-向量的内积与施密特正交化过程

3
3
(3, 1) (1, 1)
1
(3, 2 ) (2, 2)
2
(0,1,1)T
1 2
(1, 0,1)T
1 3
1 2
(1, 2, 1)T
2 (1,1,1)T 3
单位化得1
1
1
1
1 (1, 0,1) 2
2
1
2
2
1 (1, 2, 1) 6
3
1
3
3
1 (1,1,1) 3
3. 正交矩阵与正交变换
X1, X 2 Rn Y1 CX1,Y2 CX 2
则有 ( X1, X 2 ) (Y1,Y2 )
即正交变换下向量内积不变。由于正交 变换保持向量长度、内积不变，因而保 持两向量夹角及正交性不变，因此施以 正交变换后图形的几何形状不变，因此 可利用正交变换研究图形的几何性质。
(1).非负性： 0; 0当且仅当
。 ；
(2).齐次性： k k
；
(3).三角不等式：
以上性质证明留给读者。
0
(4).柯西不等式：(, ) 证略。
由柯西不等式得： ( , ) 1
由此可定义两非零向量的夹角：
；
或
cos ( , )
arc cos ( , )
即为与 1,2
都正交的向量集
2.施密特正交化方法 设 1,2 , ,r
是线性无关的向量组，寻找一个标准正交向量组
，
1, 2 , , r 使其与 1,2 , ,r 等价。
其作法分两步(1).正交化，令
1 1
2
2
( 2 , 1) (1, 1 )
1
，
3
3
(3 , 1) (1, 1)
1
(3 , 2 ) (2, 2)
对于两非零向量
,
当
2
时，称两向量正交。这里显然等价于
(, ) 0 因此可利用内积定义两向量正交。
定义3 若 (, ) 0 称 , 正交，记 , 中只要有一个为零向量，必有 ( , ) 0
又零向量与任何向量看作是正交的，且
。
因此可利用内积定义两向量正交。
定义4 设向量组 1,2 , ,r
例3令
1
2
0
1 2
0
1
A
2
0
1 2
0
0
1
0
2
1
2
0
1
0
2
1 2
验证A为正交矩阵
解：因列向量组为两两正交
的单位向量，故为正交矩阵 。
定义6 设 X ,Y Rn则称线性变换
Y AX 是正交变换。
例4 证明线性变换
x cos x sin y
y
sin
x
cos
y
是正交变换。
解：线性变换的矩阵为
定义5方阵A满足
AAT I
则称A为正交矩阵。由定义不难得到：
A为正交矩阵 AT A1
。
令
A
12TT
(1,
2,
, n )
T n
由上式不难得到：A为正交矩阵
(iT
,
T j
)
1, 0.
i i
j j
(i
,
j
)
1, 0.
i j i j
即A的行（列）向量是两两正交的单位向量
即是 Rn 的正交规范基）
1,2 , ,r 是线性无关的。
例1 求与向量 1 (1,1,1,1)T ,2 (1,0,1,0)T
都正交的向量集。
解：设与 1,2 都正交的向量为
x (x1, x2 , x3, x4 )T 由
1T x 0
T 2
x
0
得齐次线性方程组
x1 x1
x2 x3
x3 x4
x4 0
0
解得 x k1(1,0,1,0)T k2(1,0,0,1)T
2
，
， ……
r
r
(r , 1) (1, 1)
1
(r , 2 ) (2, 2)
2
wk.baidu.com( (r
r , r1) 1, r1)
r
1
(2). 单位化（规范化）：取
1
1 1
,2
2 2
,
,r
r r
,
1,2, ,r 是正交规范向量组，且
显然 1,2, ,r 仍与 1,2 , ,r
等价。上述过程称Schmidt（施密特）正交 化过程。（方法）
为两两正交的非零向量， 称其为正交向量组。
。
如果正交向量组中。每个向量还是单位向量 量则称其为标准正交向量组或正交规范向 量组。如它们还是向量空间的基底则分别称 其为正交基或标准（规范）正交基。即正交 规范组（基）满足
1 i j (i,j) 0 i j i 1,2, ,r
定理1 设 1,2 , ,r 为正交向量组，则
二次型
二次型化标准型
一.向量的内积与施密特正交化过程
引言：在几何空间，我们学过向量的长 两向量夹角的概念，并由此定义两向量 的数量积
， cos
利用坐标分别有下面计算公式：， 设
设 (a1, a2, a3)T , (b1,b2,b3)T
（设
则 a12 a22 a32 , a1b1 a2b2 a3b3
的内积定义为
( , ) T T a1b1 a2b2 anbn
并称定义了内积的向量空间为欧氏空间
内积具有下列性质：
(1)(, ) (,)
（交换性）;
(2)(k, ) k(, ) (, k )
(3)(, ) (, ) (, ) k为数（性质(2)，
( , ) (, ) ( , )
cos
a1b1 a2b2 a3b3
a12 a22 a32 b12 b22 b32
0, 0
为了今后应用的需要，将这些概念 及公式推广到n维向量。
1. 向量的内积 定义1
n维向量空间 Rn 中任两个向量
(a1, a2, , an )T , (b1,b2, ,bn )T
例2 设 1 (1, 0,1)T ,2 (1,1, 0)T ,3 (0,1,1)T
用Schmidt正交化过程将其化为标准正交组。 解：取 1 1 (1, 0,1)T
2
2
(2, 1) (1, 1)
1
(1,1, 0)T
1 (1, 0,1)T 2
(1 ,1, 1)T 22
1 (1, 2, 1)T 2
cos sin
sin
cos
其行（列）向量是两两正交的单位向量 故为正交矩阵，故上述线性变换是正交 变换。上述线性变换代表平面上的一个 坐标旋转，因此平面上的坐标旋转变换 是正交变换
下面介绍正交变换的性质：1）.设 Y CX
为一正交变换，则 X Y
即正交变换保持向量长度不变。2）设 Y CX 为一正交变换，对任意
(3)称单线性）
（
(4)( , ) 0; ( , ) 0当且仅当 0
。
以上证明留给读者。
定义2 设
(a1, a2 , , an )T
( , ) a12 a22 an2
称向量 ，
的长度。长度为1的向量称单位向量。 设 0
0 1
，即为一单位向量。称将
单位化。
向量的长度有下列性质：