距离约为49 cm，现测得AC，BC与A B 的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD为28 cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4 cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）。

（参考数据：sin 68°≈0.93，cos 68°≈0.37,tan 68°≈2.48）3.（2018·山东烟台中考）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速。

如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40 km/h。

数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速。

在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为C。

测得PC=30 m，∠APC=71°，∠BPC=35°。

上午9时测得一汽车从点A到点B用时6 s，请你用所学的数学知识说明该车是否超速。

（参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 71°≈0.95，cos 71°≈0.33，tan 71°≈2.90）4.（2018·云南昆明中考）小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国——南亚博览会”的竖直标语牌CD。

初三几何测试题及答案

初三几何测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是直角三角形的判定条件？A. 两条边相等B. 一条边是另一条边的两倍C. 一个角是90度D. 三角形的周长是固定的答案：C2. 一个圆的半径是5厘米，那么它的周长是多少厘米？A. 31.4B. 15.7C. 10D. 25答案：A3. 一个等腰三角形的底边长为6厘米，腰长为8厘米，那么它的高是多少厘米？A. 4B. 6C. 8D. 10答案：A4. 下列哪个图形是轴对称图形？A. 正方形B. 矩形C. 梯形D. 所有选项答案：D5. 一个三角形的三个内角之和是多少度？A. 90度B. 180度C. 360度D. 720度答案：B6. 一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，那么它的面积是多少平方厘米？A. 20B. 30C. 50D. 100答案：C7. 一个圆的直径是10厘米，那么它的面积是多少平方厘米？A. 78.5B. 39.25C. 25D. 100答案：B8. 一个等边三角形的边长是6厘米，那么它的高是多少厘米？A. 3B. 6C. 9D. 12答案：B9. 一个平行四边形的对角线互相垂直，那么这个平行四边形是什么形状？A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 任意四边形答案：B10. 一个三角形的三个顶点分别在圆上，那么这个三角形是什么形状？A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 任意三角形答案：C二、填空题（每题3分，共30分）1. 一个三角形的两个内角分别是40度和70度，那么第三个内角是______度。

答案：702. 一个圆的半径是8厘米，那么它的直径是______厘米。

答案：163. 一个正方形的对角线长是10厘米，那么它的边长是______厘米。

答案：5√24. 一个长方形的长是12厘米，宽是8厘米，那么它的周长是______厘米。

答案：405. 一个等腰直角三角形的直角边长是5厘米，那么它的斜边长是______厘米。

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