1 常微分方程的基本知识

u
u
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例3 R-L-C电路 电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电 路中电流强度I与时间t之间的关系.
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解: 根据题设,每个病人每天可使
λs(t )个健康者变为病人.
由于病人总人数为 Ni (t ), 所以每天共有λ Ns (t )i (t )个健康者被感染.
di 于是病人增加率为 N = λNsi , dt 又因s (t ) + i (t ) = 1, 再由初始条件得
di = λi (1 − i ) dt
dy1 = y2 dx dy2 = y3 dx M dyn −1 = yn dx dyn = f ( x, y1 , y2 ,L , yn ) dx
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dn y = n dx
dy dn y f x, y, ,L, n dx dx
即
f ( x) = ∫ 2 xdx + C = x 2 + C.
又由条件: 曲线过(1,3), 即 于是得
f (1) = 3,
2
C = 2. 故所求的曲线方程为:
y = x + 2.
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基本概念
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一、常微分方程与偏微分方程
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2. 求平面上过点 求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标 倍 且每点切线斜率为横坐标2倍 且每点切线斜率为横坐标
的曲线所满足的微分方程. 的曲线所满足的微分方程
解: 设所求的曲线方程为
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y = f (x).
由导数的几何意义, 应有
f ' ( x ) = 2 x,
dy (1) = 2 x; dx
2
(2) xdy − ydx = 0 ;
3
d x dx (3) + tx + x = 0; 2 dt dt
d 4x d 2x ( 4) + 5 2 + 3 x = sin t ; 4 dt dt
都是常微分方程
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∂z ∂z (5) + =z ; ∂x ∂y
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∂ 2u ∂ 2u (6) + 2 + x + y − uz = 0 . 2 ∂y ∂x
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1.常微分方程 常微分方程 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个， 则这样的微分方程称为常微分方程 常微分方程. 常微分方程 如
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微分方程:
联系着自变量,未知函数及其导数的关系式. 为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是 要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学 模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方 程,下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模 型的过程.
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二、微分方程的阶 定义： 定义 ： 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或 微分的阶数称为微分方程的阶数. 微分的阶数称为微分方程的阶数. 如:
dy (1) = 2x dx
(2) xdy − ydx = 0
是一阶微分方程；
d x dx (3) + tx + x = 0 2 dt dt
如 (1) dy = 2 x
n
dx
(2) xdy − ydx = 0
是线性微分方程.
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d 4x d 2x ( 4) + 5 2 + 3 x = sin t 4 dt dt
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不是线性方程的方程称为非线性方程 如
d x dx (3) + tx + x = 0 2 dt dt
一般要求解出最高阶导数： 一般要求解出最高阶导数：
dny dy dny = f x, y , , L , n n dx dx dx
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通过引入n-1个新的未知变量，可以把n阶微分方程 个新的未知变量，可以把 阶微分方程 通过引入 个新的未知变量 化为n个由一阶微分方程组成的微分方程组 个由一阶微分方程组成的微分方程组： 化为 个由一阶微分方程组成的微分方程组： dyn −1 d n y dy1 dy2 d 2 y y1 = y, y2 = , y3 = = 2 , L , yn = = n dx dx dx dx dx
dI Q e(t ) − L − RI − = 0. dt C
dQ , 于是得到 因为 I = dt d 2 I R dI I 1 de(t ) + + = . 2 dt L dt LC L dt
这就是电流强度I与时间t所满足的数学关系式.
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例4 传染病模型: 长期以来,建立传染病的数学 模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关专 家和官员关注的课题.人们不能去做传染病传播的 试验以获取数据,所以通常主要是依据机理分析的 方法建立模型.
假设在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变, 时间以天为计量单位, 假设条件为 : ,假设条件为
(1)在时该t人群中易感染者(健康)和已感染者 (病人)在总人数中所占比例分别为s (t )和i (t ).
(2)每个病人每天有效接触的平均人数是λ ,
λ称日接触率.
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四 微分方程的解
定义
如果函数y = ϕ ( x), x ∈ I , 满足条件 :
i (0) = i0
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练习
1.曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形 的面积都等于常数 a 2 ,求该曲线所满足的微分方程. 解: 过点( x, y )的切线的横截距与纵截距分别为 :
y ' x − ' 和y − xy . y 1 y ' 2 由题目条件有: ( x − ' )( y − xy ) = a 2 y
dR = −kR, dt R(0) = R0
这里k > 0, 是由于R(t )随时间的增加而减少.
解之得 : R(t ) = R0 e − kt
即镭元素的存量是指数规律衰减的.
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例2 物理冷却过程的数学模型
将某物体放置于空气中, 在时刻 t = 0 时, 测得它的温度为
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是二阶微分方程；
是四阶微分方程.
d 4x d 2x (4) + 5 2 + 3 x = sin t 4 dt dt
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n阶微分方程的一般形式为
dy d y F(x, y, , L , n ) = 0 dx dx
n
(1)
dy dny dy dny 这里F(x, y, , L , n ) = 0是x, y, , L , n 的已知函数, dx dx dx dx dny 而且一定含有 n , y是未知函数, x是自变量. dx
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例1 镭的衰变规律:
设镭的衰变规律与该时刻现有的量成正比, 且已知t = 0时, 镭元素的量为R0克, 试确定在 任意t时该时镭元素的量.
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解: 设t时刻时镭元素的量为R(t ),
dR(t ) 由于镭元素的衰变律就是R(t )对时间的变化律 , dt 依题目中给出镭元素的衰变律可得 :
u1 = 100o C. 试决定此物 u0 = 150 C ,10分钟后测量得温度为
o
体的温度
u 和时间 t
的关系.
Newton 冷却定律 冷却定律: 1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导; 2. 在一定的温度范围内 一个物体的温度变化速度与这一 在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一 物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比. 物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比
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一阶微分方程组的一般形式： 一阶微分方程组的一般形式：
dx1 = f1 ( t , x1 , x2 ,L , xn ) dt dx2 = f 2 ( t , x1 , x2 ,L , xn ) dt M dx2 = f n ( t , x1 , x2 ,L , xn ) dt
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解:
设物体在时刻
t 的温度为 u (t ). 根据导数的物理意义, 则
du . 由Newton冷却定律, 得到 温度的变化速度为 dt
du = −k (u − u a ), dt
其中 k > 0 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数 学模型. 注意:此式子并不是直接给出 和 t 之间的函数关系,而只是 给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式.如何由此式 子求得 与 t 之间的关系式, 以后再介绍.
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电路的Kirchhoff第二定律 第二定律: 第二定律 解: 电路的 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零 在闭合回路中 所有支路上的电压的代数和为零. 所有支路上的电压的代数和为零
设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电流 dI Q L , RI , , 其中Q 经过电感L, 电阻R和电容的电压降分别为 dt C 为电量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到
常微分方程
常微分方程基本知识 线性微分方程组理论 高阶线性微分方程 微分方程定性方法初步
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常微分方程
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和 现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物 理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中 的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运 动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人 口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票 的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规 律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数 学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用 于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。
向量形式
dx = f ( t , x (t ) ) dt
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三 线性和非线性
dy d y 1.如果方程 F(x, y, , L , n ) = 0 dx dx n dy d y 的左端为y及 , L , n 的一次有理式, dx dx 则称其为n 则称其为n阶线性方程.
2.偏微分方程 偏微分方程 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两 个以上,称为偏微分方程 偏微分方程. 偏微分方程 如
∂z ∂z (5) + =z ; ∂x ∂y
∂ 2u ∂ 2u (6) + 2 + x + y − uz = 0 . 2 ∂x ∂y
都是偏微分方程.
注: 本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方程简称 为微分方程或方程.
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是非线性微分方程. 是非线性微分方程.
2.n阶线性微分方程的一般形式
dny d n −1 y + a1 ( x) n −1 + L + an ( x) y = f ( x) n dx dx
这里a1 ( x),L an ( x), f ( x)是x的已知函数.
(2)
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定义: 联系自变量、 未知函数及未知函数导数 （ 或微 定义 : 联系自变量 、 未知函数及 未知函数导数（ 未知函数导数 的关系式称为微分方程. 分）的关系式称为微分方程 例1：下列关系式都是微分方程
dy (1) = 2x ; dx
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(2) xdy − ydx = 0 ;
d 4x d 2x d x dx + 5 2 + 3 x = sin t ; (3) + tx + x = 0 ; (4) 4 dt dt dt 2 dt