复变函数第四版余家荣答案

复变函数第四版余家荣答案

【篇一：1第一章复数与复变函数】

京

1

第一章复数与复变函数

1 复数及其代数运算

1.复数的概念①

在解方程时，有时会遇到负数开方的问题，但在实数范围内负数是不能开平方的。为此，需要扩大数系。

我们给出如下的代数形式的复数定义：复数的代数定义：

把有序实数对(x,y)作代数组合所确定的形如x?iy的数称为（代数形式的）复数，记为

z?x?iy，

2

其中，i满足i??1。我们称i为虚单位；实数x和y分别称为复数z 的实部和虚部，并记为x?rez，

y?imz。

特别地，当imz?0时，z?x?i0?rez?x是实数；当rez?0时且

imz?0时，z?iimz?iy称为纯虚数；虚部不为零的复数称为虚数（即不为实数的复数称为虚数）；z?0当且仅当rez?0且imz?0，即复

数0?0?i?0。

z1?z2当且仅当rez1?rez2且imz1?imz2。

2.复数的代数运算

2.1 四则运算

设z1?x1?iy1，z2?x2?iy2为任意两个复数，它们的四则运算定义为: 加法：z1?z2?(x1?x2)?i(y1?y2) 减法：z1?z2?(x1?x2)?i(y1?y2) 乘法：z1z2?(x1x2?y1y2)?i(x1y2?x2y1) 除法：

z1x1x2?y1y2y1x2?x1y2

（z2?0） ??i2222

z2x2?y2x2?y2

2

【注】：

(1).可见，复数的四则运算，可以按照多项式的四则运算进行，只要注意将i换成?1。

(2).关于除法的具体操作可以按两种方法来进行：

①.先看成分式的形式，然后分子分母同乘以一个与分母的实部相等而虚部只相差一个正负号的

复数（在后面将会看到，这被定义为共轭复数），再进行简化；②.用复数z1?x1?iy1除以非零复数z2?x2?iy2，就是要求出这样一个复数z?x?iy，使得

z1?z2?z。按乘法的定义，为求出z需要解方程组

?x2x?y2y?x1

?

?x2y?xy2?y1

2.2 共轭复数

复数x?iy和x?iy互称为对方的共轭复数，如果记z?x?iy，则用记其共轭复数，即

?x?iy?x?iy。

①

复数的公理化定义见附录1 2

对于复数z?x?iy，称z?

x2?y2为z的模或绝对值。

共轭复数和模有下列等式及不等式性质成立

（1）()?z

（2）z??2rez，z??2iimz （3）z?z?x?y （4）?z （5）

z1?z2?1?2 （6）z1z2?1?2 （7）??

2

2

2

?z1?1

???(z2?0) z2?2?

2

（8）z1?z2（9）x?

?z1?z2?z12?1z2?z1?z2?2re(z12)（此即相干叠加原理式.京.

2222

z?z?，y? （由此二式可知，任何实变数的方程原则上都可以用复变数表示 22i

（10）?z?rez?z?rez?imz

（11）?z?imz?z?rez?imz

（12）z1?z2?z1?z2?z1?z2 （三角不等式）（13）(z1?z2)?

第（8）式证明：

n

?c

k?0

n

kn?kn1

z

k

（n?1,2,?）（复数的二项式定理） z2

z1?z2?(z1?z2)(z1?z2)

?(z1?z2)(1?2)?z11?z22?z12?1z2 ?z1?z2?z12?z12?z1?z2?(z12 ?z12)

?z1?z2?2re(z12) （根据z??2rez得）■

2

2

2

22

22

3.复数域

一般地，对一些数形成的集合s，若对s中的数按某种法则规定的四则运算在s中是封闭的，即s中任意两个数经所规定的加、减、乘、除运算后所得的数仍在s中，则称s为一数域。

如有有理数域q、实数域r、复数域c。

复数域与有理数域、实数域不同的是，复数没有大小之分，不能像有理数、实数那样可以比较大小，即复数域不是有序域，而是无序域。尽管复数的实部x和虚部y均为实数，但是由于复数z?x?iy是实部和虚部通过虚单位i联系起来，从而是不能比较大小的.

例：利用复数表示圆的方程

3

a(x2?y2)?bx?cy?d?0

其中a?0，而a,b,c,d是实常数。

解：令z?x?iy，由上述第（3）及第（9）式得

a(x2?y2)?bx?cy?d?a(z)?b

z?z??c?d 22i

11

?az?(b?ci)z?(b?ci)?d

22

1

(b?ci)，故知圆方程的复数表示可以是 2

????d?0，

其中a,d是实数。反之，这种形式的方程就表示一个圆。

记??

【注】：1.这种形式的特点就是两条:z的系数和常数项是实的,而z

与的系数彼此共轭;

2.以后还会看到圆的另外两种复变数表示。它们分别适于不同的场合；

3.由第（9）式可知，任何实变数的方程原则上都可以用复变数

表示。

2 复数的几何表示

1.复数可以表示为复平面上的点或向量

由于一个复数z?x?iy本质上由一个有序实数对(x,y)唯一确定，而

有序实数对(x,y)与平面上给定的直角坐标系上的点，或与从原点到

坐标为(x,y)的点的向量（称为点(x,y)的位置向量，或简称位矢），

可以建立起一一对应关系。于是，可以用坐标平面的点或向量来表

示复数。与复数建立了这种对应关系的坐标平面称为复平面或z平面，也常用表示复数域

的记号c来表示复平面。此时，x轴称为实轴，y轴称为虚轴。【注】：将复数表示为平面向量，这种对应关系使复数的加减法与

向量图1.1 x 的加减法之间保持一致。但是，复数的乘法与平面向量

的乘法（无论是点

积还是叉积）却是不同的。也即把复数当作向量看待时只能针对加

减法意

义（或说只能针对问题中只出现加减法运算时）而言。更准确地说，只能针对加减法及数量乘法（即一实数乘以一向量或复数）而言。

不过即使在这样的情况下也不能说“复数与向量可互为表示”，而只

能说“复数与平面向量可互为表示”，因为一般向量概念还可以是三

维及三维以上的。可见线性代数中的线性空间概念比复数概念更弱。

2.复数可以表示为复球面上的点

除了用平面内的点或向量来表示复数外，复数还有一种几何表示法，它是借用地图制图学中将地球投影到平面上的测地投影法，建立复

平面与球面上的点的对应，也即还可以用球面上的点来表示复数。

取一个与复平面c切于原点的球面，通过原点作垂直于复平面c的

直线与球面相交于另一点n, 称n为北极，而o点为南极。在复平面xoy上任取一点z(x,y)，它与球的北极n的连线相交于球面点