练习(异方差)

练习（异方差）

1 什么是异方差性？举例说明经济现象中的异方差性。检验异方差的方法思路是什么？

2 判断下列各题的对错，并简单说明理由：

（1）在存在异方差的情况下，普通最小二乘法（OLS ）估计量是有偏的和无效的；

（2）如果存在异方差，通常使用的t 检验和F 检验是无效的；

（3）在存在异方差的情况下，常用的OLS 法总是高估了估计量的标准差；

3 简述异方差对下列各项有何影响：

（1）OLS 估计量及其方差；

（2）置信区间；

（3）显著性t 检验和F 检验的使用。

4 试比较说明模型存在异方差时，普通最小二乘法与加权最小二乘法的区别与联系。

5 已知消费模型

t t t t X X Y μααα+++=22110

其中，t Y 为消费支出，t X 1为个人可支配收入，t X 2为消费者的流动资

产，且

0)(=t E μ

212)(t t X Var σμ=（其中2σ为常数）

进行适当的变换消除异方差，并证明

答案

1解答

对于模型i ki k i i i X X X Y μββββ+++++=Λ22110 （i=1,2,…,n ）,如果出现

),,2,1()(2n i Var i i Λ==σμ，即对于不同的样本点，随即干扰项的方差不再是常数，而且互不相同，则认为出现了异方差。

在现实经济运行中，异方差性经常出现，尤其是采用截面数据作样本的计量经济学问题。例如，工业企业的研究与发展费用支出同企业的销售和利润之间关系的函数模型；服装需求量与季节、收入之间关系的函数模型；个人储蓄量与个人可支配收入之间关系的函数模型等。检验异方差性的主要思路就是检验随机干扰项的方差与解释变量观察值的某种函数形式之间是否存在相关性。

2解答

（1）错。当存在异方差情况下，OLS 法估计量是无偏的但不具有有效性。

（2）对。如果存在异方差，通常使用的t 检验和F 检验是无效的。

（3）错。实际情况可能是高估也可能是低估。

3解答

由于异方差性的存在，使得OLS 估计量仍是线性无偏但不再具有最小方差性，即不再有效；而由于相应的置信区间以及t 检验和F 检验都与估计量的方差相关，因此会造成建立的置信区间以及t 检验和F 检验都不再是可靠的。

4解答

当模型存在异方差时，加权最小二乘法得到的估计量仍是BLUE 估计量，而普通最小二乘法得到的估计量则往往不具有最小方差性。当然，OLS 与WLS 都是广义最小二乘法（GLS ）的特例；当WLS 中的权n w w w ===Λ21时，WLS 的参数估计量就是OLS 的参数估计量。

5解答

模型两边同时除以t X 1进行变换，得

t t t t t t t X X X X X Y 11221101μααα+++= 令t t t X Y Y 1*=，t t X X 1*11=，t t t X X X 12*2=，t

t t X 1*μμ=，得 **22*101*t t t t X X Y μααα+++=

可以证明，随机干扰项*t μ是同方差的。证明如下：

2212211*1)(

)(σσμμ===t t t t t X X X Var Var 。