【2020精品中考数学提分卷】长沙市中考真题数学试卷+答案
2020年湖南省长沙市中考数学试卷(有详细解析)
2020年湖南省长沙市中考数学试卷班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.(−2)3的值等于()A. −6B. 6C. 8D. −82.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是()A. B. C. D.3.为了将“新冠”疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展．据国家统计局相关数据显示，2020年1月至5月，全国累计办理出口退税632400000000元，其中数字632400000000用科学记数法表示为()A. 6.324×1011B. 6.324×1010C. 632.4×109D. 0.6324×10124.下列运算正确的是()A. √3+√2=√5B. x8÷x2=x6C. √3×√2=√5D. (a5)2=a75.2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜娟花开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为106m3土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度v(单位：m3/天)与完成运送任务所需时间t(单位：天)之间的函数关系式是()A. v=106t B. v=106t C. v=1106t2 D. v=106t26.从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是()A. 42√3米B. 14√3米C. 21米D. 42米7.不等式组{x+1≥−1x2<1的解集在数轴上表示正确的是()A. B.C. D.8.一个不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．下列说法中，错误的是()A. 第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球B. 第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球C. 第一次摸出的球是红球的概率是13D. 两次摸出的球都是红球的概率是199.2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”.这个节日的昵称是“π(Day)”.国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比．其中表述正确的序号是()A. ②③B. ①③C. ①④D. ②④10.如图：一块直角三角板的60°角的顶点A与直角顶点C分别在两平行线FD、GH上，斜边AB平分∠CAD，交直线GH于点E，则∠ECB的大小为()A. 60°B. 45°C. 30°D. 25°11.随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得()A. 400x−30=500xB. 400x=500x+30C. 400x=500x−30D. 400x+30=500x12.“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t(单位：分钟)近似满足的函数关系为：p=at2+bt+c(a≠0,a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为()A. 3.50分钟B. 4.05分钟C. 3.75分钟D. 4.25分钟二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.长沙地铁3号线、5号线即将试运行，为了解市民每周乘坐地铁出行的次数，某校100次数7次及以上654321次及以下人数81231241564这次调查中的众数和中位数分别是______，______．14.某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌(假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多)，然后依次完成以下三个步骤：第一步，A同学拿出二张扑克牌给B同学；第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为______．15.已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为______．16.如图，点P在以MN为直径的半圆上运动(点P不与M，N重合)，PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F．(1)PFPQ +PEPM=______．(2)若PN2=PM⋅MN，则MQNQ=______．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）17.计算：|−3|−(√10−1)0+√2cos45°+(14)−1．18.先化简再求值：x+2x2−6x+9⋅x2−9x+2−xx−3，其中x=4．19.人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．(2)分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．(3)画射线OC，射线OC即为所求(如图)．请你根据提供的材料完成下面问题．(1)这种作已知角的平分线的方法的依据是______.(填序号)①SSS②SAS③AAS④ASA(2)请你证明OC为∠AOB的平分线．20.2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》.长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”.为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表：(1)这次调查活动共抽取______人；(2)m=______，n=______；(3)请将条形统计图补充完整；(4)若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数．21.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．(1)求证：DC为⊙O的切线．(2)若AD=3，DC=√3，求⊙O的半径．22.今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如下：第一批第二批A型货车的辆数(单位：辆)12B型货车的辆数(单位：辆)35累计运输物资的吨数(单位：吨)2850备注：第一批、第二批每辆货车均满载(2)该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A种型号货车．试问至少还需联系多少辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？23.在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．(1)求证：△ABF∽△FCE；(2)若AB=2√3，AD=4，求EC的长；(3)若AE−DE=2EC，记∠BAF=α，∠FAE=β，求tanα+tanβ的值．24.我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”.根据该约定，完成下列各题．(1)在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”．①y=2x(______)；②y=m(m≠0)(______)；x③y=3x−1(______).(2)若点A(1,m)与点B(n,−4)是关于x的“H函数”y=ax2+bx+c(a≠0)的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x=2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．(3)若关于x的“H函数”y=ax2+2bx+3c(a,b，c是常数)同时满足下列两个条件：①a+b+c=0，②(2c+b−a)(2c+b+3a)<0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．25.如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为4√3，点C是劣弧AB⏜上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE．(1)求∠AOB的度数；(2)当点C沿着劣弧AB⏜从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度；(3)分别记△ODE，△CDE的面积为S1，S2，当S12−S22=21时，求弦AC的长度．答案和解析1.D解：(−2)3=−8，2.B解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；3.A解：632400000000=6.324×1011，4.B解：A、√3与√2不是同类项，不能合并，计算错误，故本选项不符合题意．B、原式=x8−2=x6，计算正确，故本选项符合题意．C、原式=√3×2=√6，计算错误，故本选项不符合题意．D、原式=a5×2=a10，计算错误，故本选项不符合题意．5.A解：∵运送土石方总量=平均运送土石方的速度v×完成运送任务所需时间t，∴106=vt，∴v=106t，6.A解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42√3(米)7.D解：由不等式组{x+1≥−1x2<1，得−2≤x<2，故该不等式组的解集在数轴表示为：8.A解：A、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故本选项错误；B、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球，故本选项正确；C、∵不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，∴第一次摸出的球是红球的概率是13，故本选项正确；D、共用9种等情况数，分别是红红、红绿、红绿、绿红、绿绿、绿绿、绿红、绿绿、绿绿，则两次摸出的球都是红球的概率是19，故本选项正确；9.A解：因为圆周率是一个无理数，是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，所以表述正确的序号是②③；10.C解：∵AB平分∠CAD，∴∠CAD=2∠BAC=120°，又∵DF//HG，∴∠ACE=180°−∠DAC=180°−120°=60°，又∵∠ACB=90°，∴∠ECB=∠ACB−∠ACE=90°−60°=30°，11.B解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产(x+30)万件产品，依题意，得：400x =500x+30．12.C解：将图象中的三个点(3,0.8)、(4,0.9)、(5,0.6)代入函数关系p=at2+bt+c中，{9a+3b+c=0.8 16a+4b+c=0.9 25a+5b+c=0.6，解得{a=−0.2 b=1.5c=−1.9，所以函数关系式为：p=−0.2t2+1.5t−1.9，由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：t=−b2a =− 1.52×(−0.2)=3.75，则当t=3.75分钟时，可以得到最佳时间．13.5 5解：这次调查中的众数是5，这次调查中的中位数是5+52=5，14.7解：设每人有牌x张，B同学从A同学处拿来二张扑克牌，又从C同学处拿来三张扑克牌后，则B同学有(x+2+3)张牌，A同学有(x−2)张牌，那么给A同学后B同学手中剩余的扑克牌的张数为：x+2+3−(x−2)=x+5−x+ 2=7．15.3π解：∵圆锥的侧面展开图是扇形，∴S侧=πrl=3×1π=3π，∴该圆锥的侧面展开图的面积为3π．16.1 √5−12解：(1)∵MN为⊙O的直径，∴∠MPN=90°，∵PQ⊥MN，∴∠PQN=∠MPN=90°，∵NE平分∠PNM，∴∠MNE=∠PNE，∴△PEN∽△QFN，∴PEQF =PNQN，即PEPN=QFQN①，∵∠PNQ+∠NPQ=∠PNQ+∠PMQ=90°，∴∠NPQ=∠PMQ，∵∠PQN=∠PQM=90°，∴△NPQ∽△PMQ，∴PNMP =NQPQ②，∴①×②得PEPM =QFPQ，∵QF=PQ−PF，∴PEPM =QFPQ=1−PFPQ，∴PFPQ +PEPM=1，故答案为：1；(2)∵∠PNQ=∠MNP，∠NQP=∠NPQ，∴△NPQ∽△NMP，∴PNMN =QNPN，∴PN2=QN⋅MN，∵PN 2=PM ⋅MN ， ∴PM =QN ， ∴MQ NQ=MQ PM，∵tan∠M =MQPM =PMMN ， ∴MQ NQ =PM MN，∴MQ NQ=NQ MQ+NQ，∴NQ 2=MQ 2+MQ ⋅NQ ，即1=MQ 2NQ 2+MQ NQ，设MQNQ =x ，则x 2+x −1=0， 解得，x =√5−12，或x =−√5+12<0(舍去)，∴MQ NQ=√5−12，17. 解：原式=3−1+√2×√22+4 =2+1+4 =7．18. 解：x+2x 2−6x+9⋅x 2−9x+2−xx−3=x+2(x−3)2⋅(x+3)(x−3)x+2−xx−3=x+3x−3−xx−3 =3x−3，当x =4时，原式=34−3=3．19. ①解：(1)这种作已知角的平分线的方法的依据是①SSS ． 故答案为：①(2)由基本作图方法可得：OM =ON ，OC =OC ，MC =NC ， 则在△OMC 和△ONC 中， {OM =ON OC =OC MC =NC， ∴△OMC≌△ONC(SSS)， ∴∠AOC =∠BOC ，即OC 为∠AOB 的平分线．20.200 86 27解：(1)20÷10%=200(人)，故答案为：200；(2)200×43%=86(人)，54÷200=27%，即，n=27，故答案为：86，27；(3)200×20%=40(人)，补全条形统计图如图所示：(4)3000×27%=810(人)，答：该校3000名学生中一周劳动4次及以上的有810人．21.解：(1)如图，连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠OAC，∴∠OCA=∠DAC，∴AD//OC，∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，又OC是⊙O的半径，∴DC为⊙O的切线；(2)过点O作OE⊥AC于点E，在Rt△ADC中，AD=3，DC=√3，∴tan∠DAC=DCAD =√33，∴∠DAC=30°，∴AC=2DC=2√3，∵OE⊥AC，根据垂径定理，得AE=EC=12AC=√3，∵∠EAO =∠DAC =30°，∴OA =AE cos30∘=2， ∴⊙O 的半径为2． 22. 解：(1)设A 种型号货车每辆满载能运x 吨生活物资，B 种型号货车每辆满载能运y 吨生活物资，依题意，得：{x +3y =282x +5y =50， 解得：{x =10y =6． 答：A 种型号货车每辆满载能运10吨生活物资，B 种型号货车每辆满载能运6吨生活物资．(2)设还需联系m 辆B 种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地， 依题意，得：10×3+6m ≥62.4，解得：m ≥5.4，又∵m 为正整数，∴m 的最小值为6．答：至少还需联系6辆B 种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．23. (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =∠C =∠D =90°，由翻折可知，∠D =∠AFE =90°，∴∠AFB +∠EFC =90°，∠EFC +∠CEF =90°，∴∠AFB =∠FEC ，∴△ABF∽△FCE ．(2)设EC =x ，由翻折可知，AD =AF =4，∴BF =√AF 2−AB 2=√16−12=2，∴CF =BC −BF =2，∵△ABF∽△FCE ，∴AB CF =BF EC ， ∴2√32=2x ，∴x =2√33， ∴EC =2√33．(3)∵△ABF∽△FCE ，∴AF EF =ABCF ，∴tanα+tanβ=BF AB +EF AF =BF AB +CF AB =BF+CFAB =BCAB ， 设AB =CD =a ，BC =AD =b ，DE =x ，∴AE =DE +2CE =x +2(a −x)=2a −x ，∵AD =AF =b ，DE =EF =x ，∠B =∠C =∠D =90°，∴BF =√b 2−a 2，CF =√x 2−(a −x)2=√2ax −a 2，∵AD 2+DE 2=AE 2，∴b 2+x 2=(2a −x)2，∴a 2−ax =14b 2，∵△ABF∽△FCE ，∴AB CF =BF EC ， ∴√x 2−(a−x)2=√b 2−a 2a−x ，∴a 2−ax =√b 2−a 2⋅√2ax −a 2，∴14b 2=√b 2−a 2⋅√a 2−12b 2，整理得，16a 4−24a 2b 2+9b 4=0，∴(4a 2−3b 2)2=0，∴b a =2√33， ∴tanα+tanβ=BC AB =2√33．24. √ √ ×解：(1)①y =2x 是“H 函数”.②y =m x (m ≠0)是“H 函数”.③y =3x −1不是“H 函数”．故答案为：√，√，×．(2)∵A ，B 是“H 点”，∴A ，B 关于原点对称，∴m =4，n =1，∴A(1,4)，B(−1,−4)，代入y =ax 2+bx +c(a ≠0)得{a +b +c =4a −b +c +−4， ∴{b =4a +c =0， ∵该函数的对称轴始终位于直线x =2的右侧， ∴−b 2a >2，∴−42a >2，∴−1<a <0，∵a +c =0，∴0<c <1，综上所述，−1<a <0，b =4，0<c <1．(3)∵y =ax 2+2bx +3c 是“H 函数”，∴设H(p,q)和(−p,−q)，代入得到{ap 2+2bp +3c =q ap 2−2bp +3c =−q， 解得ap 2+3c =0，2bp =q ，∵p 2>0，∴a ，c 异号，∴ac <0，∵a +b +c =0，∴b =−a −c ，∵(2c +b −a)(2c +b +3a)<0，∴(2c −a −c −a)(2c −a −c +3a)<0，∴(c −2a)(c +2a)<0，∴c 2<4a 2，∴c 2a 2<4，∴−2<c a <2， 设t =c a ，则−2<t <0，设函数与x 轴交于(x 1,0)，(x 2,0)，∴x 1，x 2是方程ax 2+2bx +3c =0的两根，∴|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√(−2b a )2−4⋅3c a =√4(a+c)2a 2−12c a=√4[1+2c a +(c a )2−3c a ]=2√1+2t +t 2−3t=2√(t −12)2+34， ∵−2<t <0，∴2<|x 1−x 2|<2√7．25. 解：(1)如图1中，过点O 作OH ⊥AB 于H ．∵OA =OB =4，OH ⊥AB ，∴AH =HB =12AB =2√3，∠AOH =∠BOH ，∴sin∠AOH =AH AO =√32， ∴∠AOH =60°，∴∠AOB =2∠AOH =120°．(2)如图2中，连接OC．∵OA=OC=OB，AD=DC，CE=EB，∴OD⊥AC，OE⊥CB，∴∠ODC=∠OEC=90°，∴∠ODC+∠OEC=180°，∴O，D，C，E四点共圆，∴OC是直径，∴OC的中点P是△OED的外接圆的圆心，∴OP=12OC=2，∴点P的运动路径的长=120⋅π⋅2180=4π3．(3)如图3中，连接OC交AB于J，过点O作OH⊥AB于H，过点C作CK⊥AB于K．∵AD=CD，CE=EB，∴DE//AB，AB=2DE，∴△CDE∽△CAB，∴S△CDES△CAB =(DEAB)2=14，∴S△ABC=4S2，∵S△ADO=S△ODC，S△OBE=S△OEC，∴S四边形ODCE =12S四边形OACB，∴S1+S2=12(4S2+4√3)=2S2+2√3，∴S1=S2+2√3，∵S12−S22=21，∴S22+4√3S2+12−S22=21，∴S2=3√34，∴S△ABC=3√3=12×AB×CK，∴CK=32，∵OH ⊥AB ，CK ⊥AB ，∴OH//CK ，∴△CKJ∽△OHJ ，∴CK OH=CJ OJ ， ∴CJ OJ =322=34， ∴CJ =37×4=127，OJ =47×4=167， ∴JK =√CJ 2−CK 2=√(127)2−(32)2=3√1514，JH =√OJ 2−OH 2=√(167)2−22=2√157， ∴KH =√152，∴AK =AH =KH =2√3−√152，∴AC =√AK 2+CK 2=√(2√3−√152)2+(32)2=√18−6√5=√15−√3．。
2020年湖南长沙市中考数学试卷(含详细解析)
B．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球
C．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是红球
D．第一次摸出的球是红球的概率是 ；两次摸出的球都是红球的概率是
9．2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”这个节日的昵称是“π（Day）”国际数学日之所以定在3月14日，是因为3．14与圆周率的数值最接近的数字，在古代，一个国家所算的的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展的水平的主要标志，我国南北朝时期的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第七位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年，以下对圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比；其中正确的是（）
A． B． C． D．
6．从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（）
A． 米B． 米C．21米D．42米
7．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（）
A． B．
C． D．
8．一个不透明的袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个，下列说法中，错误的是（）
第一步，A同学拿出三张扑克牌给B同学；
第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；
第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学，
请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为___________________．
15．若一个圆锥的母线长是3，底面半径是1，则它的侧面展开图的面积是_____．
2020年湖南省长沙市中考数学试题和答案
2020年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）（﹣2）3的值等于（）A．﹣6B．6C．8D．﹣82．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）为了将“新冠”疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展．据国家统计局相关数据显示，2020年1月至5月，全国累计办理出口退税632400000000元，其中数字632400000000用科学记数法表示为（）A．6.324×1011B．6.324×1010C．632.4×109D．0.6324×10124．（3分）下列运算正确的是（）A．+＝B．x8÷x2＝x6C．×＝D．（a5）2＝a7 5．（3分）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜娟花开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为106m3土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间的函数关系式是（）A．v＝B．v＝106t C．v＝t2D．v＝106t26．（3分）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是（）A．42米B．14米C．21米D．42米7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．8．（3分）一个不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．下列说法中，错误的是（）A．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球B．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球C．第一次摸出的球是红球的概率是D．两次摸出的球都是红球的概率是9．（3分）2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”．这个节日的昵称是“π（Day）”．国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比．其中表述正确的序号是（）A．②③B．①③C．①④D．②④10．（3分）如图：一块直角三角板的60°角的顶点A与直角顶点C 分别在两平行线FD、GH上，斜边AB平分∠CAD，交直线GH 于点E，则∠ECB的大小为（）A．60°B．45°C．30°D．25°11．（3分）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得（）A．＝B．＝C．＝D．＝12．（3分）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：p＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．（3分）长沙地铁3号线、5号线即将试运行，为了解市民每周乘坐地铁出行的次数，某校园小记者随机调查了100名市民，得到如下统计表：次数7次及654321次及以上以下人数81231241564这次调查中的众数和中位数分别是，．14．（3分）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：第一步，A同学拿出二张扑克牌给B同学；第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为．15．（3分）已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为．16．（3分）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M，N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F．（1）+＝．（2）若PN2＝PM•MN，则＝．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：|﹣3|﹣（﹣1）0+cos45°+（）﹣1．18．（6分）先化简再求值：•﹣，其中x＝4．19．（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC，射线OC即为所求（如图）．请你根据提供的材料完成下面问题．（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是．（填序号）①SSS②SAS③AAS④ASA（2）请你证明OC为∠AOB的平分线．20．（8分）2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表：（1）这次调查活动共抽取人；（2）m＝，n＝；（3）请将条形统计图补充完整；（4）若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数．21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C 点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC＝，求⊙O的半径．22．（9分）今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如下：第一批第二批A型货车的辆数（单位：辆）12B型货车的辆数（单位：辆）35累计运输物资的吨数（单位：吨）2850备注：第一批、第二批每辆货车均满载（1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？（2）该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A种型号货车．试问至少还需联系多少辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？23．（9分）在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE 翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝2，AD＝4，求EC的长；（3）若AE﹣DE＝2EC，记∠BAF＝α，∠FAE＝β，求tanα+tanβ的值．24．（10分）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题．（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”．①y＝2x（）；②y＝（m≠0）（）；③y＝3x﹣1（）．（2）若点A（1，m）与点B（n，﹣4）是关于x的“H函数”y ＝ax2+bx+c（a≠0）的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．（3）若关于x的“H函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①a+b+c＝0，②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．25．（10分）如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为4，点C 是劣弧上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE．（1）求∠AOB的度数；（2）当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度；（3）分别记△ODE，△CDE的面积为S1，S2，当S12﹣S22＝21时，求弦AC的长度．答案一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．参考答案：解：（﹣2）3＝﹣8，故选：D．2．参考答案：解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．3．参考答案：解：632 400 000 000＝6.324×1011，故选：A．4．参考答案：解：A、与不是同类项，不能合并，计算错误，故本选项不符合题意．B、原式＝x8﹣2＝x6，计算正确，故本选项符合题意．C、原式＝＝，计算错误，故本选项不符合题意．D、原式＝a5×2＝a10，计算错误，故本选项不符合题意．故选：B．5．参考答案：解：∵运送土石方总量＝平均运送土石方的速度v×完成运送任务所需时间t，∴106＝vt，∴v＝，故选：A．6．参考答案：解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°＝42（米）故选：A．7．参考答案：解：由不等式组，得﹣2≤x＜2，故该不等式组的解集在数轴表示为：故选：D．8．参考答案：解：A、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故本选项错误；B、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球，故本选项正确；C、∵不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，∴第一次摸出的球是红球的概率是，故本选项正确；D、共用9种等情况数，分别是红红、红绿、红绿、绿红、绿绿、绿绿、绿红、绿绿、绿绿，则两次摸出的球都是红球的概率是，故本选项正确；故选：A．9．参考答案：解：因为圆周率是一个无理数，是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，所以表述正确的序号是②③；故选：A．10．参考答案：解：∵AB平分∠CAD，∴∠CAD＝2∠BAC＝120°，又∵DF∥HG，∴∠ACE＝180°﹣∠DAC＝180°﹣120°＝60°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＝∠ACB﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，故选：C．11．参考答案：解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，依题意，得：＝．故选：B．12．参考答案：解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系p＝at2+bt+c中，，解得，所以函数关系式为：p＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：t＝﹣＝﹣＝3.75，则当t＝3.75分钟时，可以得到最佳时间．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．参考答案：解：这次调查中的众数是5，这次调查中的中位数是，故答案为：5；5．14．参考答案：解：设每人有牌x张，B同学从A同学处拿来二张扑克牌，又从C同学处拿来三张扑克牌后，则B同学有（x+2+3）张牌，A同学有（x﹣2）张牌，那么给A同学后B同学手中剩余的扑克牌的张数为：x+2+3﹣（x ﹣2）＝x+5﹣x+2＝7．故答案为：7．15．参考答案：解：∵圆锥的侧面展开图是扇形，∴S侧＝πrl＝3×1π＝3π，∴该圆锥的侧面展开图的面积为3π．故答案为：3π．16．参考答案：解：（1）∵MN为⊙O的直径，∴∠MPN＝90°，∵PQ⊥MN，∴∠PQN＝∠MPN＝90°，∵NE平分∠PNM，∴∠MNE＝∠PNE，∴△PEN∽△QFN，∴，即①，∵∠PNQ+∠NPQ＝∠PNQ+∠PMQ＝90°，∴∠NPQ＝∠PMQ，∵∠PQN＝∠PQM＝90°，∴△NPQ∽△PMQ，∴②，∴①×②得，∵QF＝PQ﹣PF，∴＝1﹣，∴+＝1，故答案为：1；（2）∵∠PNQ＝∠MNP，∠NQP＝∠NPM，∴△NPQ∽△NMP，∴，∴PN2＝QN•MN，∵PN2＝PM•MN，∴PM＝QN，∴，∵cos∠M＝，∴，∴，∴NQ2＝MQ2+MQ•NQ，即，设，则x2+x﹣1＝0，解得，x＝，或x＝﹣＜0（舍去），∴＝，故答案为：．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．参考答案：解：原式＝3﹣1+4＝2+1+4＝7．18．参考答案：解：•﹣＝＝＝，当x＝4时，原式＝＝3．19．参考答案：解：（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是①SSS．故答案为：①（2）由基本作图方法可得：OM＝ON，OC＝OC，MC＝NC，则在△OMC和△ONC中，，∴△OMC≌△ONC（SSS），∴∠AOC＝∠BOC，即OC为∠AOB的平分线．20．参考答案：解：（1）20÷10%＝200（人），故答案为：200；（2）200×43%＝86（人），54÷200＝27%，即，m＝86，n＝27，故答案为：86，27；（3）200×20%＝40（人），补全条形统计图如图所示：（4）3000×27%＝810（人），答：该校3000名学生中一周劳动4次及以上的有810人．21．参考答案：解：（1）如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，又OC是⊙O的半径，∴DC为⊙O的切线；（2）过点O作OE⊥AC于点E，在Rt△ADC中，AD＝3，DC＝，∴tan∠DAC＝＝，∴∠DAC＝30°，∴AC＝2DC＝2，∵OE⊥AC，根据垂径定理，得AE＝EC＝AC＝，∵∠EAO＝∠DAC＝30°，∴OA＝＝2，∴⊙O的半径为2．22．参考答案：解：（1）设A种型号货车每辆满载能运x吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运y吨生活物资，依题意，得：，解得：．答：A种型号货车每辆满载能运10吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运6吨生活物资．（2）设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，依题意，得：10×3+6m≥62.4，解得：m≥5.4，又∵m为正整数，∴m的最小值为6．答：至少还需联系6辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．23．参考答案：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，由翻折可知，∠D＝∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠CEF＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）设EC＝x，由翻折可知，AD＝AF＝4，∴BF＝＝＝2，∴CF＝BC﹣BF＝2，∵△ABF∽△FCE，∴＝，∴＝，∴x＝，∴EC＝．（3）∵△ABF∽△FCE，∴＝，∴tanα+tanβ＝+＝+＝＝，设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，∴AE＝DE+2CE＝x+2（a﹣x）＝2a﹣x，∵AD＝AF＝b，DE＝EF＝x，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴BF＝，CF＝＝，∵AD2+DE2＝AE2，∴b2+x2＝（2a﹣x）2，∴a2﹣ax＝b2，∵△ABF∽△FCE，∴＝，∴＝，∴a2﹣ax＝•，∴b2＝•，整理得，16a4﹣24a2b2+9b4＝0，∴（4a2﹣3b2）2＝0，∴＝，∴tanα+tanβ＝＝．24．参考答案：解：（1）①y＝2x是“H函数”．②y＝（m≠0）是“H函数”．③y＝3x﹣1不是“H函数”．故答案为：√，√，×．（2）∵A，B是“H点”，∴A，B关于原点对称，∴m＝4，n＝﹣1，∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得，∴，∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，∴﹣＞2，∴﹣＞2，∴﹣1＜a＜0，∵a+c＝0，∴0＜c＜1，综上所述，﹣1＜a＜0，b＝4，0＜c＜1．（3）∵y＝ax2+2bx+3c是“H函数”，∴设H（p，q）和（﹣p，﹣q），代入得到，解得ap2+3c＝0，2bp＝q，∵p2＞0，∴a，c异号，∴ac＜0，∵a+b+c＝0，∴b＝﹣a﹣c，∵（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，∴（2c﹣a﹣c﹣a）（2c﹣a﹣c+3a）＜0，∴（c﹣2a）（c+2a）＜0，∴c2＜4a2，∴＜4，∴﹣2＜＜2，设t＝，则﹣2＜t＜0，设函数与x轴交于（x1，0），（x2，0），∴x1，x2是方程ax2+2bx+3c＝0的两根，∴|x 1﹣x2|＝＝＝＝＝2＝2，∵﹣2＜t＜0，∴2＜|x 1﹣x2|＜2．25．参考答案：解：（1）如图1中，过点O作OH⊥AB于H．∵OA＝OB＝4，OH⊥AB，∴AH＝HB＝AB＝2，∠AOH＝∠BOH，∴sin∠AOH＝＝，∴∠AOH＝60°，∴∠AOB＝2∠AOH＝120°．（2）如图2中，连接OC，取OC的中点P，连接DP，∵OA＝OC＝OB，AD＝DC，CE＝EB，∴OD⊥AC，OE⊥CB，∴∠ODC＝∠OEC＝90°，∴∠ODC+∠OEC＝180°，∴O，D，C，E四点共圆，∴OC是直径，∴OC的中点P是△OED的外接圆的圆心，∴OP＝OC＝2，∴点P在以O为圆心，2为半径的圆上运动，∵∠AOB＝120°，∴点P的运动路径的长＝＝．（3）当点C靠近A点时，如图3中，当AC＜BC时，连接OC交AB于J，过点O作OH⊥AB于H，过点C作CK⊥AB于K．∵AD＝CD，CE＝EB，∴DE∥AB，AB＝2DE，∴△CDE∽△CAB，∴＝（）2＝，∴S△ABC＝4S2，∵S△ADO＝S△ODC，S△OBE＝S△OEC，∴S四边形ODCE＝S四边形OACB，∴S 1+S2＝（4S2+4）＝2S2+2，∴S 1＝S2+2，∵S12﹣S22＝21，∴S 22+4S2+12﹣S22＝21，∴S2＝，∴S △ABC＝3＝×AB×CK，∴CK＝，∵OH⊥AB，CK⊥AB，∴OH∥CK，∴△CKJ∽△OHJ，∴＝，∴＝＝，∴CJ＝×4＝，OJ＝×4＝，∴JK＝＝＝，JH＝＝＝，∴KH＝，∴AK＝AH﹣KH＝2﹣，∴AC＝＝＝＝﹣．当AC＞BC时，同法可得AC＝+，同理，当点C靠近B点时，可知AC＝＝+．综上所述，满足条件的AC的值为±．。
湖南长沙市2020年中考数学试题(解析版)
A. B. C. D.
【答案】A
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先分别解出两个不等式，然后找出解集，表示在数轴上即可．
详解】解： ，
由①得，x≥−2，
由②得，x＜2，
故原不等式组的解集为：−2≤x＜2．
在数轴上表示为：
故答案为：D．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法及在数轴上表示解集，在数轴上表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由总量=vt，求出v即可．
【详解】解（1）∵vt=106，
∴v= ，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
6.从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（）
A. 米B. 米C.21米D.42米
【答案】A
【解析】
【分析】
在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．
【详解】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42 （米）.
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
7.不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（）
2020年湖南长沙中考数学试题及答案
（1）求证：
（2）若 ，求EC的长；
（3）若 ，记 ，求 的值．
24.我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H点”，根据该约定，完成下列各题
13.5、514. 15.3π．16. (1).1(2).1
17.7
解：
=7
18. ,3
．
将x=4代入可得:
原式= ．
19.（1）①；（2）证明见解析
（1）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC，从而得到OC为 的平分线；
故答案为：①；
16.如图，点P在以MN为直径的半圆上运动，（点P与M，N不重合） 平分 ，交PM于点E，交PQ于点F．
(1) ___________________．
(2)若 ，则 ___________________．
三、解答题
17.计算：
18.先化简，再求值 ，其中
19.人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
∴∠AFB+∠CFE=90°，
∴∠BAF=∠CFE，
∴△ABF∽△FCE．
（2）解：∵△AFE是△ADE翻折得到的，
∴AF=AD=4，
∴BF= ，
∴CF=BC-BF=AD-BF=2，
由（1）得△ABF∽△FCE，
∴பைடு நூலகம்，
∴ ，
∴EC= ．
（3）
解：由（1）得△ABF∽△FCE，
∴∠CEF=∠BAF= ，
2020年湖南省长沙市中考数学试卷(后附答案)
2020年湖南省长沙市中考数学试卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.(−2)3的值等于()A. −6B. 6C. 8D. −82.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是()A. B. C. D.3.为了将“新冠”疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展．据国家统计局相关数据显示，2020年1月至5月，全国累计办理出口退税632400000000元，其中数字632400000000用科学记数法表示为()A. 6.324×1011B. 6.324×1010C. 632.4×109D. 0.6324×10124.下列运算正确的是()A. √3+√2=√5B. x8÷x2=x6C. √3×√2=√5D. (a5)2=a75.2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜娟花开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为106m3土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度v(单位：m3/天)与完成运送任务所需时间t(单位：天)之间的函数关系式是()A. v=106t B. v=106t C. v=1106t2 D. v=106t26.从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是()A. 42√3米B. 14√3米C. 21米D. 42米7.不等式组{x+1≥−1x2<1的解集在数轴上表示正确的是()A. B.C. D.8.一个不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．下列说法中，错误的是()A. 第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球B. 第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球C. 第一次摸出的球是红球的概率是13D. 两次摸出的球都是红球的概率是199.2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”.这个节日的昵称是“π(Day)”.国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比．其中表述正确的序号是()A. ②③B. ①③C. ①④D. ②④10.如图：一块直角三角板的60°角的顶点A与直角顶点C分别在两平行线FD、GH上，斜边AB平分∠CAD，交直线GH于点E，则∠ECB的大小为()A. 60°B. 45°C. 30°D. 25°11.随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得()A. 400x−30=500xB. 400x=500x+30C. 400x=500x−30D. 400x+30=500x12.“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t(单位：分钟)近似满足的函数关系为：p=at2+bt+c(a≠0,a，b，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为()A. 3.50分钟B. 4.05分钟C. 3.75分钟D. 4.25分钟第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.长沙地铁3号线、5号线即将试运行，为了解市民每周乘坐地铁出行的次数，某校园小记者随机调查了100名市民，得到如下统计表：次数7次及以上654321次及以下人数81231241564这次调查中的众数和中位数分别是______，______．14.某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌(假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多)，然后依次完成以下三个步骤：第一步，A同学拿出二张扑克牌给B同学；第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为______．15.已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为______．16.如图，点P在以MN为直径的半圆上运动(点P不与M，N重合)，PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F．(1)PFPQ +PEPM=______．(2)若PN2=PM⋅MN，则MQNQ=______．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）17.计算：|−3|−(√10−1)0+√2cos45°+(14)−1．18.先化简再求值：x+2x2−6x+9⋅x2−9x+2−xx−3，其中x=4．19.人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．(2)分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．(3)画射线OC，射线OC即为所求(如图)．请你根据提供的材料完成下面问题．(1)这种作已知角的平分线的方法的依据是______.(填序号)①SSS②SAS③AAS④ASA(2)请你证明OC为∠AOB的平分线．20.2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》.长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”.为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表：(1)这次调查活动共抽取______人；(2)m=______，n=______；(3)请将条形统计图补充完整；(4)若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数．21.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．(1)求证：DC为⊙O的切线．(2)若AD=3，DC=√3，求⊙O的半径．22.今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如下：第一批第二批A型货车的辆数(单位：辆)12B型货车的辆数(单位：辆)35累计运输物资的吨数(单位：吨)2850备注：第一批、第二批每辆货车均满载(1)求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？(2)该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A种型号货车．试问至少还需联系多少辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？23.在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．(1)求证：△ABF∽△FCE；(2)若AB=2√3，AD=4，求EC的长；(3)若AE−DE=2EC，记∠BAF=α，∠FAE=β，求tanα+tanβ的值．24.我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”.根据该约定，完成下列各题．(1)在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”．①y=2x(______)；②y=m(m≠0)(______)；x③y=3x−1(______).(2)若点A(1,m)与点B(n,−4)是关于x的“H函数”y=ax2+bx+c(a≠0)的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x=2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．(3)若关于x的“H函数”y=ax2+2bx+3c(a,b，c是常数)同时满足下列两个条件：①a+b+c=0，②(2c+b−a)(2c+b+3a)<0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．25.如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为4√3，点C是劣弧AB⏜上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE．(1)求∠AOB的度数；(2)当点C沿着劣弧AB⏜从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度；(3)分别记△ODE，△CDE的面积为S1，S2，当S12−S22=21时，求弦AC的长度．答案和解析1.【答案】D【解析】解：(−2)3=−8，故选：D．根据有理数的乘方的运算法则即可得到结果．此题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方的运算法则是解本题的关键．2.【答案】B【解析】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解即可．本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，注意掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3.【答案】A【解析】解：632400000000=6.324×1011，故选：A．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】B【解析】解：A、√3与√2不是同类项，不能合并，计算错误，故本选项不符合题意．B、原式=x8−2=x6，计算正确，故本选项符合题意．C、原式=√3×2=√6，计算错误，故本选项不符合题意．D、原式=a5×2=a10，计算错误，故本选项不符合题意．故选：B．根据二次根式的混合运算法则，同底数幂的除法运算法则以及幂的乘方与积的乘方计算法则进行解答．本题主要考查了二次根式的混合运算，幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的除法，属于基础计算题，熟记相关计算法则即可解答．5.【答案】A【解析】解：∵运送土石方总量=平均运送土石方的速度v×完成运送任务所需时间t，∴106=vt，∴v=106，t故选：A ．按照运送土石方总量=平均运送土石方的速度v ×完成运送任务所需时间t ，列出等式，然后变形得出v 关于t 的函数，观察选项可得答案．本题考查了反比例函数的应用，理清题中的数量关系是得出函数关系式的关键． 6.【答案】A【解析】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42√3(米) 故选：A ．在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．本题考查解直角三角形的应用−仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 7.【答案】D【解析】解：由不等式组{x +1≥−1x 2<1，得−2≤x <2，故该不等式组的解集在数轴表示为：故选：D ．根据解不等式组的方法可以求得该不等组的解集，从而可以将该不等式组的解集在数轴上表示出来，本题得以解决．本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法． 8.【答案】A【解析】解：A 、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故本选项错误； B 、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球，故本选项正确；C 、∵不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，∴第一次摸出的球是红球的概率是13，故本选项正确； D 、共用9种等情况数，分别是红红、红绿、红绿、绿红、绿绿、绿绿、绿红、绿绿、绿绿，则两次摸出的球都是红球的概率是19，故本选项正确；故选：A ．根据概率公式分别对每一项进行分析即可得出答案．此题考查了概率的求法，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 9.【答案】A【解析】解：因为圆周率是一个无理数，是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比， 所以表述正确的序号是②③； 故选：A ．根据实数的分类和π的特点进行解答即可得出答案．此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和“π”的意义是解题的关键． 10.【答案】C【解析】解：∵AB平分∠CAD，∴∠CAD=2∠BAC=120°，又∵DF//HG，∴∠ACE=180°−∠DAC=180°−120°=60°，又∵∠ACB=90°，∴∠ECB=∠ACB−∠ACE=90°−60°=30°，故选：C．依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠ACE的度数，进而得出∠ECB的度数．本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．11.【答案】B【解析】解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产(x+30)万件产品，依题意，得：400x =500x+30．故选：B．设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产(x+30)万件产品，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．12.【答案】C【解析】解：将图象中的三个点(3,0.8)、(4,0.9)、(5,0.6)代入函数关系p=at2+bt+c中，{9a+3b+c=0.8 16a+4b+c=0.9 25a+5b+c=0.6，解得{a=−0.2 b=1.5c=−1.9，所以函数关系式为：p=−0.2t2+1.5t−1.9，由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：t=−b2a =− 1.52×(−0.2)=3.75，则当t=3.75分钟时，可以得到最佳时间．故选：C．将图象中的三个点(3,0.8)、(4,0.9)、(5,0.6)代入函数关系p=at2+bt+c中，可得函数关系式为：p=−0.2t2+1.5t−1.9，再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标，求出即可得结论．本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．13.【答案】5 5【解析】解：这次调查中的众数是5，这次调查中的中位数是5+52=5，故答案为：5；5．根据中位数和众数的概念求解即可．本题考查中位数和众数的概念；在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；将一组数据从小到大依次排列，把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数．14.【答案】7【解析】解：设每人有牌x张，B同学从A同学处拿来二张扑克牌，又从C同学处拿来三张扑克牌后，则B同学有(x+2+3)张牌，A同学有(x−2)张牌，那么给A同学后B同学手中剩余的扑克牌的张数为：x+2+3−(x−2)=x+5−x+2=7．故答案为：7．本题是整式加减法的综合运用，设每人有牌x张，解答时依题意列出算式，求出答案．本题考查了整式的加减法，此题目的关键是注意要表示清A同学有(x−2)张．15.【答案】3π【解析】解：∵圆锥的侧面展开图是扇形，∴S侧=πrl=3×1π=3π，∴该圆锥的侧面展开图的面积为3π．故答案为：3π．根据圆锥的侧面积公式：S侧=12×2πr⋅l=πrl.即可得圆锥的侧面展开图的面积．本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的侧面展开图的扇形面积公式．16.【答案】1 √5−12【解析】解：(1)∵MN为⊙O的直径，∴∠MPN=90°，∵PQ⊥MN，∴∠PQN=∠MPN=90°，∵NE平分∠PNM，∴∠MNE=∠PNE，∴△PEN∽△QFN，∴PEQF =PNQN，即PEPN=QFQN①，∵∠PNQ+∠NPQ=∠PNQ+∠PMQ=90°，∴∠NPQ=∠PMQ，∵∠PQN=∠PQM=90°，∴△NPQ∽△PMQ，∴PNMP =NQPQ②，∴①×②得PEPM =QFPQ，∵QF=PQ−PF，∴PEPM =QFPQ=1−PFPQ，∴PF PQ +PE PM =1，故答案为：1；(2)∵∠PNQ =∠MNP ，∠NQP =∠NPQ ，∴△NPQ∽△NMP ，∴PN MN =QN PN ，∴PN 2=QN ⋅MN ，∵PN 2=PM ⋅MN ，∴PM =QN ，∴MQ NQ =MQ PM ，∵tan∠M =MQ PM =PM MN ， ∴MQ NQ =PM MN ， ∴MQ NQ =NQ MQ+NQ ，∴NQ 2=MQ 2+MQ ⋅NQ ，即1=MQ 2NQ 2+MQ NQ ， 设MQ NQ =x ，则x 2+x −1=0，解得，x =√5−12，或x =−√5+12<0(舍去)， ∴MQ NQ =√5−12， 故答案为：√5−12．(1)证明△PEN∽△QFN ，得PE PN =QF QN ①，证明△NPQ∽△PMQ ，得PN MP =NQ PQ ②，再①×②得PE PM =QF PQ ，再变形比例式便可求得结果； (2)证明△NPQ∽△NMP ，得PN 2=NQ ⋅MN ，结合已知条件得PM =NQ ，再根据三角函数得MQ NQ =PM MN ，进而得MQ 与NQ 的方程，再解一元二次方程得答案．本题主要考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的定义，关键是灵活地变换比例式．17.【答案】解：原式=3−1+√2×√22+4 =2+1+4=7．【解析】首先化简绝对值，求零指数幂，特殊角的三角函数，负整数指数幂，再按顺序进行加减运算． 本题主要考查了化简绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数，负整数指数幂，熟练掌握实数的运算法则是解答此题的关键．18.【答案】解：x+2x 2−6x+9⋅x 2−9x+2−x x−3=x+2(x−3)2⋅(x+3)(x−3)x+2−xx−3=x+3x−3−xx−3=3x−3，当x=4时，原式=34−3=3．【解析】根据分式的乘法和减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．19.【答案】①【解析】解：(1)这种作已知角的平分线的方法的依据是①SSS．故答案为：①(2)由基本作图方法可得：OM=ON，OC=OC，MC=NC，则在△OMC和△ONC中，{OM=ON OC=OC MC=NC，∴△OMC≌△ONC(SSS)，∴∠AOC=∠BOC，即OC为∠AOB的平分线．(1)直接利用角平分线的作法得出基本依据；(2)直接利用全等三角形的判定与与性质得出答案．此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．20.【答案】200 86 27【解析】解：(1)20÷10%=200(人)，故答案为：200；(2)200×43%=86(人)，54÷200=27%，即，n=27，故答案为：86，27；(3)200×20%=40(人)，补全条形统计图如图所示：(4)3000×27%=810(人)，答：该校3000名学生中一周劳动4次及以上的有810人．(1)从统计图中可知，“1次及以下”的频数为20，占调查人数的10%，可求出调查人数；(2)“3次”的占调查人数的43%，可求出“3次”的频数，确定m的值，进而求出“4次以上”的频率，确定n值，(3)求出“2次”的频数，即可补全条形统计图；(4)“4次以上”占27%，因此估计3000人的27%是“4次以上”的人数．本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的前提．21.【答案】解：(1)如图，连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠OAC，∴∠OCA=∠DAC，∴AD//OC，∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，又OC是⊙O的半径，∴DC为⊙O的切线；(2)过点O作OE⊥AC于点E，在Rt△ADC中，AD=3，DC=√3，∴tan∠DAC=DCAD =√33，∴∠DAC=30°，∴AC=2DC=2√3，∵OE⊥AC，根据垂径定理，得AE=EC=12AC=√3，∵∠EAO=∠DAC=30°，∴OA=AEcos30∘=2，∴⊙O的半径为2．【解析】(1)如图，连接OC，根据已知条件可以证明∠OCA=∠DAC，得AD//OC，由AD⊥DC，得OC⊥DC，进而可得DC为⊙O的切线；(2)过点O作OE⊥AC于点E，根据Rt△ADC中，AD=3，DC=√3，可得DAC=30°，再根据垂径定理可得AE 的长，进而可得⊙O 的半径．本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．22.【答案】解：(1)设A 种型号货车每辆满载能运x 吨生活物资，B 种型号货车每辆满载能运y 吨生活物资， 依题意，得：{x +3y =282x +5y =50， 解得：{x =10y =6． 答：A 种型号货车每辆满载能运10吨生活物资，B 种型号货车每辆满载能运6吨生活物资．(2)设还需联系m 辆B 种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，依题意，得：10×3+6m ≥62.4，解得：m ≥5.4，又∵m 为正整数，∴m 的最小值为6．答：至少还需联系6辆B 种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．【解析】(1)设A 种型号货车每辆满载能运x 吨生活物资，B 种型号货车每辆满载能运y 吨生活物资，根据前两批具体运算情况数据表，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设还需联系m 辆B 种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，根据要求一次性运送62.4吨生活物资，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中最小的整数值即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =∠C =∠D =90°，由翻折可知，∠D =∠AFE =90°，∴∠AFB +∠EFC =90°，∠EFC +∠CEF =90°，∴∠AFB =∠FEC ，∴△ABF∽△FCE ．(2)设EC =x ， 由翻折可知，AD =AF =4， ∴BF =√AF 2−AB 2=√16−12=2，∴CF =BC −BF =2，∵△ABF∽△FCE ，∴AB CF =BF EC ， ∴2√32=2x ，∴x =2√33， ∴EC =2√33．(3)∵△ABF∽△FCE ，∴AF EF =ABCF ，∴tanα+tanβ=BF AB +EF AF =BF AB +CF AB =BF+CF AB =BC AB ，设AB =CD =a ，BC =AD =b ，DE =x ，∴AE =DE +2CE =x +2(a −x)=2a −x ，∵AD =AF =b ，DE =EF =x ，∠B =∠C =∠D =90°，∴BF =√b 2−a 2，CF =√x 2−(a −x)2=√2ax −a 2，∵AD 2+DE 2=AE 2，∴b 2+x 2=(2a −x)2，∴a 2−ax =14b 2，∵△ABF∽△FCE ，∴AB CF =BF EC ， ∴√x 2−(a−x)2=√b 2−a 2a−x ，∴a 2−ax =√b 2−a 2⋅√2ax −a 2，∴14b 2=√b 2−a 2⋅√a 2−12b 2，整理得，16a 4−24a 2b 2+9b 4=0，∴(4a 2−3b 2)2=0，∴b a =2√33， ∴tanα+tanβ=BC AB =2√33．【解析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．(2)设EC =x ，证明△ABF∽△FCE ，可得AB CF =BF EC ，由此即可解决问题．(3)首先证明tanα+tanβ=BF AB +EF AF =BF AB +CF AB =BF+CFAB =BCAB ，设AB =CD =a ，BC =AD =b ，DE =x ，解直角三角形求出a ，b 之间的关系即可解决问题．本题属于相似三角形综合题，考查了矩形的性质翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中压轴题．24.【答案】√ √ ×【解析】解：(1)①y =2x 是“H 函数”.②y =m x (m ≠0)是“H 函数”.③y =3x −1不是“H 函数”．故答案为：√，√，×．(2)∵A ，B 是“H 点”，∴A ，B 关于原点对称，∴m =4，n =1，∴A(1,4)，B(−1,−4)，代入y =ax 2+bx +c(a ≠0)得{a +b +c =4a −b +c +−4，∴{b =4a +c =0， ∵该函数的对称轴始终位于直线x =2的右侧， ∴−b 2a >2，∴−42a >2，∴−1<a <0，∵a +c =0，∴0<c <1，综上所述，−1<a <0，b =4，0<c <1．(3)∵y =ax 2+2bx +3c 是“H 函数”，∴设H(p,q)和(−p,−q)，代入得到{ap 2+2bp +3c =q ap 2−2bp +3c =−q， 解得ap 2+3c =0，2bp =q ，∵p 2>0，∴a ，c 异号，∴ac <0，∵a +b +c =0，∴b =−a −c ，∵(2c +b −a)(2c +b +3a)<0，∴(2c −a −c −a)(2c −a −c +3a)<0，∴(c −2a)(c +2a)<0，∴c 2<4a 2，∴c 2a 2<4，∴−2<c a <2，设t =c a ，则−2<t <0，设函数与x 轴交于(x 1,0)，(x 2,0)，∴x 1，x 2是方程ax 2+2bx +3c =0的两根，∴|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√(−2b a )2−4⋅3c a =√4(a +c)2a 2−12c a=√4[1+2c a +(c a )2−3c a ]=2√1+2t +t 2−3t =2√(t −12)2+34， ∵−2<t <0，∴2<|x 1−x 2|<2√7．(1)根据“H 函数”的定义判断即可．(2)先根据题意求出m ，n 的取值范围，代入y =ax 2+bx +c 得到a ，b ，c 的关系，再根据对称轴在x =2的右侧即可求解．(3)设“H “点为(p,q)和(−p,−q)，代入y =ax 2+2bx +3c 得到ap 2+3c =0，2bp =q ，得到a ，c 异号，再根据a +b +c =0，代入(2c +b −a)(2x +b +3a)<0，求出ca 的取值，设函数与x 轴的交点为(x 1,0)，(x 2,0)，t =c a ，利用根与系数的关系得到|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√(t −12)2+34，再利用二次函数的性质即可求解．本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一元二次方程的根与系数的关系等知识，“H 函数”，“H 点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 25.【答案】解：(1)如图1中，过点O 作OH ⊥AB 于H ．∵OA =OB =4，OH ⊥AB ，∴AH =HB =12AB =2√3，∠AOH =∠BOH ， ∴sin∠AOH =AH AO =√32， ∴∠AOH =60°，∴∠AOB =2∠AOH =120°．(2)如图2中，连接OC ．∵OA =OC =OB ，AD =DC ，CE =EB ，∴OD ⊥AC ，OE ⊥CB ，∴∠ODC =∠OEC =90°，∴∠ODC +∠OEC =180°，∴O ，D ，C ，E 四点共圆，∴OC是直径，∴OC的中点P是△OED的外接圆的圆心，∴OP=12OC=2，∴点P的运动路径的长=120⋅π⋅2180=4π3．(3)如图3中，连接OC交AB于J，过点O作OH⊥AB于H，过点C作CK⊥AB于K．∵AD=CD，CE=EB，∴DE//AB，AB=2DE，∴△CDE∽△CAB，∴S△CDES△CAB =(DEAB)2=14，∴S△ABC=4S2，∵S△ADO=S△ODC，S△OBE=S△OEC，∴S四边形ODCE =12S四边形OACB，∴S1+S2=12(4S2+4√3)=2S2+2√3，∴S1=S2+2√3，∵S12−S22=21，∴S22+4√3S2+12−S22=21，∴S2=3√34，∴S△ABC=3√3=12×AB×CK，∴CK=32，∵OH⊥AB，CK⊥AB，∴OH//CK，∴△CKJ∽△OHJ，∴CKOH =CJOJ，∴CJOJ =322=34，∴CJ=37×4=127，OJ=47×4=167，∴JK =√CJ 2−CK 2=√(127)2−(32)2=3√1514，JH =√OJ 2−OH 2=√(167)2−22=2√157， ∴KH =√152， ∴AK =AH =KH =2√3−√152， ∴AC =√AK 2+CK 2=√(2√3−√152)2+(32)2=√18−6√5=√15−√3．【解析】(1)如图1中，过点O 作OH ⊥AB 于H.利用等腰三角形的性质求出∠AOH 即可．(2)连接OC ，证明O ，D ，C ，F 四点共圆，OC 的中点即为△ODE 外接圆的圆心，再利用弧长公式计算即可．(3)如图3中，连接OC 交AB 于J ，过点O 作OH ⊥AB 于H ，过点C 作CK ⊥AB 于K.证明△CDE∽△CAB ，推出S △CDE S△CAB =(DE AB )2=14，推出S △ABC =4S 2，因为S △ADO =S △ODC ，S △OBE =S △OEC ，推出S 四边形ODCE =12S 四边形OACB，可得S 1+S 2=12(4S 2+4√3)=2S 2+2√3，推出S 1=S 2+2√3，因为S 12−S 22=21，可得S 22+4√3S 2+12−S 22=21，推出S 2=3√34，利用三角形的面积公式求出CK ，解直角三角形求出AK 即可解决问题．本题属于圆综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
【2020精品中考数学提分卷】长沙市一中系初三一模数学试卷+答案
2020年长沙市一中系中考一模数学试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中,只有一项是符合要求的,请在答题卡中填涂符合题意的选项,本大题共12个小题,每小题3分,共36分)1.在下列选项中，具有相反意义的量是（）A.收入20元与支出30元B.上升了6米和后退了7米C.卖出10斤米和盈利10元D.向东行30米和向北行30米2. x的2倍与y的和的平方用代数式表示为（）A.（2x+y）2B.2x+y2C.2x2+y2D.2（x+y）23.人体中红细胞的直径约为0.0000077m，用科学记数法表示数的结果是（）A.0.77×10﹣5mB.0.77×10﹣6mC.7.7×10﹣5mD.7.7×10﹣6m4.已知点P（x+3，x﹣4）在x轴上，则x的值为（）A.3B.﹣3C.﹣4D.45.下列函数表达式中，y不是x的反比例函数的是（）A.y=3x B.y=x3C.y=12xD.xy=126.数据3，6，7，4，x的平均数是5，则这组数据的中位数是（）A.4B.4.5C.5D.67.下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.8.如图所示正三棱柱的主视图是（）A. B. C. D.9.下列事件中是必然事件的是（）A.﹣a是负数B.两个相似图形是位似图形C.随机抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上D.平移后的图形与原来对应线段相等10.如图，某数学兴趣小组将边长为6的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB的面积为（）A.12B.14C.16D.3611.下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的内心到三角形各边的距离都相等；④相等的弦所对的弧相等．其中正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个12.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A.2√5B.3√5C.92D.254二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分)13. 214的平方根是________．14.如图，点G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC于点D，GE∥AB交BC与E，若AB=6，那么GE=________．15.若a+b=2，则代数式3﹣2a﹣2b=________．16. P为正整数，现规定P!=P（P﹣1）（P﹣2）…×2×1．若m!=24，则正整数m=________．17.如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA=________度．18.如图，AD和AC分别是⊙O的直径和弦，且∠CAD=30°，OB⊥AD，交AC于点B，若OB=3，则BC=________．三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分。
湖南长沙市2020年中考数学试卷.docx
2020年长沙市初中学业水平考试试卷、以『•、”数学一、选择题1. （-2）3的值是（） A, —6 B. 6C. 8D. —8【答案】D 【详解】（-2）3=82. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）【答案】B【详解】A 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； B 、 是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； C 、 不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； D 、 不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意. 3.为了将“新冠疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政策，切实 减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展，据国家统计局相关数据显示，2020年1月 至5月，全国累计办理出口退税632400000000元，其中632400000000用科学记数法表示为C. 6.234 xlO 9D. 6.234xlO 12【答案】A 【详解】解：632400000000 元=6.234x10“ 元. 4.下列运算正确的是（）A 、 s/3 + y/2 = 45 B. x'』』 C. 73X ^ = A /5D. 3）2=W( )A. 6.234X1011B. 6.234x10*°【答案】B【详解】解：A、&皿?必，故本选项错误；B、x8^%2-故本选项正确；C、、& x A ，故本选项错误；D、（W）2=al。
？/,故本选项错误.5.2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘四水，杜鹃花开，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为106 〃亍土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度V （单位："F/天）与完成运送任务所需的时间t （单位：天）之间的函数关系式是（）A 106A. v = -----B. v = 106t1 2D. v = 106?2C. v ——— t 106【答案】A【详解】解（1） Vvt=106,._106• • V-------- ,t6.从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（）A.42右米B. 14^/3 米C. 21 米D. 42 米【答案】A【详解】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42Han3（F=420 （米）.% + 1>-17.不等式组]x 的解集在数轴上表示正确的是（）—<1 12A.—•---- 1---- 1 ---- * --- :~ AB. ] I -------------------- 1----- L 』•-2-1012 -2-10 I 2C. - - 一♦一一I --- A►D. -------- ------ 1 ---- L-2-10 12 -2-1 0【答案】D【详解】w： L ，一<i②12由①得，x>-2,由②得，x<2,故原不等式组的解集为：-2<x<2.在数轴上表示为：-2-1 0 I 28.一个不透明的袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球, 然后放回摇匀，再随机摸出一个，下列说法中，错误的是（）A.第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球B.第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球C.第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是红球D.第一次摸出的球是红球的概率是：；两次摸出的球都是红球的概率是&【答案】A【详解】A、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故错误；B、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故正确；C、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是红球，故正确；D、第一次摸出的球是红球的概率是L；3两次摸到球的情况共有（红，红），（红，绿1）,（红，绿2）,（绿1,红），（绿1,绿1）,（绿1,绿2）,（绿2,红），（绿2,绿1）,（绿2,绿2） 9种等可能的情况，两次摸出的球都是红球的有1种，...两次摸出的球都是红球的概率是故正确；9.2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”这个节日的昵称是“兀（Day）”国际数学日之所以定在3月14日，是因为3. 14与圆周率的数值最接近的数字，在古代，一个国家所算的的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展的水平的主要标志，我国南北朝时期的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第七位的科学巨匠,该成果领先世界一千多年，以下对圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比；其中正确的是（）A.②③B.①③C.①④D.②④【答案】A【详解】解：①圆周率是一个有理数，错误；②互是一个无限不循环小数，因此圆周率是一个无理数，说法正确；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，说法正确；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比，说法错误；10.如图，一块直角三角板的60度的顶点A与直角顶点C分别在平行线FD,GH上，斜边AB 平分ZCAD,交直线GH于点E,则ZECB的大小为（）A. 60°B. 45°C. 30°D. 25°【答案】C【详解】...AB 平分ZC4D, ZCAB=60° ,.I ZDAE=60° ,.: FD//GH,.-.ZACE+ZCAD=180o ,...ZACE= 180 ° - Z CAB- Z DAE=60 ° ,ZACB=90° ,/. ZECB=90 ° -ZACE=30 ° ,11.随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G 产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得（）400 500k. ---------- =--------x-30 x 400 500、 ___ __ _____x x-30【答案】B400 500B. ------- — ---------x x +30400 500D. ------------ = ----- x + 30 x【详解】依题意， 解：设更新技术前每天生产x 万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品, f 400 500 得：——= ------- .x x + 30 12.“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂， 其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p 与加工煎炸的时间t （单位：分钟）近似满足函数关系式： p = at 2+bt + c （a*0,a, b, c 为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和 实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（ ） 0.9 ________________ , 0.8 --------------------- ，: O 3 4 5 f A. 3.50分钟 B. 4.05分钟 C. 3.75分钟D. 4.25分钟【答案】C【详解】将(308)(4,0. 9)(5,0.6)^A p = at~ +bt + c^： 0.8 = 9tz + 3b + c ①) 0.9 = 16a + 4Z? + c ②0.6 = 25a + 5b + c ③②一①和③一②得＜Q.l=la + b ④ 一0.3 = 9。
湖南长沙市2020年中考数学试题(Word版,含答案与解析)
湖南长沙市2020年中考数学试卷一、单选题（共12题；共24分）1.(-2)3的值是（）A. −6B. 6C. 8D. −8【答案】 D【考点】有理数的乘方【解析】【解答】(-2)3=-8，故答案为：D.【分析】利用有理数的乘方计算法则进行解答.2.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】B【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形【解析】【解答】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意．故答案为：B．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．3.为了将“新冠疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展，据国家统计局相关数据显示，2020年1月至5月，全国累计办理出口退税632400000000元，其中632400000000用科学记数法表示为（）A. 6.234×1011B. 6.234×1010C. 6.234×109D. 6.234×1012【答案】A【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：632400000000元= 6.234×1011元．故答案为A．【分析】先将632400000000表示成a×10n的形式，其中1＜| a |＜10，n为将632400000000化成an×10n 的形式时小数点向左移动的位数．4.下列运算正确的是（）A. √3+√2=√5B. x 8÷x 2=x 6C. √3×√2=√5D. (a 5)2=a 7【答案】 B【考点】同底数幂的除法，二次根式的乘除法，合并同类项法则及应用，幂的乘方【解析】【解答】解：A 、 √3+√2≠√5 ，故本选项不符合题意；B 、 x 8÷x 2=x 6 ，故本选项符合题意；C 、 √3×√2=√6≠√5 ，故本选项不符合题意；D 、 (a 5)2=a 10≠a 7 ，故本选项不符合题意．故答案为：B ．【分析】根据合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的除法，底数不变指数相减；二次根式的乘法计算；幂的乘方，底数不变，指数相乘，利用排除法求解．5.2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘四水，杜鹃花开 ，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为 106m 3土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度 v （单位： m 3/ 天）与完成运送任务所需的时间t （单位：天）之间的函数关系式是（ ）A. v =106t B. v =106 C. v =1106t 2 D. v =106t 2 【答案】 A【考点】反比例函数的实际应用【解析】【解答】解（1）∵vt=106 ，∴v= 106t ，故答案为：A ．【分析】由总量=vt ，求出v 即可．6.从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（ ）A. 42√3 米B. 14√3 米C. 21米D. 42米【答案】 A【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【解答】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42 √3 （米）.故答案为：A ．【分析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．7.不等式组 {x +1≥−1x 2<1 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A. B.C.D.【答案】 D 【考点】在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式组【解析】【解答】解： {x +1≥−1①x 2<1② ， 由①得， x≥−2，由②得， x ＜2，故原不等式组的解集为：−2≤x ＜2．在数轴上表示为：故答案为：D ．【分析】先分别解出两个不等式，然后找出解集，表示在数轴上即可．8.一个不透明的袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个，下列说法中，错误的是（ ）A. 第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球B. 第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球C. 第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是红球D. 第一次摸出的球是红球的概率是 13 ；两次摸出的球都是红球的概率是 19【答案】 A【考点】列表法与树状图法，概率公式【解析】【解答】A 、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故不符合题意； B 、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故符合题意；C 、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是红球，故符合题意；D 、第一次摸出的球是红球的概率是 13 ；两次摸到球的情况共有（红，红），（红，绿1），（红，绿2），（绿1，红），（绿1，绿1），（绿1，绿2），（绿2，红），（绿2，绿1），（绿2，绿2）9种等可能的情况，两次摸出的球都是红球的有1种，∴两次摸出的球都是红球的概率是 19 ，故符合题意；故答案为：A.【分析】根据摸出球的颜色可能出现的情形及概率依次分析即可得到答案.9.2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”这个节日的昵称是“π（Day ）”国际数学日之所以定在3月14日，是因为3．14与圆周率的数值最接近的数字，在古代，一个国家所算的的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展的水平的主要标志，我国南北朝时期的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第七位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年，以下对圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比；其中正确的是（ ）A. ②③B. ①③C. ①④D. ②④【答案】 A【考点】有理数及其分类，圆的认识与圆周率【解析】【解答】解：①圆周率是一个有理数，不符合题意；② π是一个无限不循环小数，因此圆周率是一个无理数，说法符合题意；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，说法符合题意；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比，说法不符合题意；故答案为：A．【分析】圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母π表示，π是一个无限不循环小数；据此进行分析解答即可．10.如图，一块直角三角板的60度的顶点A与直角顶点C分别在平行线FD,GH上，斜边AB平分∠CAD，交直线GH于点E，则∠ECB的大小为( )A. 60°B. 45°C. 30°D. 25°【答案】C【考点】平行线的性质，角平分线的性质【解析】【解答】∵AB平分∠CAD，∠CAB=60 °，∴∠DAE=60 °，∵FD∥GH，∴∠ACE+∠CAD=180 °，∴∠ACE=180 °-∠CAB-∠DAE=60 °，∵∠ACB=90 °，∴∠ECB=90 °-∠ACE=30 °，故答案为：C．【分析】利用角平分线的性质求得∠DAE的度数，利用平行线的性质求得∠ACE的度数，即可求解．11.随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得（）A. 400x−30=500xB. 400x=500x+30C. 400x =500x−30D. 400x+30=500x【答案】B【考点】列分式方程【解析】【解答】解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，依题意，得：400x =500x+30．故答案为：B ．【分析】设更新技术前每天生产x 万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，根据工作时间=工作总量÷工作效率，再结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x 的分式方程．12.“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p 与加工煎炸的时间t （单位：分钟）近似满足函数关系式： p =at 2+bt +c （ a ≠0, a ，b ，c 为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )A. 3.50分钟B. 4.05分钟C. 3.75分钟D. 4.25分钟【答案】 C【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的其他应用【解析】【解答】将(3,0.8)(4,0．9)(5,0.6)代入 p =at 2+bt +c 得:{0.8=9a +3b +c ①0.9=16a +4b +c ②0.6=25a +5b +c ③ ②－①和③－②得 {0.1=7a +b ④−0.3=9a +b ⑤ ⑤－④得 −0.4=2a ,解得a=﹣0.2．将a=﹣0.2．代入④可得b=1.5．对称轴= −b 2a =−1.52×(−0.2)=3.75 ．故答案为：C ．【分析】图中三个坐标代入函数关系式解出a 和b,再利用对称轴公式求出即可．二、填空题（共4题；共5分）13.长沙地铁3号线、5号线即将运行，为了解市民每周乘地铁出行的次数，某校园小记者随机调查了100名市民，得到了如下的统计表：这次调查的众数和中位数分别是________．【答案】 5、5【考点】中位数，众数【解析】【解答】从表格中可得人数最多的次数是5,故众数为5．100÷2=50,即中位数为从小到大排列的第50位,故中位数为5．故答案为5、5．【分析】根据众数和中位数的概念计算即可．14.某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A，B，C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成下列三个步骤：第一步，A同学拿出二张扑克牌给B同学；第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学，请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为________．【答案】7【考点】列式表示数量关系【解析】【解答】设每个同学的扑克牌的数量都是x；第一步，A同学的扑克牌的数量是x−2，B同学的扑克牌的数量是x+2；第二步，B同学的扑克牌的数量是x+2+3，C同学的扑克牌的数量是x−3；第三步，A同学的扑克牌的数量是2( x−2)，B同学的扑克牌的数量是x+2+3−( x−2）=7；∴B同学手中剩余的扑克牌的数量是：7．故答案为：7．【分析】把每个同学的扑克牌的数量用相应的字母表示出来，列式表示变化情况即可找出最后答案．15.若一个圆锥的母线长是3，底面半径是1，则它的侧面展开图的面积是________．【答案】3π【考点】圆锥的计算【解析】【解答】解：圆锥的底面周长为：2×π×1＝2π，侧面积为：12×2π×3＝3π．故答案为：3π．【分析】先求得圆锥的底面周长，再根据扇形的面积公式S= 12lR求得答案即可．16.如图，点P在以MN为直径的半圆上运动，（点P与M，N不重合）PQ⊥MN,NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F．（1）PFPQ +PEPM=________．（2）若PN2=PM⋅MN，则MQNQ=________．【答案】（1）1（2）√5−12【考点】圆周角定理，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】(1)如图所示，过E作GE⊥MN于G，则∠NGE=90°，∵MN为半圆的直径，∴∠MPN=90°，又∵NE平分∠MNP，∠NGE=90°,∴PE=GE．∵NE平分∠MNP，∴∠PNE=∠MNE，∵∠EPN=∠FQN=90°，∴∠PNE+∠PEN=90°,∠MNE+∠QFN=90°,又∠QFN=∠PFE，∴∠PNE+∠PEN=90°,∠MNE+∠PFE=90°，又∵∠PNE=∠MNE，∴∠PEN=∠PFE，∴PE=PF,又∵PE=GE，∴GE=PF．∵PQ⊥MN，GE⊥MN，∴GE//PQ，∴在△PMQ中，EMPM =GEPQ,又∵EM=PM−PE,∴PM−PEPM =GEPQ，∴将GE=PF，PE=PF，代入PM−PEPM =GEPQ得，PM−PFPM=PFPQ,∴PFPQ +PEPM=PM−PFPM+PFPM=1，即PFPQ+PEPM=1．(2)∵∠PNQ=∠MNP，∠NQP=∠NPM，∴△NPQ∽△NMP，∴PNMN =QNPN，∴PN2=QN•MN，∵PN2=PM•MN，∴PM=QN，∴MQNQ =MQPN，∵cos∠M=MQPM =PMMN，∴MQNQ =PMMN，∴MQNQ =NQMQ+NQ，∴NQ2=MQ2+MQ•NQ，即1=MQ2NQ2+MQNQ，设MQNQ=x，则x2+x-1=0，解得，x=√5−12，或x=−√5+12＜0（舍去），∴MQNQ =√5−12.故答案为：(1) 1 ；(2) √5−12．【分析】(1)过E作GE⊥MN于G，可得∠NGE=90°，根据圆周角的性质可得∠MPN=90°，又NE平分∠MNP，根据角平分线的性质可得PE=GE；由∠PNE=∠MNE，∠PNE+∠PEN= 90°，∠MNE+∠QFN=90°，且∠QFN=∠PFE，根据“等角的余角相等”可得∠PEN=∠PFE，再根据等腰三角形的性质“等角对等边”可得PE=PF，即有GE=PF；由PQ⊥MN，GE⊥MN，可得GE//PQ，从而可得在△PMQ中有EMPM =GEPQ，将EM=PM−PE、PE=GE、GE=PF代入可得，PM−PFPM =PFPQ，既而可求得PFPQ+PEPM的值．(2)证明△NPQ∽△NMP，得PN2=NQ•MN，结合已知条件得PM=NQ，再根据三角函数得MQNQ =PMMN，进而得MQ与NQ的方程，再解一元二次方程得答案﹒三、解答题（共9题；共97分）17.计算：|−3|−(√10−1)0+√2cos45°+(14)−1【答案】解：|−3|−(√10−1)0+√2cos45°+(14)−1=3−1+1+4=7【考点】实数的运算，0指数幂的运算性质，负整数指数幂的运算性质，特殊角的三角函数值【解析】【分析】根据绝对值、零次幂、特殊角的三角函数值、二次根式和负整数指数幂的运算法则分别对每项进行化简，再进行加减计算即可．18.先化简，再求值x+2x2−6x+9⋅x2−9x+2−xx−3，其中x=4【答案】x+2x2−6x+9⋅x2−9x+2−xx−3=x+2(x−3)2⋅(x+3)(x−3)x+2−xx−3=x+3x−3−xx−3=3x−3．将x=4代入可得:原式= 3x−3=34−3=3．【考点】利用分式运算化简求值【解析】【分析】先将代数式化简,再代入值求解即可．19.人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB求作：∠AOB的平分线做法：①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，②分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C ③画射线OC，射线OC即为所求．请你根据提供的材料完成下面问题：（1）这种作已知角平分线的方法的依据是________(填序号)．① SSS② SAS③ AAS④ ASA（2）请你证明OC为∠AOB的平分线．【答案】（1）①（2）如图，连接MC、NC．根据作图的过程知，在△MOC与△NOC中，{OM ＝ONOC ＝OC CM ＝CN，∴△MOC ≌△NOC （SSS ），∠AOC=∠BOC ，∴OC 为 ∠AOB 的平分线．【考点】三角形全等及其性质，三角形全等的判定（SSS ）【解析】【解答】（1）根据作图的过程知道：OM=ON ，OC=OC ，CM=CM ，所以由全等三角形的判定定理SSS 可以证得△EOC ≌△DOC ，从而得到OC 为 ∠AOB 的平分线；故答案为：①；【分析】（1）根据作图的过程知道：OM=ON ，OC=OC ，CM=CM ，由“SSS”可以证得△EOC ≌△DOC ；（2）根据作图的过程知道：OM=ON ，OC=OC ，CM=CM ，由全等三角形的判定定理SSS 可以证得△EOC ≌△DOC ，从而得到OC 为 ∠AOB 的平分线．20.2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”，为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如下统计图表：（1）这次调查活动共抽取________人；（2）m=________n =________．（3）请将条形图补充完整（4）若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数．【答案】 （1）200（2）86；27（3）200×20%=40（人），补全图形如下：（4）∵“4次及以上”所占的百分比为27%，∴3000×27%=810（人）．答：该校一周劳动4次及以上的学生人数大约有810人．【考点】用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图【解析】【解答】（1）这次调查活动共抽取：20÷10%＝200（人）故答案为：200．（2）m=200×43%=86（人），n%=54÷200=27%，n=27，故答案为：86，27．【分析】（1）用“1次及以下”的人数除以所占的百分比，即可求出调查的总人数；（2）总人数乘以“3次”所占的百分比可得m的值，“4次及以上”的人数除以总人数可得n%的值，即可求得n的值；（3）总人数乘以“2次”所占的百分比可得“2次”的人数，再补全条形统计图即可；（4）用全校总人数乘以“4次及以上”所占的百分比即可．21.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD与过点C的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线；（2）若AD=3,DC=√3，求⊙O的半径．【答案】（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠OAC，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC，∴∠ADC+∠OCD=180°，∵AD⊥CD，∴∠ADC=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∴DC为⊙O的切线；（2）连接BC，在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=3,DC=√3，∴tan∠DAC=CDAD =√33，∴∠DAC=30°，∴∠CAB=∠DAC=30°，AC=2CD= 2√3，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB= ACcos∠CAB=4，∴⊙O的半径为2.【考点】角平分线的性质，切线的判定，锐角三角函数的定义，解直角三角形【解析】【分析】（1）连接OC，利用角平分线的性质及同圆半径相等的性质求出∠DAC=∠OCA，得到AD∥OC，即可得到OC⊥CD得到结论；（2）连接BC，先求出tan∠DAC=CDAD =√33，得到∠CAB=∠DAC=30°，AC=2CD= 2√3，再根据AB为⊙O的直径得到∠ACB=90°，再利用三角函数求出AB.22.今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响，“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区，具体运算情况如下：（1）求A ，B 两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资；（2）该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A 型号货车，试问至少还需联系多少辆B 型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．【答案】 （1）设A ，B 两种型号货车每辆满载分别能运x ，y 吨生活物资依题意，得 {x +3y =28,2x +5y =50,解得 {x =10,y =6, ∴A ，B 两种型号货车每辆满载分别能运10吨，6吨生活物资（2）设还需联系m 辆B 型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地依题意，得 3×10+6m ≥62.4 .解得m ≥ 5.4又m 为整数，∴m 最小取6∴至少还需联系6辆B 型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．【考点】二元一次方程组的其他应用，一元一次不等式的应用【解析】【分析】（1）设A ，B 两种型号货车每辆满载分别能运x ，y 吨生活物资，根据条件建立方程组求出其解即可；（2）设还需联系m 辆B 型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，根据题中的不等关系列出不等式解答即可．23.在矩形ABCD 中，E 为 DC 上的一点，把 ΔADE 沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC 边上的点F ．（1）求证： ΔABF ∼ΔFCE（2）若 AB =2√3,AD =4 ，求EC 的长；（3）若 AE −DE =2EC ，记 ∠BAF =α,∠FAE =β ，求 tanα+tanβ 的值．【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°，∴∠AFB+∠BAF=90°，∵△AFE 是△ADE 翻折得到的，∴∠AFE=∠D=90°，∴∠AFB+∠CFE=90°，∴∠BAF=∠CFE ，∴△ABF ∽△FCE ．（2）解：∵△AFE 是△ADE 翻折得到的，∴AF=AD=4，∴BF= √AF2−AB2=√42−(2√3)2=2，∴CF=BC-BF=AD-BF=2，由（1）得△ABF∽△FCE，∴CEBF =CFAB，∴CE2=2√3，∴EC= 2√33．（3）解：由（1）得△ABF∽△FCE，∴∠CEF=∠BAF= α，∴tan α+tan β= BFAB +EFAF=CECF+EFAF，设CE=1，DE=x，∵AE−DE=2EC，∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，AD= √AE2−DE2=√4x+4∵△ABF∽△FCE，∴ABAF =CFEF，∴√4x+4=√x2−1x，∴√x+1)22√x+1=√x+1·√x−1x，∴12=√x+1x，∴x=2√x−1，∴x2-4x+4=0，解得x=2，∴CE=1，CF= √x2−1=√3，EF=x=2，AF= AD= √AE2−DE2=√4x+4= 2√3，∴tan α+tan β= CECF +EFAF=√3+2√3=2√33．【考点】勾股定理，轴对称的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1）只要证明∠B=∠C=90°，∠BAF=∠EFC即可；（2）因为△AFE是△ADE翻折得到的，得到AF=AD=4，根据勾股定理可得BF的长，从而得到CF的长，根据△ABF∽△FCE，得到CEBF =CFAB，从而求出EC的长；（3）根据△ABF∽△FCE，得到∠CEF=∠BAF= α，所以tan α+tan β= BFAB +EFAF=CECF+EF AF ，设CE=1，DE=x，可得到AE，AB，AD的长，根据△ABF∽△FCE，得到ABAF=CFEF，将求出的值代入化简会得到关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，然后可求出CE，CF，EF，AF的值，代入tan α+tan β= CECF +EFAF即可．24.我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H点”，根据该约定，完成下列各题（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”① y=2x（________）② y=mx(m≠0)（________）③ y=3x−1（________）（2）若点A(1,m)与点B(n,−4)关于x的“H函数” y=ax2+bx+c(a≠0)的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x=2的右侧，求a,b,c的值域或取值范围；（3）若关于x的“H函数” y=ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：① a+b+c= 0，② (2c+b−a)(2c+b+3a)<0，求该H函数截x轴得到的线段长度的取值范围．【答案】（1）√；√；×（2）∵A,B是“H点”∴A,B关于原点对称，∴m=4,n=1∴A(1,4），B（-1，-4）代入y=ax2+bx+c(a≠0)得{a+b+c=4a−b+c=−4解得{b=4a+c=0又∵该函数的对称轴始终位于直线x=2的右侧，∴- b2a＞2∴- 42a＞2∴-1＜a＜0∵a+c=0∴0＜c＜1，综上，-1＜a＜0，b=4，0＜c＜1；（3）∵y=ax2+2bx+3c是“H函数”∴设H 点为（p,q ）和（-p,-q ）,代入得 {ap 2+2bp +3c =q ap 2−2bp +3c =−q解得ap 2+3c=0,2bp=q∵p 2＞0∴a,c 异号，∴ac ＜0∵a+b+c=0∴b=-a-c ，∵ (2c +b −a)(2c +b +3a)<0∴ (2c −a −c −a)(2c −a −c +3a)<0∴ (c −2a)(c +2a)<0∴c 2＜4a 2∴ c 2a 2 ＜4∴-2＜ c a ＜2∴-2＜ c a ＜0设t= c a ，则-2＜t ＜0设函数与x 轴的交点为（x 1,0）（x 2,0）∴x 1, x 2是方程 ax 2+2bx +3c =0的两根∴ |x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2= √(−2b a )2−4⋅3c a= √4(a+c)2a 2−12c a = √4[1+2c a +(c a )2−3c a ]=2 √1+2t +t 2−3t= 2√(t −12)2+34又∵-2＜t ＜0∴2＜ |x 1−x 2| ＜2 √7 ．【考点】一元二次方程的根与系数的关系，定义新运算，二次函数的其他应用【解析】【解答】（1）① y =2x 是 “H 函数”② y =m x (m ≠0) 是 “H 函数”③ y =3x −1 不是 “H函数”；故答案为：√；√；×；【分析】（1）根据“H 函数”的定义即可判断；（2）先根据题意可求出m,n 的取值，代入 y =ax 2+bx +c(a ≠0) 得到a,b,c 的关系，再根据对称轴在x=2的右侧即可求解；（3）设“H 点”为（p,q ）和（-p,-q ）,代入 y =ax 2+2bx +3c 得到ap 2+3c=0,2bp=q ，得到a,c 异号，再根据a+b+c=0，代入 (2c +b −a)(2c +b +3a)<0 求出 c a 的取值，设函数与x 轴的交点为（x 1,0）（x 2,0），t= c a ，利用根与系数的关系得到|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 = 2√(t −12)2+34 ，再根据二次函数的性质即可求解． 25.如图，半径为4的 ⊙O 中，弦AB 的长度为 4√3 ，点C 是劣弧 AB⌢ 上的一个动点，点D 是弦AC 的中点，点E 是弦BC 的中点，连接DE ，OD ，OE ．（1）求 ∠AOB 的度数；（2）当点C 沿着劣弧 AB⌢ 从点A 开始，逆时针运动到点B 时，求 ΔODE 的外心P 所经过的路径的长度； （3）分别记 ΔODE,ΔCDE 的面积为 S 1,S 2 ，当 S 12−S 22=21 时，求弦AC 的长度．【答案】 （1）如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，∵ AB =4√3 ，∴ AH =12AB =2√3 ，∴ cos ∠OAH =AH AO =2√34=√32 ， ∴ ∠OAH =30° ，∵ OA =OB ，∴ ∠OBH =∠OAH =30° ，∴ ∠AOB =180°−30°−30°=120° ；（2）如图，连接OC ，取OC 的中点G ，连接DG 、EG ，∵D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，OA=OB=OC，∴OD⊥AC，OE⊥BC，即∠ODC=∠OEC=90°，∴OG=DG=GE=GC=12OC=2，∴O、D、C、E四点共圆，G为△ODE的外心，∴G在以O为圆心，2为半径的圆上运动，∵∠AOB=120°，∴运动路径长为120π×2180=43π；（3）当点C靠近A点时，如图，作CN∥AB交圆O于N，作CF⊥AB交AB于F，交DE于P，作OM⊥CN 交CN于M，交DE于Q，交AB于H，连接OC，∵D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，∴DE=12AB=2√3，∵∠OAH=30°，OA=4，∴OH=2，设OQ=ℎ1，CP=ℎ2，由题可知OM=ℎ1+ℎ2，OH=ℎ1−ℎ2，∴S1=12×DE×ℎ1，S2=12×DE×ℎ2，∴ S 1+S 2=12×DE ×ℎ1+12×DE ×ℎ2=12×DE ×(ℎ1+ℎ2)=12×DE ×OMS 1−S 2=12×DE ×ℎ1−12×DE ×ℎ2=12×DE ×(ℎ1−ℎ2)=12×DE ×OH ∵ S 12−S 22=(S 1+S 2)(S 1−S 2)=21 ， ∴ (12×DE ×OM)(12×DE ×OH)=21 ，即 (12×2√3×OM)(12×2√3×2)=21 ，解得 OM =72 ，∴ CM =√42−(72)2=√152 ，即 FH =√152， 由于 AH =2√3 ，∴ AF =2√3−√152 ， 又∵ CF =MH =OM −OH =72−2=32 ，∴ AC =√(2√3−√152)2+(32)2=√15−√3 ， 同理当点C 靠近B 点时，可知 AC =√(2√3+√152)2+(32)2=√15+√3 ， 综上所述， AC =√15−√3 或 AC =√15+√3 ．【考点】勾股定理，垂径定理，三角形的外接圆与外心，弧长的计算，锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1）过O 作OH ⊥AB 于H ，由垂径定理可知AH 的长，然后通过三角函数即可得到 ∠OAB ，从而可得到 ∠AOB 的度数；（2）连接OC ，取OC 的中点G ，连接DG 、EG ，可得到O 、D 、C 、E 四点共圆，G 为△ODE 的外心，然后用弧长公式即可算出外心P 所经过的路径的长度；（3）作CN ∥AB 交圆O 于N ，作CF ⊥AB 交AB 于F ，交DE 于P ，作OM ⊥CN 交CN 于M ，交DE 于Q ，交AB 于H ，连接OC ，分别表示出 ΔODE ， ΔCDE 的面积为 S 1 ， S 2 ，由 S 12−S 22=21 可算出 OM =72 ，然后可利用勾股定理求出结果．。
2020年中考数学试题解析(含答案)湖南长沙
2020 年中考数学试卷参考答案与试题解析
湖南省长沙市
一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1． 1 的倒数是（ ） 2
A、2 考点： 倒数．
B、－2
C、 1 2
分析：根据乘积为的 1 两个数倒数，可得一个数的倒数．
解答： 解：
1
的倒数是
2，
2
故选：A．
∴AD=AB=2， 又∵∠DAB=60°， ∴△DAB 是等边三角形， ∴AD=BD=AB=2， 则对角线 BD 的长是 2． 故选：C． 点评：此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定，得出△DAB 是等边三角形是解题关 键．
9．（3 分）（2020•长沙）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转
1
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故选 B． 点评： 本题考查了平均数及中位数的知识，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列
后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
4．（3 分）（2020•长沙）平行四边形的对角线一定具有的性质是（
A． 相等
B． 互相平分
C．互相垂直
选项不符合题意；
B、六棱柱的主视图、左视图、俯视图分别为四边形，四边形，六边形，故 B 选项不符合题
意；
C、球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故 C 选项符合题意；
D、四棱锥的主视图、左视图、俯视图分别为三角形，三角形，四边形，故 D 选项不符合题
意；
故选 C．
点评： 考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．
5．（3 分）（2020•长沙）下列计算正确的是（ ）
【2020精品中考数学提分卷】长沙长郡系数学中考模拟卷+答案
2020年湖南省长沙市中考数学模拟试卷一、选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1．下列实数中，属于无理数的是（ ）A ．B ．3.14C ．D ．2．下列计算正确的是（ ）A ．156=-B ．（x 2）3＝x 5C ．x （x ﹣1）＝x 2﹣1D ．x 8÷x 2＝x 63．电影《流浪地球》深受人们喜欢，截止到2019年2月17日，票房达到2650000000，则数据2650000000科学记数法表示为（ ）A ．0.265×1010B ．26.5×108C ．2.65×108D ．2.65×1094．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．在数轴上表示不等式组 31≤≥x x 的解集，正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． 6．为迎接体育中考，九年级（1）班八名同学课间练习垫排球，记录成绩（个数）如下：40，38，42，35，45，40，42，42，则这组数据的中位数与众数分别是（ ）A ．40，41B ．42，41C ．41，42D ．41，407．下列四个图形中，不能推出∠ 2与∠ 1相等的是（ ）A．B．C．D．8．若点A（a，b）在反比例函数y＝﹣的图象上，则代数式ab﹣1的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣29．方程x（x+1）＝0的解是（）A．x＝0 B．x＝﹣1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝110．下列命题中为真命题的是（）A．长度为a，b，c的三条线段若满足a+b＞c，则这三条线段一定能组成三角形B．一个三角形的三个内角度数之比为3：4：5，则这个三角形是直角三角形C．正六边形的外角和大于正五边形的外角和D．若△ABC与△DEF相似，且周长相等，则△ABC与△DEF全等11．《孙子算经》中记载：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？设有x户人家，可列方程为（）A．x+3x＝100 B．x+＝100 C．x+＝100 D．+＝10012．若对于任意非零实数a，抛物线y＝a（x+2）（x﹣1）总不经过点P（x0﹣3，x0﹣5），则符合条件的点P（）A．有1个B．有2个C．有3个D．有无穷多个二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）13．分解因式：2a2﹣8＝．14．直线y＝﹣x+1不经过第象限．15．在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，3）向左平移a个单位后，得到点A′（﹣3，3），则a的值是．16．在一个不透明的口袋里装有2个白球、3个黑球，它们除颜色外其余都相同．现随机从口袋里摸出1个球是白球的概率为 ．17．如图，在⊙O 中，AB 为弦，半径OC ⊥AB 于E ，如果AB ＝8，CE ＝2，那么⊙O 的半径为 ．18．如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AB ＝4，E 是BC 的中点，点P 是对角线BD 上的一个动点，连接PE 、CP ，则△ CPE 的周长的最小值为 ．三、解答题（共8小题，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分）19．（6分）计算：﹣|﹣3|+2cos45°+（﹣1）2019﹣28．20．（6分）先化简，再求值：112-x ÷122+-x x x ﹣12+x ，其中x ＝2．21．（8分）为了丰富同学们的课余生活，某学校举行“亲近大自然”户外活动，现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点是？”的问卷调查，要求学生只能从“A （植物园），B （动物园），C （湿地公园》，D （岳麓山）”四个景点中选择一个，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．（1）这次问卷调套的人数是 人；（2）补全条形统计图；（3）计算“A”所在扇形的圆心角度数为；（4）若该学校共有3000名学生，则估计该校最想去岳麓山的学生约人．22．（8分）我市在创建全国文明城市的过程中，某社区在甲楼的A处与E处之间悬挂了一幅宣传条幅，在乙楼顶部C点测得条幅顶端A点的仰角为45°，测得条幅底端E点的俯角为30°，若甲、乙两楼之间的水平距离BD为12米．（1）甲楼比乙楼高多少米？（2）求条幅AE的长度．（结果保留根号）23．（9分）第36届全国信息学冬令营在广州落下帷幕，长郡师生闪耀各大赛场，金牌数、奖牌数均稳居湖南省第一．学校拟预算7700元全部用于购买甲、乙、丙三种图书共20套奖励获奖师生，其中甲种图书每套500元，乙种图书每套400元，丙种图书每套250元，设购买甲种图书x套，乙种图书y套，请解答下列问题：（1）请求出y与x的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；（2）若学校购买的甲、乙两种图书共14套，求甲、乙图书各多少套？（3）若学校购买的甲、乙两种图书均不少于1套，则有哪几种购买方案？24．（9分）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD2＝CA•CB；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC＝12，tan∠CDA＝，求BE的长．25．（10分）我们约定，在平面直角坐标系中两条抛物线有且只有一个交点时，我们称这两条抛物线为“郡园牵手抛物线”，这个交点为“郡园点”．例如：抛物线y＝x2与y＝﹣x2是“郡园牵手抛物线”，“郡园点”为（0，0）（1）如图，若抛物线L1：y1＝﹣x2+2x+1与L2：y2＝﹣2x2+mx为“郡园牵手抛物线”，求m的值．（2）在（1）的条件下，若点M是第一象限内抛物线L2上的动点，过M作MN⊥x轴，N为垂足，求MN+ON的最大值．（3）在（1）的条件下，设点B是抛物线L3：y3＝x2+2x+2与L4：y4＝2x2+6x+6的“郡园点”，点D 是抛物线L2上一动点，问在抛物线L2的对称轴上是否存在点C，使△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点C的坐标，若不存在，请说明理由．26．（10分）如图，平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点A （0，8），C （8，0）．点D 为AB 边上一动点（不与端点A 、B 重合）连接OD ，作线段OD 的垂直平分线EF 交边OA 、BC 于点E 、F ，连接ED ，过点D 作DM ⊥ED 交BC 于点M ．（1）如图1，当点D 为线段AB 的中点时，求线段DM 的长．（2）如图2，若正方形OABC 的周长为C 1，△BMD 的周长为C 2，记m ＝21C C ，试证明m 为定值． （3）在（2）的条件下，构造过点C 的抛物线y ＝ax 2+bx +c 同时满足以下两个条件：①4a +3b +c ＝0；②当23m ≤ x ≤ 9﹣m 时，函数y 的最大值为35m ，求二次项系数a 的值．2020年湖南省长沙市中考数学模拟试卷参考答案一、选择题（共12小题）1．【解答】解：A 、不是无理数，故本选项不符合题意；B 、不是无理数，故本选项不符合题意；C 、是无理数，故本选项符合题意；D 、不是无理数，故本选项不符合题意；故选：C ．2．【解答】解：A 、56-，无法计算，故此选项错误； B 、（x 2）3＝x 6，故此选项错误；C 、x （x ﹣1）＝x 2﹣x ，故此选项错误；D 、x 8÷x 2＝x 6，故此选项正确；故选：D ．3．【解答】解：将2650000000用科学记数法表示为：2.65×109．故选：D ．4．【解答】选：A ．5．【解答】解：将不等式 31≤≥x x 的解集表示如下：故选：A ．6．【解答】解：将数据从小到大排列为：35，38，40，40，42，42，42，65，众数为42；中位数为＝41．故选：C ．7．【解答】选：B ．8．【解答】解：把A （a ，b ）代入反比例函数解析式y ＝﹣，得ab ＝﹣1，所以ab ﹣1＝﹣2．故选：D ．9．【解答】解：∵x （x +1）＝0∴x ＝0，x +1＝0∴x1＝0，x2＝﹣1．故选：C．10．【解答】解：A、长度为a，b，c的三条线段若满足a﹣b＜c＜a+b，则这三条线段一定能组成三角形，A是假命题；B、三个内角度数之比为3：4：5，设三个内角度数分别为3x、4x、5x，则3x+4x+5x＝180°，解得，x＝15°，则三个内角度数分别为45°、60°、75°，∴这个三角形是锐角三角形，B是假命题；C、多边形的外角和恒为360度，C是假命题；D、若△ABC与△DEF相似，且周长相等，则△ABC与△DEF全等，D是真命题；故选：D．11．【解答】解：设有x户人家，依题意，得：x+＝100．故选：B．12．【解答】解：对于任意非零实数a，抛物线y＝a（x+2）（x﹣1）一定过点（﹣2，0），（1，0），当x0﹣3＝﹣2时，x0﹣5＝﹣4，当x0﹣3＝1时，x0﹣5＝﹣1，即对于任意非零实数a，抛物线y＝a（x+2）（x﹣1）总不经过点（﹣2，﹣4），（1，﹣1），当x0﹣5＝0时，x0＝5，此时x0﹣3＝2，当x＝2时，y＝4a，∵a为非零实数，则4a≠0，∴对于任意非零实数a，抛物线y＝a（x+2）（x﹣1）总不经过点（2，0），故选：C．二、填空题（共6小题）13．【解答】解：2a2﹣8＝2（a2﹣4），＝2（a+2）（a﹣2）．故答案为：2（a+2）（a﹣2）．14．【解答】解：∵直线y＝﹣x+1中，k ＝﹣1＜0，b ＝1＞0，∴直线的图象经过第一，二，四象限．故答案为：三．15．【解答】解：将点A （﹣1，3）向左平移a 个单位后得到的对应点为（﹣1﹣a ，3），由题意知﹣1﹣a ＝﹣3，解得：a ＝2，故答案为：2．16．【解答】答案为：52． 17．【解答】解：如图，连接OA ，设OA ＝r ．∵OC ⊥AB ，∴AE ＝EB ＝4，∠AEO ＝90°，在Rt △AOE 中，∵OA 2＝OE 2+AE 2，∴r 2＝42+（r ﹣2）2，∴r ＝5，故答案为5．18．【解答】解：∵四边形ABCD 为菱形，∴A 、C 关于BD 对称，∴连AE 交BD 于P ，则PE +PC ＝PE +AP ＝AE ，根据两点之间线段最短，AE 的长即为PE +PC 的最小值．∵∠ ABC ＝60°，∴∠ ABE ＝∠BAC ＝60°，∴△ ABC 为等边三角形，又∵BE ＝CE ，∴AE ⊥BC ，∴AE ＝22BE AB -＝23．∴△CPE 的周长的最小值＝23+2，故答案为：23+2．三、解答题（共8小题，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分）19．【解答】解：原式＝﹣3+2×22﹣1﹣2＝﹣4． 20．【解答】解：原式＝)1)(1(1-+x x •x x 2)1(-﹣12+x＝)1(1++x x x ﹣)1(2+x x x＝﹣)1(1++x x x ＝﹣x1， 当x ＝2时，原式＝﹣21． 21．【解答】解：（1）这次问卷调套的人数是15÷25%＝60（人）（2）选择C 的人数为：60﹣15﹣10﹣12＝23（人）补全条形图如图：（3）“A ”所在扇形的圆心角度数为360°×25%＝90°（4）估计该校最想去岳麓山的学生约3000×6012＝600（人）22．【解答】解：（1）过点C作CF⊥AB于点F，如右图所示，由题知：四边形CDBF为矩形，BD＝12米，∴CF＝DB＝12米，∵在Rt△ACF中，∠ACF＝45°，∴tan∠ACF＝CFAF＝1，∴AF＝12米，答：甲楼比乙楼高12米．（2）∵在Rt△CEF中，∠ECF＝30°，∴tan∠ECF＝CFEF，∴12EF＝33，∴EF＝4米，∴AE＝AF+EF＝（12+43）米，即条幅AE的长度为（12+43）米．23．【解答】解：（1）设购买甲种图书x套，乙种图书y套，则购买丙种图书（20﹣x﹣y）套，依题意，得：500x+400y+250（20﹣x﹣y）＝7700，∴y＝﹣35x+18．（2）依题意，得：183514+-==+yyx，解得：86==yx，∴购买甲种图书6套，乙种图书8套．（3）依题意，得：118351≥+-≥xx，解得：1≤x≤1051．∵x，﹣35x+18，20﹣x﹣（﹣35x+18）为整数，∴x＝3，6，9．∴共有三种购买方案：①购买甲种图书3套，乙种图书13套，丙种图书4套；②购买甲种图书6套，乙种图书8套，丙种图书6套；③购买甲种图书9套，乙种图书3套，丙种图书8套．24．【解答】（1）证明：∵∠CDA＝∠CBD，∠C＝∠C，∴△ADC∽△DBC，∴BCDCDCAC=，即CD2＝CA•CB；（2）证明：如图，连接OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DBO+∠DAO＝90°．∵OA＝OD，∴∠ DAO＝∠ ODA，∴∠ ODA+∠ DBO＝90°．又∠CDA＝∠CBD，即∠ADC＝∠DBO，∴∠ADC+∠ADO＝90°，即∠CDO＝90°，∴OD⊥CD．又∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（3）解：如图，连接OE ．∵EB 、CD 均为⊙O 的切线，∴ED ＝EB ，OE ⊥DB ，∴∠ABD +∠ DBE ＝90°，∠OEB +∠DBE ＝90°，∴∠ABD ＝∠OEB ，∴∠CDA ＝∠OEB ．而tan ∠CDA ＝32， ∴tan ∠OEB ＝BE OB ＝32， ∵∠ODC ＝∠EBC ＝90°，∠C ＝∠C ，∴Rt △CDO ∽Rt △CBE ，∴32===BE OB BE OD BC CD ， ∴CD ＝8，在Rt △CBE 中，设BE ＝x ，∴（x +8）2＝x 2+122，解得x ＝5．即BE 的长为5．25．【解答】解：（1）由mx x y x x y +-=++-=2221212 可得，x 2+（2﹣m ）x +1＝0．∵L 1和L 2只有一个交点∴（2﹣m ）2﹣4＝0解得，m ＝0或m ＝4（2）∵点M 事第一象限内L 1上的动点∴m ＝4，即抛物线L 2的解析式为，y ＝﹣2x 2+4x ．设M （a ，﹣2a 2+4a ），其中0＜a ＜2．则MN +ON ＝a +（﹣2a 2+4a ）＝﹣2a 2+5a ＝﹣2（a ﹣45）2+825∴当a ＝45时，MN +ON 有最大值为825（3）存在．理由如下：∵B 是抛物线L 3：y 3＝x 2+2x +2与L 4：y 4＝2x 2+6x +6的“郡园点”．∴令x 2+2x +2＝2x 2+6x +6 解得，x ＝﹣2把x ＝﹣2代入y 3＝x 2+2x +2得，y ＝4﹣4+2＝2所以B 点坐标为（﹣2，2）．如图1，当抛物线L 2图象为y ＝﹣2x 2+4x 时，过B 、D 分别作BP 、DQ 垂直于抛物线对称轴直线x ＝1，依题意可设C （1，n ），D （p ，﹣2p 2+4p ），且由图可得P （1，2），Q （1，﹣2p 2+4p ）．∵△BCD 为等腰直角三角形，且C 为直角顶点∴CD ＝CB又∵∠CBP +∠BCP ＝90°∴∠BCP +∠DCQ ＝90°又∵在△BCP 与△DCQ 中，CDBC CQD BPC DCQCBP =∠=∠∠=∠∴△BCP ≌△CDQ （AAS ）∴BP ＝CQ ，PC ＝DQ即 ②......12①)......42(32p n p p n -=-+--=由②得p ＝n ﹣1，并代入①得，3＝n ﹣[﹣2（n ﹣1）2+4（n ﹣1）]整理得，2n 2﹣7n +3＝0解得，n 1＝，n 2＝3（舍去）此时C 点坐标为（1，）．如图2，当抛物线L 2图象为y ＝﹣2x 2+4x 时， 过B 、D 分别作BG 、DF 分别平行于抛物线的对称轴直线x ＝1，且过C 作平行于x 轴的直线交BG 于点G ，交DF 于点F ．依题意可设C （1，n ），D （p ，﹣2p 2+4p ），且由图可得G （﹣2，n ），F （p ，﹣2p 2+4p ）． 同理可证△BCG ≌△CDF （AAS ）易得，CG ＝FD ，BG ＝CF即 ②......12①)......42(32p n p p n -=-+--= 解得，n 1＝21（舍去），n 2＝3此时C 点坐标为（1，3）．如图3，当抛物线L 2图象为y ＝﹣2x 2时，由△BCD 是以C 为直角顶点的等腰直角三角形可得BC ＝CD ＝2，此时D 点与坐标原点O 重合，C 点坐标为（0，2）． 如图4，当抛物线L 2图象为y ＝﹣2x 2时，过B 、D 分别作BM 、DN 垂直于y 轴交y 轴于点M 、N ．由图可设M （0，2），N （0，﹣2p 2）．同理易证△ BCM ≌△ CDN （AAS ）∴BM ＝CN ，MC ＝DN即 ②......2①)......2(22p n p n -=---=由②得p ＝n ﹣2，并代入①得，2＝n +（n ﹣2）2整理得，2n 2﹣7n +6＝0解得，n 1＝23，n 2＝3 又∵当n ＝3时，过点C 且垂直于BC 的直线与抛物线y ＝﹣2x 2没有交点，故此时D 点不存在． ∴此时C 点坐标为（0，23）． 综上所述，满足题意的C 点坐标可以为（1，21），（1，3），（0，2），（0，23）． 26．【解答】解：（1）设OE ＝x ，∵EF 是OD 的垂直平分线，∴DE ＝OE ＝x ，AE ＝8﹣x ，∵D 是AB 的中点， ∴AD ＝BD ＝21AB ＝4， Rt △ADE 中，42+（8﹣x ）2＝x 2，x ＝5，∴DE ＝5，AE ＝3，∵ED ⊥DM ，∴∠EDM ＝∠ADE +∠BDM ＝90°，∵∠ADE +∠AED ＝90°，∴∠AED ＝∠EDM ，∵∠DAE ＝∠MBD ＝90°，∴△ AED ∽△ BDM ，∴BDAE DM ED = ∴435=DM ∴DM ＝320； （2）正方形OABC 的周长为C 1＝4×8＝32，设BD ＝p ，AE ＝q ，则AD ＝8﹣p ，DE ＝OE ＝8﹣q ， 由勾股定理得：（8﹣p ）2+q 2＝（8﹣q ）2，16q ＝16p ﹣p 2，由（1）知：△ AED ∽△ BDM ，∴BMAD BD AE DM ED == BM ＝q p p )8(-，DM ＝qp p )8(-， ∴C 2＝BD +BM +DM ＝p +q p p )8(-+q p p )8(-＝q pq p p p pq -+-+882＝qq 16＝16， ∴m ＝21C C ＝2， ∴m 为定值；（3）∵抛物线经过点C （0，8），∴64a +8b +c ＝0，则 0340864=++=++c b a c b a ，解得 ac a b 3212=-=， ∴抛物线的解析式为：y ＝ax 2﹣12ax +32a ＝a （x ﹣4）（x ﹣8）， 对称轴是：x ＝6，由（2）知：m ＝2，当3≤x ≤7时，y 有最大值是310，存在两种情况： ①当a ＞0时，x ＝3时，y ＝310 代入抛物线的解析式为：310＝a （3﹣4）（3﹣8），a ＝32， ②当a ＜0时，x ＝6时，y ＝310， 代入抛物线的解析式为：310＝a （6﹣4）（6﹣8），a ＝﹣65， 综上，a 的值是32或﹣65．。
湖南长沙市2020年中考数学试题(含答案)
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，二次根式的乘法，幂的乘方．很容易混淆，要熟练掌握运算法则．
5.2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘四水，杜鹃花开，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为 土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度 （单位： 天）与完成运送任务所需的时间t（单位：天）之间的函数关系式是（）
A.第一次摸出 球是红球，第二次摸出的球一定是绿球
B.第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球
C.第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是红球
D.第一次摸出的球是红球的概率是 ；两次摸出的球都是红球的概率是
9.2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”这个节日的昵称是“π（Day）”国际数学日之所以定在3月14日，是因为3．14与圆周率的数值最接近的数字，在古代，一个国家所算的的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展的水平的主要标志，我国南北朝时期的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第七位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年，以下对圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比；其中正确的是（）
16.如图，点P在以MN为直径的半圆上运动，（点P与M，N不重合） 平分 ，交PM于点E，交PQ于点F．
(1) ___________________．
(2)若 ，则 ___________________．
三、解答题
17.计算：
18.先化简，再求值 ，其中
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2020年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中,只有一项是符合要求的,请在答题卡中填涂符合题意的选项,本大题共12个小题,每小题3分,共36分)1．（3分）﹣2的相反数是（）A．﹣2B．﹣C．2D．2．（3分）据统计，2017年长沙市地区生产总值约为10200亿元，经济总量迈入“万亿俱乐部”，数据10200用科学记数法表示为（）A．0.102×105B．10.2×103C．1.02×104D．1.02×1033．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a3=a5B．3C．（x2）3=x5D．m5÷m3=m24．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm 5．（3分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．（3分）将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周，可以得到的立体图形是（）A．B．C．D．8．（3分）下列说法正确的是（）A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件9．（3分）估计+1的值是（）A．在2和3之间B．在3和4之间C．在4和5之间D．在5和6之间10．（3分）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系．根据图象，下列说法正确的是（）A．小明吃早餐用了25minB．小明读报用了30minC．食堂到图书馆的距离为0.8kmD．小明从图书馆回家的速度为0.8km/min11．（3分）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）A．7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米12．（3分）若对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则符合条件的点P（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．至少有3个D．有无穷多个二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分)13．（3分）化简：=．14．（3分）某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结果制成了如图扇形统计图，则“世界之窗”对应扇形的圆心角为度．15．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是．16．（3分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为偶数的概率是．17．（3分）已知关于x方程x2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为．18．（3分）如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB=度．三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第22、23题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分。
解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19．（6分）计算：（﹣1）2018﹣+（π﹣3）0+4cos45°．20．（6分）先化简，再求值：（a+b）2+b（a﹣b）﹣4ab，其中a=2，b=﹣．21．（8分）为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图（得分为整数，满分为10分，最低分为6分）请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查一共抽取了名居民；（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（3）社区决定对该小区500名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？22．（8分）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）23．（9分）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？24．（9分）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE 交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．（1）求CE的长；（2）求证：△ABC为等腰三角形．（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（m为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点，点M（x，y）是该函数图象上的一个动点，过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A，B．（1）求∠OCD的度数；（2）当m=3，1＜x＜3时，存在点M使得△OPM∽△OCP，求此时点M的坐标；（3）当m=5时，矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．26．（10分）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD 交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①=；②=；③“十字形”ABCD的周长为12．2020年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（在下列各题的四个选项中,只有一项是符合要求的,请在答题卡中填涂符合题意的选项,本大题共12个小题,每小题3分,共36分)1-5:CCDBA 6-10:CDCCB11．【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．【解答】解：∵52+122=132，∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，∴这块沙田面积为：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．故选：A．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．12．【分析】根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax ﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），即可求得点P的坐标，从而可以解答本题．【解答】解：∵对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），∴x02﹣16≠a（x0﹣3）2+a（x0﹣3）﹣2a∴（x0﹣4）（x0+4）≠a（x0﹣1）（x0﹣4）∴（x0+4）≠a（x0﹣1）∴x0=﹣4或x0=1，∴点P的坐标为（﹣7，0）或（﹣2，﹣15）故选：B．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分)13．1．14．90．15．（1，1）．16．．17．2．18．50．三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第22、23题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分。
解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19．【解答】解：原式=1﹣2+1+4×=1﹣2+1+2=2．20．【解答】解：原式=a2+2ab+b2+ab﹣b2﹣4ab=a2﹣ab，当a=2，b=﹣时，原式=4+1=5．21．【解答】解：（1）共抽取：4+10+15+11+10=50（人），故答案为50；（2）平均数=（4×6+10×7+15×8=11×9+10×10）=8.26；众数：得到8分的人最多，故众数为8．中位数：由小到大排列，知第25，26平均分为8分，故中位数为8分；（3）得到10分占10÷50=20%，故500人时，需要一等奖奖品500×20%=100（份）．22．【解答】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，∵AB⊥CD，sin30°=，BC=80千米，∴CD=BC•sin30°=80×（千米），AC=（千米），AC+BC=80+40≈40×1.41+80=136.4（千米），答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；（2）∵cos30°=，BC=80（千米），∴BD=BC•cos30°=80×（千米），∵tan45°=，CD=40（千米），∴AD=（千米），∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米），∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．【点评】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．23．【解答】解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据题意得：，解得：．答：打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．（2）80×70×（1﹣80%）+100×80×（1﹣75%）=3120（元）．答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列式计算．24．【解答】（1）解：∵AD是边BC上的中线，∴BD=CD，∵CE∥AD，∴AD为△BCE的中位线，∴CE=2AD=6；（2）证明：∵CE∥AD，∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE，而∠BAD=∠CAD，∴∠ACE=∠E，∴AE=AC，而AB=AE，∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形．（3）如图，连接BP、BQ、CQ，在Rt△ABD中，AB==5，设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，在Rt△PBD中，（R﹣3）2+42=R2，解得R=，∴PD=PA﹣AD=﹣3=，∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC，∴•r•5+•r•8+•r•5=•3•8，解得r=，即QD=，∴PQ=PD+QD=+=．答：△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为．【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆．25．【解答】解：（1）设直线PQ的解析式为y=kx+b，则有，解得，∴y=﹣x+m+!，令x=0，得到y=m+1，∴D（0，m+1），令y+0，得到x=m+1，∴C（m+1，0），∴OC=OD，∵∠COD=90°，∴∠OCD=45°．（2）设M（a，），∵△OPM∽△OCP，∴==，∴OP2=OC•OM，当m=3时，P（3，1），C（4，0），OP2=32+12=10，OC=4，OM=，∴=，∴10=4，∴4a4﹣25a2+36=0，（4a2﹣9）（a2﹣4）=0，∴a=±，a=±2，∵1＜a＜3，∴a=或2，当a=时，M（，2），PM=，CP=，≠（舍弃），当a=2时，M（2，），PM=，CP=，∴==，成立，∴M（2，）．（3）不存在．理由如下：当m=5时，P（5，1），Q（1，5），设M（x，），OP的解析式为：y=x，OQ的解析式为y=5x，①当1＜x＜5时，如图1中，∴E（，），F（x，x），S=S矩形OAMB﹣S△OAF﹣S△OBE=5﹣•x•x﹣••=4.1，化简得到：x4﹣9x2+25=0，△＜O，∴没有实数根．②当x≤1时，如图2中，S=S△OGH＜S△OAM=2.5，∴不存在，③当x≥5时，如图3中，S=S△OTS＜S△OBM=2.5，∴不存在，综上所述，不存在．【点评】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．26．【解答】解：（1）①∵菱形，正方形的对角线互相垂直，∴菱形，正方形是：“十字形”，∵平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，∴平行四边形，矩形不是“十字形”，故答案为：菱形，正方形；②如图，当CB=CD时，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，∵AB=AD，∴AC⊥BD，∴当CB≠CD时，四边形ABCD不是“十字形”，故答案为：不是；（2）∵∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB，∠CBD=∠CDB=∠CAB，∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，∴180°﹣∠AED=180°﹣∠AEB，∴∠AED=∠AEB=90°，∴AC⊥BD，过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，∴OA=OD=1，OM2=OA2﹣AM2，ON2=OD2﹣DN2，AM=AC，DN=BD，四边形OMEN 是矩形，∴ON=ME，OE2=OM2+ME2，∴OE2=OM2+ON2=2﹣（AC2+BD2），∵6≤AC2+BD2≤7，∴2﹣≤OE2≤2﹣，∴≤OE2≤，∴（OE＞0）；（3）由题意得，A（，0），B（0，c），C（，0），D（0，﹣ac），∵a＞0，c＜0，∴OA=，OB=﹣c，OC=，OD=﹣ac，AC=，BD=﹣ac﹣c，∴S=AC•BD=﹣（ac+c）×，S1=OA•OB=﹣，S2=OC•OD=﹣，S3=OA×OD=﹣，S4=OB×OC=﹣，∵=+，=+，∴+=+，∴=2，∴a=1，∴S=﹣c，S1=﹣，S4=﹣，∵，∴S=S 1+S2+2，∴﹣c=﹣+2，∴﹣=﹣c•，∴=，∴b=0，∴A（﹣，0），B（0，c），C（，0），d（0，﹣c），∴四边形ABCD是菱形，【2020年中考数学——精品提分卷】∴4AD=12，∴AD=3，即：AD2=90，∵AD2=c2﹣c，∴c2﹣c=90，∴c=﹣9或c=10（舍），即：y=x2﹣9．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，求出a=1是解本题的关键．第2 页/ 共21 页。