离散数学PPT

(2) 是5无理数。 (3) x大于y
(4) 火星上有水。 (5) 2005年元旦是晴天
(6) 大于 2吗？
(7) 请不要吸烟！ (8）这朵花真美丽啊！ (9）我正在说假话.

假命题 真命题
命题 命题
由真推出假，又由假推出真的陈述句称为悖论，凡悖论都
不是命题 。
2 命题与真值的符号化
本书中命题用大写英文字母表示： P, Q, R,, Pi , Qi , Ri
解 在解题时，先将原子命题符号化。 (1) P：张晓静爱唱歌。 Q：张晓静爱听音乐。
显然(1)中“或”为相容或，即P与Q可以同时为真，符号化 为P∨Q.
(3) T：张晓静挑选202房间。 U：张晓静挑选203房间。
由题意可知，(3)中“或”应为排斥或。T，U的联合取值 情况有四种：同真，同假，一真一假(两种情况)。如果也符 号化为T∨U，张晓静就可能同时得到两个房间，这违背题意。 因而不能符号化为T∨U.
第一部分 数理逻辑
数理逻辑又名符号逻辑，是一门用数学方法研究推理过程 的科学。逻辑学主要是研究各种论证。它可以是有意义的一般 论证，也可以是科学理论中的数学证明或结论。建立逻辑学的 主要目的在于探索出一套完整的规则，按照这些规则，就可以 确定任何特定论证是否有效。这些规则，通常称为推理规则。 同其它科学理论一样，也可以把推理理论公式化(由于自然语 言易产生二义性, 用它来表示严格的推理就不合适了)。由于在 逻辑学中使用了符号，故数理逻辑也称为符号逻辑。
一定是素数。
解 (1) 有两个原子命题P 和Q , 其中 P : 明天天气好。 Q : 我去春游。
(2) 有两个原子命题R 和S , 其中 R : 10是一个大于１的整数。 S : 10的大于１的最小因数是素数。
多个原子命题由联结词和圆括号联结起来构成的命题称为复 合命题。
复合命题的真假值只与原子命题的真假值有关。
如何达到只能挑一个房间的要求呢？可以使用多个联结词， 符号化为 (T∧┐U)∨(┐T∧U)
(2) R：张晓静是江西人。 S：张晓静是安徽人。
易知，(2)中“或”应为排斥或，但不可能同时为真，可 符号化为R∨S.
4 蕴涵联结词→ 定义 1.4 若P,Q是两个命题, 则由蕴涵词→和命题P,Q组成的复合 命题 P→Q 称为P,Q的蕴涵式, 读作“如果P, 则Q”。
P→Q 的真值定义为
P→Q 为假 当且仅当P为真而Q为假
因此, P 为假时, 不管Q 为真还是为假, P→Q 都为真;
而P,Q同时为真时, P→Q 也为真。
复合命题 P→Q 的真值表：
P
0 0 1 1
Q
P→Q
0
1
1
1
0
0
1
1
例5 设有命题P, Q为 P : ∠1和∠2是对顶角。 Q : ∠1＝∠2
第一章 命题逻辑
命题逻辑是数理逻辑的基本组成部分. 本章重点：命题、命题的符号化、命题联结词及其真值、 命题公式及其赋值 本章难点：命题公式及其赋值
1.1 命题及命题联结词
一、 命题及其表示法
1 命题的概念
能够判断真假的陈述句称作命题。 真值 ：作为命题的陈述句所表达的判断结果
真值只能取两个：真或假。 因为只有两种真值，所以这种逻辑有时称为二值逻辑。
例３ 设有命题P,Q为
P : 吴颖用功。 Q : 吴颖聪明。
则P,Q的合取式 P∧Q 为 P∧Q : 吴颖既用功又聪明。
或P∧Q : 吴颖不仅用功而且聪明。
3 析取联结词∨ 定义 1.3 若P,Q是两个命题, 则由析取词∨和命题P,Q组成的复合 命题 P∨Q 称为P,Q的析取式, 读作“P或Q”。 P∨Q 的真值定义 为
P∧Q为真当且仅当P,Q都为真 因此, P,Q同时为假或一真一假时, P∧Q 都为假。
复合命题P∧Q 的真值表：
P
0 0 1 1
Q
P∧Q
0
0
1
0
0
0
1
1
合取词∧是自然语言中的连接词“并且”、 “和”、 “及”、“与”“既又”、“不但…，而且…”、 “虽然…，但是…”、“一面…，一面…”等的逻辑抽象。
二、联结词
1 否定联结词﹁ 定义 1.1 若P是一个命题, 则由否定词┐和命题P组成的复合命 题┐P称为P的否定式, 读作“非P”。 ┐P的真值定义为
┐P为真 当且仅当P为假
命题┐P和P的关系可以用下表表示。 称为┐P的真值表。
P
﹁P
0
1
1
0
2 合取联结词∧
定义 1.２ 若P,Q是两个命题, 则由合取词∧和命题P,Q 组成的复合命题 P∧Q 称为P,Q的合取式, 读作“P且Q”。 P∧Q 的真值定义为
P∨Q为真当且仅当 P,Q 至少有一个为真 因此只有P,Q同时为假时, P∨Q 才为假。
复合命题 P∨Q 的真值表：
P
Q
P∨Q
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
自然语言的或有二义性,用它联结的命题有时是相容 的,有时是排斥的,对应称为相容或与排斥或
例1.3 将下列命题符号化。 (1) 张晓静爱唱歌或爱听音乐。 (2) 张晓静是江西人或安徽人。 (3) 张晓静只能挑选202或203房间。
则蕴涵式P→Q为 P→Q : 若∠1和∠2是对顶角, 则∠1＝∠2。
这时我们也说“P是Q的充分条件”, 或“Q是P的必要条
件”。 注意： 在使用联结词→时，要特别注意以下几点：
1．在自然语言里，特别是在数学中，Q是P的必要条件有许多 不同的叙述方式。例如，“只要P，就Q”，“因为P，所以 Q”，“P仅当Q”，“只有Q才P”，“除非Q才P”，“除非 Q，否则非P”等等。以上各种叙述方式表面看来有所不同， 但都表达的是Q是P的必要条件，因而所用联结词均应符号化 为→，上述各种叙述方式都应符号化为P→Q.
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
P : 4是素数. Q : 5是无理数
用1 和 0 分别表示“真”和“假”, 于是命题的真值 取值为1或0.
3 原子命题与复合命题
不能分解成更简单的语句的命题称为原子命题。 原子命题中的“原子”取原子的“不可再分”之意, 它是最基本 的命题, 相当于自然语言的简单陈述句。
例２ 下面的命题由哪些原子命题组成: (1) 只要明天天气好, 我就去春游。 (2) 如果10是一个大于１的整数, 则10的大于１的最小因数