核密度图详解

R语言与非参数统计（核密度估计）

背景

核密度估计是在概率论中用来估计未知的密度函数，属于非参数检验方法之一，由Rosenblatt (1955)和Emanuel Parzen(1962)提出，又名Parzen窗（Parzen window）。

原理

假设我们有n个数X1-Xn,我们要计算某一个数X的概率密度有多大。核密度估计的方法是这样的：

其中K为核密度函数,h为设定的窗宽。

核密度估计的原理其实是很简单的。在我们对某一事物的概率分布的情况下。如果某一个数在观察中出现了，我们可以认为这个数的概率密度很大，和这个数比较近的数的概率密度也会比较大，而那些离这个数远的数的概率密度会比较小。基于这种想法，针对观察中的第一个数，我们都可以f(x-xi)去拟合我们想象中的那个远小近大概率密度。当然其实也可以用其他对称的函数。针对每一个观察中出现的数拟合出多个概率密度分布函数之后，取平均。如果某些数是比较重要，某些数反之，则可以取加权平均。

但是核密度的估计并不是，也不能够找到真正的分布函数。

代码作图示例

我们可以举一个极端的例子：在R中输入：

●[plain]view plaincopyprint?

1.plot(density(rep(0, 1000)))

可以看到它得到了正态分布的曲线，但实际上呢？从数据上判断，它更有可能是一个退化的单点分布。

但是这并不意味着核密度估计是不可取的，至少他可以解决许多模拟中存在的异方差问题。比如说我们要估计一下下面的一组数据：

●[plain]view plaincopyprint?

1.set.seed(10)

2.dat<-c(rgamma(300,shape=2,scale=2),rgamma(100,shape=10,scale=2))

可以看出它是由300个服从gamma（2,2）与100个gamma（10,2）的随机数构成的，他用参数统计的办法是没有办法得到一个好的估计的。那么我们尝试使用核密度估计：

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1.plot(density(dat),ylim=c(0,0.2))

将利用正态核密度与标准密度函数作对比

[plain]view plaincopyprint?

1.dfn<-function(x,a,alpha1,alpha2,theta){

2.a*dgamma(x,shape=alpha1,scale=theta)+(1-

a)*dgamma(x,shape=alpha2,scale=theta)}

3.pfn<-function(x,a,alpha1,alpha2,theta){

4.a*pgamma(x,shape=alpha1,scale=theta)+(1-

a)*pgamma(x,shape=alpha2,scale=theta)}

5.curve(dfn(x,0.75,2,10,2),add=T,col="red")

得到下图：

（红色的曲线为真实密度曲线）

可以看出核密度与真实密度相比，得到大致的估计是不成问题的。至少趋势是得到了的。如果换用gamma分布的核效果无疑会更好，但是遗憾的是r中并没有提供那么多的核供我们挑选（其实我们知道核的选择远没有窗宽的选择来得重要），所以也无需介怀。

R中提供的核：

kernel = c("gaussian", "epanechnikov", "rectangular", "triangular", "biweight", "cosine", "optcosine")。

我们先来看看窗宽的选择对核密度估计的影响：

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1.dfn1<-function(x){

2.0.5*dnorm(x,3,1)+0.5*dnorm(x,-3,1)}

3.par(mfrow=c(2,2))

4.curve(dfn1(x),from=-6,to=6)

5.data<-c(rnorm(200,3,1),rnorm(200,-3,1))

6.plot(density(data,bw=8))

7.plot(density(data,bw=0.8))

8.plot(density(data,bw=0.08))

得到下图，我们可以清楚的看到带宽为0.8恰好合适，其余的不是拟合不足便是过拟合。

窗宽究竟该如何选择呢？

我们这里不加证明的给出最佳窗宽选择公式：

(这个基于积分均方误差最小的角度得到的)

这里介绍两个可操作的窗宽估计办法：(这两种方法都比较容易导致过分光滑) 1、 Silverman大拇指法则

这里使用R(phi’’)/sigma^5估计R（f’’），phi代表标准正态密度函数，得到h的表达式：

h=(4/(3n))^(*1/5)*sigma

2、极大光滑原则

h=3*(R(K)/(35n))^(1/5)*sigma

当然也有比较麻烦的窗宽估计办法，比如缺一交叉验证，插入法等，可以参阅《computational statistics》一书

我们用上面的两种办法得到的窗宽是多少，他的核密度估计效果好吗？

我们还是以上面的混合正态数据为例来看看效果。

使用大拇指法则，将数据n=400,sigma=3.030658,带入公式，h=0.9685291

使用极大光滑原则，假设K为正态核，R(K)=1/(sqrt(2*pi))，h=1.121023

可以看出他们都比我们认为的h=0.8要大一些，作图如下：

[plain]view plaincopyprint?

1.plot(density(data,bw=0.9685))

2.plot(density(data,bw=1.1210))

由我们给出的