行列式的计算方法

摘要行列式是高等代数中重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用.通过对行列式基本理论的介绍，针对不同类型的行列式，结合具体例题，介绍行列式的计算方法，其中包括降阶法，升阶法，数学归纳法等.关键词：行列式；范德蒙行列式；计算AbstractThe determinant is an important content of higher algebra, which having wide application in mathematics. Through the introduction of the basic theory of the determinant, combined with concrete examples, the calculation for different types of determinant are introduced, which including the reduction method, order method, mathematical induction, and so on.Key words: determinant；vandermonde determinant；calculation目录摘要 (I)Abstract (II)第1章行列式的形成和性质 (1)第1节行列式的发展史 (1)第2节行列式的性质 (2)第2章行列式的计算方法 (4)第1节化三角形法 (4)第2节降阶法 (8)第3节递推法 (9)第4节加边法 (11)第5节拆行（列）法 (12)第6节数学归纳法 (14)结论 (16)参考文献 (17)致谢 (18)第1章行列式的形成和性质行列式是高等代数中基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要. 通过对一系列行列式计算方法的介绍，进一步提高对行列式的认识，对以后的学习带来十分有益的帮助. 行列式是线性代数中的一个基本工具. 无论是高等数学领域里的高深理论，还是现实生活里的实际问题，都或多或少地与行列式有着直接或间接的联系. 行列式的计算具有一定的规律性和技巧性.行列式是在解决实际问题中被创建的，它有着自身的特点和性质，对于行列式的计算是应用行列式解决其它问题的基础.第1节行列式的发展史行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具. 行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的. 1693年4月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件. 同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法.在行列式的理论方面，又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西. 1815 年，柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统地、几乎是近代地处理. 其中主要结果之一是行列式的乘法定理. 另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列式概念；改进了拉普拉斯的行列式展开定理，并给出了一个证明等.继柯西之后，在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比(J.Jacobi,1804-1851) ，他引进了函数行列式，即“雅可比行列式”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式. 雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建成. 由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在19世纪也得到了很大发展.整个19 世纪都有行列式的新结果.除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其它定理都相继得到.第2节 行列式的性质性质1 行列式的行与列互换，其值不变.注 性质1说明了行列式对行成立的性质, 对列也成立.性质2 n 阶行列式||ij D a =对任一行（列）按下式展开，其值相等11221ni i i i in ij ik ik k D a A a A a A a A ==++⋅⋅⋅+=∑或11221nj j j j nj nj kj kj k D a A a A a A a A ==++⋅⋅⋅+=∑．性质3 用数k 乘行列式||ij D a =的某一行（列），等于以数k 乘此行列式. 推论1 某行（列）元素全为零的行列式其值为零.推论2 如果行列式某行（列）的所有元素有公因子，则公因子提到行列式的外面. 性质4 如果行列式的某一行的每一个元素都可以写成两个数的和(1,2,,)ij ij b c j n +=⋅⋅⋅，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式的第i 行元素分别为ij b 与ij c (1,2,,)j n =⋅⋅⋅，其它位置的元素与原行列式相同.推论1 如果行列式的某一行（列）的每一个元素都可以写成m 个数的和，则此行列式可以写成m 个行列式的和.性质5 行列式中两行（列）对应的元素全相等，其值为零.即当,1,2,,ik ij a a k n ==⋅⋅⋅时，有11121121212n i i inj jjn n n nna a a a a a D a a a a a a ==.推论1 如果行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零. 性质6 将行列式中某行（列）的所有元素同乘以数k 后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变.性质7 行列式||ij D a =的两行（列）互换，行列式的值反号.性质8 将行列式某一行（列）的元素乘另一行（列）对应位置的元素的代数余子式之和其值为零，即112210,()nkikj i j i j ni nj k aA a A a A a A i j ==++⋅⋅⋅+=≠∑， 112210,()n ikjk i j i j in jn k aA a A a A a A i j ==++⋅⋅⋅+=≠∑.性质9 拉普拉斯（ Laplace ）展开式（1）111111111111111111110000n nmn nn n m n nn m mmm mnm mma a a ab b a ac c b b a a b b c c b b =⋅.（2）11111111111111111111(1)000n n nmn nn n nn mnn n nn m mmm mnc c a a a a b b c c a a b b a a b b b b =-⋅.第2章 行列式的计算方法行列式的计算灵活多变，需要有较强的技巧. 当然，任何一个n 阶行列式都可以由它的定义去计算其值. 但由定义可知，n 阶行列式的展开式有!n 项，计算量很大，一般情况下不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法．值得注意的是，在应用定义法求非零元素乘积项时，不一定从第1行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始. 接下来要介绍计算行列式的两种最基本方法: 化三角形法和按行（列）展开法.第1节 化三角形法化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法. 因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式, 将行列式化为三角形行列式计算.例1 计算行列式12312341345121221n n n n D n n n -=--．分析 若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以要充分利用行列式的性质. 注意到从第1列开始；每一列与它前一列的个数是差1的，根据行列式的性质，先从第1n -列开始乘以1-加到第n 列，第2n -列乘以1-加到第1n -列，一直到第1列乘以1-加到第2列. 然后把第1行乘以1-加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了.解1(2,,)11111111112111110003111121111100i n i n r r n n D n n n n n n =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅1(1)(2)12(1)12(2,,)11000000100020011(1)200200000101(1)()(1)2(1)(1)2in n n n n n i n r r n nn n nn n n nn n n n n n n n n n n n -----=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅+=⋅⋅-⋅-+=⋅⋅-.例1中，显然是1,2,,1,n n ⋅⋅⋅-这n 个数在循环，那么如果是0121,,,n n a a a a --⋅⋅⋅这n 个无规律的数在循环，行列式该怎么计算呢？把这种行列式称为“循环行列式”.例2 求下列行列式012110122341123n n n a a a a a a a a D a a a a a a a a ---=．其中，,0,1,, 1.i a c i n ∈=-解 令012110122341123n n n a a a a a a a a A a a a a a a a a ---=．首先注意，若u 为n 次单位根（即1n u =），则有111111111111111010112010222230123112212001201111()()n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a u a u a a u a u a u a u a u a a u a u u A u a u a u a u a a u a u u a a u a u a u a u a u ua a u a u f u u u ---------------------++++++++++++⋅==++++++++++++=+++⋅=⋅12n uu u -⋅其中1011()n n f u a a u a u --=+++，设22cossin k kw n nππ=+i 为n 次原单位根，则1,1(0)n k w w k n =≠<<．于是211,,,,n w w w -互异且为单位根.记2(1)1,(0,1,,1),jjj n jw w j n w w -==- 方阵011(,,,)n w w w w -=．则由上述知()i j j A w f w w ⋅=⋅．故0110101100111(,,,)((),(),,())()(,,,).(n n n n n Aw Aw Aw Aw f w w f w w f w w f w w w w f w -----===⋅）因为122(1)0111(1)(1)1111(,,,)11n n n n n n w w w w w w w w w w ------== 为范德蒙行列式. 所以||0w ≠.从而有1||(1)()()||||n Aw w f f w f w A w -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅ ||.所以1||(1)()()n n A D f f w f w -==⋅⋅⋅⋅⋅⋅.因为例1中，循环的方向与该推广在方向上相反,11120'12n n n n a a a a a a D a a a ---=而n D 与'n D 只差(1)(2)21n n --（－）个符号，(1)(2)'12(1)()()n n n n D f f w f w ---⋅⋅⋅⋅=(-1).从而，有01,1,,)(1,2,,)n a a a n -=（时，对单位根(1)(2)21n n --（－），总有21()123n f u u u nu -=+++⋅⋅⋅+.(1)2(1)12n n f n +=++⋅⋅⋅+=．所以21()()1n f u uf u u u u n n --=+++⋅⋅⋅+-=- .即()1nf u u-=-. 又12111()11n n k n k x x w x x x x --=-=-=+++⋅⋅⋅+-∏， 令1x =，则有11(1)111 n kk w n -=-==∏＋＋＋．从而有(1)(2)'12(1)(2)1221(1)1211(1)2(1)12(1)()()(1)111()()2111(1)(1)2(1)1(1)21(1).2n n n n n n n n n n n n k k n n nn n n D f f w f w n n n w wwn n nw n n nn n ----------=---=⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅-⋅⋅⋅⋅---+-⋅⋅=-+-⋅⋅=+=-⋅⋅∏(-1)(-1)与例1的答案一致.第2节 降阶法设||n ij D a =为n 阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有1122(1,2,,)n i i i i in in D a A a A a A i n =++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅，或1122(1,2,,)n j j j j nj nj D a A a A a A j n =++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅.其中ij A 为n D 中的元素ij a 的代数余子式.按行（列）展开法可以将一个n 阶行列式化为n 个1n -阶行列式计算. 若继续使用按行（列）展开法，可以将n 阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法－降阶法. 但一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用．因此，应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，再按该行（列）展开.例1 计算20阶行列式20123181920212171819321161718201918321D =． 分析 这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算，需进行20!201*-次加减法和乘法运算，更何况是n 阶. 但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果.注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算.解112020118(1,(2,,20)19)1111111231819202111112121718193111113211617181911111201918321201111111111130222240022221(1)22120000022100000i ii i i c c r r D ++==-+---=---------=⨯-⨯=-⨯182⋅化三角形法和降阶法是计算行列式最基本的两种方法，接下来介绍的一些方法，不管是哪种，都要与行列式的性质和基本方法结合起来.第3节 递推法应用行列式的性质，把一个n 阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，1n -阶或2n -阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式. 根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n 阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法.注意用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构，如果没有，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法.例1 计算行列式0001000101n D αβαβαβαβαβαβ++=++．αβ≠其中.分析 此行列式除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式. 从行列式的左上方往右下方看，即知1n D -与n D 具有相同的结构. 这时可以用1n D -和2n D -表示n D 的递推关系式. 若由上面的递推关系式从n 阶逐阶往低阶递推， 可考虑利用递推关系式计算.证明 n D 按第1列展开，再将展开后的第二项中1n -阶行列式按第一行展开，有12n n n D D D αβαβ=－－（＋）－.因此，可考虑将其变形为11212n n n n n n D D D D D D αβαββα－－－－－－＝－＝（－）. 或11212n n n n n n D D D D D D βααβαβ－－－－－－＝－＝（－）. 现可反复用低阶代替高阶，有231122334()()()n n n n n n n n D aD D D D D D D βαβαβα--------=-=-=-()()22221()n n n D D βαβαβαβααββ--⎡⎤=-=+--+=⎣⎦同样有231122334()()()n n n n n n n n D D D D D D D D βαβαβαβ--------=-=-=-()()22221()n n n D D αβααβαββαβα--⎡⎤=-=+--+=⎣⎦．因此，当αβ≠时,11n n n D αβαβ++-=-. 总结 虽然从一个行列式中可以看出有低阶的相同的结构，然后得到一递推关系式，但不要盲目乱代，一定要看清这个递推关系式是否可以简化计算，如果不能简化计算，就要适当地换递推关系式，如本题.第4节 加边法有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列，再进行计算，这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法. 当然，加边后必须是保值的，而且要使所得的高一阶行列式较易计算. 要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列. 加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分别为1n -个元素的倍数的情况.加边法的一般作法是1111111111121221222121111100000n nnn n n n n n nnn nnnn nna a a a a ab a a a a D a a b a a a a a a b a a ===. 特殊情况，取121n a a a ==== 或 121n b b b ====.注 加边法不是随便加一行一列,关键是观察每行或每列是否有相同的因子. 例1 计算n 阶行列式211212212212212111n n n n x x x x x x x x x x D x x x x x ++=+．分析 先把主对角线的数都减1，看出第一行为1x 与12,,,n x x x 相乘，第二行为2x 与12,,,n x x x 相乘，……，第n 行为n x 与12,,,n x x x 相乘. 该行列式每行有相同的因子12,,,n x x x ，从而，就可考虑此法.解11112122112121221222121212121211(1,,)(1,,)110110001010011101001.001001i i i i n n n n n n n n ni n i ni i n i n r x r c x c i n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++==+=-+=+-+-+-+=+∑∑注意 加边法最大的特点就是要找出每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可利用行列式的性质把绝大部分元素化为零，然后再化为三角形行列式，这样就达到了简化计算的效果.第5节 拆行（列）法由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之积，计算其值，再得原行列式值，此法称为拆行（列）法.由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素，而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同，利用行列式的这一性质，有时较容易求得行列式的值.例1 设n 阶行列式1112121222121n n n n nna a a a a a a a a =.且满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=对任意数b ，计算n 阶行列式=n D 111212122212n n n n nn a b a b a b a b a b a b a b a ba b+++++++++.分析 该行列式的每个元素都是由两个数的和组成，且其中有一个数是b ，显然用拆行（列）法.解1112111121121212222122222212122n n n n n n n n n nn n n nn n nn a b a ba b a a b a b ba b a b a b a b a b a a b a b b a b a b D a b a b a b a a b a b b a b a b++++++++++++++==++++++++11121111121212222122221212111n n n n n n n n nn n nn n nn a a a b a ba b a a a a a b a b a b a a ba a ab a ba b a a ++++=++++11121111121212222122221212111111n n n n n n n n nnn nnn nna a a a a a a a a a a a a a bb a a a a a a a =+++21111nni i i i b A b A ===+++∑∑,11nij i j b A ==+⋅∑又令nnn n nn a a a a a a a a a A212222111211=, 且,,1,2,,ij ji a a i j n =-=.所以有1A =，且'A A =-．由1||A A A *-=,得1||A A A ⋅=－＊.A A ⋅＊＝E .所以1A A ＊－＝.又*111*)()'()'()'(A A A A A -=-===---，所以*A 也为反对称矩阵. 又(,1,2,,)ij A i j n =为*A 的元素，所以有1,10nij i j A ===∑．从而知1,111nn ij i j D bA ===+=∑.第6节 数学归纳法一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明.数学归纳法一般是用来证明行列式等式. 因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以先给定其值，然后再去证明.例1 证明：2cos 100012cos 100012cos 00sin(1)(sin 0)sin 0002cos 1012cos n n D θθθθθθθθ+==≠.证明 当1,2n =时，有θθθsin )11sin(cos 21+==D ,θθθθθsin )12sin(1cos 4cos 211cos 222+=-==D . 结论显然成立.现假定结论对小于等于1n -时成立. 对n 阶行列式将n D 按第1列展开，得(1)(1)122cos 1002cos 00012cos 0012cos 00002cos 1002cos 1012cos 012cos 2cos sin(11)sin(21)2cos sin sin 2cos sin sin(1)sin 2cos sin sin cos co n n n n n D D D n n n n n n θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ----=-=⋅--+-+=⋅-⋅--=⋅-⋅+=s sin sin sin cos cos sin sin sin(1)sin n n n n θθθθθθθθθθ⋅⋅+⋅=+=⋅故结论对n 时，等式也成立.结论行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使我们有必要对行列式进行较深入地认识，行列式是在解决实际问题中被创建的，它有着自身的特点和性质.本论文主要对行列式的计算方法进行简单地归纳总结行列式的计算是应用行列式解决其它问题的基础，而行列式的计算方法并不是唯一的，本文主要针对行列式的特点，应用行列式的性质，提供了6种计算行列式的常用方法：化三角形法，按行（列）展开法，递推法，加边法，拆行（列）法，数学归纳法，但这几种方法之间不是相互独立，而是相互联系的，一个行列式可能有几种解法，这就要求我们在掌握了行列式的解法之后，灵活运用，找到一种最简便的方法，使复杂问题简单化，有时几种方法结合着用效果更好．由于我的学识和经验有限，论文中可能会存在这样或那样的不足,望批评指正.参考文献[1] 李师正，高等代数复习解题方法与技巧 [M]，北京：高等教育出版社，2005:5-7[2] 张贤科，许甫华，高等代数学 [M]，北京：清华大学出版社，2002:22-27[3] 张禾瑞，郝鈵新，高等代数 [M]，北京：高等教育出版社，2000:17-19[4] 许甫华，张贤科，高等代数解题方法 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