结构力学练习题

AB CD, R, P及EI 均为已知。
14
A ，G 两截面的弯矩分别为
MA
和
4 PR 2 2 4 PR 2
MG
其中， M A 使曲率增大， M G 使曲率减小 C，D 两点之间的相对线位移为
16
图示单位厚度平面应力悬臂梁，端部受集中力 P 作用，已知应力分布为
x y 0 xy
P 2I
Pxy I I 1 3 h 12
h 2 , 2 y
试利用外力功等与内力功关系，即
P
求自由端挠度 。
h0 2

h 2 l
1w xl x a1 a2 x an x n ; 2w an sin nx

n 1
l
14
如图所示简支梁，先施加载荷 P 1 ，再承受 P 2 作用，试写出图中两个集中外力所做的实功与虚功。
4
15
试用最小势能原理分析图示(a)线弹性刚架内力，并用最小余能原理分析图示(b)线弹性刚架内力。


该位移使 A，D 两点之间的距离增大。
49
采用最小势能原理，求图示平面细长曲杆自由端 B 在垂直方向上的位移 f B , R, P及EI 均为已知。
fB
该位移方向向下。 50
3PR 8 2 EI
采 用 最小 势 能 原 理， 求 图 示 薄圆 环 A 、 G 两 截 面 的 弯 矩 及 C 、 D 两 点 之 间 的 相 对 线 位移。
B
A 和相对角位移 A 。R, P及EI 均为已知
45
采用最小势能原理，试求图示静不定细长杆件 C 端的支反力及 B 点处沿 P 力方向的位移。
46 图示平均半径为 R 之等截面薄圆环，在某处被一径向截面切开，切缝中卡入一厚度为 e 的块体，使环 张开。采用最小余能原理，试求环中的最大弯矩。R、e 及 EI 均为已知。
24
一悬臂梁，受均载 q 作用，取挠度函数 w ax bx ，试用最小势能原理求 wmax 。 （注：变形势能公
2 3
EI 式E 2
d 2w dx 2 dx ） 0
l
2
25 一端固定，一端简支梁受均载 q 的作用，选用梁的变形 x 3 x w a cos 1 cos 1 2 l 2 l
求点 B 和 C 的位移 u B ， v B ， uC ， vC 。 5 如下图所示三角形悬臂梁，只受重力作用，而梁的密度为 p，试用纯三次式的应力函数
f Ax 3 Bx 2 y Cxy 2 Dy 3 ，求解系数 A, B, C, D 和应力分量 x , y , xy 。
1
4
一正方形平面单元，四个角点的坐标分别为 A0,0 ， B 1,0 ， C 1,1 ， D 0,1 ，设点 A 和 D 固定，即
u A v A u D v D 0 ，已知单元内应变
x 1 2 x y 10 4 y 1 2 x 2 y 10 4 xy 3 3x 10 4
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试分别采用如下位移函数： w ax bx ；并根据最小势能原理分析图示线弹性刚架内力（仅考虑弯
2 3
曲变形情况） 。
20
图示双跨连续梁，抗弯刚度为 EI ，受均布载荷 q 作用。试用最小余能原理求中间简支处的弯矩。
21 试写出以下结构的应变能和余应变能 （1）等截面均匀受力的轴力杆，设杆横截面积为 A，杆长 L，弹性模量 E。 (a)用杆变形 L 表示杆应变能 (b)用轴向力 F 表示杆余应变能 （2）弯曲梁（不计剪力变形）
9
如下图所示简支梁，只受重力作用，而梁的密度为 ，试证明应力函数
f Ax 2 y 3 By 5 Cy 3 Dx 2 y 满 足 双 调 和 方 程 ， 并 求 解 系 数 A, B, C, D 和 应 力 分 量
x , y , xy 。
10
图中的悬臂梁受均布载荷作用，求其最大应力
8
30 杆一端与剐硬基础相连，另一端互相连接在一起，如图 A.4 所示。杆的剖面面积均为 A．材料弹性 模量均为 E，几何尺寸如图所示。试用最小势能原理和虚功原理，分别确定各杆的内力(轴力)和加载节点 的位移。
31
如图表示一段两端自由的梁，受到力矩和的作用，不平衡的力矩由一对剪力所平衡。用最小势能原
b O
8
悬臂梁 c y 0,
0 x l 沿下边受均布剪力，而上边和 x l 一端不受力，可用应力函数
1 xy 2 xy 3 ly 2 ly 3 f s xy 2 2 4 4 c 4 c 4 c 4c
得出解答，并说明此解答在哪方面不完善？
2 2 2


（2） u 6 x 15 10 , v 8 zy 10 , w 3 z 2 xy 10 在(1,3,4)点处。
2 2 2 2 2




12
设有图示悬臂梁右端受 F 作用，如取挠曲线为 w ax bx ，试求 a,b 值。
2 3
13
对于图示简支梁，试检验下列挠度表达式是否都是几何可能位移？
习题
1 写出下列情况的边界条件：
2
设附图中的短柱体处于平面应力状态，试证在牛角尖端 C 处的应力等于零。
3
单位厚度薄板受力如下图所示，给定应力函数 f xy
1 2 py ，求 2
（1）应力分量 x ,
（2）应变分量 x , y , xy ； （3）位移分量 u , v 。 y , xy ；

l
0
qwdx Ql wl M l l Mkdx
l 0
36
受分布载荷(包括切向载荷 q t 和法向载荷 q n )和端部外力作用的圆弧形大曲率杆如图所示， 试推导其虚
功方程。
37
在一般情况下，圆环的径向位移可用下列三角级数来描述：
w a n cos n bn sin n
42
试用最小余能原理求图示细长杆件端截面 C 的垂直位移 f c。a R, P及EI 均为已知。
12
43
采用最小势能原理， 求图示细长杆件端截面 C 的垂直位移 f c , 水平位移 c 及转角 c。a R, P及EI
均为已知
44
B
采用最小势能原理，求图示开口细链环 A，B 两端截面间的相对线位移 C 的垂直位移
13
47 48
采用最小余能原理，求图示细链环载荷作用点 A，B 的相对线位移 A ，P, R 及 EI 均为已知。
B
图示结构是由半径为月的半圆形曲杆和两段长度各为 l 的直杆所组成，P 及 EI 为已知，采用最小势能
D
原理，试求两个载荷 P 作用之点 A、D 间的相对线位移 A
A
D
P 4l 3 6l 2 R 24lR 2 3R 3 6 EI
n 1 n 1


（1）
10
式中， a n ， bn 为待定系数(广义位移)。试根据势能原理求图示圆环中 P 力作用点 C,D 的相对位移线
38
试用最小势能原理，求图示悬臂梁自由端得挠度和转角
（提示 39
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由于梁上没有分布载荷，可设该梁之挠曲线为下列函数： w a3 x a 2 x a1 x a 0 ）
6
一长为 l，高为 h，宽为 b 的悬臂梁，在自由端受集中力 F 的作用，取坐标系如图所示，现给出某组应
力分布
O
h
x 2 Al x y, xy AB y 2 , y z yz xz 0
现要求检查平衡方程（无体力） ，应变协调方程，上下面应力边界条件，及两端的圣维南边界条件，试问
x
x y y xy xy dxdy
17 两端固支梁，在离左端距离 a 处，作用集中力 P ，这时左支承的反力 R 和反力矩 M 都作为未知系数， 现用最小余能原理求出反力 R 和反力矩 M 。
5
18
试用最小余能原理求图示等截面细长杆件自由端 C 的垂直位移 f c 。 a, R, P及EI 均为已知。
3 2
应用最小势能原理求图示桁架各杆的内力。
40
采用最小势能原理，求图示等截面细长杆件自由端 C 的垂直位移 f c 。 a, R, P及EI 均为已知。
11
41 解 后由
采用最小势能原理，求图示细长曲杆自由端 B 的水平位移 B , q，R及EI 均为已知 我们知道，用最小势能原理求某一已知载荷作用方向上的相应位移时，可先写出系统的变形能 U，然
6
设梁截面的弯曲惯性矩 J，梁长 L，弯曲变形挠度 w。 (a)用 w 表示梁的应变能 (b)用 M 表示梁的余应变能 22 使用虚功原理求下图所示梁的挠度函数 w，设 w a1 sin
x
l
，抗弯刚度为 EI
23 已知下图所示的悬臂梁，其跨度为 L，抗弯刚度为 EI，在自由端受载荷 F 作用，试用最小势能原理 求最大挠度值。
32 33
试述实功与虚功之区别。 如图所示简支梁上外力 P1 在位移 w12 上所作之功为实功还是虚功？
34
受分布载荷作用之简支梁如下图所示，试证明其虚功方程为
qwdx M
0
l
0
0 M l l Mkdx
l 0
9
35
受分布载荷作用之悬臂梁如下图所示，试证明其虚功方程为
2
l
F
b
什么情况下有可能都满足。
7
一长为 a，宽为 b，厚为 1 的板，放在一刚性光滑的地面上，取坐标系如图所示，原点取
在板的中面，板受 x 方向均布力 q 的作用，已知位移场为 u=A1 x+A2, v=B1 y+B2, w=C1 z+C2 的形式，假设弹性模量为 E，泊松比为 μ，试求待定系数及 u，v，w 的表达式。 （20 分）
试用最小势能原理求待定系数 a，以及中点（ x l / 2 ）处的 w 值。
26 如图 4 所示，两端固定的梁，受均载 q 的作用，试用最小余能原理求未知反力 R 和反力 矩 M。
7
27 有一杆，长为 L ，剖面面积为 A，材料的弹性模量为 E，热膨张系数为 ，两端固定在刚性基础上， 如图 A.1 所示。设在杆固定于基础之后，受到均匀分布的温度 T 的作用。试应用最小势能原理决定杆内的 应力分布。
U 得到欲求之位移 i 。现在遇到的新情况是：在 B 点欲求位移的方向上没有外力作用，对于这种 Pi U 即 Pi
情况，我们可采用所谓附加力法来加以解决。即先在指定点并沿所求位移的方向上假想地加上一个力，如 力 P。 求弯矩及其偏导数时， 把它当作真实载荷一样处理， 在代入位移算式时再令 P=0， 如此求得的 为 B 点的水平位移 B 。
理计算 M1 作用端的转角 1 和 M2 作用端的转角 2 。计算中考虑剪切力的影响。已知：L 为梁的跨长；EJ 为 弯曲刚度，沿梁长度为常值； 12 EJ / GAs L 为剪切参数；As 为等效的剪切横剖面积；G 为剪切模量。
2
图中 y 轴的原点放在梁剖面的中性轴上，x 轴的原点放在粱左边剖面中性轴与 y 轴的交点上。
（1）用应力函数 f
2 y x xy x 2 y 2 arctan x 4 21 4 q


（2）用初等理论求，并比较以上结果。
3
11
已知下列位移，试求指定点的应变状态。
（1） u 3 x 20 10 , v 4 xy 10 在(0,2)点处。
28 与习题 l-l 相同的杆，但不是受温度作用，而是受沿杆的长度均匀分布的轴向载荷的作用，如图 A.2 所示。分布载荷每单位长度的集度为 q(单位为 N)。试用最小余能原理决定杆内的应力分布。
29 图 A.3 表示有一绝对刚硬的梁，一端自由，另一端铰支在刚硬的基础上。该粱在跨度中间用 3 根只 受轴力的杆与基础相连。杆的剖面面积都是 A，材料的弹性模量都是 E，长度都是 L。试用最小势能原理决 定粱在外力 P 的作用下，3 根弹性杆中的内力以及梁的位移。