《机械原理》拉伸压缩与剪切解析
材料力学拉伸、压缩与剪切
(2) 最大 最小应力剪应力
当α＝+450 时
max 450
2
sin
2
min 450
2
当α＝900 时
σ =0 说明纵向无正应力
17
τ max
σ/2
450
τ min
450
σ/2
2.4 材料在拉伸时的力学状态
力学性能：材料在外力作用下表现出的变形和破 坏特性。
于轴线.
3.内力的分布(The distribution of internal force)
均匀分布
F
(uniform distribution)
FN
11
2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
4.正应力公式(Formula for normal stress)
FN
A
式中, FN 为轴力,A 为杆的横截面面积, 的符号与轴力
P
沿m-m截开
左端：∑X = 0, N – P = 0
P
N= P
m
P
m
N
﹜x
{ 右端：∑X = 0, -N '+ P = 0 N‘ '
P
N'=P
N和N '称为轴力
轴力的符号：拉正，压负。
4
2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置,用垂直于杆轴 线的坐标表示横截面上的轴力数值,从而绘出表示轴力与横截
面位置关系的图线,称为轴力图. 将正的轴力画在x轴上侧,负 的画在x轴下侧.
FN
O
x
轴力图的意义：
① 直观反映轴力与截面位置变化关系； ② 确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截 面位置，为强度计算提供依据。
拉伸压缩和剪切
1.5m
B
A
1
能承受的许用载荷。
解： 一般步骤：
2m
F
2
C
外力 内力
利用强度 条件校核
强度
应力
1、计算各杆轴力
1.5m B
A 1
2m
F
2
2
C
FN 1
B
FN 2
F
1
FN 1
FN 2
F FN 2 sin FN1 FN 2 cos
解得
FN1
3 4
F（拉）
FN 2
5 4
F（压）
2、F=2 吨时，校核强度
F
F
在杆件表面画上横向线
F
F
F
F
A B L
F
平面假设： 横截面在轴向拉压 时仍然保持为平面 不变。
Y
F
两个横截面之间的纵 向纤维都受到拉力作 用，产生相同的伸长 变形。
F
由平面假设可知，横截面上只存在正应力。
因为材料均匀连续，并且纵向纤维的伸长 相同，所以横截面上的正应力均匀分布。
圣维南原理： 力作用于杆端的方式不同，但只会使与杆端距 离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。
1杆：
1
FN 1 A1
3 2 103 4
d2
9.8
76.8MPa [ ]1
4
2杆：
2
FN 2 A2
5 2 103 9.8 4
a2
2.5MPa [ ]2
因此结构安全
3、F 未知，求许可载荷[F]
各杆的许可内力为
FN1,max A1 [ ]1
d 2 150 106
4
30.15kN
l
第02章 拉伸压缩、剪切
第二章拉伸、压缩与剪切§2-1 轴向拉压的概念及实例§2-2 轴向拉压的内力§2-3 应力及强度条件§2-4 材料在拉伸和压缩时的力学性能§2-5 拉压杆的变形计算§2-6 拉压超静定问题§2-7 剪切与挤压1§2-1轴向拉压的概念及实例一、工程实例234三、变形特点二、受力特点四、计算简图FFFF轴向压缩轴向拉伸外力的合力作用线与杆的轴线重合。
沿轴向伸长或缩短。
5mmFF一、求内力设一等直杆在两端轴向拉力F 的作用下处于平衡，欲求杆件横截面m -m 上的内力.§2–2轴向拉压的内力在求内力的截面m-m 处，假想地将杆截为两部分.取左部分部分作为研究对象。
弃去部分对研究对象的作用以截开面上的内力代替，合力为FN 。
mmF F N1、截面法求内力（1）截开mmF F （2）代替67对研究对象列平衡方程F N = F式中：F N 为杆件任一横截面m -m 上的内力.与杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心,称为轴力。
（3）平衡mm FFm mFF N若取右侧为研究对象，则在截开面上的轴力与部分左侧上的轴力数值相等而指向相反.mmF FmmF F NmFmNF′892.轴力符号的规定mFFm mFF NmFm（1）若轴力的方向背离截面，则规定为正的，称为拉力。
（2）若轴力的方向指向截面，则规定为负的，称为压力。
NF ′以拉为正m10二、轴力图用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线,称为轴力图。
将正的轴力画在x 轴上侧,负的画在x 轴下侧.xF NOFFF ⊕11例题1一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图。
CABD 600300500400E40kN55kN 25kN 20kN12CABD 600300500400E40kN55kN 25kN 20kN CABDE40kN 55kN 25kN 20kN F R A解: 求支座反力202555400R =+−+−−=∑A xF FkN10R =A F13求AB 段内的轴力F R A F N1CABDE40kN 55kN 25kN 20kN F R A1R 1N =−A F F )()kN (10R 1N ++==A F F14求BC 段内的轴力F R A40kNF N220kN CABDE40kN 55kN 25kN F R A2040R 2N =−−A F F )()kN (5040R 2N ++=+=A F F15F N3求CD 段内的轴力20kN25kNCABDE40kN55kN 25kN20kN F R A3020253=+−−N F )()kN (53N −−=F16求DE 段内的轴力20kNF N440kN55kN 25kN20kN F R A4)((kN)204N ++=F CABDE17F N1=10kN （拉力）F N2=50kN （拉力）F N3= -5kN （压力）F N4=20kN （拉力）发生在BC 段内任一横截面上5010520++CABD 600300500400E40kN55kN 25kN 20kN (kN)50Nmax =F185kN8kN4kN1kNO练习：作图示杆的轴力图。
材料力学拉伸压缩与剪切
材料力学拉伸压缩与剪切材料力学是研究材料在外力作用下的力学性能和变形规律的学科。
在材料力学中，拉伸、压缩和剪切是三种常见的受力方式。
本文将对这三种受力方式进行详细的讨论。
一、拉伸拉伸是将材料的两个端点向相反方向施加力，使材料产生变形和应力的一种受力方式。
在拉伸过程中，应力沿受力方向逐渐递增，直到材料达到其抗拉极限，引起断裂。
拉伸强度是指材料在拉伸过程中所能承受的最大伸长应力，常用于评价材料的抗拉性能。
材料在拉伸过程中会发生塑性变形和弹性变形。
当应力较小时，材料发生弹性变形，即材料在去除应力后能恢复原状。
当应力较大时，材料发生塑性变形，即材料变形后无法完全恢复原状。
材料的塑性变形通常伴随着颈缩现象，即材料在拉伸过程中发生细颈，最终引起断裂。
在拉伸过程中，材料的变形主要通过断裂面的拉伸和滑移来实现。
断裂面的拉伸是指材料在拉伸过程中，沿断裂面发生直接断裂的现象。
滑移是指材料分子、原子或晶粒之间发生相对滑动的行为。
材料的拉伸性能主要由断裂面的塑性变形和滑移行为共同决定。
二、压缩压缩是将材料的两个端点向相同方向施加力，使材料产生变形和应力的一种受力方式。
在压缩过程中，材料的体积减小，应力沿受力方向逐渐递增，直到材料达到其抗压极限，引起破坏。
抗压强度是指材料在压缩过程中所能承受的最大应力，常用于评价材料的抗压性能。
与拉伸不同，材料在正常应力下的压缩变形主要是弹性变形。
材料在压缩过程中会呈现出不同的弹性阶段，即初期弹性阶段、线弹性阶段和屈服弹性阶段。
初期弹性阶段材料呈现出线性弹性变形；线弹性阶段材料呈现出弹性变形，但变形量不再是线性增加；屈服弹性阶段材料呈现出应力和应变之间非线性关系。
三、剪切剪切是指材料在外力作用下，造成平行于断裂面的错切运动和应力的一种受力方式。
在剪切过程中，材料发生剪切变形，即材料平行于受力方向发生错开运动。
剪切强度是指材料在剪切过程中所能承受的最大剪应力，常用于评价材料的剪切性能。
材料的剪切变形属于塑性变形，主要发生在晶体或晶体之间的滑移面上。
2拉伸、压缩与剪切new分析
+
20
1
FN1 A1
003 4
202
191MPa
3
FN3 A3
50103 4
352
52MPa
2020年11月10日星期二
材料力学 §2-2&2-3 拉（压）杆内的应力
例2：图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知
F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB 为15×15的方截面杆。
F1 F2
F3 Fn
2020年11月10日星期二
材料力学 §2-2&2-3 拉（压）杆内的应力
二、拉（压）杆横截面上的应力
(1)变形规律试验及平面假设：
变形前
ab cd
受载后 P
a´
b´
c´
d´
P
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面，纵
向纤维变形相同。
推论：拉(压)杆横截面上的内力均匀分布,即横截面 上各点处的正应力都相等。
材料力学 §2-2&2-3 拉（压）杆内的应力
50N
50N
1mm
50N
50N
855 -244
33
167 29
99.5 101.7
2020年11月10日星期二
材料力学 §2-2&2-3 拉（压）杆内的应力
圣维南（Saint-Venant）原理
如用与外力系静力等效的合力来代替原力，则
除了原力系起作用区域内有明显差别外，在离外力 作用区域略远处，上述代替的影响就非常微小，可 以不计。
材料力学 §2-2&2-3 拉（压）杆内的应力
正应力公式讨论：
1、对于某些特定杆件，例如锲形变截面杆，受拉
材料力学 第二章拉伸、压缩与剪切
铸铁经球化后成为球墨铸铁， 力学性能有显著变化。
23
§2-5 材料压缩时的力学性能
1、试件 金属的压缩试件一般制成很短的圆柱，以免压弯。h:d≈1.5－3 混凝土、石料等则制成立方形的试块。
2、试验结果
低碳钢压缩时的E和σs与拉伸时 大致相同，屈服阶段之后越压越 扁，横截面不断增大，得不到压 缩时的强度极限。
求得： FN 3.35W F1 1.74W
29
§2-7 失效、安全因数和强度计算
例2.5 由于撑杆AB的最大轴力为：
FN max
A
60106
Pa
4
(1052
952 ) 106 m2
94.2KN
W FN max 94.2KN 28.1KN 3.35 3.35
目前一般机械制造中在静载荷的情况下对塑性材料可取目前一般机械制造中在静载荷的情况下对塑性材料可取12251225脆性材料由于均匀性较差且断裂突然一般可取脆性材料由于均匀性较差且断裂突然一般可取235235甚至取甚至取39失效安全因数和强度计算失效安全因数和强度计算31一拉伸或压缩直杆变形计算公式一拉伸或压缩直杆变形计算公式轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形32228轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形二变形与位移二变形与位移变形
许用应力[σ]
塑性材料：
s
ns
ns , nb 为大于1的数，称为安全因数。
脆性材料： b
nb
26
§2-7 失效、安全因数和强度计算
三、强度计算 以许用应力作为最高应力，即要求工作应力低于许用应力：
材料力学第02章 拉伸、压缩与剪切
⊕
Ⅰ － ○ 20 kN
⊕
F
x
0
FN1
Ⅰ 80kN Ⅱ
FN2 60 80 0
FN2 20kN
FN2 第三段:
Ⅲ
30kN
60kN
F
x
0
Ⅱ
FN3 30 0
FN3 30kN
FN3
Ⅲ
例2
3kN
画图示杆的轴力图
2kN 2kN 10 kN 4kN 8kN
A
3kN
B
C
D
脆性材料 u （ bc） bt
u
n
n —安全因数 —许用应力
塑性材料的许用应力
脆性材料的许用应力
s
ns
bt
nb
p 0.2 n s bc n b
§2-6
§2-7 失效、安全因数和强度计算
解： A 轴力图
A1 B
○ －
A2 60kN 20 kN C D 20 kN ⊕
AB
BC
CD
FN AB 40 103 20MPa A1 2000 FN BC 40 103 40MPa A2 1000 FN CD 20 103 20MPa A2 1000
3、轴力正负号：拉为正、 F 压为负
0 FN F 0 FN F
F
§2-2
x
4、轴力图：轴力沿杆件轴 线的变化
目录
例1
60kN
画图示杆的轴力图
Ⅰ
80kN
Ⅱ
Ⅲ 50kN
30kN
第一段:
第二章拉伸压缩与剪切小结
第二章拉伸、压缩与剪切小结一、轴向拉压杆的内力轴力轴向拉压时，杆件横截面上内力的合力，用FN 表示。
轴力正负号的规定杆件受拉而伸长的轴力为正，受压而缩短的轴力为负。
或者表述为FN 的方向与截面外法线方向一致的为正，反之为负。
轴力的求法截面法，一般将所求截面的内力假设为正的数值，这一方法称为“设正法”。
如结果为正，则说明假设正确，是拉力；如是负值，则说明假设错误，是压力。
轴力图注意：1.轴力图与杆件应注意一一对应关系，习惯上在其值变化的角点标出数值；2.作图或校核时注意应用突变关系，即在外力作用面，轴力图突变，突变值（绝对值）的大小等于作用在该面的外力的大小；3.同一图应采用同一比例；二、应力1）横截面上的应力平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。
由材料的假设可知，轴向拉压杆横截面上各点的应力相等，垂直于截面，用表示，即：使用条件:①外力的合力作用线必须与杆件轴线重合②当杆件的横截面沿轴线方向变化缓慢，而且外力作用线与杆件轴线重合时，也可近似地应用该公式。
③不适用于集中力作用点附近的区域圣维南原理:作用于弹性体上某一局部区域内的外力系，可以用与它静力等效的力系来代替。
σNF Aσ=2)斜截面上的应力轴向拉压时斜截面上的应力随其方位而变化总应力：正应力：切应力：三、材料的力学性能1）低碳钢拉伸4个阶段：弹性阶段、屈服（流动）阶段、强化阶段、局部变形（颈缩）阶段。
4个极限应力：比例极限，弹性极限，屈服极限，强度极限两个塑性指标：延伸率和断面收缩率一个弹性模量ασααcos cos ==AF p ασασαα2cos cos ==p ασαταα2sin 2sin ==p %1001⨯-=ll l δ%1001⨯-=A A A ψE σε=2）其它材料的拉伸3）材料压缩时的力学性能塑性材料压缩时的力学性质与拉伸时的基本无异。
脆性材料拉、压力学性能有较大差别，抗压能力明显高于抗拉能力。
第二章 拉伸、压缩、剪切A
FN 2 F1 F2 10 20 10kN
FN 3 F4 25kN
10
2、绘制轴力图。
二 轴向拉（压）时横截面上的应力
杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面 积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。 F F
实验表明:轴向拉(压)时变形是均匀的，应力分布也是均匀的。 其应力分布如图：
D
q
解： D2 F qA q FN 4
FN 1 ≤ 1 (压) A1
FN 2 ≤ 2 (拉) nA2
A1
d1 ≥
d12
4
1
4F
A2
d 22
4
1.2 106 400 2 62mm 50
n≥
A 2 2
F
1.2 106 400 2 14.8 2 18 40
二 轴向拉（压）时横截面上的强度条件
FN ≤ 0 强度条件 A ＜ n
0
n: 安全系数 ：许用应力
强度条件的应用： (1) 校核构件的强度； (2) 为构件设计截面尺寸； (3) 计算构件的许可载荷。
FN A
A
FN
FN A
a a1 a
b b1 b
当l＞0时(伸长），a＜0 b 0 ，
横向应变
a b a b
当＞0时 ＜0 ，
泊松比（横向变形系数）
例
计算图示变截面 杆的轴向变形
1-1 2-2 3-3 F
l
已知：F=15kN，l=1m，a=20mm, E=200GPa 求： l
3）变形:图如左图示
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2018/10/31 13
② 应力分布规律
a
F b d
c
F
根据平面假设，杆件变形后任意两个横截面之间所有 纵向线段的伸长相等。
由材料的均匀连续性假设，可以推断出内力在横截面
上均匀分布，且其方向垂直于横截面，因此横截面上只有 正应力，而且均匀分布。
Mechanics of Materials
Mechanics of Materials
2018/10/31 16
圣维南Adhé mar Jean Claude Barréde Saint-Venant (1797～1886) 法国力学家。
圣维南原理(Saint-Venant's principle) —— 杆端截面在外力作用点附近的应力一般是 非均匀分布的，但是外力的作用方式只影响局 部范围的应力分布，离开作用点一定距离（轴 向范围约为离杆端1~2个杆的横向尺寸）后，应 力的分布就趋于均匀化。 圣维南原理表明：局部荷载作用仅仅影响一个比较小的范围， 在较远的部位可以忽略这些不均匀的局部影响。该原理已为大 量实验与计算所证实。材料力学和弹性力学的很多重要结论都 是建立在该原理的基础之上。
2018/10/31
材料力学
Mechanics of Materials
轴向拉伸与压缩
§2-1 拉伸压缩时的内力与应力
§2-1 拉伸压缩时的内力与应力
一、工程中的轴向拉伸或压缩问题
Mechanics of Materials
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4
§2-1 拉伸压缩时的内力与应力
一、工程中的轴向拉伸或压缩问题
F
x
0，FN 1 5 0
FN 1 5kN
CB段：作截面2-2， 取左段
FN2
F
x
0，FN 2 15 5 0
9
FN 2 10kN
Mechanics of Materials
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（2）绘制轴力图
以杆的轴线为横坐标， 表示截面位置，纵轴表 示轴力大小。 最大轴力值在CB段 5kN A C FN（kN） 5 +
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四、 轴向拉（压）时斜截面上的应力
设直杆的轴向拉力为 F ，横截面 F 积为A，斜截面k-k上的内力为 k
k
F k
F F
斜截面上各点沿 x 方向伸长，变 形仍是均匀分布，因此斜截面上 的应力仍然是均匀分布。 斜截面k-k上的应力
Mechanics of Materials
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5
杆件受拉伸或压缩的力学模型
F F
F
F
受力与变形特点 —— 作用在杆件上的外力（合力）的作 用线与杆的轴线重合，杆件沿轴向伸长或缩短。
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二、轴向拉压杆横截面的内力
1. 轴力—截面上分布内力的合力。轴向拉压时横截面上的 轴力垂直于截面，必过截面的形心。 m F m F FN FN F F
15kN
10kN
B
FN
max
10kN
x
-10
最大轴力所在截面称为危险截面。在集中力作用处的两侧， 轴力值有突变，这样的截面称为控制面。
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5kN A 5 FN + C
15kN
10kN B
x
--
10
结论——轴力等于截面一侧外力的代数和。外力背离截面 为正，指向截面为负。 【求内力时注意】① 求内力时，外力不能沿作用线随意 移动。② 截面不能刚好截在外力作用点处。
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2018/10/31 11
三、轴向拉（压）杆横截面上的应力
图示受轴向拉伸构件，由截面 F 法求得m－m横截面的内力为 m F
FN F
欲求m—m横截面上某一点的 应力σ，在横截面上包含该点 F 取微面积 dA，其上的微内力 为
m
FN σ
dA A
dFN dA
轴力的正负号规定——拉伸时轴力为正，方向背离截面；压 缩时为负，方向指向截面。轴向外力的正负号规定也是如此。
Mechanics of Materials
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2 、轴力图 —— 表示横截面上的轴力沿截面位置变化情况的 图形。一般以杆件的轴线为横坐标表示截面位置，纵轴表示
轴力大小。 3kN
FN(kN) （ +） 5kN 2kN
3
（－）
x
2
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8
【例】求图示杆件的内力，并作轴力图。
【解】（1）用截面法计算各段内力 AC 段：作截面 1-1 ， 取左段 5kN A 5kN 1 1 C FN1 15kN 5kN 15kN 2 2 10kN B
则整个横截面上的内力为
A A
应力的函数形式？
FN dFN dA
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① 杆件拉伸实验 平面假设
【实验结果】所有纵线伸长相等，横线仍为直线并保持与纵 线垂直；矩形格被拉长，但直角保持不变。
由此可以假定：横截面变形前后均为平面——平面假设
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FN F
m F
m
FN dA
A
F
由于应力均匀分布， 即σ＝const，因此
F
σ
FN
FN dA A
A
FN A
Mechanics of Materials
2018/10/31
σ 的方向与轴力 FN 相同，拉应力为正 ( 背 离截面），压应力为负（指向截面）。 单位：帕斯卡Pa。
15
FN A
对于图示的小锥度连续变截面杆，平 面假设和横截面应力均匀分布仍然成 立，其任意x横截面的应力为 A(x)
x
l
dFN ( x) ( x)dA( x)
FN ( x ) ( x )dA( x ) ( x ) A( x )
A
F
FN ( x) ( x) A( x)
材料力学
Mechanics of Materials
轴向拉伸、压缩与剪切
第2章 轴向拉伸、压缩与剪切
主要内容
拉伸压缩时的内力和应力
拉伸压缩时材料的力学性能 拉伸压缩时的失效与强度条件 拉伸压缩的变形与应变能 拉伸压缩超静定问题
剪切与挤压的实用计算
2
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