典中点图形的初步认识专训6 线段或角的计数问题
典中点图形的初步认识专训10 图形的初步认识全章热门考点整合应用
典中点图形的初步认识专训10 图形的初步认识全章热门考点整合应用◐名师点金◑本章知识可分为两部分,第一部分是立体几何的初步知识,第二部分是平面几何的初步知识,是初中几何的基础。
本章主要考查立体图形的识别、展开图及从不同方向看立体图形,直线、射线、线段及角的有关计算。
常见的热门考点可概括为:四组概念、两条性质、两种计算、一个方法、四种思想。
考点1：四组概念概念1：立体图形与平面图形1.如图所示的图形中,_________________是立体图形,________________是平面图形.概念2：投影与视图2.如图，若干个小正方体搭建的几何体的主视图和俯视图，则搭建的几何体至少用多少个小正方体（）A. 5B. 6C. 7D. 8概念3：展开与折叠3.把如图所示的图形折成一个正方体的盒子,折好后与“中”相对的字是( )A.祝B.你C.顺D.利(第2题) (第3题)4.把如图①所示的正方体的展开图围成正方体(文字露在外面),再将这个正方体按照如图②依次翻滚到第1格,第2格,第3格,第4格,此时正方体朝上一面的文字为( )A.富B.强C.文D.民概念4：余角与补角5.下列各图中,描述∠1与∠2互为余角关系最准确的是（）A B G D6.如图,已知∠AOB=180°,则下列语句中,描述错误的是( )A.点O在直线AB上B.直线AB与直线OP相交于点OC.点P在直线AB上D.∠AOP与∠BOP互为补角考点2：两条性质(基本事实)性质1：直线的基本事实7.下列事实可以用“两点确定一条直线”来解释的有( )①墙上钉木条至少要两个钉子才能牢固; ②农民拉绳插秧;③解放军叔叔打靶瞄准; ④利用圆规可以比较两条线段的长短关系A.1个B.2个C.3个D.4个性质2：线段的基本事实8.把弯曲的河道改成直的,可以缩短航程,其理由是( )A.经过两点有且只有一条直线B.两点之间,线段最短C.两点之间,直线最短D.线段可以比较大小考点3：两种计算计算1：线段的计算9.如图,已知线段AD=10cm,点B,C都是线段AD上的点,且AC=7cm,BD=4cm.若点E,F分别是线段AB,CD的中点,求线段EF的长。
典中点图形的初步认识专训8 分类讨论思想在线段和角的计算中的应用
典中点图形的初步认识专训8 分类讨论思想在线段和角的计算中的应用 ◐名师点金◑
解答有关点和线的位置关系、线段条数或长度、角的个数或大小等问题时,由于题目中没有给出具体的图形,而根据题意又可能出现多种情况,就应不重不漏地分情况加以讨论,这种思想称为分类讨论思想.需要进行分类讨论的题目,综合性一般较强.
应用1:分类讨论思想在线段的计算中的应用
1.已知线段AB=12,在线段AB 上有C,D,M,N 四点,且AC: CD: DB=1:2:3,AM=21AC,DN=41DB,求线段MN 的长.
2.如图,点O 为原点,点A 表示的数为1,点B 表示的数为-
3.
(1)若点P 在数轴上,且PA+PB=6,求点P 表示的数;
(2)若点M 在数轴上,且MA:MB=1:3,求点M 表示的数;
(3)若点A 的速度为5个单位长度/秒,点B 的速度为2个单位长度/秒,点O 的速度为1个单位长度/秒 A,B,O 同时向右运动,几秒后,点O 恰为线段AB 的中点?
应用2:分类讨论思想在角的计算中的应用
3.如图,已知∠AOC=2∠BOC,∠AOC 的余角比∠BOC 小30°.
(1)求∠AOB 的度数;
(2)过点O 作射线OD,使得∠AOC=4∠AOD,请你求出∠COD 的度数.
4.已知OM 和ON 分别平分∠AOC 和∠BOC.
(1)如图,若OC 在∠AOB 的内部时,探究∠MON 与∠AOB 的数量关系;
(2)若OC 在∠AOB 的外部,且OC 不与OA,OB 重合时,请你画出图形,并探究∠MON 与∠AOB 的数量关系.(提示:分三种情况讨论)。
第一讲 线段与角的计数问题
第一讲 线段与角的计数问题教室 姓名 学号【知识要点】一、定义在直线上任意取出两点之间的部分叫做线段，所取出的两点叫做该线段的端点。
由一点引出两条射线就组成了角。
角有一个顶点，这两条射线都称做角的边，一个角有两条边。
二、线段与角的计数方法仔细观察，寻找规律。
有条理、有次序地计数，才能做到不重复、不遗漏。
1、线段的计数方法：线段总数＝1+2+3+…+n 。
（n 为基本线段数）基本线段就是指内部不含有其他线段的线段。
2、角的计算公式：角总数＝1+2+3+…+n 。
（n 为基本角数）基本角就是指内部不含有其他角的角。
【例题精讲】★例1：数一数，下图中有多少条线段？A B C D E F★例2：下图中有多少条线段？★例3：下图中有几个锐角？★★例4：5个同学打乒乓球，如果每2个人打一盘，一共要打多少盘？★★例5：乘火车从北京到上海，共经过9个火车站（包括北京站和上海站），那么有几种不同的票价（不同的车站之间的票价都互不相同）？有几种不同的火车票？A B C D E F G O A B C D【为了掌握】★1、右图中共有（ ）条线段。
A B C D E F GH★2、右图中有（）条线段。
★3、某班有21名同学，每两人握一次手，一共要握多少次手？★4、右图中有几条线段？★5、放暑假了，三年级（2）班的王老师要求小朋友互相用电话联系，如果每两个小朋友要通一次电话，那么全班24个小朋友一共要通（ ）次电话。
老师也加入进来的话，要通（ ）次电话。
（写出过程）★6、图中有几个锐角？【为了优秀】★★1、右图有几条线段？★★2、右图中有几个角？a1 a2 a3…a7 a8A FB EC D★★3、图中一共有多少条线段？★★4、右图中有多少条线段？【温馨提示】下节课我们将学习图形计数问题，请作好预习。
例1：下图中有几个三角形？例2：图中分别有几个三角形？B C DE。
七九年级数学(上册)典中点(J)课时
典中点七年级数学（J）上册第1章几何图形的初步认识第1节几何图形第2节图形中的点、线、面第3节几何体的表面展开图第4节从不同方向看几何体第5节用平面截几何体第2章有理数第1节正数和负数第1课时正数和负数（一）第2课时正数和负数（二）第2节数轴第3节绝对值第4节有理数的大小比较第5节有理数的加法第1课时有理数的加法法则第2课时有理数的加法运算律第6节有理数的减法第7节有理数的加减混合运算第8节有理数的乘法第1课时有理数乘法法则第2课时有理数的乘法运算律第9节有理数的除法第10节有理数的乘方第11节有理数的混合运算第3章估算与近似数第1节估算第2节近似数第3节科学记数法第4节用计算器进行数的计算第5节感受大数第4章线段角第1节点和线第2节线段长短的比较第3节角和角的度量第4节角的比较第5节角的运算第1课时角的运算（一）第2课时角的运算（二）第5章数量和数量之间的关系第1节用字母表示数第2节代数式第3节数量的表示第1课时数量的表示（一）第2课时数量的表示（二）第4节代数式的值第5节两个数量之间关系的初步认识第1课时两个数量之间关系的初步认识（一）第2课时两个数量之间关系的初步认识（二）第6章整式的加减第1节整式第1课时整式（一）第2课时整式（二）第2节合并同类项第1课时合并同类项（一）第2课时合并同类项（二）第3节去括号第4节整式的加减第1章达标测试卷第2章达标测试卷第3章达标测试卷期中测试卷第4章达标测试卷第5章达标测试卷第6章达标测试卷期末测试卷期末复习专项卷达标测参考答案及点拨课时练参考答案及点拨典中点八年级数学（J）上册第13章一元一次不等式和一元一次不等式组第1节不等式第2节不等式的基本性质第3节一元一次不等式第1课时一元一次不等式的解集第2课时一元一次不等式的解法第3课时一元一次不等式的应用第4节一元一次不等式组第1课时一元一次不等式组的概念第2课时一元一次不等式组的解法第3课时一元一次不等式组的应用第14章分式第1节分式第1课时分式及其基本性质第2课时约分第2节分式的乘除第1课时分式的乘法第2课时分式的除法第3节分式的加减第1课时同分母分式的加减第2课时异分母分式的加减第15章轴对称第1节生活中的轴对称第2节简单的轴对称图形第3节轴对称的性质第4节利用轴对称设计图案第5节等腰三角形第1课时等腰三角形及等边三解形的性质第2课时等腰三角形及等边三角形的判定第3课时含30°角的直角三角形的性质第16章勾股定理第1节勾股定理第2节由边的数量关系识别直角三角形第3节勾股定理的应用于第17章实数第1节平方根第2节立方根第3节实数第1课时实数的概念及意义第2课时实数与数轴及实数的大小比较第4节用计算器开平（立）方第5节实数的运算第1课时二次根式的乘除及化简第2课时二次根式的加减第3课时计算器的使用第18章平面直角坐标系第1节确定平面上物体的位置第2节平面直角坐标系第3节图形与坐标第1课时坐标系中的图形第2课时坐标系中图形的平移和轴对称变换第3课时坐标系中图形的伸缩变换第4节二元一次方程（组）的解和点的坐标第19章随机事件与概率第1节确定事件和随机事件第2节可能性大小第1课时事件发生的可能性大小第2课时频数与频率和概率第3节频率与概率的关系第13章达标测试卷第14章达标测试卷第15章达标测试卷第16章达标测试卷期中测试卷第17章达标测试卷第18章达标测试卷第19章达标测试卷期末测试卷期末复习专项卷达标测参考答案及点拨课时练参考答案及点拨典中点九年级数学（J）上册第27章圆（一）第1节圆的基本概念和性质第1课时圆的基本概念第2课时圆的基本性质第2节圆心角和圆周角第1课时圆心角第2课时圆周角第3节过三点的圆第4节弧长和扇形面积第1课时弧长和扇形面积公式第2课时圆锥的侧面积和表面积第28章一元二次方程第1节一元二次方程第2节解一元二次方程第1课时直接开平方法、配方法解一元二次方程第2课时配方法的应用第3课时公式法解一元二次方程第4课时因式分解法解一元二次方程第3节用一元二次方程解决实际问题第1课时用一元二次方程解决实际问题（一）第2课时用一元二次方程解决实际问题（二）第4节方程的近似解第29章相似形第1节形状相同的图形第2节比例线段第3节相似三角形第4节三角形相似的条件第1课时三角形相似的条件（一）第2课时三角形相似的条件（二）第5节相似三角形的性质习题课（3-5节）第6节相似多边形及其性质第7节位似图形第8节相似三角形的应用第1课时相似三角形的应用（一）第2课时相似三角形的应用（二）第30章反比例函数第1节反比例函数第2节反比例函数的图像和性质第1课时反比例函数的图像第2课时反比例函数的性质第3节反比例函数的应用第31章锐角三角函数第1节锐角三角函数第1课时正切第2课时正弦、余弦第3课时特殊角的三角函数值及三角函数之间的关系第2节锐角三角函数值的求法第3节锐角三角函数的应用第1课时锐角三角函数的应用（一）第2课时锐角三角函数的应用（二）第32章命题与证明（二）第1节等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明第1课时等腰三角形的性质定理及其推论第2课时等腰三角形的判定定理及含30°角的直角三角形的性质定理第2节平行四边形的性质定理和判定定理及其证明第1课时平行四边形的性质定理第2课时平行四边形的判定定理第3课时三角形的中位线的性质定理第3节矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明第1课时矩形的性质定理和判定定理及其证明第2课时菱形的性质定理和判定及其证明第4节等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明第8课时等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明第33章概率的计算和估计第1节用列举法求概率第1课时用列举法求概率第2课时用列举法求概率的应用第2节概率树形图第1课时概率树形图第2课时概率树形图的应用第3节概率的估计第4节几何概率第27章达标测试卷第28章达标测试卷第29章达标测试卷期中测试卷第30章达标测试卷第31章达标测试卷第32章达标测试卷第33章达标测试卷期末测试卷期末复习专项卷达标测参考答案及点拨课时练参考答案及点拨。
2024年北师大版七年级上册数学期末复习阶段拔尖专训9 线段、角的计数问题
【解】图中共有10条射线；当直线上有 n 个点时，共有2 n
条射线.
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阶段拔尖专训
线段的计数问题
3. 如图，直线 l 上有 A ， B ， C ， D ， E 五个点，图中共有
几条线段？若有 n 个点呢？
【解】图中共有1＋2＋3＋4＝10(条)线段；
当直线上有 n 个点时，共有1＋2＋3＋…＋( n －2)＋( n －1)
＝ n ( n －1)(个)角.
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阶段拔尖专训
7. [2024宜宾模拟]在∠ AOB 的内部引一条射线，如图①，则
共有多少个角？在∠ AOB 的内部引两条射线，如图②，
则共有多少个角？在∠ AOB 的内部引三条射线，如图
③，则共有多少个角？若在∠ AOB 的内部引 n 条射线，
如图④，则共有多少个角？
∠AOE ，共4个，以 OB 为始边的角有∠ BOC ，∠ BOD ，
∠ BOE ，共3个，以 OC 为始边的角有∠ COD ，∠ COE ，
共2个，以 OD 为始边的角有∠ DOE ，只有1个，所以图中
共有1＋2＋3＋4＝10(个)角.
当图中有 n 条射线时，共有1＋2＋3＋…＋( n －2)＋( n －1)
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阶段拔尖专训
【解】题图①中共有1＋2＝3(个)角；
题图②中共有1＋2＋3＝6(个)角；
题图③中共有1＋2＋3＋4＝10(个)角；
若在∠ AOB 的内部引 n 条射线，则共有1＋2＋3＋4＋…
小学奥数经典专题点拨：几何图形计数.
几何图形的计数【点与线的计数】例 1如图 5. 45,每相邻的三个圆点组成一个小三角形,问:图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多?(全国第二届“华杯赛”决赛试题讲析:可用“分组对应法”来计数。
将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。
第一排三角形有 1个,其下行线有 2点;第二排三角形有 3个,其下行线有 3点;第三排三角形有 5个,其下行线有 4点;以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。
所以是小三角形个数多。
例 2 直线 m 上有 4个点,直线 n 上有 5个点。
以这些点为顶点可以组成多少个三角形?(如图 5. 46(哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题讲析:本题只要数出各直线上有多少条线段,问题就好解决了。
直线 n 上有 5个点,这 5点共可以组成 4+3+2+1=10(条线段。
以这些线段分别为底边,m 上的点为顶点,共可以组成 4×10=40(个三角形。
同理,m 上 4个点可以组成 6条线段。
以它们为底边,以 n 上的点为顶点可以组成 6×5=30(个三角形。
所以,一共可以组成 70个三角形。
【长方形与三角形的计数】例 1图 5. 47中的正方形被分成 9个相同的小正方形, 它们一共有 16个顶点, 以其中不在一条直线上的 3点为顶点, 可以构成三角形。
在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个?(全国第三届“华杯赛”复赛试题为 3的三角形,或者高为 2,底为 3的三角形,都符合要求。
①底边长为 2,高为 3的三角形有 2×4×4=32(个;②高为 2,底边长为 3的三角形有 8×2=16(个。
所以,包括图中阴影部分三角形共有 48个。
例 2 图 5. 48中共有______个三角形。
(《现代小学数学》邀请赛试题讲析:以 A B 边上的线段为底边,以 C 为顶点共有三角形 6个; 以 A B 边上的线段为底边,分别以 G 、H 、F 为顶点共有三角形 3个;以 B D 边上的线段为底边,以 C 为顶点的三角形共有 6个。
几何中的计数问题(一)(带答案完美排版)
几何中的计数问题（一）几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力.一、数线段我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点.线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素.因此，观察图形中的线段，探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的.例1、数一数下列图形中各有多少条线段.分析：要想使数出的每一个图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就需要按照一定的顺序、按照一定的规律去观察、去数.这样才不至于杂乱无章、毫无头绪.我们可以按照两种顺序或两种规律去数.第一种：按照线段的端点顺序去数，如上图（1）中，线段最左边的端点是A，即以A 为左端点的线段有AB、AC两条以B为左端点的线段有BC一条，所以上图（1）中共有线段2＋1＝3条.同样按照从左至右的顺序观察图（2）中，以A为左端点的线段有AB、AC、AD三条，以B为左端点的线段有BC、BD两条，以C为左端点的线段有CD一条.所以上页图（2）中共有线段为3＋2＋1＝6条.第二种：按照基本线段多少的顺序去数.所谓基本线段是指一条大线段中若有n个分点，则这条大线段就被这n个分点分成n＋1条小线段，这每条小线段称为基本线段.如上页图（2）中，线段AD上有两个分点B、C，这时分点B、C把AD分成AB、BC、CD三条基本线段，那么线段AD总共有多少条线段？首先有三条基本线段，其次是包含有二条基本线段的是：AC、BD二条，然后是包含有三条基本线段的是AD这样一条.所以线段AD上总共有线段3＋2＋1＝6条，又如上页图（3）中线段AE上有三个分点B、C、D，这样分点B、C、D把线段AE分为AB、BC、CD、DE四条基本线段，那么线段AE上总共有多少条线段？按照基本线段多少的顺序是：首先有4条基本线段，其次是包含有二条基本线段的有3条，然后是包含有三条基本线段的有2条，最后是包含有4条基本线段的有一条，所以线段AE上总共有线段是4＋3＋2＋1＝10条.解：①2＋1＝3（条）.②3＋2＋1＝6（条）.③4＋3＋2＋1＝10（条）.小结：上述三例说明：要想不重复、不遗漏地数出所有线段，必须按照一定顺序有规律的去数，这个规律就是：线段的总条数等于从1开始的连续几个自然数的和，这个连续自然数的和的最大的加数是线段分点数加1或者是线段所有点数（包括线段的两个端点）减1.也就是基本线段的条数.例如右图中线段AF上所有点数（包括两个端点A、F）共有6个，所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是6－1＝5，或者线段AF上的分点有4个（B、C、D、E）.所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是4＋1＝5.也就是线段AF上基本线段（AB、BC、CD、DE、EF）的条数是5.所以线段AF上总共有线段的条数是5＋4＋3＋2＋1＝15（条）.二、数角例2、数出右图中总共有多少个角.分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）.解：4＋3＋2＋1＝10（个）.小结：数角的方法可以采用例1数线段的方法来数，就是角的总数等于从1开始的几个连续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加1，也就是基本角的个数.例3、数一数右图中总共有多少个角？解：因为∠AOB内角分线OC1、OC2⋯OC9共有9条，即9+1=10个基本角.所以总共有角：10+9+8+⋯+4+3+2+1=55（个）.三、数三角形例4、如右图中，各个图形内各有多少个三角形？分析：可以采用类似例1数线段的两种方法来数，如图（2）：第一种方法：先数以AB为一条边的三角形共有：△ABD、△ABE、△ABF、△ABC四个三角形；再数以AD为一条边的三角形共有：△ADE、△ADF、△ADC三个三角形；以AE为一条边的三角形共有：△AEF、△AEC二个三角形；最后以AF为一条边的三角形共有△AFC一个三角形.所以三角形的个数总共有4+3+2+1=10.第二种方法：先数图中小三角形共有：△ABD、△ADE、△AEF、△AFC四个三角形.再数由两个小三角形组合在一起的三角形共有：△ABE、△ADF、△AEC三个三角形，以三个小三角形组合在一起的三角形共有：△ABF、△ADC二个三角形，最后数以四个小三角形组合在一起的只有△ABC一个.所以图中三角形的个数总共有：4+3+2+1=10（个）.解：①3+2+1=6（个）② 4+3+2+1=10（个）.答：图（1）及图（2）中各有三角形分别是6个和10个.小结：计算三角形的总数也等于从1开始的几个连续自然数的和，其中最大的加数就是三角形一边上的分点数加1，也就是三角形这边上分成的基本线段的条数.例5、如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析：在数的过程中应充分利用上几例总结的规律，明确数什么？怎么数？这样两个问题.数：就是要数出图中基本线段（基本三角形）的条数；算：就是以基本线段（基本三角形）条数为最大加数的从1开始的连续几个自然数的和.①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）.解：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）.例6、如右图中，共有多少个角？分析：本题虽然与上几例有区别，但仍可以采用上几例所总结的规律去解决.∠1、∠2、∠3、∠4我们可视为4个基本角，由2个基本角组成的有：∠1与∠2、∠2与∠3、∠3与∠4、∠4与∠1，共4个角.由3个基本角组成的角有：∠1、∠2与∠3；∠2、∠3 与∠4；∠3、∠4与∠1；∠4、∠1与∠2，共4个角，由4个基本角组成的角只有一个.所以图中总共有角是：4×3+1=13（个）.解：所以图中共有角是：4×3+1=13（个）.小结：由本题可以推出一般情况：若周角中含有n个基本角，那么它上面角的总数是n×（n－1）+1.课后练习题1、数一数下图中，各有多少条线段？2、数一数下图中各有多少角？3、数一数下图中，各有多少条线段？4、数一数下图中，各有多少条线段，各有多少个三角形？课后练习题参考答案1、①在AB线段上有4个分点，所以它上面线段的总条数为：5+4+3+2+1=15（条）.②在线段AB上有3个分点，所以它上面线段的总条数为：4+3+2+1=10（条）.在线段CD上有4个分点：所以它上面线段的总条数为：5+4+3+2+1=15（条）.∴整个图（2）共有线段10+15=25（条）.③在线段AB上有3个分点，它上面线段的条数为：4+3+2+1=10（条）.在线段CD上有2个分点，它上面线段的条数为：3+2+1=6（条）.在线段EF上有2个分点，它上面线段的条数为6条.所以图（3）上总共有线段10+6+6=22（条）.2、①在∠AOB内有4条角分线，所以共有角：5+4+3+2+1=15（个）；②在∠AOB内有9条角分线，所以共有角：10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（个）；③周角内含有6个基本角，所以共有角：6×（6-1）+1=31（个）.3、①（3+2+1）×7=42；②（6+5+4+3+2+1）×4+（4+3+2+1）×7=21×4+10×7=84+70=154.4、①有线段：（4+3+2+1）×3+（3+2+1）×5=30+30=60（条）有三角形：（4+3+2+1）×3=30（个）；②有线段：（5+4+3+2+1）+5×2+（2+1）=15+10+3=28（条）有三角形：（5+4+3+2+1）×2+5=15×2+5=35（个）.几何中的计数问题（一）几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力.一、数线段我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点.线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素.因此，观察图形中的线段，探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的.例1、数一数下列图形中各有多少条线段.二、数角例2、数出右图中总共有多少个角.例3、数一数右图中总共有多少个角？三、数三角形例4、如右图中，各个图形内各有多少个三角形？例5、如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？例6、如右图中，共有多少个角？课后练习题1、数一数下图中，各有多少条线段？2、数一数下图中各有多少角？3、数一数下图中，各有多少条线段？4、数一数下图中，各有多少条线段，各有多少个三角形？。
阶段核心应用线段、角的计算的常见应用北师大版七年级数学上册典中点习题PPT课件
因为∠AOB＝3∠DOC，
1 1 因为∠AOC＝119°10′， 所以 MB＝ AB＝ ×20＝10(cm)， 所以∠AOC＝∠BOD. 2 2 因为∠AOC＝60°，所以∠AOD＝60°－x°.
11．已知射线OC是∠AOB的平分线，射线OD是∠AOC的 三等分线，且∠AOB＝72°，求∠COD的度数． 解：因为 OC 平分∠AOB，∠AOB＝72°， 所以∠AOC＝12∠AOB＝36°. 分两种情况考虑：
①当 OD 靠近 OA 时，如图①， 因为 OD 为∠AOC 的三等分线， 所以∠AOD＝13∠AOC＝12°， 所以∠COD＝∠AOC－∠AOD＝24°.
综上，∠AOC的度数为50°或170°.
(2)已知∠AOB＝80°，过点 O 作射线 OC(不同于 OA，OB)， 满足∠AOC＝35∠BOC，求∠AOC 的度数．(题目中的角 是小于平角的角) 解：分两种情况：
如图③，设∠BOC＝x°， 则∠AOC＝35x°，由 x＋35x＝80， 解得 x＝50，所以∠AOC＝30°.
BS版七年级上
第四章 基本平面图形
阶段核心应用 线段、角的计算的常见应用
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1．如图，已知线段 AB 的长为 a，延长线段 AB 至点 C，使 BC＝12AB.
(1)求线段AC的长；(用含a的代数式表示) 解：因为 AB＝a，BC＝12AB， 所以 BC＝12a， 因为 AC＝AB＋BC， 所以 AC＝a＋12a＝32a.
四年级数学上册第二单元《线与角》知识点归纳及练习
第二单元《线与角》知识点归纳及练习线的认识1、认识直线、线段与射线，会用字母正确读出直线、线段和射线。
直线：可以向两端无限延伸；没有端点。
线段:不能向两端无限延伸；有两个端点。
射线：可以向一端无限延伸；有一个端点。
（射线只有一种读法，从端点读起）1、画直线。
过一点可画无数条直线；过两点能画一条直线；过三点，如果三点在一条线上，经过三点只能画一条直线，如果这三点不在一条线上，那么经过三点不能画出直线。
若明确两点之间的距离，线段比曲线、折线要短。
（两点之间线段最短）直线、射线可以无限延长。
因为直线没有端点，射线只有一个端点，所以不可以测量，没有具体的长度。
如：直线长4厘米。
是错误的。
只有线段才能有具体的长度。
2、简单图形中的线段1）从基本线段数起。
2）以某一点为左端点数起。
同一条直线上线段的条数级射线的条数都与直线上的点有关。
线段数=点数×（点数-1）÷2，射线数=点数×2例题：某次列车，从沈阳至长春的铁路段沿线有个5个站点（包含沈阳、长春），铁路局需要为这几个站点共需要准备多少种车票？共有多少种不同的票价？（提示：铁路车票是往返的。
）练习题：1、下图中有直线，条射线，条线段。
2、往返南京和上海之间的列车，除了起始站和终点外，还有4个停靠站点，需要几种车票？会有多少种不同的票价？3、探讨几种回家的路：小明到小红家有4条路可以走，小红家到公园有3条路可以走，小明经过小红家到公园，一共有几种不同的走法呢？平移与平行1、感受平移前后的位置关系——平行。
在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线。
2、平行线的画法。
（1）固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线。
（2）用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺。
（3）沿一条直角边在画出另一条直线。
3、能够借助实物，平面图形或立体图形，寻找出图中的平行线。
用数学符号表示两条直线的平行关系。
如：AB∥CD。
平行符号“∥”，读作平行于。
典中点图形的初步认识专训5 巧用角平分线的有关计算
典中点图形的初步认识专训5 巧用角平分线的有关计算
◐名师点金◑
角平分线的定义是进行角度计算的重要依据,因此解这类题要从角平分线找角的数量关系,利用图形中相等的角的位置关系,结合角的和、差关系求解.
训练角度1:角平分线间的夹角问题(分类讨论思想)
1.已知∠AOB=100°,∠BOC=60°,OM平分∠AOB,ON平分∠BOC,求∠MON的度数.
训练角度2:巧用角平分线解决折叠问题(折叠法)
2.如图,将一张长方形纸斜折过去,使顶点A落在A'处,BC为折痕,然后把BE折叠过去,使之落在A'B所在直线上,折痕为BD,那么两折痕BC与BD间的夹角是多少度?
训练角度3:巧用角平分线解决角的和、差、倍、分问题(方程思想)
3.如图,已知∠COB=2∠AOC,OD平分∠AOB,且∠COD=19°,求∠AOB的度数.
训练角度4:巧用角平分线解决角的推理问题(转化思想)
4.如图,已知OD,OE,OF分别为∠AOB,∠AOC,LBOC的平分线,∠DOE和∠COF有怎样的关系?说明
理由.
训练角度5:角平分线与线段中点的结合
5.如图,(1)已知∠AOB=90°,∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,求∠MON的度数.
(2)如果(1)中∠AOB=a,其他条件不变,求∠MON的度数.
(3)如果(1)中∠BOC=β(β<90°),其他条件不变,求∠MON的度数.
(4)从(1)(2)(3)的结果中能得到什么样的规律?
(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系,它们之间可以互相借鉴
解法,请你模仿(1)-(4),设计一道以线段为背景的计算题,给出解答,
并写出其中的规律.。
与线段、角有关的计算问题【课外培优课件】+2024-—2025学年北师大版数学七年级上册
所以∠ DOE ＝∠ AOE －∠ AOD ＝65°－45°＝20°.
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数学 七年级上册 BS版
（2）如图2，若 OF 是∠ AOD 的平分线，则∠ AOE －∠ AOF
＝
1 2
n
°
（用含 n 的代数式表示）.
（2）【解析】因为
OF
平分∠
AOD
，所以∠
图2 AOF
＝
1 2
∠
AOD
.
因为
OE
平分∠
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数学 七年级上册 BS版
【解析】以点 A 为左端点的线段有 AB ， AC ， AD ， AE . 以点 B 为左端点的线段有 BC ， BD ， BE . 以点 C 为左端点的线段有 CD ， CE . 以点 D 为左端点的线段有 DE . 所以 AB ＋ AC ＋ AD ＋ AE ＋ BC ＋ BD ＋ BE ＋ CD ＋ CE ＋ DE ＝（ AB ＋ BE ）＋（ AC ＋ CE ）＋（ AD ＋ DE ）＋（ BC ＋ CD ）＋ BD ＋ AE ＝4 AE ＋2 BD ＝4×12＋2×5＝58（cm）.故答案为58.
（3）若∠ AOE ＝150°，∠ COD ＝2∠ BOC ，求∠ AOB 的
度数.
（3）解：由（2）知，∠
BOD
＝
1 2
∠
AOE
.
因为∠ AOE ＝150°，所以∠ BOD ＝75°，
即∠ BOC ＋∠ COD ＝75°.
因为∠ COD ＝2∠ BOC ，所以∠ BOC ＝25°.
因为∠ AOB ＝∠ BOC ，所以∠ AOB ＝∠ BOC ＝25°.
AOC
，所以∠
AOE
＝
人教版数学二年级上册方法技能分类评价线段及角计数的技巧(含答案)
人教版数学二年级上册方法技能分类评价——线段及角计数的技巧一、仔细推敲,选一选。
(每小题7分,共28分)1.左图一共有()条线段。
①10②8③7 2．时针与分针成钝角的是()。
①7时②9时③12时3．如图,连接两个点画线段,一共能画()条线段。
①8 ②9 ③104．下图所标的4个角中,有()个角是钝角。
①3 ②2 ③1二、算一算,各有多少个角？(每空1分,共13分)1.()＋()＝()(个)2. ()＋()＋()＝()(个)3. ()＋()＋()＋()＝()(个)我发现：数角时,先从单个的角数起,再数由2个、3个……单个的角组成的角,最后把这些角的个数()起来。
三、数一数,填一填。
(每空2分,共24分)()个锐角()个锐角()个锐角()个钝角()个钝角()个钝角()个直角()个直角()个直角()条线段()条线段()条线段四、动手操作,我能行。
(共35分)1．先量出下面这条线段的长度,再在下面画一条比它短2厘米的线段。
(11分)()厘米2．一块三角形纸板,切去1个角,还剩几个角？画线表示。
(12分)还剩()个角还剩()个角3．按要求在下面的平行四边形纸中剪一刀。
(画线表示要剪的位置)。
(12分)3/ 5答案一、1.③【点拨】一共有4＋2＋1＝7(条)线段。
2．①【点拨】7时,分针指向12,时针指向7,时针和分针形成的角比直角大,是钝角；9时,分针指向12,时针指向9,时针和分针形成的角是直角；12时,分针和时针都指向12。
3．③【点拨】一共能画4＋3＋2＋1＝10(条)线段。
4．②【点拨】角1和角2比直角大,是钝角；角3比直角小,是锐角；角4是直角,所以一共有2个钝角。
二、1.2＋1＝32．3＋2＋1＝63．4＋3＋2＋1＝10加【点拨】数角时,先从单个的角数起,再数组合的角,最后把这些角的个数加起来,就是最后角的总个数。
三、112620050566【点拨】数角的个数或线段的条数时,要按照一定的顺序来数,做到不重复、不遗漏。
7年级-上册-数学-第6章《图形的初步知识》专题讲解-图形的计数问题和计算-分节好题挑选
浙教版-7年级-上册-数学-第6章《图形的初步知识》专题训练(一)图形的计数问题类型一、直线和射线的计数问题【例1】平面上有三点，经过每两点作一条直线，则能作出的直线有（）A．1条B．3条C．1条或3条D．以上都不对【例2】如图1，A，B，C是直线l上的三个点，图中的射线共有（）A．3条B．4条C．5条D．6条【例3】（1）观察图①，由点A和点B可确定条直线；观察图②，经过不在同一直线上的三点A，B，C中的任意两点画直线，能画条；图③中经过A，B，C，D四点中的任意两点画直线，能画条。
（2）在同一平面内，有任意三点都不在同一直线上的五个点，过任意两点画直线能画条，若有n个点(n≥2)，最多能画条直线。
类型二、线段的计数问题【例4】图中，共有线段（）A．3条B．4条C．5条D．6条【例5】往返于甲、乙两地的火车，中途停靠3个车站(来回票价一样)，需准备种车票。
【例6】如图所示，线段AB上的点数与线段的总条数有如下关系：当线段AB上有3个点时，线段的总条数为3，当线段AB上有4个点时，线段的总条数为6，当线段AB上有5个点时，线段的总条数为10……（1）当线段AB上有6个点时，线段的总条数为多少？（2）当线段AB上有n个点时，线段的总条数为多少(用含n的式子表示)?（3）当n＝100时，线段的总条数为多少？【例7】如图，从点O 出发的4条射线，可以组成角的个数是()A．4B．6C．8D．10【例8】如图，图中小于平角的角有个。
【例9】如图，在锐角∠AOB 内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角……照此规律，画(n－2)条不同射线，可得锐角个．(n 为大于2的整数)专题训练(二)基本图形中的计算类型一、有关线段的计算【例1】如图，C，D 是线段AB 上的两点，且D 是线段AC 的中点，若AB＝10cm，BC＝4cm，则AD 的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm【例2】已知线段AB＝8cm，C 是直线AB 上一点，BC＝2cm，若M 是AB 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长为（）A．5cm B．5cm 或3cmC．7cm 或3cm D．7cm 【例3】如图，D 是AB 的中点，E 是BC 的中点，BE＝15AC＝3cm，求线段DE 的长．【例4】如图3，B，C 两点把线段AD 分成2∶5∶3三部分，M 为AD 的中点，BM＝6cm，求CM 和AD 的长．【例5】如图，∠AOC，∠BOD都是直角，∠AOD∶∠AOB＝3∶1，则∠BOC的度数是（）A．22.5°B．45°C．90°D．135°【例6】已知∠AOB＝30°，∠BOC＝50°，那么∠AOC的度数为（）A．20°B．80°C．20°或80°D．30°【例7】如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，∠AOC∶∠AOD＝4∶5，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数．【例8】如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOM＝90°.（1）如图①，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数；（2）如图②，若∠BOC＝4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度数．专题训练(一)图形的计数问题-答案【例1】C 【例2】D 【例3】（1）1，3，6；（2）10n（n－1）2；【例4】D 【例5】20【例6】解：（1）当线段AB 上有6个点时，线段的总条数为6×（6－1）2＝15.（2）当线段AB 上有n 个点时，线段的总条数为n（n－1）2.（3）当n＝100时，线段的总条数为100×（100－1）2＝4950.【例7】B 【例8】10【例9】12n(n－1)专题训练(二)基本图形中的计算-答案【例1】B 【例2】B 【例3】解：∵BE＝15AC＝3cm，∴AC＝15cm.∵D 是AB 的中点，E 是BC 的中点，∴DB＝12AB，BE＝12BC，∴DE＝DB＋BE＝12AB＋12BC＝12AC＝12×15＝7.5(cm)．【例4】解：设AB＝2x cm，BC＝5x cm，CD＝3x cm，所以AD＝AB＋BC＋CD＝10x cm.因为M 是AD 的中点，所以AM＝MD＝12AD＝5x cm，所以BM＝AM－AB＝5x－2x＝3x(cm)．因为BM＝6cm，所以3x＝6，所以x＝2，故CM＝MD－CD＝5x－3x＝2x＝2×2＝4(cm)，AD＝10x＝10×2＝20(cm)．【例5】B 【例6】C【例7】解：设∠AOC＝4x，则∠AOD＝5x，∵∠AOC＋∠AOD＝180°，∴4x＋5x＝180°，解得x＝20°，∴∠AOC＝4x＝80°，∴∠BOD＝80°.∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，∴∠DOE＝∠BOE－∠BOD＝10°.又∵OF 平分∠BOD，∴∠DOF＝12∠BOD＝40°，∴∠EOF＝∠DOE＋∠DOF＝10°＋40°＝50°.【例8】解：（1）∵∠AOM＝90°，OC 平分∠AOM，∴∠AOC＝12∠AOM＝12×90°＝45°.∵∠AOC＋∠AOD＝180°，∴∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－45°＝135°，即∠AOD 的度数为135°.（2）∵∠BOC＝4∠NOB，∴设∠NOB＝x，∠BOC＝4x，∴∠CON＝∠BOC－∠NOB＝4x－x＝3x.∵OM 平分∠CON，∴∠COM＝∠MON＝12∠CON＝32x.∵∠BOM＝32x＋x＝90°，∴x＝36°，∴∠MON＝32x＝32×36°＝54°，即∠MON 的度数为54°.。
初中数学研究微专题12 线段与角的概念及计数问题
微专题 12 线段与角的概念与计数问题一、专题介绍本专题涉及直线、射线、线段、角的相关概念和有关线段和角的计数问题.直线、射线、线段、角的概念是学习几何的基础.正确地认识它们的概念，理解它们的性质，对今后学好几何有着非常重要的作用.重要的公理：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短（探求最短路径、最小距离等问题常用到这个公理.）解决线段和角的计数问题的主要方法有：①穷举法；②从特殊到一般的归纳方法；③运用握手模型进行计算.二、例题探究题型一：直线、射线、线段、角的概念例1：下列说法中正确的是.①射线AB 与射线BC 是同一条射线；②线段EF 与线段FE 是同一条线段；③延长直线AB 到点C；④直线、射线、线段中直线最长；⑥若线段AB＝BC，则点B 是线段AC 的中点；⑦有公共端点的线段组成的图形叫角；⑧连接两点间的线段叫作两点间的距离.变式1：下列说法中，正确的有（）①一根拉得很紧的细线就是直线；②连接两点间的直线的长度叫做两点间的距离；③点A、B、C 在同一条直线上，若AC= 1AB，则点C 是线段AB 的中点；2④反向延长线段AB；⑤平角是一条直线.A.1个B.2 个C.3 个D.4 个题型二：直线公理与线段公理的应用例2：下列现象：（1）用两个钉子就可以把木条固定在墙上．（2）从A 地到B 地架设电线，总是尽可能沿着线段AB 架设．（3）植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．（4）把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象有（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）变式 2：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩然后拉一条直的参照线，其运用到的数学原理:（）A.两点之间，线段最短B.两点确定一条直线C.垂线段最短D.过一点有且只有一条直线和已知直线平行变式3：下列说法正确的个数是（）.①连接两点的线中，直线最短；②两条直线相交，有且只有一个交点；③若两条直线有两个公共点，则这两条直线重合；④若AB+BC=AC，则A、B、C 三点共线．A．1 B．2 C．3 D．4题型 3：计数问题例 3：平面内n 条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？探究：（1）第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，则3条直线最多有个交点；（2）第4 条直线和前3 条直线都相交，增加了3 个交点，则4 条直线最多有个交点；（3）第5 条直线和前4 条直线都相交，增加了4 个交点，则5 条直线最多有个交点；……（4）由此断定n 条直线两两相交，最多有多少个交点？变式 4：一列火车从成都站出发，沿途经过8 个站到达重庆站，任意两站票价均不同，假设火车只有硬座，成都到重庆有多少种不同的票价？要准备多少种车票？变式 5：如图，以点O 为顶点，以OA1、OA2、OA3、…、OA n为边的小于平角的角有多少个？。
阶段核心题型几何图形初步认识的常见题型-北师大版七年级数学上册典中点习题课件
6．如图是一个直七棱柱，它的底面边长都是2 cm，侧棱 长是5 cm，观察这个棱柱，请回答下列问题：
(1)这个七棱柱共有多少个面，它们分别是什么形状？哪 些面的形状相同、面积相等？侧面积是多少？ 解：这个七棱柱共有9个面，上、下两个底面是七边 形，7个侧面都是长方形．上、下两个底面的形状相 同、面积相等；7个侧面的形状相同、面积相等． S侧＝2×5×7＝70(cm2)．
(3)这个七棱柱一共有多少个顶点？ 解：n棱柱有(n＋2)个面，2n个顶点，3n条棱．
解：1为1点，2为6解点，：3为4甲点，选4为3②点．和④；乙选①；丙选①和③.
5．如图所示：
由此可推测n(n为大于或等于3的正整数)棱柱有多少个 面？多少个顶点？多少条棱？ 解：n棱柱有(n＋2)个面，2n个顶点，3n条棱．
BS版七年级上
第一章 丰富的图形世界
阶段核心题型 几何图形初步认识的常见题型
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1．下列四种物体中，哪种物体最接近于圆柱？( A )
2．如图是一座房子的平面图，这幅图是由( C )组成的． A．三角形、长方形 B．三角形、正方形、长方形 C．三角形、正方形、长方形、梯形 D．正方形、长方形、梯形
3．下列各组图形中都是平面图形的是( C ) A．三角形、圆、球、圆锥 B．点、线段、棱锥、棱柱 C．角、三角形、正方形、圆 D．点、角、线段、长方体
1解．：下得列到四4的种．几物何体体如中是，圆图哪柱种．(物a体)，最接请近于帮圆柱助？( 他) 们从图(b)中选出合适的立体图形．
解：这个七棱柱一共有21条棱． 7．现有4枚相同的骰子，骰子的展开图如图①所示，这4枚骰子摞在一起后，如图②，相互接触的两个面点数之和都是8，这4枚骰子每 了，你能说出每枚骰子被
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典中点图形的初步认识专训6 线段或角的计数问题
◐名师点金◑
1.几何计数问题应用广泛,解决方法是“有序数数法”,数数时要做到不重复、不遗漏.
2.解决这类问题要用到分类讨论思想及从特殊到一般的思想.
3.回顾线段、直线、角的计数公式,比较这些计数公式的区别与联系.
训练角度1:线段条数的计数问题
1.先阅读文字,再解答问题：
如图,在一条直线上取两点,可以得到1条线段;在条直线上取三点可得到3条线段,其中以1A 为端点 的向右的线段有2条,以2A 为端点的向右的线段有1条,所以共有2+1=3(条)。
(1)在一条直线上取四个点,以1A 为端点的向右的线段有______条,以2A 为端点的向右的线段有______条,以3A 为端点的向右的线段有_________条,共有__________(条).
(2)在一条直线上取五个点,以1A 为端点的向右的线段有_____条,以2A 为端点的向右的线段有______条,以3A 为端点的向右的线段有________条,以4A 为端点的向右的线段有_______条,共有_____+_____+______+_____=_________(条)
(3)在一条直线上取n 个点(n ≥2),共有_____________条线段.
(4)某学校七年级共有6个班进行辩论赛,规定进行单循环赛(每两个班赛一场),那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场?
(5)乘火车从A 站出发,沿途经过5个车站方可到达B 站,那么A,B 两站之间最多有多少种不同的票价?需要安排多少种不同的车票?
训练角度2:平面内直线相交所得交点与平面的计数问题
2.先阅读材料,再解答问题:
为了探究同一平面内的几条直线相交最多能产生多少个交点,能把平面最多分成几部分,我们从最简单
的情形入手,如图所示:
直线条数最多交点个数平面最多分成部分数
1 0 2
2 1 4
3 3 7
………
(1)当直线条数为5时,最多有_________个交点,可写成和的形式为___________;把平面最多分成_______ 部分,可写成和的形式为__________________.
(2)当直线条数为10时,最多有________________个交点,把平面最多分成______________部分.
(3)当直线条数为n时,最多有多少个交点?把平面最多分成多少部分?
训练角度3:关于角的个数的计数问题
3.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点叫做角的顶点如图,如果过∠BAC的顶点A:
(1)在角的内部作一条射线,那么图中一共有几个角?
(2)在角的内部作两条射线,那么图中一共有几个角?
(3)在角的内部作三条射线,那么图中一共有几个角?
(4)在角的内部作n条射线,那么图中一共有几个角?。