导数的应用___切线的斜率

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高中数学导数的应用

高中数学导数的应用导数是高中数学中的重要概念之一，它在许多实际问题中都有着广泛的应用。

本文将从几个不同的角度来讨论导数的应用。

一、函数的局部性质导数描述了函数在某一点附近的局部变化情况。

通过计算导数，我们可以判断函数在某点上是增函数还是减函数，从而了解函数的局部性质。

例如，对于一条直线函数，导数恒为常数，表示函数在任意一点上都是增函数或减函数；而对于一个二次函数，导数可以告诉我们函数的凹凸性质。

二、切线与法线导数还可以用来求解函数的切线和法线方程。

对于一条曲线，通过求解曲线上某一点的导数，我们可以得到切线的斜率，从而得到切线方程。

同样地，法线的斜率可以通过切线的斜率和导数的关系求解，进而得到法线方程。

这种应用在物理学中特别有用，例如计算质点在曲线上的运动轨迹时，我们需要知道质点的切线方程，以便求解其运动速度和加速度等物理量。

三、最值问题导数也可以用来解决函数的最值问题。

对于一个连续函数，其最值出现在导数为零的点或者定义域的端点上。

因此，通过求解导数为零的方程，我们可以得到函数的极值点，从而求解最值问题。

这一应用在经济学中尤为重要，例如在成本和收益问题中，我们需要确定某种产品的生产数量，以使总利润最大化。

四、曲线的凹凸性与拐点通过导数的符号变化，我们可以判断函数在某一区间上的凹凸性以及确定曲线的拐点。

当导数在某一区间上始终大于零时，函数在该区间上是凹函数；反之，当导数在某一区间上始终小于零时，函数在该区间上是凸函数。

而导数在某一点上发生跃变时，可以判断该点为函数的拐点。

这一应用在优化问题和工程设计中具有重要意义，例如在物体运动问题中，我们需要找到最优的运动轨迹，以使得物体的速度变化最小。

总结起来，导数的应用非常广泛。

无论是研究函数的局部性质、求解切线和法线方程、解决最值问题，还是分析曲线的凹凸性与拐点，导数都发挥着重要的作用。

因此，对于高中数学学习者来说，深入理解导数的概念和应用是非常重要的。

只有掌握了导数的应用，才能更好地解决实际问题，并在日后的学习和工作中受益。

运用导数探究曲线的切线问题

运用导数探究曲线的切线问题山东黄丽生导数与曲线的切线有缘，因为()0/x f的几何意义是曲线y=f (x)在点（x 0 ，f (x 0)）处的切线斜率，其物理意义通常指物体运动时的瞬时速度。

曲线的切线反映了曲线的变化情况，体现了微积分中重要的思想方法——以直代曲。

因此，利用导数求解曲线的问题，几乎是新课程高考每年必考的内容。

在这类问题中，导数所肩负的任务是求切线的斜率，这类问题的核心部分是考查函数的思想方法和解析几何的基本思想方法，真正体现出函数、导数既是研究的对象又是研究的工具。

举例说明。

例1已知函数)0()(>+=t xtx x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．（1）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；（2）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．分析：由题意点P 在曲线外，故求切线PM 、PN 的方程，须设出M 、N 两点的横坐标，目的是借助导数求直线的斜率；第二问属探索性问题，往往是先假设存在，看是否能求得符合条件的t 或导出矛盾。

解：（1）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ， 21)(x tx f -='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(12111x x x tx t x y --=+-，又切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(012111x x t x t x --=+-，即02121=-+t tx x ，同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得02222=-+t tx x ．由（1）、（2），可得21,x x 是方程022=-+t tx x 的两根，⎩⎨⎧-=⋅-=+∴. ,22121t x x t x x （ * ）22211221)()(x t x x t x x x MN --++-=])1(1[)(221221x x t x x -+-= ])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+=，把（ * ）式代入,得t t MN 20202+=,因此，函数)(t g 的表达式为)0( 2020)(2>+=t t t t g ．（2）当点M 、N 与A 共线时，NA MA k k =，∴01111--+x x t x ＝01222--+x x t x ，即21121x x t x -+＝22222x x t x -+，化简，得0])()[(211212=-+-x x x x t x x ，21x x ≠ ，1212)(x x x x t =+∴．把（*）式代入，解得21=t ． ∴存在t ，使得点M 、N 与A 三点共线，且 21=t ．点评：本题以函数为载体，综合考查了函数与导数的有关问题。

导数的应用曲线的切线与法线

导数的应用曲线的切线与法线导数的应用：曲线的切线与法线在微积分学中，导数是一个十分重要的概念。

导数的计算和应用广泛应用于各个科学领域，特别是在物理学和工程学中。

其中一个应用就是研究曲线的切线和法线。

一. 切线的定义和计算我们首先来了解一下切线的概念。

在数学中，切线是指与给定曲线在某一点相切的直线。

为了计算曲线的切线，我们需要先计算该点的导数。

设曲线方程为y = f(x)，我们要求曲线上一点P(a, f(a))处的切线。

首先计算曲线在点P处的导数，即求得f'(a)。

然后，我们可以使用点斜式或者截距式来表示切线方程。

点斜式表示的切线方程为：y - f(a) = f'(a)(x - a)截距式表示的切线方程为：y = f'(a)x + (f(a) - af'(a))有了切线方程，我们可以计算曲线在该点处的切线了。

二. 法线的定义和计算接下来，我们来了解一下法线的概念。

在数学中，法线是切线的垂直线。

要计算曲线在某一点的法线，我们首先需要计算切线的斜率，然后求其相反数，即得到法线的斜率。

设曲线方程为y = f(x)，切线斜率为k。

则法线的斜率为-1/k。

然后，我们可以使用与切线相同的方法来表示法线的方程。

点斜式表示的法线方程为：y - f(a) = (-1/k)(x - a)截距式表示的法线方程为：y = (-1/k)x + (f(a) + a/k)有了法线方程，我们可以计算曲线在该点处的法线了。

三. 实例分析现在，我们通过一个实例来理解切线和法线的应用。

假设有以下函数：y = 2x^2 - 3x + 1。

我们要求该函数在x = 2处的切线和法线。

首先，计算曲线在x = 2处的导数。

函数的导数为f'(x) = 4x - 3。

将x = 2代入导数公式，得到f'(2) = 5。

接下来，使用点斜式表示切线方程和法线方程。

切线方程为：y -f(2) = f'(2)(x - 2)，化简得到y = 5x - 5。

导数的应用曲线的切线和法线问题

导数的应用曲线的切线和法线问题在微积分中，导数是一个重要的概念，它描述了函数在某一点上的变化率。

除了用来求函数的极值和变化趋势外，导数还可以应用于曲线的切线和法线问题。

本文将探讨导数在曲线切线和法线问题上的应用。

一、曲线的切线问题对于给定的曲线，我们可以通过求取该曲线上某一点的导数来确定该点处的切线。

具体的步骤如下：1. 确定曲线上的某一点P(x₀, y₀)。

2. 求取该点的导数dy/dx。

3. 使用点斜式或一般式求取与该点所在切线平行的直线方程。

4. 得到切线的方程。

举例来说，如果我们有一个曲线的方程为y = 2x² + 3x - 4，那么可以依次进行如下步骤来求取曲线在某一点上的切线：1. 确定点P(x₀, y₀)的坐标，假设为P(2, 7)。

2. 求取该点的导数dy/dx，对于曲线y = 2x² + 3x - 4，求导得到dy/dx = 4x + 3。

3. 使用点斜式求取切线的方程，将点P的坐标和导数dy/dx的值代入点斜式方程y - y₀ = m(x - x₀)，得到y - 7 = (4(2) + 3)(x - 2)。

4. 化简方程，得到切线的方程y = 8x - 9。

通过这个例子可以看出，求取曲线切线的关键是求取点的导数，然后利用切线方程将导数与点的坐标结合，得到切线的方程。

二、曲线的法线问题曲线的法线是与该曲线在某一点处相切，垂直于切线的直线。

求取曲线的法线同样可以通过求取该点的导数来完成。

具体的步骤如下：1. 确定曲线上的某一点P(x₀, y₀)。

2. 求取该点的导数dy/dx，并计算其倒数k。

3. 求取法线的斜率nk = -1/k。

4. 使用点斜式求取法线方程。

5. 得到法线的方程。

和曲线的切线问题类似，求取曲线的法线也需要先求取点的导数，然后计算导数的倒数作为法线的斜率。

三、综合案例考虑一个具体的综合案例，假设我们有一个函数f(x) = x³ + 2x²- 3x + 1，我们希望求取该函数在 x = 2 处的切线和法线。

导数的应用于曲线的切线与法线

导数的应用于曲线的切线与法线导数是微积分中的一个重要概念，它在曲线的切线与法线的问题中有着广泛的应用。

本文将介绍导数的概念，并以具体的例子来说明导数在曲线的切线与法线问题中的应用。

一、导数的概念导数是用来描述函数在某一点的变化率的数值。

对于函数f(x)，在点x处的导数可以表示为f'(x)，或者dy/dx。

导数表示了函数在该点的瞬时变化率，也就是函数曲线在该点的切线的斜率。

二、曲线的切线在曲线上任意一点，其切线的斜率等于该点处函数的导数。

通过求导数，我们可以得到曲线在任意一点的切线的斜率，从而确定切线的方程。

以函数f(x)为例，求导数f'(x)，得到导函数，即切线的斜率。

例1：求解曲线y=x^2-3x+2在点(2, 1)处的切线方程。

解：首先求解函数的导数f'(x) = 2x - 3，然后代入点(2, 1)，得到斜率m = f'(2) = 2*2 - 3 = 1。

代入切线点和斜率，可以得到切线方程为y - 1 = 1(x - 2)，化简得到切线方程为y = x - 1。

三、曲线的法线在曲线上任意一点，其法线的斜率等于切线的负倒数。

通过求导数，我们可以得到曲线在任意一点的切线的斜率，从而确定法线的斜率。

注意，法线的斜率是切线斜率的负倒数。

例2：求解曲线y=x^2-3x+2在点(2, 1)处的法线方程。

解：首先求解函数的导数f'(x) = 2x - 3，然后代入点(2, 1)得到斜率m = f'(2) = 2*2 - 3 = 1。

法线的斜率为-1/1的倒数，即-1。

代入法线点和斜率，可以得到法线方程为y - 1 = -1(x - 2)，化简得到法线方程为y = -x + 3。

综上所述，导数在曲线的切线与法线问题中起着重要作用。

通过求导数，我们可以确定曲线在任意一点的切线的斜率，从而得到切线方程；同时，由切线的斜率求得法线的斜率，进而得到法线方程。

导数的应用切线与极值问题

导数的应用切线与极值问题导数的应用：切线与极值问题导数是微积分中的重要概念，它在各个科学领域中都有着广泛的应用。

其中，切线与极值问题是导数应用的两个常见问题。

本文将探讨如何使用导数解决切线和极值问题，并通过实例解释其应用。

一、切线问题切线是曲线上某一点处与该点相切的直线。

通过导数，我们可以确定曲线上某点的切线方程。

设曲线方程为y=f(x)，点P(x,y)处的切线斜率k即为函数f(x)在该点的导数，即k=f'(x)。

例子1：求曲线y=x^2+2x+1在点P(1,4)处的切线方程。

解：首先求导数：f'(x)=(x^2+2x+1)'=2x+2。

然后求点P(1,4)处的斜率：k=f'(1)=2(1)+2=4。

由切线斜率和点可确定切线方程，即y-4=4(x-1)。

将其化简，得到切线方程为y=4x。

二、极值问题在求解极值问题时，我们可以利用导数为0的点来确定函数的最大值或最小值。

设函数f(x)在[a,b]区间上连续且在区间内可导，若f'(c)=0且c∈(a,b)，则c称为f(x)在[a,b]上的临界点。

临界点和区间端点都有可能是函数的极值点。

例子2：求函数f(x)=x^3-3x^2的极小值。

解：首先求导数：f'(x)=(x^3-3x^2)'=3x^2-6x。

然后求导函数的临界点：3x^2-6x=0。

化简得到x(x-2)=0，解得x=0或x=2。

接下来，我们通过判断临界点和区间端点的函数值来确定极小值。

计算f(0)=-0、f(2)=-4，因此f(x)=x^3-3x^2的极小值为-4，在x=2处取得。

综上，我们通过求解导数和判断临界点来确定函数的极值。

三、切线和极值问题的应用切线问题和极值问题在实际应用中有着广泛的运用。

例子3：一辆汽车在某段时间内行驶的路程和时间的关系如图所示。

求该段时间内汽车的平均速度，以及汽车行驶的最快和最慢速度。

图表：时间（小时） 0 2 4 6 8 10路程（公里）***********解：我们可以通过导数来求解这个问题。

导数的应用切线与法线

导数的应用切线与法线导数的应用：切线与法线导数是微积分中非常重要的概念之一。

通过计算导数，我们可以得到函数在某一点的切线斜率，从而揭示函数在该点的变化趋势。

在实际问题中，我们经常需要使用导数的应用来解决与切线和法线相关的问题。

本文将探讨导数在切线和法线问题中的应用。

一、切线的求解切线是曲线在某一点处与曲线相切且仅与曲线有一个公共点的直线。

切线的斜率正是曲线在该点处的导数。

考虑一个函数f(x)，我们希望求解函数f(x)在点x=a处的切线方程。

首先，我们需要计算函数f(x)在该点处的导数，即f'(a)。

然后，我们可以使用切线的斜率公式来确定切线的斜率：m = f'(a)。

接下来，我们需要找到过点(x=a, f(a))的直线，且斜率为m。

假设切线方程为y = mx + c，其中c为常数。

由于切线过点(x=a, f(a))，我们可以将这一点的坐标代入切线方程得到f(a) = ma + c，进一步，我们可以得到c = f(a) - ma。

因此，函数f(x)在点x=a处的切线方程为y = f'(a)x + (f(a) - af'(a))。

二、法线的求解法线是曲线在某一点处与切线垂直的直线。

法线的斜率是切线斜率的负倒数。

与切线问题类似，我们考虑函数f(x)在点x=b处的法线方程。

首先，我们计算函数f(x)在该点处的导数，即f'(b)。

然后，我们可以使用切线斜率的负倒数来确定法线的斜率：m' = -1/f'(b)。

我们需要找到过点(x=b, f(b))的直线，且斜率为m'。

假设法线方程为y = m'x + d，其中d为常数。

由于法线过点(x=b, f(b))，我们可以将这一点的坐标代入法线方程得到f(b) = m'b + d。

进一步，我们可以得到d = f(b) - m'b。

因此，函数f(x)在点x=b处的法线方程为y = -1/f'(b)x + (f(b) -b/f'(b))。

切线斜率

切线斜率切线斜率是一个在微积分中非常重要的概念。

它描述了一条曲线在某一点处的斜率，能够帮助我们理解曲线在该点的变化情况。

在这篇文章中，我将为您详细介绍切线斜率的概念、计算方法以及在实际问题中的应用。

首先，让我们来了解一下什么是切线斜率。

切线斜率可以理解为曲线在某一点处的瞬时斜率，它表示了曲线在该点的变化率。

我们可以通过近似切线来计算切线斜率，这个近似切线与曲线在该点处非常接近，因此能够很好地反映曲线的变化情况。

切线斜率的计算方法是利用微积分的导数概念。

对于一个函数f(x)，我们只需要求出它在某一点x=a处的导数，就可以得到该点处的切线斜率。

导数可以理解为函数在某一点处的瞬时变化率，因此也就等于切线的斜率。

计算切线斜率的导数公式是比较简单的。

对于一个函数f(x)，它的导数可以表示为f'(x)。

在计算导数时，我们可以使用极限的概念来进行计算。

具体来说，我们需要计算函数f(x)在x=a处的极限，其中a是一个非常接近我们所关注点的数值。

这个极限的值就等于该点处的切线斜率。

举个例子，我们来计算一条曲线在某一点处的切线斜率。

假设我们有一个函数f(x)=x^2，我们想要求解该函数在x=2处的切线斜率。

首先，我们需要求出函数f(x)的导数。

对于这个函数来说，它的导数是f'(x)=2x。

然后，我们将x=2代入到导数公式中，即可得到切线斜率。

在这个例子中，切线斜率的值为4。

切线斜率在实际问题中有许多应用。

例如，在物理学中，我们经常需要研究物体在不同位置的速度。

可以通过计算速度函数的导数来得到物体在每个时刻的瞬时速度，而这个导数值就等于切线斜率。

同样地，在经济学和金融学中，切线斜率被用来衡量某种经济指标的增长速度。

总结起来，切线斜率作为微积分中的重要概念，能够描述曲线在某一点处的斜率和变化情况。

通过求函数的导数，我们可以得到切线斜率的数值，并应用于许多实际问题中。

切线斜率的计算方法简单，但其背后的数学基础是微积分的重要内容之一。

切线的斜率公式

切线的斜率公式切线是初学者学习数学中非常重要的一项知识，其中斜率公式是切线相关知识中重要的一环。

我们将在下文中介绍切线斜率公式的相关知识，以帮助读者更好地掌握该知识点。

切线斜率公式，也称为导数公式，是计算切线斜率的重要方法。

在数学中，切线是平面上与函数图像相切的直线，切线斜率是切线的斜率。

切线的斜率可以表示为函数y=f(x)在x点处的导数f’(x)，即：k=f’(x)。

也就是说，切线的斜率就是函数在该点处的导数值，这是切线斜率公式的基本公式。

切线斜率公式的应用范围非常广泛，无论是在数学学科中还是在其他领域都有着重要的应用。

在几何学中，切线斜率可以用来计算直线与曲线相切时的夹角，这对解决很多几何问题非常有帮助。

在物理学领域中，切线斜率公式也有着广泛的应用。

例如，在热力学中，切线斜率可以用来计算热力学状态方程（PV=nRT）中的各种参数，这对于热力学研究有着重要的作用。

在经济学中，切线斜率可以用来计算经济学模型中的曲线，例如供求曲线、成本曲线等。

它也可以用来计算经济学的指数和统计数据，这对于经济学家和投资者来说都是非常重要的。

在工程学中，切线斜率可以用来计算曲线的性质，例如曲线的曲率和弯曲度等。

这对于各种工程领域的应用都非常有帮助。

切线斜率公式的计算方法非常简单，只需要用导数公式求出函数在该点处的导数即可。

例如，对于函数y=x^2，在x=2处的切线斜率为：k = f’(2)= 2x= 2(2)= 4因此，函数y=x^2在x=2处的切线斜率为4。

这个计算过程中只需要使用到函数的基本知识和导数公式，非常简单易懂。

总的来说，切线斜率公式是数学学科中非常重要的知识点，它在各种学科领域中都有着广泛的应用。

如果你想要更好地掌握切线的相关知识和技巧，一定要掌握切线斜率公式，这将为你的学习和实践带来很多便利。

判定切线的方法

判定切线的方法在微积分中，切线是一个非常重要的概念，它在解析几何和微分学中都有着广泛的应用。

切线的概念是指曲线上某一点附近的近似直线，它的斜率可以用来描述曲线在该点处的变化率。

因此，切线的判定方法对于理解曲线的性质和求解相关问题非常重要。

一、函数的导数。

函数的导数是切线斜率的一个重要工具。

如果一个函数在某一点可导，那么在这一点处的导数就是该点处切线的斜率。

因此，我们可以通过求函数在特定点处的导数来判定切线的斜率，从而得到切线的方程。

二、切线的斜率公式。

对于曲线上一点的切线斜率，我们可以使用导数的定义来求解。

设曲线上点P的坐标为（x0，y0），则切线的斜率可以表示为：k = f'(x0)。

其中f'(x0)表示函数在点x0处的导数。

通过这个公式，我们可以直接求出切线在特定点的斜率，从而得到切线的方程。

三、切线的方程。

有了切线的斜率，我们就可以得到切线的方程。

以点P（x0，y0）为例，切线的方程可以表示为：y y0 = k(x x0)。

其中k为切线的斜率，（x0，y0）为切线上的一点。

通过这个方程，我们可以得到切线的具体方程，进而对曲线进行更深入的研究。

四、切线的判定方法。

在实际问题中，我们需要根据具体的曲线和点的情况来判定切线。

一般来说，我们可以通过以下步骤来判定切线：1. 求解函数在特定点处的导数，得到切线的斜率；2. 根据切线的斜率和切点的坐标，得到切线的方程；3. 通过切线的方程来描述曲线在该点附近的近似直线。

通过以上的方法，我们可以比较准确地判定曲线在特定点处的切线，从而对曲线的性质和变化进行更深入的研究。

五、举例说明。

举一个简单的例子来说明切线的判定方法。

考虑函数f(x) = x^2，在点（1，1）处判定切线。

首先求解函数在点（1，1）处的导数，得到f'(1) = 2。

然后根据切线的斜率和切点的坐标，得到切线的方程为y 1 = 2(x 1)。

通过这个方程，我们可以得到曲线在点（1，1）处的切线方程，进而对曲线在该点的性质进行研究。

导数及其应用-知识点整理(完整,清晰)

导数及其应用基本知识点1，导数：当x ∆趋近于零时，x x f x x f ∆-∆+)()(00趋近于常数C 。

可用符号“→”记作：当0→∆x 时，x x f x x f ∆-∆+)()(00c →或记作c x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim 000，符号“→”读作“趋近于”。

函数在0x 的瞬时变化率，通常称作)(x f 在0x x =处的导数，并记作)(0x f '。

即x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(l i m)(0000'2，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。

即若点),(00y x P 为曲线上一点，则过点),(00y x P 的切线的斜率x x f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(l i m )(0000'切由于函数)(x f y =在0x x =处的导数，表示曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程可如下求得：（1）求出函数)(x f y =在点0x x =处的导数，即曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的斜率。

（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：))((00'0x x x f y y -=-，如果曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为0x x =，故过点),(00y x P 的切线的方程为：))((00'0x x x f y y -=- 3，导数的四则运算法则：（1）)()())()((x g x f x g x f '±'='± （2）)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='（3）)()()()()()()(2x g x g x f x f x g x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡4，几种常见函数的导数：(1))(0为常数C C =' (2))(1Q n nx x n n ∈='-）（ (3)x x cos )(sin =' (4)x x sin )(cos -='(5)x x 1)(ln =' (6)e xx a a log 1)(log =' (7)x x e e =')( (8)a a a x x ln )(=' 5，函数的单调性：在某个区间),(b a 内，如果0)('>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)('<x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减。

偏导数在几何上的应用

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详细描述
梯度是一个向量，其大小等于函数在该点的方向导数的最大值，其方向则是该方向导数最大的方向。梯度的计算涉及到偏导数的计算，可以通过对偏导数进行向量运算得到。
偏导数与高斯公式和格林公式
总结词
高斯公式和格林公式是微积分中的重要公式，它们涉及到偏导数的概念，可以用来解决某些几何问题。
详细描述
高斯公式和格林公式分别描述了三维空间和二维平面中体积分和曲线积分与偏导数的关系。它们在计算几何形状的体积、表面积、曲线长度等几何量时非常有用。通过这些公式，我们可以将复杂的几何问题转化为相对简单的积分问题，从而方便地求解。
偏导数与函数图像的凹凸性
总结词
偏导数可以用来判断函数图像的凹凸性。
详细描述
如果一个函数在某一点的偏导数大于零，则该点附近的函数图像是凹的；如果偏导数小于零，则该点附近的函数图像是凸的。
偏导数与函数图像的单调性
总结词
偏导数可以用来判断函数图像的单调性。
详细描述
如果一个函数在某一点的偏导数大于零，则该点附近函数值是递增的；如果偏导数小于零，则该点附近函数值是递减的。这为研究函数的单调性提供了重要的几何解释。
偏导数在几何上的应用
目录 CONTENT
• 偏导数的几何意义 • 偏导数在几何优化问题中的应用 • 偏导数在解决几何问题中的具体
应用 • 偏导数在几何中的其他应用
01
偏导数的几何意义
偏导数与切线斜率
总结词
偏导数可以用来描述函数图像上某一点的切线斜率。
详细描述
在几何上，偏导数表示函数在某一点处沿某一方向的变化率，即切线的斜率。对于二元函数，偏导数可以表示空间曲面在某一点的切平面。

导数的应用与求导法则知识点总结

导数的应用与求导法则知识点总结导数在数学和物理学中具有广泛的应用。

它是描述函数变化率的工具，可以用来解决许多实际问题。

在本文中，我们将讨论导数的应用以及一些常用的求导法则知识点。

一、导数的应用1. 切线与法线导数可以用来求解曲线上的切线和法线。

给定一个函数f(x)，我们可以通过求解导数f'(x)来获得曲线上任意一点的切线斜率。

切线的斜率是导数的值。

与切线垂直的线被称为法线。

法线的斜率是切线斜率的负倒数。

2. 最值问题导数可以帮助我们找到函数的最值点。

在一个区间内，函数的最大值和最小值通常出现在导数为零或不存在的点。

因此，我们可以通过求解导数为零的方程来找到这些临界点，然后通过比较函数值来确定最值。

3. 凹凸性与拐点导数可以用来判断函数的凹凸性以及拐点的位置。

如果导数在某个区间内是递增的，那么函数在该区间内是凹的；如果导数是递减的，那么函数是凸的。

拐点发生在导数变化的方向改变的点。

4. 高阶导数导数的概念可以进一步推广到高阶导数。

高阶导数描述了函数变化的更高阶性质，比如曲率和弯曲程度。

通过求解导数的导数，我们可以计算出函数的高阶导数。

二、求导法则知识点1. 基本导数法则基本导数法则是求导的基础。

它包括了常数规则、幂函数规则、指数函数规则、对数函数规则和三角函数规则。

这些法则允许我们快速求解各种类型的函数导数。

2. 乘积法则乘积法则可以用来求解两个函数的乘积的导数。

假设有两个函数u(x)和v(x)，它们的乘积为f(x) = u(x)v(x)。

那么，f'(x) = u'(x)v(x) +u(x)v'(x)。

3. 商积法则商积法则可以用来求解两个函数的商的导数。

假设有两个函数u(x)和v(x)，它们的商为f(x) = u(x) / v(x)。

那么，f'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / v(x)^2。

4. 链式法则链式法则可以用来求解复合函数的导数。

用导数求切线方程的四种类型[精选.]

用导数求切线方程的四种类型浙江曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法．类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（）Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（）Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x xy x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例3求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x xy x ='=-|． ∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x xy x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--．又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得02011(2)x x x -=--．解得000111x y x ===，，即20x y +-=．评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上．设切点为00()M x y ，，则点M 的坐标满足30003y x x =-．因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--．化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。

导数的应用

导数的应用
导数是微积分中的重要概念，它有许多应用。

以下是一些常见的导数应用：
1. 切线和法线：导数可以用来确定函数曲线在某一点的切线和法线。

切线的斜率等于函数在该点的导数，而法线的斜率是切线的负倒数。

2. 最值问题：导数可以用来解决最值问题。

例如，对于一个函数，它的局部最大值或最小值出现在它的导数为零的点，或者在导数发生跃变的点。

3. 函数的增减性和凹凸性：导数可以用来研究函数的增减性和凹凸性。

如果函数在某一区间内的导数大于零，那么函数在该区间内是递增的；如果导数小于零，函数是递减的。

函数的凹凸性则与导数的二阶导数有关。

4. 曲线的弧长：导数可以用来计算曲线的弧长。

通过对曲
线的参数方程或者极坐标方程进行导数运算，可以得到弧
长公式。

5. 高阶导数：导数可以进行高阶运算，即对导数再进行导数。

高阶导数可用于描述函数的曲率、加速度等更高阶的
变化特性。

以上只是导数的一些简单应用，实际上导数在数学、物理、经济学等领域有着广泛的应用，包括优化问题、速度与加
速度的计算、函数逼近等等。

导数切线斜率公式

导数切线斜率公式
导数切线斜率公式：两点表示切线的斜率k=（y1-y2）/（x1-x2）。

导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。

扩展资料
切线的斜率怎么求：
方法1：用导数求。

第一先求原函数的导函数，第二把切点的横标代入导函数中得到的值就是原函数的图像在该点出切线的斜率。

方法2：有两点表示切线的`斜率k=（y1-y2）/（x1-x2）。

方法3：设出切线方程y=kx+b与函数的曲线方程联立消y，得到关于x的一元二次方程，由Δ=0，解k。

导数切线方程公式：
先算出来导数f'（x），导数的实质就是曲线的斜率，比如函数上存在一点（a.b），且该点的导数f'（a）=c。

那么说明在（a.b）点的切线斜率k=c，假设这条切线方程为y=mx+n，那么m=k=c，且ac+n=b，所以y=cx+b-ac。

公式：求出的导数值作为斜率k，再用原来的点（x0,y0)，切线方程就是(y-b)=k(x-a)。

曲线一点处切线的斜率公式

曲线一点处切线的斜率公式曲线上某一点处的切线斜率可以通过微分求解。

假设曲线的方程为 y = f(x)，要求曲线在点 (x0, y0) 处的切线斜率，可以使用导数的概念。

切线的斜率等于曲线在该点的导数。

导数表示了函数在给定点处的变化率。

计算切线斜率的公式如下：
切线斜率 = dy/dx = f'(x0)
其中，f'(x0) 表示函数 f(x) 在点 x0 处的导数。

这个导数值表示了曲线在该点处的变化率或斜率。

具体计算方法是对函数 f(x) 求导，得到导函数 f'(x)，然后将x0 带入导函数，计算出导数值，即为切线斜率。

需要注意的是，切线斜率表示了曲线在给定点的瞬时变化率，它只适用于给定点处的瞬时情况，并不能表示整个曲线的变化趋势。

在实际计算中，可以使用不同的方法来求解导数，如基本微积分规则、链式法则、求导法则等，具体取决于函数 f(x) 的形式和复杂度。

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高考数学基础突破导数与积分第3讲导数的几何意义——求切线的斜率

2017年高考数学基础突破——导数与积分第3讲导数的几何意义——切线的斜率【知识梳理】1．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即，相应地，切线方程为．【基础考点突破】考点1．导数的几何意义命题点1 已知切点的切线方程问题【例1】已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求经过点A(2，－2)的曲线的切线方程.【归纳总结】 (1)导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上.切线有可能和曲线还有其他的公共点.(2)“曲线在点P处的切线”是以点P为切点，“曲线过点P的切线”则点P 不一定是切点，此时应先设出切点坐标.(3)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0.变式训练1．【2016高考新课标3】已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_____________________．命题点2 未知切点的切线方程问题【例2】与直线y＝2x平行的抛物线y＝x2的切线方程是( )A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0变式训练2．【2016高考新课标2】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．命题点3 求切点坐标【例3】若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P 的坐标是________．变式训练2．曲线y＝3ln x＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是( )A．(0，1) B．(1，－1) C．(1，3) D．(1，0)命题点4 和切线有关的参数问题【例4】若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，试求k的值．命题点5 导数与函数图象的关系【例5】函数的导函数在区间上的图象大致是（）考点2．导数几何意义的综合应用【例6】已知函数f(x)＝2x3－3x.(1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围.【基础练习巩固】1．已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( )A．e B．－e C.D．－2．函数f(x)＝的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A．2x－y－4＝0 B．2x＋y＝0 C．x－y－3＝0 D．x＋y＋1＝03．已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 017(x)等于( )A．－sin x－cos x B．sin x－cos x C．－sin x＋cosx D．sin x＋cos x4．(2014·课标全国Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x，则a等于( )A．0 B．1 C．2 D．35．已知曲线y＝，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( )A．x＋4y－2＝0 B．x－4y＋2＝0 C．4x＋2y－1＝0 D．4x －2y－1＝06．已知函数f(x)＝＋1，g(x)＝aln x，若在x＝处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行，则实数a的值为( )A.B.C．1 D．47．曲边梯形由曲线y＝x2＋1，y＝0，x＝1，x＝2所围成，过曲线y＝x2＋1 (x∈[1,2])上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为( )A.B.C.D.8．已知曲线y＝x3上一点P，则过点P的切线方程为_______________．9．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．10．已知函数f(x)＝x3－3x，若过点A(0,16)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程为y＝ax＋16，则实数a的值是________．11．若直线y＝2x＋m是曲线y＝xln x的切线，则实数m的值为________．12.【2016河北衡水四调】设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．13．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．14．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．15．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y ＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；2017年高考数学基础突破——导数与积分第3讲导数的几何意义——切线的斜率（教师版）【知识梳理】1．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即，相应地，切线方程为．【基础考点突破】考点1．导数的几何意义命题点1 已知切点的切线方程问题【例1】已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求经过点A(2，－2)的曲线的切线方程.解析：(1)∵，∴，又，∴曲线在点处的切线方程为，即.(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点，∵，∴切线方程为，又切线过点，∴，整理得，解得或1.∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为，或.【归纳总结】 (1)导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上.切线有可能和曲线还有其他的公共点.(2)“曲线在点P处的切线”是以点P为切点，“曲线过点P的切线”则点P 不一定是切点，此时应先设出切点坐标.(3)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0.变式训练1．【2016高考新课标3理数】已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_______________．【答案】【解析】当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线的斜率为，所以切线的方程为，即．命题点2 未知切点的切线方程问题【例2】与直线y＝2x平行的抛物线y＝x2的切线方程是( )A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0答案 D解析(1)对y＝x2求导得y′＝2x.设切点坐标为(x0，x)，则切线斜率为k＝2x0.由2x0＝2得x0＝1，故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.变式训练2．【2016高考新课标2】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【答案】．【解析】对函数求导得，对求导得，设直线与函数相切于，与相切于，则，，则点在切线上得：，由在切线上得：，这两条直线表示同一条直线，所以，解得，所以，所以．命题点3 求切点坐标【例3】若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P 的坐标是________．解析：由题意知，y′＝ln x＋1，直线斜率为2.由导数的几何意义知，令ln x＋1＝2，得x＝e，所以y＝eln e＝e，所以P(e，e)．变式训练3．曲线y＝3ln x＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是( )A．(0，1) B．(1，－1) C．(1，3) D．(1，0)答案：C解析：由题意知y′＝＋1＝4，解得x＝1，此时4×1－y－1＝0，解得y＝3，故点P0的坐标是(1，3)．命题点4 和切线有关的参数问题【例4】若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，试求k的值．解析：设y＝kx与y＝x3－3x2＋2x相切于P(x0，y0)，则y0＝kx0，①y0＝x－3x＋2x0.②又y′＝3x2－6x＋2，∴k＝y′|x＝x0＝3x－6x0＋2.③由①②③得：(3x－6x0＋2)x0＝x－3x＋2x0，即(2x0－3)x＝0.∴x0＝0或x0＝，∴k＝2或k＝－.命题点5 导数与函数图象的关系【例5】函数的导函数在区间上的图象大致是（）答案：A解析：，，所以是一个偶函数，排除C；，排除D，由于在上，，所以当时，最大，排除B，选A.考点2．导数几何意义的综合应用【例6】已知函数f(x)＝2x3－3x.(1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围.解析(1)由f(x)＝2x3－3x，得f′(x)＝6x2－3.令f′(x)＝0，得x＝－，或x＝.因为f(－2)＝－10，f＝，f＝－，f(1)＝－1，所以f(x)在区间[－2，1]上的最大值为f＝.(2)设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，则y0＝2x－3x0，且切线斜率为k＝6x－3，所以切线方程为y－y0＝(6x－3)(x－x0)，因此t－y0＝(6x－3)·(1－x0).整理得4x－6x＋t＋3＝0.设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”.g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)，于是，当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：所以g(0)＝t＋3是g(x)的极大值；g(1)＝t＋1是g(x)的极小值.当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点.当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，此时g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点.当g(0)>0且g(1)<0，即－3< t <－1时，因为g(－1)= t－7<0，g(2)=t+11>0，所以g(x)分别在区间和上恰有1个零点，由于g(x)在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上单调，所以g(x)在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点.综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是．【基础练习巩固】1．已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( )A．e B．－e C.D．－答案 C解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝，切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为.2．函数f(x)＝的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A．2x－y－4＝0 B．2x＋y＝0 C．x－y－3＝0 D．x＋y＋1＝0答案 C解析(1)f′(x)＝，则f′(1)＝1，故该切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.3．已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 017(x)等于( )A．－sin x－cos x B．sin x－cos x C．－sin x＋cosx D．sin x＋cos x答案 D解析∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x＝f1(x)，∴fn(x)是以4为周期的函数，∴f2 017(x)＝f1(x)＝sin x+cos x，故选D.4．(2014·课标全国Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x，则a等于( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 D解析令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2，∴a＝3.5．已知曲线y＝，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( )A．x＋4y－2＝0 B．x－4y＋2＝0 C．4x＋2y－1＝0 D．4x －2y－1＝0答案 A解析y′＝＝，因为ex>0，所以ex＋≥2＝2(当且仅当ex＝，即x＝0时取等号)，则ex＋＋2≥4，故y′＝≥－当(x＝0时取等号)．当x＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为(0，)，切线的方程为y－＝－(x－0)，即x＋4y－2＝0. 故选A.6．已知函数f(x)＝＋1，g(x)＝aln x，若在x＝处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行，则实数a的值为( )A.B.C．1 D．4答案 A解析由题意可知f′(x)＝x－，g′(x)＝，由f′()＝g′()，得×()－＝，可得a＝，经检验，a＝满足题意．故选A7．曲边梯形由曲线y＝x2＋1，y＝0，x＝1，x＝2所围成，过曲线y＝x2＋1 (x∈[1,2])上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为( )A.B.C.D.答案 B解析设P(x0，x＋1)，x0∈[1,2]，则易知曲线y＝x2＋1在点P处的切线方程为y－(x＋1)＝2x0(x－x0)，∴y＝2x0(x－x0)＋x＋1，设g(x)＝2x0(x－x0)＋x＋1，则g(1)＋g(2)＝2(x＋1)＋2x0(1－x0＋2－x0)，∴S普通梯形＝×1＝－x＋3x0＋1＝－2＋，∴P点坐标为时，S普通梯形最大．8．已知曲线y＝x3上一点P，则过点P的切线方程为_______________．解：(1)当P为切点时，由y′＝′＝x2，得y′|x＝2＝4，即过点P的切线方程的斜率为4.则所求的切线方程是y－＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.(2)当P点不是切点时，设切点为Q(x0，y0)，则切线方程为y－x＝x(x－x0)，因为切线过点P，把P点的坐标代入以上切线方程，求得x0＝－1或x0＝2(即点P，舍去)，所以切点为Q，即所求切线方程为3x－3y＋2＝0；综上所述，过点P的切线方程为12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝0.9．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．答案－3解析y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－，直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.由题意得解得则a＋b＝－3.10．已知函数f(x)＝x3－3x，若过点A(0,16)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程为y＝ax＋16，则实数a的值是________．答案9解析先设切点为M(x0，y0)，则切点在曲线上有y0＝x－3x0，①求导数得到切线的斜率k＝f′(x0)＝3x－3，又切线l过A、M两点，所以k＝，则3x－3＝，②联立①②可解得x0＝－2，y0＝－2，从而实数a的值为a＝k＝＝9.11．若直线y＝2x＋m是曲线y＝xln x的切线，则实数m的值为________．答案－e解析：设切点为(x0，x0ln x0)，由y′＝(xln x)′＝ln x＋x·＝ln x＋1，得切线的斜率k＝ln x0＋1，故切线方程为y－x0ln x0＝(ln x0＋1)(x－x0)，整理得y＝(ln x0＋1)x－x0，与y＝2x＋m比较得解得x0＝e，故m＝－e.12.【2016河北衡水四调】设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得：使得，即函数的值域为函数的值域的子集，从而，即，故选A.13．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．(1)求P0的坐标；(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．解(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1.当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为－.∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，∴直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.14．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，于是解得故f(x)＝x－.(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线15．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y ＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，∵f′(－1)＝0，∴3a－6－6a＝0，∴a＝－2.(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0,3x＋6x0＋12)．∵g′(x0)＝6x0＋6，∴切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10；∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。